Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring"

Transkript

1 Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006

2 2

3 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra Sprog Tal Tal Regning Potenser Parentes regning Bogstavregning Logik Argumenter Hvad er et bevis? Kvadratsætningerne Brøkregning Potensregneregler Kapiteloversigt Ligninger Ligningsløsning Andengradsligninger To ligninger med to ubekendte Kapiteloversigt Funktioner del I Funktionsbegrebet Regneforskrift Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Logaritmefunktionen log(x) Logaritmefunktionen på lommeregnerne

4 4 INDHOLD Løsning af ligninger med logaritmer Logaritmefunktionen ln(x) Løsning af ligninger med logaritmer ln(x) Eksponentielle ligninger Fordoblings- og halveringskonstant Potensfunktioner Proportionalitet Proportional Omvendt proportional Regression Lineær regression Eksponentiel regression Potes regression Kapiteloversigt Geometri Trigonometri Kapiteloversigt Deskriptiv statistik Observation og hyppighed Frekvens Middeltal Summerede frekvenser Pindediagram Trappediagram Kvartiler Grupperede observationer Interval Middeltal Histogram Beregning af kvartiler Box-plot Statistiske undersøgelser Indsamling af data Datatyper Population og stikprøve Bias Konfundering

5 INDHOLD 5 8 Økonomi Penge og pengestrømme Banken Indlån Udlån Budget Budgetkonto Regnskab Opsparing Forsikringer Skat Forskudsopgørelsen Selvangivelsen Årsopgørelsen Kapiteloversigt II Matematik B Analytisk geometri Kapiteloversigt Funktioner del II De trigonometriske funktioner Svingninger Polynomier Parabel Differentialregning Grænseværdi Kontinuitet Differentialkvotienten Differentialet af f(x) = k, f(x) = x og f(x) = x Differentialet af sum -, differens - og produktfunktioner Induktionsprincippet Differentialet af f(x) = x n Differentialet af kvotientfunktioner Integralregning Differentialligninger 209

6 6 INDHOLD 14 Sandsynlighedsregning 211 A Eksamensopgaver 213

7 INDHOLD 7 Indledning Kapitelet om deskriptiv statistik er skrevet så det lægger op til gruppearbejde. Kapitelet om økonomi er tematisk. Dennis Pipenbring, Frederiksberg

8 8 INDHOLD

9 Del I Matematik C 9

10

11 Kapitel 1 Grundlæggende algebra Hvis man skal beskrive hvad algebra er så er det nok bedst at beskrive det som matematikkens sprog. Det er algebra som gør os i stand til at regne med symboler. Det du nok har prøvet mest er at regne med tal, men der er så mange andre symboler man kan regne med. I det følgende vil du lære at regne med bogstaver. Grundet til at man regner med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er rigtige for alle tal. På denne måde kan man spare sig selv for en masse udregninger. Når man regner med symboler er det det samme som at sige en sætning, den skal meget gerne give mening og den skal meget gerne give den samme mening for dig når du siger den og for den som hører sætningen. Derfor har man besluttet at bruge nogle fælles regler, ligesom man har besluttet at bruge nogle fælles regler for vores sprog og den måde vi skriver det på. 1.1 Sprog Matematik er et sprog hvor i gennem man kan regne med symboler og tal, og som alle andre sprog har matematik også en grammatik. Matematikkens grammatik er beskrevet i følgende love: 11

