Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring"

Transkript

1 Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006

2 2

3 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra Sprog Tal Tal Regning Potenser Parentes regning Bogstavregning Logik Argumenter Hvad er et bevis? Kvadratsætningerne Brøkregning Potensregneregler Kapiteloversigt Ligninger Ligningsløsning Andengradsligninger To ligninger med to ubekendte Kapiteloversigt Funktioner del I Funktionsbegrebet Regneforskrift Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Logaritmefunktionen log(x) Logaritmefunktionen på lommeregnerne

4 4 INDHOLD Løsning af ligninger med logaritmer Logaritmefunktionen ln(x) Løsning af ligninger med logaritmer ln(x) Eksponentielle ligninger Fordoblings- og halveringskonstant Potensfunktioner Proportionalitet Proportional Omvendt proportional Regression Lineær regression Eksponentiel regression Potes regression Kapiteloversigt Geometri Trigonometri Kapiteloversigt Deskriptiv statistik Observation og hyppighed Frekvens Middeltal Summerede frekvenser Pindediagram Trappediagram Kvartiler Grupperede observationer Interval Middeltal Histogram Beregning af kvartiler Box-plot Statistiske undersøgelser Indsamling af data Datatyper Population og stikprøve Bias Konfundering

5 INDHOLD 5 8 Økonomi Penge og pengestrømme Banken Indlån Udlån Budget Budgetkonto Regnskab Opsparing Forsikringer Skat Forskudsopgørelsen Selvangivelsen Årsopgørelsen Kapiteloversigt II Matematik B Analytisk geometri Kapiteloversigt Funktioner del II De trigonometriske funktioner Svingninger Polynomier Parabel Differentialregning Grænseværdi Kontinuitet Differentialkvotienten Differentialet af f(x) = k, f(x) = x og f(x) = x Differentialet af sum -, differens - og produktfunktioner Induktionsprincippet Differentialet af f(x) = x n Differentialet af kvotientfunktioner Integralregning Differentialligninger 209

6 6 INDHOLD 14 Sandsynlighedsregning 211 A Eksamensopgaver 213

7 INDHOLD 7 Indledning Kapitelet om deskriptiv statistik er skrevet så det lægger op til gruppearbejde. Kapitelet om økonomi er tematisk. Dennis Pipenbring, Frederiksberg

8 8 INDHOLD

9 Del I Matematik C 9

10

11 Kapitel 1 Grundlæggende algebra Hvis man skal beskrive hvad algebra er så er det nok bedst at beskrive det som matematikkens sprog. Det er algebra som gør os i stand til at regne med symboler. Det du nok har prøvet mest er at regne med tal, men der er så mange andre symboler man kan regne med. I det følgende vil du lære at regne med bogstaver. Grundet til at man regner med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er rigtige for alle tal. På denne måde kan man spare sig selv for en masse udregninger. Når man regner med symboler er det det samme som at sige en sætning, den skal meget gerne give mening og den skal meget gerne give den samme mening for dig når du siger den og for den som hører sætningen. Derfor har man besluttet at bruge nogle fælles regler, ligesom man har besluttet at bruge nogle fælles regler for vores sprog og den måde vi skriver det på. 1.1 Sprog Matematik er et sprog hvor i gennem man kan regne med symboler og tal, og som alle andre sprog har matematik også en grammatik. Matematikkens grammatik er beskrevet i følgende love: 11

12 12 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan man komme frem til en hel masse generelle regler som gælder for alle tal. Men inden vi går igang med det så er der lige et par andre ting vi skal se på. 1.2 Tal Hvad er et tal? Du kender sikkert allerede rigtigt mange tal f.eks. 4, 5, 9378, men kender du også disse tal I, III, IV, DC eller disse tal 10110, Fældes for alle disse tal er at de repræsenterer en værdi. Man kan side at symbolet 4 repræsentere værdien 4, men det gør symbolet IV og 100 også. Dvs. Et tal er et symbol som repræsenterer en værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik vil vi dog ofte undlade denne betegnelse Tal Man inddeler tal i flere forskellige typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,..., disse tal kalder vi for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Når man har de naturlige tal kan man også konstruere tal som f.eks. 11 og 5 ved at sætte (minus) foran tallet på denne måde får man konstrueret tallene..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Disse tal kalder vi for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Når man har de hele tal kan man konstruere tal som f.eks. 3 og 7 tal af denne type 6 11 hedder brøker og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er Q. Der er en til type af tal du skal kende og det er de reelle tal det er de tal som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. R kan konstrueres ud fra Q, men det vil vi ikke komme ind på her. Og når man har R kan man lave den komplekse tal som har symbolet C, som vi heller ikke vil komme ind på her.

13 1.3. REGNING 13 Tal type Navn Symbol 0, 1, 2, 3,... De naturlige tal N..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... De hele tal Z f.eks. 3, 7 De rationelle tal Q f.eks. 2 og π De reelle tal R 1.3 Regning Når man nu har tallene, har man også fundet på, at det er muligt at foretage forskellige operationer med tallene. Én operation er at lægge to tal samme, denne operation kalder vi for addition. For at beskrive at vi foretager en addition skriver vi + (plus) mellem tallene. F.eks Når vi foretager en addition kalder vi de to tal som adderes for led, det symbol som vi skriver mellem ledende kalder vi for en operator. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 led led Når vi foretager en operation får vi et resultat, for at vise det skriver vi =. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 = }{{} 6 led led sum Led adskilles af + eller. Hvis man ganger to tal eller bogstaver så kaldes de faktorer f.eks. så er der i dette udtryk 3 faktorer og 2 led 3 e y + 6 De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 e y og 6. Man vil ofte undlade at skrive hvis det er tydeligt at der skal være. F.eks. vil man istedet for at skrive 3 e y bare skrive 3ey mens hvis der stod 3 4 så ville man ikke skrive 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire Potenser Meget ofte vil man gerne skrive udregningerne på den mest simple måde og derfor indfører vi her en skrive måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks

14 14 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA dette vil vi skrive som 3 4 og man udtaler det tre i fjerde eller tre opløftet i fjerde. Hvis man skriver 5 3 så betyder det altså 5 ganget med sig selv 3 gange. 1.4 Parentes regning Meget ofte i matematik kommer man ud for at skulle regne med parenteser, der er to ting man kan gøre, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at sætte udenfor parentes. Vi starter med at gange ind i parentes. Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, så skal man gange tallet eller bogstavet med hvert led i parentesen f.eks. dette vil man naturligt reducere til 5 (3 + c a) = c 5 a c 5a Hvis man har to parenteser der skal ganges ind i hinanden (vi ganger parenteserne ud) så skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden f.eks. (x + y + z) (a + b + c) = (x + y + z) a + (x + y + z) b + (x + y + z) c = xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc Man kan se at der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er 3 led i hver af parenteserne og 3 3 = 9. Hvor mange led kommer der ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y) Eksempel Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + 4) (3y + z). (2x + 4) (3y + z) = (2x + 4) 3y + (2x + 4) z = 2x 3y + 4 3y + 2x z + 4 z Eksempel Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + y) 2 (5 + z). Først omskrives (2x+y) 2 til (2x+y) (2x+y), nu ser vi at der er tre parenteser (2x + y) (2x + y) (5 + z)

15 1.4. PARENTES REGNING 15 det kan vi ikke gange ud på en gang så derfor starter vi med de to første parenteser og derefter gange vi den tredje ind ((2x + y) (2x + y)) (5 + z) = ((2x + y) 2x + (2x + y) y) (5 + z) = (2x 2x + y 2x + 2x y + y y) (5 + z) = ( 4x 2 + 2xy + 2xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) 5 + ( 4x 2 + 4xy + y 2) z) = 4x xy 5 + y x 2 z + 4xy z + y 2 z = 20x xy + 5y 2 + 4x 2 z + 4xyz + y 2 z

16 16 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Gang følgende parenteser ud. Opgave 1.1 (x + y) (x + y) Opgave 1.2 (x + y) (2x + y) x 2 + 2xy + y 2 Opgave 1.3 (x + 2) (2 + y) 2x 2 + 3xy + y 2 Opgave 1.4 (5x + 4y) (2x + 3y) 2x + 2y + xy + 4 Opgave 1.5 (x y) (x + y) 10x xy + 12y 2 Opgave 1.6 (x 3y) (x + y) x 2 y 2 Opgave 1.7 (x y) (x + y) (z + 5) x 2 2xy 3y 2 Opgave 1.8 (3x + 5y + 3) (2x + 4) x 2 z y 2 z + 5x 2 5y 2 6x xy + 18x + 20y + 12

17 1.4. PARENTES REGNING 17 Hvis man skal sætte udenfor parentes, så skal man finde det som to eller flere led har tilfældes. Eksempel Sæt udenfor parentes i følgende udtryk. 2x + 5xy begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes bemærk at x er fjernet fra begge led. 2x + 5xy = x (2 + 5y)

18 18 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu skal vi træne den distributive lov dvs. regel nr. 5 og 6. Sæt udenfor parantes. Opgave 1.9 3x + 4xy Opgave x + 6xy x(3 + 4y) Opgave x 2 + 6xy 2x(1 + 3y) Opgave a + 6b + 8c 3x(x + 2y) Opgave a + 6ba 2 2(2a + 3b + 4c) Opgave x + 6xy 3a(1 + 2ba) Opgave xy 2 9xy 2x(1 + 3y) Opgave x 4 y 3 21x 3 y 4 3xy(y 3) 7x 3 y 3 (2x 3y)

19 1.5. BOGSTAVREGNING Bogstavregning Man kan også regne med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som alle følger af matematikkens grundlæggende love. a + a = 2a a a = 0 a a = a 2 a a = 1 Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede a + b + a = 2a + b a b + 2b = a + b a b a = a 2 b Nu skal vi prøve at kombinerer plus og gange a + (b c) = a + bc a (b + c) = ab + ac b (a + b + c) = ab + b 2 + bc Og nu skal vi prøve at kombinerer alle regnearterne a (b + c) a = b + c ac + bc b = ac b + c ac + bc c = a + b

20 20 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende udtryk ud. Opgave 1.17 a + a + a Opgave 1.18 ab a b + a 3a Opgave 1.19 a2 a a Opgave 1.20 a (b + c) ab a ac Opgave 1.21 a a 2 Opgave 1.22 ab ac+ad a + c 1 a Opgave 1.23 a (a + a) b + d Opgave 1.24 (a + b) c (c + b) a 2a 2 bc ab

21 1.6. LOGIK Logik Logik er en måde at tænke på som gør os istand til at kommuniker meningsfyldt med hinanden. Derfor er logik grundlaget for vores måde at tænke på og derfor er det vigtigt. Logik er en metode til at bestemme om det vi høre eller læser er rigtigt / sandt / logisk. Det vi høre eller læser deler vi op i små bidder, og hver af disse bidder kan vi så afgøre om er rigtige / sande / logiske. Disse små bidder kalder man for argumenter Argumenter Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være alle mennesker er fejlbarlige eller du er et menneske eller månen er gul eller Alle æg er kvadratiske. Ved at sammensætte udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks. Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører 1. eftersom 2. fordi 3. for 4. idet 5. følger af 6. hvis 7. som vist ved 8. som antydet 9. grunden er 10. med den begrundelse 11. som kan sluttes fra 12. afledes fra 13. deduceres fra

