9 Eksponential- og logaritmefunktioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "9 Eksponential- og logaritmefunktioner"

Transkript

1 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer 1, Gyldendal Carstensen og Frandsen, Mat1, Systime Historie Logaritmerne blev indført som et rent regneteknisk hjælpemiddel. Svære regnestykker som multiplikation, divison og roduddragning af store tal bliver med logaritme tabeller til regnestykker, hvor man stort set kun bruger addition og subtraktion af nogle talværdier fra logaritmetabeller. Med fremkomsten af lommeregneren i begyndelsen af 1970 erne og computere i 1980 erne har gjort,denne anvendelse af logaritmetabeller overflødig. Hvorfor skal vi så lære om logaritmer? En af de mange grunde er at den omvendte funktion - se evt. side i bog 2 - til en eksponential funktion er en logaritmisk funktion. Der er også mange praktiske opgaver som kun løses af logaritmer. Nogle eksempler på hvor logaritmen bliver brugt er følgende. 1

2 Eksempel 1 - Lydstyrke Som mål for lydstyrke -intensitet- benyttes enheden db (decibel = 1 bel). Lydstyrken defineres som, forholdet mellem den aktuelle lydintensitet I og 10 intensiteten I 0 af den svageste lyd det menneskelige øre kan opfange, og har værdien I 0 = W/m 2. Lydstyrken L er derfor Formlen kan omformes til L = 10 log( I I 0 ) = 10 log(10 12 I) L = 10 log(10 12 I) = 10 (log logi) = logI En lydintensitet på 10 3 W/m 2 giver altså en lydstyrke på L = log10 3 = ( 3) = 90dB Det menneskelige øre er opbygget efter denne skala. Det betyder, at selv en kraftig forøgelse af lydintensiteten ikke opfattes særlig stærkt. Hvis en lydintensitet på I giver styrken L 1 og en lydintensitet på 2 I giver styrken L 2 er: L 1 = log(i) L 2 = log(2 I) Forskellen i lydstyrke bliver; L 2 L 1 = 10 log(2 I) 10 log(i) 2

3 10(log2 I logi) = 10 log( 2I ) = 10 log2 3dB I Man kan derfor sige, at en fordobling i lydintensiteten -lydtrykket i W/m 2 bevirker, at lydstyrken kun stiger med 3 db. Eksempel 2 - Jordskælv Jordskælvets styrke måles ved Richter-skalaen, som er en logaritmisk skala. Formlen er R = log A T + B hvor A er amplituden for jordoverfladens svingninger i µm mikrometer = 10 6 m. ved målestationen. T er periodetiden for jordskælvbølgen i sekunder og B er en konstant, der tager hensyn til jordskælvbølgens svækkelse med afstanden fra centrum for jordskælvet. For en bestemt målestation i en vis afstand fra jordskælvet er B = 6, 8.Jordoverfladens bevægelse er 10µm og periodetiden T = 1 sekund. Jordskælvets Richtertal beregnes som: R = log( 10 1 ) + 6,8 = 7,8 For at finde hvor meget energi der svarer til en bestemt rystelse bruges følgende model: ln(e) = 5,53 R 2,76 3

4 hvor E er måltallet i Joule for den energi der er udløst ved jordskælvet og R er Richtertallet. Kan du beregne hvor stor den udløste energimængde der svarer til en Richterskala på R = 7,8 er? 9.1 Eksponentialfunktioner Potensfunktion: f (x) = y = x a hvor xer den uafhængige variabel og a er et reelt tal. Regneforskriften for eksponentialfunktioner minder meget om potensfunktioner Eksponentialfunktion: f (x) = a x Definition Ved en eksponentialfunktion med grundtal a, forstås en funktion med regneforskriften. f (x) = a x, Dm f R videre. hvor a > 0. Gennemregn nu eksemplerne og vha. GeoGebra, inden du går 4

5 9.1.4 Eksponentialfunktioners egenskaber Eksponentialfunktionen f (x) = a x har følgende egenskaber: 1. Dm f = R 2. Grafen går gennem (0, 1). Dvs. f (0) = 1 3. Grafen går gennem (1, a). Dvs. f (1) = a 4. Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Hvis a > 1 er funktionen voksende. 5. V m f = R + =]0; [ Potensregneregler I afsnit 1.11 bog 1 har vi haft dissre regneregler, men her får vi igen da de er meget vigtige i forbindelse med eksponentialfunktioner. 1. a x a y = a x+y 2. ax a y = ax y 2. a x = 1 a x 4. a x b x = (a b) x 5. ax b x = (a b )x 6. a 0 = 1 7. a 1 = a 8. (a x ) y = a x y I definition hvor eksponentialfunktionen er defineret for a > 0. Grunden hertil er at funktionen bliver diskontinuert hvis grundtallet er negativt. Hvis a = 0 får vi jo funktionen f (x) = 0 x = 0 Grafen for denne funktion er x-aksen og funktionen er derfor ikke en eksponentialfunktion. Se igen evt for eksponentialfunktioners egenskaber. Vi kan altså konkludere at grundtallet for en eksponentialfunktion kan være alle positive tal. 5

6 Lad os nu skitsere følgende eksponentialfunktion hvor grundtallet er 10. f (x) = 10 x hvor a = 10 > 0 altså en voksende eksponentialfunktion. Som ses af grafen er denne funktion skitseret med rød farve. Lad os nu finde den omvendte funktion til eksponentialfunktionen. Vi er sikker på at f (x) = 10 x er injektiv ( prøv at tegne en vandret linje), som også ses af grafen. Kun injektive funktioner har inverse funktioner. For at finde den omvendte eller inverse funktion, skal man ombytte x og y. f (x) = 10 x x = 10 y Hvordan kan vi så isolere y? Det gør vi på følgende måde ved at tage logaritmen på begge sider: log(x) = log(10 y ) = log(10) y 6

7 log(x) = y log(10) y = log(x) log(10) = log 10(x) Disse to funktioner er hinandens omvendte og spejling om y = x. Der er imidlertid to grundtal og dermed to eksponentialfunktioner, som anvendes mere end de andre. Den naturlige eksponentialfunktion: f (x) = y = e x hvor e =2, tals eksponentialfunktion: f (x) = 10 x hvor a = 10 Prøv at skitsere disse to eksponentialfunktioner i samme koordinatsystem, inden du går videre. Lav øvelse vha. GeoGebra Øvelse Bestem grundtallet for følgende eksponentialfunktion f (x) = 2 x x ved at omskrive regneforskriften vha. potensregnereglerne. Løsning: f (x) = 2 x x f (x) = 2 x 2 2 2(1 x) = 2 x x = 2 x x 7

8 f (x) = 2 x 2+2 2x f (x) = 2 x = 1 2 x = (1 2 )x Grundtallet er a = Eksponentiel udvikling Eksponentialfunktioner -eksponentiel udviklinger-, anvendes ofte indenfor så forskellige områder som fysik, kemi,økonomi, etc Definition Ved en eksponentiel vækstfunktion eller eksponentiel udvikling, forstås en funktion med regneforskriften f (x) = b a x x R hvor a > 0 og b > 0. Funktionen skærer y-aksen i (0,b). Dvs. at en eksponentialfunktion er en eksponentiel udvikling med b = 1 Eksempel 3 - Renteformlen Vi forestiller os at vi har 800 kr.(begyndelsesværdien) i en bankkonto med en rente 4% pr. måned (vækstraten). Vi kan nu beregne beløbets værdi til forskellige tidspunkter: Efter 1 måned er værdien: 800 1, 04 = 832. Efter 2 måneder er værdien: 832 1,04 = 800 1,04 1,04 = 865,28 8

9 Efter 3 måneder er værdien: ,04 = 800 1,04 1, = 800 1,04 3 = 899,89 Sådan kan vi åbenbart fortsætte. Efter n måneder er værdien vokset til 800 1,04 n. Hvis ændringen havde været med procenten r skrevet som decimaltal, havde vi efter n måneder fået en værdi på 800 (1 + r) n Tidsrummet måned kunne have været andet - uge, år, minut,sekund osv. I almindelighed bruger vi den mere neutrale betegnelse termin for tidsrummet mellem to ændringer. Hvis man nu betegner værdien efter n-terminer med K n og begyndelsesværdien med K 0,gælder følgende renteformlen. Renteformlen: En størrelse med begyndelseværdien K 0 ændrer sig med procenten r pr. termin. Efter n-terminer er størrelsen da ændret til slutværdien K n, hvor K n = K 0 (1 + r) n hvor r er vækstraten og (1 + r) er fremskrivningsfaktoren. Læg mærke til, at renteformlen ovenover og udtrykket for en eksponentiel udvikling f (x) = b a x i virkeligheden er det samme, fordi f (x) svarer til K n : Værdien til et givet tidspunkt b svarer til K 0 : Begyndelsesværdien 9

10 a svarer til (1 + r): Fremskrivningsfaktoren hvor r = p 100 x svarer til n: Antallet af terminer Eksempel 4 - Fordoblings- og halveringskonstant Eksponentielt voksende udviklinger vokser med samme procent for hver enhed, man går til højre på x-aksen. efter et bestemt antal enheder er en sådan eksponentielt voksende udviklings værdier fordoblet. Dette antal enheder kaldes fordoblingskonstanten. Fordoblingskonstant: Lad os starte med at skitsere en eksponentiel udvikling vha. GeoGebra på følgende måde: Dvs. Her er funktionsværdien f (x+t 2 ) dobbelt så stor som funktionsværdien f (x). f (x + T 2 ) = 2 f (x) Vi indsætter i regneforskriften 10

11 f (x) = b a x f (x + T 2 ) = b a x+t 2 b a x+t 2 = 2 b a x b a x a T 2 = 2 b a x a T 2 = 2 Denne sidste eksponentiel ligning løses ved at tage logaritmen på begge sider: log(a T 2) = log(2) T 2 log(a) = log(2) T 2 = log(2) log(a) Helt tilsvarende beregninger kan gennemføres med ln -naturlig logaritme- dvs. T 2 = ln(2) ln(a) Fordoblingskonstant: Vi ser på den aftagende eksponentiel udvikling. 11

12 dvs. Her er funktionsværdien f (x + T1 2 ) halvt så stor som funktionsværdien f (x), f (x + T1 2 ) = 1 2 f (x) f (x) = b a x Indsættes i regneforskriften b a x+t 1 2 = 1 2 b ax Denne løses på samme måde som før b a x a T 1 2 = 1 2 b ax a T 1 2 = 1 2 Vi tager logaritmen på begge sider log(a T 1 2 ) = log( 1 2 ) T1 2 log(a) = log( 1 2 ) T1 2 = log( 1 2 ) log(a) = log(1) log(2) log(a) = log(2) log(a) Eksempel 5 Hvis en eksponentelt voksende udvikling har en vækstrate på 7%, er fremskrivningsfaktoren 12

13 Så fordoblingskonstanten bliver; a = (1 + p 100 ) = ( ) = 1,07 T 2 = log2 log(1,07) = 10,24 Hvis vi omvendt kender fordoblingskonstanten og ønsker at finde vækstraten r, kan vi vha. a T 2 = 2 finde fremskrivningsfaktoren a = (1 + r) og dermed vækstraten r på følgende måde a T 2 = 2 a = 2 1 T 2 Prøv nu at se på følgende eksempel: a 3 = 2 a = = 1,259 Kontrol (1,259) 3 = 2 Så vi kan nu finde vækstraten r a = 2 1 T 2 = ,24 = 1, 149 a = (1 + r) r = a 1 = 1,149 1 = 0,149 = 49% Vi kan på tilsvarende måde finde fremskrivningsfaktoren for halveringskonstant på følgende måde: a T 1 2 = 1 2 a = (1 2 ) 1 T12 13

14 9.2.4 Øvelse Tegn i samme koordinatsystem grafen for funktionernerne f (x) = x og g(x) = x Forklar resultatet og angiv de to funktioners procenttilvækst. Løsning: Vi ved at en eksponentiel udvikling er f (x) = b a x a = 1 + r hvor r er vækstraten i procent, dvs a = 1 + p 100 1,50 = (1 + p 100 ) 0,67 = 1 + p = p 67 = p p = 50% stigning p = 33% fald Skitsering vha. GeoGebra som følger: 14

15 9.2.5 Øvelse Bestem regneforskriften for den eksponentielle vækstfunktion f som opfylder at f (2) = 4.5 og f (4) = 40.5 Løsning: f (x) = b a x 4.5 = b a = b a 4 Divideres de to med hinanden Regneforskriften bliver 40,5 4,5 = b a4 b a 2 9 = a 2 a = = 3 b = 4,5 a 2 = 4,5 3 2 = 0,5 f (x) = b a x f (x) = 0,5 3 x Du kan evt. også regne denne opgave vha. formelsamling side 20 viste formel y2 a = x 2 x 1 y 1 Regn øvelse inden du går videre. Husk der er facit bag ved bogen til denne øvelse! 15

16 9.3 Logaritmefunktioner Vi så før at eksponentialfunktioner er injektive dvs. de har inverse funktioner som er logaritmiske funktioner. Vi har vist at den inverse funktion til en eksponentialfunktion kaldes en logaritmefunktion med grundtal a. Regneforskriften er f (x) = y = log a x Definition Ved logaritmefunktionen med grundtal a,hvor a > 0 og a 1, forstås den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtal a, og den betegnes f (x) = y = log a x, x > Logaritmefunktioners egenskaber Logaritmefunktionen f (x) = log a x har følgende egenskaber: 1. Dm f = R + =]0; [ 2. Grafen går gennem (1, 0). Dvs. f (1) = 0 3. Grafen går gennem (a, 1). Dvs. f (a) = 1 4. Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende Hvis 1 < a er funktionen voksende 5. V m f = R Prøv nu at sammenligne logaritmefunktioner med eksponentialfunktioners egenskaber dvs og gennemgå beviset på side 53 Bog 2 VIGTIGT: Den omvendte funktion til eksponentialfunktionen f (x) = 10 x kaldes logaritmefunktionen med grundtal 10, og den betegnes 16

17 f 1 (x) = log(y). Vi kan skrive nogle værdier for de to funktioner op: f (2) = 10 2 og den omvendte funktion f 1 (100) = log100 = 2 f (1) = 10 1 = 10 og den omvendte funktion f (10) 1 = log10 = 1 Da grafen for eksponentialfunktionen ligger over x-aksen, er der kun positive tal, der har logaritmer, så definitionsmængden for logaritmefunktionen er mængden af positive tal, værdimængden er alle tal. Dvs, 1. TITALSLOGARITMEN TIL ET POSITIVT TAL ER DEN EKSPONENT, SOM 10 SKAL OPLØFTES TIL FOR AT GIVE TALLET 10 logx = x og log(10 x ) = x 2. DEN NATURLIGE LOGARITME TIL ET POSITIVT TAL ER DEN EK- SPONENT, SOM e SKAL OPLØFTES TIL FOR AT GIVE TALLET. e lnx = x og ln(e x ) = x Logaritmeregneregler Følgende meget vigtige logaritmeregler(både log og ln) kan vises vha. potensregneregler. 1. log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) Bevis: Vi forudsætter i alle disse beviser at x 1 > 0 x 2 > 0 Regel: x 1 = 10 logx 1og x 2 = 10 logx 2 log(x 1 x 2 ) = log(10 logx 1 10 logx 2) 17

18 Regel: 10 p 10 q = 10 p+q log(x 1 x 2 ) = log(10 logx 1+logx 2 ) Regel: x = 10 logx log(x 1 x 2 ) = logx 1 + logx 2 2. log a ( x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) log a (x 2 ) Bevis: log( x 1 x 2 ) = log( 10logx1 10 logx 2 ) = log(10logx 1 logx 2 ) = log(x 1 ) log(x 2 ) 3. log(x n 1 ) = n log(x 1) Bevis: log(x n 1 ) = log(x 1) n = log(10 logx 1) n = log(10 n logx 1) = n log(x 1 ) 4. log( n x 1 ) = 1 n log(x 1) Bevis: Regel: a 1 n = n a 10 1 n = n 10 f orn = = 10 log( n x 1 ) = log(x 1 n 1 ) = 1 n log(x 1) 5. log( 1 x 1 ) = log(x 1 1 ) = log(x 1) Bevis: Regel er bevis 3 log( 1 x 1 ) = log(x 1 ) = 1 log(x 1 ) = log(x 1 ) 18

19 Bemærk, at disse regneregler også at betragte som egenskaber ved logaritmefunktionerne, da disse funktioner er de eneste, som har de egenskaber. Vi har tidligere vist grafen for f (x) = 10 x og dens inverse som er en logaritmisk funktion f 1 (x) = log(x). I det følgende graf vises grafen for den naturlige eksponentialfunktion f (x) = e x og dens inverse funktion f 1 (x) = ln(x) Eksempel - Radioaktivt henfald Radioaktivt stof omdannes - henfalder- til ikke-radioaktivt stof. Den mængde radioaktivt stof, der er tilbage, er altså en funktion af tiden. Vi kan benytte N(t) for denne funktion, altså: N(t) : Mængden af tilbageværende radioaktivt stof til tiden t. Radiaktivt henfald kan beskrives ved funktionen 19

20 N(t) = N 0 a t N(t) = N 0 (e lna ) t N(t) = N 0 e kt = N(0) (e k ) t, t [0; [ hvor 0 < a < 1, t er tiden og fremskrivningsfaktoren a = e k hvor k = lna. N 0 er antallet af aktive kerner til t = 0 N(t)er antallet af aktive kerner til tiden. k = lna er en positiv konstant, der varierer fra stof til stof og den kaldes henfaldskonstanten. På et tidspunkt er halvdelen af den radioaktive stofmængde omdannet til ikkeradioaktivt stof. Vi fandt halveringskonstanten - halveringstiden - til T1 = ln 1 2 ln1 ln2 = = 0 ln2 = ln2 2 lna k k k Vi har her benyttet regnereglen for logaritmen af en brøk og at k = lna Den radioaktive isotop radium Ra har en halveringstid på 1620 år. Dermed kan vi finde fremskrivningsfaktoren a a = ( 1 2 ) 1 T 1 2 = ( 1 2 ) = 0, Henfaldskonstanten k findes af formlen k = lna = ln0, = 0, år Den funktion der angiver den tilbageværende mængde radioaktivt stof efter t N(t) = N 0 a t N(t) = N 0 0, t = N 0 e 0, t Hvis vi tænker os at begyndelsesværdien er N 0 = 1g radioaktivt stof, kan vi vha. GeoGebra skitsere funktionen 20

21 Efter ca 1620 år er der stadig 50% af stofmængden tilbage, det var halveringstiden. Eksempel 6 - Atmosfærisk tryk Lufttrykket ved jordoverfladen er ca pascal - 1 atmosfære - eller 1000 hpa(hectopascal). Trykket aftager i atmosfærens nedre lag (op til ca. 80 km.) eksponentielt med højden og halveringskonstanten er T = 5,76 km. Den funktion f, der beskriver trykket som funktion af højden, har en fremskrivningsfaktor a = ( ) T12,der kan beregnes som a = 0,5 1 T. Regneforskriften er altså: f (x) = b (0,5 1 T ) x = ,5 x T = ,5 x 5,76 I en højde på 8,5 km (Mount Everest) er lufttrykket 21

22 f (8,5) = ,5 8,5 5,76 = 359,6 hpa Vi kan selvfølgelig udregne a = 0,5 1 5,76 = 0,887, så regneforskriften bliver f (x) = ,887 x 1 km. Vi ser heraf, at lufttrykket falder med 11,3 %, når højden over jorden øges med Sætning For logaritmefunktionen med grundtal a gælder Bevis: y = log a (x) = ln(x) ln(a) = log(x) log(a) x = a y log(x) = log(a y ) På tilsvarende måde: log(x) = y log(a) y = log(x) log(a) = log a(x) x = a y ln(x) = ln(a y ) ln(x) = y ln(a) y = ln(x) ln(a) = ln a(x) 22

23 9.3.7 Sætning For eksponentialfunktionen med grundtal a gælder y = a x = e x lna = 10 x loga Bevis: y = a x ln(y) = ln(a x ) = x ln(a) e lny = e xlna y = e xlna På tilsvarende måde: y = a x log(y) = log(a x ) = x log(a) 10 log(y) = 10 x log(a) y = 10 x log(a) Øvelse Tegn grafen for følgende funktion i et koordinatsystem.tegn derefter funktion i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. f (x) = 0,01 x 5,0 x 15 23

24 Løsning: Der er tale om en potesfunktion! x 15 Vi bruger GeoGebra s Function[ ] kommando med definitionsmængden, 0 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem skitseret vha. programmet Graph da GeoGebra ikke kan skitsere logaritmiske koordinater. 24

25 Logaritmisk skala på y-aksen på en potensfunktion giver ikke en lineær funktion! Men logaritmisk skala på begge aksler giver til gengæld en lineær funktion. Enkeltlogaritmisk y-koordinat med fordel anvendes når man har eksponential funktion. Logaritmisk y-akse gør grafen en ret linie når der er tale om eksponential funktion. Det er ikke en fordel at bruge logaritmisk y-akse for potesfunktioner Øvelse Bestem halveringskonstanten eller fordoblingskonstanten for følgende funktioner. a) f (x) = 2 4 x b) g(x) = 4 0,9 x Løsning: Fordoblings- og halveringskonstaner: 25

26 T 2 = ln(2) ln(a) og T1 = ln(2) 2 ln(a) a) Fordobling da a > 1 voksende funktion (fordobling) T 2 = ln(2) ln(4) = 0,5 b) Halvering da a < 1 aftagende funktion (halvering) T1 2 = ln(2) ln(0,9) = 6, Generelt om eksponentielle og logaritmiske ligninger Den første forudsætning, for at man kan løse eksponentielle og logaritmiske ligninger er at man kan løse de tilhørende grundligninger. 9.5 Grundligningen a x = b Løsning af denne grundligning betyder at beregne x-koordinaterne for skæringspunkterne mellem graferne for funktionerne y = a x og y = b. Vær opmærksom på at den eksponentielle grundligning a x = b har en løsning hvis b > 0 da V m f = R + = ]0; [. Se evt. eksponentialfunktioners egenskaber på side 49 i bog Sætning Ligningen a x = b, b > 0 har løsningen x = lnb lna 26

27 Bevis: a x = b Vi tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet ln(a x ) = ln(b) Vi bruger logaritme- og potensreglerne x ln(a) = ln(b) x isoleres x = ln(b) ln(a) Nu skal du gennemregne eksempel 9.5.2, og inden du går videre. Prøv også at overveje, om du har en alternativ løsning til eksempel Øvelse Løs ligningerne a) 3 x = 1 9 b) 1,09 x = 2 c) e x = 7,389 d) 10 x = 3,162 Løsning: Vi bruger logaritme- og potensreglerne a) 3 x =

28 itme? log(3 x ) = log( 1 9 ) log(3) x = log(1) log(9) x log(3) = log(1) log(9) x = 0 log(9) log(3) = 2 Vær opmærksom på at log(1) = 0.Kan du løse ligningen vha. naturlig logar- b) 1,09 x = 2 ln(1,09) x = ln(2) x ln(1,09) = ln(2) x = ln(2) ln(1,09) = 8,04 Kan du også løse ligningen vha. 10 tals logaritme? c) e x = 7,389 Da ligningen en naturlig eksponential ligning, bruges automatisk den naturlige logaritme x = ln(7,389) ln(e) d) Facit x = 0.5 Lav selv! ln(e x ) = ln(7,389) x ln(e) = ln(7,389) = ln(7,389) 1 28 = ln(7,389) = 2

29 9.5.6 Øvelse Løs ligningerne a) 100 1,1 x = 1 b) 2 x 3 = 32 Løsning: a) 100 1,1 x = 1 1,1 x = log(1,1) x = log1 log100 b) x = x log(1,1) = 2 2 log(1,1) = 48,32 2 x 3 = 32 log(2) x 3 = 32 (x 3) log(2) = log(32) (x 3) = log(32) log(2) = 5 x 3 = 5 x = 8 29

30 9.6 Eksponentielle ligninger Først og fremmest skal du gennemregne og forstå eksemplerne 9.6.1, 9.6.2, og inden du går videre Øvelse Løs ligningerne a) 6 x+1 3 2x 1 = 5832 b) 3 1 2x 6 x 1 = 0.75 Løsning: a) Grundmængden er G = R 6 x+1 3 2x 1 = x x 3 1 = 5832 Ganges begge sider med tallet 3 6 x 6 3 2x = Divideres begge sider med tallet 6 6 x 3 2x = x 3 2x = x (3 2 ) x = 2916 (6 9) x = x =

31 Nu har vi en eksponential ligning som kan løses ved at bruge logaritme ln(54) x = ln(2916) Dvs. løsningsmængden bliver x ln(54) = ln(2916) x = ln(2916) ln(54) = 2 L = {2} Ligningen kan løses vha. GeoGebra s Nsolve (numerisk solve) kommando. Grafregnerens solve kommando kan også bruges på følgende måde: solve(6 x+1 3 2x 1 = 5832,x) som giver x = 2 b) Igen er grundmængden G = R 3 1 2x 6 x 1 = 0,75 Ganges begge sider med tallet x 6 x 6 1 = 0, x = 0, x 6 6 x 6 9 x = 1,5 ( 6 9 )x = 1,5 ( 2 3 )x = 1,5 31

32 Nu har vi en eksponential ligning ln( 2 3 )x = 1,5 Løsningsmængden bliver x ln( 2 3 ) = ln(1,5) x = ln(1,5) ln( 2 3 ) = 1 L = { 1} Prøv nu GeoGebra s Nsolve og/eller grafregnerens solve kommando til at kontrollere resultatet inden du går videre Øvelse Løs ligningerne a) 4 x x 24 = 0 b) 4 x 10 2 x 24 = 0 c) 4 x 3 2 x = 0 d) 4 x +3 2 x = 32 Løsning: a) Grundmængden G = R 4 x x 24 = 0 (2 x ) x 24 = 0 Maskeret andengradsligning. Vi sætter y = 2 x y y 24 = 0 y = 2 x 32

33 (y = 2 y = 12) (y = 2 x ) 2 x = 2 2 x = 12 2 x = 2 {/O} Løsningsmængden bliver L = {1} Løs ligningen vha. Geogebra og/eller Grafregner b) Grundmængden er G = R 4 x 10 2 x 24 = 0 (2 x ) x 24 = 0 maskeret andengradsligning, vi sætter y = 2 x (y 2 10y 24 = 0) (y = 2 x ) (y = 12 y = 2) (y = 2 x ) 2 x = 12 {/o} En eksponential ligning. Løses vha. logaritme ln(2 x ) = ln(12) x ln(2) = ln(12) x = ln(12) ln(2) = 3,58 33

34 Løsningsmængden bliver L = {3,58} c) Grafregnerens solve kommando solve(4 x 3 2 x = 0,x) giver følgende løsningsmængde: L = {2,3} Lad os løse ligningen: 4 x 3 2 x = 0 (2 x ) x = 0 (2 x ) x + 32 = 0 Maskeret andengradsligning. Vi sætter y = 2 x (y 2 12 y + 32 = 0) (y = 2 x ) (y = 4 y = 8) (y = 2 x ) 2 x = 4 2 x = 8 To eksponentielle ligninger som kan løses vha. logaritme 2 x = 4 2 x = 8 ln(2 x ) = ln(4) ln(2 x ) = ln(8) 34

35 Løsningsmængden bliver x ln(2) = ln(4) x ln(2) = ln(8) x = ln(4) ln(2) = 2 x = ln(8) ln(2) = 3 L = {2,3} d) GeoGebra s Nsolve giver en fejlmeddelelse som åbenbart betyder at ligningen ingen reelle løsninger har. Grafregneren giver false Prøv at løse ligningen for at se om den har en løsning Øvelse Løs ligningerne a) 2 x x = 5 b ) 2 x x = 5 Løsning: Grundmængderne er begge G = R a) 2 x x 5 = 0 2 x x 5 = 0 Ganges alle led med 2 x 4 (2 x ) x + 1 = 0 Maskeret andengradsligning. Vi sætter z = 2 x 35

36 (4 z 2 5 z + 1 = 0) (z = 2 x ) (z = 1 4 z = 1) (z = 2x ) (2 x = 1 4 2x = 1) To eksponentielle ligninger som løses vha. logaritme ln(2) x = ln( 1 4 ) ln(2)x = ln(1) x ln(2) = ln( 1 ) x ln(2) = ln(1) 4 ln( 1 x = 4 ) ln(2) GeoGebra s Nsolve giver b) = 2 x = ln(1) ln(2) = 0 {x = ln(4) ln(2), x = 0} 2 (x+2) + 2 ( x) + 5 = 0 2 x x + 5 = 0 Vi ganger begge sider af lighedstegnet med 2 x 4 (2 x ) x + 1 = 0 Maskeret andengrdsligning. Vi sætter z = 2 x (4 z z + 1 = 0) (z = 2 x ) 36

37 (z = 1 z = 1 4 ) (z = 2x ) 2 x = 1 2 x = 1 4 To eksponentielle ligninger uden reelle løsninger. Kan du se hvorfor? Logaritmen til et negativt tal eksisterer ikke da logaritmen kun definineret for positive værdier. Se evt. definitionsmængden på side 53 i Bog 2. Løsningsmængden bliver en tom mængde. L = /O 9.7 Grundligningerne ln(x)=b og log(x) = b At løse ligninger af typen ln(x) = b og log(x) = b, betyder at finde x-koordinaterne for skæringspunkterne mellem graferne y = ln(x), y = log(x) og y = b Sætning Ligningen ln(x) = b x > 0 og b R har løsningen x = e b Bevis: Læg mærke til at ln(x) og e x - og dermed log(x) og 10 x er hinandens inverse funktioner og de ophæver hinanden når de anvendes samtidig. 37

38 ln(x) = b e lnx = e b x = e b Sætning Ligningen log(x) = b x > 0 og b R har løsningen x = 10 b Bevis: log(x) = b 10 logx = 10 b x = 10 b videre. Nu skal du gennemregne eksemplerne 9.7.3, 9.7.4, og inden du går Øvelse Løs ligningerne a) log(x) = 6 b ln(x) = 1 2 c) 3 log8x) = 6 d) 1 2 ln(x) = 1 e) log(x + 3) = 2 e) ln(2x e) = 2 38

39 Løsning: Vi husker at finde ligningernes grundmængder inden vi finder løsningsmængderne. a) log(x) = 6 Grundmængden G = R + =]0; [ Løsningsmængden 10 log(x) = 10 6 x = 10 6 Vi prøver at bruge GeoGebra s Solve kommando Solve[lg(x) = 6] som giver {x = } Du kan også bruge grafregneres solve kommando på følgende måde: Solve(log(x) = 6, x) b) ln(x) = 1 2 Grundmængden G = R + =]0; [ 39

40 Løsningsmængden e ln(x) = e 1 2 x = e 0,5 = 1,6487 Vi prøver GeoGebra s Solve kommando Solve[ln(x) = 1 2 ] som giver {x = e = 1,6487} Læg mærke til forskellen mellem kommandoerne for de to logaritmer i GeoGebra lg(x) er 10 tals logaritme ln(x) er naturlig logaritme c) 3 log(x) = 6 Grundmængden G = R + =]0; [ Løsningsmængden log(x) = 2 10 log(x) = 10 2 x =

41 GeoGebra s Solve kommando giver d) Solve[3 lg(x) 6] som giver {x = } 1 2 ln(x) = 1 ln(x) = 2 Grundmængden G = R + =]0; [ Løsningsmængden e ln(x) = e 2 x = e 2 Solve[ln(x) = 2] giver {x = e 2 } e) log(x + 3) = 2 Grundmængden x + 3 > 0 log(x + 3) = 2 (x + 3) > 0 (10 (x+3) = 2) (x > 3) 41

42 (x + 3 = 100) (x > 3) (x = 97 x > 3) Løsningsmængden L = {97} f) ln(2x e) = 2 (ln(2x e) = 2) (2x e > 0) e ln(2x e) = 2 2x > e 2x e = e 2 x > e 2 e 2 + e 2x = 0 x > e 2 x = e(e + 1) 2 x > e 2 Løsningsmængden L = { e(e + 1) } 2 Nu prøver du Solve kommandoen i GeoGebra/grafregner, inden du går videre. 42

43 9.7.8 Øvelse Løs ligningerne a) log(3x + 4) = 0,69 b) ln( x + 2) = 0,03 c) log(1 2x) = 6 d) ln( 1 x) = ln(2) 2 Løsning: Vi løser dem ved at finde både grundmængden og løsningsmængden a) log(3x + 4) = 0,69 3x + 4 > 0 3x > 4 x > 4 3 Grundmænden bliver G =] 4 3 ; [ (log(3x + 4) = 0,69) (3x + 4 > 0) (10 log(3x+4) = 10 ( 0,69) ) (x > 4 3 ) (3x + 4 = 10 0,69 x > 4 3 ) (x = 1,2652 x > 4 3 ) L = { 1,2652} Kontrolleres med solve kommandoen 43

44 Solve[lg(3x + 4) = 0,69] b) ln( x + 2) = 0,03 x > 0 x 0 Grundmængden bliver G = [0; [ (e ln( x+2) = e 0,03 x + 2 > 0) x + 2 = e 0,03 x > 2) x = 0,97 x > 2 /O x > 2 Man kan ikke indsætte minustal ind i kvadratroden! Fællesmængden er løsningsmængden L = /O c) log(1 2x) = 6 (1 2x) > 0 1 > 2x x < 1 2 Grundmængden bliver: 44

45 G =] ; 1 2 [ 10 log(1 2x) = 10 6 (1 2x = x > 0) (x = 0,498 x < 0,5) L = {0,498} d) ln( 1 x) = ln(2) 2 Grundmængden G =]0; [ (e ln(0,5x) = e ln(2) 0,5x > 0) 0,5x = 2 x > 0) x = 4 x > 0 Løsningmæsngden L = {4} Solve[ln(0, 5x) = ln(2)] giver {x = 4} 9.8 Logaritmiske ligninger Prøv at genopfriske reglerne for logaritmer og gennemregn eksemplerne 9.8.1, 9.8.2, og

46 9.8.5 Øvelse Løs ligningerne a) (lnx) 2 2lnx = 0 b) 2log 2 x 3logx = 0 c) log 2 x + logx 2 = 8 d) ln 2 x + 21 lnx 46 = 0 Løsning: Vi finder løsningsmængden vha. logartimereglerne og derefter bruger vi Solve kommandoen til at kontrollere de fundne resultater. a) (lnx) 2 2lnx = 0 Grundmængden G =]0; [ Vi erstatter y = ln(x) y 2 2 y = 0 y(y 2) = 0 Her bruger vi nulreglen y = 0 y = 2 ln(x) = 0 ln(x) = 2 e lnx = e 0 e lnx = e 2 46

47 x = e 0 = 1 x = e 2 Løsningsmængden L = {1,e 2 } Solve[(ln(x)) 2 2 ln(x) = 0] giver {x = e 2,x = 1} b) 2log 2 x 3logx = 0 Grundmængden G =]0; [ Indsættes y = log(x) 2 y 2 3 y = 0 y = 0 y = 3 2 logx = 0 logx = 1,5 10 logx = logx = 10 1,5 x = 1 x = 10 1,5 = 31,62 Løsningsmængden L = {1;31,62} Solve[2 lg(x) 2 3 lg(x) = 0] giver {x = 10 10,x = 1} 47

48 c) log 2 x + logx 2 = 8 Grundmængden G =]0; [ log 2 x = logx 2 = y 2 2y 2 8 = 0 y = 2 y = 2 log(x) = 2 log(x) = 2 10 logx = logx = 10 2 x = 10 2 x = 100 Løsningsmængden L = {10 2,100} Solve[2 lg(x) 2 8] giver {x = 1,x = 100} 100 d) ln 2 x + 21lnx 46 = 0 Grundmængden G =]0; [ 48

49 y = ln(x) indsættes y y 46 = 0 Andengradsligningen kan løses Solve[y y 46] giver {y = 2,y = 23} ln(x) = 2 ln(x) = 23 e lnx = e 2 e lnx = e 23 x = e 2 x = e 23 Løsningsmængden L = {e 2,e 23 } Solve[ln(x) ln(x) 46] giver {x = e 2,x = 1 e 23 } Øvelse I skal lave denne øvelse! Husk grundmængden og kontrol med Solve kommanden! Facit er bag ved i bogen. 49

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Potenser, rødder og logartime

Potenser, rødder og logartime Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008. Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: Collage af foto fra blandt andet: istock.com/chuntise istock.com/ihoe Side 11: istock.com/jamesbenet Side 14: Tegning af

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 0B1. Potenser og potensregler Hvis a R og n er et helt, positivt tal, så er potensen a som bekendt defineret ved: n (1) n

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Susanne Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Laila Knudsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb 1

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2-årig

Læs mere

Lektion 7 Eksponentialfunktioner

Lektion 7 Eksponentialfunktioner Lektion 7 Eksponentialfunktioner Den naturlige eksponentialfunktion ep) = e Andre eksponentialfunktioner a Regneregler ep0) =, ep + y) = ep) epy) Potensfunktioner r En berømt grænseværdi Uegentlige integraler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data En vigtig metode til at få overblik over data er at tranformere dem, således at der fremkommer en lineær sammenhæng. Ordet transformation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution VID Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 9

Undervisningsplan Side 1 af 9 Undervisningsplan Side 1 af 9 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 220 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 9 lektioner pr. uge og Regnar Andersen (RA) 3 lektioner

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016, skoleåret (15/) 16 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC HF-E

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Termin hvori undervisningen afsluttes: maj juni 10 HTX Sukkertoppen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Edel-Elise

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Laila Knudsen 1a ma Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VestegnenHFVUC Rødovre-afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2018 Institution Hansenberg Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Thomas Voergaard

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2011-maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Videndjurs - Handelsgymnasium Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2014/2015 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2Hf Matematik C Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) 1. d Oversigt over gennemførte

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Efterår 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Kamran

Læs mere