12 12 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan man komme frem til en hel masse generelle regler som gælder for alle tal. Men inden vi går igang med det så er der lige et par andre ting vi skal se på. 1.2 Tal Hvad er et tal? Du kender sikkert allerede rigtigt mange tal f.eks. 4, 5, 9378, men kender du også disse tal I, III, IV, DC eller disse tal 10110, Fældes for alle disse tal er at de repræsenterer en værdi. Man kan side at symbolet 4 repræsentere værdien 4, men det gør symbolet IV og 100 også. Dvs. Et tal er et symbol som repræsenterer en værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik vil vi dog ofte undlade denne betegnelse Tal Man inddeler tal i flere forskellige typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,..., disse tal kalder vi for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Når man har de naturlige tal kan man også konstruere tal som f.eks. 11 og 5 ved at sætte (minus) foran tallet på denne måde får man konstrueret tallene..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Disse tal kalder vi for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Når man har de hele tal kan man konstruere tal som f.eks. 3 og 7 tal af denne type 6 11 hedder brøker og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er Q. Der er en til type af tal du skal kende og det er de reelle tal det er de tal som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. R kan konstrueres ud fra Q, men det vil vi ikke komme ind på her. Og når man har R kan man lave den komplekse tal som har symbolet C, som vi heller ikke vil komme ind på her.

13 1.3. REGNING 13 Tal type Navn Symbol 0, 1, 2, 3,... De naturlige tal N..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... De hele tal Z f.eks. 3, 7 De rationelle tal Q f.eks. 2 og π De reelle tal R 1.3 Regning Når man nu har tallene, har man også fundet på, at det er muligt at foretage forskellige operationer med tallene. Én operation er at lægge to tal samme, denne operation kalder vi for addition. For at beskrive at vi foretager en addition skriver vi + (plus) mellem tallene. F.eks Når vi foretager en addition kalder vi de to tal som adderes for led, det symbol som vi skriver mellem ledende kalder vi for en operator. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 led led Når vi foretager en operation får vi et resultat, for at vise det skriver vi =. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 = }{{} 6 led led sum Led adskilles af + eller. Hvis man ganger to tal eller bogstaver så kaldes de faktorer f.eks. så er der i dette udtryk 3 faktorer og 2 led 3 e y + 6 De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 e y og 6. Man vil ofte undlade at skrive hvis det er tydeligt at der skal være. F.eks. vil man istedet for at skrive 3 e y bare skrive 3ey mens hvis der stod 3 4 så ville man ikke skrive 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire Potenser Meget ofte vil man gerne skrive udregningerne på den mest simple måde og derfor indfører vi her en skrive måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks

14 14 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA dette vil vi skrive som 3 4 og man udtaler det tre i fjerde eller tre opløftet i fjerde. Hvis man skriver 5 3 så betyder det altså 5 ganget med sig selv 3 gange. 1.4 Parentes regning Meget ofte i matematik kommer man ud for at skulle regne med parenteser, der er to ting man kan gøre, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at sætte udenfor parentes. Vi starter med at gange ind i parentes. Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, så skal man gange tallet eller bogstavet med hvert led i parentesen f.eks. dette vil man naturligt reducere til 5 (3 + c a) = c 5 a c 5a Hvis man har to parenteser der skal ganges ind i hinanden (vi ganger parenteserne ud) så skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden f.eks. (x + y + z) (a + b + c) = (x + y + z) a + (x + y + z) b + (x + y + z) c = xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc Man kan se at der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er 3 led i hver af parenteserne og 3 3 = 9. Hvor mange led kommer der ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y) Eksempel Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + 4) (3y + z). (2x + 4) (3y + z) = (2x + 4) 3y + (2x + 4) z = 2x 3y + 4 3y + 2x z + 4 z Eksempel Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + y) 2 (5 + z). Først omskrives (2x+y) 2 til (2x+y) (2x+y), nu ser vi at der er tre parenteser (2x + y) (2x + y) (5 + z)

15 1.4. PARENTES REGNING 15 det kan vi ikke gange ud på en gang så derfor starter vi med de to første parenteser og derefter gange vi den tredje ind ((2x + y) (2x + y)) (5 + z) = ((2x + y) 2x + (2x + y) y) (5 + z) = (2x 2x + y 2x + 2x y + y y) (5 + z) = ( 4x 2 + 2xy + 2xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) 5 + ( 4x 2 + 4xy + y 2) z) = 4x xy 5 + y x 2 z + 4xy z + y 2 z = 20x xy + 5y 2 + 4x 2 z + 4xyz + y 2 z

16 16 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Gang følgende parenteser ud. Opgave 1.1 (x + y) (x + y) Opgave 1.2 (x + y) (2x + y) x 2 + 2xy + y 2 Opgave 1.3 (x + 2) (2 + y) 2x 2 + 3xy + y 2 Opgave 1.4 (5x + 4y) (2x + 3y) 2x + 2y + xy + 4 Opgave 1.5 (x y) (x + y) 10x xy + 12y 2 Opgave 1.6 (x 3y) (x + y) x 2 y 2 Opgave 1.7 (x y) (x + y) (z + 5) x 2 2xy 3y 2 Opgave 1.8 (3x + 5y + 3) (2x + 4) x 2 z y 2 z + 5x 2 5y 2 6x xy + 18x + 20y + 12

17 1.4. PARENTES REGNING 17 Hvis man skal sætte udenfor parentes, så skal man finde det som to eller flere led har tilfældes. Eksempel Sæt udenfor parentes i følgende udtryk. 2x + 5xy begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes bemærk at x er fjernet fra begge led. 2x + 5xy = x (2 + 5y)

18 18 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu skal vi træne den distributive lov dvs. regel nr. 5 og 6. Sæt udenfor parantes. Opgave 1.9 3x + 4xy Opgave x + 6xy x(3 + 4y) Opgave x 2 + 6xy 2x(1 + 3y) Opgave a + 6b + 8c 3x(x + 2y) Opgave a + 6ba 2 2(2a + 3b + 4c) Opgave x + 6xy 3a(1 + 2ba) Opgave xy 2 9xy 2x(1 + 3y) Opgave x 4 y 3 21x 3 y 4 3xy(y 3) 7x 3 y 3 (2x 3y)

19 1.5. BOGSTAVREGNING Bogstavregning Man kan også regne med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som alle følger af matematikkens grundlæggende love. a + a = 2a a a = 0 a a = a 2 a a = 1 Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede a + b + a = 2a + b a b + 2b = a + b a b a = a 2 b Nu skal vi prøve at kombinerer plus og gange a + (b c) = a + bc a (b + c) = ab + ac b (a + b + c) = ab + b 2 + bc Og nu skal vi prøve at kombinerer alle regnearterne a (b + c) a = b + c ac + bc b = ac b + c ac + bc c = a + b

20 20 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende udtryk ud. Opgave 1.17 a + a + a Opgave 1.18 ab a b + a 3a Opgave 1.19 a2 a a Opgave 1.20 a (b + c) ab a ac Opgave 1.21 a a 2 Opgave 1.22 ab ac+ad a + c 1 a Opgave 1.23 a (a + a) b + d Opgave 1.24 (a + b) c (c + b) a 2a 2 bc ab

21 1.6. LOGIK Logik Logik er en måde at tænke på som gør os istand til at kommuniker meningsfyldt med hinanden. Derfor er logik grundlaget for vores måde at tænke på og derfor er det vigtigt. Logik er en metode til at bestemme om det vi høre eller læser er rigtigt / sandt / logisk. Det vi høre eller læser deler vi op i små bidder, og hver af disse bidder kan vi så afgøre om er rigtige / sande / logiske. Disse små bidder kalder man for argumenter Argumenter Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være alle mennesker er fejlbarlige eller du er et menneske eller månen er gul eller Alle æg er kvadratiske. Ved at sammensætte udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks. Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører 1. eftersom 2. fordi 3. for 4. idet 5. følger af 6. hvis 7. som vist ved 8. som antydet 9. grunden er 10. med den begrundelse 11. som kan sluttes fra 12. afledes fra 13. deduceres fra

