Projekt 6.3 Løsning af differentialligningen y

Transkript

1 Projek 6.3 Løsning af differenialligningen + c y 0 Ved a ygge videre på de løsningsmeoder, vi havde succes med ved løsning af ligningerne uden ledde y med den enkelafledede, er vi nu i sand il a løse den generelle ligning. (1) Vi når frem il eviserne for de forskellige yper af løsninger gennem en række øvelser, hvor en del er overlad il læserens ege arejde. Vi laver nu de indledende foreredelser il a evise sæningen. Førs analyseres proleme. Øvelse 1: De karakerisiske polynomium a) Anag a k f ( ) er en løsning il (1). Vis ved indsæelse, a vi får ligningen: e k e k e k k k c ) Vis, a denne ligning kan reduceres il: k + k + c 0 () Foreløig konklusion: Hvis er en løsning il differenialligningen, så er k er rod i de andengradspolynomium p( x) x + x + c, der fremkommer ved a ersae y y 1 0 y med henholdsvis x, x x, dvs. med x x Dee polynomium kalder vi de karakerisiske polynomium. k, c) Anag k er rod i de karakerisiske polynomium, dvs () er opfyld. Vis a så er differenialligningen, dvs (1) er opfyld. Såfrem de karakerisiske polynomium har o rødder, x 1 er løsninger il (1). Øvelse : Linearkominaioner er så løsninger L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk y x, så ved vi alså, a k en løsning il, 1. Vis følgende: Hvis y 1 y er løsninger il (1), så er så y c 1 1 e + c e en løsning, for alle valg af konsaner c 1 c. En sådan kominaion af de o løsninger, hvor vi ganger med konsaner adderer, kaldes for en linearkominaion. Vi er nu allerede nåe frem il, a de karakerisiske polynomium, de ev. rødder heri må spille en eydningsfuld rolle i løsningen af anden ordens differenialligninger. Men Ikke alle polynomier har rødder, så vi kan så allerede nu indse, a den klasse af funkioner, vi så på i den foregående øvelse, ikke kan rumme hele hisorien om løsningen. I de følgende vil vi derfor dele op i de re ilfælde, vi kender fra andengradspolynomier: To rødder, én rod eller ingen rødder. I de o ilfælde med rødder får vi rug for følgende lille sæning om rødder i e andengradspolynomium: Sæning 1: Egenskaer ved rødderne i e andengradspolynomium. Anag, a andengradspolynomie p( x) x + x + c har rødderne x x. Så gælder x1+ x x x c 1 1 Øvelse 3: Bevis for sæningen Lad x x være rødderne i polynomie. Rødderne kan skrives få følgende form: 1 + 4c 4c x1 x 1. meode. Anvend di værkøjsprram il a udregne x1+ x x x.. meode. I B-ens kapiel 3 om polynomier lære vi, a hvis x 1 x er rødder i polynomie p( x) x + x + c, så kan vi fakorisere således: 1 x x

2 x + x + c ( x x1) ( x x) Udregn nu højre side. De skal være lig med vensre side. Deraf får vi resulae. Vi er nu para il a vise: Sæning : Løsning af den homene lineære anden ordens differenialligning. Den fuldsændige løsning af ligningen afhænger af diskriminanen d 4ac i de karakerisiske polynomium x + x + c 0. 1) Hvis d 0, x x er de o forskellige reelle rødder i de karakerisiske polynomium, så er den fuldsændige løsning lig med mængden af alle funkioner, der kan skrives på formen 1 x1 x 1 e e y c + c, hvor c c er konsaner. ) Hvis d 0, x 0 er doelroden i de karakerisiske polynomium, så er den fuldsændige løsning lig med mængden af alle funkioner, der kan skrives på formen 1 x0 x0 1 e e y c + c, hvor c c er konsaner. 1 3) Hvis d 0, q sæes lig med alle af alle funkioner, der kan skrives på formen hvor c ( 1 ( ) ( )) y c cos q + c sin q, c er konsaner L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk, så er den fuldsændige løsning lig med mængden Bemærkning. Hvis vi regner inden for den sørre almængde af komplekse al, er punk 3 overflødig, ide andengradspolynomier alid har komplekse rødder dermed alid kan fakoriseres inden for de komplekse al. I de komplekse als verden er ilfælde 1 3 derfor i virkeligheden (maemaisk se) den samme siuaion. Men modellerne agved kan være mege forskellige. De er mege underlig, for de foræller, a når vi går ud i en sørre verden af -dimensionelle al erager henholdsvis den naurlige eksponenialfunkion sinus cosinus, så vil vi pludselig se, a de lo er forskellige projekioner af samme funkion. Før vi går i gang med a evise sæningen, vil vi sammenligne med de o idligere undersøge ilfælde. Øvelse 4 I ilfælde k r differenialligningen (1): k y 0 Opskriv de karakerisiske polynomium find rødderne heri. Opskriv dernæs løsningsformlen ifølge sæningen ovenfor, sammenlign med den, der omales i sæning 1 i kapiel 8. Øvelse 5 I ilfælde k r differenialligningen (1): + k y 0 Følg punk 3 i sæningen sammenlign den løsning du finder, med den der omales i sæning i kapiel 8- Bevis for sæning punk 1. (susiuionsmeoden) Bevise for de førse o punker, hvor der findes reelle rødder i de karakerisiske polynomium, kan gennemføres som de idligere eviser, ved a anvende en inegraionskonsan. E sådan evis kan du finde i appendiks nedenfor. Men vi vil her demonsrere en ny eknik, den såkalde susiuionsmeode. Den har flere fordele, dels kan den generaliseres il højere ordens differenialligninger med konsane koefficiener, dels kan eknikken anvendes ved løsning af inhomene ligningssysemer, hvilke vi viser senere. Anag r en løsning il differenialligningen:

3 Udny sæning 1 om andengradspolynomiers rødder indsæ x1+ x x + x y+ x x y Øvelse 6 a) Vis, a denne ligning kan omskrives il: y x y ' x y x y ) Susiuér u y' x1 y, så ligningen reduceres il u x u 0. vis, a denne har løsningen: u ce x1 x c c) Susiuér ilage så vi får ligningen: y x y c 1 +, der er en lineær førse ordens differenialligning. Anvend løsningsformlen i kapiel 4 sæning 4 il a opskrive: x1 x1 x1 x y c1 e + c e d ( x x1) y c c e d (3) Anvend poensregel Heril har udregningerne dække ilfældene 1. Men her skilles vandene, fordi siuaionen med doelrod ( x x1) 0 medfører, a e e 1. Øvelse 7. Afsluning af evis for punk 1 Her er x x. Besem en samfunkion il ovensående inegral (3) vis: 1 y c x1 c x1 ( 1 ) 1 + e x x x1 c x x1 x x y c 1 e 1 + e Anvend poensregel Indfører vi nu eegnelsen c c x x1 x1 x 1 e e y c + c, får løsningen den ønskede form: Øvelse 8. Afsluning af evis for punk a) x1 x x0 (doelrod). Indsæ i ligningen (3) ovenfor vis vi får følgende: y c c d ) Besem inegrale vis: x0 x0 y c1 e + c e Kalder vi nu c for c, får løsningen den ønskede form: x0 x0 1 e e y c + c Bevis for sæning punk 3. (Anvendelse af inegraionskonsan) Tilfælde 3 har d 0, dvs. 4c 0. Vi vil føre dee ilfælde ilage il differenialligningen y'' k y, som vi allerede har løs. Vi sarer med a splie ledde med y op i o, ide vi håer a kunne samle disse fire led o o anvende produkreglen. Differenialligningen (1) liver så skreve således: + y+ y+ c y 0 Øvelse 9 Vis a denne ligning kan omskrives på følgende måde: e + e + e + cy e 0 y y c L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk :

4 Vi kan ikke umiddelar anvende produkreglen på de sidse o led. Men vi lægger så i sede de led il på vensre side, de giver os mulighed for a ruge produkreglen. Øvelse 10 a) Vis a ligningen kan omskrives videre på følgende måde: + e + y( ) e y( ) e cye y y c + y c + y e (( ) c) y e ) Vis, a ved a anvende susiuionen ) Vis ( ) c) sæ c z c z 0 z ye, når diskriminanen er negaiv. vis a ligningen kan omskrives il: kan dee omskrives il: z q z d) Vi har nu før ligningen ilage il den ype, som kapiel 8, sæning giver os løsningen il: z c cos q + c sin q 1 Susiuér ilage vis: ( 1cos( ) + sin( )), hvor y c q c q hvilke neop var løsningen på den ønskede form. Hermed har vi afslue evise for sæning, eller q c ( ) Øvelse 11 Anvend løsningsformlerne il a esemme den fuldsændige løsning il følgende: a) + 5y 0 ) 6y + 9y 0 c) + y+ 5y 0 Øvelse 1 Anvend åde løsningsformlerne e værkøjsprram il løsning af følgende egyndelsesværdiprolemer, egn graferne for løsningskurverne. a) 3y 4y 0, y(0) 1, y (0) 0 ) 0, y(0) 1, y (0) 3 c) + y 0, y(0) 1, y (0) L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk

5 Appendiks: Udledning af løsningsformlen il sæning punk 1 ved hjælp af en inegraionskonan. Vi skal løse:. (1) Indsæ i (1) udrykkene for c fra sæning 1: y'' x y' x y' + x x y Inspirere af idligere løsningsmeoder regner vi nu videre således (gør selv rede for, hvad der sker i hver enkel skrid): y'' e x y' e x y' e + x x y e 0 x1 x1 x1 x1 1 1 x1 x1 x1 ( ) x ( x1 ) x1 x1 ( y' e )' x ( )' 0 x1 x1 ( y' e x )' 0 ' ' ' 0 y' e x y e c ( c er konsan) x1 x1 x 1 x 1 y' x y c e y' x y + c e Dee genkendes som en lineær 1. ordens differenialligning med x 1 f x g( ) c e ( ) Den kan enen løses ved rug af formlen, eller ved a foreage de sædvanlige omskrivninger. 019 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk