Workshop om fejl ndende og -rettende koder
|
|
- Gregers Lauritzen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Workshop om fejl ndende og -rettende koder Kjeld Bagger Laursen October 11, Indledning 1 Kig på bagsiden af en hvilkensomhelst bog udgivet indenfor de seneste år. Et eller andet sted - ofte i nederste højre hjørne - nder du det såkaldte ISBN, f.eks. ISBN ; tit sammen med en eller ere stregkoder. Hver eneste bog der udgives har sit eget International Standard Book Number, og dette tal spiller en vigtig rolle i hele markedsføringsprocessen: Ved lagerkontrol, ved bestilling, forsendelse, prissætning og betaling. ISBN-systemet er et eksempel på dagligdags anvendelse af fejl ndende og fejlrettende koder. Fejl ndende og fejlrettende koder kender vi udmærket fra det almindelige sprog. De virker ved hjælp af såkaldt redundans, dvs. ekstra, over ødig information, som tjener som korrektions-mulighed. Masser af trykfejl i avisen giver anledning til et billigt grin, men ikke misforståelser. Hvis vejrudsigten lover rogn i morgen er der tilstrækkelig redundans i situationen (vi læser en vejrudsigt, ikke en madopskrift) til at vi forstår hvad den korrekte udsigt er. Men hvis der står at en vis dansk kvindes fornavn er Annå, kan vi se at der er noget galt (fejl nding), men vi kan ikke umiddelbart fejlrette. Hedder hun Anne, Anna, Anni? Det drejer sig altså om pålidelighed af informationsoverførsler, og systemet fungerer principielt sådan her: Informationen foreligger i standardiseret numerisk form, f.eks. som et ISBN. Vi kan kalde denne række af cifre et kodeord. Kodeordet indeholder tillige et eller ere tjekcifre. Tjekcifret er regnet ud efter ganske bestemte regler og sætter modtageren af kodeordet i stand til at kontrollere om der er fejl i kodeordet; vi siger at vi har en fejl ndende kode, - og det er det, vi hovedsagelig skal beskæftige os med her. Visse systemer kan (altid eller sommetider) også konstatere hvad det korrekte kodeord er; i så fald har vi en fejlrettende kode - endnu et fascinerende emne (og nyttigt: Det nyder du f.eks. godt af hver gang du spiller en CD!), men det må hvile til en anden god gang. Hvilke informationer indeholder et ISBN? Som eksemplet viser, er et ISBN et 10-cifret tal x 1 x 2 :::x 10 ; som éntydigt bestemmer bogen. Cifrene x 1 ::x 9 kan være hele tal 0,1,...,9. Et ISBN indeholder, fra venstre mod højre, oplysninger om udgivelseslandet, forlaget og bogens eget nummer. F.eks. har Danmark cifrene 87, mens de store engelsksprogede lande USA og England deles om tallet 0. De næste to eller tre cifre angiver forlaget: 502 er Polyteknisk Forlag. Så er der 4-7 cifre til at angive den enkelte bog. Endelig er der det sidste ci er, x 10 ; som er et tjek-ci er. Et tjekci er bruges til fejl nding. I et ISBN vælges x 10 sådan at x 1 + 2x 2 + 3x 3 + ::: + 9x x 10 1 Dette dokument ligger også (i pdf-format) på adressen (nederst på siden) 1
2 er deleligt med 11. Vi siger at denne vægtede tværsum skal være 0 modulo 11, netop fordi den divideret med 11 giver resten 0, og skriver x 1 + 2x 2 + 3x 3 + ::: + 9x x 10 = 0 (mod 11): Tjekcifret x 10 kan være 0,1,...,9, men kan også være 10. For at fastholde ci erantallet, bruger man romertallet X til at betegne tjekci erværdien 10. Når man har valgt at regne modulo 11, er det dels fordi 11 er større end de cifre der kan forekomme i et ISBN, og dels fordi 11 er et primtal. Hermed er vi inde på talteori. Talteori er en klassisk matematisk disciplin, og den har mest været dyrket for sin egen skyld. De moderne anvendelser af den, vi beskriver her, illustrerer et ofte set fænomen i matematik, nemlig at det man oprindelig anså for den reneste matematik viser sig at have stor nytteværdi senere hen. Vi skal ikke bruge så meget talteori her, men kan dog om lidt konstatere at vi er i stand til at opdage alle fejl i et enkelt ci er og alle fejl bestående af ombytning af to cifre. Derved adskiller ISBN sig fra et andet nummersystem, EAN (som vi kommer til om lidt), hvor man har valgt at regne modulo 10; en af konsekvenserne af dette valg (af et ikke-primtal) er at ikke alle ombytningsfejl automatisk opdages. 2 Primtal Nogle hele tal kan kun deles med sig selv og med 1, mens de øvrige er delelige med andre hele tal. De udelelige tal kalder vi som bekendt primtal - de øvrige sammensatte tal. Listen over primtal starter sådan: 2,3,5,7,11,13,17,23,...(tallet 1 er specielt, det opfattes som en enhed, ikke et primtal) Hvis et positivt helt tal n ikke er et primtal, har det altså andre faktorer end de to trivielle, 1 og n, dvs. der ndes et helt tal a, 1 < a < n, der går op i n. En berømt talteoretisk sætning, primtalssætningen, siger at ethvert helt tal kan skrives som et produkt af primtal. F.eks er = Sætningen er næsten selvindlysende: Hvis et helt tal (som vi gerne må antage positivt) foreligger, er det enten et primtal eller et sammensat tal. Hvis det er et primtal, er vi straks færdige med at faktorisere det. Og hvis det er et sammensat tal, kan det jo skrives som et produkt af to mindre tal. Nu kan ræsonnementet gentages på hver af faktorerne. Når vi ramler ind i en primfaktor, går vi blot videre til næste faktor: hvis den er et sammensat tal, kan vi gentage spøgen. De efterhånden opdukkende faktorer er altså enten primtal, eller der forekommer mindre og mindre sammensatte tal. Men vi kan jo ikke komme længere ned end til det mindste naturlige tal 1, så vi må til sidst være nået frem til lutter primtal som faktorer. Øvelse Er et primtal? Men primtalssætningen siger mere: Den siger også at der er kun én måde at faktorisere på, altså at de indgående primfaktorer er entydig bestemt. Vi kan selvfølgelig ændre på faktorernes rækkefølge, men et ganske bestemt sæt af primtalsfaktorer skal forekomme (og vi ser bort fra forekomsten af den inderligt ligegyldige faktor 1). For er der altså ingen vej udenom: Faktorerne 3, 41 og 43 indgår nødvendigvis, og faktoren 17 to gange, også nødvendigvis. Det er denne entydighed, der viser sig at være nyttig her. Bemærk iøvrigt, at der selvfølgelig ikke er mulighed for entydig faktorisering, kun entydig primtalsfaktorisering. For 12 har vi jo 12 = 34 = 26; men primtalsfaktoriseringen er 12 = 2 2 3; og den er entydig. 3 ISBN Tilbage til ISBN: Når vi skal udregne tjekcifret x 10 i et ISBN, regner vi altså en vægtet tværsum ud x 1 + 2x 2 + 3x 3 + ::: + 9x x 10 = 0 (mod 11); 2
3 hvor det i te ci er får vægten i. Jeg påstod før om ISBN-tjekcifret at vi med det kan konstatere alle fejl i et enkelt ci er. For at indse det, kan vi gøre følgende: Lad os om ISBN x 1 x 2 :::x 10 forestille os at et af cifrene, det er her ligegyldigt hvilket, så kald det bare x k ; er blevet fejllæst som y k : Der gælder altså at y k = x k + e, hvor e 6= 0 er fejlen. I den vægtede tværsum bidrager e da med ke, og da det sande ISBNs vægtede tværsum er et multiplum af 11, er det falske ISBNs tværsum et tal af formen (et multiplum af 11)+ke. Fejlen forbliver uopdaget hvis ke er et multiplum af 11. Men husk: k og e er tal mellem 1 og 10, og da 11 er et primtal, er det ikke muligt for ke at være et multiplum af 11 (det siger entydighedsdelen af primtalssætningen - se ovenfor). Altså opdages fejlen. Øvelse En bestillingsliste indeholder ISBN Er dette ISBN korrekt? Hvis et ISBN er blevet beskadiget, så et ci er ikke kan læses, kan man rekonstruere det manglende ci er. Kig f.eks. på følgende tal: Vi har sat streger i det, men kun for at øge læsbarheden. Det er et ISBN - hvilket vi kan tjekke. Lad os nu forestille os at der er kradset i tallet, så femte ci er ikke kan læses: Vi ser altså x Kan vi rekonstruere tallet, altså nde x? Regner vi den vægtede tværsum ud, får vi x = x: Dette tal må være et multiplum af 11. Da 250 = , ser vi at vi får samme rest, som 8 + 5x giver, ved division med 11. Altså er x = 8 + 5x (mod 11): Vi skal altså nde et multiplum af 5, der ved addition af 8 giver et multiplum af 11. Klart nok er x = 5 en løsning, idet = 33. Intet andet tal mellem 0 og 9 løser denne ligning. Øvelse En bestillingsliste er blevet tygget igennem af en stor hund, og indeholder derfor det ufuldstændige ISBN x Find ud af hvad der skulle have stået. Forklaringen på at vi i eksemplet får præcis ét svar, altså konstaterer at det rekonstruerede ci er er entydigt bestemt, får vi af primtalssætningen: Hvis k betegner vægten (= plads nummeret), hvis x 1 og x 2 er to kandidater til ci er nr. k i vores ISBN, og hvis vi bruger betegnelsen r for alle de øvrige cifres samlede bidrag til den vægtede tværsum, skal der jo gælde at både r +kx 1 og r +kx 2 er multipla af 11, og derfor at (r +kx 1 ) (r +kx 2 ) er et multiplum af 11. Symbolsk: kx 1 kx 2 = 0 (mod 11): Erstatter vi x 1 x 2 med x, står vi altså med ligningen kx = 0 (mod 11), eller i ord: kx er et multiplum af 11. Men hvis kx = 11 c for et eller andet helt tal c, må kx jo være et tal hvori 11 er en primfaktor. Da k er et helt tal mellem 1 og 10, og x ligger mellem 0 og 10, er den eneste mulighed at x = 0. Altså er x 1 = x 2. Øvelse I den foregående øvelse kunne ISBN rekonstrueres. Kan man det i øvelsen før? Hvorfor ikke? En anden fejlmulighed ligger i ombytning af to cifre. Denne fejl opstår typisk ved fejl-kopiering af et ISBN. I et ISBN vil en ombytningsfejl blive fanget af tværsumstjekket. Det kan man indse på f.eks. følgende måde; læg mærke til at vi ikke indskrænker os til at betragte fejlagtig ombytning af nabocifre. Vi forestiller os altså at det 10-cifrede tal x 1 x 2 :::x k :::x j :::x 10 er et ISBN, som er blevet fejlskrevet som x 1 x 2 :::x j :::x k :::x 10. Vi regner den vægtede tværsum af dette tal ud: x 1 + 2x 2 + ::: + kx j + ::: + jx k + ::: + 10x 10 og trækker den fra det rigtige ISBNs tværsum, som jo er x 1 + 2x 2 + ::: + kx k + ::: + jx j + ::: + 10x 10. Resultatet af denne subtraktion er åbenbart kx k + jx j (kx j + jx k ) 3
4 (alle andre led går jo ud med hinanden), så den numeriske afvigelse mellem de to tværsummer er (j k) jx j x k j. Fejlen opdages netop hvis dette tal ikke er et multiplum af 11. Men både j k og jx j x k j er tal mellem 1 og 9, og vi ser igen - fordi 11 er et primtal (altså fordi vi har primtalssætningen!) - at (j k) jx j x k j ikke er et multiplum af 11. Altså opdages ombytningsfejlen. 4 Galois I det foregående har vi jo regnet modulo 11, og betragter man mængden af alle hele tal modulo 11, har man det matematiske objekt der hedder et endeligt legeme. Dets traditionelle betegnelse er Z 11 : Disse endelige legemer kaldes også Galois legemer, efter den franske matematiker Evariste Galois. Galois døde allerede som 20 årig, i en duel i 1832 (duellen havde dog ikke noget med hans matematik at gøre). Han gjorde adskillige banebrydende matematiske opdagelser og er, trods sit meget korte liv, en af den abstrakte algebras absolut mest markante skikkelser. Ordet legeme ser måske besynderligt ud, i denne sammenhæng. Det er kommet ind i dansk som en oversættelse af det tyske Körper. Det lyder ikke umiddelbart meget bedre, som navnet på et matematisk begreb, men forklaringen skal nok søges i dets latinske rod corpus, dvs. det tilsvarende danske korps (og franske corps), i betydningen en organisation med en velspeci ceret og sammentømret struktur. Den tyske matematiker Richard Dedekind ( ) var vist den første der brugte ordet Körper; på norsk og svensk blev det iøvrigt til krop! 5 EAN EAN står for European Article Number. Sådan et tal står i den stregkode, som alle supermarkedvarer er mærket med. En vares stregkode læses ved kassen af en scanner, der a æser stregkoden ved hjælp af en laser-lysstråle. Denne stråle a æser forholdene mellem de hvide og de mørke stregers bredder (det er derfor en scanner kan læse en stregkode under skæve vinkler). Kasseapparatets computer tjekker det læste nummer, bl.a. ved at slå det op i sin database, og styrer kassebonsudprintningen af varenavn og -pris. Hvordan stregkoden tjekkes, i princippet, skal jeg kort beskrive nu. Et EAN er et 13-cifret tal, og hver af cifrene kan være 0, 1,..., 9. Ligesom med ISBN indeholder et EAN oplysninger om varens oprindelsesland, producenten, varenummeret. Det sidste ci er x 13 er et tjekci er. Det regnes ud fra kravet at x 1 + x 3 + x 5 + x 7 + x 9 + x 11 + x (x 2 + x 4 + x 6 + x 8 + x 10 + x 12 ) = 0 (mod 10); altså at den angivne vægtede tværsum skal være et multiplum af 10. Vi noterer os straks at dette tjek vil opdage alle fejl i et enkelt ci er: Hvis et enkelt ci er er forkert, vil denne afvigelse fra det korrekte blive ganget med 1 eller med 3, når tværsummen regnes ud, og resultatet kan ikke være et multiplum af 10 (kan du se det? - læg mærke til at hvis man i stedet for vægtene 1 og 3 havde brugt vægte der har faktorer fælles med 10, f.eks. 1 og 2, så ville visse fejl forblive uopdaget. Brugte man vægten 2, i stedet for 3, på cifrene med lige index, ville en fejl på f.eks. 5 jo blive ganget med 2, og resultatet ville stadig være et multiplum af 10 - altså tilsyneladende et korrekt EAN.) Øvelse Scanneren vil ikke læse tandpastatubens EAN, så kassedamen indtaster Hvad tilbagemelding giver systemet: Accepterer det indtastningen? I modsætning til situationen for ISBN kan ombytning af visse nabocifre slippe igennem. For at give et konkret eksempel kan vi se på de to første cifre i et EAN x 1 og x 2. Vi kan 4
5 selvfølgelig antage at x 1 6= x 2 ; ellers er der jo ingen synlig fejl. Disse to cifre bidrager til den vægtede tværsum med beløbet x 1 + 3x 2. Hvis de er blevet byttet om, giver de i stedet bidraget x 2 + 3x 1 ; så den vægtede tværsum er altså blevet ændret med 2x 2 2x 1 = 2(x 1 x 2 ). Det betyder jo at hvis x 1 og x 2 afviger 5 fra hinanden, vil den vægtede tværsum være et multiplum af 10, både med og uden ombytningen. Denne misere opstår selvfølgelig fordi tallet 10 ikke er et primtal. Øvelse En vare har EAN Angiv en ci erombytningsfejl, som fanges. Angiv en, der ikke fanges. Hvorfor bruger man da regning modulo 10 ved EAN? Formodentlig fordi det er væsentligst at benytte regning modulo et tal der er større end de forekommende cifre (og dermed ikke selv kan forekomme som ci er, eller som fejl). Og så slipper man for den skønhedsplet, som ISBN har, nemlig at tjekcifret 10 kan forekomme, og det nødvendiggør brugen af et ekstra symbol X. Hvordan dette undgås i CPR-numre, der også tjekker ved regning modulo 11, skal vi nu se. 6 CPR CPR numre kender vi jo alle: Et CPR nummer er et 10-cifret tal, og hver person i Danmark har et. De første 6 cifre angiver personens fødselsdag, og de sidste re er et løbenummer. I løbenummeret indbygges en del information: Af sidste ci er kan man se personens køn, af første ci er (i løbenummeret) om fødselsdagen ligger i det 20. eller det 19. århundrede (hvis det nævnte ci er er mindre end 5, er personen født i det 20. århundrede, mens et ci er 5 angiver en fødselsdato før år 1900). Endvidere er der en tværsumsalgoritme for CPR numre: Cifrene c 1, c 2, ::: c 10 tildeles i rækkefølge vægtene 4; 3; 2; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 og tallet 4c 1 + 3c 2 + 2c 3 + 7c 4 + 6c 5 + 5c 6 + 4c 7 + 3c 8 + 2c 9 + 1c 10 skal opfylde at 4c 1 + 3c 2 + 2c 3 + 7c 4 + 6c 5 + 5c 6 + 4c 7 + 3c 8 + 2c 9 + 1c 10 = 0 (mod 11): Der regnes altså modulo 11, ligesom ved ISBN, så fejl i et enkelt ci er fanges altid. Der er selvfølgelig andre tjekmuligheder: De første seks cifre skal jo være en dato. Men bemærk at ikke alle ombytningsfejl afsløres (omend nok de mest sandsynlige gør). Bemærk også at fordi man i løbenummeret har adskillige cifre at råde over, er det ikke nødvendigt at benytte et ekstra symbol såsom X. For at opnå et multiplum af 11 i den vægtede tværsum, kan man jo justere på andet end blot det sidste ci er i CPR nummeret. Øvelse Kør tværsumstjekket på dit eget CPR nummer. Lav også, med udgangspunkt i dags dato, et CPR-nummer for en nyfødt pige. Lav et lovligt CPR-nummer for en mand, født i dag i Lidt mere litteratur om emnet: Stephen Barnett: Some Modern Applications of Mathematics, Ellis Horwood, Hemel Hempstead 1995 Jens Carstensen: Talteori, Systime, Herning 1993 Joseph A Gallian, Steven Winters: Modular Arithmetic in the Marketplace, American Mathematical Monthly 95 (1988), Her har vi mest beskæftiget os med fejl ndende koder. Fejlrettende koder kan du læse mere om, f.eks. i H. Elbrønd Jensen og T. Høholdt: Fejlkorrigerende koder, en introduktion (Mat-Pr nr. 8, marts 1994, 27 sider), som kan fås ved henvendelse til Matematisk Institut, DTU. Vi har slet ikke været inde på hemmelige koder, der behandles i kryptologien. Emnet har ikke bare med spioner og sligt at gøre - i alle situationer hvor fortrolighed og databeskyttelse er væsentlig, f.eks. banktransaktioner (tænk på Dankort), spiller kryptologi en rolle. Du kan læse mere herom i Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi, Abacus, Vejle,
6 8 Workshopopgaver Øvelse Er et primtal? 2 Øvelse En bestillingsliste indeholder ISBN Er dette ISBN korrekt? Øvelse En bestillingsliste er blevet tygget igennem af en stor hund, og indeholder derfor det ufuldstændige ISBN x Find ud af hvad der skulle have stået. Øvelse I den foregående øvelse kunne ISBN rekonstrueres. Kan man det i øvelsen før? Hvorfor ikke? Øvelse Scanneren vil ikke læse tandpastatubens EAN, så kassedamen indtaster Hvad tilbagemelding giver systemet: Accepterer det indtastningen? Øvelse En vare har EAN Angiv en ci erombytningsfejl, som fanges. Angiv en, der ikke fanges. Øvelse Kør tværsumstjekket på dit eget CPR nummer. Lav også, med udgangspunkt i dags dato, et CPR-nummer for en nyfødt pige. Lav et lovligt CPR-nummer for en mand, født i dag i Appendix Her er et bevis for primtalssætningen. Det går tilbage til Euklid. 3 Theorem 1 Ethvert helt tal kan skrives som et produkt af primtal og de forekommende primfaktorer er entydigt bestemt. BEVIS Lad det hele tal m være givet. Vi kan antage at m > 0 (fortegnsskifte, hhv. trivialtilfældet 0). Hvis m er et primtal, er vi færdige. Og hvis m er sammensat, kan det faktoriseres. De fundne faktorer er enten alle primtal, ellers gentages argumentet. Hver ny-funden faktor er mindre end det først faktoriserede tal. Før eller siden stopper processen. Vi mangler at vise at faktoriseringen er entydig. Vi trækker igen på Euklid: Lemma 2 Hvis p er et primtal der går op i produktet a b; så går p op i enten a eller b: BEVIS (Euklid) Når to hele tal c og d ikke har nogen fælles faktorer, så ndes der hele tal e og f for hvilke ce + df = 1: For at se det, dividerer vi det mindste tal c op i det største d d = a 1 c + r 1 a 1 = a 2 r 1 + r 2 r 1 = a 3 r 2 + r 3 osv. Læg mærke til at ingen af resterne er 0 (hvis en rest var 0; kunne vi gå tilbage op igennem regnestykkerne og få en fælles faktor). Da resterne bliver mindre og mindre, må vi ende med en linie, der ser sådan ud: r s 1 = a s+1 r s + 1 I den linie kan vi indsætte de foregående og få vores mellemresultat. Så kan vi til gengæld let vise at hvis p går op i a b; men ikke i a; så går p op i b : 2 Prøv at google vendingen table of primes så får du adgang til mange lister over primtal. Du kan også nde info om de største kendte primtal 3 Euklid (ca. 300 fvt) levede og virkede i Alexandria. Hans Elementer siges at være den næstmest læste bog gennem tiderne. I dens 13 bøger samlede han 465 sætninger, som ikke alle kan have været hans opdagelse. Men dens aksiomatiske opbygning har øvet enorm ind ydelse. 6
7 Vi kan jo skrive as + pt = 1 og derfor at abs + pbt = b: Her står så direkte at læse at p går op i venstresiden, og derfor i højresiden. Vi kan nu vende tilbage til primtalssætningen: Vi skal vise entydigheden af primtalsfaktoriseringen. Hvis p 1 ::: p n = q 1 :::q m ; og begge sider er ordnet, så p i p i+1 ; hhv. q i q i+1 ; kan vi først bortforkorte alle fælles faktorer. Kig så på p 1 : Dette tal går op i venstresiden, og derfor i højresiden. Det går ikke op i q 1 : Derfor (lemmaet!) går det op i produktet af de øvrige. Forkort så p 1 ud. Gentag spøgen med p 2 : Efter tur bliver alle faktorerne på venstresiden fjernet. Vi ender i en modstrid. Jeg kan ikke nære mig for at vise jer en ot konsekvens af disse ting: Theorem 3 Der er uendelig mange primtal BEVIS (Euklid) Antag at påstanden ikke er sand. Så er her en fuldstændig liste over alle primtallene f2; 3; 5; 7; ::::; P g Lad så M := ::: P + 1 Det er klart at M > P; så M er ikke med på listen. Altså er M ikke et primtal. Så er M sammensat og må derfor kunne faktoriseres. Det betyder at M har mindst én primtalsfaktor p, altså p går op i M:Dette p står efter vores antagelse på listen, så det er klart at p går op i ::: P: Derfor går p også op i M ::: P. Men det betyder jo at går p op i 1: Det er absurd! Bemærkning Iøvrigt er det ikke tilfældigt at der skal en vis anstrengelse til for at vise at primtalsfaktoriseringen er entydig. For der ndes talmængder, hvor det har n mening at tale om primtal, men hvor faktorisering ikke er entydig. For at følge med i resten af denne bemærkning, skal du vide at hvad de komplekse tal er, og specielt huske at de komplekse tal i er karakteriseret ved at i 2 = 1. Betragt mængden af alle tal af formen a + ib p 3; hvor a og b kan være vilkårlige hele tal. Eksempler er 1; i p 3; 17; 2 2i p 3: Det er klart at summen af to sådanne tal igen er af denne form. Og tilsvarende for produkt: p p (a 1 + ib 1 3)(a2 + ib 2 3 = a1 a 2 3b 1 b 2 + i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) p 3: Specielt kan man altså begynde at se på faktorisering af elementer indenfor denne klasse. Et simpelt eksempel på faktorisering inden for klassen er men man kunne jo også skrive at 4 = 2 2; 4 = (1 + i p 3)(1 i p 3): Prim tal i denne mængde må rimeligvis være de tal der har prim egenskaben, at der ikke er andre faktorer (i den mængde vi betragter) end tallet selv (og 1). Og prøv så at afgøre om 2 er et primtal i denne mængde. Ifølge gange-reglen ovenfor skal vi altså afgøre om vi kan nde hele tal a 1 ; b 1 ; a 2 ; b 2; der opfylder at a 1 a 2 3b 1 b 2 + i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) p 3 = 2; 7
8 eller skrevet ud a 1 a 2 3b 1 b 2 = 2 a 1 b 2 + a 2 b 1 = 0 Jeg overlader sagen til dig! (men kan godt afsløre at der er ingen løsninger.) Prøv så derefter at vise at både 1 + i p 3 og 1 i p 3 er prim tal. Med den viden i hus har vi altså fundet et eksempel på en talmængde, der svarer til de hele tal, men ikke har entydig primtalsopløsning. PS I er velkomne til at melde tilbage til mig, spørgsmål, opgaveløsninger, kommentarer til noterne, til seancen osv. Det er lettest at e til mig: laursen@math.ku.dk 8
Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereBrøk Laboratorium. Varenummer 72 2459
Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt
Læs mereTalteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning
1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereBetjeningsvejledning. System Alarmpanel xx S2s
Betjeningsvejledning System Alarmpanel xx S2s Indhold 1 Indhold Indholdet af denne vejledning kan ændres uden forudgående varsel. Firmaer, navne og data anvendt i eksempler er fiktive, medmindre andet
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereSLS-kasserer. - En vejledning til kassererarbejdet i din lokalbestyrelse
SLS-kasserer - En vejledning til kassererarbejdet i din lokalbestyrelse Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Kassereropgaver i SLS-lokalbestyrelsen... 2 Årsregnskab... 2 Ansøgning om støtte til lokalbestyrelsens
Læs mereMatematik på VUC Modul 2 Opgaver
Matematik på VUC Modul Opgaver Talgymnastik Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Regning med negative tal... Parenteser...7 Brøkstreger...9 Tekst og regnestykker - hvad
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mere- et matematisk symbol
2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang tid til en fødselsdag eller til juleaften. Man kan også synes, at Brian eller Conny er uendeligt dum, eller man kan snakke om, at verdensrummet
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereMAD-SVIN-ERI. 1 sund 2 3 4 5 6 7 8 9 10 usund 1 GUS
MAD-SVIN-ERI Hvad vi skal lave er nu er at vi skal være mad detektiver, vi skal undersøge hvor sund eller usund mad er. Du vil sikkert blive overrasket. 1. Hvad tror du er sund og usund mad? Du har nu
Læs mereAf Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereHvordan underviser man børn i Salme 23
Hvordan underviser man børn i Salme 23 De fleste børn er rigtig gode til at lære udenad, og de kan sagtens lære hele Salme 23. Man kan f.eks. lære børnene Salme 23, mens man underviser om Davids liv. Det
Læs mereFSFI s guide til DFR s elektronisk bevissystem
FSFI s guide til DFR s elektronisk bevissystem Dette er en kort guide i anvendelsen af Dansk Førstehjælpsråd elektroniske bevissystem. Guiden viser og forklarer, hvordan du som instruktør og medlem af
Læs merePrøve i Dansk 1. Skriftlig del. Læseforståelse 1. November-december 2014. Tekst- og opgavehæfte. Delprøve 1: Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3
Prøve i Dansk 1 November-december 2014 Skriftlig del Læseforståelse 1 Tekst- og opgavehæfte Delprøve 1: Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Hjælpemidler: Ingen Tid: 60 minutter Udfyldes af prøvedeltageren Navn
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereKlasse Situation Observation 3. klasse Før spillet. Der bliver spurgt ind til hvad børnene
Bilag 1 - Feltobservationer I dette bilag findes Feltobservationer, noteret under folkeskoleelevernes spilforløb. Disse feltobservationer er fremstillet i en skematisk opstilling, hvis første kolonne tydeliggør
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMine penge. Hvad bestemmer jeg? Og hvordan kan jeg få hjælp? TIL PERSONER MED NEDSAT FUNKTIONSEVNE
Mine penge Hvad bestemmer jeg? Og hvordan kan jeg få hjælp? TIL PERSONER MED NEDSAT FUNKTIONSEVNE Publikationen er udgivet af Socialstyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf: 72 42 37 00 E-mail: info@socialstyrelsen.dk
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs merePSYKIATRIENS VIKARCENTER. MinTid. Quickguide. Version 7.0
PSYKIATRIENS VIKARCENTER MinTid Quickguide Version 7.0 Psykiatriens Vikarcenter Vi glæder os til, at du kommer på MinTid. Systemet giver dig adgang til bedre planlægning, vagtbørsen og muligheden for at
Læs mereMin intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du
Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du får en bedre, mere støttende relation til dig selv. Faktisk vil jeg vise dig hvordan du bliver venner med dig selv, og især med den indre kritiske
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereRSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard
RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereIndholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet.
Indholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet. Ringsekretærers indtastning af resultater og kritikker... 2 Kom i gang Opstart af programmet... 2 En anden bruger er i gang med ringen... 3 Dommer ændringer
Læs mereIndivid og fællesskab
INDIVIDUALITET I DET SENMODERNE SAMFUND Individ og fællesskab - AF HENNY KVIST OG JÓRUN CHRISTOPHERSEN I forholdet mellem begreberne individ og fællesskab gælder det til alle tider om at finde en god balance,
Læs mereEnergizere bruges til at: Ryste folk sammen Få os til at grine Hæve energiniveauet Skærpe koncentrationen Få dialogen sat i gang
FORSKELLIGE ENERGIZERS ENERGIZER Energizere er korte lege eller øvelser, som tager mellem to og ti minutter. De fungerer som små pauser i undervisningen, hvor både hjernen og kroppen aktiveres. Selv om
Læs mereSådan vedligeholder du UNI Login med data fra KMD Elev
Sådan vedligeholder du UNI Login med data fra KMD Elev 1 Indhold 1 Indledning... 3 2 Importer brugerdata... 4 2.1 Automatisk import... 4 2.2 Manuel import... 5 3 Når du har importeret, sker der følgende...
Læs merePralemappen.dk Din online portfolio Brugerhåndbog til undervisere support@pralemappen.dk Brugerhåndbog til undervisere
www.pralemappen.dk v4 side 1 af 10 Indholdsfortegnelse Velkommen til pralemappen.dk 1.1 Introduktion...side 3 1.2 Grundlæggende funktioner...side 3 1.3 Indstillinger der gælder hele skolen...side 4 1.4
Læs merePSYKIATRIENS VIKARCENTER. MinTid. Quickguide. Version 6.0
PSYKIATRIENS VIKARCENTER MinTid Quickguide Version 6.0 Psykiatriens Vikarcenter Vi glæder os til at du kommer på Min Tid. Systemet giver dig adgang til bedre planlægning, vagtbørsen og muligheden for at
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereBrugermanual til NaboLink enhederne: BaseLink V02 KeyLink V02 AlarmLink V02 Revision 16.03.2016. Indholdsfortegnelse:
Brugermanual til NaboLink enhederne: Indholdsfortegnelse: BaseLink V02 KeyLink V02 AlarmLink V02 Revision 16.03.2016 1 Side 1. Standard sæt indeholder.... 2 2. AlarmLink indeholder.... 2 3. Udvidet sæt
Læs mereSådan bruger du bedst e-mærket
1 Få flere online salg eller leads igennem 2 Beslutningsprocessen i et salg online Hvem styrer hvem? Frederik Bjerring kører en tidlig morgen i efteråret 2009 op langs roskildevej på vej til sit arbejde,
Læs mereSom der blev orienteret om ved forældremødet, begynder vi nu på det nye undervisningsprogram, som hedder Trin for Trin.
Breve til kopiering Trin for Trin Som der blev orienteret om ved forældremødet, begynder vi nu på det nye undervisningsprogram, som hedder Trin for Trin. Trin for Trin lærer børnene færdigheder, som de
Læs mereSANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155
SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,
Læs mereVejledning i bookingsystem til rekvirenter
FLYGTNINGEHJÆLPENS TOLKESERVICE Esromgade, opg. 152, 2.sal DK-2200 København N Tlf: 3373 5335 www.flygtning.dk Vejledning i bookingsystem til rekvirenter Systemet har opstart fra og med en 30.06.2015 Du
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereJeg er den direkte vej til en tastefejl
Flemming Jensen Jeg er den direkte vej til en tastefejl - om livet med en talblind Papyrus Publishing Tilegnet Louise Bech Via sin kærlighed og ærlighed har hun givet mig mulighed for at give udtryk for
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereBoligsøgning hos Domea.dk
Boligsøgning hos Domea.dk Indhold Sådan søger du lejebolig... 1 Venteliste... 1 Søg boliger... 2 Gebyr... 4 Login... 5 Opret login... 6 Fleksibel udlejning... 8 Om fleksibel udlejning... 8 Betalingskort...
Læs mereXdont version 14.1.0.X / Psykolog Rev: 26-06-2014
Xdont version 14.1.0.X / Psykolog Rev: 26-06-2014 HUSK: at tage en ekstern sikkerhedskopi inden opdateringen igangsættes. at opdateringen altid skal køres fra hovedmaskinen/serveren. alle klientmaskiner
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereTal nordisk det nytter! Hvordan vi undgår at tale engelsk i nordisk sammenhæng
Tal nordisk det nytter! Hvordan vi undgår at tale engelsk i nordisk sammenhæng Af Karin Guldbæk-Ahvo For mange andre nordboer er det meget svært at finde ud af, om danskerne taler om lager, læger, lejr,
Læs mereTIPS TIL SAMARBEJDET OM SAMTALEGUIDEN
Samtaleguiden 36 Samtaleguiden er lavet primært til unge, der ryger hash. Som vejleder, mentor m.fl. kan du bruge Samtaleguiden som et fælles udgangspunkt i samtalen med den unge. Du kan dog også blot
Læs mereIndholdsfortegnelse. Indledning...2. Tidsplan...2. Målgruppe...3. Spørgeskema...3. Kode eksempler...5. Procesbeskrivelse...7. Evaluering...
1 Indholdsfortegnelse Indledning...2 Tidsplan...2 Målgruppe...3 Spørgeskema...3 Kode eksempler...5 Procesbeskrivelse...7 Evaluering...8 Bilag - Spørgeskema...9 Indledning - Jeg har som skoleprojekt fået
Læs mereKunst som selvbehandling - Baukje Zijlstra
Kunst som selvbehandling - Baukje Zijlstra Undervisningsmateriale 8.-10. klasse Når kunst gør en forskel Mange af de kunstnere, som udstiller på Museum Ovartaci, har fået det bedre af at male eller skabe
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs merePrøve i Dansk 2. Skriftlig del. Læseforståelse 2. November-december 2015. Tekst- og opgavehæfte. Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5
Prøve i Dansk 2 November-december 2015 Skriftlig del Læseforståelse 2 Tekst- og opgavehæfte Delprøve 2: Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Hjælpemidler: ingen Tid: 60 minutter Udfyldes af prøvedeltageren Navn
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs merehttp://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html
1 / 10 25.6.2008 9:03 2 / 10 25.6.2008 9:03 Indhold 2 kort (spilleplader), 2 plastikfolier (benyttes til at lægge over kortet), 1 tjekometer, 28 tjekometer kort, 18 udrustningskort, 210 terræn brikker,
Læs merePAKKEREJSE-ANKENÆVNET
PAKKEREJSE-ANKENÆVNET 1 K E N D E L S E i sag nr. 2015/0220 afsagt den 16. februar 2016 ****************************** KLAGER JPK (2 personer) SALGSBUREAU ARRANGØR Rejsefeber ApS (Bengt-Martins Rejser
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereHjem. Helsingør Gymnasium Eksamen dansk Emma Thers, 3.U Torsdag d. 22. maj
Hjem Min mor er ude at rejse, og jeg har lovet at se efter hendes lejlighed. Der er ingen blomster, som skal vandes, men en masse post og aviser 1. Sådan lyder indledningen til Maja Lucas novelle fra novellesamlingen,
Læs mereMundtlig prøve i Matematik
Mundtlig prøve i Matematik Tirsdag d. 9. september 2014 CFU Sjælland Mikael Scheby NTS-Center Øst Dagens indhold Prøvebekendtgørelse highlights Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler
Læs mereKONFIRMATIONSPRÆDIKEN 19.APRIL 2015 2.SEP VESTER AABY KL. 10.00 Tekster: Salme 8, Joh.10,11-16 Salmer: 749,331, Sin pagt i dag,441,2
KONFIRMATIONSPRÆDIKEN 19.APRIL 2015 2.SEP VESTER AABY KL. 10.00 Tekster: Salme 8, Joh.10,11-16 Salmer: 749,331, Sin pagt i dag,441,2 Hvordan lød mon verdens første spørgsmål? Det kan I jo tænke lidt over
Læs mere747 Lysets engel 678 Guds fred er glæden (mel. Görlitz) 164 Øjne I var lykkelige (mel. Egmose til 675) 522 Nåden er din dagligdag (mel.
Tekster: Gal 2,16-21, Luk 10,23-37 Salmer: 8 kl 9.00 i Lihme 747 Lysets engel 678 Guds fred er glæden (mel. Görlitz) 164 Øjne I var lykkelige (mel. Egmose til 675) 522 Nåden er din dagligdag (mel. Elmquist)
Læs mereEN SMUK BOG MICHELLE DETTMER UNGE DER HAR MISTET. Michelle MICHELLE DETTMER EN SMUK BOG
Unge der har mistet En Smuk Bog er skrevet for unge af unge, der har mistet. Bogen kan både læses i en sammenhæng eller anvendes som en opslagsbog, hvor du slår op under et tema, du gerne vil vide mere
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereKursusmappe. HippHopp. Uge 19. Emne: Nørd HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 19 Emne: Nørd side 1. Uge19_n rd.indd 1 06/07/10 12.
Kursusmappe Uge 19 Emne: Nørd Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 19 Emne: Nørd side 1 HIPPY HippHopp Uge19_n rd.indd 1 06/07/10 12.10 Uge 19 l Nørd Det har sneet igen, og alle de H er, der var
Læs mereMOBILBILLETTER. Mobilbille'er går i lu-en
MOBILBILLETTER Mobilbille'er går i lu-en Med mobilbille*er får I en endnu bredere distribu3on af bille*er end hid3l 3l gavn for jeres kunder, der nemmere og hur3gere kan 3lgå deres bille*er. På de e=erfølgende
Læs mereSTRANDPARKSKOLEN. Thomas Koppels allé 10, 2450 København SV STØT DIT BARNS LÆSEINDLÆRING
STRANDPARKSKOLEN Thomas Koppels allé 10, 2450 København SV STØT DIT BARNS LÆSEINDLÆRING Strandparkskolen Støt dit barns læseindlæring 2 LÆSEINDLÆRING Læsning er med til at stimulere dit barns sproglige
Læs mereendegyldige billede af, hvad kristen tro er, er siger nogen svindende. Det skal jeg ikke gøre mig til dommer over.
Mariæ Bebudelsesdag, den 25. marts 2007. Frederiksborg slotskirke kl. 10. Tekster: Es. 7,10-14: Lukas 1,26-38. Salmer: 71 434-201-450-385/108-441 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Læs mereXdont version 14.1.0.X / Fysioterapeuter Rev: 16-06-2014
Xdont version 14.1.0.X / Fysioterapeuter Rev: 16-06-2014 HUSK: at tage en ekstern sikkerhedskopi inden opdateringen igangsættes. at opdateringen altid skal køres fra hovedmaskinen/serveren. alle klientmaskiner
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereFørst falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.
ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereLille Georgs julekalender 06. 1. december
1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at
Læs merePrædiken til 3. søndag i Fasten, Luk 11,14-28. 1. tekstrække.
1 Grindsted Kirke. Søndag d. 3. marts 2013 kl. 9.30 Steen Frøjk Søvndal Prædiken til 3. søndag i Fasten, Luk 11,14-28. 1. tekstrække. Salmer DDS 736: Den mørke nat forgangen er Dåb: DDS 448,1-3 DDS 448,4-6
Læs mere