Skriftlig prøve i matematik 4

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Skriftlig prøve i matematik 4"

Mia Mathiasen
8 år siden
Visninger:

1 Matematik 4 for E4+D4/08 Opgavesæt HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 4. juni 2008 kl Ved bedømmelsen vægtes de 6 opgaver således: Opgave 1: 17% (Kompleks funktionsteori mv.) Opgave 2: 17% (Kompleks funktionsteori mv.) Opgave 3: 17% (Tidsdiskrete systemer) Opgave 4: 17% (Tidsdiskrete systemer) Opgave 5: 16% (Lineær algebra) Opgave 6: 16% (Lineær algebra) Denne side skal afleveres sammen med opgavebesvarelsen. Alle afleverede besvarelsesark til bedømmelse skal være påført navn og cpr-nummer. Opgaveteksten kan beholdes. Påfør venligst herunder tydelig navn, cpr-nummer og eksamensnummer. Hvis disse data ikke er korrekte og tydelige, kan opgavesættet ikke blive bedømt. Navn: Cpr. nr.: Eksamensnummer:

2 Praktiske bemærkninger Generelle bemærkninger: Disse hjælpemidler er tilladte under eksamen: Lærebøger, formelsamlinger, notater, lommeregner og pc. Pc og lommeregner må ikke kommunikere med omverdenen. Man kan ikke påregne at kunne få 230 V tilslutning under eksamen. Maskinerne må ikke støje, og skærmen må ikke vippes højere op end 45 grader fra vandret. Printerudskrifter accepteres ikke og modtages ikke som besvarelse. Eksamenssnyd behandles efter universitetets regler. Ang. den ønskede angivelse af resultater: Besvarelsen skal afleveres på separate papirark for hver opgave. Printerudskrifter accepteres ikke og modtages ikke som besvarelse. Mellemregninger skal medtages i det omfang, det er nødvendigt for at forstå eksaminantens tankegang i løsningsmetoden. Det er ikke nødvendigt at medtage alle detaljer. Det giver ikke pluspoint at angive mange decimaler i resultatet. Det er en vurderingssag, hvormange, der er nødvendigt, men højst 3 decimaler er almindeligt. Decimaltegnet er komma (og ikke punktum!). Ang. bedømmelsen af opgaverne: Besvarelserne udsættes for en helhedsvurdering mhp. om eksaminanten kan siges at opfylde kursusmålet. Man kan ikke bestå, hvis man er helt blank i et af delområderne, idet man ikke opfylder det forud fastsatte kursusmål. Helt simple regnefejl trækker ikke ned. Regnefejl, som giver et helt åbenlyst forkert resultat, trækker ned. Metodefejl trækker meget ned. Fejl tæller kun med 1 gang, selv om de bevirker at efterfølgende spørgsmål også vil blive besvaret forkert. Det er vigtigt, at tankegangen i løsningen af opgaven klart fremgår af besvarelsen. Den blotte angivelse af et facit er ingen god besvarelse, og hvis talværdien oven i købet er forkert, vil eksaminatoren være nødsaget til at vurdere, at opgaven ikke er besvaret. Derudover er det vigtigt, at man skriver med en tydelig og letlæselig håndskrift og laver en overskuelig opstilling af løsningen. Ting, som eksaminatoren ikke kan læse, kan man ikke blive krediteret for. En god opstilling af løsningen og en klar håndskrift giver pluspoint!

3 Opgave 1 Givet den komplekse funktion: f(z) = sin(z2 ) z 2 (z ; 2 ) a. Bestem funktionen f(z) s singulariteter og angiv deres art. b. Bestem residuerne for f(z). c. Beregn integralet: I f(z) dz C hvor C er cirklen med centrum i nul og radius =2. Opgave 2 Hvor mange pizzastykker kan man få ved at skære n rette linier med en kniv? Eller sagt mere matematisk: Hvad er maksimum antal regioner defineret ved n linier i et plan? For at løse denne opgave bør man gå gennem følgende to skridt: a. Forklar hvorfor den rekursive formel for n kan skrives på følgende måde: f(n) =f(n ; 1) + n f(1) = 2 b. Givet den rekursive formel for f(n) bevis at: f(n) =(n 2 + n +2)=2

4 Opgave 3 Input-output relationen for et LTI-system er givet ved differensligningen: hvor x er input og y er output. y[n] ; 3 4 y[n ; 1] + 1 y[n ; 2] = x[n ; 1] 8 a. Undersøg om systemet er kausalt. b. Find systemets overføringsfunktion H(z) = Y (z)=x(z). c. Angiv systemets konvergensområde og undersøg om systemet er stabilt. d. Find systemets enhedsimpulsrespons h[n]. Opgave 4 Impulsresponsen for et LTI-system er givet ved h[n] = ; 2 1 n hvor u[n] er enhedsstepfunktionen. u[;n] a. Plot impulsresponsen for n = ; b. Undersøg om systemet er stabilt. c. Find overføringsfunktionen H(z). d. Er systemet kausalt?

5 Opgave 5 Vi betragter en kvadratisk form, Q: Q =8x x 1x 2 +5x 2 2 a. Find en symmetrisk matrix A således, at Q = x T Ax, hvor x = x1. x 2 b. Find hvilken kurve Q = 15repræsenterer, idet Q transformeres til hovedakserne, y. c. Find sammenhængen mellem de gamle koordinater x og de nye y. d. Vis at similaritetstransformationen defineret ved matrixen B, hvis søjler er egenvektorerne for A, diagonaliserer A Opgave 6 A =( 1 0 j ) Betragt matrixen A, givet ved: ;j 0 1 a. Find ud af om A er hermitisk, skævhermitisk eller unitær. b. Find en egenbase, der danner et unitært system for A. c. Find en matrix B, der diagonaliserer A.

9 Opgave 1 Input-output relationen for et LTI-system er givet ved differensligningen hvor x er input og y er output. 1. Undersøg om systemet er kausalt. y[n] 3 4 y[n 1] + 1 y[n 2] = x[n 1], 8 2. Find systemets overføringsfunktion H(z) = Y (z)/x(z). 3. Angiv systemets konvergensområde og undersøg om systemet er stabilt. 4. Find systemets enhedsimpulsrespons h[n]. Løsning opgave 1 1. Systemet er kausalt, da output kun afhænger af tidligere input. 2. Fra differensligningen fås Y (z)[1 3/4z 1 + 1/8z 2 ] = z 1 X(z) så H(z) = z z 2 3/4z + 1/8. 3. Ved partialbrøksopspaltning fås H(z) = 2z 1 1 1/2z 1 z 1 1 1/4z 1, og da systemet er kausalt bliver ROC = {z z > 1/2}. Da ROC indeholder enhedscirklen er systemet stabilt. 4. Ved tabelopslag samt brug af tidsforsinkelsesreglen fås h[n] = 2(1/2) n 1 u[n 1] (1/4) n 1 u[n 1]. Opgave 2 Impulsresponsen for et LTI-system er givet ved ( h[n] = 1 n u[ n], 2) hvor u[n] er enhedsstepfunktionen. 1. Plot impulsresponsen for n = 3,...,3, 1

10 2. Undersøg om systemet er stabilt. 3. Find overføringsfunktionen H(z). 4. Er systemet kausalt? Løsning opgave 1 1. Plottet til dette spørgsmål er ikke angivet i løsningsforslaget. 2. Systemet er ikke stabilt da impulsresponsen ikke er begrænset H(z) = ( 1/2) n z n = ( 1/2) n = ( 1/2z) n = n= n= n= m=0 ( 2z) m = z 4. Systemet er ikke kausalt, da impulsresponsen er venstresidet (og da ROC er {z z < 1/2}). 2

Relaterede dokumenter

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 07

MAT4 for E4+D4/08 H. Ebert MATEMATIK 4 Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 07 Matematik 4 for E4+D4/09 Opgavesæt 07 090519HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 3. juni 2009 kl. 09.00-13.00.