Komplekse Tal. 20. november UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
|
|
- Grethe Dalgaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
2 Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N = {1,2,3,...}). Løsning af f.eks. x + 2 = 1 De hele tal Z (Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}). Løsning af f.eks. 2x = 1 De rationale tal Q (Q = { m n m Z, n N}). Løsning af f.eks. x 2 = 2 De reelle tal R (R = {alle endelige og uendelige decimaltal}). Løsning af f.eks. x 2 = 1 De komplekse tal C (C = {a + ib a,b R}).
3 Algebraens Fundamentalsætning. Ethvert n te grads polynomium p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, med komplekse koefficienter a 0,a 1,...,a n har præcis n komplekse rødder talt med multiplicitet. Specielt: Enhver 2. grads ligning ax 2 + bx + c = 0 med komplekse koefficienter a,b,c har to komplekse løsninger (talt med multiplicitet).
4 Indføring af de komplekse tal. Vi starter med at betragte punkterne i den 2-dimensionale plan: R 2 = {(a,b) a R, b R}. Vi udstyrer R 2 med to regneoperationer + og, som defineres på følgende måde: (a,b) + (x,y) = (a + x,b + y), (a,b,x,y R) (a,b) (x,y) = (ax by,ay + bx), (a,b,x,y R).
5 Regneregler Det er ikke svært at efterse, at der for disse regneoperationer gælder følgende regneregler for z,v,w R 2 : z + v = v + z z + (v + w) = (z + v) + w zw = wz z(vw) = (zv)w z(v + w) = zv + zw.
6 Indlejring af de reelle tal Vi identificerer det reelle tal a R med (a,0) R 2. Bemærk at der for a,b i R gælder: a + b = (a,0) + (b,0) = (a + b,0) = a + b. a b = (a,0) (b,0) = (a b,0) = a b. De indførte regneoperationer på R 2 passer således med de sædvanlige regneoperationer på R.
7 Første definition af de komplekse tal De komplekse tal C er mængden R 2 = {(a,b) a R,b R} udstyret med regneoperationerne + og indført ovenfor.
8 Tallet i. Elementet i := (0,1) R 2 har speciel betydning: i 2 = i i = (0,1) (0,1) = ( 1,0) = 1. Tallet i kaldes for den imaginære enhed. Bemærk, at der for ethvert b R gælder at i b = (0,1) (b,0) = (0,b). Dermed kan ethvert par (a,b) R 2 skrives på formen: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.
9 Anden definition af komplekse tal Et komplekst tal er et tal på formen: z = a + ib, hvor a,b R. Tallet a kaldes realdelen af z, tallet b kaldes imaginærdelen af z. Man benytter notationen: Re(z) = Re(a + ib) = a, og Im(z) = Im(a + ib) = b. Mængden af alle komplekse tal betegnes med C, altså: C = {a + ib a,b R}.
10 Regneoperationerne på C (revisited) Hvis vi som ovenfor skriver komplekse tal på formen a + ib, så kan regneoperationerne + og udtrykkes på følgende måde: (a + ib) + (x + iy) = a + x + i(b + y) (a + ib) (x + iy) = ax by + i(ay + bx). Bemærk specielt at produktet (a + ib) (x + iy) kan udregnes ved blot at gange parantesserne ud og huske på at i i = 1: (a + ib)(x + iy) = ax + aiy + ibx + ibiy = ax + i(ay + bx) + (i i)by = ax by + i(ay + bx).
11 Modulus og argument Grafisk repræsenterer vi et komplekst ( ) tal a + ib som punktet P = (a,b) eller vektoren OP a = b Modulus: Længden af OP kaldes for modulus eller den absolutte værdi af z, og den betegnes med z : z = a + ib = a 2 + b 2. Argument: Lad θ betegne vinklen i ] π,π], som vektoren OP danner med den reelle akse. Denne vinkel kaldes for argumentet for z og betegnes med Arg(z). Polar form af et komplekst tal: z = a + ib = z (cos θ + isin θ). (1)
12 Grafisk repræsentation af produktet af to komplekse tal. Betragt to komplekse tal z og w, og sæt θ = Arg(z), og φ = Arg(w). Vi finder så at zw = ( z (cos θ + isin θ)) ( w (cos φ + isin φ)) = z w (cos θ cos φ + icos θ sin φ + isin θ cos φ sinθ sinφ) = z w ( (cos θ cos φ sin θ sin φ) + i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) ) = z w ( cos(θ + φ) + isin(θ + φ) ). Vi har til sidst har benyttet additionsformler for cos og sin!
13 Kvadratrødder af komplekse tal. Det følger fra ovenstående, at ethvert komplekst tal z 0 har to forskellige kvadratrødder! Vi kan nemlig skrive: z = z (cos θ + isinθ), hvor θ = Arg(z). Vi kan da betragte tallene ± z ( cos( θ 2 ) + isin(θ 2 )). Vi finder så vha. foregående udregning [ ± z ( cos( θ 2 ) + isin(θ 2 ))] 2 = z z ( cos( θ 2 + θ 2 ) + isin(θ 2 + θ 2 )) = z ( cos θ + isin θ ) = z.
14 Hovedværdien af kvadratroden Vi sætter z = z ( cos( θ 2 ) + isin(θ 2 )), og dette tal kaldes for hovedværdien af kvadratroden for z. Bemærk specielt at Re( z) = z cos( θ 2 ) 0, idet θ 2 ] π 2, π 2 ]. Hvis θ π, er hovedværdien af z altså den af de to kvadratrødder, som har positiv realdel. Hvis θ = π, gælder at z ],0[, og vi finder, at z = z (cos( π 2 ) + isin(π 2 )) = i z.
15 Om løsning af 2. grads ligninger. Betragt en reel 2. grads ligning: ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0, Med de komplekse tal til rådighed har enhver sådan ligning to løsninger (som dog kan være sammenfaldende): r 1 = b + D 2a Her er D diskriminanten: og r 2 = b D, (2) 2a D = b 2 4ac.
16 Om løsning af 2. grads ligninger (fortsat) Hvis D > 0, er der 2 forskellige reelle rødder. Hvis D = 0, er der 2 sammenfaldende reelle rødder. Hvis D < 0, finder vi, at r 1 r 2 = b D 2a + i 2a = b D 2a i 2a. Løsningsformlen: r 1 = b + D 2a gælder faktisk også selvom a,b,c C. og r 2 = b D 2a
17 Den komplekse eksponentialfunktion Eksponentialfunktionen e x er som bekendt defineret for alle reelle værdier af x. Man kan udvide definitionen til også at gælde for komplekse tal, idet man benytter definitionen: e x+iy = e x (cos y + isin y), (x + iy C). Bemærk, at for et reelt tal x = x + i0 har vi e x+i0 = e x (cos(0) + isin(0)) = e x.
18 Fundamentalligningen for exponentialfunktionen: Den komplekse eksponentialfunktion opfylder den sædvanlige identitet: e z e w = e z+w, (z,w C). Bevis. Skriv z og w som z = x + iy, w = u + iv, hvor x,y,u og v er reelle tal. Vi har da e z e w = ( e x (cos(y) + isin(y) )( e u (cos(v) + isin(v) ) = e x e u (cos(y + v) + isin(y + v)) = e x+u (cos(y + v) + isin(y + v)) = e (x+u)+i(y+v) = e z+w.
19 Euler s formler: For ethvert reelt tal x gælder formlerne: cos(x) = eix + e ix, og sin(x) = eix e ix. 2 2i En anvendelse: Udregn integralet π 0 sin2 (x)dx. Vha. Eulers formel for sin(x) finder vi, at ( e sin 2 ix e ix ) 2 e 2ix + e 2ix 2 (x) = = 2i 4 Det følger derfor, at π 0 = ( e 2ix + e 2ix) = cos(2x). sin 2 (x)dx = [ 1 2 x 1 4 sin(2x) ] π 0 = π 2.
20 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter. En anden ordens lineær, homogen differentialligning med konstante koefficienter er en differentialligning på formen: hvor a, b, c er konstanter. ay + by + cy = 0, (3) Løsninger: En to gange differentiabel funktion y = y(t) defineret på et interval I er en løsning til (3), hvis den opfylder at ay (t) + by (t) + cy(t) = 0, for alle t i I.
21 Løsning af: ay + by + cy = 0. For at bestemme løsninger til (3) gætter vi i første omgang på en funktion på formen y(t) = e rt, hvor r er en konstant (reel eller kompleks!). Bemærk at y (t) = re rt og y (t) = r 2 e rt. Det følger derfor, at ay (t) + by (t) + cy(t) = ar 2 e rt + bre rt + ce rt = (ar 2 + br + c)e rt. Det fremgår altså, at y(t) = e rt er en løsning til (3) ar 2 + br + c = 0.
22 Løsning af: ay + by + cy = 0 (fortsat). Andengradsligningen ax 2 + bx + c kaldes for karakterligningen hørende til (3). Løsningen til (3) afhænger nu af løsningen til karakterligningen. Der er 3 tilfælde; svarende til om diskriminanten: D = b 2 4ac er positiv, nul eller negativ.
23 Tilfælde I: D > 0. I dette tilfælde har karakterligningen to forskellige reelle rødder: r 1 = b D 2a og r 2 = b + D. 2a Således har vi fundet de to løsninger e r1t og e r2t til (3). Dermed er alle funktioner på formen y(t) = Ae r1t + Be r2t, (4) hvor A og B er vilkårlige konstanter, også løsninger til (3). Man kan vise, at der ikke findes andre løsninger til (3). Vi siger, at (4) angiver den fuldstændige løsning til (3).
24 t 2 Grafen for funktionen 2e 2t + e t på intervallet [ 6,3].
25 Tilfælde II: D = 0. I dette tilfælde har karakterligningen dobbeltroden r = b 2a. Den fuldstændige løsning til (3) bliver så y(t) = Ae rt + Bte rt, hvor A og B er vilkårlige konstanter.
26 t 2 3 Grafen for funktionen e t + 2te t på intervallet [ 3,3].
27 Tilfælde III: D < 0. I dette tilfælde har karakterligningen de to komplekse løsninger: og Vi har her sat r 1 = b 2a i D 2a r 2 = b 2a + i D 2a k = b 2a og ω = = k iω, = k + iω. D 2a, Vi finder dermed løsningerne y(t) = C 1 e (k iω)t + C 2 e (k+iω)t, hvor C 1 og C 2 er konstanter.
28 Tilfælde III (fortsat) Her antager e (k iω)t og e (k+iω)t komplekse værdier. Husk imidlertid på, at e (k iω)t = e kt (cos(ωt) isin(ωt)), e (k+iω)t = e kt (cos(ωt) + isin(ωt)). Man kan dermed omskrive løsningerne til formen: y(t) = Ae kt cos(ωt) + Be kt sin(ωt), (5) som giver reelle løsninger når A og B vælges reelle. Man kan igen indse, at (5) angiver den fuldstændige løsning til (3)
29 50 t Grafen for funktionen e t (cos(t) + sin(t)) på intervallet [ 4,5].
30 Hooke s Lov. Betragt et lod af masse m, som er ophængt i en (vægtløs) fjeder. Vi forestiller os at loddet hænger stille (ligevægtsposition), men hvis man trækker vertikalt i loddet, vil fjederen påvirke det med en modsatrettet kraft, som er propertional med loddets afstand til ligevægtspositionen: hvor F fjeder = ky, y = loddets afstand til ligevægtspositionen. k er en positiv proportionalitetskonstant. Samtidig giver Newton s 2. lov, at F fjeder = m d2 y dt 2,
31 Hooke s Lov (fortsat). Vi opnår således differentialligningen: m d2 y dt 2 = ky, dvs. d 2 y dt 2 + k y = 0. (6) m Den tilhørende karakterligning er x 2 + k m = 0, Den har løsningerne: k r = ±i m. Dermed bliver den fuldstændige løsning til (6) hvor ω = k m. y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt),
32 x -1-2 Grafen for funktionen 2cos(t) + sin(t) på intervallet [ 8,8].
33 Kompleks differentiabilitet I det følgende betragtes en funktion f : C C (f.eks. f (z) = e z for alle komplekse z) Definition. Lad z 0 være et fast punkt fra C. Vi siger da at f er kompleks differentiabel i punktet z 0, hvis grænseværdien f (z) f (z 0 ) c := z z0 lim, z z z z 0 0 eksisterer. I bekræftende fald kaldes c for den afledede af f i z 0 og betegnes med df dz (z 0) eller f (z 0 ). Hvis f er kompleks differentiabel i alle punkter af C, siges f at være C-C-differentiabel i C.
34 Eksempler på C-C-differentiable funktioner: Polynomier: p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, hvor a 0,a 1,...,a n C. Den komplekse exponentialfunktion: f (z) = e z. Sammensætning og regning med C-C-differentiable funktioner, f.eks. f (z) = (z 4 + 1)e z2. De komplekse cosinus og sinus funktioner f (z) = cos z og g(z) = sin z.
35 Egenskaber for C-C-differentiable funktioner For en C-C-differentiabel funktion f : C C gælder der, at Hvis f (z) R for alle z, så er f konstant. f er automatisk uendeligt ofte C-C-differentiabel. Der findes en følge a 1,a 2,a 3,... af komplekse tal, såldes at f for alle z i C har fremstillingen f (z) = n=0 a n z n ( = lim a0 + a 1 z + a 2 z a N z N), N F.eks. gælder der, at e z = n=0 1 n! zn. Hvis f er begrænset, så er f konstant [Liouville s Sætning].
36 Algebraens Fundamentalsætning. Ethvert n te grads polynomium p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, med komplekse koefficienter a 0,a 1,...,a n har præcis n komplekse rødder talt med multiplicitet.
37 Skitse af beviset for algebraens fundamentalsætning Antag at p ikke har nogen rødder i C. Så kan man betragte funktionen f (z) = 1 p(z), (z C), og man kan let argumentere for, at f er C-C-differentiabel og begrænset. Ifølge Liouvilles Sætning gælder derfor at 1 p(z) = f (z) = C og dermed p(z) = 1 C, for en passende konstant C.
38 Skitse af beviset for algebraens fundamentalsætning (fortsat) Ovenstående viser, at ethvert polynomium p(z) af grad mindst 1 (dvs. som ikke er konstant) har mindst én rod ζ 1 i C. Så bliver kvotienten et nyt polynomium. q(z) = p(z)/(z ζ 1 ) Hvis q har grad mindst 1, så har q mindst en rod ζ 2, og dermed har p(z) = (z ζ 1 )q(z) mindst to rødder ζ 1 og ζ 2. Sådan kan man fortsætte, og man ender med fremstillingen p(z) = a n (z ζ 1 )(z ζ 2 ) (z ζ n ), hvor ζ 1,ζ 2,...,ζ n er rødderne for p.
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereKomplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereKomplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Læs mereKomplekse tal. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereDe Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.
De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.
Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne
De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereLineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =
Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereEulers equidimensionale differentialligning
Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan findes her. PDF. Henrik S. Hansen, version 3.
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Opgaver til noterne kan findes her. PDF Facit til opgaverne kan findes her. PDF Henrik S. Hansen, version 3.1 0 Indhold Tallenes udvikling... 1 Tallenes udvikling...
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereKOMPLEKS ANALYSE. noter til matematik beta H.A. NIELSEN
KOMPLEKS ANALYSE noter til matematik beta H.A. NIELSEN institut for matematiske fag aarhus universitet 23 KOMPLEKS ANALYSE H.A. NIELSEN Indhold. Komplekse tal 2 2. Elementære funktioner 3. Holomorfe funktioner
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereKursusnoter til BasisMat
Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold
Læs mereKomplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006
Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereGUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2
GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereDiMS 2010 Uge 7,
DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal
Læs mereStudentereksamen Matematik
Studentereksamen Matematik Martin Sparre & Peter Holthe Hansen Frederiksborg Gymnasium og HF Juni 2006 1 Matematiknoter Formål: Studentereksamen 2006 Udarbejdet af: Martin Sparre & Peter Holthe Hansen
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereMatematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
Læs mere