Lineær Algebra, kursusgang

Transkript

1 Lineær Algebra, kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015

2 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik Bajers Vej 7G fajstrup@math.aau.dk Hjemmeside: fajstrup Blog (ikke aktiv mere) Ny blog:

3 Struktur og praktiske bemærkninger Idag: Gode råd, krav og forventninger. kl. 8:15 8:45 i Auditorium 2. Forelæsningens 1. del kl. 8:50 9:25 i Auditorium 2. Forelæsningens 2. del kl. 9:30 10:05 i Auditorium 2. Opgaveregning: kl. 10:10 12:00 i grupperummene. Normalt bliver sidste del af forelæsningen til sidst - efter opgaveregning.

4 Overordnet struktur 22 kursusgange a 4 timer Heraf 4 miniprojekter - I arbejder i grupperne med en større opgave. Støttet af hjælpelærerne. 18 sædvanlige kursusgange - ialt 2 timers forelæsning, 2 timers øvelser=opgaveregning. Kursusmaterialer I Moodle (kursusplan, links til spisesedler, slides, før, efter og "midt") På min kursushjemmeside fajstrup/undervisning/basis/linalg/ På first - den fælles side for alle holdene.

5 Forelæsning???

6 Forelæsning??? Hvordan kan man få udbytte af en forelæsning? Hold dig i gang - vær aktiv! Selvom du sidder ned...hvordan man gør det, er individuelt! Skriv noter. Tænk med. Skriv til i bogen. Læs hjemmefra og overvej, hvad du ikke forstår. Skriv spørgsmål ned under forelæsningen. Stil spørgsmål... HVIS du har computeren åben, så sluk for advisering om mail, FB,... En skærm med FB, YouTube,... åben distraherer (også) dine medstuderende. Jeg bruger slides, som jeg skriver i. De ligger på hjemmesiden før forelæsningen.

7 Opgaveregning I grupperummene. Hjælpelærere - Jesper Haar Jakobsen og Kristian NÃÿrgaard Jakobsen Vi kommer rundt til grupperummene. -Kan hidkaldes af en skraldespand... Det kræver disciplin at lave opgaver i grupper.

8 Gruppens opgave: Samarbejd om, at alle får lært at lave opgaverne. Det er ikke det samme som at alle opgaver bliver lavet og alle får en kopi af løsningerne... Hver enkelt har selv ansvar for at få det lært. Tal sammen. Spørg hinanden.

9 Hvad nu, hvis jeg har en rigtig god ide til at forbedre LinAlg? Styringsgruppemøder for studieretningerne - om al aktivitet på semesteret. Styringsgruppemøder for Hold 1.

10 Studieretninger på Hold 1. By-, Energi- og Miljøplanlægning Geografi Landinspektør Sundhedsteknologi Mangler jeg nogen?

11 Litteratur Spence, Insel, Friedberg Elementary Linear Algebra. A Matrix Approach, 2nd ed., Pearson Education, 2008 (SIF). OBS: Den hedder ogsãě Compiled by Olav Geil, "Elementary Linear Algebra," Pearson, Supplerende: H.V. Christensen, B. Rosbjerg: Kompendium i lineær algebra - Definitioner, formler og eksempler. Bogen er på engelsk. Det vænner I jer meget hurtigt til. Ordliste findes på fælles hjemmeside.

12 Andre ressourcer Spisesedler - på kursushjemmesiden. Link fra Moodle. Screencasts og Pencasts. Diverse applets. Se kursushjemmesiden eller den fælles side. MASSER af materiale på nettet. Lineær algebra er et emne på rigtig mange uddannelser. Eksempler på anvendelser - kursushjemmesiden.

13 Pensum og eksamen - se link på min hjemmeside Kurset evalueres ved en fire timers skriftlig eksamen uden brug af elektroniske hjælpemidler. Du må medbringe alle former for noter og bøger. Man skal deltage AKTIVT i de 4 miniprojekter for at få lov til at gå til den skriftlige eksamen. Aktivkravet er opfyldt hvis man er registreret (løbende registrering i skema af hjælplærere) for at have deltaget aktivt i mindst tre af de fire miniprojekter (arbejd-selv-kursusgange). Har man alene deltaget i to, da skal de resterende to miniprojekter besvares individuelt og afleveres til godkendelse hos underviser. Har man alene deltaget i en arbejd-selv-gang, da skal de resterende tre opgavesæt afleveres. Har man ikke deltaget i nogen arbejd-selv-kursusgang, ja så skal samtlige fire opgavesæt afleveres individuelt til underviseren.

14 Lad os komme igang Lineær algebra: Vektorregning og meget, meget mere. Godt råd: Intuition fra plan og rum er god at have, men holder ikke altid.

15 Funktioner og ligninger - mange variable

16 Matricer A = A er en 3 4 matrix. 3 rækker, 4 søjler. A er et rektangulært skema af tal, en matrix. Søjlerne i A Rækkerne i A [ ] [ ] [ ]

17 Matricer Definition En matrix er et rektangulært skema af tal (skalarer). a 11 a 12 a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn En matrix med m rækker og n søjler kaldes en m n matrix. Indgange/elementer: a ij er tallet i den i te række, j te søjle.

18 Matricer eksempler

19 Matricer og vektorer Vektorer: En 1 n matrix kaldes en (række)-vektor. En m 1 matrix kaldes en (søjle)vektor. Eller bare en vektor. Mængden af alle m 1 vektorer kaldes R m. Eksempler 1 2 π [ 1 2 ] sin(227) 2056 e 5 ln(5) [ ] [ ] [ ] OBS: OK med mere end 3 koordinater.

20 Skalarprodukt, længder, Pythagoras, vinkelret, projektion

21

22

23 Delmatricer Matricen B er en delmatrix af A, hvis B kan fås ved at fjerne nogle rækker og søjler i A.

24 Addition af matricer A og B begge m n. A + B er m n matricen med (i, j) te indgang (A + B) ij = a ij + b ij Eksempel:

25 Addition af matricer

26 Multiplikation med en skalar A m n matrix, c et reelt tal. (En skalar). ca er en m n matrix med (i, j) te indgang (ca) ij = ca ij Notation: ( 1)A skrives A

27 Subtraktion A og B begge m n. A B er matricen A + ( B)

28 Regneregler For m n matricer A og B og reelle tal, s, t gælder 1 A + B = B + A (kommutativitet) 2 (A + B) + C = A + (B + C) (associativitet) 3 A + 0 = A 4 A + ( A) = 0 5 (st)a = s(ta) 6 s(a + B) = sa + sb 7 (s + t)a = sa + ta

29 Transponeret matrix Den transponerede matrix A T har indgang (i, j) (A T ) ij = a ji. Bemærk: i og j i omvendt rækkefølge! Søjlerne i A T er rækkerne i A og omvendt. Hvis A er m n, så er A T n m

30 Transponeret matrix

31 Regneregler for transponering For m n matricer A og B og s en skalar gælder 1 (A + B) T = A T + B T 2 (sa) T = sa T 3 (A T ) T = A

32 Vektorer Addition af vektorer i plan og rum har en geometrisk fortolkning (velkendt fra gymnasiet.)

33 Linearkombination Definition En linearkombination af vektorerne u 1,, u k, som alle ligger i R n, er en vektor c 1 u 1 + c 2 u c k u k hvor c 1, c 2,..., c k er skalarer. M.a.o. v er en linearkombination af u 1,, u k, hvis der findes skalarer c 1 c 2,..., c k, så v = c 1 u 1 + c 2 u c k u k

34

35 Linearkombination - eksempler Den naturlige basis: e 1, e 2,..., e n i R n. e 1 = e 2 = e j er en n 1 søjlevektor, hvor alle elementer er 0, undtagen element (j, 1) th, som er 1.

36 Linearkombination

37 Linearkombinationer - spørgsmål Kan v skrives som en linearkombination af u 1,, u k? Hvilke vektorer i R n kan skrives som linearkombinationer af u 1,, u k? Specielt: Kan alle vektorer i R n skrives som linearkombinationer af u 1,, u k?

38