Matematikken bag kryptering og signering RSA
|
|
- Gregers Vestergaard
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikken bag kryptering og signering RSA
2 Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA
3 Indbyrdes primiske hele tal Definition To hele tal m, n kaldes indbyrdes primiske, hvis de ingen fælles divisorer har, når vi ser bort fra 1 og -1. Med φ(m) betegner vi antallet af positive hele tal mindre end m, der er indbyrdes primiske med m (Euler s φ-funktion). Opgave Vis, at φ(12) = 4 Lad p, q være forskellige primtal. Vis at φ(p) = p 1, φ(pq) = (p 1)(q 1).
4 Euler s φ-funktion er tidskrævende at beregne I opgaven har vi set, at det et let at bestemme φ(n), hvis vi kender faktoriseringen af n i 2 primfaktorer. Kendes faktorisering af n ikke, er det imidlertid MEGET tidskrævende af bestemme φ(n). Har n for eksempel 100 cifre vil det, at forsøge sig frem med et tal 1, 2, 3,..., n ad gangen tage sekunder år på en maskine, der i 1 sekund kan foretage (en million million) undersøgelser af om et tal er primisk med n. (Universets alder anslås til år). Det er det store tidsforbrug, der fordres til bestemmelse af φ(n), der er sikkerheden i RSA-kryptosystemet, som vi vender tilbage til senere.
5 Bezouts identitet - specialtilfælde Lemma Lad m, n være indbyrdes primiske hele tal. Der findes hele tal f og g således at 1 = mf + ng
6 Opgave Find hele tal f, g, så 1 = 7f + 9g. Vis, at der findes løsninger, hvor f er positiv og hvor g er negativ. Opgave Find hele tal f, g, så 1 = 71f g
7 Bevis Lad d være det mindste positive hele tal på formen d = mf + ng (1) Påstanden er nu, at d = 1. Antag det modsatte og lav heltalsdivision med rest: m = q 1d + r 1, 0 r 1 < d (2) n = q 2d + r 2, 0 r 2 < d Hvis r 1 = r 2 = 0, er det i modstrid med antagelsen om, at m og n er indbyrdes primiske, idet d er en fælles divisor større end 1. Der findes altså en rest r i forskellig fra 0. Lad os antage at r 1 0. Indsæt nu udtrykket for d, jvf. (1), i (2): m = q 1(mf + ng) + r 1 r 1 = m(1 q 1f ) nq 1g = mf + ng som er et mindre positivt helt tal på den angivne form (1) i strid med minimalitetet af d.
8 Euklids udvidede algoritme til bestemmelse af f og g Bestem rekurssivt ved division med rest: r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 i q i r i x i y i 0 m q 1 n k q k r k 2 q k 1 r k 1 x k 2 q k 1 x k 1 y k 2 q k 1 y k n q n 1 = r n x n y n n = r n 1 q nr n..
9 Euklids udvidede algoritme - fortsat r n r n 1 r n r n 2 r n r 1 r n r 0, hvorfor r n = 1 r k = mx k + ny k, hvilket vises ved induktion specielt er 1 = r n = mx n + ny n
10 Eksempel på anvendelse af Euklids udvidede algoritme Bestem rekurssivt ved division med rest: r 0 = 71, r 1 = 8448, r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 x 0 = 1, x 1 = 0, x k = x k 2 q k 1 x k 1 y 0 = 0, y 1 = 1, y k = y k 2 q k 1 y k 1
11 Eksempel på anvendelse af Euklids udvidede algoritme Bestem rekurssivt ved division med rest: r 0 = 71, r 1 = 8448, r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 x 0 = 1, x 1 = 0, x k = x k 2 q k 1 x k 1 y 0 = 0, y 1 = 1, y k = y k 2 q k 1 y k 1 i q i r i x i y i
12 Eksempel på anvendelse af Euklids udvidede algoritme Bestem rekurssivt ved division med rest: r 0 = 71, r 1 = 8448, r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 x 0 = 1, x 1 = 0, x k = x k 2 q k 1 x k 1 y 0 = 0, y 1 = 1, y k = y k 2 q k 1 y k 1 i q i r i x i y i
13 Eksempel på anvendelse af Euklids udvidede algoritme Bestem rekurssivt ved division med rest: r 0 = 71, r 1 = 8448, r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 x 0 = 1, x 1 = 0, x k = x k 2 q k 1 x k 1 y 0 = 0, y 1 = 1, y k = y k 2 q k 1 y k 1 i q i r i x i y i
14 Eksempel på anvendelse af Euklids udvidede algoritme Bestem rekurssivt ved division med rest: r 0 = 71, r 1 = 8448, r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 x 0 = 1, x 1 = 0, x k = x k 2 q k 1 x k 1 y 0 = 0, y 1 = 1, y k = y k 2 q k 1 y k 1 i q i r i x i y i
15 Eksempel på anvendelse af Euklids udvidede algoritme Bestem rekurssivt ved division med rest: r 0 = 71, r 1 = 8448, r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 x 0 = 1, x 1 = 0, x k = x k 2 q k 1 x k 1 y 0 = 0, y 1 = 1, y k = y k 2 q k 1 y k 1 i q i r i x i y i
16 Eksempel på anvendelse af Euklids udvidede algoritme Bestem rekurssivt ved division med rest: r 0 = 71, r 1 = 8448, r k = r k 2 q k 1 r k 1, 0 r k < r k 1 x 0 = 1, x 1 = 0, x k = x k 2 q k 1 x k 1 y 0 = 0, y 1 = 1, y k = y k 2 q k 1 y k 1 i q i r i x i y i Bezout 1 = ( 1)
17 Korollar Lad k, m være indbyrdes primiske hele tal. Så gælder, at k am k a Bevis. Da k, m en indbyrdes primiske, findes der hele tal f, g således at 1 = mf + kg a = amf + akg Da k amf + akg følger påstanden.
18 Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA
19 Modulo - regning med rester Gauss indførte en notation, som letter omgangen med heltalsdivision med rest. Definition Givet hele tal a, b og m > 0. Vi siger, at a er kongruent med b modulo m og skriver a b mod m hvis a og b har samme rest ved division med m, altså hvis m går op i forskellen a b. Når m fremgår af sammenhængen, skriver vi blot a b. Eks mod 12, 1 1 mod 2 og mod 5.
20 Regneregler Lemma Lad m > 0 være givet. Hvis a 1 b 1 og a 2 b 2, så er a 1 + a 2 b 1 + b 2, a 1 a 2 b 1 b 2 Hvis k er indbyrdes primisk med m, så kan der forkortes med k: ka kb a b. Bevis. Følger af definitionen og ved anvendelse af Korollar 5: ka kb m k(a b) m a b a b.
21 Modulær exponentiering Opgave Lad m = 7. Vis, at Bestem r, 0 r < 7, så r
22 Restklasser Definition Lad m > 0 være givet. Med [a] betegner vi mængden af alle hele tal x, der er kongruent med a modulo m. Mængden [a] kaldes restklassen af a. Et fuldstændigt sæt af rester modulo m består af m hele tal, en fra hver restklasse. Et reduceret sæt af rester modulo m består af φ(m) hele tal, en fra hver restklasse, og hver for sig indbyrdes primisk med m. For m = 6 er [3] = { 9, 3, 3, 9, 15,... }, tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5 er et fuldstændigt sæt af rester, mens tallene 6, 14, 13, 2, 27, 35 er et andet fuldstændigt sæt af rester. De tilsvarende reducerede sæt af rester har hver φ(6) = 2 elementer og er 1, 5 og 13, 35
23 Opgave Bestem et komplet sæt af reducerede rester modulo 12 (der skal være 4 ialt). Multiplicer hver af de 4 elementer i sættet med 5 og vis, at det nye sæt også er et komplet sæt af reducerede rester.
24 Sætning Lad a 1,..., a φ(m) være et reduceret sæt af rester modulo m og lad k være et helt tal primisk med m. Så er ka 1,..., ka φ(m) også et reduceret sæt af rester modulo m.
25 Bevis. Ifølge Lemma 2 kan vi slutte, at ka i ka j a i a j. Derfor ligger ka 1,..., ka φ(m) i hver sin restklasse. Tilsvarende er ka 1,..., ka φ(m) hver for sig primiske med m, idet Lemma 2 anvendt på en fælles divisor n i m og ka i, der naturligvis også er primisk med k, giver n ka i n a i i modstrid med at a i er primisk med m.
26 Euler-Fermat Sætning Antag at k, m er indbyrdes primiske. Så er k φ(m) 1 mod m.
27 Opgave Eftervis, at k φ(12) 1 mod 12. for alle k, der er primiske med 12.
28 Bevis. Lad a 1,..., a φ(m) være et reduceret sæt af rester modulo m, ifølge sætningen ovenfor ved vi, at ka 1,..., ka φ(m) også er et reduceret sæt af rester. Anvender vi nu Lemma 2, har vi a 1 a φ(m) k φ(m) a 1 a φ(m) mod m. Da a i alle er indbyrdes primisk med m giver gentagne anvendelser af forkortningsdelen af Lemma 2, det ønskede.
29 Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA
30 Kryptering og signering - nøglepar En person A, der ønsker at lave et kryptosystem med henblik på modtagelse gør følgende: vælger 2 store primtal p, q og beregner n = pq beregner φ(n), jvf. Opgave 2, hvilket er let for A; men tidskrævende for andre, der blot kender n vælger et e > 0 primisk med φ(n) beregner positivt f (og negativt g), så 1 = ef + φ(n)g, jvf. Lemma 1 offentligør n, e - det er den offentlige nøgle Krypteringssystemet har n, e er som offentlig nøgle og φ(n) og f som hemmelig nøgle.
31 Kryptering En vilkårlig person B ønsker at sende tallet k > 0 til personen A. B indkoder tallet k ved brug af den offentlige nøgle n, e - nemlig ved at beregne og sende: h k e mod n
32 Dekryptering Personen A modtager h og beregner ved hjælp af sin hemmelige viden om φ(n) og f h f (k e ) f k ef k 1 φ(n)g k (k φ(n) ) g k mod n ifølge Sætning 11. Opgave Lad p = 89 og q = 97. Bestem n og φ(n). Lad e=71. Bestem f > 0 og g så 1 = ef + φ(n)g Indkod k = 3 ved at beregne h = 3 e og dekrypter ved at beregne (3 e ) f.
33 Digital signatur Signering (underkrift, digital signatur) foretages ved at personen A indkoder f.eks. sit "navn"k med sin hemmelige nøgle f, φ(n). Modtageren kan afkode med A s offentlige nøgle e, n. Giver afkodningen "navnet"k, er der overfor modtageren godtgjort, at afsenderen har den hemmelige nøgle, der passer til den offentlige nøgle. Opgave Lav endnu et nøglesæt og vis ved et eksempel, hvordan man laver digital signatur.
34 Information Adr.:, Ny Munkegade, 8000 Aarhus, DENMARK Phone: (+45) homepage:
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF
Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal
Læs mereKRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)
KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs merePrimtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003
Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus
Læs merePrimtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003
Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereRSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard
RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning
Læs mereIntroduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen
Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................
Læs meresætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.
sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs mereRSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet
RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig
Læs mereAffine - et krypteringssystem
Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede
Læs mereAf Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag
Læs mereInteger Factorization
Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereTalteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik
Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal
Læs mereCamp om Kryptering. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering. Rasmus Lauritsen. August 27,
Camp om Kryptering Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen August 27, 2013 http://users-cs.au.dk/rwl/2013/sciencecamp Indhold Datasikkerhed RSA Kryptering Faktorisering Anvendelse
Læs mere6. RSA, og andre public key systemer.
RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler
Læs mereProjekt 0.6 RSA kryptering
Projekt 0.6 RSA kryptering 1. Introduktion. Nøgler til kryptering Alle former for kryptografi prøver at løse følgende problem: En afsender, A ønsker at sende en mdelelse til en modtager, M, såles at den
Læs mereKøreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange
Læs mereFredag 12. januar David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Fredag 2. januar David Pisinger Kryptering Spartanere (500 f.kr.) strimmelrulle viklet omkring cylinder Julius Cæsar: substituering af bogstaver [frekvensanalyse]
Læs mereDeling - primtal - kryptografi. Johan P. Hansen. 15. september Indledning 2
Deling - primtal - kryptografi Johan P. Hansen 15. september 2011 Indhold 1 Indledning 2 2 Primtal og heltalsdeling 3 2.1 Primtalsfaktorisering.............................. 4 2.1.1 Primtalsfaktoriseringens
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereRSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden
14. DEC 2014 RSA-KRYPTERING Studieretningsprojekt Blerim Cazimi Frederiksberg Tekniske Gymnasium Matematik A Vejleder: Jonas Kromann Olden Informationsteknologi B Vejleder: Kenneth Hebel Indhold Indledning...
Læs mere00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN
00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN 00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 2 Algebra og talteori 2002 by Gyldendalske Boghandel Nordisk forlag,
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereHemmelige koder fra antikken til vore dage
Hemmelige koder fra antikken til vore dage Nils Andersen DM s seniorklub Øst 21. september 2015 En hemmelig meddelelse Sparta, ca. 500 år f.v.t. Skytale: σκῠτ ᾰλίς (gr. lille stok) angrib fra skovbrynet
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereKryptering kan vinde over kvante-computere
Regional kursus i matematik i Aabenraa Institut for Matematik Aarhus Universitet matjph@math.au.dk 15. februar 2016 Oversigt 1 Offentlig-privat nøgle kryptering 2 3 4 Offentlig-privat nøgle kryptering
Læs mereMeditation over Midterbinomialkoefficienten
18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer
Læs mereInformationsteori. Hvorledes man bryder en RSA-kode
1 970501HEb Informationsteori Hvorledes man bryder en RSA-kode Vi kender den offentlige nøgle (e n) og vil nu finde den private nøgle (d n), hvorved koden er brudt. Først gættes primfaktoriseringen af
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereKonfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter
Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, 2009 Jakob I. Pagter Oversigt Kryptografi autenticitet vs. fortrolighed ubetinget vs. beregningsmæssig sikkerhed Secret-key fortrolighed Public-key fortrolighed
Læs mereKryptologi 101 (og lidt om PGP)
Kryptologi 101 (og lidt om PGP) @jchillerup #cryptopartycph, 25. januar 2015 1 / 27 Hvad er kryptologi? define: kryptologi En gren af matematikken, der blandt andet handler om at kommunikere sikkert over
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereKonkrete algebraiske strukturer 4-6. Madsen, Anders J. Hede. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF
Konkrete algebraiske strukturer 4-6 Madsen, Anders J. Hede Publication date: 2006 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Citation for published version (APA): Madsen, A. J. H. (2006). Konkrete algebraiske
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereSammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereKryptografi Anvendt Matematik
Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereIntroduktion til Kryptologi
Introduktion til Kryptologi September 22, 2014 Kryptologi Datasikkerhed Sikker kommunikation over usikre kanaler Kryptografi: Bygge systemer Kryptoanalyse: Bryde systemer Avancerede Protokoller Data er
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereDen digitale signatur
3. Å RG A N G NR. 3 / 2004 Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Fra at være noget, der kun angik den militære ledelse og diplomatiet, har kryptologi med brugen af internettet fået direkte
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs merePerspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi
Perspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi Dette dokument beskriver en række opgaver. Diskutter opgaverne i små grupper, under vejledning af jeres instruktor. Tag opgaverne i den rækkefølge de optræder.
Læs mereRoskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling Kryptering. Niels Christian Juul. N&P 11: 2001 April 18th
Roskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling E-mail: ncjuul@acm.org Kryptering Niels Christian Juul N&P 11: 2001 April 18th Om kryptering, DES, RSA, PGP og SSL Copyright 1998-2001, Niels Christian
Læs mereMartin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne
Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mereAlgebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7
Læs mereIteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber
Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer
Læs mereModerne kryptografi. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet. Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008
Moderne kryptografi Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008 Matematik og ingeniørvidenskab Uden ingeniørvidenskab var komplekse tal blot en kuriøsitet
Læs mereKryptering. xhafgra ng tøer hyæfryvtg AALBORG UNIVERSITET ELLER
Kryptering ELLER xhafgra ng tøer hyæfryvtg P0 Anders Rune Jensen Ole Laursen Jasper Kjersgaard Juhl Martin Qvist 21. september 2001 AALBORG UNIVERSITET Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs merePrimtal. Frank Nasser. 20. april 2011
Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereOpgaveformulering studieretningsprojekt (SRP) 2015
Opgaveformulering studieretningsprojekt (SRP) 2015 Navn: Emil Sommer Desler Klasse: 2013.4 Fag: Matematik A Fag: Informationsteknologi B Vejleder: Signe Koch Hviid E-mail: skh@rts.dk Vejleder: Karl G Bjarnason
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereFortroligt dokument. Matematisk projekt
Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereOm primtal og forhold i opgangene
Om primtal og forhold i opgangene af Christian Marinus Taisbak Tilegnet en 70 år gammel mager karl, som spiser ene sin målte mad (J.V. Jensen, Holberg) For 45 år siden skrev jeg i forordet til min disputats,
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne
De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereAnders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001
Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 29. maj 2017. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede
Læs mere