Koblede differentialligninger.
|
|
- David Eskildsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af en kop varm kakao, som blev sat i et lokale med en temperatur på 20 C. Vi antog, at lokalet var så stort, at temperaturen ikke steg, selvom der jo principielt må ske en opvarmning af lokalet, når kakaoen afkøles. Så hvad hvis vi nu i stedet ser på en situation, hvor omgivelserne opvarmes i takt med at drikkevarerne afkøles? Lad os antage, at vi for nemheds skyld forlader kakaoen og i stedet afkøler et hårdkogt æg ved at putte det i en skål med koldt vand. Forholdene er sådan, at hvis temperaturen på ægget falder med 1 C, stiger vandets temperatur med 0.1 C. (De faktiske forhold vil afhænge af vandmængden i forhold til æggets masse, men den historie vil overlader vi til fysiklæreren) I stedet for at omgivelsernes temperatur er konstant bliver omgivelsernes temperatur nu også en funktion af tiden. Vi kan opstille to differentialligninger med to ubekendte funktioner x(t) og y(t) x' t =Kk1$ x t K y t y' t = k2$ x t K y t hvor x(t) angiver æggets temperatur til tiden t og y(t) angiver vandets temperatur til tiden t. Vi sætter k1 til 0.1 som i eksemplet med kakaoafkølingen, og k2 bliver 0.01, fordi vi antog, at temperaturændringen var 10 gange så stor for ægget som for omgivelserne. Vi vil gerne løse differentialligningssystemet og udnytter som sidst den indbyggede hjælpefil i Maple. 1.Vælg Tools/Assistants/ODE Analyzer Udfyld felterne fra venstre mod højre Tryk Edit under Differential Equations Tryk Assist for at få den rigtige syntaks til venstre side af differentialligningerne og indtast højresiderne. Skriv navnet på funktionen (her x) og den uafhængige variabel (her t) og vælg order til 1, svarende til en førsteordens differentialligning MJ Nærum gymnasium s 1 af 6
2 5. Tryk Insert og dernæst Done 6. Indskriv resten af ligningen og tryk Add, når du er færdig. Koblede differentialligninger.mw 7. Gentag punkt 2-5, så du får begge ligninger indsat og afslut med at trykke Done 8. Gå videre med Conditions dvs. startbetingelserne, som her skal være x(0)= 100, svarende til at ægget er 100 C til at begynde med, og y(0)=20 fordi vandet har stuetemperatur. 9. Udfyld til sidst Parameters, med værdierne for k1 og k2 MJ Nærum gymnasium s 2 af 6
3 9. Koblede differentialligninger.mw Når du er færdig ser det således ud 11. Tryk Solve Numerically 12. Tryk Plot Options og sæt indstillingerne som vist neden for. Linjen med y i nederste felt fremkommer, ved at man trykker på Copy i linjen med x og udskifter x med y i rullemenuen 13. Tryk Done 14. Tryk Plot 15. Tryk Quit MJ Nærum gymnasium s 3 af 6
4 Så skulle følgende billede komme frem x, y t Klik på figuren og sæt enheder på akserne, og labels på kurverne temperatur i C Æggets temperatur Omgivelsernes temperatur tid i min Øvelse 1 Prøv selv at undersøge, hvad der sker, når man ændrer på startbetingelser og parametre. MJ Nærum gymnasium s 4 af 6
5 Det viser sig, at vi kan løse dette ligningssystem analytisk i Maple. Vi definerer først parametrene k1 d 0.1 : k2 d 0.01 : Dernæst definerer vi differentialligningerne ode1 d x' t =Kk1$ x t K y t : ode2 d y' t = k2$ x t K y t : og så løser vi dem med startbetingelserne x(0)=100 og y(0)=21 dsolve ode1, ode2, x 0 = 100, y 0 = 21 x t = C K 11 e 100 t, y t = K e K t C (1) Ekstramateriale Vi kan også udlede de generelle løsninger til dette specielle differentialligningssystem på følgende måde. Vi skal finde alle de funktioner x(t) og y(t), der passer ind i ligningssystemet x' t =Kk1$ x t K y t y' t = k2$ x t K y t For nemheds skyld, skriver vi ikke t-erne, så ligningssystemet ser således ud x'=kk1$ x K y y'= k2$ x K y hvor vi husker, at x og y er funktioner. Vi starter med at vise at k2$x C k1$y er konstant ved at differentiere udtrykket og få 0. (Sætningen om differentiable funktioners monotoniforhold). k2$x C k1$y '= k2$x'c k1$y'= k2$ Kk1 $ x K y C k1$k2$ x K y = 0 Sætter vi x 0 = x 0 og y 0 = y 0 ved vi k2$x C k1$y = k1$x 0 C k2$y 0 Øvelse 2 Hvorfor gør vi det? MJ Nærum gymnasium s 5 af 6
6 Nu kan vi isolere y og indsætte det fundne udtryk i ligningen for x' y = k1$x 0 C k2$y 0 K k2$x k1 x'=kk1$ x K k1$x 0 C k2$y 0 K k2$x k1 =Kk1$x C k1$x 0 C k2$y 0 Kk2$x x'=k k1 C k2 $x C k1$x 0 C k2$y 0 Ser vi grundigt på denne differentialligning genkender vi Newtons afkølingslov, hvor x'=kk$ x K tslut k1 C k2 svarer til k og tslut = k1$x 0 C k2$y 0 k1 C k2 Når vi har bestemt x analytisk ved at løse diferentialligningen, kender vi også y. Øvelse 3 Hvorfor gør vi det? Vi kan nu sammenligne vores teoretiske løsning med vores analytiske ved at plotte de to løsninger i samme diagram. Øvelse 4 Gør det. MJ Nærum gymnasium s 6 af 6
Newtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereNewtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver
Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereKapitel 3: Modeller i Derive
3. Modeller i Derive 3.1 Indledende knæbøjninger For at regne på modeller i Derive skal vi bruge FIT-funktionen som tilpasser et datasæt til et vilkårligt udtryk med lineære parametre ved hjælp af mindste
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereBrugermanual til Assignment Hand In
Brugermanual til Assignment Hand In Indhold: Undervisere:... 2 Hvor finder jeg Assignment hand in?... 2 Opret en opgave... 3 Slet en opgave... 4 Rediger en opgave... 4 Hvor finder jeg de afleverede filer?...
Læs mereEksempler på differentialligningsmodeller
1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs mereDifferentialligninger
Matematikprojekt om Differentialligninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 5 November 2010 Indhold I Differentialligninger........................ 3 I Generelt om
Læs mereBeregn gennemsnitlig BMI
Beregn gennemsnitlig BMI I denne vejledning kigges på hvordan man beregner den gennemsnitlige BMI ved operation. Data til dette findes i dataudtræk fra Skema 1A eller dataudtræk med data fra alle skemaer.
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereDiagrammer visualiser dine tal
Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for effektive måder til at indtaste data på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereKontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B
1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereISO 27001/27002:2013 i SecureAware Policy TNG
ISO 27001/27002:2013 i SecureAware Policy TNG - Sådan lægger du din informationssikkerhedshåndbog om til de nye ISO- standarder 1. Opgrader til version 4.6.0 (eller senere)... 2 2. (Kun for brugere af
Læs mereCorporate Netbank Administration Brugervejledning - Oprettelse af brugere og bestilling af Nordea eid
Corporate Netbank Administration Brugervejledning - Oprettelse af brugere og bestilling af Nordea eid Indhold Log på Corporate Netbank... 3 Opret bruger... 4 Bestil Nordea eid... 5 Godkend oprettelse af
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereMoltrup-sogn.dk - Vejledning i redigering af undersider, og oprettelse af nye sider.
Indholdsfortegnelse Moltrup-sogn.dk - Vejledning i redigering af undersider, og oprettelse af nye sider.... 2 Brugernavn og kodeord.... 2 Selve tekstbehandleren... 3 Indsættelse af billeder... 4 Metadata...
Læs mereOpgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015
Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses
Læs mereI jobloggen tilføjer borgeren, hvilke job han/hun gerne vil søge, og de opgaver der er i den forbindelse. Det kan fx være:
Om Joblog Det overordnede formål med Joblog er tredelt: 1. Joblog skal give borgeren overblik over egen jobsøgning og relaterede aktiviteter 2. Joblog skal tjene som udgangspunkt for samtaler i jobcentret
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereSome like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS
Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger
Læs mereHundeweb Brugermanual Opret DJU prøver m.m.
Hundeweb Brugermanual Opret DJU prøver m.m. Indholdsfortegnelse Kapitel 0 - Log på hundeweb...2 Log på Klubsystemet...3 Kapitel 1 Opret prøve...4 Kapitel 2 Aktiver prøven så der kan tilmeldes på hundeweb...7
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereMatematisering af redoxprocessers afstemning 1
Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Eksempel 1 Br + Cl 2 Cl + Br 2 Problem, målsætning En afstemning går ud på at bestemme (naturlige) tal a, b, c, d så: a Br + b Cl 2 c Cl + d Br 2 Metode Tallene
Læs mereOpstartsvejledning til ipad. Tinderhøj Skole
Opstartsvejledning til ipad Tinderhøj Skole Den første skærm når du starter din ipad Sæt fingeren på pilen og træk den til højre. Vælg sprog En ipad kommer med mulighed for at vælge mange forskellige sprog.
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.172 Side 1 Lave et postkort som foldes sammen til A6 størrelse
Side 1 Til denne vejledning skal vi bruge skabelonen som er inddelt i 4 med hjælpelinjer. Der bruges 2 felter som så foldes sammen til et A6 kort. Der skal så laves noget specielt i Photofiltre hvor vi
Læs mereVejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger
Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger April 2015 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 1 Indledning... 3 1.1 Metode til anvendelse af kuber med
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereVejledning til Google Apps på Øregård Gymnasium
Vejledning til Google Apps på Øregård Gymnasium Eksport af kontaktpersoner fra one.com... 2 Eksport af kontaktpersoner fra Outlook... 2 Eksport af kontaktpersoner fra Firebird eller andre... 2 Import af
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereFlemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.
Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereObjects For Review / Materialer til anmeldelse
Objects For Review / Materialer til anmeldelse Ny plug-in til OJS Objects For Review Niels Erik Frederiksen Til Open Journal Systems findes en plug-in, der gør det muligt at opsætte en speciel anmeldersektion
Læs mere1 - en enkelt debitor 2 - en debitor ressourcerabatgruppe 3 - alle debitorer.
Rabat på arbejdsløn I service er det muligt at give rabat på arbejdsløn pr. arbejdstype gældende for 1 - en enkelt debitor 2 - en debitor ressourcerabatgruppe 3 - alle debitorer. For henholdsvis debitor,
Læs mereVejledning til brug af Foreningsportalen
Vejledning til brug af Foreningsportalen Ansøgning om - og opgørelser af tilskud Som en godkendt forening efter Folkeoplysningsloven i Svendborg Kommune skal du via Foreningsportalen ansøge om medlems-
Læs mereNyheder i Gym-pakken til Maple 2019
Nyheder i Gym-pakken til Maple 2019 Nye generelle rutiner niveaukurver Med denne kommando kan man tegne niveaukurver for funktioner af to variable uden at skulle indlæse andet end Gym-pakken: with Gym
Læs mereInstallatør Guide. CTS6000 Webcontrol
Installatør Guide CTS6000 Webcontrol Version 1.00, 30.06.2010 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 Figur oversigt... 3 Indledning... 4 Hurtigt i gang... 5 VAV med én tryktransmitter... 6 VAV med
Læs mereGUIDE TIL OPRETTELSE AF ARTIKLER I JOOMLA - FRONTEND
GUIDE TIL OPRETTELSE AF ARTIKLER I JOOMLA - FRONTEND INDHOLDSFORTEGNELSE Login og ændring af adgangskode 2 Oprettelse/redigering af artikler 3 Indsæt billede i en artikel 7 Sæt et link i en artikel 13
Læs mereMan tilgår CV via Jobnet, under menupunktet Min jobsøgning, hvor man kan klikke sig ind på det i venstre hjørne.
Om IT understøttelsen af CV fokus på nye funktioner Man tilgår CV via Jobnet, under menupunktet Min jobsøgning, hvor man kan klikke sig ind på det i venstre hjørne. Forsiden af CV har fået nyt lay-out.
Læs mereVejledende Matematik A
Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereAdobe Elements Lektion 2
Adobe Elements Lektion 2 Så er det igen tid til at lege lidt med billeder. Jeg går ud fra, at du nu har fået opsat Elements efter de anvisninger du fik i sidste lektion. Start Elements op Gå ind i Edit
Læs mereBemærk det sidste kapitel Modtagelse af et brev, som bl.a.. bruges når du skal modtage og indlæse en henvisning.
Guide: Start- & Slutbreve og modtagelse af breve Udgave mar 2009 Bemærk det sidste kapitel Modtagelse af et brev, som bl.a.. bruges når du skal modtage og indlæse en henvisning. Indholdsfortegnelse Hvorledes
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs mereMatematik A studentereksamen
Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereFormler og diagrammer i OpenOffice Calc
Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereKom godt i gang med Eforsyning.
Kom godt i gang med Eforsyning. December 2015 Indhold Indhold Kom godt i gang med Eforsyning.... 1 Indhold... 2 Kom godt i gang med Eforsyning.... 3 Kom godt i gang... 3 Mit forbrug... 3 Mine dokumenter...
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereVEJLEDNING KIOSKKØB. Køb i boderne med sæsonkort
Hovedsponsor: LigaPartner: ProduktPartner: VEJLEDNING KIOSKKØB Køb i boderne med sæsonkort INDLEDNING Du kan i denne vejledning se, hvordan du kan købe varer i boderne hjemmefra og lægge dem på dit sæsonkort,
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereEulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2
Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal
Læs mereAndroid. Opsætning af Samsung Galaxy Ace
Android Opsætning af Samsung Galaxy Ace 2 november 2011 Tryk på Finish 3 november 2011 Isæt simkort Isæt batteri Isæt SD kort Tænd telefon i højre side for oven Tast pinkode Vælg DK TDC på skærmen Tryk
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereVigtige funktioner i Word 2003
Vigtige funktioner i Word 2003 Indhold Husk... 2 Skrifttype... 2 Skriftstørrelse... 3 Overskrifter... 4 Andre vigtige funktioner... 5 Margen... 6 Linjeafstand... 7 Ordoptælling... 8 Sidetal... 10 Sidehoved
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereStuderendes video- optagelser til prøver
Studerendes video- optagelser til prøver Resume Video til brug ved prøver kan optages i flere forskellige formater og lagres på forskellige medier. Hvis video optages på dvd (f.eks. 80 mm skive, der sættes
Læs mereWORKCYCLUS. Handlingsplan. Vers 4.0. Juni 2013. Workcompany A/S. Amagertorvet 33, 4.sal. DK-1160 København K. www.workcompany.dk
WORKCYCLUS Handlingsplan Vers 4.0 Juni 2013 Workcompany A/S Amagertorvet 33, 4.sal DK-1160 København K www.workcompany.dk 1. Indholdsfortegnelse Handlingsplan... 3 Overblik på indsatsområder på handlingsplan...
Læs mered Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.
KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre
Læs mereSådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler
Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den
Læs mereDannelse af overflytningsordrer mellem lokationer foretages via menupunktet Beregn plan under Køb - Planlægning Indkøbskladder.
Beregn plan (Overflytning mellem lokationer) Funktionen Beregn overflytning lokationer er en kørsel der anvendes til at foreslå omfordeling mellem afdelinger i form af overførselsordrer. Eventuelle overflytninger
Læs mereQuickguide til BeerSmith - udstyrsindstillinger
Opsætning af Equipment (Udstyr) i BeerSmith En af de vigtigste trin i opsætningen af BeerSmith er, at oprette din egen Equipment profile (udstyrsprofil), baseret på en af de eksisterende profiler. Udstyrsindstillingerne
Læs mereAt lave dit eget spørgeskema
At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-
Læs mereVejledning i opsplitning / salg / skrotning / samling af anlæg
Vejledning i opsplitning / salg / skrotning / samling af anlæg Hvornår? Vejledningen tages i brug når institutionen skal opsplitte, sælge, skrotte eller samle anlæg. Hvad? Det kan dreje sig om et anlæg,
Læs mereSpm. 1.: Hvis den totale koncentration af monomer betegnes med CT hvad er så sammenhængen mellem CT, [D] og [M]?
DNA-smeltetemperaturbestemmelse KemiF2-2008 DNA-smeltetemperaturbestemmelse Introduktion Oligonucleotider er ofte benyttet til at holde nanopartikler sammen med hinanden. Den ene enkeltstreng er kovalent
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereBrugervejledning til udfyldelse og udstedelse af Europass Mobilitetsbevis i Europass Mobilitetsdatabasen
Brugervejledning til udfyldelse og udstedelse af Europass Mobilitetsbevis i Europass Mobilitetsdatabasen Europass Mobilitetsbevis skal udfyldes og udstedes i mobilitetsdatabasen: http://mobilitet.europass.dk/.
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs mereOplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis
Læs mereLISA 2 System til faringsovervågning
Indledning Du har netop anskaffet dig et unikt stykke værktøj til brug ved faringsovervågning. LISA 2 systemet er et interaktivt værktøj, som sikrer at medarbejdere i farestalden holder fokus på faringer
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereMatematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:
Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså
Læs mereIHCTablet Manual. For IHCTablet version 1.0 019D903222_01 2012 Scneider Electric A/S Danmark
IHCTablet Manual For IHCTablet version 1.0 019D903222_01 2012 Scneider Electric A/S Danmark Opsætning af Controller. Administrator og IP opsætning. Åben Administrator via f.eks. Internet Explorer I adresse
Læs mereBilledbeskæring & Irfan View
Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Hvordan redigerer jeg billeder?...2 Installation af Irfan View...2 Opsætning af Irfan View...5 Gem med en fornuftig billedtype...5 Irfanview på dansk...6 Brug
Læs mereExcel-4: Diagrammer og udskrift
Excel-4: Diagrammer og udskrift Udfra indtastede tal og formler kan Excel oprette forskellige typer meget flotte diagrammer: grafer, kurver, søjler og cirkeldiagrammer. OPGAVE: Men der skal være nogle
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereManual til overføring af fotografier fra kamera til harddisk.
Manual til overføring af fotografier fra kamera til harddisk. Det første man skal gøre sig klart er, hvor man som udgangspunkt vil lægge sine fotografier. Især når man er mange, der bruger den samme computer,
Læs mere