"^^^^: W. ^^M .'.-'/I^H. ;jviv;n^.\>*^ \/y'^'^':i.':'^--:0:-- '157 ;N 5 1 ,V^;V. -^x-njmh}^ /. ;. V ^ -^M^iraiR

Transkript

1 -^M^iraiR "^^^^: W. ^^M.'.-'/I^H '157 ;N 5 1 \/y'^'^':i.':'^--:0:-- ;jviv;n^.\>*^,v^;v -^x-njmh}^ /. ;. V ^

2

3 /.^JA2

4

5

6

7 ^ftr^ <La^, 4^^^^. 0'-^^' c^c^'^. OPGAVER 1 ALGEBRA

8

9 OPGAVER ALGEBRA AV DR. NIELS NIELSEN IKIVATDOCE.NT VED KJUBENHAVNS I'NIVERSITET Ml-.IM.EM AF UNDEKVISN[N(,M.SSPEKTI0NEN FOR DE I.^ERDE SKOLER GYLDLNDALSKE BOGHANDEL NORDISK FORLAG KOBKNHAVN 1904 KRISTIANIA

10 TRVKT HOS J. J0RGENSEN & Co. (M. A. HANNOVKK

11 1 'y\ h.! ; FORORD. JN aervaerande Opgavesamling er ikke udarbejdet specielt til Brug sammen med min lige udkomne Lcerehog i Algebra. Stofifet er derimod lagt saaledes til Rette, at Opgaverne ville kunne anvendes sammen med en hvilkensomhelst anden Laerebog i dette ^mne. Af den Grund begynder jeg med en Rsekke Anvendelser af Polynomiet af anden Grad, der f. Ex, i Professor Julius Petersens Laerebog kun omtales yderst sparsomt. Jeg bar ogsaa her, ligesom i min ovenfor naevnte Laerebog, behandlet de komplexe Tals Theori ret tidligt for at vaenne Eleven til at se, hvilke Saetninger der ere gyldige for disse Tal, altsaa almengyldige, og hvilke der kun ere anvendelige paa mere specielle Talformer. Ved Udarbejdelsen bar jeg kun for saavidt folt mig bunden af gaeldende Examensfordringer, som jeg har bestraebt mig for at give Exempler paa de deri omtalte ^Emner. Derimod har jeg tillige hist og her medtaget en Paragraf, hvis Indhold gaar ud over disse Graenser, i. Ex. ij 14 Differensregning, 16 Potenssummer og F'akultetkoefficienter og 30, der indeholder mit elementaere Bevis for en af Gauss's smukkeste Saetninger. Jeg har medtaget disse Ting i Haab om, at det maaske senere hen kunde vaere af Betydning for Eleven, at ban tidligere har set saadanne Methoder omtale.

12 Jag skal saaledes blot naevne, at adskillige mathematiske Studerende bos mig have s0gt Oplysning om en Raekkes Forvandling til Kaedebrok og omvendt. Jeg haaber, at den i 21 givne Behandling af dette ^mne og den der meddelte ret fuldstaendige Litteraturfortegnelse ville give tilstraekkelig Vejledning paa dette Omraade. Kjebenhavn, d. 27. April Forf.

13 INDHOLDSFORTEGNELSE. F0RSTE KAPITEL. Anvendelser af den kvadratiske Ligning. I. Polynomiet af anden Grad. Opg. i 9 i 2. Geometriske Anvendelser af Maximum og Minimum. Opg Ligninger, der indeholde Kvadratrodder. Opg Ligninger, der loses som kvadratiske. Opg ANDET KAPITEL. Endelige Raekker. Annuiteter, Induktionsbeviset. 5. Differensrsekker. Endelige Kvotientraekker. Opg ^ 6. Annuiteter. Opg. 7 ( 80 S 7. Induktionsbeviset. Opg TREDJE KAPITEL. Komplexe Tal. 8. Regning med komplexe Tal. Opg ^ 9. Den binome Ligning. Opg Komplexe Tal som Stedbestemmelser i Pianen Opg FJERDE KAPITEL. Permutationer. Kombinationer. Binomialformlen. 11. Permutationer og Kombinationer. Opt; Saetninger om Tallene A'^ s = I ) ^PS- '43 ^SS Binomialformlen. Opg Differensregning. Opg

14 FEMTE KAPITEL. De hele Tals Theori. Side S 15. Anvendelser af de almindelige Saetninger. Opg S 16. Potenssummer. Fakultetkoefficienter. Opg Saetninger af Euler og Gauss. Opg Talsystemer. Opg SJETTE KAPITEL. Kaedebroker. Ubestemte Ligninger. 19. Endelige Kaedebroker. Opg a 20. Uendelige periodiske Kaedebreker. Opg Kaedebroker med vilkaarlige Taellere. Opg Ubestemte Ligninger. Saetninger af Gauss og Wilson. Opg SYVENDE KAPITEL. Determinanter og deres Anvendelser. 23. Udregning af Determinanter. Opg Anvendelser paa lineaere Ligninger. Opg OTTENDE KATITEL. Algebraiske Ligninger. 25. Ligninger i Almindelighed. Opg Relationer mellem Rodder og Koefficienter. Opg NIENDE KAPITEL. Graensevaerdier. Uendelige Raekker. 27. Graensevaerdier. Opg Uendelige Kvotientraekker. Opg Andre uendelige Raekker. Opg Gauss's Funktion 'yj-(x). Opg

15 F0RSTE KAPITEL. Anvendelser af den kvadratiske Ligning. i:? I. Polynomiet af anden Grad. I. For hvilke reelle Vaerdier af x er.v^ + Z^-^il 3^ 5 [Opgavens Losning maa deles i to Afsnit, eftersom Brokens Naevner antages positiv eller negativ. Er X >> ^, kan man uden videre multiplicere paa begge Sider af Ulighedstegnet med ^x 5; derved faar man 4r" r 15 >> 6.r 10, hvoraf A-> 5 eller x <i i. Den sidste Betingelse er dog ubrugelig, da vi have forudsat x >. Antages dernaest -^ <C f, n^aa Ulighedstegnet vendes, naar vi multiplicere med 3.r 5; derved faas den ny Ulighed X- -\- 2x 15 << 6,f 10, altsaa ^ >;tr>> i. Den forelagte Ulighed vil derfor v^ere rigtig, naar ;ir >> 5 eller naar > r >> i.] 2. Hvilke \"aerdier kan Broken, ^ -r + I ^ x-' + -r + 1 antage, naar x gennemlober alle rt-r/it- X'aerdierr N. Nic'iscii C'p^.ivcr i Alijclira. I

16 [Ligningen _vx^ -\- [y i) x -\- y i = o skal, ifolge vor Forudsaetning, oplost med Hensyn til.r, have reelle Rodder; man finder (1) r = ^~-'' ± t 3J^' + 2/,+ I. \ I 2y ' Storrelsen under Rodtegnet maa derfor ikke vaere negativ; altsaa (2) I >_,>_!. Naar x gennemlober alle reelle Vaerdier, kan den forelagte Brok derfor antage alle mulige Vaerdier mellem I og ^ og ku)i saadanne. Af (i) ser man, at.r ~ o, x = 2 giver henholdsvis y=i,j' = l. Graensevaerdierne (2) kaldes henholdsvis (absolut) Maximum og (absolut) Minimum for Broken y\ 3. For hvilke reelle Vaerdier af a har Ligningen reelle Rodder.? ax^ + (rt + 2).r + «+ 2 =: o 4. Find den mindste Vaerdi af Polynomiet y = ix'- Sx + 7, naar x gennemlober alle reelle Vaerdier. 5. For hvilke reelle Vaerdier af a er Uligheden 4.r- ^ax + ^2 _^ ^^ ^.5 opfyldt for alle reelle Vaerdier af x": 6. Hvilke Vaerdier kan Broken x''- ^ ax -\- b X- -\- ax -\- c antage, naar x gennemlober alle reelle Vaerdier, idet a, b og c ere reelle Tal, der tilfredsstille Betingelsen ^c^ a'^t 7. For hvilke reelle Vaerdier af x er 2x'^ ^x 6 -

17 8. Hvilke Vaerdier kan Broken x'^ + ax ^ a"- r1 ax -\- a- antage for alle mulige reelle Vaerdier af x, naar a er reel og ikke Nul? Hvorledes kan man umiddelbart indse, at Maximums- og Minimumsvaerdierne ere uafhaengige af a: For hvilke reelle Vserdier af x er,= +,+, ^ X- X -^ I -^ 2. Geometriske Anvendelser af Maximum og Minimum.') 10. Blandt alle Rektangler med given Perimeter skal man finde det, der har storst Areal, og blandt alle Rektangler med givet Areal det, der har mindst Perimeter. 11. Del en given Cirkelbue i to andre, hvis Korders Sum er saa stor som mulig. 12. I et Kvadrat deles alle Siderne i en bestemt Omlobsretning i samme Forhold, og Delingspunkterne forbindes. Hvilket er det mindste Kvadrat, der kan dannes paa denne Maade.'' 13. I en ligebenet Trekant med Grundlinien a og Hojden k skal der indskrives det storst mulige Rektangel; find dettes Sider. 14. Bestem Siderne i det storst mulige Rektangel, der kan indskrives i en Cirkel med given Radius r. 15. I en given Cirkel med Radius r skal der indskrives et Rektangel, saaledes at Summen af dettes Areal og Arealet af et Kvadrat, der har en af Rektanglets Sider til Side, bliver saa stor som mulig. 16. Find den storste af de Trekanter, der have en given Perimeter 2s og en given Side a. M Efter en Artikel af Dr. Juel i Nyt Tidsskrift for Mathematik. Bd.4.A.

18 17- Om et Rektangel med Siderne a og b omskrives det storst mulige Rektangel; find Vinklen mellem en Side i det givne og en tilsvarende Side i det sogte. 18. Bestem det Punkt paa en given Cirkel, hvis Afstande fra to givne Punkter have storst (eller mindst) mulig Kvadratsum eller Kvadratdififerens. (19. Givet to Punkter A og B samt en ret Linie. Find det Punkt paa Linien, hvis Afstande fra A og B have det storst eller det mindst mulige Forhold. :20. Konstruer en Trekant, idet a og A ere givne, medens mb -{- iu\ hvor ;// og n ere givne Tal, skal vaere saa stor som mulig. 21. Laeg gennem to givne Punkter en Cirkel, der fra et tredje givet Punkt ses under den storst mulige Vinkel Find den storste Trekant, som en Normal til en Ellipse afskaerer af de to Axer. 23. Paa en Ellipse soges det Punkt, hvis Normal har den storst mulige Afstand fra Centrum. 24. I en given Kugle skal der indskrives den storst mulige Omdrejningskegle eller Omdrejningscylinder; find Hojden. 25. Om en given Kugle skal der omskrives en Omdrejningskegle med mindst muligt Rumfang; find Hojden. 3. Ligninger, der indeholde Kvadratrodder. 26. Under hvilke Betingelser har Ligningen x^ 2{a + b) -r^ -\.[a bf^o fire reelle Rodder? 2j. Find de rationale Vaerdier af x, y og,z, som tilfredsstille Ligningen {x^j^y^- + z'-26)\^'i-{x+y +.z?,)\2 = {x-\-y)z is. _28. Mellem hvilke Graenser maa Broken ax^ + ^^^ + ^ vaere beliggende, naar x gennemlober alle reelle Vaerdier, medens a og b ere to reelle og uligestore Tal.'

19 29- Find x af Ligningen \x -\- ^a^r\x^lb ^\x^ 2a-^\x -\-tb=^o og angiv, hvilken Vaerdi enhver af Rodstorrelserne maa have, for at de fundne Vaerdier af x virkelig kunne tilfreds.stille Ligningen. 30. For hvilken Vaerdi af det reelle og ikke negative Tal a antager Differensen a -r i «sin storste Vaerdi.' 31. Under hvilken Betingelse er \a-^c\~b=\b-^d, hvor a, b, c og d ere rationale, men b ikke deleligt med noget Kvadrat? Ex. ) I Find de rationale Vaerdier af x og y, som tilfredsstille Ligningen,r + J I 8 = I y + yi48 Zx" Find de rationale Vaerdier af x og y, som tilfredsstille Ligningen X -^ y\2 = b~ y ^ ^2_ 2x'\ hvor b er et rationalt Tal. 34. Find X og y af Ligningerne \a-\-x-\-\a-\-y = \ib''-^c'^, xy+a{x+y) ={b-' c^y'- a\ 35. Idet a, b, c, d, e og f ere hele Tal, og c ikke indeholder nogen kvadratisk Faktor, skal man bevise, at de nodvendige og tilstraekkelige Betingelser for Muligheden af Ligningen '^a^b\c^d^e\f ere, at a = p- -f cq-, b = 2pq, hvor P og q ere vilkaarlige hele Tal. Find endvidere d, e og f udtrykte ved c, p og q.

20 ij 4. Ligninger, der loses som kvadratiske. 36. En konvex regulaer Polygon har 2 Sider flere end en anden, og en Polygonvinkel, der er 2 storre end den andens. Find Polygonernes Sideantal. 37. Los fuldstaendig Ligningerne,r'' a*' ~ O og x'^- 65aV -f 6j^a^^ O, efter at Polynomierne paa venstre Side saavidt mulig ere oploste i Faktorer. 38. x^x^ + ^x^ -^ + -> = o Find to Tal, hvis Sum, Produkt og Kvadraters Sum ere ligestore. 40. Fire Tal danne en Proportion; Summen af Yderleddene er a, af Mellemleddene b og af alle Leddenes Kvadrater c-. Find Tallene. Ex. a = 105, b = 208, c = y- + xy =: ax, x'^ j'^ = («-f i)[y x). 42. ;tr2-f (j 3)j' -x{y + 3) = 3, x{y-^i) = 7i ly. 43- x^-+y^-\-.z'^{a + b)\ xy=^\z'- 2ab, xy^-^x'^y^a^ ab^ 44. X + y -\-.z = a, x'^ -\-y"- -f ;:"- = b-, y- = xz\ Ex. a b. 45. ^ + J = - v + - ' 2b{x+y) + x'^-\-y^^a\ X y 46. {x-'-xy+f^{x^-\-f^=22i\{x-^-xy+y^)[x-'-+xy-\-y^) = 27l ;i:2 4xy + jj/2 = 14, 3^'-' ^xy -f 2ji'2 = ,5-1^ 7.0,52^ = ;tr' s *-[-.r' &'^ = <3;' s ^-f «'"g''. 50. x^ ^y = 0,0625, ;rf = t'' sx == xk ^ 7. 2^-2 = ' "^ = 6"^. 54. (5JF)' ^''(5-«')' ^^' = 80, xy = (2.ir)'og^(2j')' sy = 20, x^ sy =o,s- 56. {bxy s^''^ ab.

21 ANDET KAPITEL. Endelige Raekker. Annuiteter. Induktionsbeviset. 5. Differensraekker. Endelige Kvotientraekker 57. Idet Summen af de ;/ forste ulige Tal er s^, Summen af de 11 nsste s., o. s. v., skal man bevise Formlerne i'l S.,.SV; S^ / - I 58. Bestem en Differensraekke af Summen S^ af de n forste Led, Summen S.^ af de ;/ naeste Led samt n. Ex. S.y ^S^, S, = 2;/ Find tre paa hinanden folgende Led i en Differensraekke, naar deres Produkt er i p'-, medens Summen af deres Kvadrater er 3 + 2/2. Ex. /> Find Summen af Raekken ' +r-^ r+r --.^ ;/ I «I w I («0 61. F"ind Summen af de ;/ forste Led af Raekken a-{-{a-^d)-\-{a-\-d-^d,) + {a + 2d-hd,) + hvor Differensen mellem to paa hinanden folgende Led vexelvis er d og d^. 62. Bevis, at de tre irrationale Kvadratrodder ]a, ] b og /c, af hvilke ikke to have et rationalt Forhold, men hvor a, b og c ere rationale, ikke kunne vaere Led i samme Differensraikke. 63. Hvormange Led er der i den Kvotientraekke, hvis Sum er 5,2505, medens forste og sidste Led ere henhoidsvis 2,048 og 7,8125?

22 64. Bevis Formlerne «<^ -^b \ r- = a" rt" - 2 <^ + + ab""- a b n positiv hel. --^ = rt" -1 rt" - 2 <^ + ab"" a -\- b n positiv hel og ulige. a"" ~ b"" 2-f,-~r = «" - ^ ^" - - ^ «<^ - a -\- b n posititiv hel og lige. ^n-l^ 2 _ ^n - 1^ 65. Bestem en Kvotientraekke af Leddenes Antal «, Summen A af torste og sidste Led samt Produktet P af alle Leddene. Ex. «= 12, ^ = 2849, P= 2'''. 66. For enhver positiv hel Vaerdi af n skal man bevise Uligheden ^^. I ;/ Find Summen af de 71 forste Led af Raekken a -\-aq ^ aqq^ + aq'-q^ +, hvor Forholdet mellem tre paa hinanden folgende Led vexelvis er q og q^. 68. Find Summen Jn = rt + («+ ^/) ^ + («+ 2^) q-^- + («-!- {n i)</)^"-». [Multiplicer med q og subtraher.] 69. Bevis, at tre hele indbyrdes primiske Tal ikke kunne vaere Led i samme Kvotientraekke. 70. For n positiv hel skal man bevise Uligheden (2" l) > 2 ( - -') - +2_ Man har almindelig 2? (2P + i) (2? + 1 i) >> 2? 2^] 6. Annuiteter. 71. En Mand saetter i 40 paa hinanden folgende Aar, ved hvert Aars Begyndelse, den samme Sum a paa Rente

23 og Rentes Rente og opnaar derved, at bans Son i de derpaa folgende 20 Aar, ligeledes ved hvert Aars Begyndelse, kan haeve Summen 6a. Hvor stor er den aarlige Rentefod? 72. En Gaeld paa loooo Kr. afbetales med Renter og Rentes Renter ved et vist Antal aarlige Afdrag paa 800 Kr. og desuden et, der er mindre, og som skal betales et Aar efter det sidste af de foregaaende, saaledes at den forste af alle Udbetalingerne sker 3 Aar efter Gaeldens Stiftelse. Hvormange Afdrag ere nodvendige, og hvor stort bliver det sidste? Renten er 4^ % P- ^ 73. En Mand indskyder ved hvert Aars Begyndelse i 10 paa hinanden folgende Aar 1000 Kr. i en Forretning, paa hvilken der aarlig tabes 4 7o- Hvormeget skal ban i de naeste 10 Aar, ligeledes ved hvert Aars Begyndelse, aarlig indskyde i den samme Forretning, paa hvilken der nu aarlig tjenes 6 '^/Q, naar han, efter Forlobet af de omtalte 20 Aar, paa hvilket Tidspunkt Forretningen ophaeves, faar udbetalt ialt Kr. som sin Andel? Hvormeget vilde han paa dette Tidspunkt have ejet, hvis han i Stedet for havde indsat de 20 Udbetalinger i en Bank, der giver 3;^ % P- ^- Rente af Rente? 74. En Sum paa 5678,75 Kr. bortskaenkes i. Januar 1904 paa den Betingelse, at Summen skal staa urort paa Rente og Rentes Rente, indtil der af den aarlige Rente af den saaledes opsparede Kapital hvert Aars i. Januar kan udbetales et Legat paa 365,25 Kr. Hvornaar kan denne Sum forste Gang udbetales? Det derved opsparede aarlige Renteoverskud staar paa Rente og Rentes Rente og udbetales som et s.-erskilt Legat hvert 2ode Aars I. Januar. Hvor stort bliver dette Legat? Renten er 4 % P- a. 75. En Gaeld paa locoo Kr. skal forrentes med 5 7o P- a. Rente af Rente og afbetales ved 20 aarlige Afdrag, det forste et Aar efter Guldens Stiftelse. Naar nu hvert andet af disse Afdrag, nemlig 2det, 4de o. s. v. er paa 500 Kr., hvormeget maa der da betales de ovrige 10 Gauge, naar disse Afdrag ligeledes skulle vaere ligestore?

24 lo 76. En Mand saetter i 10 paa hinanden folgende Aar, ved hvert Aars Begyndelse, en Sum paa Renter til 4 % p. a. Rente af Rente. Den forste Sum er 120 Kr., den anden 220 Kr., den tredje 320 Kr. o. s. v., enhver af Summerne er stedse 100 Kr. storre end den foregaaende. Hvormeget ejer Manden et Aar efter sidste Indbetaling? '/'J. En forgaeldet Greve aegter en Millionaerdatter. Millionaeren, der ikke vil udbetale nogen kontant Medgift, ordner Sagen paa folgende Maade: Grevens Gaeld beregnes ved bans Giftermaal til 2\ Million Dollars; den skal forrentes med 10*^0 p. a. Rente af Rente; der skal aarlig i 10 Aar, forste Gang et Aar efter, betales \ Million Dollars i Afdrag, medens Restgaelden betales som et rentefrit Laan et Aar efter det sidste af de ovennaevnte Afdrag. Hvilken Medgift har Millionaeren da i Virkeligheden beregnet sin Datter ved hendes Giftermaal, naar hun og hendes Mand, indtil hele bans Gaeld er betalt, desuden have haft en aarlig Indta^gt af Dollars ved hvert Aars Begyndelse, medens de og deres Arvinger fremtidig, ligeledes ved hvert Aars Begyndelse, have en aldrig ophorende Indtasgt paa Dollars? Millionaeren faar 5 ^ ^ p. a. af sine Penge. 7^. En Mand har i. Januar 1889 laant Kr., som han skal forrente med 5 ^o Rente af Rente og tilbagebetale ved 15 ligestore aarlige Afdrag, af hvilke det forste forfalder i. Januar De 5 sidste Aar kan han kun betale 800 Kr. aarlig, hvormeget maa han derfor laegge til Side ved Slutningen af hvert af de 10 forste Aar, saa at han ved Hjaelp af den saaledes opsparede Sum kan give de 5 sidste Afdrag den forlangte Storrelse, naar han kun faar 4 o p. a. af disse Penge? 79. En Mand, der ejer looooo Kr., dor i. Januar 1899, paa hvilken Dag bans tre Sonner fylde henholdsvis 20, 15 og 12 Aar. Testamentet bestemmer, at den aeldste Son strax skal have sin Arvepart udbetalt, medens de to yngre Brodre hver skulle have udbetalt nojagtig den samme Sum, naar de fylde 20 Aar, medens der for hver af

25 11 dem, indtil dette Tidspunkt, aarlig skal udredes 400 Kr. ved hvert Aars Begyndelse. Hvilken Sum faar enhver af Brodrene udbetalt, naar Renten er 4^''/,) p. a.? 80. Af en Faestegaard skal der hvert Aars i. Januar, i. April, I. Juli og I. Oktober betales en Afgift paa 200 Kr.; desuden skal der hvert lode Aars 1. Juli betales 2000 Kr. Umiddelbart efter Modtagelsen af en saadan Extraafgift saelges Gaarden; hvilken Kobesum maa Godsejeren beregne sig, naar han vedblivende skal kunne nyde samme aarlige Indtaegt af denne Sum som af Gaarden? Renten, der er 4^% P- a., udbetales hvert Aars i. Januar. 7. Induktionsbeviset. 81. Idet c? > o og n positiv hel, storre end 2, skal man bevise Uligheden (i + «)" > I + «^ + ^^^~-^a\ 82. For enhver positiv hel Vaerdi af «, storre end 3, skal man bevise Uligheden 83. Bevis Formlen (- )"<" cot X,- cot,- 2n-H 1 2 ^ ( I X _. to- I J X, to- 4-, -\ I tc X \ I- 2 ** 2^4 ''4^ ^2"+l *» 2 + V 84. Bevis Formlen I.,. X X X X X sm.jr = 2" + ^ sin,, cos cos cos.... cos :^, 2" + i "+' 85. For Summen,. I I I I S =-. h : sm(^) sm(0 sin(^^ ) skal man udlede Udtrykket X

26 Bevis Formlen IX 5n = sm X q.r cos cos X -7 SI m I V-, I cos cos COS sin ;ir sin 2x Z']. Bevis Formlen sin 2x san^x ' " "' sin {71 i)x sin ;/;f sm sm sm ;r sin 7ix 2 I 4-,1-2 2;ir2 2x^ 2x^ I X- I ;tr* I X^ ' ' ' '. y2 *" ^ _ I 4-,r2 n Find Vaerdien af Produktet 89. Bevis Formlen (I 4--^) (I +x^){i +x^)...(i 4-.r2"). i />4-2.3 {p + 1)-+... /, ^ /, V 71 (71 -\- l).... (71 -\- P) + n{7t+i)...{7i+p~i) = A ^--_^.-:ii^^. 90. Find Summen af de to Raekker costf 4-cos(^ 4-^) 4-cos(rt'4-2^)- - sinrt4- sin(«4-^)4- sin(rt 4" 2^)-l- 4- cos(rt4-(;/ i)^) 4" sin(«4-(^^ 0^)- [Man kan anvende Induktion; lettere er det dog at multiplicere med 2 sin ^d og anvende Formlerne 2cos(«-f.y^) sin^^= sin (a 4- (-^ 4--^)^) sin(«4- {^ ^)^) 2 sin («4- S''^) sin ^^= cos(^ -}-{s ^)^) cos(a 4- (^4- ^)^) for.y = o, I, 2,...., 71 I.]

27 13 TREDJE KAPITEL. Komplexe TaL 8. Regning med komplexe Tal. 91. Beregn numerisk Vaerdi og Amplitude til Tallet 13,6744-/5, Find med den 5-cifrede Logarithmetabels Nojagtighed Summen af de 10 forste Led i en Kvotientraekke med Kvotienten 1,45324-^2,4577, naar det forste af Leddene er I en Differensraekke er ^^ = 4 -f 29, s^^ = 50; bestem Raekken. 94. Find Kvotienten og Leddenes Antal i den Kvotientraekke, hvori ^^ = 2 4- ^-3, «n = iso, Sn = 6i -\- igs. 95. Find Produktet af de 10 forste Led i den Kvotientraekke, hvor a^ = i^aus, q = o, ^o, To komplexe Tal x og y ere forbundne ved Ligningen ay A- b cy +d hvor a, b, c og d tre reelle, og hvor ad bc'^o\ bevis, at X og y samtidig falde over, i eller under de reelle Tals Axe. 97. Anvend Moivres Formel til Summation af Raekkerne i Bevis Formlen, hvor x og y ere komplexe, men 71 positiv hel: Li I x{x-\- 1) x[x^\)...{x-\-n-\)^ J' 7(7+0 7(7+0 (j+2)"^----"^ 7( (7-f'') I /.V (,r 4- i).... (;r 4- «)\ _,,^.,. = I I ; ^ { ^T";-- ) (Jacob Sttrli7iir) y x\ j(j4- i)...(j + «)/ -^ ^^ [Man kan anvende Induktionsbeviset, men det er lettere at benytte Identiteten:

28 14 I y X x[x-\- i)...(,r ±Jj^j) ^ ' y{y-\- i)...:{y J^p) -r (A- 4- I) i^x ^ p \) x{x-\- i)....{x -\-p) y{y+ i)...(j' + ^ I) 7(7+0- (7+/). 99. Bevis Formlen, hvor x er komplex, medens n og r ere positive hele: x(x+i)... (x + /! (x+\)...{x+r+ l) + (.r -i- 7i) [x -{- 7t -\- i)....{x -\- 71 -\- r) = U L \ V r\x{x-\-i) (.r+r i) {x-^7i)[x^n-\-i) {x-{-7i-\-r i)/ Betragt saerlig Tilfaeldene r=i; x ^^ i\ x = r =^ i og find Summerne af alle disse Raekker, naar n voxer uden Graense. (Jacob Stirli7ig.) [Saet i 98 y ^=z X -\- r, og divider derpaa med x{x -\- \)....{x -\- r I).] 100. Bevis Formlen.+0+(-'-t')+(-'T)+--+r+r')=(n" hvor x er komplex, men ;z positiv hel, og hvor vi for Kortheds Skyld have sat a\_a{a \)[a 2)....{a / 4- i) \p) ~ P [Multiplicer i 98 med y -{- p, saet dernaest y = /; en simpel y^ndring af Betegnelserne vil da uden Vanskelighed fore til 100.] loi. Bevis 89 ved i 100 at indsaette en passende positiv hel Vaerdi for x Bevis Formlen ' +, ^^r ,r+i (.r4-i)(2^-f I) {yi i)x-^iy7ix+i) = I I 71X 4- I hvor X er komplex, men n positiv hel. Hvilken Formel faar man for 7i = 00 og j.r >>o? (L. Kiepert.)

29 9- Den binome Ligning Bevis, at X-] er reel, naar.r" = i En Kvotientraekke med ;/ Led har Summen Xul, uden at det forste Led er det; find Kvotienten Bevis Formlen /) a- + /^2 -I- a.^^ \a' -\- b- a hvor a og b ere reelle, og hvor det inderste Fortegn paa bojre Side skal vaere det samme som Fortegnet for b. [Saettes ]a 4- ^b = x -\- iy, hvor x og y ere reelle, faas a = x- j-, b 2xy, hvoraf ved at kvadrere og addere, x'^ + j2 = -f ]«-' +"^.] 106. \/ y 527 / r' 7A'2 +25= Bestem en Differensraekke af ^^ = 2 4" ' 3, ^= i i og Sn = 230 n 30. no. Bevis, at den binome Ligning x" i for «>i altid har primitive Rodder, det vil sige Rodder, der ikke tilfredsstille nogen Ligning af samme Form, men af lavere Grad. [Ligningen x = i har saamange primitive Rodder, som der er positive hele Tal mindre end // og primiske med 71. Sammenlign 216.] 111. Bevis, at, dersom w er en primitiv Rod i.v- = i, kunne alle Rodderne i denne Ligning skrives paa Formen w, (0-, a>', w" Find Summen af p*^ Potenser af alle Rodderne i Ligningen X" I = o, naar p er et vilkaarligt belt Tal Find de primitive Rodder i Ligningen x- 1= Find de primitive Rodder i Ligningen.r?" 1=0, hvor p er et Primtal.

30 i Cotes's Saetning. I en Cirkel med Centrum i Begyndelsespunktet 0 og Radius r indskrives en regulxr w-kant A^ A., A.^... A^, saaledes at A^ falder paa de positive Tals Axe; M er et Punkt i samme Axe, saaledes beliggende, at OJll = x'^ r. Bevis da Formlen: [Vinkelspidserne Ap og An~-p + i ere symmetrisk beliggende med Hensyn til de reelle Tals Axe; altsaa JlAp = J^fy^n-p + i- Af Figuren faas imidlertid eller 2/71' MAp- = x^ xr cos 71 3Hp-'= (.,-^(cos''^^+;sin^^-])(^-^(cos ^^^^-.-sin"'*'')). og dermed er Saetningen bevist.] 116. Bevis, at det er muligt at skaffe Broken n,, «.,, >i p ^«1 + I «2 + + I ^1' rational Naevner, naar Tallene a^^a.,..,. a^ ere rationale, medens ikke to af de p Rodstorrelser have et rationalt Forhold. Exponenterne 7t^ n.^ ^ ere alle positive hele Tal. {C. Juel.) [Betegner 7n mindste faelles Multiplum for «j, ;/.,,...., Wp, kan ovennaevnte Broks Naevner skrives paa Formen (.) 7^ + 7^0 +?:^p, hvor Tallene A^ A^.... Ap paany ere rationale. Betegne dernaest f^ i.^.... p vilkaarlige Losninger af Ligningen x'" = i, og multipliceres i Brokens Taeller og Naevner med alle m"^ i forskellige Faktorer af Formen m /- - m / - m, - h\a,+, VA., +...+ep\/ap, der ikke indeholde Kombinationen f^ = f.^ =r.... =fp = i, maa Naevneren i den ny Brok vaere rational; ti denne

31 17 Naevner bliver uforandret, hvis man for en vilkaarlig af Rodstorrelserne («), f. Ex. yat, indssetter enhver anden af dens fti Vaerdier. Denne Rodstorrelse kan derfor kun forekomme oploftet i Potenser, hvis Exponenter alle ere delelige med?«; dermed er Saetningen bevist. 10. Komplexe Tal som Stedbestemmelser i Pianen Find det geometriske Sted for a -]- x og for a. x, naar a er et givet komplex Tal, medens det komplexe Tal X gennemlober en given Kurve To komplexe Tal x og y ere forbundne ved Ligningen x^ -\- X :^y; bevis, at.r gennemlober en ligesidet Hyperbel, naar y gennemlober en ret Linie. [Saettes x=^-\-iri, y = u-\- i, faas 52 ^^2 _ _ _^^^ 2»; - -»; ^. Lade vi nu den rette Linie have Ligningen (3=1, bliver Stedet for x den ligesidede Hyperbel 2(l4-i)^= I.] 119. To komplexe Tal x og y tilfredsstille Betingelsen x=y--\-y\ bevis, at x gennemlober en Parabel, naar y gennemlober en ret Linie De komplexe Tal x og y ere forbundne ved Ligningen x^ = y; find det geometriske Sted for x, naar y gennemlober en ret Linie To komplexe Tal ere forbundne ved Ligningen x=y'-; find det geometriske Sted for x, naar y gennemlober en ret Linie Naar x~y = i, skal man finde Ligningen for det geometriske Sted for x, idet y gennemlober en ret Linie Find det geometriske Sted for de komplexe Tal x, der tilfredsstille Betingelsen \x a\=k.\x b\, hvor a og b ere faste komplexe Tal, medens k er en given reel Konstant En ret Linie L gennem Begyndelsespunktet 0 skaerer de to rette Linier L^ og Z.> med Ligningerne y = ax-\-p, y = ^x -\- q i to Punkter, hvori de komplexe Tal x^ og N. Nielsen : Opgaver i Algebra. 2

32 i8 x^ afbildes. Bevis, at, naar L drejer sig om (9, bliver det geometriske Sted for Tallet x-^x.-, en Hyperbel, undtagen hvis i o. Z?zf Z^, hvor Stedet bliver en Parabel, og 2^. Z^ J_ Z2, hvor Stedet bliver to rette Linier To komplexe Tal x og y ere forbundne ved Ligningen xy = a'-, hvor a er en reel Konstant. Bevis, at x vil gennemlobe Cirklen 'I naar y gennemlober den rette Linie qn 4- Pt^ = p^ Bevis, at en ret Linie gennem O er den eneste algebraiske Kurve, der har den Egenskab, at Summen af to komplexe Tal, der afbildes i hvilke som heist af dens Punkter, paany forer til et Punkt af Kurven. [Man ser strax, at ovennaevnte rette Linie har denne Egenskab. Antages det nu, at en algebraisk Kurve K af 71^"^ Grad havde samme Egenskab, traekke vi gennem 0 en ret Linie L, der skaerer A' i et fra O forskelligt Punkt, hvori Tallet x afbildes. Punkterne, der svare til Tallene x, 2x, 3X, 4X,...., maa derfor alle vaere Skaeringspunkter mellem L og K\ men dette er umuligt.] 127. Bevis, at Cirklen med Centrum i O og Radius i er den eneste algebraiske Kurve, der har den Egenskab, at Produktet af to komplexe Tal, der afbildes i vilkaarlige af dens Punkter, paany forer til et Punkt paa Kurven To komplexe Tal x og y ere forbundne ved Ligningen = V <-, X a y a hvor a, b og c ere faste komplexe Tal. Bevis, at hvis X gennemlober en Kurve gennem a med en bestemt Tangent i dette Punkt, vil det samme vaere Tilfaeldet med y. Find endvidere Vinklen mellem de to Kurvers Tangenter i a.

33 [Saettes 19 x a = r (cos v 4- i sin v\ y a = Q (cos e -\- i sin 0), b = r-^ (cos?^ 4- / sin «), ^ = / -f /^, faar man.. cost/ r.,,, sin7- r.., (0 - y- = ~ cos (0 Ji) 4-/, ^ r= ~i sin ( «) ^, hvoraf ved Division / \ ^ / \ sin z> 4- ^^ 2 tg{e 7i)= ^ \. cos 7^ rp Af (i) ser man, at r og o samtidig maa naerme sig til o; de to Kurver gaa derfor begge gennem a. Hvis nu V naermer sig til en bestemt Vaerdi, naar r aftager mod o, faas af (2): o u = z' -\-pit, saa at de omtalte Tangenter danne Vinklen?/.] 129. Gennemfor en lignende Undersogelse som i 128, naar X og y ere forbundne ved Ligningen I b,..,, = ^ -\- c, n positiv hel. ^ ^ yjy a 130. Gennemfor den til 128 svarende Undersogelse, naar X a {y a) hvor 71 er positiv hel To komplexe Tal x og y ere forbundne ved Ligninger* ay + b x = ". cy-\-d hvor a, b, c og d ere konstante, saaledes at ad be ikke er Nul. Bevis, at x gennemlober en Cirkel, naar y gennemlober en ret Linie. [Man faar a be ad i x = - c + ' c cy 4- d' saettes derfor, be ad \. a, x^ z= cy -\- d, x.y = I > laas x = r x^, x^ c saaledes at Saetningen er en simpel Folge af Laeren on* Inversion.]

34 Den i 131 definerede Afhaengighed mellem x og y kaldes en lineaer Transformation. De Punkter af Pianen, hvori yogx samtidig afbildes, kaldes Transformationens Dobbeltpunkter; hvorledes udtrykkes da de i Dobbeltpunkterne afbildede Tal ved a, b, c og d} FJERDE KAPITEL. Permutationer. Kombinationer. Binomialformlen. II. Permutationer og Kombinationer.i) 133. Uden at kende Udtrykket for Pn,s skal man direkte bevise Ligningen Pn = /*n,n i Bevis, at Ku,s er lig med Antallet af Permutationer, der uden Gentagelser kunne dannes af 71 Elementer, af hvilke de s ere ens og de ovrige ;/ s ligeledes ere ens, men forskellige fra de ovrige. [Numerere vi de «Pladser med Tallene i, 2, 3,...., w, bliver Antallet af Permutationer lig med det Antal Maader, paa hvilke vi kunne udtage s Pladser af de 71 og paa dem anbringe de s ens Elementer, medens de ovrige Elementer stedse anbringes paa de tiloversblevne ;/ s Pladser.] 135. Hvorledes kan man finde Pn,s ved at betragte Permutationer uden Gentagelser af 71 Elementer, af hvilke de 71 s ere ens, men forskellige fra de ovrige? ^) Pn,s betyder Antallet af Raekker, der kunne dannes af n forskellige Elementer med s i hver, uden Gentagelser; Gn,s betyder det tilsvarende Antal med Gentagelser, medens vi kort saette PD,a= Pa, og Ka.s betyder Antallet af Kombinationer, der, uden Gentagelser kunne dannes af n forskellige Elementer med s i hver.

35 136. Find Ka,5 ved at betragte de Crupper, der indeholde et bestemt Element, og derpaa anvende den fra Bestemmelsen af P^^, P ^s og G,s kendte Methode Bevis Formlen Gn + h,n = Ga,n + A^,i Ca.n - 1 (^b.i ^n,s^a,n-s^b,s <^b,n, hvor a og b ere positive hele Tal. [Vi danne Permutationer med Gentagelser af ^ 4- /' Elementer; det Antal, der indeholder w s af de a og.y af de <^ Elementer, findes, idet man paa alle K,^ mulige Maader udtage s Pladser af de «og paa dem permutere de b Elementer, medens de a Elementer permuteres paa de ovrige n s Pladser.] 138. Bevis Formlen -^ a-(-b,n - -t a,n i -n,i-* a.n l-* b,l 4"... + J^o,sPa,n - sph,s " Bh^o Find Antal, Sum og Middeltal af de virkelig locifrede Tal, i hvilke de tre forreste Cifre ere ens, medens alle de ovrige ere indbyrdes forskellige og forskellige fra de tre forste Find Antal, Sum og Middeltal af de virkelig 7cifrede Tal, hvori hvilke som heist to Cifre, der staa symmetrisk med Hensyn til det midterste, ere ens Paa Liniesegmentet A^An + i afsaettes Punkterne A.,, A^, A^,..,., Aa i den angivne Orden; over hvert af de saaledes dannede Ka,2 "y Liniesegmenter tegnes en Halvcirkel. Paa hvor mange Maader kan man ad den kortest mulige Vej gaa paa hele Halvcirkler fra A^ til ^n +1? 142. Af Tallene I « « n-\- I «4" 2 «4-3 2«I

36 22 dannes alle de Summer, der indeholde et og kun et Tal af hver vertikale og af hver horizontale Raekke. Hvor mange saadanne Summer kan der dannes, og hvor stor bliver enhver af dem? 12. Ssetninger om Tallene Kns = \s)' 143. Hvis 71 er et Primtal, og o<cp<c.^i, skal man bevise, at ( ^ j altid er delelig med TZ Bevis Formlen 145. Bevis Formlen 146. Bevis Uligheden 2) (;) ':>7i^\~ ^--, ^ rrl' P>2. ^ \p! 271 {p 2)\) ^ = [Man finder ved Induktion, at {._LV,_^V...f,_/ril')>i_'+^+3+--+/^ \ 7 l ) \ 7 l j \ 71 I n Bevis Formlen ;)=r7')+(;z?)+...+f-^ 148. Bevis Formlen ov(;v(2)---+(-o^(:)-(-o^^'^-^ A. I T^pl \P Ex. 71 = p. ') I det folgende ville vi udelukkende bruge Betegnelsen 1^1 i Stedet for A'n,s; I I betyder stedse i. ^) p\, hvor / er positiv hel, betyder stedse Produktet /; undertiden bruge vi endvidere Betegnelsen o! = i.

37 149- Bevis Formlen 23 rti=(:)0+u,)({)+----+(oho Hvilken Formel udledes af 138 ved at dividere med wl? 151. For Summen 5.=(o)+0+(;') skal man bevise Formlen 152. Bevis Formlerne On - 2On j ^^^ 2. (oi+e)+(:)+.-=(:)+(3)+(?+...=^ Find Summen af Raekken I! («I)! ' 2! (;/ 2)! ' ' («I)! I! 154. Find Summen af Raekken o! «! 2\ (n 2)! 4! («4) 1 der ender med Naevneren «! ol eller («i)! i!, eftersom 71 er lige eller ulige Ssettes almindelig /x\ x{x i)...{x r+i) (x^ \r) = it2^..ttr ' lo.) = '' hvor X er komplex, skal man bevise Formler analoge med 145, 147, Binomialformlen Bevis, at Differensen [a-\-by {a -\-b ) altid er delelig med ab; a og b ere hele Tal, medens 7i er positiv hel Bevis, at hvis w er et Primtal, medens ^ og ^ ere hele Tal, er Differensen {a 4- b)" («" 4- /;") altid delelig med 71.

38 Idet a, b og c ere rationale Tal, men c intet Kvadrattal, skulle Potenserne {a ^b \ ^)", hvor 71 er positiv hel, bringes paa Formen A ±BA, c, hvor A og B ere rationale Idet a, b og c ere vilkaarlige hele Tal, skal man bevise, at en Potens med positiv hel Exponent af et Tal af Formen a'^ b^c paany bliver et Tal af samme Form. Hvilke specielle Saetninger udledes heraf ved at saette ^ = + i? 160. Bevis Formlen i 149 ved at soge Koefiicienten til x^ i begge Led af Identiteten (i 4- ;ir) (i 4-.r)P = (i 4-.J:)" + P Hvilken Formel udledes ved at sammenlige Koefificienten til x^ i begge Led af Identiteten (i 4- xy + (i + xy+^ 4- + (i +,r)"+p =: _(T 4- ;ir) + P-»-i (i 4- xy^ Ex. p = Hvilken Formel findes ved at anvende Binomialformlen paa [a by, hvor a ^ i -\- x, b =^ x og derpaa soge Koefficienten til x^ paa begge Sider af Lighedstegnet? Ex. S ^ Idet 71 og p ere positive hele Tal, og a'^o, skal man bevise Uligheden 164. For enhver positiv hel Vaerdi af TI skal man bevise Uligheden X ('-^^) >(' + 3'"' ""'" ''>^- o+f^y>^- 1 [For 7i = I, 71 = 2 ser man strax, at Uligheden er rigtig; for hojere Vaerdier af TZ anvendes Binomialformlen; Summen af dennes forste fire Led vil da altid vaere storre end 7i.] 165. For enhver positiv hel Vaerdi af 71, storre end 2, skal man bevise Uligheden n+l. )/«> T/«+ I.

39 166. Idet n er positiv hel, skal man bevise Formlerne sin {27ix) = [a(^ m^''-^x-\-a.ysav^^-'^x-\ rt.^n-2sin^)cos;ir sin(2w- -i).i;= b^sxr^'^^'^x-^b^ sin2 -\r4- -\-bi^ sin ;r, hvor Koefificienterne a^ og b^ ere hele Tal For de forste og sidste Koefficienter i 166 skal man udlede Udtrykkene ^0 ~ 2^" - 1, ^0 =r 2'", Ui^ _2 = 271, b,n = I Polynomialfcrmlen. Idet n er positiv hel, skal man bevise, at Potensen («i 4- ^2 + ^3 + + ^p)"» hvor Tallene a^, a^,..., ap alle ere forskellige, bliver lig med Summen af alle mulige forskellige Led, der kunne dannes af Formen («) VVTT^ Ti ""i"' '''^' ""p'"' hvor de hele og ikke negative Tal s^ S2.. Sp, af hvilke flere kunne vaere ligestore eller Nul, bestemmes saaledes, at jj 4- S'2 + -^ ^p = ^- De numeriske Faktorer i («) kaldes Poly7iomialkoefficie7iter Hvor stor er Summen af alle Polynomialkoefficienterne i 168? 170. Bevis, at Summen JZnp af alle de i 168 forekommende Polynomialkoefficienter, i hvilke intet af Tallene s^^s.^ Sp er Nul, udtrykkes ved Formlen (0 -^^n.-(^)-/"-(^)-(/-0" + ({)-(/-2)"- + (-0''-^(;.^i)-i"- [Summen af alle de i 168 forekommende Polynomialkoefificienter bliver />"; for at finde J2n,p maa vi imidlertid herfra traekke de Summer, der dannes som J2n,p, men hvori I, 2, 3,...., p I af Tallene s ere Nul. Nu kunne q af Tallene s-^ s.,.... Sp udtages paa [ \ forskellige Maader, medens enhver af de Summer, der dannes ved at lade en saadan Gruppe paa q Tal vaere Nul, netop bliver -Qn,p_q. Derved finder man Formlen

40 26 (2) I /2n,p = /" - ({) i2,p (2) -^-".P (.^O-.'- Formlen (i), hvis Rigtighed strax indses for p ~ 2, udledes nu af (2) ved Induktion under Anvendelse af 144 og 148.J 171. Hvilke Formler udledes af 170 ved at saette p 71 eller p r=z n -\- i? 14. Differensregning Differensen Af[x) =f{x-\-1) /{x) kaldes forste Differens af/{x); anden Differens a( /{x), der betegnes ^Y{x), dannes paa samme Maade af ^/{x); altsaa J-f[x) = jf{x-\-i) ^f[x). Analogt hermed defineres Differenserne af hojere Orden, saa at J f{x) = J Y{x -\- 1) j"~y{^)- Bevis da Formlen (0 jy{x) ==f{x + 71) - l^)f[x +«-!) + + /(^ + ;. - 2) (- 0" 0/(^), der formelt minder om Binomialformlen Bevis Formlen f{x + «) =f(x) + (^) jf(x) + (3 z(y w +..., 174. Bevis Formlen + (") ^"/W- 7l\ _y_jl^ (2) X[X -\- \)....{X -{- 71) X X -\- I X -\- 2 * (- 0" 0 + X -j- 7! [Dan J - dels direkte og dels ved (i) i 172.]

41 Bevis Formlerne j x = n\, z/" + P;ir = O 176. Idet f{x) = «o^ 4- a^x'' -1 + a.^x"" ^n _,4.- -f a, skal man bevise Formlerne j-f[x) =n\a^, A-^^f[x) = 0, hvoraf en Msengde andre kunne udledes Bevis Formlen (o) "' - (") («- " l' + (2) (» - 2)- - -K-0-'( ^,)i' = o, hvor det positive hele Tal p er mindre end 71. Sammenlign Bevis Formlen (o)(0-(:)rr)+ ft^)-.- +(-.H:;)(^t")=o. hvor 71, p og r ere positive hele, og hvor r<:in Find «*' Differens af Funktionen ~, r ; - ^^ x{x+ i)...{x+p) 180. Bevis Formlen, hvor/>«: "^"'^' = (o) -^".o-^p "" + 0 -^".i^^ -" ^ V/ 7t) -^-"'P - "' hvor J2n,p er det i 170 Formel (i) definerede Tal. Sammenlign Saettes almindelig y {-iy\p){x-2p) P {x p){x p \)... [X P 771) skal man bevise Formlen (0 ^0+ l\-\-v^ V^ = o.

42 [Man faar almindelig 28 /w\ n7i i\ y ^ ( \y\p) { YYni\p \) ^ {x p i) [x p m) [x~p) {x p m)' hvorefter (i) bevises ved Anvendelse af 179.] 182. Saettes almindelig y (- 0^ (P (^ + 2/)^-- ^ ''' (^+/)(^+/>+ l)...[x-^p-\-7l) hvor 71, p ogs ere positive hele, skal man bevise Formlerne (0 K = K.i + Kx + K.i F,i = o (2) XI = Vo,s + F,,s + ^2, F'n.s = O,.y < 71. [Formlen (i) bevises paa samme Maade som (1) i 181; antages dernaest X^'~J = o, faas ved en lignende Omskrivning som for XI ^{x + 27iy-Xl - \ hvoraf XI = (;r 4-27tf' - ^X\, hvorefter det fuldstaendige Induktionsbevis for (2) let fores.] FEMTE KAPITEL. De hele Tals Theori. 15. Anvendelser af de almindelige Saetninger Bevis, at Produktet ;^ (^/ 4-0 («+/ 2) (i + (/ I) 71), hvor II er positiv hel, og hvor p er et Primtal, altid er deleligt med / Bevis, at Tal af Formen a^ i, hvor a og p ere positive hele, i hvert Fald ikke kunne vaere Primtal, med mindre a = 2, og p selv er et Primtal.

43 Hvis p er et Primtal, er Tallet 2P i kun deleligt med Primtal af Formen 2rp + i, hvor /- er positiv hel. (Fermat.) 186. Naar a er positiv, hel, er a^^ ^ axx^^ deleligt med Hvilke Primtal gaa altid op i a''^ a, naar a er positiv hel? 188. Hvis / er et Primtal, der ikke gaar op i det hele Tal a, haves altid Kongruensen «P(P D i ::o (mod. p"-^), eller med andre Ord, Tallet paa venstre Side er deleligt med /-, [Anvend Binomialformlen paa (ap~ ^ I)P og sammentraek de Led, der have ligestore Binomialkoefficienter.] 189. Fuldkomne Tal. Et positivt belt Tal p kaldes et fuldkomment Tal, naar det er lig med Summen af alle de af dets Divisorer, der ere mindre end / selv. Bevis, at Tal af Formen 2 (2 + i i) ere fuldkomne Tal, naar 71 er positiv hel, og 2 +^ i er et Primtal Hvis p er et Primtal, og a=p\ a^=p'-\ «2 =/=-!(/ I), altsaa a ^ a^ -\- a^, skal man bevise, at det hele Tal (a!) : {a^\ a.y\) er deleligt med/, men ikke med nogen hojere Potens af dette Primtal. Ex. p Bevis, at Summen af Kuberne af to paa hinanden folgende Potenser af 2 enten er et Kvadrattal eller det dobbelte af et Kvadrattal Hvilke Kvadrattal findes der af Formen 2 4- i? 193. Summen af et vilkaarligt Antal af Talraekkens forste ulige Tal er som bekendt altid et Kvadrattal; hvorvidt kan Summen af andre paa hinanden folgende ulige Tal have samme Egenskab? 194. Bestem de positive hele Vaerdier af a, for hvilke Ligningen ix^- -^ [\6 2a) x \- 12 ^2 o har rationale Rodder.

44 Bevis, at 7i\ er delelig med 271, naar ;/>> 2, og med 271 -{- I, saafremt dette Tal ikke er et Primtal, og n^ Bestem de positive hele Vaerdier af x og y, som tilfredsstille Ligningen x [x -^ y) = py, hvor p er et givet positivt belt Tal Idet p ikke har nogen kvadratisk Faktor, skal man finde den almindelige Form for de tre hele, indbyrdes primiske Tal a, b og c, som tilfredsstille Ligningen 16. Potenssummer. Fakultetkoefficienter Antages TI og p positive hele, og saettes 5n,p = IP + 2P 4-3P + + ^P, skal man bevise Formlen (0 (;,+ l)p-hl_(;,-l-l) = (^+^Xp + (^+')5,p_i4-. [Saet i Identiteten efterhaanden x = \, 2, 3,...,71, saaledes dannede Ligninger.] 199. Bevis Formlerne og adder alle de _TI[TI + 1) _?l{tl + l){27l-\-l) _7t^[7l^lY On,i ' On,2 g ' 00, Bevis, at man almindelig for Sa,^ faar et Udtryk af P'ormen ^n,p = «p,0. «P + ^ + «p,i.tl^-\- + «p,p. 71, hvor Koefiicienterne ap,, ere rationale Tal, der ale7ie afhaenge af/>, derimod ikke af TI.'^) ^) Man kender intet simpelt almengyldigt Udtryk for Koefificienterne ap,s. Se min Afhandling i Annali di Matematica: Recherches sur Its poly names et les nombres de Stirling. Milano 1904.

45 ( For de to forste Koefficienter i 2CO skal man udlede Udtrykkene 202. P'ind Summen af Raekken I _ I ^P,o = ^^Ti' ''P'l ^ 2 " I (;/ - I) + 2 («2) 4-3 («3) + + /> («P\ 203. Siderne i et Kvadrat deles i n ligestore Dele, og Delingspunkterne forbindes ved Linier parallele med Siderne. Hvormange Kvadrater danne de saaledes fremkomne Linier ialt? 204. Bevis, at 71^ er lig med Summen af «paa hinanden folgende ulige Tal og angiv det forste og det sidste af dem Fakultetet afri^^orden. Saettes identisk f x{x-^ x)...{x^7t-\)=clx-^c\x ^^... \ j^c\x^-v^..,,^^cl-\x, faas C\=^\, medens C\ bliver Summen af alle de ( ^ ) Produkter, der kunne dannes af/ forskellige Faktorer, valgte mellem Tallene i, 2, 3,..., 71 i. Produktet paa venstre Side af (i) kaldes et Fakultet af w'' Orden, medens de positive hele Tal C\ kaldes Fakultetkoefficienter eller Stirlingske Tal af «'' Orden. For disse Tal skal man bevise F'ormlen (2) Cl = Cl_^^{n-i)Cl-_\ Bevis Formlen ;z(w + l)...(;?4-/)_^or. 1/-1C. 1/-P-IC. I J t-podp-t-c.pon,p_i-^-...-t-op On,i Idet/ er positiv hel og hojst lig med 71 i, skal man bevise Formlen 208. Bevis Formlen, hvor / < «i: O +O "'+<^>"-*+-.--=^/(/+0--.(/+«-0-

46 Bevis Formlen, hvor p <n i ^0^ ir^c, /-*c. _/(/ + i)..--(/ + ^) ^n^p,n"r^n^p'n-2"r^n^p-"-4'r - 3 (;^ 4" I) 210. Bevis Formlen, hvor ;/>/: C^ ^ 1 ^n,p ^n + 1 '^" P ^ n + 1 '-^ 'P "2 ' ' ' + (- 0^-^ ^r;;^n,l + (- 0^/^nV. = o. [Anvend Newt07is Formler; se min LcEvebog i Algebra 14.] 211. Bevis Formlerne i) 1 _7i[n -f i) 2 _{n \)n{7i \- \){37i 4-2) ^n-hl- 2 ' ^n + l - 24 ^3 _ (;>g 2){7l \)7l'-[7t 4-1)2 + l~' Hvis / er et Primtal, og q et positivt belt Tal, der ikke er deleligt med / i, skal man bevise Formlen 5p_i,q:i^o(;«od./) Hvis q er deleligt med / i, og / er et Primtal, faar man Formlen 214. Bevis Kongruensen 5p_i,q = I (mod./). C:^EEEO(mod. /), naar / er et Primtal og q <!/ i Wilsons Saetning. Hvis / er et Primtal, skal man bevise Kongruensen C\~^^ \ (mod./) eller (/ i)! + 1 ::EO(mod./) Hvi.? 2q \- \ ^r et Primtal, skal man bevise Kongruensen (^!)2 ( i)q = o(mod. 2q -\- i). [Anvendes Kongruensen [2q -\- \ r) r = r'^ (mod. 2^ 4-0> ferer Wilso7is Saetning strax til Maalet.] ^) Det almindelige Udtryk for Fakultetkoefficienten C*^, j kendes ikke under simpel Form; se min paa Side 30 citerede Afhandling.

47 Saetninger af Euler og Gauss Eulers Saetning. Betegner qp (;/) Antallet af positive hele Tal, der ere mindre end 71 og primiske med «, hvor Tallet ;/ oploses i Primfaktorer paa folgende Maade (0 «=3A«.//-3/3'^,.... / 3 ^ skal man bevise Formlen '*">-"(-i)(-i) (-i) (2) [Formlen (2) er indlysende, hvis «er en Primtalpotens, altsaa for 5=1; antages da for Tallet -^1 =Pt^*P%'' P^^^ Udtrykket.W = '^>(i-j;)(.-j^) ( --) gyldigt, vil Antallet af positive hele Tal, der ere mindre end ;/ og ikke delelige med noget af Primtallene PiPz -A vaere /j'^iqc (wj, medens Tallene mindre end Ji og delelige med /^ blive af Formen ap^, hvor a = I, 2, 3,..'.., n: p^', disse Multipla af /^ kunne kun vaere delelige med noget af de andre Primtal P2 Ps Ai saafremt a er det. Derfor bliver Antallet af de Tal a. py, der ikke ere delelige med p.^, p^,... eller ps netop A*^'"~' 9 («i); dette Antal maa derfor traekkes fra det ovennaevnte Antal py ^ tf («), og dermed er (2) bevist ved Induktion.] 218. Hvis 77 er deleligt med/, er (^(«) ogsaa delehg med <f{p) Hvis «= p. q, hvor p og q ere indbyrdes primiske, er qp («) = qp (/). qp {q). (Euler) Hvis «=/. <7, er if (/) Antallet af Tal, der ere mindre end 71, og som sammen med 7i have q til storste faelles Faktor Hvis 71 er et vilkaarligt belt Tal, og a er primisk med 71, er ^ /-(n) _ I = o (mod. 71). (Euler.) N. Nielsen: Opgaver i Algebra, 3

48 34 [Betegnes de i 217 omtalte (f{n) Tal ved aj^a.j.... a^py ville Produkterne a. a^^, a. a.;,,...., a. a^ ved Division med fi give lutter forskellige Rester, der alle ere primiske med «; altsaa blive disse Rester selve Tallene a^ a2.... a,p i en eller anden ubekendt Orden.] 222. Gauss's Saetning. Hvis alle Divisorerne i ;/, i og 7z selv medregnede, betegnes ved d^ d.2 d^.... ds, medens q {1) saettes lig med i, skal man bevise Formlen (i) n = cp {dy)-{- (p [d^) + + qp (^s). [Saetningen bevises let i det Tilfaelde, hvor 7i er en Primtalpotens. Lad dernaest ;/ oploses i Primfaktorer paa den i 217 Formel (i) angivne Maade, medens ovennaevnte Saetning antages at gaelde for Tallet n^ ^= p'^- Pz"^^ -ps^^- Summen af (p-funktionerne af alle de Divisorer i?/, der ere delelige med p^", bliver derfor p^" (i \ TI^ for ne > o, men 71^ for «= o. Tillaegger man nu «alle dets a^ -\- i mulige Vaerdier, og adderes alle de saaledes fundne Udtryk, faar man netop (i), og dermed er Induktionsbeviset fort.] 18. Talsystemer I hvilket Talsystem skrives som 20807? 224. Tallene og 6143 skrives begge i 8-Talsystemet; find deres Sum og Produkt I hvilket Talsystem er = 23122? 226. Hvis 4, Ih og 4 + b betyde Tvaersummerne af henholdsvis a, b og a -{- b, der alle skrives i /-Talsystemet, skal man bevise, at Differensen b aldrig kan vaere negativ og altid er delelig med / i Hvis / er et Primtal, og 4 har den i 226 angivne Betydning, skal man bevise, at Exponenten til den hejeste Potens af/, der gaar op i a\, er {a t^:{p i). Ex. a =/.

49 35 [Skrives a i /-Talsystemet paa Formen «= -0 + q/ + c^p c^p\ ere de storste Multipla af /, p-, /^... /^ mindre end a, nemlig henholdsvis der ere (q + ^2/ + + ^sa"') / =A-P (^2 + ^3/ + + Csp'-')-P' = A P' (^3 + ^i/ + + c.r-^)-p^ = A /' c,. p' = A,./^ Da / er et Primtal, bliver Antallet af Tal mindre end a og delelige med /, /2, p^,.... /^ netop henholdsvis Ay A.,, A2 A^,...., As-I As, As. Exponenten w til den hejeste Potens af /, der gaar op i a\, bliver derfor 0, = ^1 ^2 + 2 (^2 -^3) + 3 (-^3 -^4) + J^ [s \){As-y As) ^ sas eller oj = ^1 4- -^2 + -^3 + + ^s, hvoraf altsaa 0, = q 4- ^2 (/ ^3 (/' +/ + I) ^s (A-1+A" I); _ ^0(1 I) 4- q (/ I) + ^2 (A' 0 + ^s(a 0 p \ og dermed er Saetningen bevist.] 228. Hvis a =^ a^ -{ a2 -\- a^ -\r.... -\- as, skal man bevise, at Kvotienten a\^ «i 1 ^2! ^3! ^s! er et belt Tal. [Lad / vaere et vilkaarligt Primtal mindre end a, skriv Tallene a, a-^,... as '\ /-Talsystemet, og anvend 227.] 229. Bevis Saetningen i 190 ved Anvendelse af *

50 36 SJETTE KAPITEL. Kaedebroker. Ubestemte Ligninger. 19. Endelige Kaedebroker En Kaedebroks ufuldstaendige Kvotienter ere alle a; bevis, at js = ^'s + i-^) 231. For Kaedebroken (i, a, a, a, a,....) skal man bevise Formlen js = ^s + -s - i Betegnes Antallet af forskellige Led i den almindelige Konvergenttaeller y^ ved la, skal man bevise Formlerne An ^ An 1 4~ ^n--2) ^0 ^ ' ' ''1 ^^ Hvilken Kasdebrok har Tallene A^ til Konvergenttaellere? 234. For de i 232 definerede Tal As skal man bevise Formlerne An ApAn p \ 4~ Ap j^an p 2 ti'x. 71 = 2p -\- I. An ^ Ap An _ 2p ApAp _ JAQ 2p 3 + ^p _ i^n 2p 4 og almindelig ^n == ^p ^n pq - q + I J I Ap Ap _ ^An pq q _ I ^ ) Ap _ jan pq - 2q Konvergenternes Taellere og Naevnere i de to Kaedebroker («o, a^, a.,,...., an) og («n, «n-i, «n-2,, ^l, ^o) betegnes ved henholdsvis ys og TJS, ^'S og ;;s; bevis da de almindelige Formler ys = ^pjs-p-i + 1,p-iys-p-2 ^s ^ '/p Ss p I ~r '/p 1 C^s p 2' medens man specielt faar J'n = Vn Og Za = ^i), _._, 4" 7;n_3. ') }'s S ^s betyde henholdsvis Taeller og Naevner i Konvergenten med Index s. Kaedebroken A" med de ufuldstasndige Kvotienter «a, a.,... a betegnes kortere saaledes: J^ = (a^, a^, a.^,..., a ).

51 3 n 236. I Kaedebroken («o, a^, a.,,...., am + i) er almindelig ^n_p = ^n + p-j-r, bevis Formlen 72n + i =yl +X Bevis, at i Kaedebroken (a, a -\- i, a -\- 2, a -\- 3,....) er Zn lig med y^-i i den Kaedebrok, der dannes af den foregaaende ved for a at saette a -\- \ Saettes for Kortheds Skyld / [a) = i og almindelig /s{a) = a{a + i)(«4-2) {a -\- s i), skal man for den forste Kaedebrok i 237 bevise Formlen.rn=/n + i(«)+(^)/n-i(«+l) + (''7')/n-3(^ + 2) + + (''7')/n-..(«+ 3) +...-; hvorledes ender dette Udtryk, eftersom «er lige eller ulige? 239. For Kaedebroken {a, b, a, b, a, b,....) skal man bevise Formlen +c±;)''^+(:); hvilket Udtryk finder man for j^n? 20. Uendelige periodiske Kaedebroker yt9 og y9l udvikles i periodiske Kaedebroker og beregnes med Tilnaermelse, saaledes at Fejlen bliver mindre end 0, y«2 _. I og y«2 IJ n positiv, hel y«2 _ _ 2 og y«2 2, «positiv, hel og ulige y«2 -j- 4, «positiv, hel og ulige. y«+1 y^"^-1 *. u 1.. ^ r ^p=--=. «positiv, hel og storre end I. fn^ I 4- yw I 245. \n-p'--\-n, 71 og p positive, hele og indbyrdes primiske.

52 i^7i'f , 71 Og / positive, hele, ulige og indbyrdes primiske De positive Rodder i Ligningen x'^ (4;/2 -j- 2n) A-2 4- «2 = 0, 71 positiv, hel De positive Rodder i Ligningen x^ {471^ + 8) ;ir = O, Ti positiv hel, ulige og storre end i De positive Rodder i Ligningen Xi 2n^x^ + («2 2)2 =z o, 71 positiv, hel og storre end i Udvikles ^(l^ + i) i periodisk Kaedebrok, bliver denne netop den i 233 omtalte; saetter man (!5^y A + ^D1 5, hvor An og Ba ere rationale, skal man bevise, at 1^-=^ AaJ^y -\- BaAr\- (George Sal77to7t.) 251. Bevis, at den blandet periodiske Kaedebrok {a, b, b, b,...., b, 2a, b, b....) er Rod i en rent kvadratisk Ligning En rent periodisk Kaedebrok har 71 ufuldstaendige Kvotienter i Perioden; hvilken Betingelse maa da Taellere og Naevnere i Konvergenterne med Indices n 2, 71 I, 2n 2 og 271 I tilfredsstille? 21. Kaedebroker med vilkaarlige Taellere Den almindelige Kaedebrok ir=«o+ IT I 2 «2 + '' ^3 +.