Matematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a

Transkript

1 Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a Udlevering: Mandag den 27. maj 2019

2 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til arbejdet med forberedelsesmaterialet til prøverne i matematik A. Oplægget indeholder teori, eksempler og opgaver i et emne i forlængelse af kernestoffet. Dele af materialet uddybes i to appendikser. Disse appendikser indgår ikke i den skriftlige prøve. Forberedelse til den skriftlige 5-timers prøve: Nogle af spørgsmålene ved 5-timersprøven tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Forberedelse til den mundtlige prøve: Emnet, behandlet i dette materiale, indgår som supplerende stof. Der vil derfor være spørgsmål ved den mundtlige prøve i dette emne. I forberedelsesperioden er alle hjælpemidler tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning. Billedmateriale uden kildeangivelse er opgavekommissionens ejendom.

3 Sfærisk geometri 1 Indledning Jorden vi lever på er kugleformet, og det har stor betydning, hvis man ønsker at besvare spørgsmål som: Hvad er den korteste vej fra København til Sydney? Er det rigtigt, at Grønland er næsten lige så stort som Afrika, som det ser ud til på nogle kort? En rejse fra København til Sydney, kan ikke ske ved at bevæge sig igennem Jorden. Vi er begrænsede til at bevæge os tæt ved jordoverfladen eller i luften lige over den. Når vi ser på et kort, er det en plan repræsentation af en krum overflade, og der bliver man tvunget til at indgå nogle kompromiser. Et kompromis, som ofte laves er, at kystlinjer har den rigtige form, når man zoomer ind, men at længder og arealer forvrænges. En kugleoverflade kaldes også en sfære, og geometri på en kugleoverflade kaldes derfor for sfærisk geometri. Ved hjælp af sfærisk geometri kan man undersøge flade kort over områder på kugler. Sfærisk geometri er derfor vigtig for bl.a. geografiske informationssystemer, i astronomien og i kartografien (dvs. læren om kort). I afsnit 2 indfører vi det vigtige begreb storcirkel, der har samme rolle på en kugle, som linjer har i planen. I afsnit 3 indfører vi et koordinatsystem, der sætter os i stand til at beskrive positionen af punkter på kugleoverfladen ved hjælp af vinkler. I afsnit 4 indfører vi først vinkler i trekanter på en kugle, hvilket efterfølgende sætter os i stand til at formulere og bevise cosinusrelationen for trekanter på kugleoverflader. Endelig undersøger vi i afsnit 5 kort over sfærer, og om man kan lave to-dimensionelle kort, der viser alle afstande på en kugleoverflade korrekt. 2 Punkter og storcirkler Et vigtigt begreb i dette materiale er overfladen af en kugle, som vi kalder en kugleoverflade eller en sfære. Den geometri man først støder på i matematikundervisningen, handler blandt andet om punkter, linjer og linjestykker i planen og kaldes euklidisk plangeometri. Sfærisk geometri foregår på en kugleoverflade, og der har vi punkter, som vi kender dem. Men i stedet for linjer har vi her krumme kurver, der kaldes storcirkler, som spiller den rolle, som linjer gør i euklidisk plangeometri. I dette afsnit vil vi se, hvordan sfærisk geometri og euklidisk plangeometri på nogle måder minder om hinanden, men alligevel er forskellige. Hvis en kugle i rummet skæres af en plan, er der tre mulige udfald, som vist på figur 1. Den første mulighed er, at planen kun møder kuglen i et enkelt punkt A, der så må ligge på kugleoverfladen (figur 1a). En sådan plan kalder man tangentplanen til kuglen i punktet A. Den næste mulighed er, at planen ikke går gennem kuglens centrum, og snitkurven mellem plan og kugleoverflade er en cirkel (figur 1b). En sådan cirkel på sfæren kalder vi en lillecirkel. Den sidste mulighed er, at planen går gennem kuglens centrum (figur 1c). I så fald er snitkurven en cirkel med samme radius som kuglen, og sådan en kurve kalder vi en storcirkel. Bemærk, at der findes uendelig mange storcirkler, som går gennem et givet punkt på kuglen. Side 1

4 A a b c Figur 1. Tre forskellige skæringer mellem plan og kugle. Et sammenhængende stykke af en storcirkel kalder vi en storcirkelbue. Den korteste afstand (på sfæren) mellem to punkter realiseres af en storcirkelbue. Storcirkelbuer spiller derfor den samme rolle i sfærisk geometri, som linjestykker spiller i euklidisk plangeometri. Givet en storcirkelbue definerer vi den sfæriske længde af buen eller den sfæriske afstand mel- lem endepunkterne som gradtallet af storcirkelbuen. Så hvis vi for eksempel betragter en storcir- kelbue, der er en halvcirkel, er den sfæriske længde 180. Figur 2 viser en storcirkelbue på Figur 2. En storcirkelbue på 90. For at gå fra den sfæriske længde til buelængden skal vi kende radius R af kuglen. Der gælder nemlig, at hvis den sfæriske længde er a, så er buelængden s givet ved fordi længden er proportional med gradtallet, og hele storcirklens omkreds er 2 π R. Opgave 1 Storcirkelbuen fra Aarhus til Nordpolen har den sfæriske længde 33, 84. Jordens radius er 6378 km. Bestem afstanden fra Aarhus til Nordpolen målt i km. Side 2

5 Opgave 2 To punkter, A og B, på en kugleoverflade er placeret, så korden, k, mellem dem har samme længde som kuglens radius, R, dvs. k = R. R R A k B Bestem den sfæriske længde, a, af storcirkelbuen mellem de to punkter, vist med rødt på figuren. Fra planen er vi vant til, at to forskellige punkter bestemmer både en ret linje, nemlig linjen der indeholder de to punkter, og et linjestykke, nemlig linjestykket mellem de to punkter. Der gælder næsten det samme for storcirkler og storcirkelbuer; men ikke helt. Vi skal nu se på, hvilke storcirkler, der går gennem to forskellige punkter A og B på sfæren. En storcirkel er snitkurven mellem en plan gennem kuglens centrum og kugleoverfladen, så vi skal finde en plan, der indeholder centrum samt A og B. Tre punkter bestemmer netop en plan, medmindre de ligger på samme linje. Der er altså her et særligt tilfælde, vi skal tage højde for, nemlig at de tre punkter, A, B og centrum ligger på linje. Da vi bliver nødt til at tage højde for dette i forskellige sammenhænge, giver vi et navn til situationen. Vi siger, at to forskellige punkter A og B på en kugleoverflade er diametralt modsatte, hvis A, B og centrum ligger på en linje. Se figur 3. A B Figur 3. Diametralt modsatte punkter A og B. Når to forskellige punkter A og B ikke er diametralt modsatte, er der netop én plan, der indeholder de to punkter og centrum, og derfor bestemmer de netop én storcirkel. Se nu på situationen hvor punkterne A og B er diametralt modsatte, og hvor der derfor er uendelig mange storcirkler, der indeholder A og B. De to punkter A og B vil dele enhver storcirkel Side 3

6 i to halvcirkelbuer. Og da en storcirkel svarer til en vinkel på 360, vil de sfæriske længder af de to halvcirkelbuer begge være lig 180. Enhver storcirkelbue mellem to diametralt modsatte punkter vil derfor have en sfærisk længde på 180. Når A og B ikke er diametralt modsatte, findes netop én storcirkel, der indeholder dem, og derfor er der to storcirkelbuer, der forbinder dem. Summen af de sfæriske længder af de to storcirkelbuer er 360, og da de to punkter ikke er diametralt modsatte, må den sfæriske længde af en af de to storcirkelbuer være mindre end 180. Definition 1 Symbolet AB angiver den korteste storcirkelbue mellem to punkter A og B på en sfære, og vi kalder den storcirkelbuen mellem A og B. Vi benytter også symbolet AB til at betegne den sfæriske afstand mellem A og B, og kalder det også den sfæriske længde AB. Eksempel 1 På en sfære med radius R = 2 og med centrum i ( 0;0;0 ) vil punkterne A ( 2;0;0 ) og B ( 0;2, 0 ) begge ligge på sfæren. A ligger på x -aksen og B ligger på y -aksen, så den korteste storcirkelbue har den sfæriske længde AB = 90. Opgave 3 Vi betragter en kugle med radius 1 og indlægger et xyz -koordinatsystem, således at centrum af kuglen ligger i origo. a) Vis, at punkterne A ( 0;0;1 ) og B ( 13 ; 2 3 ; ) 2 3 begge ligger på kugleoverfladen. b) Bemærk, at den sfæriske afstand AB er den samme som vinklen mellem stedvektorerne OA og OB, og benyt dette til at bestemme den sfæriske afstand. To forskellige storcirkler vil ligge i to forskellige planer, der begge går gennem cirklens centrum. De to planer skærer hinanden i en linje, der skærer kugleoverfladen i to diametralt modsatte punkter. Det betyder, at to forskellige storcirkler altid skærer hinanden. Der findes derfor ikke parallelle storcirkler. Opsummering: To forskellige punkter, der ikke er diametralt modsatte, bestemmer netop én storcirkel og én storcirkelbue. To forskellige storcirkler bestemmer netop et par diametralt modsatte punkter. 3 Koordinater Koordinater giver en praktisk måde at regne på punkter og afstande. I dette afsnit indfører vi først kuglekoordinater, som er velegnede til at beskrive punkter på overfladen af en kugle, og dernæst længde- og breddegrader, der traditionelt benyttes til at angive steder på jordoverfladen. Side 4

7 3.1 Kuglekoordinater Kuglekoordinater minder lidt om retningsvinkler for vektorer, som vi kender det fra planen. I planen kan en vektor enten angives med de sædvanlige rektangulære koordinater, a x og a y, eller ved dens længde og retningsvinkel i forhold til x -aksen. I rummet angiver vi normalt koordinaterne for et punkt ved rektangulære koordinater, som vi også kalder xyz -koordinater. Men det er også muligt at beskrive punktet ved en længde og to vinkler (i modsætning til blot én vinkel i planen). I et koordinatsystem med origo, O, i kuglens centrum kaldes koordinaterne for et punkt angivet på denne måde for kuglekoordinater (eller sfæriske koordinater ) og består af tre tal, hvis betydning vi nu vil se på: For et punkt betegner afstanden fra origo, hvor Koordinaten betegner vinklen mellem den positive z -akse og linjestykket OP. Projektionen af P på xy -planen, betegnes Q, og har koordinaterne. Koordinaten er vinklen mellem linjestykket OQ og den positive del af x -aksen. Den geometriske sammenhæng mellem er illustreret i figur 4, hvor en del af kuglen for tydelighedens skyld er skåret bort. Figur 4. Sfæriske koordinater på en kugle. Kender vi et punkts kuglekoordinater, kan vi opskrive en formel for de rektangulære koordinater. Vi lader ρ betegne afstanden fra z -aksen til P. Figur 5 (hvor kuglen er fjernet) viser et tilfælde, hvor z -koordinaten af P er positiv. Side 5

8 Figur 5. Bestemmelse af sfæriske koordinater. Ved at betragte den retvinklede trekant med siderne (se igen figur 5) finder vi, at (1) og Da vektor har længden og vinklen i forhold til x -aksen, kan vi finde x - og y -koordinaterne for punktet Q (og dermed også for P ): (2) og (3) Vi har her antaget, at men resultatet kan generaliseres, så formlerne (1), (2) og (3) samlet beskriver de rektangulære koordinater for et vilkårligt punkt. Vi kan altså generelt skrive et punkts rektangulære koordinater som Da koordinaterne kun afhænger af,, kan vi også angive punktet ved hjælp af disse: Når vi skriver koordinaterne på denne måde, taler vi om kuglekoordinater eller sfæriske koordinater for punktet. Opgave 4 Et punkt har kuglekoordinaterne a) Bestem de rektangulære koordinater. Et andet punkt har de rektangulære koordinater P ( 3;6;2 ). b) Bestem kuglekoordinaterne for P. Side 6

9 Kuglekoordinater er velegnede til at beskrive punkter på en kugleoverflade. Vi kan med fordel placere xyz -koordinatsystemet, så origo ligger i kuglens centrum. For et punkt på kugleoverfladen, vil R altid være lig kuglens radius, så vi behøver kun at angive og for at bestemme et punkt på kugleoverfladen. I den situation (hvor R er underforstået) kan punktet P altså skrives 3.2 Længdegrader og breddegrader Ser vi Jorden på afstand, ligner den en kugle. En nøjere analyse viser, at Jorden er lidt æggeformet; den er en såkaldt ellipsoide. Kigger vi endnu nærmere efter, er der bjerge og dale på jordoverfladen, så Jorden svarer ikke præcist til en ellipsoide. I dette materiale ser vi bort fra dette og beskriver Jorden som en kugle. I de fleste sammenhænge er dette en fin approksimation. For at kunne angive punkter på Jordens overflade anbringer vi et koordinatsystem med origo, O, i Jordens centrum, og således at z -aksen går gennem både Nordpolen og Sydpolen. Nordpolen ligger på den positive del af z -aksen og Sydpolen på den negative. Se figur 6. Når z -aksen således er placeret, kan x - og y -akserne roteres sådan, at byen Greenwich ved London ligger lodret over x -aksen. Hermed er koordinatsystemet fastlagt. I stedet for at bruge vinklerne som i afsnit 3.1, bruger man traditionelt de såkaldte længde- og breddegrader til at beskrive positioner på Jordens overflade. Figur 6. Længde- og breddegrader for et punkt P på Jorden. Breddegraden for et punkt P ( x ; y ; z ) er den vinkel, b, linjestykket OP danner med xy -planen. Hvis z > 0 siger vi, at P ligger på den nordlige halvkugle og angiver breddegraden med et efterstillet N. Omvendt, hvis z < 0 siger vi, at P ligger på den sydlige halvkugle og angiver breddegraden med et efterstillet S. Eksempel 2 Vinklen = 140 svarer til breddegraden 50 S, mens 30 N svarer til = 60. Punkterne, hvor z = 0 (altså punkterne i xy -planen), har breddegraden 0 = 0 N = 0 S og siges at ligge på ækvator. Side 7

10 Opgave 5 a) Hvilken breddegrad svarer = 50 til? b) Hvilken værdi af svarer breddegraden 28 S til? Hvor breddegraden kan bestemmes af og omvendt, så er længdegraden, l, givet ved, som vi brugte ved kuglekoordinaterne. For siger vi, at punktet ligger på den østlige halvkugle og at det har længdegraden Ø. Dermed er 0 For siger vi, at punktet ligger på den vestlige halvkugle og at det har længdegraden V. Dermed er Punkter med eller er fælles for den østlige og den vestlige halvkugle, og man kan således angive dem enten som 0 Ø eller 0 V eller som hhv. 180 Ø og 180 V. Opgave 6 Tegn en figur der illustrerer, at kurver med konstant breddegrad er storcirkler eller lillecirkler, mens kurver med konstant længdegrad er halve storcirkler. 4 Sfærisk trigonometri Trigonometri handler om vinkler og længder i trekanter. I dette afsnit definerer vi, hvad vi forstår ved en sfærisk trekant, og hvordan vinklerne i en sfærisk trekant skal forstås. Derefter viser vi en formel, der er en sfærisk version af cosinusrelationen. 4.1 Vinkler i sfæriske trekanter Tre storcirkelbuer a, b, og c med sfæriske længder a, b, c < 180, der forbinder tre punkter A, B og C, som vist på figur 7, danner en sfærisk trekant. Den sfæriske længde BC af a betegnes også med a, og tilsvarende for b og c. Figur 7. En sfærisk trekant. Side 8

11 I planen ved vi, hvordan vi kan regne på længder og vinkler i en trekant. For en sfærisk trekant har vi de sfæriske længder, a, b og c, men de tilsvarende vinkler A, B og C på en sfærisk overflade kræver lidt mere forklaring. Vi starter med et eksempel fra dagligdagen. Hvis vi skærer et æble ud i små bidder, som på billedet, ender vi med en række små "æblebåde". Hvis vi opfatter æblet som kugleformet, vil de buede kanter på æblebådene svare til halve storcirkler. I enden af hver æblebåd, vil vi nu forstå vinklen mellem de halve storcirkler som vinklen mellem de to plane overflader, der udgør siden på æblebåden. Det vil vi nu formalisere. Til det får vi brug for vinkler mellem planer, eller mere præcist vinkler mellem halvplaner, som vi her vil definere (se også figur 8). Definition 2 En linje, som ligger i en plan i rummet, deler planen i to dele, der hver for sig kaldes en halvplan. Linjen betragtes som en del af begge halvplaner og kaldes for randen af hver halvplan. z z α z α1 α2 y x y x y x Figur 8. En plan α deles i to halvplaner, α1 og α2, af en linje. Vi vil nu ved hjælp af halvplaner indføre vinklerne ved punkterne A, B og C i en sfærisk trekant. Vi ser først på punktet A. Bemærk at vi bruger samme symbol til at betegne punktet A og vinklen A. Vinklen A, hvor storcirkelbuerne c og b mødes, skal altså forstås som vinklen mellem to halvplaner. Se figur 9. Den ene halvplan, som vi kan kalde, har linjestykket mellem A og kuglens centrum i sin rand og indeholder desuden storcirkelbuen b. Dermed er planen placeret. Den Side 9

12 anden halvplan, som vi kan kalde, indeholder linjestykket mellem kuglens centrum og A og storcirkelbuen c, og er dermed også placeret. Halvplanen indeholder også punktet C, mens halvplanen indeholder punktet B. Vinklen A er dermed lig med vinklen v mellem de to halvplaner. Se figur 9. Figur 9. En trekant på kuglen (a). Vinklen A er givet ved vinklen v mellem de to halvplaner og (b). Vi har hermed følgende definition: Definition 3 Lad betegne den halvplan, der har linjestykket fra kuglens centrum til A i sin rand og indeholder b. Lad på samme måde betegne den halvplan, der har linjestykket mellem centrum og A i sin rand og indeholder c. Vinklen A forstås som vinklen mellem de to halvplaner og. Vinklerne B og C indføres helt tilsvarende. Opgave 7 Indlæg kuglen med radius 1 i et xyz -koordinatsystem således, at centrum ligger i origo, og betragt så den sfæriske trekant med hjørnerne A ( 1; 0; 0 ), B ( 0; 1; 0 ) og C ( 0; 0; 1 ). Vis, at vinklerne ved A, B og C alle er 90, så vinkelsummen er 270. Opgaven illustrerer, at vinkelsummen i en sfærisk trekant ikke er 180. Faktisk gælder det, at vinkelsummen altid overstiger Cosinusrelationen I plangeometrien relaterer cosinusrelationen længderne og en af vinklerne i en vilkårlig trekant til hinanden. For en sfærisk trekant gælder følgende sætning. Side 10

13 Sætning 1: Cosinusrelationen for en sfærisk trekant En sfærisk trekant opfylder (4) Husk her, at a, b og c er de sfæriske længder (der er vinkler), og C er vinklen ved punktet C. Vi kan bevise den sfæriske cosinusrelation ved at udregne et prikprodukt mellem to stedvektorer på to forskellige måder. Den ene måde er ved at regne i koordinater, og den anden måde er ved at benytte, at prikproduktet af to vektorer er produktet af længderne af de to vektorer ganget med cosinus til vinklen imellem dem. Sættes de to udtryk for prikproduktet lig hinanden, får vi en ligning, og ved at vælge vektorerne rigtigt svarer denne ligning til ligning (4). Bevis. Vi kan antage, at trekanten ligger på en kugleoverflade med radius 1. Vi indfører et koordinatsystem, så origo ligger i kuglens centrum, C har koordinaterne ( 0;0;1 ), og A ligger i xz -halvplanen hvor Se figur 10. Figur 10. Punkterne A, B og C og xyz -koordinatsystemet. Først beregner vi ud fra koordinaterne: Koordinatsystemet er indlagt, så A har de sfæriske koordinater og derfor er de rektangulære koordinater ifølge ligning (1) til (3) Punktet B har de sfæriske koordinater, og derfor er de rektangulære koordinater Da vi kender koordinaterne til A og B, kan prikproduktet mellem stedvektorerne beregnes som Side 11

14 Dernæst beregner vi ud fra længden af vektorerne og vinklen mellem dem: Da begge stedvektorer har længden 1 er prikproduktet mellem dem De to forskellige måder at beregne prikproduktet på skal give samme resultat, så hermed er vi kommet frem til, at hvilket var det, vi skulle vise. Da vinkler og sfæriske længder er uafhængige af radius, gælder resultatet også for sfærer med vilkårlig radius. Eksempel 3 Vi kan bruge cosinusrelationen til at bestemme den sfæriske afstand mellem Aarhus og Sydney. Aarhus ligger på et punkt vi betegner med A. Punkt B udgøres af Sydney, der ligger på Endelig betegner vi Nordpolen med C. Bemærk nu at den sfæriske længde mens Samtidig er vinklen,,, Derfor er den sfæriske afstand mellem Aarhus og Sydney Opgave 8 Betragt et punkt A på jordoverfladen med breddegraden 30 N og et andet punkt B på jordoverfladen med breddegraden 30 S. Lad endelig C betegne Nordpolen. a) Vis, at den sfæriske afstand b = AC = 60. b) Bestem den sfæriske afstand a = BC. c) Bestem den sfæriske afstand c = AB som funktion af vinklen C. d) For hvilken værdi af C er c mindst, og hvornår er den størst? En sfærisk trekant kaldes retvinklet, hvis en af vinklerne, lad os sige C, er lig 90. Opgave 9 Den sfæriske version af Pythagoras sætning siger, at hvis en sfærisk trekant er retvinklet med den rette vinkel C og de sfæriske længder a, b og c, er det ensbetydende med, at Dette vises i to trin. cos ( c ) = cos ( a ) cos ( b ). a) Lad C være en ret vinkel i cosinusrelationen (4) og udled cos ( c ) = cos ( a ) cos ( b ). Side 12

15 b) Antag omvendt, at en vilkårlig trekant opfylder cos(a) cos(b) = cos(c), og benyt cosinusrelationen (4) til at vise, at C = 90. Hermed er den sfæriske version af Pythagoras sætning vist. Som nævnt tidligere er vinkelsummen i en sfærisk trekant altid større end 180. Der gælder også, at jo større arealet af trekanten er, jo større er vinkelsummen. Appendiks A viser, at for meget små trekanter, vil den sfæriske cosinusrelation give resultater, der svarer til dem, man får vha. cosinusrelationen fra plangeometrien. Ligesom cosinusrelationen har en sfærisk udgave, har sinusrelationen det også. Den omtales ikke nærmere her, men kan findes i appendiks B sammen med et bevis. 5 Kort og projektioner 5.1 Kort og skalering Selv om Jorden er rund, er de kort vi benytter plane, f.eks. som på en skærm eller på et stykke papir. Vi har derfor brug for en måde at oversætte sfæriske koordinater fra sfæren (eller blot en del af den) til sædvanlige rektangulære koordinater i planen. Det kan gøres på mange måder, og forskellige metoder giver kort, der har forskellige egenskaber. Figur 11 viser tre forskellige verdenskort. Figur 11. Tre forskellige verdenskort. Side 13

16 Denne oversættelse vil vi formelt kalde en afbildning af en del af kugleoverfladen ind i en plan. Denne plan vil vi udstyre med et koordinatsystem. For at holde tingene adskilt vil vi benævne akserne i det plane koordinatsystem u og v i stedet for x og y. Vi kalder det derfor en uv -plan. Vi vil i næste underafsnit se nærmere på to konkrete eksempler på afbildninger. Begge disse afbildninger vil give meget store kort, f.eks. vil et kort over Jorden i en afbildning, der er kendt som Arkimedes projektion (og som vi skal se på senere i teksten) give et kort, der har et areal, der er lige så stort som arealet af Jorden. I praksis opererer man derfor med mindre kort (ofte trykt på papir), der er nedskalerede versioner af de kort afbildningen giver. Hvis vi kalder skaleringsforholdet M, vil en afstand, d kort, på det oprindelige kort give en afstand, d skaleret, på det nedskalerede kort, der er givet ved d skaleret = Det nedskalerede kort vil vi kalde et fysisk kort. d kort M 5.2 Stereografisk projektion Som det første eksempel vil vi nu se på den såkaldte stereografiske projektion, der er interessant, fordi den bevarer vinkler mellem kurver. Vi har set på vinkler i trekanter og vil ikke her komme nærmere ind på vinkler mellem kurver men blot nævne, at vinklen mellem to kurver på sfæren skal forstås som vinklen mellem tangentvektorerne til kurverne i deres skæringspunkt, som vist på figur 12. De to tangentvektorer til kurverne (vist med rødt) ligger i øvrigt begge i kuglens tangentplan i skæringspunktet. v Figur 12. Vinklen mellem to kurver på sfæren. Vi vil nu beskrive den stereografiske projektion og betragter en kugleoverflade med radius R. Her indlægger vi som sædvanligt et xyz -koordinatsystem, så origo ligger i centrum af kuglen. Den stereografiske projektion afbilder et punkt P ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) på overfladen af en kugle med radius R i et punkt Q på tangentplanen T N gennem kuglens nordpol, N, se figur 13. Her er uv -planen fra afsnit 5.1 altså tangentplanen, som har ligningen z = R. Ved denne projektion konstrueres beliggenheden af Q ved at betragte en linje gennem kuglens sydpol, S, og punktet P, vist med rødt på figur 13. Denne linjes skæring med tangentplanen T N bestemmer beliggenheden af Q. Side 14

17 Figur 13. Punktet P på sfæren afbildes i punktet Q i tangentplanen T N. Bemærk at den stereografiske projektion ikke er defineret for punktet. Det skyldes, at projektionen er bestemt ved en linje gennem de to punkter S og P. Men hvis de to punkter er ens, er den rette linje ikke entydigt bestemt, og den stereografiske projektion kan derfor ikke afbilde punktet. Vi kan beskrive Q med de sædvanlige xyz -koordinater, men da Q ligger i T N, kan Q også beskrives ved et sæt uv -koordinater. Vi vil nu se, hvordan uv -koordinaterne kan beregnes. Vi indlægger et uv -koordinatsystem i T N med origo i punktet N og således, at u -aksen er parallel med x -aksen og v -aksen er parallel med y -aksen. Se igen figur 13. Vi vil først bestemme u -koordinaten og betragter en projektion af sfæren, tangentplanen T N og punkterne P og Q ind på xz -planen. Projektionerne af P og Q kalder vi hhv., og de har (se figur 14) i xyz -koordinatsystemet koordinaterne Figur 14. og projektion af sfæren og T N på xz -planen. Med udgangspunkt i figur 14 kan vi konstruere to ligedannede og retvinklede trekanter (se figur 15), som tillader os at finde sammenhængen mellem x 0, z 0, R og u 0. Den næste opgave viser således, hvordan u -koordinaten, u 0, for og dermed også for Q kan bestemmes. Side 15

18 Figur 15. Bestemmelse af u -koordinat for Q. Opgave 10 Vis med udgangspunkt i figur 15, at punktet Q, der fås ved stereografisk projektion af P, har u -koordinaten En beregning som i opgave 10 kan også laves for v ved at projicere P og Q på yz -planen, hvilket giver Derved har vi fundet, at et punkt med koordinaterne ( x ; y ; z ) i xyz -planen, i uv -planen har koordinaterne Eksempel 4 En sfære med radius R = 7 placeres med centrum i origo. Et punkt på sfæren har de rektangulære koordinater P ( 2;3;6 ). Den stereografiske projektion Q af P har derfor uv -koordinaterne Opgave 11 I en kugle med radius R = 3 indlægger vi et xyz -koordinatsystem med origo i kuglens centrum. Tangentplanen T N har dermed ligningen z = 3. Vi betragter de tre punkter A ( 3;0;0 ), B ( 0;0;3 ) og C ( 0, 4;2, 0;2, 2 ). Bestem uv -koordinaterne for den stereografiske projektion Q A af A, Q B af B og Q C af C. Eksempel 5 Holstebro ligger på 56,3581 N 8,6175 Ø. Det svarer til kuglekoordinaterne Side 16

19 Da Jorden har radius 6378 km, kan vi dermed beregne xyz -koordinaterne: Vi kan nu beregne uv -koordinaterne på kortet Afstanden mellem Nordpolen og Holstebro vil på kortet derfor være Hvis man fremstiller et fysisk kort med skaleringsforhold M = 10 7, vil koordinaterne på det fysiske kort derfor være Opgave 12 Vejle ligger på a) Bestem kuglekoordinaterne for Vejle. Vi kender koordinaterne for Holstebro fra eksempel 5. b) Bestem afstanden langs Jordens overflade mellem Vejle og Holstebro. Der fremstilles et fysisk kort vha. stereografisk projektion med skaleringsforholdet M = c) Bestem uv -koordinaterne for Vejle og Holstebro på det fysiske kort. d) Bestem afstanden mellem Vejle og Holstebro på det fysiske kort. Den stereografiske projektion har den egenskab, at vinkler mellem skærende kurver bevares. Et kort med denne egenskab kaldes vinkeltro eller konformt. Vi vil ikke her regne i detaljer på vinklerne, men et specialtilfælde kan belyse, at den stereografiske projektion er vinkeltro: En breddekreds, er en cirkel, der udgøres af punkter på jordoverfladen, som har samme breddegrad. Den stereografiske projektion betyder, at breddekredse i uv -planen bliver afbildet som cirkler med centrum i origo (overvej!). En længdekreds, er en halv storcirkel fra Nordpolen til Sydpolen, og den vil derfor i uv -planen blive afbildet som en ret linje gennem origo (i uv -planen). Side 17

20 Breddekredse og længdekredse på jordoverfladen står vinkelret på hinanden. På samme måde vil tangenten til en cirkel i uv -planen stå vinkelret på en linje gennem origo. Dette er i overensstemmelse med, at den stereografiske projektion er vinkeltro. 5.3 Arkimedes projektion Vi vil nu som det andet eksempel se på Arkimedes projektion, der afbilder et punkt på kuglen på en cylinder. Punktet projiceres ud på cylinderen ved at finde skæringen mellem cylinderen og den halvlinje, der går vinkelret fra z -aksen og går gennem punktet P. Se figur 16a. z v Q P Q u x y a Figur 16. Arkimedes projektion. b Hvis vi lægger et koordinatsystem ind på den krumme cylinderflade, kan vi forestille os, at vi retter overfladen ud, som vist på figur 16b, så den bliver plan. Derved har vi et sædvanligt retvinklet koordinatsystem og et to-dimensionelt kort. Arkimedes projektion af et punkt P med kuglekoordinaterne ( θ ; φ ) har i uv -planen koordinaterne Arkimedes projektion afbilder punkterne på kugleoverfladen, bortset fra punkterne med xyz - koordinaterne N ( 0;0; R ) og S ( 0;0; R ), ind på rektanglet Eksempel 6 Vi ser på arealet af en kuglekalot med højden h på en enhedskugle, dvs. en kugle med radius R = 1. For er den del af overfladen, hvor en kuglekalot med arealet. Hvis vi bruger Arkimedes projektion, er afbildningen af kalotten et område K i uv -planen, og vi vil nu undersøge, hvad arealet af dette område er. Bemærk først, at K består af de punkter ( u ; v ), der opfylder Side 18

21 Det svarer til et rektangel med sidelængderne 2 π og h, og som derfor har arealet 2 π h. Altså samme areal som kuglekalotten. Eksemplet viser, at Arkimedes projektion bevarer arealet af enhedskuglekalotter, der er centreret omkring N ( 0;0;1 ). Mere generelt kan man vise, at Arkimedes projektion afbilder et område på kuglen i et område i uv -planen, som har samme areal som området på kuglen. Kort med denne egenskab kaldes arealbevarende eller arealtro. Eksempel 7 Vi kender Holstebros kuglekoordinater fra eksempel 5, og kan dermed finde koordinaterne for Arkimedes projektion af Holstebro (målt i km) Opgave 13 Vi kender Vejles kuglekoordinater fra opgave 12. a) Bestem uv -koordinaterne for Arkimedes projektion af Vejle. Der fremstilles et fysisk kort vha. Arkimedes projektion. Skaleringsforholdet er M = b) Bestem afstanden mellem Holstebro og Vejle på det fysiske kort. Opgave 14 I opgave 12b bestemte du afstanden langs Jordens overflade mellem Vejle og Holstebro. a) Bestem afstanden mellem projektionen af Holstebro og projektionen af Vejle når Arkimedes projektion benyttes. b) Bestem afstanden mellem projektionen af Holstebro og projektionen af Vejle når stereografisk projektion benyttes. Opgave 14 viser, at afstanden mellem de to byer beregnet ved hjælp af den stereografiske projektion og Arkimedes projektion ikke er ens, og ingen af dem er den samme som fugleflugtsafstanden. I næste afsnit vil vi se på muligheden for at konstruere et kort, der bevarer afstande. 5.4 Afstandsbevarende projektion Vi har set (eller i hvert fald påstået), at stereografisk projektion bevarer vinkler, og at Arkimedes projektion bevarer arealer. Begge egenskaber er praktiske, så man kunne håbe på, at man kan konstruere et kort, der har begge egenskaber. Men det viser sig at være umuligt. Hvis man havde et kort, der både var vinkeltro og arealtro, kan det bevises, at et sådant kort også ville bevare afstande. Vi skal i det følgende se, at det ikke kan lade sig gøre at lave et kort, der bevarer afstande, og derfor kan det heller ikke lade sig gøre at konstruere et kort, der er både vinkeltro og arealtro. Side 19

22 Et stykke af kugleoverfladen kan man tænke på som en appelsinskræl, og et kort kan man tænke på som en måde at fladgøre skrællen på. Intuitivt virker det ganske rimeligt, at man ikke kan gøre dette uden at deformere appelsinskrællen, således at nogle afstande forøges og/eller formindskes. I det følgende vil vi først vise, at man ikke kan lave et afstandsbevarende kort, der indeholder fire udvalgte punkter. Derfor kan man heller ikke lave et afstandsbevarende kort, der dækker hele sfæren. Med udgangspunkt i det vil vi derefter vise, at det heller ikke kan lade sig gøre at konstruere et afstandsbevarende kort for en mindre del af sfæren. Da kuglens radius ikke har betydning for, om man kan konstruere et afstandsbevarende kort, vil vi i dette afsnit for nemheds skyld blot betragte kugler, der har radius R = 1. Vi vil først vise følgende sætning: Sætning 2 Der findes ikke en afstandsbevarende afbildning af de fire punkter P 1 ( 0;0; 1 ), P 2 ( 1;0;0 ), P 3 ( 0;0;1 ) og P 4 ( 0;1;0 ) på overfladen af en enhedskugle ind i en plan. Et kort over hele sfæren vil indeholde punkterne P 1, P 2, P 3 og P 4. Derfor kan man ikke lave et afstandsbevarende kort over hele kloden. Bevis. Vi vil bevise denne sætning ved et indirekte bevis. Ved denne type bevis antager man det modsatte af, hvad man vil vise, og viser, at det fører til en modstrid. Vi antager derfor, at der findes en afstandsbevarende afbildning af P 1, P 2, P 3 og P 4 ind i en plan og viser, at det leder til noget absurd. Dermed kan vi konkludere, at den afstandsbevarende afbildning ikke findes. Figur 17 viser beliggenheden af de fire punkter. z P 3 ( 0;0;1 ) P 2 ( 1;0;0 ) P 4 ( 0;1;0 ) x y P 1 ( 0;0; 1 ) Figur 17. Fire punkter på enhedskugleoverfladen. Antag at P 1 afbildes i Q 1 i uv -planen, P 2 i Q 2, P 3 i Q 3 og P 4 i Q 4. Bemærk, at de sfæriske afstande opfylder P 1 P 2 = P 2 P 3 = P 2 P 4 = P 1 P 4 = P 3 P 4, da de alle er kvarte storcirkler. Samtidig opfylder de sfæriske afstande P 1 P 3 = P 1 P 2 + P 2 P 3. Og da P 1 P 2 = P 2 P 3, må der så gælde, at P 1 P 3 = 2 P 1 P 2 = 2 P 2 P 3. Side 20

23 Da vi har antaget, at afbildningen er afstandsbevarende, skal afstandene i uv -planen tilsvarende opfylde Q 1 Q 2 = Q 2 Q 3 = Q 2 Q 4 = Q 1 Q 4 = Q 3 Q 4, mens det også må gælde, at Q 1 Q 3 = 2 Q 1 Q 2 = 2 Q 2 Q 3. Det sidste betyder, at punkterne Q 1, Q 2 og Q 3 må ligge på en ret linje med Q 2 midt mellem Q 1 og Q 3. Og da Q 1 Q 4 = Q 3 Q 4, må trekanten Q 2 Q 4 Q 3 (og i øvrigt også trekanten Q 2 Q 1 Q 4 ) være retvinklet. Se figur 18. Q 4 Q 1 Q 4 Q 3 Q 4 Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 Q 2 Q 3 Q 3 Figur 18 Men eftersom de tre afstande Q 2 Q 4, Q 4 Q 3 og Q 3 Q 2 alle er lige store, må trekant Q 2 Q 4 Q 3 også være ligesidet. En plan trekant kan ikke samtidigt være retvinklet og ligesidet, så vi er kommet frem til en modstrid, og kan derfor konkludere, at vi ikke kan afbilde de fire punkter ind i planen, så den sfæriske afstand imellem dem bevares. Sætning 2 siger altså, at en afbildning af de fire punkter P 1, P 2, P 3 og P 4 ikke kan være afstandsbevarende. Men man kunne måske i stedet forestille sig, at en afbildning af et mindre område på sfæren godt kunne være afstandsbevarende. De punkter, der ligger i et område på sfæren, som man vil lave et kort over, er afbildningens definitionsmængde. Man kunne for eksempel forestille sig, at man så kunne lave et danmarkskort, hvor afstande er bevaret. Den går nu heller ikke, som følgende sætning viser. Sætning 3 Hvis et kort indeholder en kuglekalot K i sin definitionsmængde, kan kortet ikke bevare afstande. Bevis. I beviset benyttes samme ide som i beviset for sætning 2, bortset fra at de betragtede punkter ligger tættere på hinanden. Vi har i dette materiale målt vinkler og sfæriske afstande i grader ( ), men de kunne lige så godt have været målt i radianer. Det ændrer ikke noget ved resultaterne ovenfor. Vi vil derfor i dette bevis måle vinkler og sfæriske afstande i radianer det giver os mulighed for at betragte cosinus som en funktion. Dermed kan vi også differentiere den ved hjælp af de gængse regneregler, hvilket vi vil benytte i den sidste del af beviset. Antag, at der findes et kort som beskrevet i sætning 3. Dvs. kortet er afstandsbevarende og indeholder en afbildning af en kuglekalot. Vi vil nu, som i beviset for sætning 2, vælge fire punkter, P 1, P 2, P 3 og P 4 og vise, at antagelsen fører til en modstrid. Side 21

24 Lad P 2 være midtpunktet i kuglekalotten og vælg en sfærisk afstand r (målt i radianer) således, at r er mindre end den sfæriske afstand fra P 2 til kanten af kuglekalotten. Vælg nu to punkter P 1 og P 3, så P 1, P 2 og P 3 ligger på samme storcirkel, afstanden P 1 P 2 = r og P 1 P 3 = 2 P 1 P 2 = 2 P 2 P 3. Se figur 19. P 3 P 2 P 1 r r r d P 4 Figur 19. En kuglekalot med punkterne P 1, P 2, P 3 og P 4. Vælg punktet P 4, så afstandene opfylder P 1 P 4 = P 3 P 4 og P 2 P 4 = r. Da P 2 ligger midt mellem P 1 og P 3 og P 1 P 4 = P 3 P 4, er den sfæriske trekant P 2 P 4 P 3 retvinklet Det følger derfor af den sfæriske version af Pythagoras sætning, at hvor d er den sfæriske afstand mellem P 3 og P 4. cos ( d ) = cos ( r ) 2, (5) Hvis r vælges lille nok, vil alle punkterne P 1, P 2, P 3 og P 4 ligge inden for kalotten K, og kortet angiver derfor fire tilsvarende punkter Q 1, Q 2, Q 3 og Q 4 i uv -planen. Da kortet er antaget at være afstandsbevarende, vil afstandene opfylde Q 1 Q 3 = 2 Q 1 Q 2 = 2 Q 2 Q 3 = 2 r. Derfor ligger de tre punkter Q 1, Q 2 og Q 3 på en linje med Q 2 midt imellem Q 1 og Q 3. Da Q 1 Q 4 = Q 3 Q 4, er trekant Q 2 Q 4 Q 3 retvinklet. Ved at anvende Pythagoras sætning ser vi, at d 2 = r 2 + r 2 = 2 r 2, og dermed Tager vi cosinus på begge sider af lighedstegnet, fås Sammenholdes dette med ligning (5) fås (6) Da vi kan udføre konstruktionen for alle værdier af r, blot de er tilstrækkeligt små, skal ligning (6) gælde for alle r hvor 0 < r < k, og k er et lille tal. Hvis to funktioner stemmer overens på et interval, skal de afledede også stemme overens på intervallet. Differentierer vi venstresiden i ligning (6) to gange, får vi 2sin ( r ) 2 2cos ( r ) 2. Differentierer vi højresiden to gange, får vi 2cos ( ), så der skal gælde (7) Side 22

25 Men når Derfor kan ligning (6) og (7) ikke begge være opfyldt samtidig. Herved er vi kommet frem til den ønskede modstrid og har dermed bevist, at en afstandsbevarende afbildning er umulig. Opgave 15 Benyt et CAS-værktøj til at tegne graferne for de to funktioner. Er de to funktioner lig hinanden? Vi har vist, at man ikke kan konstruere et kort, hvor afstande mellem alle par af punkter er bevaret. Og derfor kan man heller ikke definere et kort, hvor både vinkler og arealer er bevaret. Det viser sig, at man godt kan definere kort, hvor afstande til ét enkelt punkt er bevaret. Og man kan også konstruere kort, hvor afstande i nogle områder er næsten bevaret. Der gælder, at stereografiske projektioner forstørrer afstande, men næsten bevarer dem nær Nordpolen. Arkimedes projektion forlænger afstande langs breddekredse (bortset fra ækvator), mens den forkorter afstande langs længdekredse. Afstande mellem punkter, der ligger tæt på ækvator, er næsten bevaret. Hvis man ser på et fysisk kort, f.eks. et trykt kort over gaderne i en by, vil der ofte være angivet et målestoksforhold, der skal angive forholdet mellem afstande på kortet og afstande i byen. Som vi har set, er det ikke muligt at lave afstandsbevarende kort, og det er derfor heller ikke muligt at angive et præcist målestoksforhold for et kort. Målestoksforhold, som de er angivet på et trykt kort, er derfor et udtryk for en omtrentlig sammenhæng. Der vil derfor være tale om et kompromis mellem nøjagtighed og en nem måde at tolke afstande på kortet. For kort der dækker et mindre område, vil der være en bedre overensstemmelse mellem afstande på det trykte kort og de faktiske afstande end for kort, der dækker et større område. 6 Perspektivering og konklusion Vi har indført grundlæggende begreber i sfærisk geometri og benyttet dem til at indføre projektioner som afbildninger fra kuglens overflade til en plan. Da man ikke kan lave et afstandsbevarende kort, betyder det, at f.eks. Grønlands størrelse i forhold til Afrikas på et kort afhænger af, hvordan kortet er konstrueret. Behandlingen af kort og projektioner kan udvides til den videnskab, der kaldes kartografi. Kartografi omfatter, udover konstruktionen af kort, forhold der handler om anvendelsen af kort. Bl.a. fastlæggelse af mål og målgrupper samt udvælgelse og systematisering af data til et givet kort. Det finder også stor anvendelse i forbindelse med GIS (geografiske informationssystemer), der i de senere år har fundet mange anvendelser i forskning, anlægsvirksomheder, landbrug mv. Den sfæriske geometri kan udvides til den matematiske disciplin, der kaldes differentialgeometri. Her behandles krumme overflader generelt, kurver på krumme overflader og krumme rum. Krumme rum spiller en afgørende rolle i formuleringen af Einsteins generelle relativitetsteori. Side 23

26 Appendiks A Små sfæriske trekanter Som nævnt i afsnit 4.2 er vinkelsummen i en sfærisk trekant altid større end 180. Der gælder også, at jo større arealet af trekanten er, jo større er vinkelsummen. Vi skal nu se, at for meget små trekanter, vil den sfæriske cosinusrelation give resultater, der svarer til dem, man får vha. cosinusrelationen fra plangeometrien. Vi giver i dette appendiks derfor køb på matematisk stringens, og udfører nogle approksimative beregninger. At det går godt, hænger løst sagt sammen med, at når vi zoomer ind og forstørrer op omkring et punkt på kugleoverfladen, kan vi ikke se krumningen, og overfladen ligner derfor mere en plan end en krum overflade. Hvis man f.eks. skal beregne diagonalen i en fodboldbane og kender længden og bredden af banen, bekymrer man sig ikke om, at jorden er krum og anvender blot Pythagoras sætning. For små vinkler v gælder (8) Opgave 16 Beregn sin ( og kommenter resultatet. Hvis vi indsætter (8) i den sfæriske cosinusrelation (4), får vi approksimativt Ganger vi parenteserne ud på højresiden får vi Derfor gælder (stadig approksimativt) eller ækvivalent Når a, b er små størrelser, er a 2 b 2 meget mindre end både ab, a 2 og b 2. Det er fordi a 2 b 2 er det lille tal ab i anden, og derfor meget mindre end ab. Samtidig er a 2 b 2 også det lille tal a 2 gange med det lille tal b 2 og derfor er a 2 b 2 meget mindre end både a 2 og b 2. Da k 2 også er et lille 1 tal, kan vi derfor med tilnærmelse smide leddet 2 k2 a 2 b 2 væk. Dermed kommer vi frem til, at der med approksimation gælder som kan genkendes som cosinusrelationen, som den kendes fra planen. For små sfæriske afstande, dvs. i små områder, vil beregninger med cosinusrelationen, som vi kender fra planen, give stort set de samme resultater, som de tilsvarende beregninger med sfærisk geometri. Det ser vi på i opgave 17. (9) Side 24

27 Opgave 17 Se på en sfærisk trekant med de sfæriske længder a = b = 1 og vinklen C = 30. a) Benyt sætning 1 til at bestemme c. b) Bestem den relative fejl i procent, hvis vi tilnærmer c ved at bruge formel (9). c) Bestem den relative fejl i procent, hvis vi i stedet har a = b = 10 (og stadig C = 30 ) og tilnærmer c ved at bruge formel (9). d) Bestem den relative fejl i procent, hvis a = b = 100 (og stadig C = 30 ), når vi tilnærmer c ved at bruge formel (9). e) Kommenter resultaterne i spørgsmål a til d. Appendiks B Sinusrelationen Den sfæriske udgave af sinusrelationen lyder: Sætning 4 En vilkårlig sfærisk trekant opfylder sin ( A ) sin ( a ) = sin ( B ) sin ( b ) = sin ( C ). (10) sin ( c ) Til beviset får vi brug for et mellemresultat, der bliver vist i opgave 18: Givet tre vektorer gælder (11) Opgave 18 Lad tre vektorer være givet ved Benyt dit CAS-værktøj til at beregne a) b) c) d) Benyt svarene på spørgsmål a, b og c til at nå frem til ligning (11). Side 25

28 Bevis for sætning 4 Vi vil nu udlede sinusrelationen for sfæriske trekanter. Vi kan antage, at den sfæriske trekant ligger på enhedskugleoverfladen. Vi vil gerne bestemme og indfører et koordinatsystem som ved beviset af cosinusrelationen. Dvs. origo ligger i kuglens centrum, C har koordinaterne ( A ligger i xz -halvplanen hvor Da C ( 0;0;1 ), skal vi kun kende z -koordinaten af for at finde prikproduktet. Bruges formlen for krydsproduktet, får vi tredjekoordinaten til Tilsvarende kunne vi indføre et koordinatsystem, hvor A ( 0;0;1 ) og B ligger i xz -halvplanen med Det ville for den samme trekant give På tilsvarende vis kan man vise at Ligning (11) giver derfor, at Dividerer vi med sin ( a ) sin ( b ) sin ( c ), kommer vi frem til hvilket er, hvad vi ville vise. Eksempel 8 Se på en sfærisk trekant med B = C = 90, samt a < 90 og A < 90. Vi vil nu benytte sinusrelationen til at finde sammenhængen mellem a og A. Af Pythagoras sætning (opgave 9) får vi og Derfor må det gælde at cos ( c ) = 0 og c = 90. Sinusrelationen giver og derfor er sin ( a ) = sin ( A ). Da endelig a < 90 og A < 90, får vi A = a. Opgave 19 For en plan trekant gælder, at hvis to af siderne er lige lange, så er også to af vinklerne lige store (og vice versa). Gælder der noget tilsvarende for sfæriske trekanter? Hvad kan vi sige, når alle sider er lige lange? Side 26