MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)"

Transkript

1 Silkeborg MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i kompendiet/løsningerne, så send venligst besked til

2 Indhold. Indledning side. Regnerternes hierrki og prenteser side. Brøkregning side. Reduktion side 5. Ligninger side 6. Den rette linje proportionlitet side 7. Potensregning side 8. Procentregning side 9. Trekntsberegninger og trigonometri side 0. Blndede, sværere opgver side

3 . Indledning Mnge elever oplever, t det er svært t strte på en gymnsil ungdomsuddnnelse. Dette skyldes nturligvis blndt ndet, t mn skl til t vænne sig til en nden skole, til ndre lærere, til ndre klssekmmerter, til flere lektier o.s.v. Erfringen viser, t en del elever specielt synes, t fget mtemtik volder problemer ved overgngen fr grundskolen til en gymnsil uddnnelse. Som følge herf, er vi en gruppe mtemtiklærere, der repræsenterer lle de gymnsile ungdomsuddnnelser i Silkeborg (HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnsium), som hr lvet dette lille kompendium. Kompendiet henvender sig primært til elever, der ved (eller tror), t de vil strte på en gymnsil ungdomsuddnnelse. Meningen er, t såfremt mn hr lyst til t bruge lidt tid på t ruste sig til sin fremtidige uddnnelse, kn mn med udbytte rbejde med opgverne i dette kompendium. Ud fr læseplnen for mtemtik i folkeskolen m.m. kn vi se, t folkeskoleelever er bekendt med lle de emner, som vi præsenterer i dette kompendium. Det drejer sig derfor primært om t opnå rutine. Mtemtik er jo på mnge måder som et sprog: Hvis mn ikke jævnligt bruger sit tysk, vil mn med tiden glemme, hvordn mn tler tysk. Hvis mn skl være sikker bruger f sproget mtemtik, skl mn ltså øve sig.

4 . Regnerternes hierrki og prenteser. Regnerternes hierrki:. Udregne prenteser. Potensopløftning ( n )og roduddrgning ( og n ) n te rod. Multipliktion og division (dvs. gnge og dividere). Addition og subtrktion (dvs. plus og minus) Forklring: Regnerternes hierrki fortæller hvilken rækkefølge du skl løse en opgve i. Først prenteser, potensopløftning og roduddrgning, derefter gnge og dividere og til sidst plus og minus. Eksempel : +7 Der er i opgven to regnetegn, plus og gnge. Regnerternes hierrki fortæller, t vi først skl multiplicere, dvs.: =+ Herefter skl vi ddere, dvs: =7 Eksempel : 9 (+) Først skl vi udregne prentesen, dvs. =9 7 Derefter kn vi trække fr = Opgver:.. Beregn følgende tl uden brug f lommeregner. ) 6+ b) 5 c) 7+ d) 5+ e) 8 5+ f) Beregn følgende tl uden brug f lommeregner. ) +(5 ) b) c) 5 ( ) ( ).. Reducer følgende udtryk, så de ikke indeholder prenteser. Husk fortegnsskifte ved hævning f minusprenteser (se mere om prentesregler her (link)) ) x (+x) b) 7+( ) d) 8x (x +5) (x 6) Brug f lommeregner: De fleste lommeregnere følger regningsrternes hierrki. Mn skl dog sætte hjælpeprenteser, fx hvor en brøk indeholder flere led (led er størrelser, der lægges smmen eller trækkes fr hinnden) eller fktorer (fktorer er størrelser, der gnges) i tæller eller nævner. Eksempel : skl løses ved brug f lommeregner.

5 +(0+8):( ) hvilket giver resulttet =6 Indtster vi opgven som den står, +0+8:, vil lommeregneren give 8 os svret på opgven +0+, hvilket er forkert. Derfor må vi indsætte hjælpeprenteser. Opgven indtstes som:.5. Sndt eller flsk? Kontrollér med lommeregner: ) 7+ =90 5 b) 0 ( 5 5) = c) 5 =7

6 . Brøkregning regneregler for brøker Definition: En brøk er et tl skrevet på formen b eller :b eller /b. (Husk! b kn ldrig være nul!) Brøkdele ser du ofte i din hverdg, uden du måske tænker over det: lgkger og pizzer deles ofte i lige store dele og er gode eksempler på brøkdele. Udfordringen i brøker er, t mn ikke uden videre kn lægge 7 til 5!! Ligesom mn heller ikke umiddelbrt kn lægge kroner til euro!! Eksempel: Besvr uden brug f lommeregner, hvd er størst: 5 eller Find fællesnævner for de to brøker ved t gnge med smme tl i tæller og nævner: og = og Konklusion: 5 er største brøk, d den forlænget til 5 dele bliver 5 6 og blev kun 5 5 Opgver: 8.. ) Hvilket tl står som tæller i brøken? b) Hvilket tl står som nævner i brøken? 5 Måske kn du bedre huske hvd der er tæller og nævner, hvis du tænker: Tæller som i T-shirt og Nævner som i Nederdel!

7 .. Beregn følgende tl uden brug f lommeregner. Find først fællesnævner! ) b) 8 c) d) 9 e).. Skriv resultterne fr. som uforkortelig brøk... Beregn følgende tl uden brug f lommeregner. Se evt. regnereglerne for brøker her Resulttet skl ngives som en uforkortelig brøk. ) 7 b) 6 c) 9 d) 6 e) Beregn følgende tl uden brug f lommeregner. Resulttet skl ngives som en uforkortelig brøk. ) : 7 b) : 7 9 c) 6 : 5.5. Forkort nedenstående brøker mest muligt. ) x x b) x 7x c) x x 7x d) e) x x x

8 Blndede opgver med brøker.6. Inddel denne tllinje i 5.dele: 0.7. Mrkér følgende brøker på tllinjen: 5,,, Jens fylder f sofen. Du må fylde. Kn I være der begge to? Hvis der er plds tilbge, hvor meget er det så? svr i brøker..9. En mus hr gnvet 9 f den runde ost. Din mor hr sgt, t du må tge hlvdelen f resten. Hvor stor brøkdel får du?.0. Per hr tre brød, Poul hr fem brød og Lille Lise hr ingen, men er sulten! Per og Poul deler deres brød ligeligt med Lise. Hun giver dem 8 skilling som tk for brødene. Per foreslår strks Poul, t de skl hve fire skilling hver, fordi de jo lle tre blev mætte! Poul synes nu ikke, t det er rimeligt, for hn bidrog med fem brød, så hn foreslår, t hn får 5 skilling, mens broderen kun får. Endeligt foreslår Lise, t Per får skilling og Poul får 7 skilling. Hvem f de tre foreslår den mest retfærdige deling f skillingerne?

9 . Reduktion Kvdrtsætninger Eksempler (+b) = + b + b (x+) = x x ( b) = + b b ( ) = + (+b)( b) = b (b+5)(b 5) = b 5 Andre eksempler: x+x+x+x+x = 5x x x x x x = x 5 Opgver:.. Reducer nedenstående udtryk mest muligt. ) +x 5 b) 7 x x c) 5x (x+x) d) x+x (x x ) e) 6+x (+x (x )) f) + ( ).. Reducer nedenstående udtryk mest muligt. ) 5 ( z) 9 6z b) (+x) x c) 7(+) (0+6).. Omskriv nedenstående udtryk ved t sætte en fktor uden for prentes. Eksempel: x+6y+=(x+y+) ) x+y b) x 8 c) b c.. Omskriv nedenstående udtryk ved t sætte en fktor uden for prentes. Eksempel: (x+)+6(x+)=(x+)(+6)=9(x+) ) (+b)x (+b) b) y(x+z) (x+z) c) (+)b (+)c.5. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: ) (5x) b) (5x) x c) (x) (x).6. Omskriv nedenstående udtryk ved t gnge prenteserne smmen: ) (x )(x+) b) (x )(x+7) c) (x+)(x+) d) ( )(+) e) (y )( y) f) (q+)( q)

10 5. Ligninger Eksempel : Vi vil løse denne ligning: x + = 0 Ligningen x + = 0 er et såkldt åbent udsgn, hvor mn for t løse ligningen skl finde den x- værdi, der gør udsgnet til et sndt udsgn. Vi kn se, t løsningen til ligningen er x=6, fordi når tllet 6 indsættes på x s plds, så får vi et sndt udsgn: 6+=0. Eksempel : Nogle gnge kn mn ikke umiddelbrt se, hvilken x-værdi der gør udsgnet sndt. Det er for eksempel tilfældet, hvis mn skl løse følgende ligning: (x - ) = - x + 6 Mn kn så løse ligningen (isolere x) ved t gennemføre smme regneopertion på begge sider f lighedstegnet: Først gnger vi ind i prentesen på venstre side: x 6 = x + 6 Vi lægger 6 til på begge sider x = x og reducerer: x = x + Vi lægger x til på begge sider x + x = x + + x og reducerer: x = Til sidst dividerer vi med på begge sider x= og reducerer: Vi kn kontrollere resulttet ved t indsætte x= i den oprindelige ligning. Dermed får mn udsgnet: ( - ) = En udregning viser, t begge sider giver tllet, så udsgnet er sndt, og løsningen x= er OK. Opgver Løs følgende ligninger 5. x + = 7 Hjælp : Træk først fr på begge sider! Hjælp : Dividér dernæst med på begge sider! 5. x - 5 = x + 5

11 5. (x + ) = x + 8 Hjælp : Begynd med t gnge ind i prentesen. 5. x - (x - ) = x + 5 Hjælp : Husk, t når en minusprentes hæves, skl der skiftes fortegn. 5.5 Jette skl købe vindruer, som koster 8 kr. pr. kilogrm. Opstil en ligning, som kn bruges til t beregne, hvor meget Jette kn få for 78 kr.? Hjælp : Ld x være ntl kg vindruer 5.6 En tx i Vimmerby tger 5 kr. i strtpenge, og derpå koster det 5 kr. pr. kilometer. ) Bjrne skl køre 6 kilometer i tx. Hvor meget skl hn betle? b) Ann skl køre i tx, men hun hr kun 00 kr. Hvor lngt kn Ann køre i tx for de 00 kr.? c) Vi klder prisen for txturen y og ntllet f kilometer for x. Opstil en ligning, der viser smmenhængen mellem y og x. 5.7 Eleverne i 8.b skl til t dnse moderne dns i klsseværelset. De skl derfor stille sig op med hinnden i hånden, så de dnner en cirkel. De elever hr tilsmmen en rækkevidde på 8,5 meter. Hvor bredt skl klsseværelset være for t hve plds til den rundkreds, som eleverne dnner? Hjælp : Hvilken smmenhæng er der mellem omkredsen og dimeteren for en cirkel? 5.8 Lotte hr været til eksmen, og hun hr løst en ligning på følgende vis: (x-)= x-= x=8 ) Kontrollér, t Lotte hr fundet den korrekte løsning til ligningen. Hjælp : Indsæt x=8 i den oprindelige ligning. b) Beskriv, hvilke regneopertioner Lotte bruger i forbindelse med de fire skridt, der fører frem til løsningen f ligningen. Hjælp : Fr første til nden linje; der gnges med 7 på begge sider f lighedstegnet.

12 5.9 Jons hr været til eksmen, og hn hr løst en ligning på følgende vis: (x+)-7= x+8-7= x-9= x=-8 x=- ) Kontrollér, om Jons hr fundet den korrekte løsning til ligningen. b) Beskriv, hvilke regneopertioner Jons bruger i forbindelse med de fire skridt, der fører frem til løsningen f ligningen. 6. Den rette linje: Ligningen for en ret linje er: y = x + b Forskriften for en lineær funktion er: f(x) = x + b Eksempel: Tegn grfen for linjen: y = x Metode. Der lves et "sildeben". I dette beregnes nogle støttepunkter. x 0 y = x - 0 = - = = 0 Vi ved nu, t punkterne (0, -), (, ) og (, 0) ligger på linjen. Disse punkter indtegnes i et koordintsystem og forbindes. Metode. Mn genkender b-værdien som skæring m. y-ksen. Dvs. grfen skærer y-ksen i punktet (0, -). Hældningstllet genkendes som -værdien og er. Dvs. fr (0, -) går mn én enhed til højre og enheder op. Dette gentges og punkterne forbindes.

13 Opgver: 6. Tegn følgende linjer i smme koordintsystem: Linje : y = -x + Linje b: y = -x Linje c y = d. y = - 5 x Monseiur Pignon står ved sin frnske resturnt og fnger frøer, der hopper forbi. Jo flere frøer hn fnger, jo flere frølår kn hn sælge. Lv en grfisk fremstilling der viser ntllet f frølår som funktion f fngede frøer. 6. Din mobiltelefon kostede 500 kr. i nskffelse og herefter giver du 50 øre i minuttet, når du tler.. Lv en grfisk fremstilling, der viser smmenhængen imellem prisen for din telefon inklusiv smtle i 6 minutter. b. Angiv forskriften for denne rette linie?

14 6. Prisen, y, for mountin bikes hr gennem en årrække udviklet sig som beskrevet ved denne ligning: y = x, hvor x ngiver ntl år efter 000. Forklr betydningen f tllene.000 og 00 i ovenstående ligning. 7. Potensregning Potensregneregler Generelt Eksempel n m = n+m = + = 7 n 5 n m 5 m n b n = ( b) n b = ( b) b n n n m b n n m Alle opgverne i dette fsnit regnes uden lommeregner b 7 7 b n n 7 Eksempel : 5 Kn også skrives som =( ) ( ) hvorf vi kn se, t multipliceres med sig selv 7 gnge. Derfor skl eksponenterne dderes, dvs. = +5 Eksponenternes sum findes og resulttet bliver = 7 Eksempel : Potenstllene er lle 0er-potenser. Vi skl ddere eksponenterne, dvs. = 0 ( 7) den positive prentes fjernes og summen f eksponenterne bliver -7+, dvs. = 0 7. Reducér følgende udtryk ) 5 b) d)

15 7. Reducér følgende udtryk 7 ) 0 7 b) (0 ) 0 c) (0 ) 5 7. Reducér følgende udtryk ( ) ) ( ) 7 ( ) ( ) c) ( ) b) (-5) Find rumfnget f en kugleformet dykkerklokke, når den indvendige rdius er,5 m. 7.5 Jordens rdius er meter. Hvor stor er jordens overflde i km? 7.6 Ved solformørkelse dækker månen for solen. Afstnden fr jorden til solen er,5 0 8 km. Afstnden fr jorden til månen er,5 0 5 km. Hvor mnge gnge større er f stnden til solen? 7.7 Et gmmelt sgn fortæller t opfinderen f skkspillet skulle hve ønsket riskorn på det første felt og på det ndet felt, på det tredje felt, 8 på det fjerde felt osv., d hns konge hvde lovet hm opfyldelse f et ønske for den vidunderlige opfindelse. Hvor mnge riskorn skulle der lægges på det sidste felt? (Der er 6 felter på et skkbræt) Et riskorn vejer 0, grm. Hvor meget vejer riskornene på det sidste felt? 8. Procentregning Definition Procent betyder pr hundrede. Dvs. t hver gng vi tler om procent i forhold til decimltl er der en forskel på 00. Eksempel: % = hundrededele = = 0, Udregn ved hjælp f lommeregner ) Hvd er % f 7? b) Hvd er 8,7% f,6? c) Hvor mnge % er 7 f? d) Hvor mnge % er, f 78? e) Hvor mnge % er 7 f 87 f) Hvd er hele beløbet hvis 5% er 5? g) Hvd er hele beløbet, hvis,% er 87?

16 8. Skemet nedenfor indeholder oplysninger om nogle vrer som er st ned fr en gl. pris til en ny pris. Udfyld resten f skemet. Gl. pris 0 85 Rbt, kr. 0 Rbt, % 5% 8% Ny pris Du køber en bærbr computer der er st ned fr kr. til kr.. Hvor mnge procent er computeren st ned? b. Hvor mnge procent er den gmle pris større end den nedstte pris? 8. Vurder hvilke f de svr, der er de rigtige: En undertøjsforhndler købte et prti BH-er for 50 kr. Hn solgte dem imidlertid for 50 kr. fordi hn kunne tjene godt på trusserne dertil. Hvor mnge procent tbte hn?. Hn tbte 50 kr. ud f 50 kr. Dette omregnes til procent på følgende måde: 50 kr. / 50 kr. 00 % = c. 85, %. Hn tbte 50 kr. 50 kr. = 00 kr. Dette skl divideres med købsprisen (og gnges med 00) for t finde tbet f slget i procent: % = c.,8 % 50. Tbet på 00 kr. skl ses i forhold til slgsprisen på 50 kr. og gnges med 00 for t omregne til procent: % = c. 7, % En vndskdet sof sælges. Der gives derfor en rbt på %. Trnsporterer mn selv sofen hjem frtrækkes yderligere 6 % f den nye pris. Hvd vr sofens oprindelige pris, når den blev solgt for.00 kr. og mn selv trnsporterede sofen hjem? 8.6

17 Slget f frugt og grønt steg med 0 % fr 999 til 008. Beregn den gennemsnitlige årlige procentvise stigning. (Hjælpen her: procenten skl efter 9 år blive 0 %, men procenten skl være den smme hvert år!) 9. Trekntsberegninger 9. A Treknt ABC er ligesidet, og vinkel A hr størrelsen 0. Hvor stor er vinklerne B og C? Hjælp : Hvor stor er summen f vinklerne i en treknt? Hjælp : Hvor stor er vinklerne B og C i forhold til hinnden, når treknten er ligebenet? 9. B C I en retvinklet treknt er længden f de to kteter og 9. Hvor lng er hypotenusen? Hjælp : Pythgors sætning 9. I en retvinklet treknt er længden f den ene ktete 6 og længden f hypotenusen er. Hvor lng er den nden ktete? Hjælp : Pythgors sætning 9. A D 7 B 9 C E F Treknterne ABC og DEF er ligednnede, og nogle f sidelængderne er ngivet på figuren. Beregn længden f siden EF. 9.5 A

18 b C c B Beregn de ukendte sidellængder og vinkler i den retvinklede treknt ABC, når du hr følgende oplysninger: ) A= c= Hjælp : Udnyt, t du kender summen f vinklerne i en treknt. Hjælp : Brug sinus eller cosinus b) = B=5 Hjælp : Udnyt, t du kender summen f vinklerne i en treknt. Hjælp : Brug sinus eller cosinus c) =5 b=7 Hjælp : Brug tngens til t beregne vinkel A eller B 9.6 Snpseglsset til højre kn rumme cl. På en bestemt resturnt koster en snps på cl. 0 kroner. En gæst vil kun hve en hlv snps. Tjeneren skænker op, således t overflden f snpsen når hlvt op i glsset som vist på tegningen. Gæsten betler ti kroner for lyksligheden. Hvor meget fik gæsten t drikke, og hvor meget hr gæsten betlt for meget? Hjælp : Hvis dimeteren f det kegleformede gls er cm, hvor stor dimeteren så f den cirkel som dnnes f overflden f snpsen? Hjælp : Hvordn finder mn rumfnget f en kegle?

19 0. Blndede sværere opgver Reduktion: 0. Omskriv nedenstående udtryk ved t sætte på fælles brøkstreg: ) b) z 5 6 c) d) x x c e) x x f) 5x 5 5 x 6 g) x h) 5x 0. Omskriv nedenstående brøker ved t forkorte: x x z z ) b) x z c) x x x d) e) x x f) 9x x 6 0. Omskriv nedenstående brøker ved t forkorte: x xy y b b ) b) x y b x 6xy 9y x 8xy y d) e) y x x y 6xy c) x y x y z f) z z 0. Omskriv nedenstående udtryk ved t sætte på fælles brøkstreg: ) b) b b x y x y y ( x x y)( x y) c) ( b) b b d) b b b b

20 0.5 Reducer følgende udtryk uden brug f lommeregner: 6 8 ( ) 6 ) b) ( ) ( ) c) 6 ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( 5) e) ( 00) 0.6 Ved slg f en del produkter, ntger mn, der er en lineær smmenhæng mellem ntl solgte vrer (fsætningen) og den pris mn tger for vren. Mn kn for en vre lve følgende oversigt: Afsætningen Pris pr. stk Lv en kurve (ret linje) hvor x ngiver fsætningen og y ngiver prisen.. Hvilken pris er der tle om, hvis fsætningen er på. 0 stk. b. 75 stk. c. 5 stk.. Hvor mnge sælges, hvis prisen pr. stk. er kr.. 50,- b. 00. Bestem forskriften for den lineære funktion f(x), der fstlægger prisen som en funktion f fsætningen x 0.7 En virksomhed nedskriver hvert år værdien f sit inventr (lle de ting, der er købt til virksomheden). Denne fskrivning kn foregå efter en metode, der kldes den lineære metode. Det betyder, mn fskriver med et beløb, der hr smme værdi hvert år. En virksomhed hr købt inventr hjem til en værdi f kr ,- Virksomheden regner med t beholde inventret i 8 år, hvorefter det skl skiftes ud. Mn ntger, t værdien (scrpværdien) efter de 8 år er nede på kr ,-. Indtegn forløbet i et koordintsystem, idet du hr punkterne (0, ) og (8,0.000). Hvor stor er den årlige fskrivning?. Hvd er værdien (den bogførte værdi) efter 5 år?. Opstil forskriften for den funktion, der fstlægger den bogførte værdi til tiden x, hvor x ngiver ntl år efter inventret er købt.

21 0.8 Ved smmenligningen f pris og fsætning, kn der opstilles følgende oversigt: Afsætningen Pris pr. stk Lv en kurve (ret linie) hvor x ngiver fsætningen og y ngiver prisen.. Hvilken pris er der tle om, hvis fsætningen er på. 5 stk. b. 75 stk.. Hvor mnge sælges, hvis prisen pr. stk. er kr...000,- b ,-. Bestem forskriften for den lineære funktion f(x), der fstlægger prisen som en funktion f fsætningen x 0.9 En virksomhed køber nogle vrer hjem, som den sælger videre efterfølgende. Indkøbsprisen for en bestemt vre er kr. 50,-, pr. stk. og de smlede hjemtgelsesomkostninger er på kr. 500,- ufhængig f hvor mnge der købes.. Bestem, hvd prisen bliver for købet, hvis der købes. 00 stk. b. 500 stk. c. 00 stk.. Bestem forskriften for den funktion (lineære) der fstlægger den smlede indkøbspris for vrerne, når der købes x stk.. Bestem hvor mnge vrer der er købt, hvis den smlede pris er på kr. 50,-. Tegn grfen for funktionen, der fstlægger den smlede indkøbspris. 0.0 En virksomhed sælger nogle bestemte vrer. Vrerne sælges til en pris på kr. 0,- pr. stk.. Bestem den smlede slgspris, hvis der sælges. 00 stk. b. 500 stk.. Virksomheden er selvfølgelig interesseret i t vide, hvor stor fortjenesten er. De beregner derfor, hvd fortjenesten er ved t trække indkøbspriserne fr slgspriserne. Bestem fortjenesten, hvis virksomheden sælger 00 stk. eller 500 stk.. Opstil en forskrift for den funktion, der fstlægger fortjenesten som en funktion f ntl solgte stk. (Slgspris - købspris). Tegn det grfiske billede f funktionen. 0. A tænker på et helt positivt tl mindre end million. B må stille A 0 spørgsmål, som A skl besvre med j eller nej. Er det muligt for B t finde tllet? (Hvis j: Hvordn?) 0. Et tog fgår fr Udby kl mod Sønderby, og smtid fgår et tog fr Sønderby mod Udby. Det første tog tilbgelægger fstnden non-stop på 6 timer, mens det ndet, der kører op d bkke, er 9

22 timer om turen. Hvd er klokken, når de mødes, hvis mn går ud fr, t de to tog kører med konstnt frt? 0. På en jernbnebro over en rivende flod hr en mnd tilbgelgt /5 f fstnden, d hn opdger et tog, der kommer kørende mod hm med 00 km/t. Unset hvilken ende hn løber mod, vil hn nå denne ende smtidig med toget. Hvor hurtigt løber mnden? 0. Nogle piger og drenge står i en gruppe. D 8 piger hr forldt gruppen, er forholdet mellem ntllet f drenge og piger :. Derefter forlder 0 drenge gruppen, og forholdet mellem drenge og piger er nu 5:. Hvor mnge drenge og piger bestod gruppen oprindeligt f? 0.5 Arne, Bent og Christin hr en lottoklub. De vinder kr. D de ikke hr betlt lige meget i indskud, hr de ftlt, t hvis de vinder skl Arne hve udbetlt dobbelt så meget som Christin, og Christin dobbelt så meget som Bent. Hvor meget får de hver? 0.6 En kffehndler sælger to slgs kffe : Brzil Extr til 50 kr/kg og Brzil Medium til kr/kg. Hn sælger for lidt f den dyre kffe, så derfor lver hn en blnding på 00 kg f de to slgs kffe. Hvor mnge kg f Brzil Extr / Brzil Medium skl blndingen indeholde for t kunne sælges for en pris f 0 kr/kg? 0.7 Lgenlærred kryber 0% i vsk. En kunde skl bruge m (efter vsk ) Hvor mnge meter skl kunden købe for t der er nok? 0.8 En person investerer kr. I de følgende fire år går det op og ned med investeringen:.år : +0%,.år : - 5%,. år :+0%,.år : - % Hvordn er det gået med investeringen? Hvd er gennemsnitsforrentningen pr. år (smme % hvert år ) over de fire år? Hvorfor kn mn ikke udregne det således : 0% ( 5%) 0% ( %) = % = 6% 0.9 På en skole er hlvdelen f lærerne kvinder og hlvdelen er mænd. Kvindernes gennemsnitslder er 5 år, mændenes gennemsnitslder er år. Hvd er lærernes gennemsnitslder? På en nden skole er fordelingen : 6% kvinder, 8% mænd og her er de kvindelige læreres gennemsnitslder også 5 år og de mndlige læreres gennemsnitslder også år Hvd er lærernes gennemsnitslder på denne skole?

23 Ekstropgver: Ekstropgver inden for en række emner, stmmer fr det gmle kompendium. Det er tnken de skl ligge, så brugerne kn vælge dem til, ltså ikke som en del f kompendiet. De kn ligge som en pdf-fil. Reduktion.6. Omskriv nedenstående udtryk ved t gnge prenteserne smmen: ) (x )(x+) b) (x )(x+) c) (y+)( 7y).7. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: ) (+) +(+)(+) b) +(+) c) ( ) +(+) d) (y+7) y y e) (+)( )+ +9 f) (x+) (x+)(x+).8. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: ) x b) x 9 6 c) 8x 6 Ligninger: 5.0 -(x + ) = x - (x + ) 5. x 8 5. x - 5 = 6x + 5. x - 5(x - ) = x x - = x x - = x x + = x 5.7 x - 5 = x x - = x ,5x + = 5x - 5.0,5x + 5 =,5x + 5. (x - 5) + = x - Den rette linje:. y = x - 6 b. y = - x + c. y = - x - d. y = -x + 6 e. y = x - 6 f. y = - x +

24 g. y = - x h. y = x i. y = x - 6 j. y = - x + k. y = -x + Procent: b) Hvd er 6% f 7,5? e) Hvor mnge % er 5 f 00? g) Hvor mnge % er f 5 0. Gl. pris Rbt, kr Rbt, % 5% 8% % 0% 0% Ny pris Smme som opgve 0. Gl. pris Rbt, kr. 9, Rbt, % 0% % 5% % Ny pris

25 Trekntsberegning: 9.7 C I den retvinklede treknt ABC er = 7 og b =. H c er fodpunktet f højden fr C. 7 Beregn CH c. A H c B (Hjælp: Udnyt, t treknt ABC og treknt CBH c er ligednnede) B I en retvinklet treknt ABC er AH c = 8 og BH c = 7. H c Beregn længderne f trekntens kteter smt længden f højden fr C. 8 C A (Hjælp: Udnyt, t treknt ACH c og treknt ABC er ligednnede) 9.9 I treknt ABC er A = B = 0, og AC =. Beregn længden AB A C 0 0 B (Hjælp: Tegn højden fr C og udnyt, t der opstår en retvinklet treknt).

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Silkeborg 0-05-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Udarbejdet af matematiklærere fra HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og

Læs mere

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter.

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter. Måling Omkreds Arel Rumfng Enheder Regnehistorier Milli =. 000 Centi = Dei = = 0,00 00 = 0,0 0 = 0, entimeter m kvdrtentimeter m 2 kuikentimeter m I det 8. århundrede lev måleenheden meter opfundet i Frnkrig.

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med lger, ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne f være den smlede pris for turen

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH. Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

Tal. Talsystem Brøk Decimaltal Procent Negative tal 3803 m. Titanic vejede:

Tal. Talsystem Brøk Decimaltal Procent Negative tal 3803 m. Titanic vejede: Tl Titni vejede: 0 Tlsystem Brøk Deimltl Proent Negtive tl 0 m Rom Titni, der i snk på sin jomfrurejse og forliste 00 sømil SØ for Newfoundlnd, er fundet. År 000 f.kr. År 00 f.kr. År 0 År 00 År.000 År.00

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere