Koblede differentialligninger.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Koblede differentialligninger."

Transkript

1 Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af en kop varm kakao, som blev sat i et lokale med en temperatur på 20 C. Vi antog, at lokalet var så stort, at temperaturen ikke steg, selvom der jo principielt må ske en opvarmning af lokalet, når kakaoen afkøles. Så hvad hvis vi nu i stedet ser på en situation, hvor omgivelserne opvarmes i takt med at drikkevarerne afkøles? Lad os antage, at vi for nemheds skyld forlader kakaoen og i stedet afkøler et hårdkogt æg ved at putte det i en skål med koldt vand. Forholdene er sådan, at hvis temperaturen på ægget falder med 1 C, stiger vandets temperatur med 0.1 C. (De faktiske forhold vil afhænge af vandmængden i forhold til æggets masse, men den historie vil overlader vi til fysiklæreren) I stedet for at omgivelsernes temperatur er konstant bliver omgivelsernes temperatur nu også en funktion af tiden. Vi kan opstille to differentialligninger med to ubekendte funktioner x(t) og y(t) x' t =Kk1$ x t K y t y' t = k2$ x t K y t hvor x(t) angiver æggets temperatur til tiden t og y(t) angiver vandets temperatur til tiden t. Vi sætter k1 til 0.1 som i eksemplet med kakaoafkølingen, og k2 bliver 0.01, fordi vi antog, at temperaturændringen var 10 gange så stor for ægget som for omgivelserne. Vi vil gerne løse differentialligningssystemet og udnytter som sidst den indbyggede hjælpefil i Maple. 1.Vælg Tools/Assistants/ODE Analyzer Udfyld felterne fra venstre mod højre Tryk Edit under Differential Equations Tryk Assist for at få den rigtige syntaks til venstre side af differentialligningerne og indtast højresiderne. Skriv navnet på funktionen (her x) og den uafhængige variabel (her t) og vælg order til 1, svarende til en førsteordens differentialligning MJ Nærum gymnasium s 1 af 6

2 5. Tryk Insert og dernæst Done 6. Indskriv resten af ligningen og tryk Add, når du er færdig. Koblede differentialligninger.mw 7. Gentag punkt 2-5, så du får begge ligninger indsat og afslut med at trykke Done 8. Gå videre med Conditions dvs. startbetingelserne, som her skal være x(0)= 100, svarende til at ægget er 100 C til at begynde med, og y(0)=20 fordi vandet har stuetemperatur. 9. Udfyld til sidst Parameters, med værdierne for k1 og k2 MJ Nærum gymnasium s 2 af 6

3 9. Koblede differentialligninger.mw Når du er færdig ser det således ud 11. Tryk Solve Numerically 12. Tryk Plot Options og sæt indstillingerne som vist neden for. Linjen med y i nederste felt fremkommer, ved at man trykker på Copy i linjen med x og udskifter x med y i rullemenuen 13. Tryk Done 14. Tryk Plot 15. Tryk Quit MJ Nærum gymnasium s 3 af 6

4 Så skulle følgende billede komme frem x, y t Klik på figuren og sæt enheder på akserne, og labels på kurverne temperatur i C Æggets temperatur Omgivelsernes temperatur tid i min Øvelse 1 Prøv selv at undersøge, hvad der sker, når man ændrer på startbetingelser og parametre. MJ Nærum gymnasium s 4 af 6

5 Det viser sig, at vi kan løse dette ligningssystem analytisk i Maple. Vi definerer først parametrene k1 d 0.1 : k2 d 0.01 : Dernæst definerer vi differentialligningerne ode1 d x' t =Kk1$ x t K y t : ode2 d y' t = k2$ x t K y t : og så løser vi dem med startbetingelserne x(0)=100 og y(0)=21 dsolve ode1, ode2, x 0 = 100, y 0 = 21 x t = C K 11 e 100 t, y t = K e K t C (1) Ekstramateriale Vi kan også udlede de generelle løsninger til dette specielle differentialligningssystem på følgende måde. Vi skal finde alle de funktioner x(t) og y(t), der passer ind i ligningssystemet x' t =Kk1$ x t K y t y' t = k2$ x t K y t For nemheds skyld, skriver vi ikke t-erne, så ligningssystemet ser således ud x'=kk1$ x K y y'= k2$ x K y hvor vi husker, at x og y er funktioner. Vi starter med at vise at k2$x C k1$y er konstant ved at differentiere udtrykket og få 0. (Sætningen om differentiable funktioners monotoniforhold). k2$x C k1$y '= k2$x'c k1$y'= k2$ Kk1 $ x K y C k1$k2$ x K y = 0 Sætter vi x 0 = x 0 og y 0 = y 0 ved vi k2$x C k1$y = k1$x 0 C k2$y 0 Øvelse 2 Hvorfor gør vi det? MJ Nærum gymnasium s 5 af 6

6 Nu kan vi isolere y og indsætte det fundne udtryk i ligningen for x' y = k1$x 0 C k2$y 0 K k2$x k1 x'=kk1$ x K k1$x 0 C k2$y 0 K k2$x k1 =Kk1$x C k1$x 0 C k2$y 0 Kk2$x x'=k k1 C k2 $x C k1$x 0 C k2$y 0 Ser vi grundigt på denne differentialligning genkender vi Newtons afkølingslov, hvor x'=kk$ x K tslut k1 C k2 svarer til k og tslut = k1$x 0 C k2$y 0 k1 C k2 Når vi har bestemt x analytisk ved at løse diferentialligningen, kender vi også y. Øvelse 3 Hvorfor gør vi det? Vi kan nu sammenligne vores teoretiske løsning med vores analytiske ved at plotte de to løsninger i samme diagram. Øvelse 4 Gør det. MJ Nærum gymnasium s 6 af 6

Newtons afkølingslov

Newtons afkølingslov Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Kapitel 3: Modeller i Derive

Kapitel 3: Modeller i Derive 3. Modeller i Derive 3.1 Indledende knæbøjninger For at regne på modeller i Derive skal vi bruge FIT-funktionen som tilpasser et datasæt til et vilkårligt udtryk med lineære parametre ved hjælp af mindste

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Matematikprojekt om Differentialligninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 5 November 2010 Indhold I Differentialligninger........................ 3 I Generelt om

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Beregn gennemsnitlig BMI

Beregn gennemsnitlig BMI Beregn gennemsnitlig BMI I denne vejledning kigges på hvordan man beregner den gennemsnitlige BMI ved operation. Data til dette findes i dataudtræk fra Skema 1A eller dataudtræk med data fra alle skemaer.

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

ISO 27001/27002:2013 i SecureAware Policy TNG

ISO 27001/27002:2013 i SecureAware Policy TNG ISO 27001/27002:2013 i SecureAware Policy TNG - Sådan lægger du din informationssikkerhedshåndbog om til de nye ISO- standarder 1. Opgrader til version 4.6.0 (eller senere)... 2 2. (Kun for brugere af

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

BASE. Besvarelse til individuel skriftlig test

BASE. Besvarelse til individuel skriftlig test BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger Numerisk løsning af differentialligninger Begyndelsesværdiproblemet Vi vil se på løsning af begyndelsesværdiproblemet: dx( t) x ( t) f ( x, t) dt x ( t ) 0 x0 hvor vi vil foretage numerisk integration

Læs mere

Brugermanual til Assignment Hand In

Brugermanual til Assignment Hand In Brugermanual til Assignment Hand In Indhold: Undervisere:... 2 Hvor finder jeg Assignment hand in?... 2 Opret en opgave... 3 Slet en opgave... 4 Rediger en opgave... 4 Hvor finder jeg de afleverede filer?...

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Corporate Netbank Administration Brugervejledning - Oprettelse af brugere og bestilling af Nordea eid

Corporate Netbank Administration Brugervejledning - Oprettelse af brugere og bestilling af Nordea eid Corporate Netbank Administration Brugervejledning - Oprettelse af brugere og bestilling af Nordea eid Indhold Log på Corporate Netbank... 3 Opret bruger... 4 Bestil Nordea eid... 5 Godkend oprettelse af

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7. Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge

Læs mere

Eksempler på differentialligningsmodeller

Eksempler på differentialligningsmodeller 1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for effektive måder til at indtaste data på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Hundeweb Brugermanual Opret DJU prøver m.m.

Hundeweb Brugermanual Opret DJU prøver m.m. Hundeweb Brugermanual Opret DJU prøver m.m. Indholdsfortegnelse Kapitel 0 - Log på hundeweb...2 Log på Klubsystemet...3 Kapitel 1 Opret prøve...4 Kapitel 2 Aktiver prøven så der kan tilmeldes på hundeweb...7

Læs mere

Moltrup-sogn.dk - Vejledning i redigering af undersider, og oprettelse af nye sider.

Moltrup-sogn.dk - Vejledning i redigering af undersider, og oprettelse af nye sider. Indholdsfortegnelse Moltrup-sogn.dk - Vejledning i redigering af undersider, og oprettelse af nye sider.... 2 Brugernavn og kodeord.... 2 Selve tekstbehandleren... 3 Indsættelse af billeder... 4 Metadata...

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Vejledning til Google Apps på Øregård Gymnasium

Vejledning til Google Apps på Øregård Gymnasium Vejledning til Google Apps på Øregård Gymnasium Eksport af kontaktpersoner fra one.com... 2 Eksport af kontaktpersoner fra Outlook... 2 Eksport af kontaktpersoner fra Firebird eller andre... 2 Import af

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Oplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.

Oplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A. OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B 1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus

Læs mere

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger

Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger April 2015 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 1 Indledning... 3 1.1 Metode til anvendelse af kuber med

Læs mere

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2 Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

1 - en enkelt debitor 2 - en debitor ressourcerabatgruppe 3 - alle debitorer.

1 - en enkelt debitor 2 - en debitor ressourcerabatgruppe 3 - alle debitorer. Rabat på arbejdsløn I service er det muligt at give rabat på arbejdsløn pr. arbejdstype gældende for 1 - en enkelt debitor 2 - en debitor ressourcerabatgruppe 3 - alle debitorer. For henholdsvis debitor,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Opstartsvejledning til ipad. Tinderhøj Skole

Opstartsvejledning til ipad. Tinderhøj Skole Opstartsvejledning til ipad Tinderhøj Skole Den første skærm når du starter din ipad Sæt fingeren på pilen og træk den til højre. Vælg sprog En ipad kommer med mulighed for at vælge mange forskellige sprog.

Læs mere

Objects For Review / Materialer til anmeldelse

Objects For Review / Materialer til anmeldelse Objects For Review / Materialer til anmeldelse Ny plug-in til OJS Objects For Review Niels Erik Frederiksen Til Open Journal Systems findes en plug-in, der gør det muligt at opsætte en speciel anmeldersektion

Læs mere

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

VEJLEDNING KIOSKKØB. Køb i boderne med sæsonkort

VEJLEDNING KIOSKKØB. Køb i boderne med sæsonkort Hovedsponsor: LigaPartner: ProduktPartner: VEJLEDNING KIOSKKØB Køb i boderne med sæsonkort INDLEDNING Du kan i denne vejledning se, hvordan du kan købe varer i boderne hjemmefra og lægge dem på dit sæsonkort,

Læs mere

WORKCYCLUS. Handlingsplan. Vers 4.0. Juni 2013. Workcompany A/S. Amagertorvet 33, 4.sal. DK-1160 København K. www.workcompany.dk

WORKCYCLUS. Handlingsplan. Vers 4.0. Juni 2013. Workcompany A/S. Amagertorvet 33, 4.sal. DK-1160 København K. www.workcompany.dk WORKCYCLUS Handlingsplan Vers 4.0 Juni 2013 Workcompany A/S Amagertorvet 33, 4.sal DK-1160 København K www.workcompany.dk 1. Indholdsfortegnelse Handlingsplan... 3 Overblik på indsatsområder på handlingsplan...

Læs mere

Studerendes video- optagelser til prøver

Studerendes video- optagelser til prøver Studerendes video- optagelser til prøver Resume Video til brug ved prøver kan optages i flere forskellige formater og lagres på forskellige medier. Hvis video optages på dvd (f.eks. 80 mm skive, der sættes

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

Quickguide til BeerSmith - udstyrsindstillinger

Quickguide til BeerSmith - udstyrsindstillinger Opsætning af Equipment (Udstyr) i BeerSmith En af de vigtigste trin i opsætningen af BeerSmith er, at oprette din egen Equipment profile (udstyrsprofil), baseret på en af de eksisterende profiler. Udstyrsindstillingerne

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.172 Side 1 Lave et postkort som foldes sammen til A6 størrelse

Vejledning til Photofiltre nr.172 Side 1 Lave et postkort som foldes sammen til A6 størrelse Side 1 Til denne vejledning skal vi bruge skabelonen som er inddelt i 4 med hjælpelinjer. Der bruges 2 felter som så foldes sammen til et A6 kort. Der skal så laves noget specielt i Photofiltre hvor vi

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger

Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Rev. 12. november 2009 I denne temaøvelse studerer vi en simpel model for gærglykolyse. Vi starter i Del 1 med at beskrive modellen. Denne model

Læs mere

Første møde med skærmbilledet i After Effects 6,5 PRO Lidt om animering

Første møde med skærmbilledet i After Effects 6,5 PRO Lidt om animering Bent Sehested Side - 1 Første møde med skærmbilledet i After Effects 6,5 PRO Lidt om animering Hvert lag i Compositionen har et afmærket ankerpunkt. Det er koordinaterne for diagonalernes skæring. Der

Læs mere

Billedbeskæring & Irfan View

Billedbeskæring & Irfan View Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Hvordan redigerer jeg billeder?...2 Installation af Irfan View...2 Opsætning af Irfan View...5 Gem med en fornuftig billedtype...5 Irfanview på dansk...6 Brug

Læs mere

I jobloggen tilføjer borgeren, hvilke job han/hun gerne vil søge, og de opgaver der er i den forbindelse. Det kan fx være:

I jobloggen tilføjer borgeren, hvilke job han/hun gerne vil søge, og de opgaver der er i den forbindelse. Det kan fx være: Om Joblog Det overordnede formål med Joblog er tredelt: 1. Joblog skal give borgeren overblik over egen jobsøgning og relaterede aktiviteter 2. Joblog skal tjene som udgangspunkt for samtaler i jobcentret

Læs mere

Det perfekte blødkogte æg

Det perfekte blødkogte æg Det perfekte blødkogte æg Opgaveformulering: Ifølge undersøgelser på University of Exeter 1 kan det vises, at den optimale kogetid for et blødkogt æg kan skrives som Giv en kort redegørelse for den engelske

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

IHCTablet Manual. For IHCTablet version 1.0 019D903222_01 2012 Scneider Electric A/S Danmark

IHCTablet Manual. For IHCTablet version 1.0 019D903222_01 2012 Scneider Electric A/S Danmark IHCTablet Manual For IHCTablet version 1.0 019D903222_01 2012 Scneider Electric A/S Danmark Opsætning af Controller. Administrator og IP opsætning. Åben Administrator via f.eks. Internet Explorer I adresse

Læs mere

Bemærk det sidste kapitel Modtagelse af et brev, som bl.a.. bruges når du skal modtage og indlæse en henvisning.

Bemærk det sidste kapitel Modtagelse af et brev, som bl.a.. bruges når du skal modtage og indlæse en henvisning. Guide: Start- & Slutbreve og modtagelse af breve Udgave mar 2009 Bemærk det sidste kapitel Modtagelse af et brev, som bl.a.. bruges når du skal modtage og indlæse en henvisning. Indholdsfortegnelse Hvorledes

Læs mere

Vejledning til brug af ligningseditoren i Word og tilføjelsesprogrammet WordMat som er et CAS-værktøj.

Vejledning til brug af ligningseditoren i Word og tilføjelsesprogrammet WordMat som er et CAS-værktøj. Vejledning til brug af ligningseditoren i Word og tilføjelsesprogrammet WordMat som er et CAS-værktøj. Installationer og licenser. Word er en del af den gratis officepakke, som du som elev på en skole

Læs mere

Vejledning til brug af Foreningsportalen

Vejledning til brug af Foreningsportalen Vejledning til brug af Foreningsportalen Ansøgning om - og opgørelser af tilskud Som en godkendt forening efter Folkeoplysningsloven i Svendborg Kommune skal du via Foreningsportalen ansøge om medlems-

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Maple A-Niveau Copyright Knud Nissen 2012

Maple A-Niveau Copyright Knud Nissen 2012 Maple A-Niveau Copyright Knud Nissen 2012 Maple A-Niveau Contents 1 2D-vektorer i Maple... 1 1.1 Gympakken... 1 1.2 Indtastning af vektorer... 1 1.3 Regning med vektorer... 3 cirkulær reference - kun hvis

Læs mere

GUIDE TIL OPRETTELSE AF ARTIKLER I JOOMLA - FRONTEND

GUIDE TIL OPRETTELSE AF ARTIKLER I JOOMLA - FRONTEND GUIDE TIL OPRETTELSE AF ARTIKLER I JOOMLA - FRONTEND INDHOLDSFORTEGNELSE Login og ændring af adgangskode 2 Oprettelse/redigering af artikler 3 Indsæt billede i en artikel 7 Sæt et link i en artikel 13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Valghold 2011 2012 Matematik A

Undervisningsbeskrivelse Valghold 2011 2012 Matematik A Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Valghold Henrik Pedersen HtxmatA311

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

OPRET OG REDIGER FORMULARER I DYNAMICWEB

OPRET OG REDIGER FORMULARER I DYNAMICWEB OPRET OG REDIGER FORMULARER I DYNAMICWEB Modulet formularer giver dig mulighed for at oprette dynamiske formularer, som enten kan anvendes til kontakt, brugerundersøgelser, quiz eller tilmeldinger. Du

Læs mere

Man tilgår CV via Jobnet, under menupunktet Min jobsøgning, hvor man kan klikke sig ind på det i venstre hjørne.

Man tilgår CV via Jobnet, under menupunktet Min jobsøgning, hvor man kan klikke sig ind på det i venstre hjørne. Om IT understøttelsen af CV fokus på nye funktioner Man tilgår CV via Jobnet, under menupunktet Min jobsøgning, hvor man kan klikke sig ind på det i venstre hjørne. Forsiden af CV har fået nyt lay-out.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Eksempel 1 Br + Cl 2 Cl + Br 2 Problem, målsætning En afstemning går ud på at bestemme (naturlige) tal a, b, c, d så: a Br + b Cl 2 c Cl + d Br 2 Metode Tallene

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Vejledning i opsplitning / salg / skrotning / samling af anlæg

Vejledning i opsplitning / salg / skrotning / samling af anlæg Vejledning i opsplitning / salg / skrotning / samling af anlæg Hvornår? Vejledningen tages i brug når institutionen skal opsplitte, sælge, skrotte eller samle anlæg. Hvad? Det kan dreje sig om et anlæg,

Læs mere

At lave dit eget spørgeskema

At lave dit eget spørgeskema At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Android. Opsætning af Samsung Galaxy Ace

Android. Opsætning af Samsung Galaxy Ace Android Opsætning af Samsung Galaxy Ace 2 november 2011 Tryk på Finish 3 november 2011 Isæt simkort Isæt batteri Isæt SD kort Tænd telefon i højre side for oven Tast pinkode Vælg DK TDC på skærmen Tryk

Læs mere

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler Maple på C-niveau Umiddelbart kan Maple på C-niveauet virke som en stor mundfuld, men nøjes man med at benytte Maple som et skriveværktøj kombineret med nogle ganske få menukommandoer, vil eleverne kunne

Læs mere