Tetiana Hammer ( ) Professionsbacheloropgaven Indledning Emne... 4 Problemfeltet... 5 Formål Problemformulering...

Transkript

1 Indholdsfortegnelse Indledning... 4 Emne... 4 Problemfeltet... 5 Formål... 9 Problemformulering... 9 Undersøgelsesmetoden Teori Talforståelse hvad betyder det? Hvad er matematikvanskeligheder? Regnehuller Livsmatematik Matematikmestring Zonen for nærmeste udvikling Hvilke årsager er der til, at matematikvanskeligheder opstår? Medicinske/neurologiske Psykologiske Sociologiske Didaktiske Hvad er kendetegn for matematikvanskeligheder? Russisk matematik i Norge Russisk forskning i matematikvanskeligheder Med fokus på barnets udvikling Empiri Børnehaveklassen klasse klasse Analyse af empirien og fortolkning Resultater

2 Diskussion og metodekritik Argumenter og konklusion Hvordan arbejder læreren med elevernes talforståelse i de første skoleår? Hvorfor er det vigtigt at arbejde grundigt med elevernes talforståelse? Hvorfor er det vigtigt at fange elever, som kan komme i matematikvanskeligheder hurtigst muligt? Perspektivering Undervisningsskitse Materialer: Aktiviteter: Litteraturliste

3 Indledning Gennem de seneste år sættes der større og større fokus på matematikvanskeligheder i Danmark og alle parter (politikere, KL, DLF) er enige om, at fagligheden i matematikken skal løftes. Der er alt for mange unger i Danmark, som forlader folkeskolen uden basale færdigheder i matematik. Matematisk forståelse skaber et kognitivt fundament for læring på tværs af fag og det har stor betydning for elevernes muligheder i fremtiden. Matematisk forståelse er nødvendig for at kunne deltage som aktiv og kritisk borger i et demokratisk samfund. Emne I min bacheloropgave vil jeg fokusere på matematikundervisning i indskolingen. Jeg mener, at de første skoleår er de vigtigste, fordi det er i den periode børn skal opbygge det solide fundament i matematikken. Men det, som jeg har oplevet i mine praktikperioder og ud fra de observationer, jeg har lavet i forbindelse med dette projekt, kan jeg konkludere, at der er alt for mange børn, som mangler forståelse for det, de laver og udfører matematiske opgaver rent mekanisk eller tilfældigt. Der er ikke så meget læring i det, de gør. De lærer heller ikke at reflektere over om deres løsning passer eller ej. Når man kigger på de børn, som kommer i matematikvanskeligheder, så kan man se, at de fleste af dem har problemer med tal- og antalforståelse, som er helt grundlæggende for både at forebygge og behandle matematikvanskeligheder. Forskning viser, at det at have matematikvanskeligheder ikke er et stabilt fænomen over tid, og at vanskeligheder med sprog og begreber ofte også giver vanskeligheder i matematik. Meget forskning tyder på, at talforståelse er et meget centralt område, og det er netop her, norske/danske elever ifølge PISA-undersøgelserne klarer sig dårligt. Mange afgangselever i den norske grundskole synes at være stagneret i deres faglige udvikling (Ostad, 1999). Forskning fra Sverige (Enstrom og Magne, 2006) tyder på, at omkring 15 % af afgangseleverne har en matematisk færdighed og forståelse, der svar til gennemsnittet i 4. klasse. Det er rimeligt at antage, at vi vil finde det samme billede i Norge og Danmark. (Ludvig Forthun og Olav Lunde) 4

4 Problemfeltet Ifølge Eva rapporten er det kun halvdelen af de lærere der underviser i matematik på mellemtrinnet i folkeskolen, har linjefag i matematik. Hvis det gælder på mellemtrinnet, så kan man antage at det samme også gælder i indskoling. Men hvor meget kender de lærere til om hvordan børn tilegner sig matematik? Hvor meget kender de til matematikvanskeligheder herunder årsager til hvorfor de vanskeligheder opstår og de første kendetegn, som tyder på, at barnet har brug for hjælp? Hvordan fanger lærerne de børn, som kan komme i matematikvanskeligheder og hvilke støttetiltag sættes der i gang i de første skoleår? I Eva undersøgelsen har man spurgt ledere og lærere om deres holdning angående linjefagsdækning af faget og meldingen er helt klar. De er enige i at linjefag er vigtigt. De begrunder det med at lærere der har linjefag er bedre til at skabe en dynamisk undervisning, og at de har et fagligt overblik der gør dem i stand til at gennemskue de måder børnene arbejder og lærer på. De nævner også at linjefagsuddannede matematiklærere ofte forholder sig mere kreativt til undervisningen. Her kan man sige, at der er en klar sammenhæng mellem lærerens kompetence og elevens indlæring. Når læreren har en mere kreativ og problemorienteret undervisning frem for udenadslære af algoritmiske tekniker, så skaber denne tilgang motivation hos eleven og hvis det giver mening for eleven, så fastholder læreren elevens nysgerrighed og lærelyst og på denne måde fremmes der elevens indlæring. Men hvad så med de lærere, som ikke har matematik som linjefag? Der er mange forskere, som peger på, at hvis lærerne havde større indsigt i de forskellige indlæringsvanskeligheder, som en elev kan have i de tidlige skoleår, så kunne lærerne forebygge mange af dem. Lige præcis mangel på den viden hos lærere som underviserer i matematik i indskolingen fører til, at så mange børn kommer i matematikvanskeligheder. Læreren kan undervise i matematik i år, men det betyder ikke at han/hun har den nødvendige viden om hvordan børn tilegner sig matematik. De tager udgangspunkt i det bogsystem, skolen har til rådighed og så går de den slavisk igennem. 5

5 Lærebogen spiller generelt en meget stor rolle når lærerne planlægger undervisningen, viser evalueringen. Mange steder er skolens matematikbogsystem afgørende for lærernes valg af indhold i undervisningen. De temaer bøgerne er bygget op efter, og den rækkefølge og struktur temaerne falder i, går igen i matematiktimerne. Lærerne peger på at der er flere fordele ved at følge et lærebogssystem. Mange har en opfattelse af at det sikrer progressionen og sammenhængen i undervisningen. Desuden finder mange lærervejledningerne inspirerende og udførlige. Og endelig siger flere lærere at de ved at bruge en bestemt matematikbog automatisk sikrer at undervisningen lever op til Fælles Mål. Det er bare ikke altid tilfældet. 1 Det er også vigtigt at eleverne bliver præsenteret for matematikopgaver der er skrevet på forskellige måder. Min oplevelse af lærerens metode er, at jo flere opgaveark de giver til eleverne, jo bedre. Det er lærerens måde at differentiere på. Men det er ikke nødvendigvis sådan forståelsen kommer med. Det bekræfter Peter Weng, han siger: Eleverne skal i dybden med matematikforståelsen. De skal ikke bare regne ark efter ark med opgaver. De skal forstå det". 2 I Fælles Mål 2009 står der, at eleverne gennem undervisningen skal tilegne sig kundskaber og færdigheder, som sætter eleverne i stand til at indgå i dialog om matematiske spørgsmål og svar, og på den måde udvikler deres tankegangskompetencer. De skal lære at ræsonnere og argumentere om konkrete matematiske aktiviteter, så de udvikler deres ræsonnementskompetencer. De skal også lære at kommunikere om de matematiske problemstillinger, dvs. de skal lære at udtrykke sig ved brug af fagligt sprog. Det er kommunikationskompetence, som også skal udvikles i undervisningen. Der mangler imidlertid dialog i matematiktimerne. En faglig dialog, hvor eleverne argumenterer for deres valg og forklarer deres fremgangsmåder, hvor de udveksler deres løsningsstrategier og på den måde lærer af hinanden. Der mangler fokus på

6 de forskellige kompetencer og i stedet for fokuserer de fleste indskolingslærere kun på regnefærdigheder. Uddrag fra Formål for faget matematik (min fremhævning): Stk. 2. Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation. (Undervisningsministeriet: Fælles Mål 2009 Matematik, Faghæfte 12, s. 3) Der er 8 matematiske kompetencer, som læreren altid skal have fokus på i sin undervisning. De er: tankegangskompetence problembehandlingskompetence ræsonnementskompetence repræsentationskompetence symbolbehandlingskompetence kommunikationskompetence hjælpemiddelkompetence modelleringskompetence Man kunne godt tænke, at kompetencer som ræsonnementskompetence og kommunikationskompetence hører mere til mellemtrin og udskoling, men i indskolingen bør man også have fokus på udvikling af disse kompetencer. For, ud fra de observationer jeg har indsamlet til opgavens empiri, så viser det sig, at de fleste matematiktimer forgår i tavshed. Eleverne arbejder hver for sig, eller hvis de arbejder to og to, så forgår det uden den faglige dialog mellem eleverne. Med andre ord kan man sige, at den elev, der selv kan (eller tror, at han/hun kan) løse opgaven, gør det, mens den anden elev bare skriver det samme ned i sin bog uden at forstå eller vurdere om det overhoved kan lade sig gøre. Det er bare mekanisk efterligning uden refleksioner. Der mangler en samtale mellem lærer og elever og eleverne indbyrdes om hvorfor de gør sådan, om de kan løse den på en anden måde, eller om tallene passer sammen. 7

7 Når vi kigger på de matematiske emner, som eleverne skal undervises i på forskellige klassetrin, så står der at elever efter 3. klassetrin skal kunne arbejde med tal og algebra. For at være mere præcis, så skal eleverne (uddrag fra Fælles Mål 2009): kende de naturlige tals opbygning og ordning, herunder titalssystemet bruge tælleremser og arbejde med talfølger og figurrækker deltage i udvikling af metoder til addition og subtraktion på baggrund af egen forståelse bestemme antal ved hjælp af addition, subtraktion samt enkel multiplikation og division inden for de naturlige tal (Undervisningsministeriet: Fælles Mål 2009 Matematik, Faghæfte 12, s. 6) Angående arbejdsmetoder, står der også, at elever skal deltage i udvikling af deres egne metoder og arbejde eksperimenterende og undersøgende. Her kan jeg også konstatere, at eleverne ikke er vant til at arbejde på den måde. De venter på, at læreren fortæller hvad og hvordan de skal gøre. Det er som om de ikke tør at arbejde eksperimenterende. Min forklaring er at de mangler forståelsen for hvordan tallene hænger sammen. Nyere forskning tyder på, at det afgørende er manglende beherskelse af de grundlæggende matematiske funktioner såsom at tælle, at opfatte antal, at kunne sammenligne to tal, pladsværdi, enkelt aritmetik og estimering af tal, mængder og størrelser i øvrigt. (Forthun og Lunde) Når jeg analyserer de danske matematikbogsystemer, falder det tydeligt i øjnene, at addition og subtraktion undervises som to uafhængige emner. Men der er en stor sammenhæng mellem de to regningsarter og måske ville det give mere mening og bedre talforståelse for børn, hvis de to emner blev sammensæt i et emne. Det samme gælder for multiplikation og division. Herunder er et eksempel på, hvad det er, jeg mener: Et almindeligt regnestykke for 2. klasse. Jeg har 3 kort med tallerne 4, 5 og 9 på = 9 Eleverne kan sagtens følge med, så laver jeg lidt om = 9 Jeg bytter tallenes pladser, men det giver alligevel 9. 8

8 Men så snart jeg laver det om til 9 5 = eller 9 4 = så har eleverne svært ved at se sammenhængen mellem disse regnestykker, selv om regnestykkerne står under hinanden og jeg fortæller at de kun har tallene 4, 5 og 9 til rådighed. Jeg opfordrer eleverne til at lege med/undersøge disse tal, men de går bare i stå. Selvfølgelig kan nogle elever tælle baglæns mens andre elever bruger taltavlen, fordi det er den letteste måde til at finde løsning. De kan bare ikke se sammenhæng, som er også et tegn på en dårlig talforståelse. Formål Formålet med opgaven er at sætte fokus på matematikundervisning i indskolingen og at vise, at det er vigtigt at arbejde grundigt, systematisk og målrettet med elevernes talforståelse helt fra skolestart. Ved at arbejde forebyggende, kan læreren reducere de vanskeligheder, eleverne kan komme i, som opstår af didaktiske årsager. Det er lettere at forebygge end senere at rette op på det. Her skal læreren også tage de psykologiske, sociologiske og medicinske årsager i betragtning, da de tit hænger sammen. I denne sammenhæng opstiller jeg min problemformulering. Problemformulering Jeg vil undersøge, hvordan matematiklærere arbejder med elevernes talforståelse i matematikundervisningen i de første skoleår. Jeg vil også argumentere for hvorfor det er vigtigt at: - arbejde målrettet og grundigt med elevernes talforståelse; - fange de elever, som kan komme i matematikvanskeligheder så tidligt som muligt og støtte dem helt fra starten. De to punkter, mener jeg, hænger tæt sammen. 9

9 Undersøgelsesmetoden Først beskriver jeg teori, som er relevant til min opgave samt gør jeg rede for og definerer de faglige begreber, som indgår i min opgave, fx, matematikvanskeligheder ud fra den nordiske teori, hvor jeg inddrager Olav Lunde, Lene Lindenskov og Oluf Magne og zonen for nærmeste udvikling ud fra Vygotskys udviklingsteori. Derefter beskriver jeg et forskningsprojekt fra Norge, hvor man i indskoling bruger en alternativ metode til at undervise matematik på. Projektet er baseret på en russisk undervisningsmetode og russiske lærebøger, som er udviklet af Vygotskys elev Zankov. Jeg vil også præsentere to russiske forskere Tatiana Akhutina og Natalia Pylaeva, som giver sit bud på, hvordan man kan hjælpe elever med indlæringsvanskeligheder, især matematikvanskeligheder. Deres metoder tager også udgangspunkt i Vygotskys teori. Bagefter indsamler jeg empirien til min opgave ved hjælp af observationer af undervisningens praksis og samtaler med lærerne, som underviser i matematik i indskoling. Til at gøre det mest objektivt, bliver jeg nød til at sætte et mål og vælge nogle pejlemærker, jeg skal kigge efter til at afgrænse mine observationer. Nogle af de pejlemærker, som jeg havde fokus på, er: - Om eleverne kan koble et ord, et talsymbol og mængde sammen. - Elevernes tælleprincipper på forskellige klassetrin (fra 0. til 2. klasse). - Elevernes regnestrategier, som de anvender, når de skal løse enkelte regnestykker. - Om eleverne styrer på ener og tiere (titalssystemsforståelse). For at svare på problemformuleringen analyserer jeg først empirien, for at få overblik over de praktiske situationer og indblik i de konkrete aktiviteter, som foregår i matematikundervisning i indskolingen. Derefter konkretiserer jeg de pointer/situationer fra den observerende praksis, som, jeg mener, er problematiske i forhold til udvikling af elevernes talforståelse. Mine analyseresultater holder jeg op mod forskningsresultater på dette område med henblik på at give et konkret forslag til, hvordan læreren kan spotte og støtte de elever, som kan komme i matematikvanskeligheder helt fra starten af skolegangen. 10

10 På den baggrund argumenter jeg for, hvorfor det er vigtigt at fange de elever, som kan kommer i matematikvanskeligheder, allerede i børnehaveklassen; og hvorfor det er vigtigt at arbejde grundigt med elevernes talforståelse. Teori Talforståelse hvad betyder det? I min problemformulering, sætter jeg fokus på elevernes talforståelse, som er centralt for forebyggelse af matematikvanskeligheder. Men hvad indebærer selve begrebet talforståelse? Ifj. Olav Lunde der er 7 centrale dele, som talforståelse består af: - Tælling, forstå en-til-en korrespondancen, kende tælleprincipperne. - Talkendskab, dvs. kunne diskriminere mængder, kvalificere dem og angive dem med talord, evt. symbol. - Antalsændringer, dvs. at ændre en mængde ved at gøre den større (addition) eller mindre (subtraktion) - Estimering, kunne vurdere forskellige mængder i forhold til hinanden og det samme med tallene, som betegner disse mængder. - Tal-mønstre, sekvenser, f.eks. fortsætter en rækkefælge 2, 4, 8, Forstå når tallene er kardinale, seriale elle måleenheder elle anvendes som navn. - Forstå sammenhæng mellem tal og objekter og kunne anvende dem i daglig situationer. Forskningen har de seneste år fokuseret på begrebet talforståelse som værende centralt for udviklingen af matematisk forståelse og færdighed (Lunde, 2012). En svag udviklet talforståelse er et vigtig kendetegn for elever i matematikvanskeligheder. Hvad er matematikvanskeligheder? Nu vil jeg definere matematikvanskeligheder som et begreb. Bagefter beskriver jeg årsager, som fører til at matematikvanskeligheder opstår. Matematikvanskeligheder er et meget uklar begreb, som anvendes på forskellige måder. 11

11 Som nordiske teoretiske forklaringer af begrebet matematikvanskeligheder kan man nævne 3 forskellige måder at definere dem på: - Regnehuller (Lene Lindenskov og Peter Weng). - Livsmatematik (Oluf Magne); - Matematikmestring (Olav Lunde); Regnehuller I Danmark har der ikke været så stor interesse for matematikvanskeligheder som i de andre nordiske lande. Men inden for de senere år er der vokset en stor interesse for området frem. En af dem, som intensiveret arbejdet med matematikvanskeligheder i de seneste år, er Lene Lindeskov. I et samarbejde mellem Danmarks Pædagogiske Universitet og Frederiksberg seminarium har de kritisk analyseret teori og metoder i tilknytning til matematikvanskeligheder. Deres analyse resulterede i 3 kernepunkter: 1) Termer som matematikvanskeligheder og matematiksvage elever bør afgrænses og præciseres. Der bør være fokus på hvad der lykkes og på potentialer for, at mere kan lykkes. Der mangler en konkret, detaljeret og uddybet beskrivelse med fokus på det faglig indhold af vanskelighederne, så man kan samtale og handle konkret. 2) Der skal være fokus på vanskeligheder, så man undgå, at vanskeligheder overses eller negligeres. Den nødvendige fokusering stiller krav om at italesætte, kommunikere om og fokusere på vanskeligheder. 3) Matematikvanskeligheder bør forstås som en tilstand, en elev kan være i og som kan fastholdes ved at skolen mangler ressourcer til at afhjælpe tilstanden. Ud fra det overstående anvender de metaforen regnehuller Lena Lindenskov og Peter Weng siger, at der er et dobbelt indhold i metaforen. På den ene side, mener de, at alle elever af forskellige årsager og på forskellige niveauer kan komme i matematikvanskeligheder som en tilstand i læreprocessen. På den anden side, mener de, de huller som elever falder i og ikke altid kan komme op af igen på baggrund af undervisningen og manglende støtte. De mener, at 12

12 udgangspunkt ikke er eleven, men de vanskeligheder, eleven møder med matematiske begreber og processer i det matematiske landskab. Mange begrebssætninger af matematikvanskeligheder fokuserer på årsagsforklaringer og risikofaktorer (fx, Olav Lunde), som kan være oplysende i forhold til begrebssætning af regnehuller. De kan være med til at undgå uhensigtsmæssige forståelser og handlinger, der ikke virker, men de kan ikke stå alene. Når man taler om regnehuller, så ligger der ikke en teori om primær årsager. Elever må hver især og alle sammen gives tilpasset mulighed for at manøvrere i, over og omkring deres regnehuller i det matematiske landskab. (Lene Lindenskov) Det er uanset hvilke årsager der fyrer til, at vanskeligheder opstår. Her er Lene Lindskovs teoretiske model, der understøtter et begreb om regnehuller i den inkluderende skole, som hun kom frem på baggrund af resultater fra danske empiriske undersøgelser om oplevelse og betydning af matematikvanskeligheder hos børn, unge og voksne. Modellen består af 5 elementer: 1) Mening og behov for forståelse forståelse er et af de vigtigste elementer i matematikundervisning. Til at se mening og sammenhæng med det daglige liv, skal eleverne have forståelsen for de forskellige begreber og regneoperationer. De skal være i stand til at se mønstre og generalisere, så de kan anvende deres matematiske færdigheder og kundskaber i andre situationer. 2) Matematik som system matematik er anderledes end andre fag. Her bliver man standset i sin læreproces, når der opstår fejl og misforståelser. 3) Blokering og modstand matematik er et abstrakt og kompliceret fag og det første møde med matematikken kan være afgørende for elevernes læreproces og deres holdning til faget. Der er flere faktorer, der spiller ind her, men elevernes oplevelser er afhængige af, hvordan de bliver inviteret ind i faget. Hvis det mislykkes for eleverne fra starten af, så kommer der blokering og modstand i undervisning. 13

13 4) Undervisning noget forskning peger på at matematikundervisning skaber mange vanskeligheder og sætter kritisk blik på undervisningens og læringens udlevelse, og giver dermed beskrivelse af, hvordan matematikvanskeligheder kan skabes og vedligeholdes i undervisning, selv om der er klare intentioner om det modsatte. Men forskningens positive resultater om generelle indsatser omkring matematikvanskeligheder er kun få. (Lene Lindskov, NOMAD 2006) 5) Individet i klassen her er der tale om matematikvanskeligheder fra et medicinsk/neurologisk synspunkt. Der er 3-5 % af elever, som har dyskalkuli som diagnose. De første tre elementer har fokus på elevernes oplevelse af vanskeligheder i matematikundervisning. Det fjerde element har fokus på hvordan vanskeligheder kan skabes og vedligeholdes i undervisning. Disse 4 elementer omhandler psykologiske, sociologiske og didaktiske aspekter. Det femte element omhandler det medicinsk/neurologisk aspekt. Livsmatematik Oluf Magne beskriver hvordan selve opfattelsen af matematikvanskeligheder har ændret sig gennem tiderne. Først var opfattelsen at matematik er svært og det er ikke alle der kan klare det. Lidt senere begyndte man at placere vanskeligheder hos eleven selv. Det er det klassiske syn på matematikvanskeligheder, som er gældende endnu. Men nutidens opfattelse af matematikvanskeligheder ifj. Magne er, at der er tre aktører, som er involveret omkring elevens vanskeligheder: eleven selv, matematikken og det netværk, der afgør at eleven har vanskeligheder (Magne, 2004, s.21) eller med andre ord: Matematikken, individ og omgivelserne (MIO). Han mener, at indholdet i matematikundervisning skal være relevant for eleven nærmeste udvikling, dvs. fra hverdagens virkelighed og stoffet skal behandles således, at eleverne forstår indholdet og meningen med det. Han argumenter for et bredere syn på matematikvanskeligheder og udvikler en faktorsamspilsmodel 3, der sætter fokus på elevens måde at tænke på, elevens sociale kompetence og elevens relation til matematik. Denne model, hvor han 3 Modellen beskrives i hans bog Att lyckas med matematikken i grundskolan fra 1998 og videreføres i bogen Barn upptacker matematikken fra

14 redegør for, at børns forståelse af matematikken er afhængig af et samspil mellem matematikken, individet og omgivelserne, samt Vygotskys teori om den støttende stillads bliver en teoretisk forankring til et MIO-projekt i Norge. MIO er et observationsmateriale og et redskab for pædagoger i daginstitutioner i forhold til en tidlig indsats over for elever, som på et senere tidspunkt kan komme i matematikvanskeligheder. Mange forskere er enige om, at der er et behov for at støtte op om elevernes udvikling af begreber allerede i førskolealderen, og at et kendskab til elevernes forforståelse har stor betydning for tilrettelæggelse af undervisning i almindelighed og for undervisningsdifferentiering i særdeleshed. Matematikmestring Olav Lunde og Ludvig Forthun stiller et spørgsmål om er det den norske skole, der skaber elever med særlige behov i matematik. Og deres svar er ja. De siger at den måde, man udformer den tilpassende undervisning på, ikke hjælper eleverne, men tværtimod gør dem til tabere. De nævner 3 årsager til dette: 1. Skolen og PPR er ikke dygtige nok til at opdage de elever i tide, som kan komme i matematikvanskeligheder, fordi de har dårligt kendskab til vanskeligheder og ikke ser symptomerne tidligt nok. 2. Selve tiltagene sættes alt for sent i gang, måske fordi skolerne ikke er klar over, hvordan de skal anvende de resultater, de får efter de har testet eleverne. Dvs. vanskeligheder får lov til at vokse og den manglende forståelse og tilegnelse af grundlæggende matematik bidrager til at nye vanskeligheder opstår. 3. Den indsats, som endelige sættes i gang, er alt for generel og når eleven ikke rykker sig frem, så er det eleven, der er noget galt med. Skolen begynder at tale om elevens ansvar for egen læring. Men her skal man huske, at det er skolen, som har ansvar for at udforme og gennemføre en undervisning, hvor eleven lærer i og udvikler sig fagligt. 15

15 For Olav Lunde er det elevens læringspotentiale, der er vigtig. Han mener, at en diagnose gør alle ansvarsfri: Skole, familie og barn. Derfor bruger han udtrykket matematikmestring, som fastholder at alle har læringspotentiale. Mening ved at bruge matematikmestring i stedet for matematikvanskeligheder er at få sat fokus på, hvordan den tilrettelagte undervisning bør være for elever i matematikvanskeligheder. Men hvad betyder selve begreberne mestring og læringspotentiale? Mestringsbegrebet kan have flere betydninger: - Eleven får realiseret sit læringspotentiale. - Eleven får oplevet, at der ofte findes muligheder og ubrugte sider af en selv. - Eleven får oplevet, at han/hun har altid plads i fællesskabet på skolen. - Eleven får oplevet, at man kan arbejde godt med en opgave på forskellige måder. - Eleven får oplevet, at han/hun er vigtig. Ifølge Olav Lunde tolker man læringspotentiale i sammenhæng med Vygotskys zone for nærmeste udvikling. Zonen for nærmeste udvikling Vygotskys udviklingsteori handler både om udvikling og undervisning. Vygotsky havde en positiv holdning til den enkelte barns mulighed til at lære. For ham har de socialt skabte læringsbetingelser en afgørende betydning. Han definerer zonen for nærmeste udvikling sådan: Det er en afstand mellem det aktuelle udviklingsniveau, hvor barnet kan udføre en opgave på sin egen hånd uden hjælp og det potentielle udviklingsniveau, hvor barnet kan løse opgaven ved lidt støtte fra voksne eller mere kompetente kammerater (Vygotsky, 2008, s.151). Dvs. det som barnet kan klare med hjælp i dag, vil det senere kunne klare alene. For Vygotsky var det vigtigt at understrege, at udvikling sker gennem læring eller med andre ord, at det er læring, der styrer udviklingen. Ifølge Vygotsky, er barnet et socialt og kollektiv væsen allerede fra fødslen. Det er barnets handlinger, som foregår i fællesskabet, der danner grundlaget for udviklingen som individ. Det er gennem internalisering af de processer, som barnet 16

16 udfører i sit miljø som en fælles handling sammen med voksne og børn, læring sker. Vygotsky mente, at en fuld forståelse af zonen for nærmeste udvikling skulle føre til en imitation som udgangspunkt for læring. Han sagde: Hvis jeg har det svært med at løse en matematisk opgave og du begynder at løse den på tavlen foran mig, så kan jeg løse det med den samme. Men hvis du begynder at løse opgave fra højere matematik, som jeg ikke kender til, så er det lige meget hvor meget jeg vil imitere dig, jeg kan ikke løse denne opgave. Det er klart, at jeg kun kan imitere det, der ligger i min zone for nærmeste udvikling. (Vygotsky, 2008, s. 152) Det betyder, at imitation ikke bare er en mekanisk efterligning. Det er en konstruktiv og selektiv proces. Hvilke årsager er der til, at matematikvanskeligheder opstår? Selve årsagerne deles op i 4 kategorier, som kan kombineres på forskellige måder: Medicinske/neurologiske - Eleven har en fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse. Fokus rettes her mod elevernes kognitive funktioner, som fx, hukommelse og opmærksomhed. Psykologiske - Eleven har f.eks. problemer med manglende motivation, koncentrationsbesvær, angst eller andre kognitive grunde. De psykologiske grunde til matematikvanskeligheder kan være selvforstærkende, da dårlige matematiske præstationer kan resultere i angst, manglende motivation e.l. for matematik, hvilket kan betyde endnu dårligere matematiske præstationer også fremover. For mange elever med psykologiske årsager til matematikvanskeligheder kan det være svært at se, om det f.eks. er angst, der resulterer i vanskelighederne, eller vanskelighederne, der resulterer i angst. Sociologiske - Elevens miljø, det kan f.eks. være et hjem med mange problemer. Elevens miljø er generelt vigtigt for udbyttet af undervisningen i skolen. Især i matematik tager man ofte udgangspunkt i det, eleven allerede ved, og erfaringer fra det virkelige liv. Og hvis denne viden og erfaring er meget begrænset kan det betyde en manglende forståelse. 17

17 Forældrenes interesse for skolen og forventninger til barnet har også betydning for udbyttet af undervisningen. Generelt har ressourcestærke forældre den største interesse i skolen. Didaktiske - Hvis undervisningen ikke er tilstrækkelig god, f.eks. ved forkerte metoder. Den traditionelle matematikundervisning med opgaveregning kan have en negativ effekt på elever, hvor en lang række af svære opgaver kan virke demotiverende. Det var selve den teoretiske forklaring af begrebet matematikvanskeligheder. Men det vigtige er, at lærerne får mulighed for at tilegne sig viden og indsigt i de mange forskellige former for vanskeligheder en elev kan oplever i forbindelse med det at skulle lære matematik. Som situationen er lige nu i Danmark, så får danske lærere ikke megen støtte eller vejledning i, hvordan de kan hjælpe de elever, der slås med matematik. 4 Hvad er kendetegn for matematikvanskeligheder? Nu har jeg beskrevet selve begrebet matematikvanskeligheder og årsager til, at disse vanskeligheder opstår. Men hvad er kendetegn for, at eleven befinder sig i matematikvanskeligheder? Der blev opstillet 6 centrale matematiske færdigheder, der alle er kendetegn, som er lette at observere: 1. Tælling 2. Antalsforståelse 3. Sammenligning 4. Pladsværdi-systemet 5. Aritmetik 6. Estimering 4 Østergaard Johansen, Lene, Matematikvanskeligheder uønsket diagnose i dansk pædagogik og ikke eksisterende forskningsfelt i Danmark, Matematik nr , 18

18 Det er ofte inden for disse områder, man kan finde en svækket matematisk færdighed hos elever, som befinder sig i matematikvanskeligheder. Det drejer sig igen om elevernes talforståelse i det hele taget, dvs. en hurtig screening af talforståelsen identificerer over 50 % af dem, der senere udvikler matematikvanskeligheder. Derfor har tidlig identifikation af kendetegn store konsekvenser med hensyn til at kunne forebygge matematikvanskeligheder senere. Uden en veludviklet talforståelse bliver matematiklæringen vanskelig og/eller mangelfuld. Russisk matematik i Norge Siden 2009 har der kørt et forskningsprojekt I Norge, hvor lærerne i indskolingen bruger en russisk metode, til at undervise matematik. Projektet er et samarbejde mellem Smeaheia skole, Sandens kommune og Universitet i Stavanger. Det er Natasha Blank, som er lektor i matematik på UiS og Gerd Inger Moe, som er en lærer på Smeaheia skole, der står bag projektet. Formålet med projektet er at udforme en undervisning, hvor så mange elever som muligt føler sig trygge ved faget og får en succes oplevelse, samt at alle elever bliver udfordret fagligt på deres eget niveau. Eleverne i to klasser på Smeaheia skole, har siden de startede i skolen, været med i projektet. De får matematikundervisning efter en russiske metode, som kaldes den udviklende læring. Denne metode er udviklet af den russiske psykolog og pædagog L. Zankov, som er en af Vygotskys elever. Han har videreudviklet Vygotskys centrale idéer og synspunkter om børns udvikling og læring. Zankovs metode kan bruges i alle fag. Det centrale i hans undervisningsmetode er elevens generelle udvikling, dvs. elevens kognitive, emotionelle, moralske og æstetiske udvikling, samt elevens faglig motivation. Russisk matematikundervisning har stærk fokus på observationer, analyse og logisk tænkning. Det gælder ikke kun for at finde et svar. Eleverne skal, for eksempel, undersøge taludtryk , , De skal vurdere og analysere tallene, finde ud af hvad der sker og hvorfor de får det samme resultat i alle disse regnestykker. Eleverne skal kunne forklare og begrunde deres svar. 19

19 Ved brug af denne metode udvikler eleverne deres fantasi, initiativ, kreativitet, fleksibilitet, kritisk vurdering og selvtillid. De bliver i stand til at tænke selvstændigt, analysere og diskutere sig frem til en løsning siger Blank. Metoden engagerer ikke kun de faglige stærke elever, men også de elever, som er usikker eller svage fagligt. Moe har undervist i matematik i mange år. Når børn starter i skolen, så er de meget åbne og nysgerrige, og villige til at lære. Derfor mener Moe, at jo tidlige elever begynder at få udfordringer, jo bedre det er. Hun siger, at den måde de arbejder med matematik på i projektet, giver eleverne en god forståelse for faglige begreber og principper allerede fra første dag. Det skaber et solidt fundament for den matematik, eleverne kommer til at møde på et senere tidspunkt i skoleforløbet. Opgaverne er meget mere varierende og udfordrende, end dem, man kan finde i de norske lærebøger og det inspirerer eleverne. Der kommer altid noget nyt de kan undersøge og derfor får de ikke den oplevelse, at matematik er noget kedeligt og mekanisk. Moe synes, at det virker inspirerende til at se, hvor meget de små elever er i stand til at lære. Hun understreger, at hun har en helt almindelig klasse, hvor der er 28 elever, som har forskellige faglige niveauer. Eleverne opfordres til at lære af sine egne fejl, som er den bedste måde at udvikle intuition og forståelse på (if. denne metode). De skal gennemgå deres fejl grundigt og forsigtigt komme med en ny ide, og så afprøve den igen. De første resultater er tilfredsstillende. I den norske nationale test i matematik efter 3. klassetrin, får eleverne meget høje resultater. Mens landets gennemsnit var 64 point, så havde Smeaheia skole i gennemsnit 79 point. Ingen af Smeaheia skoles elever har fået mindre end 52 point, som er den laveste grænse, mens 20 % af landets elever lå under denne grænse. Den norske professor i matematik og tidlige leder for Norsk Matematikråd Kari Hag synes, at et forsøg med den russiske metode lyder meget interessent. Hun mener, at en alternativ undervisning er en god ide og håber at flere skoler vil afprøve denne metode efter Smeaheia skoles forsøg. Men hun understreger, at det er vigtigt, at en sådan alternativ undervisningsmetode skal gennemføres af en lærer, der er faglig dygtig og erfarende. 20

20 Russisk forskning i matematikvanskeligheder Her vil jeg nævne to russiske forskere, Tatiana Akhutina og Natalia Pylaeva, som har udviklet deres egen metode til at afhjælpe børns forskellige vanskeligheder. Deres metode er baseret på Vygotskys og Lurias sociokulturelle teori og har fokus på den interaktive mediering. Metodens pointe er at programmering (dvs. bevidst forståelse af aktivitet) og kontrolfunktion (selvregulering af denne aktivitet) kan udvikles ved hjælp af tilrettelagte fælles aktiviteter mellem læreren og eleven. De nævner 5 medieringstrin i fælles aktiviteter, som hjælper til at udvikler programmering og kontrolfunktion hos eleven: 1. Eleven udfører opgaven sammen med læreren, skridt for skridt ifølge lærerens instruktioner, hvor læreren kontroller hvert skridt. Både planlægning af opgaveløsning og kontrol af udførelsen er lærerens ansvar. 2. Eleven udfører sammen med læreren opgaven skridt for skridt ifølge visuelt eksempel. Læreren sørger for at eleven følger planen og at eleven selv kontrollerer resultatet ved hjælp af det visuelle eksempel. Her deler læreren og eleven deres ansvar for planlægningen og kontrol. 3. I fællesskab med læreren løser eleven opgaven uden detaljeret planlægningen og selv om eleven og læreren stadigvæk deler ansvar for udførelse og kontrol, begynder eleven nu at overtage det. 4. Elevernes selvstændige udførelser af opgaveløsningens planlægning og kontrol. Eleven må gerne benytte et visuelt eksempel (planlægning), når han/hun har brug for det, hvis vanskeligheder opstår. Læreren observerer og vejleder, hvis det er nødvendigt. 5. Eleven udfører opgaven selvstændigt med indre planlægning og overfører sin viden til en ny situation. Læreren observerer elevens evne til at anvende tilegnet viden i en ny situation. Det er vigtigt at huske, at læreren skal trække sig stille og rolig tilbage og reducere sin hjælp/støtte. På den måde får eleven en mulighed at overtage ansvaret for det, han/hun laver. (Se eventuelt bogen Overcoming learning disabilities af Tatiana Akhutina og Natalia Pylaeva). De har også i samarbejde med lærerne udarbejdet en vejledning, angående tals sammensætning, til at arbejde forebyggende med i undervisningen. 21

21 Med fokus på barnets udvikling Jeg vil også inddrage en sovjetisk/ukrainsk pædagog og didaktiker Vasily Sukhomlinsky ( ). Han var folkeskolelærer og skoleinspektør i mange år. Hans dybe kærlighed til børn førte ham til at udvikle et holistisk undervisningssystem, som lagde stor vægt på børns sundhed, deres moralske og æstetiske udvikling, samt intellektuel og faglig udvikling. Et formål med hans holistiske system var at udvikle barnet til en stærk og sund person fysisk samt følelsesmæssigt. En person, som er alsidigt udviklet og bruger sine talenter til gavn for samfundet, og som er opmærksom og bevidst om miljøet. En af de vigtigste ting for Sukhomlinsky var at vække barnets interesse for læring, at udvikle barnets smag for selvudvikling og selvdisciplin. Hvis vi går i dybden med hans holistiske undervisningssystem, så kan vi se at der er overensstemmelse mellem hans system og det der står i den danske folkeskolelov. Derfor mener jeg, at det er relevant at tage ham med i denne opgave. Hans pædagogiske arv, hans erfaringer som underviser, tiltrækker mere og mere opmærksomhed bland lærere og forældre i hele verden. På Universitet i Marburg (Tyskland) blev der oprettet et videnskabeligt laboratorium til at undersøge Sukhomlinskys pædagogiske ideer. Empiri Nu vil jeg beskrive de forskellige undervisningssituationer, som indgår i empirien, jeg har indsamlet til dette projekt. Empirien består af mine observationer og samtaler med matematiklærerne i de pågældende klasser. Jeg observerede matematikundervisning i en børnehaveklasse, to 1. klasser og tre 2. klasser med 5 forskellige matematiklærere. Børnehaveklassen Der er 14 elever i alt: 11 drenge og 3 piger. Det er en pædagog, der står for matematikaktiviteterne. De har en dobbelt lektion og skal arbejde med subtraktion. Børnene skal lære at bruge et minus tegn. Pædagogen skriver et regnestykke på tavlen og fortæller børnene, at selv om ikke de var bevidste om det før, har de lavet mange minusstykker uden at tænke på det og uden at bruge minustegnet, fx, 3 1. Nu skal eleverne selv opstille nogle regnestykker med ved hjælp af rosiner, som de har liggende på deres borde. 22

22 Læreren: Hvis I tager 5 rosiner og spiser 2 af dem, hvor mange rosiner er der så tilbage? Alle elever skal tage 5 rosiner frem og spise/ligge 2 af dem til siden, så kan de se selv hvor mange rosiner der er tilbage. Så skal de skrive regnestykket ned på papir: 5 2 = 3. De laver et par regnestykker fælles, og efter det, får de kopiark med minusstykker, hvor de stadigvæk bruger rosiner som det konkrete materiale. Selve aktiviteten er god, men der er alt for meget larm i klassen, så elever får ikke mulighed til at koncentrere sig. Pædagogen tager ikke hånd om det. Da de har 2 ipads til rådighed, så har pædagogen mulighed at differentiere. De har et par apps med addition og subtraktion, hvor regnestykkerne starter med små tal og går højere op. Men problemet er, at eleverne ikke får et kendskab til talernes opbygning og hvordan talerne hænger sammen. De kender talremsen og talsymbolerne, men det er ikke sikkert, at de kender tallets rækkefølge efter 10 eller 20. Derfor viser det sig, at de vælger facit rent tilfældigt. Til sidst skal de lege de gode venner leg. Den går ud på, at der ligger mange kort med talerne fra 0 til 10 i en skål. Så tager hver elev et kort og skal finde den gode ven til det tal, han eller hun har på sit kort. De kort, de skal lede efter, ligger alle mulige steder i de lokaler, de har til rådighed i nærheden af deres klasseværelse. Fx, hvis en dreng har et kort med 7 tallet, så skal han finde et kort med 3 tallet. Når han finder det tilsvarende kort, kommer han tilbage til pædagogen og viser kortene frem. Hvis de to tal er rigtige, så tager han et nyt kort og starter forfra. Hvis de ikke er rigtige, så skal han lede videre efter det rigtige tal. 1. klasse I den ene 1. klasse arbejder elever i værksteder, hvor de skal tælle forskellige genstande. De arbejder to og to. De fleste elever kender godt tælleremsen, men når de skal skrive hvor mange af de forskellige genstande der er i de forskellige kopper, så kommer der problemer for mange af elever. Der er mange elever som ikke ved hvordan tallene ser ud, fx 18 eller 39. deres lærer er ikke til stede og eleverne har ikke lært at spørge hinanden. Bagefter skal de tælle hvor mange sider der er i en matematikbog. Med denne opgave opstår der også misforståelse. Hvorfor skal vi tælle siderne, hvis der står sidenummer allerede på? eller Er det en side, hvor der står nummer på begge sider? Så det er meget uklart for eleverne hvad det er de skal tælle. Efter et stykke tid skifter de aktiviteter uden at samle op på de forrige opgaver. Er det rigtigt, det de har lavet? Er forståelsen til stedet? I løbet af to 23

23 lektioner har eleverne lavet meget, men uden et klar mål fra lærernes side, hvad er det de skal opnå i de matematiktimerne eller er der mening med de aktiviteter? Er det aktiviteten for aktivitetens skyld eller er det aktivitet for læring? Der er meget uro i klassen, elever er ukoncentrerede og læreren er ikke til stedet det meste af tiden. Den første observation forgik i begyndelsen af oktober, dvs. eleverne har gået i 1. klasse kun i cirka to måneder. En anden 1. klasse har jeg observeret i en hele uge med 6 lektioner i slutningen af februar. Undervisningen er mere lærerstyret. Eleverne skal arbejde med måling. Selv om der er to dobbeltlektioner efter kl.12, så er eleverne stadigvæk meget koncentrerede og rolige. De fleste lytter godt efter og følger med i forløbet. Hver enkelt time starter med en talleg, hvor eleverne skal gætte forskellige tal. Bagefter arbejder de med mønstre i en talrække, hvor eleverne skal finde et mønster og fortsætte denne rækkefølge. Efter det er der fælles gennemgang af ny stof, hvor læreren bruger overhead til at vise børn den side af matematikbogen, som de skal arbejde på. Selve den fælles gennemgang er dialogbaseret, så eleverne deltager aktivt i beskrivelse og forklaring af de opgaver, de skal løse selv. Klassen tager et par eksempler fælles og så skal de i gang individuelt i deres bøger. Læreren går rundt og hjælper eleverne undervejs. Der er afsat tid til individuelt arbejde, hvorefter de tager en hurtig runde med opsamling på facit: rigtigt eller ej. Når de er færdige med det, skal eleverne arbejde i deres kopimapper, hvor de har forskellige opgaver at tage fat på. Det er lærernes måde at differentiere på. 2. klasse 2.a klasse. I klassen er 26 elever med forskellige faglige niveauer, og forskellige forudsætninger. Denne klasse er den svageste klasse, som jeg har observeret. Mange elever har svært ved at læse. Eleverne har også svaret ved at skelne mellem ener og tiere. Nogle elever har problemer med en tallinje og en rækkefølge, talnavne og tallene generelt. Der er tolærerordning: Nogle gange er der to lærere i timerne og andre gange er der en lærer og en pædagog til stedet. I starten af timen får eleverne at vide hvilke sider i bogen de skal arbejde med og en meget hurtig forklaring på de opgaver, de skal lave, I bogen skal de arbejde med addition. Så skal de i gang. De må gerne arbejde hver for sig eller to og to. Når de er færdige med to sider i bogen, 24

24 skal de arbejde videre i deres kopimapper, hvor de selv kan vælge hvilke ark de vil arbejde med. 2.d og 2.e har den samme lærer. 2.d er fagligt stærkere end. Først arbejder de med addition, bagefter starter de på Areal. Under emnet areal støder de på begreber hel, halv, dobbelte. Der er mange elever, som ikke har styr på begreberne, derfor har de svært ved at løse opgaverne rigtigt. Set i forhold til 2.a, så har de helt styr på ener og tiere, men når eleverne skal løse regnestykker med 10 overgang, så støder de på et problem. I alle klasser er eleverne meget afhængige af taltavlen. Når de arbejder med addition eller subtraktion, så bruger de bare taltavlen uden at tænke og når det drejer sig om små tal, så bruger de finger, fx, 5 4 eller 9 7. Ud fra de samtaler, jeg har haft med matematiklærerne fra de nævnte klasse, kan jeg uddrage nogle hovedpointer, som lærerne giver udtryk for: 1) Lærerne mangler viden om matematikvanskeligheder og deres kendetegn; 2) Lærerne har den overbevisning, at matematikvanskeligheder først begynder at vise sig på mellemtrin og er ikke så tydelige i indskoling; 3) Lærerne har den holdning, at bare eleverne træner mere, så kommer forståelsen senere. 4) Lærerne konstaterer barnets aktuelle niveau, men arbejder ikke videre med barnets potentiale. Hovedårsagen til dette angives at være tidsmangel. Som konklusion på dette afsnit vil jeg sige, at de fleste opgaver i de pågældende matematiktimer var kontekst uafhængige. Der mangler undervisningssituationer samt regnehistorier, hvor eleverne selv skal reflektere over og vælge den rigtige regningsart til at løse problemet. Mange gange har jeg oplevet, at eleverne havde svært ved at bestemme om det var addition eller subtraktion de skulle anvende, selv om konteksten var hverdagsrelateret. Det, der undrede mig mest, var at alle lærerne og den pædagog, jeg talte med, aldrig har brugt ordet cifre i deres undervisning og det på trods af, at de har års erfaring. Hvilken talforståelse taler vi om hos eleven, hvis de ikke er blevet præsenteret for tallets byggesten, som cifrene er. Hvordan får vi tallet 11, når vi kun 25

25 har 10 cifre i vores talsystem? Og hvilke 10 cifre er de så? Hvad så med 10, er det et ciffer eller et tal? Analyse af empirien og fortolkning Nu vil jeg analysere mine observationer ved hjælp af den teori, jeg har beskrevet før. Jeg vil først konkretisere nogle af de punkter, som jeg mener, kan lede frem til at elever kommer i matematikvanskeligheder. 1. Elevernes manglende kendskab til tallene efter de første 10 tal og selve forståelsen af tallets opbygning (herunder cifre) og tallets sammensætning (fx, at 8 er det samme som 2+6 eller 3+5). 2. Eleverne kan talremsen, men har svært ved at forbinde talord med talsymboler, fx, hvordan 18 ser ud? 3. Eleverne har svært ved at skelne mellem enere og tiere. De støder på et problem ved 10 overgang (også i 2. klasse). De mangler forståelsen for titalsystemets opbygning. 4. Stor afhængighed af taltavlen og fingertælling, selv om det drejer om små tal, fx, 5 4 (i 2. klasse). 5. Mangel på dialog i undervisningen mellem læreren og elever og eleverne indbyrdes, hvor eleverne kan diskutere og argumentere for deres fremgangsmåde eller regnestrategier. 6. Uro i klassen, svært for eleverne at koncentrere sig. Nu vil jeg analysere disse punkter ved hjælp af den viden, vi har fra forskning på dette område. Jeg vil også argumentere for hvorfor det er vigtigt at arbejde grundigt med elevernes talforståelse og hvorfor det er vigtigt at fange de elever, som kan komme i matematikvanskeligheder, hurtigst muligt. De første 4 punkter drejer sig om talforståelsen, dvs. den basale viden, som er grundlæggende for matematikken. Almindeligvis mestrer børn forskellige tælleprincipper, når de er 5 år. Disse tælleprincipper er: - Flyttetælling barnet flytter et objekt ind eller ud af mængden, mens tallet siges; 26

26 - Berøringstælling barnet berører hvert enkelt objekt, mens tallet siges; - Pegetælling barnet peger på objektet og siger talordet; - Nikketælling barnet bruger indretale (Vygotsky) og nikker; - Tænketælling barnet tæller i hovedet; - Fingertælling barnet bruger sine finger til at tælle. Men for børn i matematikvanskeligheder er det svært at beherske disse principper, når de er 7 år. Ifølge Olav Lunde, omkring 80 % af elever med matematikvanskeligheder bruger fingertælling i første klasse, 40 % i tredje og 20 % i femte (Lunde, 2012, s.41). Her kan vi sige, at det er et af de kendetegn, som matematiklæreren i indskolingen skal være opmærksom på til at spotte disse elever og at give dem den nødvendige støtte/hjælp med det samme. Det kan, fx, være at hjælpe eleven med at udvikle vedkommendes tællestrategier og med at flytte sig fra et tælleprincip til et andet og højere tælleniveau. Læreren skal undgå at eleverne bliver afhængige af taltavlen, fordi brugen at denne bremser udviklingen af elevernes tælle- og regnestrategier. Udvikling og beherskelse af tælleprincipperne er også afhængig af, hvilke erfaringer børn har haft i førskolealderen. Derfor bør en lærer/pædagog i børnehaveklassen ikke tage for givet, at børn ved og kan det de ellers anses for at burde vide og kunne, når de kommer i skolen. Det, som man kan konkludere ud fra de forskellige observationer og undersøgelser, er at der kommer flere og flere børn i skolen fra understimulerende miljøer. Derfor bør læreren huske at tage hensyn til disse børn. I den forbindelse er det vigtigt for læreren at kende elevernes forudsætninger. I Fælles Mål Børnehaveklassen tager man udgangspunkt i, at langt de fleste børn allerede inden de starter i skolen har kendskab til tal og mængder, og mange kan både lægge sammen, trække fra og dele i konkrete, virkelighedsnæresituationer (Undervisningsministeriet: Fælles Mål 2009, Faghæfte 23). Det grundlæggende arbejde på matematikområdet i børnehaveklassen består i at koble antal, talord og talsymbol (ciffer) sammen. Her er det meget vigtigt at være opmærksom på hvert enkelt barn og dets tidlige erfaringer, idet selve udgangspunktet i, at de fleste børn har kendskab til tal og mængde, når de kommer i skolen, kan være problematisk. Det viser den indsamlede empiri, jeg har lavet. De fleste børn kender talremsen (hvor langt op til?). Men, hvis man kigger på tal og mængde, så viser det sig, at ikke så mange børn har det nødvendige kendskab til 27

27 det, når de starter i skolen. Det er afhængig af det sociale miljø, barnet kommer fra og de erfaringer, barnet har haft adgang til i førskolealderen. Når børn kommer i 1. klasse, så har de fleste af dem udviklet uformelle strategier for problemløsning. Men læreren skal ikke regne med at alle børn har samme erfaringer med matematik. I hvilken grad børn udvikler forståelse for talbegreber og matematiske begreber i forbindelse med problemløsning, kommer an på, i hvilket omfang man både hjemme og i børnehaven er opmærksom på tal og deres brug ved problemløsningsaktiviteter. Mange børn har svært ved at forbinde de uformelle færdigheder, de har med sig, med den formelle matematik, de møde i skolen. Og hvis læreren i de første skoleår tager udgangspunkt i lærebog, dvs. den formelle matematik, kan det betyde, at børn opgiver deres uformelle strategier for tidligt. Det skaber forvirring og misopfattelse hos børn, som kan have negativ indvirkning på deres forståelse. Før læreren præsenterer den formelle matematik for elever, skal der arbejdes grundigt med elevernes uformelle viden. Overgang fra konkret til abstrakt repræsentation er et kritisk punkt for dem. De kan svar rigtigt på: Hvis du har tre biller og får tre til, hvor mange har du nu? Men de er hjælpeløs med opgaven 3+3=? Derfor bør læreren starte med konkrete materialer og give eleverne mulighed at eksperimentere, undersøge, sammenligne med mængde/fysiske genstande og kun bagefter sætte tallene (symbol) på. (Man kan få inspiration til spændende aktiviteter og forskellige konkrete materialer her: På et senere tidspunkt, når eleverne bliver trygge ved at arbejde med de matematiske symboler, må læreren bruge rigelig tid til at arbejde med talsystemet og tallets sammensætning, da det er et af de vigtigste og mest komplicerede emner for børn i indskolingen. Forskningen viser at de fleste børn har svært ved at lære hvordan man sammensætter tallet. Sagt med andre ord, de skal vide, at fx 5 kan være præsenteret på forskellige måder: eller 1+4 eller 2+3. Læreren skal ikke regne med at alle elever i 1. klasse ved det. Derfor bør læreren tilrettelægge sin undervisning sådan, at eleverne får et kendskab og gøre erfaringer inden for emnet. Det er nødvendigt at igangsætte hensigtsmæssige aktiviteter, hvor eleverne, 28

28 gennem fælles handlinger og interaktiv mediering fra lærerens side, kan udvikle deres egen forståelse på dette område. Som jeg har nævnt før, har de fleste bogsystemer for indskoling fokus på færdighedstræning. Opgaverne er ensartede og kan nogle gange virke demotiverende, fordi de går ud på, at eleverne skal udregne konkrete regnestykker uden at tænke på fx, addition/subtraktion som sådan. De tvinger ikke eleverne til at tænke eller reflektere over resultatet eller sammenhæng mellem disse to regningsarter. Inddragelse af spænding, gæt, gåpåmod i opgaverne kan styrke elevernes nysgerrighed og motivation, fx, Bagved en busk kan man se 6 ører. Det er kaniner, som gemmer sig bag ved busken. Hvor mange kaniner er der? eller Bag fra et hegn kan man se 8 poter. Hvor mange katte er der bag ved hegnet? Matematiske opgaver skal være med til at udvikle elevernes evner til at se mønstre og sammenhæng, sammenligne og udpege ligheder og forskelle i regnestykkerne, som eleverne skal løse. Eksempler på opganerne: 1) Matematiske udtryk på tavlen: 5+3, 4+3, 6+3, 8-3, 7-3, 9-3. Eleverne skal udpege ligheder og forskelle på disse udtryk. 2) 5+3, , , 9-3 Hvad har hvert enkelt par til sammen? 3) 1+1, 2+1, 3+1, 4+1, 6+1, 7+1 Hvad kan I se i disse udtryk? (Det er ikke tilfældigt, at der mangler 5+1) 4) 12-2=10, 14+1=15, 12-10=2, 15-1=14, 10+2=12, 10-8=2, 8+2=10, 10-2=8, 15-14=1 Eleverne skal fordele regnestykkerne, som har noget til fælles, i grupper og begrunde deres måde at gruppere dem på. Denne slags af opgaver er med til at udvikle den matematiske opmærksomhed hos eleven og evnen til at se forskellige sammenhænge mellem tallene. Ved hjælp af sådanne opgaver styrker læreren elevens matematiske kompetencer, som ellers er underprioriteret i indskolingen, såsom tankegangskompetence, ræsonnementskompetence og kommunikationskompetence. Eleven kan ikke nøjes med at regne stykkerne ud, han/hun bliver nødt til at finde svar på spørgsmålet og argumentere, begrunde eller forklare sit svar. Her kan jeg henvise til den russiske metode, som den alternative metode man bruger i forskningsprojektet i Norge. 29

29 Da eleverne er forskellige og læreren er forpligtet til at tilgodese hver enkelt elevs behov, så skal læreren differentiere sin undervisning. Det kan læreren gøre på forskellige måder. Det vigtigste er at det giver mening for hver elev. Opgaverne kan være med det samme indhold, men eleverne kan løse dem på forskellige måder, alt er efter elevernes niveau. Denne slags af opgaver kan støtte elevernes kreativitet og undersøgende tilgang til den matematiske arbejde. Her er eksempler på opgaverne: 1) Skriv regnestykker med addition, hvor summen giver 12. 2) Skriv regnestykker med subtraktion, hvor man trækker 8 fra. Regn dem ud. 3) I har tallene 10, 8, 2, 4, 6. Skriv regnestykker med subtraktion. (Der kan være 7 regnestykker) 4) 2 Hvilke cifre skal der stå efter 2, så vi får tallene, som er mindre end 29? Skriv alle mulige varianter og begrund dit svar. Ved hjælp af disse opgaver får eleverne det samme indhold, men differentiering forgår på den måde at de stærke elever kan nå at skrive flere regnestykker, mens de svage elever kan nå at skrive et par stykker. Nå læreren samler op på opgaverne, eleverne får mulighed at styrke deres kommunikations- og ræsonnementskompetence, fordi de skal begrunde eller forklare deres svar. En gruppe af eleverne kan formidle sine metoder at løse opgaverne på, mens den anden gruppe kan få kendskab til metoder, som er muligvis er ny for dem. I punkt 5 skriver jeg om dialog i undervisningen. Her tænker jeg ikke på den dialog, hvor læreren spørger om facit, men derimod på den aktive og faglige dialog mellem læreren og eleverne eller eleverne indbyrdes, dvs. dialogen, hvor eleverne begrunder deres svar og udveksler deres strategier. Hvis vi vender os mod Vygotskys udviklingsteori, så kan vi se, at han lagde stor vægt på sprogets betydning i læringsprocessen. For Vygotsky, er sproget både det sociale redskab til overføring af strategier og det kognitive redskab til etablering og lagring af internaliseret viden. Sproget er et kulturelt produkt sagde Vygotsky og det har både en social og en kognitiv funktion (Vygotsky, 1934). Ud fra zonen for nærmeste udvikling kan vi definere et vigtigt metodisk princip, som er at læreren skal tilrettelægge medieret læring ( scaffolding på engelsk eller den støttende stillads som man kalder det på dansk). Sagt med andre ord, betyder det, at læreren skal planlægge en undervisning, som er præget af dialog. Undervisning, hvor der er 30

30 udstrakt kommunikation mellem aktørerne, vil være et godt udgangspunkt for god undervisning. Lærerens opgave er således ikke bare at overlade eleverne til sig selv, således at de skal opdage det hele på egen hånd, eller omvendt, at fortælle eleverne præcis hvad og hvordan de skal gøre. Læreren bør give eleverne den nødvendige hjælp/støtte, så de kan gå videre i deres forsøg på at finde en løsning. Det sker gennem dialog og fælles handlinger. Vygotsky mener, at den læring, der forgår under samarbejde, er meget vigtig, for det er læring der styrer barnets udvikling. Læring tager udgangspunkt i fælles handlinger. Bagefter kan barnet udføre denne handling på egen hånd, og når det sker, så er det tegn på, at barnet har udviklet sig et skridt frem (dvs. har lært noget). Forskningen viser, at den sprogligt baserede undervisning bidrager til, at elever, som ellers præsterer lave resultater, lærer mere og løser flere opgaver, end de gør, hvis de arbejder på den traditionelle måde, som er baseret på de skriftlige opgaver. Ifølge Vygotsky, bidrager en sproglig mediering til at de højere psykologiske processer dannes og opretholdes. Det er ved brug af sproget et barn får en aktiv kontrol over sine kognitive processer. Til at udvikle en effektiv selvregulering skal barnet først lære at følge verbale instruktioner (ydre kontrol). På et tidspunkt overtager barnet selv kontrol over sine aktiviteter ved hjælp af indre tale. Den indre tale fremmer til gengæld en bevidst forståelse af det, barnet gør. I det sidste punkt af empiri analysen står der, at der er uro i undervisningen og at eleverne har svært ved at koncentrere sig. I nutiden, hvor inklusion står centralt i folkeskolen, skal læreren huske at tage hensyn til alle elever, både til de stærke og til de svage. Som fagfolk ved vi, at der hvert år kommer flere og flere elever, som har problemer med koncentration, hukommelse, perception, opmærksomhed og tænkning (de højere mentale funktioner, som Vygotsky var også meget optaget af). Ifølge Vygotsky, er udvikling af de højere mentale funktioner en del af barnets sociokulturelle udvikling. Disse funktioner er nemlig ikke færdigt udviklede og ved den rigtigt tilrettelagte undervisning kan læreren igangsætte eller videreudvikle de nødvendige processer hos eleven. Her taler vi igen om elevernes bevidste forståelse af det, de gør. For bevidsthed om og viljestyrket kontrol af en kognitiv proces udvikler de højere psykologiske processer. Ved hjælp af bevidsthed og selvregulering lærer barnet også at kontrollere sin adfærd. Derfor mener jeg, at det er vigtigt at have tæt samarbejde med PPR. Læreren har brug for ekstra viden (psykologisk og 31

31 specielpædagogisk) for at kunne tilrettelægge sin undervisning bedst muligt til gavn for alle elever og for at kunne håndtere de forskellige situationer, som opstår i undervisningen. Her vil jeg henvise til en ukrainsk pædagog Sukhomlinsky, som var overbevidst om, at uro og larm er uacceptabelt i indskolingen. Efter mange års erfaring, kom han frem til at børn ikke bliver så trætte af deres mentale arbejde, men mere af den irritation, som opstår på grund af larm og uro. Hans råd til indskolingslærere er lad de små skolebørn længst muligt nyde det nødvendige gode for deres mentale udvikling, som stilhed/arbejdsro er, og så bliver det ikke for kaotisk for dem og de får mulighed for fordybelse i det, de skal lære. De kan koncentrere sig og ikke bliver forstyrret af hinanden. (min oversættelse fra russisk). Det er mere gældende nu end nogensinde. I klasseværelset, hvor inklusion af elever med forskellige forudsætninger er prioriteret højt, spiller ro og fordybelse en væsentlig rolle for alle elever i klassen. Det er op til hver enkelt lærer hvilken slags kultur han/hun vil indføre i sin undervisning og hvordan. Det, der er vigtigt, er at læreren opbygger gode relationer til hver enkelt elev og hjælper eleven til at etablere en god relation til fællesskabet, som eleven befinder sig i, dvs. klassen eller holdet. Resultater Nu vil jeg samle op på de resultater, jeg er kommet frem til i min undersøgelse. Først og fremmest er det vigtigt at pointere en gang til, at talforståelsen er den første byggesten i det solide matematiske fundament. I de første år er det vigtig og grundlæggende at have forståelsen af talsystemet og at forstå principperne for og sammenhængen mellem de fire regningsarter. Lige nu ser det ud til, at det er regnefærdigheder, der er prioriteret mest i indskolingsundervisningen og ikke forståelsen. Det bør man lave om på, hvis man vil forebygge vanskeligheder i matematikken, for hvis børn allerede i børnehaveklassen oplever, at matematik og selve tallene er noget abstrakt og uforståeligt, så får de nederlag og præstationsangst helt fra starten og tør ikke at eksperimentere med tal, heller ikke at indgå i dialog om det. De har et klar svar til alle spørgsmål, læreren kan stille: Det ved jeg ikke. Lindenskov, Lunde og Magne, er, lige som mange andre forsker, enig om at man kan spotte elever, som kan komme i matematikvanskeligheder, allerede i 32

32 førskolealderen. Den uformelle viden, som børn har med sig, når de kommer i skolen, er et afgørende grundlag for at kunne forstå den formelle matematik og kunne mestre de grundlæggende færdigheder. Ifj. Lunde, peger forskning på, at hovedårsagen til indlæringsvanskeligheder er en kløft mellem et barns nuværende viden og den undervisning, der gives i skolen. Så falder barnet i de huller, som Lindskov beskriver, med det samme. Her, mener jeg, spiller de tre førnævnte begreber sammen: regnehuller, livsmatematik og matematikmestring. Undervisningen tager udgangspunkt i den formelle matematik, som er præsenteret i lærebøger, dvs. meget abstrakte og fjernet stof fra barnets uformelle viden. Det strider imod det, hvad Magne siger, når han beskriver livsmatematik og derfor gør det vanskeligt for barnet at forstå undervisningen fra starten. Det resulterer i, at barnet falder i regnehulle på grund af manglende forståelse og derfor ikke kan mestre matematikken på det niveau som læreren/skolen forventer. Det er dokumenteret, at forståelsen kommer ikke af sig selv. Det er ingen hjælp at vente og se, eller udsætter skolestarten. Tiden i sig selv løser ikke sådanne vanskeligheder (Lunde, 2012:67). Men med det rette hjælp og tidlig indsats kan læreren fastholde barnets motivation for at lære matematik og reducere risiko for at udvikle matematikangst hos barnet. Der er mange forsker, som peger på, at læreren skal bruge mere tid til at arbejde med elevernes talforståelse til at undgå eller forebygge matematikvanskeligheder. Det næste vigtige punkt. Selv om det står i lærervejledning, at lærerne skal inddrage konkrete materialer, især når de arbejder med talforståelsen, det ikke er altid lærerne ved, hvordan de kan anvende disse materialer i forskellige situationer. Derfor tager læreren udgangspunkt i det abstrakte (dvs. tal) og kun en gang imellem forsøger at støtte det med konkrete materialer. Desuden tager læreren udgangspunkt i en matematikbog og ikke i selve det emne, som børnene skal arbejde med. På den måde prioriterer læreren at gå bogen igennem i stedet for at få forståelsen med. I dette tilfælde er målet for matematikundervisning ikke at eleverne lærer noget og forstår det de laver, men at nå at lave alle opgaver i bogen. Man kan også sige, at bevidstheden om hvordan man lærer, er et underprioriteret område i indskolingen. Her vil jeg igen henvise til den ukrainske pædagog og didaktiker Vasiliy Sykhomlinsky, som i sin bog 100 råd til læreren sagde: 33

33 Lærerens arbejdstid på mellemtrin og i udskoling afhænger af, hvordan indskolingslæreren arbejder. Det, der tager mest af lærernes kræfter og tid er en uendelig opfyldning på de huller, eleverne har i deres viden og forståelse. (Sykhomlynsky, 1981, s.51) En af de vigtigste opgaver for en indskolingslærer, mener han, er at lære barnet at lære. Det gør man gennem dialog i undervisning og det er lige præcis det, som indskolingslærere underprioriterer. Det understregede Vygotsky også: Barnet, som er lige kommet i skolen, begynder at få undervisning, men det er ikke i stand til at lære endnu. Det at lære barnet at lære er derfor en af de vigtigste af lærerens opgaver, som er på lige fod med faglige kundskaber og færdigheder (Vygotsky, 2008, s.328) Endvidere fokuserer lærerne mere på elevernes aktuelle niveau end på at udnytte elevernes potentiale. Her vil jeg sige, at lærerne mangler viden og efteruddannelse. Som Lene Østergaard Johansen siger i sin artikel, som blev nævnt før, er det vigtigt at lærerne får mulighed at tilegne sig viden og indsigt i de forskellige former for vanskeligheder og hvordan de kan støtte deres elever, som befinder sig i matematikvanskeligheder. Undervisningen og elevens læreproces er ikke det samme som elevens egen indre brug af det, der læres. En rigtigt organiseret udvikling for eleven og et godt tilrettelagt læremiljø i førskolealderen fører til barnets og elevens intellektuelle udvikling og omvendt, hvis barnet ikke får de nødvendige erfaringer, så er det svært for barnet at leve op til de forventninger, som skolen og læreren har, når det kommer i skolen. Gersten, Jordan og Flojo mener, at det er vigtigt at undersøge ved skolestart, hvordan eleven kan sammenligne tal, dvs, finde hvilket tal, der er størst; om eleven har gode tællestrategier og kan klare enkle aritmetikopgaver, fx, (Lunde, 2012, s.107). Her mener jeg, man tager fejl, hvis man forventer, at børn kan det, når de kommer i skolen. For igen er alt afhængigt af de erfaringer, barnet har fået og det sociale miljø det kommer fra. Det er ikke hensigtsmæssigt at stille så høje krav og forventninger til de danske børn. Det står heller ikke i bekendtgørelsen for børnehaveklassen, at børn skal kunne klare de enkle aritmetikopgaver. Men det er vigtigt at undersøge, hvor stor talforståelsen hver enkelt elev har med sig, når den starter i skolen. Ved en tidlig identifikation af vanskelighederne, vil man kunne forebygge mange af de store, omfattende matematikvanskeligheder, mener mange 34

34 forskere. For læreren bør altid tage udgangspunkt i og bygge videre på det elever kan og ved. I virkeligheden tager læreren tit udgangspunkt i det matematiske sprog og modeller og så kan børnene anvende konkret materiale, hvis de har brug for det. Læreren glemmer at tage udgangspunkt i børnenes erfaringer, dvs. at gå fra de konkrete objekter til de matematiske symboler, så talforståelsen kan følge med. Undervisningen i skolen skal have en udviklingsværdi, derfor bør den løbe forud for udviklingen og trække den med sig. Eleverne skal lære at observere forskellige processer, analysere dem og ud fra det drage selvstændige konklusioner. Eleverne skal lære at tænke højt, så de bliver mere bevidste om deres egne og andres løsningsstrategier/fremgangsmåder. Lærerens opgave er således at vejlede og støtte eleverne i deres læring og fremme deres udvikling. Det er ikke kun fagligt stof, der skal være fokus på i timen, læreren bør også gennemtænke hvordan og ved hjælp af hvilke aktiviteter han/hun kan videreudvikle kognitive evner og psykologiske processer hos eleven. Visuelle hjælpemidler, som fysiske genstande, forskellige kort, tegninger og tabeller spiller en væsentlig rolle i matematikundervisningen. Brugen af visuelle hjælpemidler giver eleverne mulighed for at berøre, flytte og eksperimentere med dem. Det styrker elevernes undersøgelseskompetence og aktiverer forskellige sanser (syn, hørelse, tale og motoriske og taktile sanser). Eleverne udvikler derfor en bedre forståelse for de matematiske processer, de skal tilegne sig. Ud over det faglige stof, lærer eleverne også at bruge visuelle hjælpemidler i selvstændigt arbejde. Diskussion og metodekritik I dette kapitel forsøger jeg at forholde mig kritisk til min undersøgelsesmetode, som er baseret på mine observationer af undervisning og samtaler med matematiklærere. Jeg vælger at indsamle empirien på denne måde, fordi min opgave tage udgangspunkt i den virkelige praksis, som forgår i matematikundervisningen i hverdagen. Når man observerer en undervisningssituation, så vælger man at fokusere på noget, man har interesse for. Her kan jeg sige, at noget kunne jeg godt overse eller gå glip 35

35 af, selv om jeg forsøgte at være objektiv. Jeg kan også sige, at jeg havde i nogle situationer mere tid til at observere, mens det var en enkelt dobbelt lektion i de andre situationer. Dvs. at jeg ikke altid havde nok tid til at få et rigtigt indblik i de forskellige aktiviteter, som forgik før eller efter min observation. Der er således en risiko for, at jeg kan have misforstået mål eller mening med aktiviteterne i den enkelte undervisningssituation. Læreren kan også have haft en intention med aktiviteterne, som i sidste ende er blevet til noget andet. Det kan ske i praksis, selv om læreren har planlagt undervisningsforløbet godt. Jeg kunne selvfølgelig bruge andre eller flere metoder til at indsamle empirien til denne opgave, så den blev mere pålidelig. Men i denne tilfald har jeg fortaget en lille undersøgelse, som gælder kun for de skoler, hvor jeg fik lov til at observere praksis. Alligevel, hvis man kigger på forskning på dette område og den teori, jeg har beskrevet tidlige, så passer mine observationer med det, som forskning peger på. De resultater, jeg kom frem til, tyder også på, at elevens talforståelse er en vigtig kendetegn for at han/hun kan komme i matematikvanskeligheder. Argumenter og konklusion I problemformuleringen stiller jeg spørgsmål om: 1. Hvordan arbejder læreren med elevernes talforståelse i de første skoleår? Det har jeg beskrevet i empiri afsnit, som består af mine observationer fra virkelighedspraksissen. Jeg vil herefter fremhæve nogle af mine argumenter, som, jeg er overbevidst om, er væsentlige for lærerprofessionen. 2. Hvorfor er det vigtigt at arbejde grundigt med elevernes talforståelse?. Det er vigtigt fordi: - Læreren/pædagogen skal ikke tage for givet, at børnene ved og kan det, de bør kunne, når de kommer i skolen. Børnenes viden og kunnen er afhængig af de erfaringer, de har fået i førskolealderen, dvs. i daginstitutioner og i det sociale miljø, de kommer fra. - Talforståelse er matematikkens byggesten. Uden talforståesle kan man ikke lære matematik. 36

36 - Talforståelsen kommer ikke af sig selv. Der skal en godt tilrettelagt undervisning til, som gennem interaktiv mediering mellem lærer og elev skaber erfaringer og forståelse for det, eleven gør/lærer. - Talsystemet og tallets sammensætning er et af de vigtigste og mest komplicerede emner i indskolingen, som overordnet talforståelse er baseret på. Derfor bør lærerne prioritere at indlære de grundlæggende matematiske funktioner langsomt, så eleverne få udbytte af mere tid og mere hjælp hurtigt inden for klassens rammer. - Ved grundig, systematisk og målrettet arbejde med elevernes talforståelse kan læreren forebygge de matematikvanskeligheder, eleverne kan komme i. - Det er lettere at forebygge matematikvanskeligheder helt fra starten end at rette op på dem resten af skolegangen. 3. Hvorfor er det vigtigt at fange elever, som kan komme i matematikvanskeligheder hurtigst muligt? Det er fordi: - Hvis læreren kan spotte disse elever allerede i børnehaveklasse eller senest i 1. klasse og give dem den nødvendige hjælp/støtte med det samme, så er der større chance for at matematikken vil lykkes for dem. - Jo tidligere læreren får øje på elever, som kan komme i matematikvanskeligheder, jo større mulighed er for at reducere elevernes nederlag og forebygge præstationsangst og på denne måde er der en stor chance at fastholder elevernes motivation. - Hvis en elev kommer fra et understimuleret miljø og ikke har de nødvendige erfaringer, så kan læreren i tide igangsætte hensigtsmæssige aktiviteter, så eleven kan tilegne sig de manglede kundskaber. Læreren kan således tilrettelægge undervisning, som er baseret på elevernes potentiale (zone for nærmeste udvikling). Australske og irske erfaringer viser, at tidlig intensiv indsats i talforståelse betyder en accelereret matematiklæring hos de elever, der præsterer svagest (Lene Lindenskov og Peter Weng, 2013). Nyere forskning viser, at vi kan reducere antallet af elever med forskellige indlæringsvanskeligheder med op til 70 % ved at begynde tidligt med tiltag, men 37

37 også ved at tænke forebyggende. (Lunde, 2012, s.81) Dette citat betoner endnu mere min holdning, at undervisning skal være forebyggende. Selv om de fleste lærere og pædagoger kender til Vygotsky udviklingsteori, til zonen for nærmeste udvikling og den mediering undervisning, kan man alligevel ikke få øje på den i praksis. Det er svært for mig at sige, om det er fordi de ikke ved, hvordan de kan implementere den i praksis, eller fordi det er nemmere at gå den mest bekendte vej, elles fordi de ikke kan koble teori og praksis sammen og tænker at teori og praksis fungerer hver for sig. Vores forståelse er afhængig af vores erfaringer. Selv om man læser den samme teori, så fortolker man og forstår den på forskellig måder, alt afhængigt af hvilken baggrund man har. Det samme sker når jeg læser Vygotsky på baggrund af mine egne erfaringer som jeg har fået i det miljø, jeg er opvokset i (et miljø, som var præget af Vygotsky tænkning). Når man har en anden sociokulturel baggrund, så relaterer man anderledes til hans teori, i forhold til ens egne erfaringer. Ifølge Vygotsky, er menneskelige aktiviteter kulturelt og historisk bestemt og har i forskellige samfund forskellige mål og bevæger sig i forskellige retninger. Derfor er det forskelligt, hvilke erfaringer man har fået ud fra det historisk givne kulturelle fællesskab, som omgiver hvert enkelt individ. På denne måde har jeg en anderledes tilgang til matematikundervisning end den traditionelle undervisning, man kender til i det danske skolesystem. Men i bund og grund drejer det sig om at skabe en god undervisning for børn, så hvert enkelt barn bliver udfordret mest muligt i forhold til dets eget niveau og tilegne sig de nødvendige kompetencer til at begå sig i forskellige situationer i hverdagen. Læreren møder elever med forskellige evner og holdninger til det at lære. Derfor er det meget vigtigt, at der allerede fra skolestart arbejdes på, at eleverne kommer til at føle sig trygge ved faget og bliver glade for at lære. Mange elever forventer, at alt det, der forgår i skolen, skal være spændende, men de er nød til acceptere, at noget også er hårdt arbejde. Fra matematiklærerens side er det vigtigt at indhente informationer om elevernes forudsætninger, potentialer, motivationer og behov. Disse informationer er 38

38 nødvendige for læreren til at kunne vurdere elevernes vanskeligheder og derefter tilrettelægge en differentieret undervisning. For læreren er det vigtigt at have sin faglighed i orden. Læreren skal være i stand til at begrunde det faglige indhold, arbejdsmetode og formål med sin undervisning, uanset hvilket trin man underviser på, samt at undervise med mave, hjerte og hjerne mener Lene Christensen. Hun anbefaler også, at man allerede på et tidligt tidspunkt træner faglig læsning og lader eleverne skrive og tegne deres løsninger i et kladdehæfte. Perspektivering I min opgave har jeg undersøgt, hvordan matematiklærerne i indskolingen på de skoler, hvor jeg fik lov til at observere, arbejder med elevernes talforståelse. Intentionen var at få indblik i den reale praksis og at opnå forståelsen for hvorfor der er så mange elever i Danmark, som kommer i matematikvanskeligheder. Med den viden og de erfaringer, som jeg har i min bagage (både fra Ukraine og Danmark), har jeg meget bred forståelse for problemet. Desuden har jeg indsigt i og mulighed for at implementere den forebyggende undervisning i praksis. Jeg siger ikke, at det er nemt at gøre. Men fordi jeg kan se problemet fra en anden vinkel, så kan jeg gribe ind på en andeles måde. Matematik er et kreativ fag og børn skal ikke være bange for at undersøge og eksperimentere i matematiktimerne. Børn er generelt meget nysgerrige, når de starter i skolen. Derfor er det vigtigt at støtte deres nysgerrighed gennem undersøgende og eksperimenterende aktiviteter, og at give dem positive oplivelser. Hvordan kan vi gøre det? Først og fremmest bør vi, som faglærere altid følge med den udvikling som forgår i vores fag, dvs. vi bør læse faglitteratur. Med andre ord, vi skal udvikle os fagligt og kende til nye undersøgelser og tendenser i vores fag. Vi bør også læse psykologibøger angående børns udvikling for at få en bedre forståelse for de alderssvarende psykologiske processer, som forgår hos barnet. Den psykologiske viden kan hjælpe os til at tilrettelægge et godt undervisningsforløb, som igangsætter eller videreudvikler elevernes højere mentale processer. Det samme mener Lene Christensen, hun siger at læreren bør videreuddanne sig 39

39 løbende inden for både det faglige og det didaktiske område ved at deltage i kurser og læse faglige tidsskrifter. Læreren bør altid tage udgangspunkt i det, eleverne ved og kan og bør kende elevernes forudsætninger. I førskolealderen og i indskolingen er leg en dominerende aktivitet for børn. Ved inddragelsen af leg i undervisningen kan læreren motivere eleverne og fastholde deres opmærksomhed. Motivation er nøglen til succes. Jeg har skrevet før i min opgave, at visuelle hjælpemidler og mulighed for at arbejde med dem fysisk styrker elevernes forståelse og elevernes engagement i undervisningen. Læreren således har flere muligheder for at tilrettelægge forskellige aktiviteter med elementer af leg, men stadigvæk med fokus på det faglige emne. Det har jeg selv afprøvet i min praktikperiode i 2. klasserne. Alle elever var meget aktive og villige til at deltage i aktiviteterne. De elever, som var meget usikre i starten, fik lov til at observere først. Men de blev meget hurtigt klar til at være med. De fik positive oplevelser og styrkede deres selvtillid og selvværd. Jeg fik også gode tilbagemeldinger fra praktiklærerne, som sagde at de blev inspireret af mine metoder og kunne godt tænke sig at bruge dem i deres egen undervisning. Som eksempel på aktiviteterne, vil jeg nævne en boldleg, hvor vi træner de gode venner, dvs. to tal som giver 10 tilsammen. Den går ud på at jeg kaster bolden til hver enkelt elev i forskellig rækkefølger (dvs. alle elever skal være parate til at gribe den) og siger et tal fra 1 til 9. Den elev, som jeg kaster bolden til, skal gribe den og sige et tal, som er en god ven til mit tal. Hvis jeg siger 8, så skal eleven sige 2 osv. og så skal det gå hurtigere og hurtigere hver gang. En anden metode jeg har brugt i praktikken er den matematiske stafet. Den går ud på, at eleverne deles op i 2-3 hold. Hvert hold får det samme antal kort, svarende til antallet af elever på holdet, med forskellige opgaver (opgaver er ens for alle hold). En elev skal tage et kort, løse opgaven og skrive sit svar på tavlen. Når det er gjort, så er det næste elevs tur at gøre det samme osv. Det hold, som den første bliver færdig og løser alle opgaver rigtigt, vinder. Nu vil jeg præsentere en undervisningsskitse som et eksempel på en matematiktime i 1. klasse. I timen bruger jeg visuelle hjælpemidler og elementer af leg. Undervisningen er dialogbaseret mellem læreren og eleverne og eleverne indbyrdes. 40

40 Undervisningsskitse Faglige mål er at eleverne skal: - lære talsymbolerne i talområdet 0 til 10 - lære at koble talsymboler og talord - knytte et antal konkrete eller tegnede elementer til talsymbolerne i området 0 til 10 og omvendt tælle og knytte et talsymbol til at antal - have kendskab til og kunne benytte begreberne lige mange, mindre end, større end Matematiske kompetencer: Tankegangskompetencen Eleverne skal arbejde med spørgsmål Hvor mange? Er der lige mange? Hvor er der mindst? Hvor er der flest? Hvor meget er et tal mindre/større end det andet? Repræsentationskompetencen Eleverne skal bruge forskellige repræsentationer for talmængder i form af fx kort med fisk enkeltvis, kort med talmængde og talsymboler. De skal arbejde med at koble et antal med et talsymbol. Talsymbolet har et navn, som også skal kobles til talsymbolet og antallet. I forløbet stifter nogle elever måske for første gang formelt kendskab med talsymbolerne som repræsentanter for et givne antal. Et talord, som eleverne kender fra hverdagssproget, og som en del måske kender talsymbolet for, skal kobles med en forståelse af, at symbol 7 repræsenterer antallet 7 osv. Kommunikationskompetence Eleverne skal forklare deres handlinger og forstå andre elevers forklaringer. De skal lære at udtrykke sig matematisk. Materialer: Plastikkort med talsymbolerne 1-10, 10 kort med 1 fisk på hvert, kort med mængde op til 10, plastikkort med tegn >, <, =. 41

41 Aktiviteter: 1. Eleverne skal opbygge deres egen talrække fra 0 til 10. De har plastikkort med talsymboler 0-10 og 10 plastikkort med, fx fisk. Udover disse kort har de ikke noget på deres borde. Jeg forudsætter, at eleverne kender tælleremsen op til 10 og at de kender talsymboler Aktiviteten går ud på at eleverne nu skal koble ord, talsymbol og talmængde sammen og opstille en tallinje. Eleven tager en fisk, siger én og lægger den på bordet foran sig. Hvor mange fisk har vi? Nu skal de koble talsymbol på den mængde, som ligger foran dem. Der er 1 fisk. Hvad sker så, hvis vi tager èn fisk mere? Så tager de èn fisk mere, lægger den ved siden af den første. Hvor mange fisk har vi nu? Eleverne siger to og finder det næste tal 2, osv. Der forgår dialog undervejs, hvor eleverne tænker højt. Så kommer det gerne til at se sådan ud: og 1 og 1 og 1 og 1 og 1 og 1 og 1 og 1 og 1 Her snakker vi også om talstørrelse i forhold til hinanden og eleverne bliver præsenteret for matematiske symboler <, >, =. Først sammenligner vi antal fisk, fx 3 fisk og 5 fisk. Hvor er der flest af? Hvad kan vi sige om talerne 3 og 5? 3 er mindre end 5 eller 5 er større end 3? Hvor meget mindre/større? 2 mindre/større. Vi tager flere eksempler op. Måske kunne nogle af eleverne komme frem til en sådan forklaring: hvis et tal står til højre på tallinjen så er det tal større end det andet tal som står til venstre på tallinjen. Nu gør vi det omvendte, dvs. fjerner 1 fisk af gangen og tæller baglæns. Hvor mange er der tilbage? Når der kun er 1 fisk tilbage, hvad sker så, hvis vi fjerner den? Hvor mange fisk er der tilbage? Ingen. Det er 0. 42

42 2. Næste aktivitet. Pararbejde. Eleverne får kort med forskellige mængder op til 10. De skal hver især vælge 2 kort med en talmængde og finde de tilsvarende talsymboler og sammenligne dem ved hjælp af <, >, =. De kan evt. starte med at sammenligne 2 talmængder og bagefter koble talsymbol på. Efter det skal eleverne gøre det omvendte, dvs. sammenligne 2 talsymboler først og koble tilsvarende talmængde på bagefter. En differentieringsmulighed: de der har nemt ved talmængder skal arbejde med talsymboler. Når de er færdige med at opstille et eksempel hver, så skal de svare på følgende spørgsmål, som de stiller til hinanden: - Hvor mange, fx fisk, er der på det første kort? - Hvor mange, fx æbler, er der på det andet? - Er der lige mange? - Hvor er der mindst/flest? - Hvor meget er et tal mindre/større end det andet? Så opstiller de 2-3 eksempler mere. Her kan læreren, hvis der er behov for det, præsentere forskellige måder at sammenligne på. Fx: a) Ved hjælp af en-til-en korrespondance metoden b) Ved hjælp af en tallinje c) Ved hjælp af en talrække 43