22 22 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 14. i lyset af den kendsgerning [2] s De markører som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv Hvad er et bevis? Et bevis er en serie af argumenter som tilsammen giver anledning til den konklusion som man gerne ville frem til - det man ville bevise. F.eks. hvis man vil bevise at (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw så bruger man følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Det er meget vigtigt at man forstår hvad der sker i hver eneste argument, derfor skal man når man læser sådanne beviser være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker å at man forstå det. Dette kan formuleres i en sætning - sætning er en matematikers betegnelse for en betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel med visse betingelser. 1.7 Kvadratsætningerne Sætning Hvis v og w R så vil (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw

23 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 23 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw + vw + w 2 = v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Denne sætning har en variant som også viser sig at være nyttig. Sætning Hvis v og w R så vil (v w) (v w) = v 2 + w 2 2vw Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v w) (v w) = (v w) v + (v w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v w) v + (v w) w = v 2 vw vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 vw vw + w 2 = v 2 2vw w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v w) (v w) = v 2 2vw + w 2

24 24 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Og her kommer den sidste variant. Sætning Hvis v og w R så vil (v + w) (v w) = v 2 w 2 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw vw w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw vw w 2 = v 2 w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v w) = v 2 w 2 Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadrat sætninger. Nu skal vi prøve at anvende disse sætninger på nogle opgaver. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (2 + 3) (2 + 3), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (5 + 3) (5 + 3) = = = 64 Meget ofte vil vi ikke regne med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (x + y) (x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (x + y) (x + y) = x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.

25 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 25 Endnu et eksempel. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (2x+y) (2x+y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (2x + y) (2x + y) = (2x) 2 + y (2x) y = 4x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.

26 26 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.25 Udregn (3 5) (3 5) Opgave 1.26 Udregn (3 5) (3 + 5) 4 Opgave 1.27 Udregn (t + r) (t + r) 16 Opgave 1.28 Udregn (t r) (t + r) t 2 + r 2 + 2tr Opgave 1.29 Udregn (x r) (x r) t 2 r 2 Opgave 1.30 Udregn (2x r) (2x r) x 2 + r 2 2xr Opgave 1.31 Udregn (3x + 4y) (3x + 4y) 4x 2 + r 2 4xr Opgave 1.32 Udregn (2x 3y) (2x + 3y) 9x y xy 4x 2 9y 2

27 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 27 Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.33 Udregn (3x 5y) (3x 5y) Opgave 1.34 Udregn (3x 5y) (3x + 5y) 9x y 2 30xy Opgave 1.35 Udregn (3t + r) (3t + r) 9x 2 25y 2 Opgave 1.36 Udregn (t 4r) (t + 4r) 9t 2 + r 2 + 6tr Opgave 1.37 Udregn (3x 3r) (3x 3r) t 2 16r 2 Opgave 1.38 Udregn (2x r 2 ) (2x r 2 ) 9x 2 + 9r 2 18xr Opgave 1.39 Udregn (3x 2 + 4y) (3x 2 + 4y) 4x 2 + (r 2 ) 2 4xr 2 Opgave 1.40 Udregn (2x 3 3y 2 ) (2x 3 + 3y 2 ) 9(x 2 ) y x 2 y 4(x 3 ) 2 9(y 2 ) 2

28 28 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger og deres anvendelser. 1.8 Brøkregning En brøk består af to dele en tæller og en nævner, det således meget ofte skriver man tæller nævner Man skriver altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks. 12a 3ab Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren. Når man taler om brøker så bruger man ofte ordet forkorter, hvilket betyder at man dividere tæller og nævner med det samme tal eller bogstav. F.eks. kan man forkorte med a i følgende brøk 12a 3ab = 12 3b Man kan også forlænge en brøk med et tal eller et bogstav, dette betyder at man ganger både tæller og nævner med tallet eller bogstavet. F.eks. her forlænges med 4: 12a 3ab = 4 12a 4 3ab Der gælder følgende regler for regning med brøker

29 1.8. BRØKREGNING 29 a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) (1.9)

30 30 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af de regler som du lige har set gælder for brøker: Opgave 1.41 Udregn Opgave 1.42 Udregn 2 x 2 y x y Opgave 1.43 Udregn a 3 a Opgave 1.44 Udregn Opgave 1.45 Udregn x 2 3 y 3x 2y

31 1.8. BRØKREGNING 31 Opgave 1.46 Udregn b c + x c b+x c Opgave 1.47 Udregn b c + x a b a+c x a c Opgave 1.48 Udregn b c 5 5b c Opgave 1.49 Udregn b c 5 b 5c Opgave 1.50 Udregn b c /x a b a x c

32 32 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det lidt sværere, nu skal vi prøve at bruge kvadratsætningerne baglæns, dvs. x 2 + y 2 + 2xy = (x + y)(x + y) lad os set et par eksempler Eksempel Opgaven at skrive følgende udtryk om til 2 parenteser 9x 2 + y 2 + 6xy Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. 2vw, hvis der står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus, så der er altså 1. kvadratsætning vi skal bruge. (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2vw Efter som der står 9 foran x 2 så må det betyde at v = 3x efter som v 2 = (3x) 2 = 9x 2, da der ikke står noget foran y så må det betyde at w = y efter som w 2 = (y) 2 = y 2. Nu kan vi skrive udtrykket om til 2 paranteser 9x 2 + y 2 + 6xy 9x 2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y)

33 1.8. BRØKREGNING 33 Omskriv følgende udtryk til 2 parenteser ved hjælp af kvadratsætningerne. Opgave 1.51 Udregn x 2 + 8xy + 16y 2 Opgave 1.52 Udregn 4x 2 + 4xy + y 2 (x + 4y)(x + 4y) Opgave 1.53 Udregn 4x 2 12xy + 9y 2 (2x + y)(2x + y) Opgave 1.54 Udregn 9x xy + 16y 2 (2x 3y)(2x 3y) Opgave 1.55 Udregn 9x 2 12xy + 4y 2 (3x + 4y)(3x + 4y) Opgave 1.56 Udregn x 4 4x 2 y + 4y 2 (3x 2y)(3x 2y) Opgave 1.57 Udregn 4x 2 9y 2 (x 2 2y)(x 2 2y) (2x + 3y)(2x 3y)

34 34 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det endnu lidt sværere igen, vi skal kombinerer brøk regningen og omvendt -regning med kvadratsætningerne. Forkort følgende brøker. Opgave 1.58 x 2 + 8xy + 16y 2 x + 4y x + 4y Opgave x 2 12xy + 9y 2 2x 3y 2x 3y Opgave x x 2 y + 9y 2 2x 2 + 3y 2x 2 + 3y Opgave x 2 9y 2 4x 3y 4x + 3y Opgave 1.62 x 2 5y x 4 25y 2 1 x 2 +5y

35 1.8. BRØKREGNING 35 Grundlæggende algebra I Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.63 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 4x 2 + 9y xy Opgave 1.64 Sæt så meget som muligt udenfor parantes, og brug derefter kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 2x 2 + 8y 2 + 8xy Opgave 1.65 Reducer følgende. Opgave 1.66 Reducer følgende. 3x 3 2ax 2 9x 6a 3x 4 y xy 3 12x 3 4y 2 Opgave 1.67 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 3x xy 2 15x Opgave 1.68 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 15a 3 c + 3abc Opgave 1.69 Reducer følgende ved brug af kvadratsætningerne. 9x 2 + y 2 + 6xy 9x + 3y Opgave 1.70 Reducer følgende udtryk. x 2 x y y2 x y Opgave 1.71 Reducer følgende udtryk. ( x y y ) 1 x (x + y)(x y)

36 36 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.9 Potensregneregler Nu har vi set flere eksempler på at vi har skulle udregne f.eks. (x 2 ) 2 og x2 x, nu vil vi komme med nogle generelle regneregler for at udregne sådanne udtryk. x s x t = x s+t (1.10) x s x t = x s t (1.11) (x s ) t = x s t (1.12) (x y) s = x s y s (1.13) ( ) s x = xs (1.14) y y s x 0 = 1 (1.15) x s = 1 x (1.16) Lad os nu se et par eksempler. s x = x 1 s (1.17) s x t = x t s (1.18) Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 3 x 6, så skal vi bruge reglen x s x t = x s+t, og så får vi at x 3 x 6 = x 3+6 = x 9. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket (x 3 ) 6, så skal vi bruge reglen (x s ) t = x s t, og så får vi at (x 3 ) 6 = x 3 6 = x 18. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x3, så skal vi bruge reglen x 6 x s = x s t, og så får vi at x3 = x 3 6 = x 3. Som ifølge reglen x s = 1 er lig t x 6 x x 3 = 1. x 3 Ofte som forventes det at man kan overskue mere komplicerede udtryk. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 6 y 4 x 3 y så skal vi bruge reglen xs = x s t to gange først på x og derefter på y. Når vi x t bruger den på x får vi at x6 = x 6 3 = x 3 og når vi bruger den på y får vi at x 3

37 1.9. POTENSREGNEREGLER 37 y 4 y = y4 1 = y 3 - Bemærk at y = y 1. Og disse to resultater kan vi så sætte sammen. x 6 y 4 x 3 y = x3 y 3 Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x y) s = x s y s. x 3 y 3 = (x y) 3 Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 5 8 x 2 x 3 vi skal bruge reglen s x t = x t s på 8 x 2, så får vi at 8 x 2 = x 2 8 vi har nu at x 5 8 x 2 x 3 = x 5 x 2 8 x 3 vi skal nu bruge reglen x s x t = x s+t på alle tre faktorer så x 5 x 2 8 x 3 = x ( 3) Og da ( 3) = = = 18 8 = 9, så har vi at 4 x ( 3) = x 9 4

38 38 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Brug potensregneregelerne. Opgave 1.72 x4 x 2 Opgave 1.73 x2 x 4 x 2 Opgave 1.74 x2 y 4 x 2 y 2 x 2 Opgave 1.75 x2 x y 2 x 3 y 3 y 2 Opgave 1.76 x 3 5 x 3 1 y Opgave 1.77 a 2 3 x 6 a 5 x 18 5 Opgave x3 3 x 2 5a 3 10a 2 x 4 4 x 5 a 3 x 2 Opgave x4 y 3 21x 3 y 4 7x 3 y 3 x a 2x 3y

39 1.9. POTENSREGNEREGLER 39 Grundlæggende Algebra II Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.80 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 16x 2 + 4y xy Opgave 1.81 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. 3 c6 ab a 2 bc Opgave 1.82 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. Opgave 1.83 Reducer følgende. Opgave 1.84 Reducer følgende. a 2 b 6 c a 3 b 3 c (a + b) 2 2ab + b 2 2a 2 a 2 + b 2 2ab a 2 b 2 Opgave 1.85 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. Opgave 1.86 Reducer følgende. 2abc ab + a 2 b (a 2)(b + 5) ab Opgave 1.87 Reducer følgende udtryk. Opgave 1.88 Reducer følgende. (a 2 + b 2 + 2ab)(a 2 b 2 ) (a + b) 3 a 2 b + a 2 + abd + ad a + d

40 40 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.10 Kapiteloversigt Algebraens grundlov 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Kvadratsætningerne (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab (a + b) (a b) = a 2 b 2 Brøkregnereglerne a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b Potensregnereglerne x s x t = x s+t x s x t = x s t (x s ) t = x s t (x y) s = x s y s ( ) s x = xs y y s x 0 = 1 x s = 1 x 1 s x = x s s x t = x t s

41 Kapitel 2 Ligninger I dette kapitel skal vi beskæftige os med ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. F.eks. er en ligning, mens y = x x + y + 1 x y = 2x x 2 y 2 ikke er en ligning. Forskellen er at det første lighedstegn definerer en lighed mens det anden lighedstegn konkludere en lighed. Der er desværre ikke forskel på måden man skriver de to typer af lighedstegn! En anden måde at tænke på er, at forholdet mellem x og y altid er sådan i tilfældet med udtrykket 1 x + y + 1 x y = mens at forholdet mellem x og y i tilfældet y = x + 5 2x x 2 y 2 er, at hvis x = 3 så er y = 8 dvs. hvis x ligger fast (er konstant) så gør y det også. 2.1 Ligningsløsning Når vi siger ligningsløsning så mener vi at man ved hjælp af en eller flere ligninger skal finde den ubekendte. F.eks. find x i ligningen 5x = 15 41

42 42 KAPITEL 2. LIGNINGER Så skal man finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divider vi begge sider med 5. 5x 5 = 15 5 og ved udregning ses at x = 3

43 2.1. LIGNINGSLØSNING 43 Løs ligningerne Opgave 2.1 6x = 3 Opgave 2.2 3x + 4 = 5 x = 1 2 Opgave x + 4 = 5 x = 1 3 Opgave x + 4 = 5x x = 2 3 Opgave 2.5 9x + 4 = 5x x = 8 9 Opgave 2.6 x 2 = 2x + 5 x = 1 Opgave 2.7 5x 4 = 2x + 5 x = 7 Opgave 2.8 7x + 3 = x 5 x = 3 x = 4 3

44 44 KAPITEL 2. LIGNINGER Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det kan man ikke løse ligningen. Istedet kan man isolerer en af de ubekendte, f.eks. hvis man skal isolerer x i ligningen 3y = 5x + 7 dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet. Dette kan man gøre ved først at trække 7 fra på begge sider: 3y 7 = 5x så kommer ligningen til at se sådan ud: nu kan man dividerer med 5 3y 7 = 5x 3y 7 5 så kommer ligningen til at se sådan ud = 5x 5 nu har man isoleret x. 3y 7 5 = x

45 2.1. LIGNINGSLØSNING 45 Isoler x i ligningerne. Opgave 2.9 3x = 6y Opgave 2.10 b = 2 x x = 2y Opgave 2.11 a = 2c x d x = 2 b Opgave q = 3x + 7 x = 2c+ad a x = 2q 7 3 Opgave 2.13 z = 3 x x = 3 z 2 Opgave x = 4x 7 x = 7 4 Opgave 2.15 ax = 4x c x = c a 4 Opgave x = x a+2c x = 1 4(a+2c)

46 46 KAPITEL 2. LIGNINGER Senere skal vi bruge at ligninger på formen y = ax + b, derfor skal vi øve os i at omskrive ligninger så de kommer til at stå på denne form. Eksempel Omskriv ligningen x + 1 y = 3 til formen y = ax + b. Først 2 trækker vi x fra på begge sider x y x = 3 x så kommer ligningen til at se sådan ud nu ganger vi på begge sider med y = 3 x 2 1 y = 2 (3 x) 2 så kommer ligningen til at se sådan ud y = 6 2x nu bytter vi om på 6 og 2x så kommer ligningen til at se sådan ud og så er vi færdige. y = 2x + 6

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/12 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010 Institution Handelsskolen Sjælland Syd, Campus Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012. Institution ZBC Næstved. Uddannelse Hhx. Fag og niveau Matematik C. Lærer(e) Hold Lars Westermann

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer 2hf Matematik C Søren Fritzbøger Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2010 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Mette Engelbrecht

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2015, skoleåret 14/15 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Storstrøm / Næstved Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B Lærer(e) Hold Nils

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hf2 Matematik,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2010 Institution Holstebro Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau C

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 12/13 Institution International Business College Fredericia-Middelfart Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere