Vektorer. koordinatgeometri

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorer. koordinatgeometri"

Transkript

1 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

2 VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors sltpnkt 6 Nlektor 7 LÄngde f ektor 8 Modst ektor4 9 TÄrektor 4 Tl gnge ektor5 Vektor pls ektor5 Vektor mins ektor6 rojektion6 4 rikprodkt7 5 rikprodkt: Vinkelret?7 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer8 7 rikprodkt: rojektion f ektor8 8 Determinnt9 9 Determinnt: rllel? Determinnt: Arel Krydsprodkt Krydsprodkt: rllel? Krydsprodkt: Arel 4 Krydsprodkt: Vinkelret ektor KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje 6 Ligning for linje 4 7 Ligning for pln5 8 Ligning for cirkel 6 9 Ligning for kgle6 Afstnd fr pnkt til linje 7 Afstnd fr pnkt til pln 7 Vinkel mellem linjer7 Vinkel mellem plner8 4 Vinkel mellem sideflder 8 5 Vinkel mellem linje og pln 9 6 VilkÅrligt pnkt på linje 9 7 SkÄring mellem to linjer l og m 9 8 SkÄring mellem linje og cirkel 9 SkÄring mellem linje og kgle 4 SkÄring mellem linje og pln 4 rojektion f pnkt på linje 4 rojektion f pnkt på pln 4 Tngent til cirkel 44 Tngentpln til kgle EVISER 45 eis for t i må prikke ind i en prentes 46 eis for formel eis for t i får nl når i prikker med nlektor 48 eis for t inkelrette ektorer hr sklrprodkt nl 49 eis for formlen for projektion f ektor 4 5 eis for prmeterfremstilling for en linje 4 5 eis for ligning for linje 5 5 eis for ligning for pln 5 5 eis for ligning for cirkel 5 54 eis for ligning for kgle 5 ÇVELSER 6-4 Tidligere ersioner f dete häfte hr skiftet dresse til Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge Å 5 Krsten Jl Nyeste ersion f dette häfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÄftet mç rges i nderisningen his läreren med det smme sender en e-mil til som oplyser t dette häfte enyttes, og oplyser hold, nie, lärer og skole 8/7-5

3 Koordinter til pnkt i plnen Koordintsystem i plnen Se figr De to koordintkser er inkelret på hinnden egyndelsepnkt O er koordintksernes skäringspnkt og hr koordintsättet (,) VEKTORER Det hedder et pln, ikke en pln, men i geometri er egge dele korrekt I eksmensopger skries en pln c KoordintsÄt til pnktet Q Vi nringer et flytrt pnkt i O O Vi forskyder pnktet 5 enheder i x-ksens retning så det kommer fr O til NÅr i forskyder 5 enheder i x-ksens retning, så lier x-koordinten 5 enheder stérre NÅr i forskyder i x-ksens retning er det kn x-koordinten der Ändres AltsÅ hr koordintsättet (5, ) Fr forskyder i pnktet enhed i y-ksens retning så det kommer fr til Q NÅr i forskyder enhed i y-ksens retning, så lier y-koordinten enhed stérre NÅr i forskyder i y-ksens retning er det kn y-koordinten der Ändres AltsÅ hr Q koordintsättet (5, ) Det férste tl i koordintsättet er pnktets x-koordint Det ndet tl i koordintsättet er pnktets y-koordint d KoordintsÄt til pnktet R Å den Éerste figr kn i kn komme til R ed t strte i O, forskyde i x-ksens retning og forskyde 4 i y-ksens retning Derfor er R (, 4) Koordinter til pnkt i rmmet Koordintsystem i rmmet Figren iser et koordintsystem i rmmet De tre koordintkser er inkelret på hinnden egyndelsepnkt O egyndelsespnktet er koordintksernes skäringspnkt ogstet O rges ofte til t etegne egyndelsespnktet O hr koordintsättet (,,) O er et ogst! c KoordintsÄt til pnktet R Q x Vi nringer et flytrt pnkt i O Vi forskyder pnktet 5 enheder i x-ksens retning så det kommer fr O til NÅr i forskyder 5 enheder i x-ksens retning, så lier x-koordinten 5 enheder stérre NÅr i forskyder i x-ksens retning er det kn x-koordinten der Ändres AltsÅ hr koordintsättet ( 5,, ) Fr forskyder i pnktet enhed i y-ksens retning så det kommer fr til Q NÅr i forskyder enhed i y-ksens retning, så lier y-koordinten enhed stérre NÅr i forskyder i y-ksens retning er det kn y-koordinten der Ändres AltsÅ hr Q koordintsättet ( 5,, ) Fr Q forskyder i pnktet enheder i z-ksens retning så det kommer fr Q til R NÅr i forskyder enheder i z-ksens retning, så lier z-koordinten enheder stérre NÅr i forskyder i z-ksens retning, er det kn z-koordinten der Ändres AltsÅ hr R koordintsättet ( 5,,) Det férste tl i koordintsättet er pnktets x-koordint Det ndet tl i koordintsättet er pnktets y- koordint Det tredje tl i koordintsättet er pnktets z-koordint emärk t pnkterne R og T ligger lige lngt oer xy-plnen som indeholder x-ksen og y-ksen d KoordintsÄt til pnktet S Vi kn komme til pnktet S ed t strte i O, forskyde i x-ksens retning, 4 i y-ksens retning og i z-ksens retning Derfor er S (, 4, ) R R z O y T Q (5,) R (, 4) R (5,,) S (,4, ) S Q x y Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

4 Vektor: Definition, sprogrg, mm En ektor er en pil His i forskyder en pil den t dreje den, så er pilen stdig smme ektor En ektor kn etegnes med et lille ogst med pil oer c Å figrerne f og g gälder: Vektorerne og er smme ektor, for de kn forskydes oer i hinnden d de hr smme längde og smme retning Vektorerne og c er ikke smme ektor d de hr forskellig längde Vektorerne d og e er ikke smme ektor d de hr forskellig retning d Å figr f går ektoren fr pnktet til pnktet Q SÅ kn denne ektor etegnes med Q Der gälder t Q og Q e NÅr en ektor er nrgt så den går fr et pnkt til et pnkt Q, så siger i: er ektorens strtpnkt og Q er ektorens sltpnkt NÅr i fsätter ektoren d fr, så er dens sltpnkt Q Q c h En firknt ACD er et prllelogrm netop his A DC 4 Vektor: Koordinter 4 Regel: Vi kn få en ektors koordintsät ed t träkke strtpnktets koordinter fr sltpnktets koordinter 4 SkriemÅde: En ektors koordintsät skries lodret 4c NÅr A, ) og, ), er 4d NÅr A,, ) og,, ), er ( A ( ( A ( 4e Eksempel 4f Eksempel Å figr f er (5,) og Q (,) Å figr g er R (,, ) og S (,, ) så ds Figr f Q ( 5) og ds A Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl så RS d 4g Dette koordintsät fortäller t går 4h Dette koordintsät fortäller t d går i x-ksens retning og i x-ksens retning, i y-ksens retning i y-ksens retning og Dette kn i også se på figr f i z-ksens retning Dette kn i også se på figr g 4i His en ektors strtpnkt er O(,), så er ektorens koordinter = sltpnktets koordinter En ektor er stedektor for et pnkt his den går fr O(,) til pnktet OA er stedektor for A D C x R d z e S Figr g d y

5 5 Koordinter til ektors sltpnkt x 5 NÅr A (, ) og x A er 5 NÅr A (,, ) y og A y z x, ) x, y, ) ( y ( z er A A 5c I ord kn de to formler dtrykkes sådn: NÅr en ektor er fst d fr et pnkt, og mn lägger ektorens koordinter til pnktets koordinter, så får mn koordinterne til ektorens sltpnkt 5d Eksempel 5e Eksempel (4,) Ud fr figren sltter i: x, y, ), 6 Nlektor 5 ( z r r r, ( x, y, z) r Med disse etegnelser får i d fr figren: x, y, z) ( x r, y r, z ) ( r 6 Vekoren med längde kldes nlektor og etegnes med o som er ogstet lille o med pil oer 6 I plnen er o, og i rmmet er o 6c Å en figr er nlektor et pnkt 7 LÄngde f ektor 7 SkriemÅde: Symolet etyder längden f ektoren ( 45, ) (9, ) r r x 7 NÅr x, er 7c NÅr y y, er z x y x y z,5 7d Opge estem längden f ektoren I rmmet er dregningerne de smme,6 ortset fr t der er tre koordinter Sr Se 7 Sr Sr,5,6,5,6,9 Afsnit 7 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

6 7e Opge estem fstnd mellem A(,) og (6,5) Sr Se 4c, 7 Sr Se 4c Sr Se 4i, 4c A (,) (6,5) 6 ( ) A 5 A 8 ( 6) 8 6 Afstnd mellem A og er I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Kontrol ed elektronisk fläsning på figr AfsÄtter pnkter med A's og 's koordinter Forinder disse med ektor MÅler elektronisk dennes längde Resltt er ligesom ed dregning 8 Modst ektor 8 Koordinter til modst ektor x En ektor x hr den modstte ektor En ektor y y hr den modstte ektor z x 8 x 8c y y z 8d Modst ektor på figr Den modstte ektor til hr smme längde som og hr modst retning f 8e Eksempel Å figren er SÅ er Se 8 ( ) I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter 9 TÄrektor Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt 9 NÅr i drejer en ektor 9 mod ret, så får i ektorens tärektor Se figr 9 Vi skrier â er tärektoren til oer en ektor for t etegne tärektoren En ektor i rmmet hr IKKE en tärektor Dette skyldes t en ektor i rmmet kn drejes 9 på endelig mnge måder Vi kn ikke ide hilken f disse i skl rge â Afsnit 9 fortsätter pç näste side! Figr 9 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl

7 9c Formel for tärektor Vi dregner koordinterne til tärektoren ed hjälp f félgende formel: x y 9d y x 9e Eksempel: His, er â Se figr 9 9f Eksempel D skl IKKE hske t reglen Figr 9g iser et kdrt er nr 9 D skl läse reglen, Af 9 får i hske den, og forstç t den rges her Det smme gälder 5 A lle tilsrende henisninger Vi omskrier héjresiden med Formel 9d og får A 5 Af dette og Formel 5 får i ( 7, ( 5)) AltsÅ er ( 8, ) Tl gnge ektor Koordinter til Vi gnger en ektor med et tl ed t gnge her f ektorens koordinter med tllet: D C 5 A(7,) Figr 9g k k c k k k k k d på en figr,5 er ensrettet med d,5 er positi,5 er,5 gnge så lng som er modst rettet d er negti er gnge så lng som e er nlektoren o f LÄngden f k er k gnge längden f Se 7c g k er ensrettet med his k er positi k er modstrettet his k er negti h His er o eller prllel med, så findes et tl k så er k,5 Vektor pls ektor Koordinter til Afsnit fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

8 c på en figr d på en figr His er fst i forlängelse f som på figr e, så er His og er fst d fr smme pnkt ektoren R som på figr f, og QRS er et prllelogrm, så er digonlen R lig fr 's strtpnkt til 's spids Q Q R R Figr e Figr f S g Eksempel Figr h iser tre ektorer Af regel c får i 8 7 Herf og f får i 8 ( 7) ( ) AltsÅ er 4 Vektor mins ektor Koordinter til 8 7 Figr h c på en figr d på en figr His og er fst i forlängelse f His og er fst d fr smme pnkt, hinnden som på figr e, så er T lig så er ektoren fr 's spids til 's spids Å figr f, er SQ lig T Q Q Figr e Figr f S rojektion rojektion f pnkt på linje NÅr i fr et pnkt går inkelret ind på en linje l, kommer i til et pnkt l på l som i klder projektionen f på l SÅdn kn i tegne projektionen Kn plngeometri For t tegne projektionen f et pnkt på en linje l tegner i den linje m som går gennem og er inkelret på l SkÄringspnktet mellem m og l er det pnkt l i klder projektionen f på l Afsnit fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl l l

9 c rojektion f ektor på ektor Linjen l er prllel med NÅr i projicerer strtpnkt og sltpnkt for på l, så får i strtpnkt og sltpnkt for en ektor som i klder projektionen f på d rojektion f pnkt på pln NÅr i fr et pnkt går inkelret ind på en pln, kommer i til et pnkt i som i klder projektionen f på l 4 rikprodkt 4 rikprodktet f to ektorer og er et tl NÅr i kender koordinterne, kn i dregne prikprodktet ed hjälp f formlerne i rmmerne rikprodktet kldes også sklrprodktet Sklr etyder tl 4 4c 5 rikprodkt: Vinkelret? 5 Symolet läses er inkelret på eller og er ortogonle 5 netop når his herken eller er nlektor 5c Opge t og estem t så og er ortogonle Sr Uden hjälpemidler, se 4 og 5 Sr Se 5 t t og er ikke nlektor så de er ortogonle netop når deres prikprodkt er t = t + = t = t = I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Her stçr hd Nspire gér i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen og er ortogonle når t Kontrol på kdreret ppir NÅr t = er Å kdreret ppir tegner i denne ektor og Med inkelmåler måler i inklen mellem ektorerne Vi får t inklen er 9, som den sklle Äre Afsnit 5c fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl

10 Tnkegng g spçrgsmålet Å figren er den pnkterede linje inkelret på Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en Ärdi f t som ligger mellem og 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer 6 NÅr i fsätter to ektorer d fr smme pnkt, dnner de to inkler Den f inklerne der er mindre end eller lig 8, klder i inklen mellem ektorerne 6 NÅr er inklen mellem og, er cos( ) 6c NÅr p hr ligningen cos() = p netop án lésning i interllet 8 Denne lésning etegnes cos (p) I Nspire mç cos ikke skries 8 6d Opge og estem inklen mellem og som en potens Tegnet skl Älges pç tegnpletten Sr Se 6, 6c, 4, 7 8 Vinkel mellem og er 8 ( ) cos ( ) cos ( ) 8 ( ) 94,987 94,4 Sr Se 6 og 6c Sr Se 6 og 6c I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Kontrol ed elektronisk fläsning på figr 8 Vi tegner og Ved elektronisk måling f inklen mellem disse får i 94,987 Det er smme resltt som i fik ed dregning 7 rikprodkt: rojektion f ektor 7 rojektionen f på er 7 LÄngden f projektionen f på er Afsnit 7 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 5 Krsten Jl

11 7c Symolet x läses den nmeriske Ärdi f x når x er et tl Der gälder, 4 4, 4 4,,5, 5,,5, 5, os er längden f fordi er en ektor er den nmeriske Ärdi f fordi er et tl 7d Opge og estem projektionen f på Sr Se 7, 4, 7,,7 Sr Se 7 Sr Se 7 I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter,,7 Kontrol ed elektronisk fläsning på figr Elektronisk konstrktion f ektor og d fr O(,) linje l gennem 's strt- og sltpnkt linje m som er inkelret på l og går gennem 's sltpnkt skäringspnkt mellem l og m ektor fr O til skäringspnkt Denne ektor er projektionen f på Dens koordinter er lig endepnkts koordinter d strtpnkt er O Vi fläser elektronisk sltpnkts koordinter Det er (-,, -,7), smme resltt som ed dregning 7e Opge og estem längden f projektionen på 5 I rmmet er dregningerne de smme Sr Se 7,4, 7, 7c ortset fr t der er tre koordinter 5 ( ) ( ) 5 Sr Se 7 Sr Se 7 8 Determinnt Kn plngeometri 8 Determinnten det(, ) f to ektorer på er et tl NÅr i kender koordinterne, kn i dregne determinnten ed hjälp f formlen i rmmen To ektorer i rmmet hr ikke en determinnt 8 det(, ) Afsnit 8 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 5 Krsten Jl

12 8c Opge 8 og estem det(, ) Sr Uden hjälpemidler, se 8 Sr Sr 8 det(, ) 8 ( ) 6 9 Determinnt: rllel? Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt 9 Symolet läses og er prllelle 9 netop når det(, ) his herken eller er nlektor 9c Opge 4 og estem t så og er prllelle t Sr Uden hjälpemidler, se 9, 8 Sr Se 9 4 t og er ikke nlektor, så de er prllel netop når det(, ) ( ) t 4 6t 4 = 6t = 4 6t t Tnkegng g spçrgsmålet Å figren er den pnkterede linje prllel med Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en Ärdi f t som ligger mellem og Her stçr hd Nspire gér i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen når t når t når t når t Determinnt: Arel Kn plngeometri I rmmet kn rges krydsprodkt Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er A det(, ) Se figr Afsnit fortsätter pç näste side! A Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

13 Opge 8 og estem rel f prllelogrm dspändt f og Sr Uden hjälpemidler Se, 8, 7c Sr Se 8 Arel f prllelogrm dspändt f og er det(, ) ( ) c Eksempel Arelet T f treknt AC er T det( A, AC) C d Eksempel En skä firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet Krydsprodkt Kn rmgeometri A T Krydsprodktet f to ektorer og er en ektor NÅr i kender koordinterne, kn i dregne krydsprodktet ed hjälp f formlen i rmmen Krydsprodktet kldes også ektorprodktet Q S R Vi skl ide t denne formel findes Vi skl ikke hske formlen Vi il ltid rge Nspire til t dregne krydsprodkt c Eksempel 4 Dette er dregnet på Nspire ed t tste cross({,-,5},{-,6,4}) eller Krydsprodkt: rllel? Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt netop når o his herken eller er nlektor Eksempel 9 9 og Å Nspire dregner i D er nlektor, er og prllelle Krydsprodkt: Arel Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt cross, Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er A Afsnit fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

14 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl Eksempel og Å Nspire dregner i Arelet A f det prllelogrm der dspändes f og er ) ( A c Eksempel Arelet T f treknt AC er AC A T d Eksempel: En skä firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet e Opge Figr iser klods i koordintsystem med enhed dm GÉr rede for t t ACD er et prllelogrm, og estem rel f ACD Sr Se h, 4d, Sr Se h, 4d, A(,,) (,,) C(,4,) D(,,) A 4 DC D DC A er ACD et prllelogrm AD Arel f ACD er 6,78 A AD Arel f ACD er 6,7 dm 4 Krydsprodkt: Vinkelret ektor Kn rmgeometri I plnen kn rges tärektor 4 Krydsprodktet f to ektorer er en ektor der er inkelret på egge ektorer: og 4 HÇjrehÅndsreglen: Gri om med héjre hånd så fingrene peger fr til SÅ il pege i tommelfingerens retning x y z Q R S A C T A(,,) (,,) C(,4,) D(,,) D A C x y z dregnet f Nspire

15 KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje r r r t 5 r l 5 x, ) ( x, y) ( y r r r t r r x, y, ) ( x, y, z) ( z r l r r NÅr ( x, y) er et pnkt på l og NÅr ( x, y, z) er et pnkt på l og r r r er prllel med l, så er félgende er prllel med l, så er félgende en prmeterfremstilling for l: en prmeterfremstilling for l: x x r 5c t y y r 5d x x y y z z r t r r 5e NÅr 5c er en prmeterfremstilling for l, 5f NÅr 5d er en prmeterfremstilling så gälder: for l, så gälder: ( y x, ) er et pnkt på l x, y, ) er et pnkt på l r r er prllel med l 5g Antg t x, y, r og r i c 5c er erstttet med 5h estemte erstttet med tl SÅ estemte gälder: tl SÅ gälder: His i indsätter et tl for t og dregner héjresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen 5i En ektor der er prllel med l, kldes en retningsektor for l 5j NÅr A og er to forskellige pnkter på l, så er A prllel med l ( z r r r er prllel med l 5k NÅr A er et pnkt på l og A er prllel med l, så er et pnkt på l 5l Opgetype: estem prmeterfremstilling for linje Metode: His der ikke er oplyst koordinter til et pnkt på linjen, så find koordinter til et pnkt på linjen His der ikke er oplyst koordinter til en ektor der er prllel med linjen, så find koordinter til en ektor der er prllel med linjen IndsÄt koordinter fr pnkt og ektor i 5c eller 5d 5m Eksempel En linje l går gennem pnkterne A(5,, ) og (5, 7, 4) For t estemme en prmeterfremstilling for l rger i 5j, 4d og 5d D A og ligger på l, er A prllel med l Antg t x, y, z, r, r og r i 5d er erstttet med estemte tl SÅ gälder: His i indsätter et tl for t og dregner héjresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen 55 x 5 A 7 7 så l hr prmeterfremstillingen y t z 4 Afsnit 5 fortsätter pç näste side! A l Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

16 5n Eksempel Linjen på figren hr prmeterfremstillingen x 7 t y 4 NÅr t = er NÅr t = er NÅr t =,5 er x = 7 + ( )( ) = 9 y = 4 + ( ) = x = 7 + ( ) = y = 4 + = x = 7 +,5( ) = y = 4 +,5 =,5 x 7 5o Opge l : t Ligger pnktet (, ) på l? y 4 Sr Uden hjälpemidler Se 5g og 5n (, ) ligger kn på l his der er et tl t så 7 + t( ) = 4 + t = Af férste ligning får i t = NÅr t = gier den nden lignings enstreside 4 D den ikke gier : (, ) ligger ikke på l 6 Ligning for linje Kn plngeometri 6 NÅr ( x, y) er et pnkt på l og er inkelret på l, så kn i estemme en ligning for l ed férst t sätte ind i formlen ( x, y ) ( x x) ( y y) og derefter gnge ind i prenteserne og träkke smmen så i får en ligning f typen x y c l 6 NÅr x y c er en ligning for l, så er ektoren inkelret på l 6c NÅr i kender tllene, og c i en ligning x y c for en linje l, så kn i ndersége om et pnkt ligger på l ed t sätte pnktets koordinter ind for x og y i ligningen His ligningen lier snd, så ligger pnktet på l His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på l 6d En ektor der er inkelret på l kldes en normlektor for l 6e Opge l : x + y 4 = nktet (, ) ligger på l estem Sr Uden hjälpemidler Se 6c D (, ) ligger på linjen l med ligningen x + y 4 =, lier ligningen snd når i indsätter pnktet + 4 = = Afsnit 6 fortsätter pç näste side! Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl

17 6f Opge En linje l går gennem pnkterne A(, 7) og (,) estem ligning for l på formen x+y+c = Sr Uden hjälpemidler Se 5j, 9, 9d og 6 5 D A(, 7) og (,) ligger på l, er l prllel med A 7 6 ( 6) 6 SÅ er l inkelret på A D ( x, y) (, 7) er et pnkt på l, og er inkelret på l, hr l ligningen 5 x x ) ( y y ) ( 6 ( x ) ( 5) ( y 7) 6x 5y 7 Ligning for pln Kn rmgeometri 7 NÅr ( x, y, z) er et pnkt i en pln, og er inkelret på, c så kn i estemme en ligning for ed férst t sätte ind i formlen ( x x) ( y y) c( z z) og derefter gnge ind i prenteserne og träkke smmen så i får en ligning f typen x y cz d 7 NÅr x y cz d er en ligning for, så er ektoren inkelret på c 7c NÅr i kender tllene,, c og d i en ligning x y cz d for en pln, så kn i ndersége om et pnkt ligger i ed t sätte pnktets koordinter ind for x, y og z i ligningen: His ligningen lier snd, så ligger pnktet i His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke i 7d NÅr A og er to forskellige pnkter i, så er A prllel med 7e En ektor der er inkelret på, kldes en normlektor for 7f NÅr og er prllelle med, så er inkelret på his og ikke er prllelle, ds his ikke er nlektor 7g Opge A (,, 4), (,,) og C(, 4, ) ligger i pln estem ligning for Sr Se 4d, 7d, 7f, 7 D A (,, 4), (,,) og C(, 4, ) ligger i, er félgende to ektorer prllelle med : A 5 og AC A AC 5 Udregnet f Nspire Denne ektor er inkelret på d den ikke er nlektor og A og AC er prllelle med 8 D ( x, y, z) (,, 4) er et pnkt i, og 5 er inkelret på, hr ligningen c x x ) ( y y ) c( z z ) ( 8 ( x ) 5 ( y ) ( ) ( z 4) 8x 5y z c ( x, y, z) Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

18 8 Ligning for cirkel Kn plngeometri 8 ( x x ) ( y y) r er ligning for en cirkel med centrm C x, y ) og rdis r ( 8 NÅr er et pnkt på en cirkel med centrm C, er cirklens rdis r C Se 7e 8c Eksempel En cirkel hr ligningen ( x ) ( y 5) 9 Vi omskrier til formen 8 : ( x ) ( y ( 5) ) Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 8d Metode: NÅr i kender en ligning for en cirkel, så kn i ndersége om et pnkt ligger på cirklen ed t sätte pnktets koordinter ind for x og y i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på cirklen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på cirklen 8e Opge En cirkel hr ligningen x x y y 7 estem centrm og rdis Sr Uden hjälpemidler x x y y 7 x x y 5 y 5 7 Se i 8f- hordn d kommer frem til näste linje Se i 8f- hordn d kommer frem til näste linje ( x ) ( y 5) 9 Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 9 Se 8 og 8c 8f Forklring til 8e 8f- Koefficienten til x er Hldelen er, og i nden er Vi lägger til egge sider Koefficienten til y er Hldelen er 5, og 5 i nden er 5 Vi lägger 5 til egge sider Konstntleddet er 7 Vi träkker 7 fr egge sider 8f- Koefficienten til x er Hldelen er Derfor skl der stå i férste prentes Koefficienten til y er Hldelen er 5 Derfor skl der stå +5 i nden prentes emärk: IfÉlge kdrtsätninger er ( x ) x x og ( y 5) y 5 y emärk: IndsÄttes x o =, y o = 5 og r= i ( x x ) ( y y) r, så får i ( x ) ( y 5) 9 8f- His x-led eller y-led mngler, ser omskriningen lidt nderledes d: x y y 7 x y 5 y 5 7 ( x ) ( y 5) 8 Centrm er (, 5) og rdis er 8 9 Ligning for kgle Kn rmgeometri 9 ( x x ) ( y y) ( z z) r er ligning for en kgle med centrm C x, y, ) og rdis r ( z 9 Regel: NÅr er et pnkt på en kgle med centrm C, er kglens rdis r C Se 7c og 7e 9c Eksempel En kgle hr ligningen ( x ) y ( z 5) 8 Vi omskrier til formen 9: Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 8 ( ) ( y ) ( y ( 5) ) x 9d Metode: NÅr i kender en ligning ( x x ) ( y y) ( z z) r for en kgle, så kn i ndersége om et pnkt ligger på kglen ed t sätte pnktets koordinter ind for x, y og z i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på kglen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på kglen 9e Opge En kgle hr ligningen x x y z z 8 estem centrm og rdis Sr Se forklring i 8e-8f x x y z z 8 x x y z 5 z 5 8 ( x ) y ( z 5) 8 Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl

19 Afstnd fr pnkt til linje Kn plngeometri Afstnden d fr et pnkt x, y ) til en linje l : x y c x y c d ( er l d Opge estem fstnd fr (, ) til linjen l : 4x y Sr Afstnden fr ( x, y) = (,) til linjen l : x y c med = 4, =, c = er x y c 4 8 =, 6 4 ( ) 5 Afstnd fr pnkt til pln Kn rmgeometri Afstnden h fr et pnkt ( x, y, z) til en pln : x y cz d er h h x y cz d Se c Vinkel mellem linjer Metode: His i kender retningsektorer r l og r m for linjer l og m, så find inklen mellem r l og r m SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og m dnner Se 6 og 6d r l m r m 8 l Metode: His i kender normlektorer n og n for to linjer l og l i plnen, så find inklen mellem n og n SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og l dnner Se 6 og 6d c Metode: His i for to linjer l og l i plnen kender en retningsektor r og en normlektor n, så find inklen mellem og n SÅ il og 8 Äre de to inkler som l og l dnner Se 9d og 6 og 6d d x 6 x 8 Opge To linjer l og m er giet ed l : y 4 t og m : y s z 5 z 5 estem den spidse inkel mellem l ogm Sr Se x 6 x 8 l : y 4 t m : y s r l = r m = z 5 z 5 Af prmeterfremstillingerne ser i t r l er prllel l og t r m er prllel med m, så inklen mellem disse ektorer er en f de to inkler mellem l og m : = cos r m ( l r ( ) ) = cos ( ) = 95, ,9 rl r m ( ) D > 9 gälder: Den spidse inkel mellem l og m er 8 95,9 = Afsnit d fortsätter pç näste side! 84, Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl

20 Sr Vinkel mellem plner Kn rmgeometri Find inklen mellem normlektorer n og n til to plner og SÅ il og 8 Äre de to inkler som og dnner Se 6 og 6d 4 Vinkel mellem sideflder Kn rmgeometri 4 Figren iser inklen mellem to flder NÅr i skl finde, finder i inkler mellem de to plner der indeholder flderne Der er to inkler og mellem disse plner His det ikke er oplyst om inklen mellem flderne er den spidse eller stmpe f inklerne mellem plnerne, så må i rge 4 4 Til den ene sideflde skl i finde en normlektor n der peger ind i inklen (rg héjrehåndsreglen 4) Til den nden sideflde skl i finde en normlektor der peger d f inklen (rg héjrehåndsreglen 4) Vinklen mellem n og n er inklen mellem sideflderne 4c His egge ektorer peger ind i inklen, eller egge peger d, finder i inklen (på figr oenfor) som ikke dnnes f sideflderne De to plner der indeholder sideflderne, dnner inklerne og 4d Opge Flden CD er indeholdt i plnen med ligningen y + z = estem den stmpe inkel mellem flderne AC og CD Sr n To flder n A x n z C De to plner der indeholder de to flder A(,,) (,,) C(,,) D y Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 5 Krsten Jl

21 5 Vinkel mellem linje og pln Kn rmgeometri 5 FÉrst: Find inklen mellem en normlektor n til plnen og en retningsektor r til linjen SÅ: His er mindre end 9: Fr 9 träkkes for t få inkel mellem linje og pln His er stérre end 9: Fr träkkes 9 for t få inkel mellem linje og pln Se 6 og 6d GrÉn streg er pln set fr siden lå streg er linje 6 VilkÅrligt pnkt på linje 6 Vi omskrier prmeterfremstillingen for en linje l: x 5 5 t 5t t y t t Et ilkårligt pnkt på l er ( x, y) (5t, t) 7 SkÄring mellem to linjer l og m r n? I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter r? n 7 Åde l og m er giet ed prmeterfremstilling FÉrst finder i et ilkårligt pnt på her linje: l: ( x, y) (s, 5s) og m: ( x, y) (t, t) Vi skl estemme s og t så de to pnkter hr ens x-koordinter og ens y-koordinter: s t 5 s t Vi léser dette ligningssystem mht s og t og får: s og t NÅr s er ( x, y) (s, 5s) (, 5) (4, ) SkÄringspnktet er ( x, y) (4, ) 7 Åde l og m er giet ed ligning Kn plngeometri Vi skl finde x og y så egge ligninger er opfyldt: l: x y m: x y 6 Vi léser dette ligningssystem mht x og y og får x 4 og y SkÄringspnktet er ( x, y) (4, ) 7c l er giet ed ligning, m ed prmeterfremstilling Kn plngeometri FÉrst finder i et ilkårligt pnkt på m : I 6 stçr hordn i gér m: ( x, y) (t, t) Vi indsätter dette pnkt i ligningen l: x y og får (t ) ( t) Vi léser denne ligning mht t og får t NÅr t er ( x, y) (t, t) (, ) (4, ) SkÄringspnktet er ( x, y) (4, ) I 6 stçr hordn i gér rmetrene s og t i de to pnkter mç ikke Äre smme ogst Skri t Nspire léser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire léser ligningen med sole, eller skri mellemregninger I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er koordinter Skri t Nspire léser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 5 Krsten Jl

22 8 SkÄring mellem linje og cirkel Kn plngeometri 8 Linjen er giet ed prmeterfremstilling FÉrst finder i et ilkårligt pnkt på linjen : ( x, y) (t, t) Vi indsätter dette pnkt i cirklens ligning og får x 6x y y ( t) 6(t) ( t) ( t) Vi léser denne ligning mht t og får t eller t NÅr t er ( x, y) (t, t) (, ) (, ) NÅr t er ( x, y) (t, t) (, ) (6, ) SkÄringspnkterne er (, ) og ( 6, ) 8 Linjen er giet ed ligning Linjen og cirklen er giet ed ligningerne x y 6 x 6x y y Vi léser dette ligningssystem mht x og y og får x og y eller x6 og y SkÄringspnktet er ( x, y) (, ) og ( x, y) (6, ) I 6 stçr hordn i gér Skri t Nspire léser ligningen med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire léser ligningssystemet med sole, eller skri mellemregninger 9 SkÄring mellem linje og kgle Kn rmgeometri 9 Metode: Vi indsätter et ilkårligt pnkt fr linjen i kglens ligning, os Se 6 og 8 4 SkÄring mellem linje og pln Kn rmgeometri 4 Metode: Vi indsätter et ilkårligt pnkt fr linjen i plnens ligning, os Se 6 og 7c x Opge ln og ligning l er giet ed: : x z 9 l : y 4 t 5 estem skäringspnkt mellem l og z Sr Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

23 4 rojektion f pnkt på linje Kn plngeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet (,) på linjen l: x y Q er skäringspnktet mellem l og linjen m der går gennem og er inkelret på l Af ligningen for l ser i t ektoren er inkelret på l, så m hr prmeterfremstillingen x m : t y Herefter kn i rge metoden fr 7c til finde Q 4 Opge En linje l går gennem pnkterne A(, ) og (9, 4) estem projektionen f (, ) på l Sr rojektionen f på l er skäringspnktet mellem l og linjen m der er inkelret på l og går gennem estemme ligning for l 9 9 A(, ) og (9, 4) ligger på en linje l A Vektor prllel med l : Vektor inkelret på l : 5 5 l går gennem (x,y ) = (,) og er inkelret på 5, så l hr félgende ligning: (x x ) + (y y ) = 5(x ) + (y ) = 5x + y = estemme prmeterfremstilling for m r 5 m går gennem (x,y ) = (,) og er prllel med, så m hr félgende r x x r x 5 prmeterfremstilling: t ds t y y r y estemme skäringspnkt mellem l og m VilkÅrligt pnkt på m som er (+5t, +t) indsätter i i ligning for l : 5(+5t) + (+t) = Nspire léser denne ligning mht t og får t = NÅr t = er det ilkårlige pnkt lig (+5( ), +( )) = (6, ) rojektionen f på l er ( 6,) Kontrol ed elektronisk fläsning på figr Elektronisk konstrktion: Tegn pnkter (,) og (9,-4) Tegn linje l gennem disse Tegn pnkt (,) Tegn linje m som er inkelret på l og går gennem (,) Tegn skäringspnkt mellem l og m Dette skäringspnkt er projektionen f på l AflÄs elektronisk koordinter til skäringspnkt Reslttet er (6,) ligesom i dregningen f projektionen 4 rojektion f pnkt på pln Kn rmgeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet ( 6,, 5) på plnen : x y z 5 Q er skäringspnktet mellem og linjen m der går gennem og er inkelret på Af ligningen for ser i t ektoren er inkelret på, så m hr prmeterfremstillingen x 6 m : y t z 5 Herefter kn i rge metoden fr 4 og 4 til finde Q Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

24 4 Tngent til cirkel Kn plngeometri 4 Sprogrg: En tngent til en cirkel er en linje der hr präcis át pnkt fälles med cirklen Dette pnkt kldes réringspnktet NÅr mn siger tngenten i, etyder det t er réringspnktet 4 Regel: En tngent til en cirkel er inkelret på linjen gennem centrm og rçringspnkt 4c Regel: En linje er tngent til en cirkel netop his fstnden fr centrm til linjen er lig rdis 4d Metode: nktet (4, 5) ligger på en cirkel med centrm C (,) Vi il finde en ligning for tngenten l i IfÉlge 4 er C inkelret på l, så i kn finde ligningen for l ed t rge 4c og 6 4e Metode: Linjen l: x 4y 4 er tngent til en cirkel med centrm C (, 5) Vi il finde en ligning for cirklen IfÉlge 4c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til l (se ) SÅ kn i estemme cirklens ligning ed t rge 8 4f Metode: Vi il ndersége om linjen l: x 4y 4 er tngent til cirlen M: ( x ) ( y 5) 8 Metode : Vi finder centrm og rdis som i 8c SÅ dregner i fstnden fr centrm til l og rger 4c Metode : Vi finder skäringspnkterne mellem l og M og rger 4 SkÄringspnkterne finder i som i 8 44 Tngentpln til kgle Kn rmgeometri 44 Sprogrg: En tngentpln til en kgle er en pln der hr präcis át pnkt fälles med kglen Dette pnkt kldes réringspnktet NÅr mn siger "tngentplnen i ", etyder det t er réringspnktet 44 Regel: En tngentpln til en kgle er inkelret på linjen gennem centrm og rçringspnkt 44c Regel: En pln er tngentpln til en kgle netop his fstnden fr centrm til plnen er lig rdis 44d Metode: nktet (4, 5, ) ligger på en kgle med centrm C (,, 4) Vi il finde en ligning for tngentplnen i ligger i, og ifélge 44 er C inkelret på, så i kn finde ligningen for ed t rge 4d og 7 44e Metode: lnen : x y z 4 er tngentpln til en kgle med centrm C (,, 5) Vi il finde réringspnktet Ld l Äre linjen gennem C og Af 7 félger t er inkelret på og derfor (ifélge 44) prllel med l Vi kn n (se 5d) opskrie en prmeterfremstilling for l og derefter finde réringspnktet som skäringspnkt mellem l og (se 4) 44f Metode: lnen : x y z 4 er tngentpln til en kgle med centrm C (,, 5) Vi il finde en ligning for kglen IfÉlge 44c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til (se ) SÅ kn i estemme kglens ligning ed t rge 9 44g Metode: Vi il ndersége om plnen : x y z 4 C(,, 5) og rdis 4 Vi dregner fstnden fr C til (se ) og rger 44c C er tngentpln til kglen med centrm C l Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

25 Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl EVISER 45 eis for t i må prikke ind i en prentes og er koordinter til, og tilsrende for og w ) ( ) ( ) ( w w w w w w w w w w w w w w w w w w w De to dtryk w ) ( og w w gier smme fire led, så de er smme tl: 45 w w w ) ( 46 eis for formel 46 og er koordinter til ) ( ) ( ) ( k k k k k k k ) ( k k k k k De to dtryk k ) ( og k gier smme resltt, så de er smme tl: 46 ) ( k k 47 eis for t i får nl når i prikker med nlektor og er koordinter til o så 47 o 48 eis for t inkelrette ektorer hr sklrprodkt nl og er koordinter til, og tilsrende for NÅr i fsätter og d fr smme pnkt, er ektoren fr 's spids til 's spids NÅr kn i rge ythgors sätning på den iste treknt: ) ( ) ( ) ( ) ( N hr i eist t 48 his er Vi hr rgt ektorregel og 4, og tlregler: gnge ind i prentes, og ed pls er räkkefélge ligegyldig I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel, 4 og 7, og tlregler: ed gnge er räkkefélge ligegyldig, x =xx, kdrtrod i nden, og gnge ind i prentes I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel 4, og tlregel om nl gnge tl I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Her hr i rgt d Her hr i rgt 7 og Her hr i rgt 4 er x-koordinten til er y-koordinten til

26 49 eis for formlen for projektion f ektor Se figren til héjre rojektionen f på er en ektor der er o eller prllel med, så i kn få projektionen frem ed t gnge med et tl: t NÅr c er ektoren på figren, er t c egge sider i denne ligning prikker i med og får: t c Vi prikker ind i prentesen og får: ( t) c FÉrste led på héjre side omskrier i med 46, og sidste led er d c er nlektor eller inkelret på : t egge sider i denne ligning diiderer i med og får: t Vi indsätter dette dtryk for t i félgende ligning som i egrndede oenfor: t og får: 49 5 eis for prmeterfremstilling for en linje r l er linjen som går gennem ( x, y ) og er prllel med r r r r t r x, ) ( x, y) ( y l t I et eis ehéer i ikke ide horfor i skrier estemte ligninger Det er nok t i kn se t ligningerne er rigtige SÇ hr i indset t sltreslttet er rigtigt c Et pnkt ( x, y) ligger på l netop når ektoren fr ( x, y ) til ( x, y) er o r eller prllel med r ds r ektoren fr ( x, y ) til ( x, y) er lig t, hor t er et tl r ds r i får ( x, y) når i lägger t 's koordinter til (, ) r x y ltså x x r 5 t y y r så i hr eist t 5 er en prmeterfremstilling for linjen l som går gennem ( x, y ) og hr retningsektoren r r Se figr I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl

27 5 eis for ligning for linje Kn plngeometri l er linjen som går gennem ( x, y ) og er inkelret på xx Vektoren fr ( x, y) til ( x, y) er Se figr y y netop når Et pnkt ( x, y) ligger på l xx y y og dette gälder netop når xx yy ds 5 xx ) ( y y ) er o eller inkelret på ( Vi hr n eist t 5 er en ligning for linjen der går gennem ( x, y) og hr normlektoren 5 eis for ligning for pln Kn rmgeometri eiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger pln i stedet for linje 5 eis for ligning for cirkel Kn plngeometri M er cirklen med centrm C( x, y) og rdis r Et pnkt ( x, y) ligger på M netop når ds längden f C er r längden f xx y y er r Ved hjälp f längdeformlen (se 7) kn i skrie dette sådn: ( xx ) ( yy ) D egge sider er, kn i opléfte til nden SÅ får i ( xx r ) ( yy ) Dette er cirklens ligning (se 8) r ( x, y ) x x y y ( x, y) l 54 eis for ligning for kgle Kn rmgeometri eiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger kgle i stedet for cirkel Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

28 rg lynt og iskeläder når d dfylder Kglepen ol er FORUDT! ÇVELSER Éelse () LÄs fsnit () Tegn pnkterne A(,4), ( 4,), C( 4, ), D(, ) (c) For A er x = og y = (d) Er x y = for pnktet A? Sr: (e) Tegn 4 pnkter hor x y = og kld dem, Q, R og S (f) Tegn 4 pnkter hor x y = 4 og kld dem H, I, J og K Éelse Se d () () (c) (d) Angi hor tllet h er på x-ksen Angi hor tllet h er på y-ksen Angi hor tllene h og h er på x-ksen Tegn félgende pnkter: A (, h), ( k, ), C( h, k), D( h k, ) ( h, k) Éelse () Angi hor tllet 5 er på x-ksen A(5, ) p () Angi hor tllet 5+p er på x-ksen q (c) Skri koordinter ed hjälp f p og q: (, ), C(, ), E D C D(, ), E(, ) Éelse z () LÄs fsnit () Skri koordinter: A A(,, ) (,, ) C(,, ) (c) Tegn pnktet D(,,4) y (d) Tegn pnktet E(,,) x C Éelse Se d z Tegn félgende pnkter i koordintsystemet: (,, ) Q(,,) R(,, ) S(,, ) y T (,, ) x Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl

29 Éelse Se c () Hilke f ektorerne er ens? () Hilke f ektorerne hr smme längde? (c) Hilke f ektorerne hr smme retning? (d) Hilke f ektorerne hr modst retning? (e) Tegn en ektor g som er prllel med e og hr smme längde som e, men ikke er smme ektor som e Éelse Se e () AfsÄt d fr A () AfsÄt d fr (c) NÅr i fsätter d fr, er sltpnktet C e c A d f (d) NÅr i fsätter d fr, er sltpnktet A (e) NÅr sltpnktet for er D, er strtpnktet (f) NÅr i fsätter d fr, er sltpnktet C Tegn C D 4 Éelse Se 4-4f Skri koordinter: ( Q ( R ( S ( z Q c d 4 Éelse Se h og 4d x d R c S y z Q Der er giet pnkterne (,, 4) Q( 5,, 4) R(,, ) S(,, ) R () UndersÉg om firknt QRS er et prllelogrm y x S 4 Éelse Se 4g () KoordintsÄttet fortäller t går i x-ksens retning og i y-ksens retning () AfsÄt d fr (c) KoordintsÄttet fortäller t går i x-ksens retning og i y-ksens retning (d) AfsÄt d fr Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl

30 44 Éelse 6 A(4, ), p, q 7 () Tegn A () AfsÄt p d fr A, og kld sltpnktet (c) AfsÄt q d fr, og kld sltpnktet C (d) = (, ) AC 45 Éelse m er stedektor for A n er stedektor for p er stedektor for C q er stedektor for D () LÄs fsnit 4i () Tegn m, n, C og D (c) m, A = (, ) (d) p, C = (, ) 5 Éelse (5, 9), Q(,,5), 7 () LÄs fsnit 5c () NÅr er fst d fr, så hr sltpnktet ( +, + ) = (, ) (c) NÅr er fst d fr Q, så hr sltpnktet ( +, + ) = (, ) (d) NÅr er fst d fr R(, ) så hr sltpnktet (9, 5) 5 Éelse Se 5c Skri koordinter: 6 Éelse () () = (, ) = (, ) Q = ( A (8, ) og (4, 6) LÄs 6-6 AA Se 4c (c) His C o, er C = ( Se 5c (d) His er nlektor, og strtpnktet for er ( 7, ), så hr sltpnktet (, ) p (4, 5) - -7 q A h k Q 7 Éelse () LÄs 7c-7d z () (c) Skri koordinter: A = ( = ( A x y A (d) Udregn längden f Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 8 5 Krsten Jl

31 7 Éelse Se 7 NÅr t t, er 7 Éelse LÄs fsnit 7e estem fstnden mellem pnkterne (, ) og Q(, 5) 8 Éelse Se 8 k NÅr, er 9 8 Éelse Se 8d AfsÄt den modstte ektor til c d fr c 9 Éelse Se 9d () NÅr, er â k ) NÅr, er ˆ 5 k 9 Éelse Se 9 og 8d () AfsÄt tärektoren til d fr A () AfsÄt den modstte ektor til d fr A (c) AfsÄt ˆ d fr A A 9 Éelse Se 9, 4c, 9d og 5c () Figren iser to ens kdrter A (5, ), (, 7) Skri snd eller flsk ed her ligning: A AC, A AC, A CD, A CD () Udregn koordintsättet til C A C D (c) Udregn koordintsättet til D Éelse Se () NÅr, er 6 () NÅr t Éelse Se d () Tegn () Tegn,5 (c) Tegn 4, er 4 Éelse Se og 5, t og c 4 () (d) () (e) t (c) (f) c Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 9 5 Krsten Jl

32 Éelse Se c og d () Tegn ektoren () Tegn ektoren c (c) Tegn ektoren d c d Éelse Se c og 5c, og (, ) 5 () Udregn koordintsättet til c () Udregn koordintsättet til Q c Q Éelse Se og () 4, og c 7 k () 5c Éelse Se c og d () Tegn ektoren () Tegn ektoren c (c) Tegn ektoren d c d Éelse Se d, d og 7 4 og 8 4 Vi fsätter og d fr et pnkt Vektorerne og dspänder et prllelogrm () estem längden f den f prllelogrmmets digonler der dgår fr () estem längden f den nden digonl 4 Éelse Se d 4 A og AC C 5 4 Éelse Se () Tegn den linje n som går gennem og er inkelret på l () Tegn det pnkt l som er projektionen f på l (c) Tegn det pnkt m som er projektionen f på m l m Éelse Se og c () Tegn en linje l som er prllel med () Tegn 's strtpnkt, og tegn det pnkt som er projektionen f dette pnkt på l (c) Tegn projektionen f 's sltpnkt på l (d) Tegn den ektor som er projektionen f på (e) Tegn projektionen f på Éelse Se og c l () Tegn projektionen f på l () Tegn projektionen f på n n Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

33 4 Éelse Se 4, 4 og 4c () () (d) (e), 6 og c 4 4 Skri snd eller flsk ed her f félgende 5 påstnde: () rikprodktet f og er c (4) rikprodktet f og er () rikprodktet f og er 4 (5) c 4 () Sklrprodktet f og er (6) c 7 c (c) t t k Éelse Se 5 og 5 Skri snd eller flsk ed her f félgende 7 påstnde: () (5) er inkelret på () c (6) c () og er ortogonle (4) og c 4 (7) er ortogonle 6 c 5 Éelse Se 5c og 5c t 6 og 5 4 () NÅr t er () NÅr i fsätter ektoren fr () d fr pnktet (7,), så lier endepnktet (, ) = (, ) (c) AfsÄt ektoren fr () d fr (d) For t, for t og for t skl d fsätte d fr Skri t-ärdierne ed de 4 ektorer (e) er inkelret på netop når NÅr i dregner enstre side, lier denne ligning til Vi léser denne ligning mht t og får t ds for denne Ärdi f t er Dette kn godt psse med figren 6 Éelse Se 6d og cos 4 NÅr er inklen mellem og, er cos C(, ) 6 Éelse Se 4c og 6d rg 6 til t dregne inkel A i treknt AC (9, ) A(, ) Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

34 7 Éelse Se c, 4g og 7d () Tegn den ektor som er projektionen f på () (c) Udregn koordintsättet til og skri mellemregninger: 7 Éelse Se 7c Skri snd eller flsk ed her f de 4 påstnde: () Den nmeriske Ärdi f 6 er 6 () 7 7 () 5 5 (4) NÅr x 5, er x x 7 Éelse Se 7e, 4g og c 4 5 og 4 () Udregn längden f, og skri mellemregninger: () AfsÄt og d fr, tegn, og mål längden f 8 Éelse Se 8, 8 og 8c () () (d), 8 og c 4 Skri snd eller flsk ed her f félgende 4 påstnde: () Determinnten f og er c () Determinnten f og er () Determinnten f og er 5 (4) det(, c ) 4 det(, c ) (c) det(, ) t det(, ) t 9 Éelse Se 9 og 9 Skri snd eller flsk ed her f félgende 6 påstnde: () det( A, AC) () det( A, AD) () det( A, DE) (4) det( AD, E) 5 7 (5) A AC (6) 9 Éelse Se 9c 6 t og 5 4t () For her f t-ärdierne,,, og skl d fsätte d fr () og er prllelle netop når det(, ) NÅr i dregner enstre side, lier denne ligning til Vi léser denne ligning mht t og får t ds for denne Ärdi f t er Vi ser t dette godt kn psse med figren A C E D Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

35 Éelse Se 7c Skri snd eller flsk ed her f de 4 påstnde: () Den nmeriske Ärdi f 5 er 5 () () (4) NÅr x, er x x Éelse Se, c og 8 Skri snd eller flsk ed her f de påstnde: () NÅr ektorer og i plnen dspänder et prllelogrm med rel A, så er ltid A det(, ) () NÅr QR er en treknt i plnen med rel T, så er T det( Q, R) 4 () 4 er relet f det prllelogrm der dspändes f ektorerne og Éelse Se Udregn relet A f det prllelogrm der dspändes f og, og skri mellemregninger 6 og A = 5 Éelse Se c () 5 4 () Éelse Se c og () 9 og 7 () Af () kn i se t og ikke er prllelle d z Éelse Se c, c og () A = ( () = ( (c) C = ( (d) A C (e) AC (f) A AC (g) Arelet f treknt AC er T = Éelse Se c, d, c og x A z y Udregn relet f firknt ACD, og skri mellemregninger A(6,,) (,8, ) C(,6,4) D(,,6) E(,8,) F(,,7) D F C A Éelse Se () Vektorerne og x er inkelret på hinnden og deres längder er og E y () I prllelogrmmet QRS hr grndlinjen Q längden, og héjden er 4 Q R Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl

36 4 Éelse Se 4, 4, og Figren iser 6 ektorer der er fst d fr smme pnkt og hr längde Vektorerne er to og to enten modst rettede eller inkelret på hinnden c d e 5 Éelse Se og En linje l hr prmeterfremstillingen l : x 4 t y () NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter () NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter (c) NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter (d) NÅr t x 4 er y Tegn pnktet med disse koordinter x 4 (e) NÅr t er y Tegn pnktet med disse koordinter x 4 (f) NÅr t, 5 er y 5 Éelse Se 5g Tegn pnktet med disse koordinter En linje m hr prmeterfremstillingen m : x s y 8 4 () NÅr s x er y, så pnktet (, ) ligger på m () NÅr s x 5 er, så pnktet ( 5, ) ligger på m y (c) NÅr s x 8 er, så pnktet (8,6) ligger på m y 6 (d) x Find et tl s så y 5 eller skri t det ikke kn lde sig gére (e) Ligger pnktet (,5) på m? x 9 (f) Find et tl s så eller skri t det ikke kn lde sig gére y 48 (g) Ligger pnktet (9, 48) på m? 5 Éelse Se 5c, 9, 9d og 5j () En linje l går gennem pnktet (, 5) 4 og er prllel med ektoren 7 Skri en prmeterfremstilling for l : () En linje m går gennem pnktet (,) og er inkelret på ektoren 4 Skri en prmeterfremstilling for m : (c) En linje k går gennem pnkterne (, ) og (, 8) Skri en prmeterfremstilling for k : Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 5 Krsten Jl (4,) d e f c l

37 54 Éelse Se 5, 5c Linjen l hr prmeterfremstillingen () x p h t, t y q k Tegn de pnkter på l hor prmeteren t hr félgende Ärdier:,, og 4,5 () For det pnkt på l hor t = 5, er (x, y) = (, ) h k ( p, q) 55 Éelse Se 5, 5c () Skri prmeterfremstilling for linjen l : x y t () Skri prmeterfremstilling for linjen m : m l 56 Éelse Se 5i, 5e, 5f og 5 () () Skri snd eller flsk ed her f félgende 6 påstnde: () His to linjer k og n egge er prllelle med en ektor r, så er k og n prllelle () His r er retningsektor for linjen n, så er r inkelret på n () His r er retningsektor for linjen n, så er r prllel med n (4) To linjer er ortogonle netop når deres retningsektorer er ortogonle 7 x 7 (5) er retningsektor for linjen med prmeterfremstillingen t 5 y 5 x 7 (6) er retningsektor for linjen med prmeterfremstillingen t y 5 To linjer l og m i rmmet hr félgende prmeterfremstillinger: l : x 6 y s z UndersÉg om l og m er ortogonle 6 Éelse Se 6c En linje l hr ligningen og m : x 4 y t 6 z l : x y 6 () NÅr i indsätter koordinterne for pnktet (, ) for x og y i ligningen for l, så får i ligningen () Er denne ligning snd? Sr: (c) Ligger på l? Sr: (d) NÅr i indsätter koordinterne for pnktet Q(,) (e) Er denne ligning snd? Sr: (f) Ligger Q på l? Sr: for x og y i ligningen for l, så får i ligningen (g) NÅr i indsätter koordinterne for pnktet R(, t) for x og y i ligningen for l, så får i ligningen (h) Ligningen er snd netop når t (i) Af pnkterne med x-koordint er det kn pnktet (, ) der ligger på l Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 5 Krsten Jl

38 6 Éelse Se 6, 9, 9d og 5e () Linjen l går gennem pnktet (8, 5) og er inkelret på ektoren rg 6 til t skrie ligning for l () Linjen m går gennem pnktet ( 4, ) og er prllel med ektoren rg 6 til t skrie ligning for m 5 (c) x Linjen k hr prmeterfremstillingen t Herf ser i t ( y 4, ) er et pnkt på k, og t er prllel med k rg 6 til t skrie en ligning for k 6 Éelse Se 6, 6d og 5e () Skri snd eller flsk ed her f félgende påstnde: () His to linjer i plnen er inkelret på smme ektor, så er de to linjer prllelle () For linjer l og m i plnen gälder t his l er inkelret på n, m er inkelret på p, og n er inkelret på p, så er l inkelret på m () His n er normlektor for linjen l, så er n inkelret på l (4) His n er normlektor for linjen l, så er n prllel med l (5) To linjer i plnen er ortogonle netop når deres normlektorer er ortogonle (6) To linjer i plnen er prllelle netop når deres normlektorer er prllelle (7) er normlektor for linjen med ligningen x y 5 5 (8) x y 5 (9) x y 5 () x y 5 () To linjer l og m er giet ed l : x y og x 8 m : t Er l og m er prllelle y 4 7 Éelse Se 7 og 7c () En pln er inkelret på n og går gennem (4, 6, 5) estem en ligning for () Ligger Q(, 6, ) i? 7 Éelse Se 7, 7d, 7f, 7g () I plnen ligger pnkterne A(4,, ), (,, ) og C(, 4, ) () estem to ektorer der er prllelle med og ikke er prllelle med hinnden (c) estem en ektor der er inkelret på, og estem en ligning for 7 Éelse Se 7e, 7, 7d og 7f () Skri snd eller flsk ed her f félgende påstnde: () His r er prllel med linjen l, og n er inkelret på plnen, så er l prllel med netop når r er inkelret på n () His r er prllel med linjen l, og n er inkelret på plnen, så er l prllel med netop når r er prllel med n () His n er normlektor for plnen, så er n prllel med (4) His n er normlektor for plnen, så er n inkelret på (5) er inkelret på plnen med ligningen x y z 6 (6) His en pln skärer koordintkserne i pnkterne A (4,,), (,,) og C (,,), så er A AC en normlektor til Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 6 5 Krsten Jl

39 74 Éelse Se 5f, 7d og 7f x I plnen ligger pnktet (,, 5) og linjen m: y 4 t, < t < z 6 () Å m ligger pnktet (,, ) nkterne (,, ) og (,, ) ligger i og linjestykket med disse endepnkter er ikke prllel med m () Vektoren er prllel med m Vektorerne og er prllelle med og er ikke prllelle med hinnden Vektoren er inkelret på 8 Éelse Se 8 og 8c () Cirklen med ligningen ( x ) ( y ) 9 hr centrm C(, ) og rdis r = () Cirklen med ligningen ( x 4) ( y 5) 7 hr centrm C(, ) og rdis r = (c) Cirklen med ligningen ( x p) ( y q) 4 hr centrm C(, ) og rdis r = 8 Éelse Se 8e estem centrm og rdis for cirklen med ligningen x 6x y 8y 9 Éelse Se 9 og 9 En kgle hr centrm (, 5, ), og pnktet (, 7, ) ligger på kglen Skri en ligning for kglen Éelse Se Skri snd eller flsk ed her f félgende påstnde: () Afstnden fr (, 7) til l: x y () Afstnden fr Q(, ) til m: 4x 5y () Afstnden fr R(, ) til n: x y Éelse Se og 7c () lnen hr ligningen x y z d er 7 ) ( Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 7 5 Krsten Jl er er hor d er et negtit tl Afstnden fr egyndelsespnktet O(,,) til plnen er d () Afstnden fr (t,,) til plnen : x y z er t eller t 5 Éelse r, s og n AfsÄt r og s 5 4 d fr d fr (9, 4), og n d fr Q(4, 5) Linjen l er prllel med r og går gennem Tegn fire pnkter på l, og tegn l Tegn også linjen m som er prllel med s og går gennem AfsÄt nˆ d fr Q Tegn fire pnkter på linjen h som går gennem Q og er inkelret på n, og tegn h Udregn inklen mellem l og m, og inklen mellem l og h, og kontrollár med inkelmåler Éelse Se, og c Fire linjer er giet ed x c x e g l : s, l : t, l : ix jy k, l 4 : lx my n y d y f h () For t finde inkel mellem l og l il i férst finde inklen mellem og De to inkler som l og l dnner, er så () For t finde inkel mellem l og l 4 il i férst finde inklen mellem og De to inkler som l og l 4 dnner, er så (c) For t finde inkel mellem l og l 4 il i férst finde inklen mellem og De to inkler som l og l 4 dnner, er så

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oersigt [LA],, Prikprodkt Nøgleord og begreber Ortogonlitet Ortogonlt komplement Tømrerprincippet Ortogonl projektion Pthgors formel Kortest fstnd Agst 00, opge 6 Cch-Schwrz lighed For ektorer =,..., n,

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Å 211 Krsten Juu Disse sider kn downodes fr www.mt1.dk. Siderne mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH. Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere