Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.

Transkript

1

2 Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen f (x) = 0. f (x) = 0 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2 x = ( ) 1/2 k 2 Opgave 7 Sandsynligheden for at udbyttet fra et tilfældigt valgt bistade ligger mellem 35 og 50 kg er Stikprøvens gennemsnit er 45 og spredningen er 8. Et 95 % konfidensinterval bestemmes til [42.9; 47.1]. side 1 af 7

3 c) Data optælles ved hjælp af en pivottabel. Resultatet ses nedenfor. d) Vi vil test følgende hypotese. H 0 : Om udbyttet er over 44 kg eller ej er uafhængigt af bistdernes placering. Da p-værdien på 0.07 er over signifikansniveauet på 5 %, kan vi ikke afvise nulhypotesen. e) Vore undersøgelser af udbyttet har vist at ca. halvdelen af bistaderne giver mellem 35 og 50 kg honning. En aktuel stikprøve har vist at det gennemsnitlige udbytte ligger mellem 42.9 og 47.1 kg. Vi undersøgte også om der var en sammenhæng mellem et stades placering og udbyttet, men vores stikprøve viste ikke nogen signifikant forskel i udbyttet fra stader i byen og stader i udkanten af byen. side 2 af 7

4 Opgave 8 Den samlede omsætning beregnes som R (x, y) = x p (x) + y q (y) = x ( 2x + 50) + y 10 = 2x x + 10y Ligningen for niveaukurven N (320) er R (x, y) = 320 2x x + 10y = y = 2x 2 50x y = 1 5 x2 5x + 32 Niveaukurven er således grafen for et 2.-gradspolynomium og dermed en del af en parabel. c) De forskellige niveaukurver vil alle være parabler parallelforskudt op eller ned, og den maksimale omsætning opnås, når parablen tangerer linjen med ligning 5x + 5y = 90, hvilket kan omskrives til y = x Dette substitutieres ind i udtrykket for omsætning, hvilket giver funktionen g givet ved g (x) = 2x x + 10 ( x + 18) = 2x x Den afledte er g (x) = 4x + 40, så den afledte er nul når g (x) = 0 eller 4x + 40 = 0 som har løsning x = 10. Den tilsvarende y-værdi er y = x + 18 = = 8. Der skal derfor afsættes 10 enheder af produkt A og 8 enheder af produkt B. Den maksimale omsætning bestemmes ved R (10, 8) = = 380, så den maksimale omsætning er kroner. side 3 af 7

5 Opgave 9 Et lån på kroner forrentes med 0.46 % pr. måned og en månedlig ydelse på 4992,42 kr. Antalet af terminer beregnes som ( ) ln 1 r Ao y n = ln (1 + r) så der skal ialt betales 154 månedlige ydelser. = ln ( ln (1.0046) = 154 ) Ydelsen på det nye lån er y = r A 0 1 (1 + r) n = = så den månedlige ydelse er steget til kr. pr. måned. c) Hvis familien omlægget til et realkriditlån med en månedlig ydelse på kr. og en løbetid på 240 måender vil den månedlige rente være 0.39 % idet = Det fører til følgende anbefaling:: Lånet på kroner kan enten afbetales med en månedlig ydelse på kroner og en månedlig rente på 0.46 % eller ved omlægning til et realkriditlån afbetales med en månedlig ydelse på kroner og en rente på 0.39 %. Realkriditlånet er således klart at foretrække, idet både rente og ydelse er lavere. Ved omlægning af lånet til et realkreditlån vil løbetiden stige fra lidt under 13 år til 20 år. Opgave 10 Som det ses af figuren kan sammenhængen melllem pris og afsætning med god tilnærmelse beskrives med potensmodellen p (x) = 997 x side 4 af 7

6 Dækningsbidraget bestemmes som d (x) = (p (x) 100) x = ( 997 x ) x = 997 x x c) For at maksimere dækningsbidraget starter vi med at differentiere, hvilket giver d (x) = x Vi sætter d (x) lig nl og løser ligningen d (x) = x = x = 100 x = = x = /0.303 = så det maksimale dækningsbidrag opnås ved en afsætning på kg. Den tilsvarende pris er p (600.7) = = 141 kroner pr. kg. Opgave 11A Differentialligningen T (x) = T (x) løses ved hjælp af CAS, og vi finder at den løsning, som går gennem punktet (0, 75), er T (x) =15 e 0.75x Tiden som andvendes til produktion af de første 10 varer er 620 minutter. side 5 af 7

7 Opgave 11B Hvis 45 % af 1011 aldrig har tænker på overvågning så må = 455 have svaret at de ikke tænker overvagning. Det giver 95 % konfidensintervallet [0.42; 0.48]. Idet det antages at 45 % ikke tænker overvågning bestemmes sandsynligheden for at højst 20 af 50 tilfældigt udvalgte ikke tænker på overvågning side 6 af 7

8 Opgave 11C Idet det forventede salg er givet ved ES (x) = 25x x 2, x [0; 14], vil det forventede salg efter 6 måneder være ES (6) = = 7920 stk. For at finde det tidspunkt, hvor salget er størst differentieres ES (x) = 75x x. Vi sætter ES (x) lig nul og løser ligningen ES (x) = 0 75x x = 0 x ( 75x + 740) = 0 x = 0 75x = 0 x = 0 x = = 9.87 Hereefter udregnes ES (0) = 0 og ES (9.87) = og ES (14) = 3920.Det ses at det daglige forventede salg er størst efter ca. 10 måneder. For at finde tidspunktet med den støste vækst i det forventede daglige salg differentieres en gang mere ES (x) = 150x Den 2. afledte sættes lig nul EX (x) = 0 150x = 0 x = = 4.93 Ved insættelse af passende værdier af x ses at væksten først vokser og så aftager med et maksimum efter ca. 4 måneder. side 7 af 7

9

10

11