22 22 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 14. i lyset af den kendsgerning [2] s De markører som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv Hvad er et bevis? Et bevis er en serie af argumenter som tilsammen giver anledning til den konklusion som man gerne ville frem til - det man ville bevise. F.eks. hvis man vil bevise at (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw så bruger man følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Det er meget vigtigt at man forstår hvad der sker i hver eneste argument, derfor skal man når man læser sådanne beviser være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker å at man forstå det. Dette kan formuleres i en sætning - sætning er en matematikers betegnelse for en betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel med visse betingelser. 1.7 Kvadratsætningerne Sætning Hvis v og w R så vil (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw

23 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 23 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw + vw + w 2 = v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Denne sætning har en variant som også viser sig at være nyttig. Sætning Hvis v og w R så vil (v w) (v w) = v 2 + w 2 2vw Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v w) (v w) = (v w) v + (v w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v w) v + (v w) w = v 2 vw vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 vw vw + w 2 = v 2 2vw w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v w) (v w) = v 2 2vw + w 2

24 24 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Og her kommer den sidste variant. Sætning Hvis v og w R så vil (v + w) (v w) = v 2 w 2 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw vw w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw vw w 2 = v 2 w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v w) = v 2 w 2 Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadrat sætninger. Nu skal vi prøve at anvende disse sætninger på nogle opgaver. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (2 + 3) (2 + 3), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (5 + 3) (5 + 3) = = = 64 Meget ofte vil vi ikke regne med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (x + y) (x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (x + y) (x + y) = x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.

25 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 25 Endnu et eksempel. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (2x+y) (2x+y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (2x + y) (2x + y) = (2x) 2 + y (2x) y = 4x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.

26 26 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.25 Udregn (3 5) (3 5) Opgave 1.26 Udregn (3 5) (3 + 5) 4 Opgave 1.27 Udregn (t + r) (t + r) 16 Opgave 1.28 Udregn (t r) (t + r) t 2 + r 2 + 2tr Opgave 1.29 Udregn (x r) (x r) t 2 r 2 Opgave 1.30 Udregn (2x r) (2x r) x 2 + r 2 2xr Opgave 1.31 Udregn (3x + 4y) (3x + 4y) 4x 2 + r 2 4xr Opgave 1.32 Udregn (2x 3y) (2x + 3y) 9x y xy 4x 2 9y 2

27 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 27 Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.33 Udregn (3x 5y) (3x 5y) Opgave 1.34 Udregn (3x 5y) (3x + 5y) 9x y 2 30xy Opgave 1.35 Udregn (3t + r) (3t + r) 9x 2 25y 2 Opgave 1.36 Udregn (t 4r) (t + 4r) 9t 2 + r 2 + 6tr Opgave 1.37 Udregn (3x 3r) (3x 3r) t 2 16r 2 Opgave 1.38 Udregn (2x r 2 ) (2x r 2 ) 9x 2 + 9r 2 18xr Opgave 1.39 Udregn (3x 2 + 4y) (3x 2 + 4y) 4x 2 + (r 2 ) 2 4xr 2 Opgave 1.40 Udregn (2x 3 3y 2 ) (2x 3 + 3y 2 ) 9(x 2 ) y x 2 y 4(x 3 ) 2 9(y 2 ) 2

28 28 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger og deres anvendelser. 1.8 Brøkregning En brøk består af to dele en tæller og en nævner, det således meget ofte skriver man tæller nævner Man skriver altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks. 12a 3ab Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren. Når man taler om brøker så bruger man ofte ordet forkorter, hvilket betyder at man dividere tæller og nævner med det samme tal eller bogstav. F.eks. kan man forkorte med a i følgende brøk 12a 3ab = 12 3b Man kan også forlænge en brøk med et tal eller et bogstav, dette betyder at man ganger både tæller og nævner med tallet eller bogstavet. F.eks. her forlænges med 4: 12a 3ab = 4 12a 4 3ab Der gælder følgende regler for regning med brøker

29 1.8. BRØKREGNING 29 a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) (1.9)

30 30 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af de regler som du lige har set gælder for brøker: Opgave 1.41 Udregn Opgave 1.42 Udregn 2 x 2 y x y Opgave 1.43 Udregn a 3 a Opgave 1.44 Udregn Opgave 1.45 Udregn x 2 3 y 3x 2y

31 1.8. BRØKREGNING 31 Opgave 1.46 Udregn b c + x c b+x c Opgave 1.47 Udregn b c + x a b a+c x a c Opgave 1.48 Udregn b c 5 5b c Opgave 1.49 Udregn b c 5 b 5c Opgave 1.50 Udregn b c /x a b a x c

32 32 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det lidt sværere, nu skal vi prøve at bruge kvadratsætningerne baglæns, dvs. x 2 + y 2 + 2xy = (x + y)(x + y) lad os set et par eksempler Eksempel Opgaven at skrive følgende udtryk om til 2 parenteser 9x 2 + y 2 + 6xy Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. 2vw, hvis der står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus, så der er altså 1. kvadratsætning vi skal bruge. (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2vw Efter som der står 9 foran x 2 så må det betyde at v = 3x efter som v 2 = (3x) 2 = 9x 2, da der ikke står noget foran y så må det betyde at w = y efter som w 2 = (y) 2 = y 2. Nu kan vi skrive udtrykket om til 2 paranteser 9x 2 + y 2 + 6xy 9x 2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y)

33 1.8. BRØKREGNING 33 Omskriv følgende udtryk til 2 parenteser ved hjælp af kvadratsætningerne. Opgave 1.51 Udregn x 2 + 8xy + 16y 2 Opgave 1.52 Udregn 4x 2 + 4xy + y 2 (x + 4y)(x + 4y) Opgave 1.53 Udregn 4x 2 12xy + 9y 2 (2x + y)(2x + y) Opgave 1.54 Udregn 9x xy + 16y 2 (2x 3y)(2x 3y) Opgave 1.55 Udregn 9x 2 12xy + 4y 2 (3x + 4y)(3x + 4y) Opgave 1.56 Udregn x 4 4x 2 y + 4y 2 (3x 2y)(3x 2y) Opgave 1.57 Udregn 4x 2 9y 2 (x 2 2y)(x 2 2y) (2x + 3y)(2x 3y)

34 34 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det endnu lidt sværere igen, vi skal kombinerer brøk regningen og omvendt -regning med kvadratsætningerne. Forkort følgende brøker. Opgave 1.58 x 2 + 8xy + 16y 2 x + 4y x + 4y Opgave x 2 12xy + 9y 2 2x 3y 2x 3y Opgave x x 2 y + 9y 2 2x 2 + 3y 2x 2 + 3y Opgave x 2 9y 2 4x 3y 4x + 3y Opgave 1.62 x 2 5y x 4 25y 2 1 x 2 +5y

35 1.8. BRØKREGNING 35 Grundlæggende algebra I Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.63 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 4x 2 + 9y xy Opgave 1.64 Sæt så meget som muligt udenfor parantes, og brug derefter kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 2x 2 + 8y 2 + 8xy Opgave 1.65 Reducer følgende. Opgave 1.66 Reducer følgende. 3x 3 2ax 2 9x 6a 3x 4 y xy 3 12x 3 4y 2 Opgave 1.67 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 3x xy 2 15x Opgave 1.68 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 15a 3 c + 3abc Opgave 1.69 Reducer følgende ved brug af kvadratsætningerne. 9x 2 + y 2 + 6xy 9x + 3y Opgave 1.70 Reducer følgende udtryk. x 2 x y y2 x y Opgave 1.71 Reducer følgende udtryk. ( x y y ) 1 x (x + y)(x y)

36 36 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.9 Potensregneregler Nu har vi set flere eksempler på at vi har skulle udregne f.eks. (x 2 ) 2 og x2 x, nu vil vi komme med nogle generelle regneregler for at udregne sådanne udtryk. x s x t = x s+t (1.10) x s x t = x s t (1.11) (x s ) t = x s t (1.12) (x y) s = x s y s (1.13) ( ) s x = xs (1.14) y y s x 0 = 1 (1.15) x s = 1 x (1.16) Lad os nu se et par eksempler. s x = x 1 s (1.17) s x t = x t s (1.18) Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 3 x 6, så skal vi bruge reglen x s x t = x s+t, og så får vi at x 3 x 6 = x 3+6 = x 9. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket (x 3 ) 6, så skal vi bruge reglen (x s ) t = x s t, og så får vi at (x 3 ) 6 = x 3 6 = x 18. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x3, så skal vi bruge reglen x 6 x s = x s t, og så får vi at x3 = x 3 6 = x 3. Som ifølge reglen x s = 1 er lig t x 6 x x 3 = 1. x 3 Ofte som forventes det at man kan overskue mere komplicerede udtryk. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 6 y 4 x 3 y så skal vi bruge reglen xs = x s t to gange først på x og derefter på y. Når vi x t bruger den på x får vi at x6 = x 6 3 = x 3 og når vi bruger den på y får vi at x 3

37 1.9. POTENSREGNEREGLER 37 y 4 y = y4 1 = y 3 - Bemærk at y = y 1. Og disse to resultater kan vi så sætte sammen. x 6 y 4 x 3 y = x3 y 3 Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x y) s = x s y s. x 3 y 3 = (x y) 3 Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 5 8 x 2 x 3 vi skal bruge reglen s x t = x t s på 8 x 2, så får vi at 8 x 2 = x 2 8 vi har nu at x 5 8 x 2 x 3 = x 5 x 2 8 x 3 vi skal nu bruge reglen x s x t = x s+t på alle tre faktorer så x 5 x 2 8 x 3 = x ( 3) Og da ( 3) = = = 18 8 = 9, så har vi at 4 x ( 3) = x 9 4

38 38 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Brug potensregneregelerne. Opgave 1.72 x4 x 2 Opgave 1.73 x2 x 4 x 2 Opgave 1.74 x2 y 4 x 2 y 2 x 2 Opgave 1.75 x2 x y 2 x 3 y 3 y 2 Opgave 1.76 x 3 5 x 3 1 y Opgave 1.77 a 2 3 x 6 a 5 x 18 5 Opgave x3 3 x 2 5a 3 10a 2 x 4 4 x 5 a 3 x 2 Opgave x4 y 3 21x 3 y 4 7x 3 y 3 x a 2x 3y

39 1.9. POTENSREGNEREGLER 39 Grundlæggende Algebra II Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.80 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 16x 2 + 4y xy Opgave 1.81 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. 3 c6 ab a 2 bc Opgave 1.82 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. Opgave 1.83 Reducer følgende. Opgave 1.84 Reducer følgende. a 2 b 6 c a 3 b 3 c (a + b) 2 2ab + b 2 2a 2 a 2 + b 2 2ab a 2 b 2 Opgave 1.85 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. Opgave 1.86 Reducer følgende. 2abc ab + a 2 b (a 2)(b + 5) ab Opgave 1.87 Reducer følgende udtryk. Opgave 1.88 Reducer følgende. (a 2 + b 2 + 2ab)(a 2 b 2 ) (a + b) 3 a 2 b + a 2 + abd + ad a + d

40 40 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.10 Kapiteloversigt Algebraens grundlov 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Kvadratsætningerne (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab (a + b) (a b) = a 2 b 2 Brøkregnereglerne a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b Potensregnereglerne x s x t = x s+t x s x t = x s t (x s ) t = x s t (x y) s = x s y s ( ) s x = xs y y s x 0 = 1 x s = 1 x 1 s x = x s s x t = x t s

41 Kapitel 2 Ligninger I dette kapitel skal vi beskæftige os med ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. F.eks. er en ligning, mens y = x x + y + 1 x y = 2x x 2 y 2 ikke er en ligning. Forskellen er at det første lighedstegn definerer en lighed mens det anden lighedstegn konkludere en lighed. Der er desværre ikke forskel på måden man skriver de to typer af lighedstegn! En anden måde at tænke på er, at forholdet mellem x og y altid er sådan i tilfældet med udtrykket 1 x + y + 1 x y = mens at forholdet mellem x og y i tilfældet y = x + 5 2x x 2 y 2 er, at hvis x = 3 så er y = 8 dvs. hvis x ligger fast (er konstant) så gør y det også. 2.1 Ligningsløsning Når vi siger ligningsløsning så mener vi at man ved hjælp af en eller flere ligninger skal finde den ubekendte. F.eks. find x i ligningen 5x = 15 41

42 42 KAPITEL 2. LIGNINGER Så skal man finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divider vi begge sider med 5. 5x 5 = 15 5 og ved udregning ses at x = 3

43 2.1. LIGNINGSLØSNING 43 Løs ligningerne Opgave 2.1 6x = 3 Opgave 2.2 3x + 4 = 5 x = 1 2 Opgave x + 4 = 5 x = 1 3 Opgave x + 4 = 5x x = 2 3 Opgave 2.5 9x + 4 = 5x x = 8 9 Opgave 2.6 x 2 = 2x + 5 x = 1 Opgave 2.7 5x 4 = 2x + 5 x = 7 Opgave 2.8 7x + 3 = x 5 x = 3 x = 4 3

44 44 KAPITEL 2. LIGNINGER Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det kan man ikke løse ligningen. Istedet kan man isolerer en af de ubekendte, f.eks. hvis man skal isolerer x i ligningen 3y = 5x + 7 dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet. Dette kan man gøre ved først at trække 7 fra på begge sider: 3y 7 = 5x så kommer ligningen til at se sådan ud: nu kan man dividerer med 5 3y 7 = 5x 3y 7 5 så kommer ligningen til at se sådan ud = 5x 5 nu har man isoleret x. 3y 7 5 = x

45 2.1. LIGNINGSLØSNING 45 Isoler x i ligningerne. Opgave 2.9 3x = 6y Opgave 2.10 b = 2 x x = 2y Opgave 2.11 a = 2c x d x = 2 b Opgave q = 3x + 7 x = 2c+ad a x = 2q 7 3 Opgave 2.13 z = 3 x x = 3 z 2 Opgave x = 4x 7 x = 7 4 Opgave 2.15 ax = 4x c x = c a 4 Opgave x = x a+2c x = 1 4(a+2c)

46 46 KAPITEL 2. LIGNINGER Senere skal vi bruge at ligninger på formen y = ax + b, derfor skal vi øve os i at omskrive ligninger så de kommer til at stå på denne form. Eksempel Omskriv ligningen x + 1 y = 3 til formen y = ax + b. Først 2 trækker vi x fra på begge sider x y x = 3 x så kommer ligningen til at se sådan ud nu ganger vi på begge sider med y = 3 x 2 1 y = 2 (3 x) 2 så kommer ligningen til at se sådan ud y = 6 2x nu bytter vi om på 6 og 2x så kommer ligningen til at se sådan ud og så er vi færdige. y = 2x + 6

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2013 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF oh VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 13/14 Institution Campus Vejle VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Lars Therkelsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B Niels

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 11 hhx Matematik

Læs mere

Matematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen

Matematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen Matematik C Noter For S15B Af Cristina Sissee Jensen Indholds fortegnelse Statistik s.4-6 o Forklaring på ikke og grupperede statistik s.4 o Ikke grupperede s.4 o Grupperede s.6 Tal- og bogstavregning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Hvidovre-Amager Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik C Rukiye

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Kenneth Berg k710hhxa1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/12 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Efterår 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Kamran

Læs mere