Viden Om Vind oftere, stop i tide

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Viden Om Vind oftere, stop i tide"

Transkript

1 Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi ved roulette 9 Marti Kostatiovitsch Sadsylighed 11 Niels Herik Jese Sadsylighed 11 Lars Rolad Capio Formel for sasylighed for at vide i lotto 13 Guar Bruu Et spil 13 Klaus Olsbjerg Jese Spørgsmål til 15 Simo Ollig Rebsdorf 1

2 Risici og relevas Steffe Aderse Jeg så med forudrig udsedelse»vide OM«i går på DR2. Udsedelse hadlede om optimale stopregler, sadsyligheder og risici i det hele taget, både i spil og i adre a livets facetter hvor idivider tager beslutiger. Jeg blevet meget forvirret, og overvejede om DR (+ måske de måde spørgsmålet og emet er blevet fremlagt for ekspertere) fuldstædig har misforstået begrebet risici og forvetet gevist/udfald. Poite med at tege e livsforsikrig, eller ikke at gå efter det»maximale«stop tidspukt i Deal or No deal er NETOP at ma ikke ka atage e geemsits-betragtig. Dette begreb»geemsitlig ka det ikke betale sig«som blev beyttet i flæg er fuldstædigt irrelevat. TV2 lader dig ikke spille»deal or No Deal«117 gage for at opå e geemsitlig maksimal pris. Gud lader dig heller ikke dø 117 gage for at fide ud af om det geemsitlig betale sig at tege livsforsikrige. Hele eksemplet med de optimale stopregel på parkerigsplads er derfor også lidt sjovt. Hvad hvis mi koe ligger og er i gag med at føde på hospitalet? Tør jeg så beytte de optimale stopregel? Det kue jo være der ku var 16 ud af de optimale 17 parkerigspladser... Det kue jo være jeg kue komme tættere på hospitalet og å fødsle, eller det kue være jeg bare smed de fora porte, og risikerede at få bile fjeret... Det er jo ikke hver dag at mi koe føder, og her ville jeg ok vælge IKKE at atage e geemsitsbetragtig... Det kue også være mi svigermor der vetede ved biografe... ville jeg så tage e ekstra chace? Dette er oget ma lære på 1 år på ethvert økoomikursus, vist i bjerg af videskabelige artikler og oget som de fleste med e basal ituitio ka sige sig selv. Meesker i IKKE eutrale over risici, og dette har INTET med at fejlvurdere sadsyligheder at gøre. Desude er det stort set ku spil som Kasio og adre meget simple spil ma ku spiller med sig selv hvor»rules ad probabilities of the game«er kedt (selv i et spil så simpelt som Lotto keder du ikke udbetaligere, da de afhæger af idbetaligere). I de fleste adre af livet facetter er det hverke mulige at karakterisere udfald eller sadsyligheder, og derfor har ma stort set ku si INTUITION at hadle ud fra. Mi spørgsmål er så: Hvor relevat er e geemsitsbetragtig hvor ma atager at folk forholder sig eutralt over for risici overhovedet? Svar Die spørgsmål berører ogle meget fudametale problemer, emlig:»hvad er e sadsylighed?«. Der er (midst) tre mulige måder at fortolke sadsyligheder på: (1) De frekvetielle fortolkig. Sadsylighede for e hædelse er lig hyppighede af hædelse i e (lag) række uafhægige getagelser af hædelse. F.eks. 2

3 hvis 100 kast med e møt giver»kroe«36 gage og»plat«64 gage, så er de (frekvetielle) sadsylighed for»kroe«lig I dee fortolkig er sadsylighede for e hædelse, som ikke ka getages ikke defieret. F.eks. hædelse at Store Bælts Broe bliver edsejlet i løbet af de æste 100 år, har ikke e frekvetiel sadsylighed, me faktisk bad Folketiget i si tid et kosuletfirma om at udrege dee sadsylighed. De kom med svaret 5%. Folketiget øskede at bruge dee sadsylighed til at afgøre, om der skulle iværksættes e række (dyre) sikkerhedsforastaltiger ved Store Bælts Broe. Som bekedt blev disse sikkerhedsforastaltiger iværksat ma aså risikoe for at være for stor til at kue igoreres. I 1930 ere forsøgte vo Mises at give e præcis matematisk model for frekvetielle sadsyligheder ude syderlig held modelle ideholdt e række uløselige logiske problemer. (2) De subjektive fortolkig. Sadsylighede for e hædelse er lige de grad af overbevisig, som de perso der fremsætter de, har om hvorvidt hædelse idtræffer. F.eks. kosuletfirmaets sadsylighed på 5% for e edsejlig af Store Bælts Broe i løbet af de æste 100 år, udtrykker firmaets grad af overbevisig om hvorvidt dee hædelse vil fide sted. Subjektive sadsyligheder giver meig for ehver hædelse (også selvom de ikke ka getages), me de er subjektiv: Forskellige persoer ka have forskellige subjektive sadsyligheder for samme hædelse. Nogle sadsyligheder er både frekvetielle og subjektive: Ifølge mit forsikrigsselskab er sadsylighede for, at mit hus edbræder i løbet af æste år lig. Forsikrigsselskabets sadsylighed er frekvetiel (de er baseret på e lag række observatioer af parcelhuse, der»liger«mit hus). For mig er sadsylighede subjektiv. Hædelse»mit hus edbræder i løbet af det æste år«ka ikke getages. Til trods herfor tror jeg på sadsylighede og har teget e bradforsikrig (det ville jeg også gøre, selvom de ikke var lovpligtig). I 1933 lavede Kolmogorov e præcis matematisk model for sadsylighedsregige, som i dag er æste eerådede i sadsylighedsregige. Kolmogorovs model er e model for subjektive sadsyligheder: De specificerer ikke hvad sadsylighede for e hædelse er, me de giver de fudametale regler (aksiomer) for regig med sadsyligheder. De subjektive sadsyligheder ideholder de frekvetielle sadsyligheder i de forstad, at vi i Kolmogorovs model faktisk ka bevise at de frekvetielle sadsylighed er lig de subjektive sadsylighed. Mere præcist ka vi bevise de store tals lov: Hvis X 1, X 2,... er uafhægige tilfældige tal med samme middelværdi og samme varias, da vil de»frekvetielle middelværdi«; dvs. geemsittet S = 1 (X X ), være ca. lig de fælles middelværdi, år blot atallet af observatioer er tilstrækkelig stor eller på»matematisk«: P ( lim S = µ ) = 1 hvor µ er de fælles middelværdi. (3) A priori fortolkige. A priori sadsylighede for e hædelse er de sadsylighed, som alle foruftige meesker ka ees om. F.eks. i almidelighed går ma 3

4 udfra at sadsylighede for e 6 er it et slag med e terig er lig 1 6, også ude at lave forsøg med terigkast. A priori sadsyligheder er som regel baseret på ideé om»lige mulige«udfald, og begræset til de hædelser, som alle foruftige meesker ka ees om. De opridelige model for sadsylighedsregige (B. Pascal & P. Fermat, 1654), er etop e model for a priori sadsyligheder. I dag er a priori sadsyligheder grudlaget for Bayes statistik, hvor ma starter med e apriori sadsylighed, udfører et forsøg, og bereger e posteori sadsylighed (ved hjælp af Bayes formel eller variater af dee). For at komme til die kokrete spørgsmål: I»Deal o-deal«er de relevate sadsyligheder frekvetielle for TV2 og de»geemsitlige gevist«er e reel størrelse for TV2 de spiller mage gage. For de ekelte deltager er»kald eller fald«hu/ha spiller ku é gag og de relevate sadsyligheder er således subjektive for de ekelte deltager me til trods herfor må det mest ratioelle være at idrette strategie således, at ma maksimerer si geemsitlige gevist. I hvert fald efter mi overbevisig, som selvfølgelig ka diskuteres, me jeg ka ikke se oge ade ratioal strategi. Faktisk opfattede Jakob Beroulli( ) i si berømte bog Ars cojectadi (som faktisk ideholder det første bevis for store tals lov, og som blev udgivet i 1713), sadsylighedesregige som e model for»de sude foruft«, emlig som e måde til at tage ratioale beslutiger i e tilfælgig Verde. Parkerigsproblemet: Som altid i sadsylighedsteoretiske modeller er der e række uderliggede atagelser. I parkerigsproblemet lyder de således: (a) Hædelsere»e P-plads er optaget«er uafhægige og har samme sadsylighed, som er kedt, lad os sige p. (b) Atallet af P-pladser er kedt, lad os sige d. (c) Positioe af biografe (eller hospitalet) er kedt, lad os sige udfor P-plads r.. (d) Der er opgivet e omkostig, lad os sige A, ved ikke at komme i biografe (eller på hospitalet). De optimale P-strategi giver et bestem tal, lad os sige r, som ka bereges udfra størrelsere p, d,, og A, og de optimale strategi siger:»passér de første r 1 P-pladser, tag deræst de første ledige P-plads derefter«. De præcise formel for udregige af de kritiske værdi r er eksotisk: ( { log (A d )p d (1 p) + p (1 p) p d} ) r = 1 ceil log p me hvis omkostige A ved ikke at komme i biografe (eller på hospitalet) er meget stor, så er r = 1, og du skal vælge første ledige P-plads. For hædelser i de»virkelige Verde«må ma evaluere sie sadsyligheder: (1) Ete som e frekvetiel sadsylighed. Dette gøres ved observatioer af e række»ligede«hædelser; f.eks. sadsylighede for»mit hus edbræder i løbet af det æste år«; (2) Eller som e subjektiv sadsylighed. Dette ka f.eks. gøres ved simulatioer på e computer, det var de måde, som kosuletfirmaet udregede sadsylighede for hædelse:»store Bælts Broe bliver edsejlet i løbet af de æste 100 år«. 4

5 Ituitioe er ige hjælp her, og de giver alt for ofte et urealistisk bud på sadsylighede. Lad mig give et simpelt eksempel. E møt kastes ige og ige, dette giver os e række af K er (»kroe«) og P er (»plat«). Lad os betragte første forekomst af PK i de rækkefølge. Da sadsylighede for PK er lig = 1, vil ma ituitivt forvete at PK kommer cirka hver fjerde gag, og at ma således i»sit«skal vete 4 gage 4 på første forekomst af PK. Dette er faktisk korrekt, me udregige er meget lag og»tricket«. Så vidt så godt ituitioe er korrekt. Lad os betragte første forekomst af KK. Da sadsylighede for KK også er lig 1 4, er det klart at ma ligeledes i»sit«skal vete 4 gage på første forekomst af KK eller er det u også det? Geemføres beregigere, som ige er lage og»tricket«, får ma at de geemsitlige vetetid på KK er lig 6. Det er ikke så godt ituitioe er forkert. Mi ituitio siger også at de geemsitlige vetetid på KK skal være 4, me mie beregiger siger at de er lig 6, og desude viser forsøg med møtkast at 6 er korrekt. I sadsylighedsregige er der et hav af ligede eksempler, som viser at vores ituitive forestilliger om sadsyligheder er håbløst forkert og strider mod beregiger (og forsøg!). Husk også at sadsylighedsbegrebet er et yt begreb, som ku har eksisteret i ca. 450 år. Før de tid eksisterede begrebet overhovedet ikke, til trods for at spil har været kedt lige side meesket kravlede ed fra træeree og begydte at gå på to be. Dee lage erfarigsrække udviklede ikke e ituitio om sadsyligheder. Sadsyligheder Per Hedegård I udsedelse siger Hoffma-Jørgese, dels at ma ikke skal stole på si ituitio me på beregigere, og at hvis sadsylighede er 1 6 for at slå e sekser i det første slag, så er de også 1 6 hvis ma efter 100 slag ikke har slået e sekser. Mi ituitio siger mig, at det sidste absolut ikke ka passe. Sadsylighede for at slå 100 ikkeseksere i træk, givet at sadsylighede for e sekser i hvert slag er 1 6, er 1 83millioer altså e tiededel af sadsylighede for at få 7 rigtige i lotto! Jeg ved også matematikeres»ærlige terig«ikke fides i virkelighede, me er e teoretisk fiktio. Ehver rigtig terig er e fysisk virkelig tig, og det skulle være meget mærkeligt, om de var»ærlig«. Hvis jeg efter 100 slag ikke havde set e sekser, ville jeg bestemt komme i tvivl herom og sige, at sadsylighede for at teriger var»ærlig«er gaske lille og derfor og ædre mi sadsylighed for at slå e sekser i slag ummer 101. Ituitio og commo sese syes i dette tilfælde at være mere korrekt ed beregiger baseret på matematiske fiktioer som»ærlige teriger«. 5

6 Svar I Lotto er e hver give kombiatio overordetlig usadsylig, også de kombiatio der bliver udtrukket. Så usadsylige hædelser idtræffer! Med hesy til terige. Dette er et gammelt problem, som går tilbage til midtea f 1700-tallet, hvor de to matematikere d Alember og Daiel Beroulli diskuterede om hvorvidt terige har»hukommelse«eller ej. Daiel Beroulli påstod, at terige har ige»hukommelse«, og d Alembert påstod, at det havde de. De diskuterede problemet i mere ed 30 år ude at å til eighed. Jeg vil sige at hvis e terig ikke har vist e 6 er i 100 slag, så er de måske skæv, me på de ade side er der blevet spillet så meget teriger i løbet af de sidste cirka 6000 år (så gammel er terige), at det ikke er usadsyligt at e»ærlig terig«på et eller adet tidspukt i disse mage år ikke har vist e 6 er i 100 successive slag. Med hesy til matematiske»fiktioer«. Det er korrekt, at år vi aveder matematik (heruder sadsylighedsregig) på de»virkelige Verde«, så bygger vi på e idealiseret fiktio. Problemet er så om fiktioe fugerer i praksis. Ved at avede matematik, ka vi forudsige hvor og hvorår de æste solformørkelse idtræffer og det gør de! Matematik er ikke e aturvideskabelig discipli. Matematikkes objekt er ikke de»virkelige Verde«, me des objekt er vores ege take. Dette gør matematik til e filosofisk discipli, som af historiske årsager i dag er helagt til de aturvideskabelige fakulteter. Det er oget af et uder at matematikke faktisk fugerer i de»virkelige verde«, og ogle filosoffer går så lagt, at de siger, at matematikke er»natures sprog«. Matematikke fugerer upåklageligt i aturvideskabere, i de forstad at de giver korrekte forudsigelser. Forsikrigsselskabere er det bedste bevis for, at sadsylighedsregige fugerer i de»virkerlige Verde«. Forsikrig og sadsylighedsregig opstod cirka samtidigt (i midte af 1600-tallet), og forsikrig var de første seriøse avedelse af sadsylighedsregige. Gå ud og se forsikrigsselskaberes paladser, hvis sadsylighedsregiges»fiktio«ikke fugerede i de»virkelige Verde«, ville de ligge i ruier! Med hesy til»commo sese«: Faktisk opfattede Jakob Beroulli ( ) i si berømte bog Ars cojectadi (Kuste at gætte udgivet i 1713), sadsylighedsregige som e model for»de sude foruft«, emlig som e måde til at tage ratioale beslutiger i e tilfældig Verde. 6

7 Spørgsmål til eksperte Thomas Aderse Det er ogle rigtig spædede udregiger der bliver beskrevet i programmet. Især det med terigere. Me jeg har u et spørgmål rettet mod poker, som jeg selv spiller e del. Jeg kue godt tæke mig at vide, hvor meget held spiller id i poker kotra skills. F.eks hvad er held procete, hvis ma spiller e Sit&Go turerig hvor blidse starter 20/40 og stiger hvert 10. miut og der er 10 meesker med. Og sætte det op imod et cash game, hvor blidse ikke stiger. Er det i høj grad emmere at vide pege i cash games eller Sit&gos? Svar Poker er ikke et hazard-spil, i de forstad at i det lage løb vil de spiller der er bedst til at evaluere sadsylighedere og agere korrekt udfra disse sadsyligheder vide. Hvis to spillere er lige gode (eller lige dårlige) til at evaluere sadsylighedere, er spillet et»fair«spil, hvilket betyder de i det lage løb begge vil ede op med e geemsitlig gevist på 0 kr. Så det er umuligt at give et svar på dit spørgsmål, eller rettere svaret afhæger af hvor gode spillere er til at evaluere de relevate sadsyligheder. Held eller uheld er fæomeer, som udviskes over e lag periode. Ikke destomidre har mage spillere de erfarig, at de e give afte sidder i held eller i uheld. Dette er e korrekt observatio, som skyldes de fuldstædige tilfældighed i kortfordelige. Lad os betragte to spillere, som spiller e række spil i løbet af e afte. I sadsylighedsregige siger vi e spiller sidder»i held«, hvis ha/hu har ført (dvs. har haft e positiv gevist) de meste af tide, og sidder»i uheld«, hvis ha/hu har været bagud (dvs. har haft tab) det meste af tide. Atag, at de to spillere er lige dygtige, dvs. sadsylighede er lig 1 for at de ee eller de ade vider et spil. Umiddelbart, vil 2 ma forvete, at år spillere er lige dygtige, så vil de to spillere have ført/været bagud cirka halvdele af spillee. I sadsylighedsregige ka vi bevise de såkaldte arcus-sius lov, som siger at der er e stor sadsylighed for at de ee spiller sidder»i held«og de ade sidder»i uheld«, mes sadsylighede for at de to spillere har ført/været bagud cirka halvdele af spillee er forbløffede lille. Mere præcist, siger arcus-sius love: Hvis F Du spiller e række»fair«spil. Hvis F beteger atallet af gage, du har haft positiv gevist i de første spil, da vil F være de del af tide d har»ført«i de første spil, og der gælder lim P( x F y ) = 1 y 1 dt 0 x y 1. 2π x t(1 t) er cirka 1 2, har du ført/været bagud i cirka halvdele af spillee, hvis F er lille, er stor, dvs. tæt på 1, har di siddet»i held«. dvs. tæt på 0, har du siddet»i uheld«, hvis F 7

8 Arcus-sius love viser at de geemsitlige værdi af F at 1 2 er de mest usadsylige værdi af F er lige 1 2, me de viser også,, og at 0 og 1 er de mest sadsylige værdier af F. Der betyder at de geemsitlige værdi 1 2, ikke skyldes at F er cirka 1, me at 2 de fremkommer som et geemsit af tal som er æste lig 0 eller æste lig 1. Beviset for arcus-sius love er overordetlig lagt og svært, me de er udtryk for at tilfældigheder opfører sig gaske aderledes ed ma forveter vores ituitio om sadsyligheder leder os ofte på vildspor. Arcus-sius love blev bevis omkrig 1955 af e dask sadsylighedsteoretiker, Erik Sparre Aderse (som iøvrigt var mi første lærer i sadsylighedsregig). Til Rasmus Østergaard Pederse Spiller ma blackjack, roulette og ligede spil hvor oddsee er imod dig bør ma vel kue vide. Jeg meer fx at i blackjack er sadsylighede for at vide omkrig 1 3. Spiller ma u flere spil og fortsætter med at 3 doble idsatse vil ma altid vide mere. Altså i først spil har ma sadsylighede: 1 ( ) = 1 3, for at vide I adet spil 1 ( ) = 5 9, altså allerede i adet spil overvejee sadsylighed for at vide. Fortsætter ma dee takegag lidt, vil ma hurtigt se at der er så oplagt sadsylighed for at vide ide ma kommer op på e ustyrlig idsats at ma altid bør vide. Da spillee aldrig taber må der vel være e fejl i det jeg siger. Hvad er galt med dee takegag, hvor ma altid vil komme ud ove ud? Svar I blackjack er oddsee ikke imod dig - de er med dig. Dette skyldes at du keder»dealeres«strategi. De optimale strategi i blackjack blev udreget i begydelse af 1960 ere og de giver spillere e geemsitlig gevist på lidt uder 3% af hedes/has opsætig. Uheldigvis kræver de optimale strategi, at ma ka tælle og huske mage kort (der er cirka 300 mulige kort i e»stack«), dette er dog de midste kust, strategie kræver at ma ka udføre mage og lage beregiger på kort tid. Ma skal derfor helst have e computer til rådighed og helst e såkaldt»talkuser«e almidelig computer er for lagsom. Vedrørede die beregiger. Der er altså sadsylighed 1 for at fide første, adet, 3 tredje spil etc. Der er sadsylighed = 2 ) for at tabe første spil og vide adet spil. I almidelighed er der sadsylighed ( 2 3 for at tabe de 1 første spil og vide det te spil. Disse sadsyligheder bliver overordetlig små år tallet bliver stor. De strategi du omtaler er e variat af de såkaldte martial strategi. Det er e almidelig overtro bladt spillere, at martial strategie er e sikker vider strategi. Jeg vil gere 8

9 beytte lejlighede til kraftigt at advare mod strategie - i sadsylighedsregige ka vi vise at de med sikkerhed (dvs. 100%) fører til rui! Se også mit svar til Marti Kostatiovitch. E sikker strategi ved roulette Marti Kostatiovitsch Ved roulette ka ma spille på rød og sort. Geviste på disse to spil er idsatse 2. I flg. mi teori, så burde det altså kue lade sig gøre at få et overskud, ved at bruge følgede metode: 1 Sats altid på samme farve. 2 Sats altid det dobbelte af det foregåede spil. Et eksempel: Laveste idsats er Spil laveste idsats. Spil 25 i første spil. Har du vudet, er geviste = 25, og du starter fra Har du tabt, så satser du idsats fra sidste spil 2. Spil 50 i adet spil. Har du vudet, er geviste 100 (50+25) = 25, og du starter fra 1. Har du tabt, så starter du fra 2. Spil 100,- i tredje spil. Har du vudet, er geviste 200 ( ) = 25, og du starter fra 1. Har du tabt, så starter du fra 2. Bordee har altid et loft, me alligevel burde sadsylighede for at ramme loftet være midre ed sadsylighede for at ramme rigtig farve. Har jeg fudet e skudsikker teori, eller er jeg bare blevet blid i mi jagt på e em idtjeig? Svar De strategi du omtaler, har været kedt i århudreder. De går uder avet martigalstrategie. Ordet»martigal«har flere betydiger på dask; f.eks.: (a) Et specielt par bukser med både livrem og seler; (b) Stormskødet til mesasejlet på et sejlskib. Mesasejlet er det agterste sejl på et tre-mastet sejlskib. Det sidder på lags af skibet, i modsætig til storsejlee, som er tværstillet. I stomvejr måtte ma stryge storsejlee og lægge skibet op mod vide, me for at roret kue virke måtte ma sætte et sejl for at give skibet egefart det var mesasejlet, som så blev sikret med et tovværk, som blev kaldt»martigale«. (c) De læderrem, som går fra e hests brige 9

10 op til hage, og som sal forhidre heste i at»slå«med hovedet og kaste ryttere af. (d) De spilstrategi, som du omtaler i di . Der er flere adre betydiger af ordet»martigal«. Fælles for dem alle, er at de er e slags sikkerhedsforastaltig. Ordet stammer fra de fraske ladsby Martigaux, hvis idbyggere fra gammel tid er kedt som forsigtige folk. Det er almidelig overtro bladt spillere, at martigalstrategie er e sikker vider strategi. I sadsylighedsregige ka vi bevise, at martigalstrategie med sikkerhed (dvs. med sadsylighed 100%) fører til rui (også selv ude»loft«); medmidre ma har uedelig stor kapital og det er uedelig stor i matematisk betydig meget stor er ikke ok! Det er vist de færreste der har uedelig stor kapital, og hvis ma har ka ma ikke forøge si kapital ved at vide:»uedelig + hvadsomhelst = uedelig«. Så lad være med at beytte martigalstrategie de fører til sikker rui! Som det også blev poiteret i udsedelse, skal ma betvivle si ituitio og stole på sie beregiger, me det forudsætter at ma reger korrekt, og det er ikke så emt. De beregiger der viser at martitalstrategie fører til sikker rui er lage og komplicerede. I sadsylighedsregige ka vi bevise e»lov«som går uder avet Optimal samplig (jeg har ikke fudet e passede dask oversættelse). Optimal samplig-love sige (løst sagt): Hvis ma har edelig kapital og spiller e række spil, hvor oddsee er imod e og ma ikke er clairvoyat (e såda række spil kaldes e supermartigal i sadsylighedsegige), så fides ige strategi, der ka ædre odds. De optimale strategi er simpel me beklagelig:»stop før du begyder«. Abraham de Moivre ( ) udtrykker det meget klart i forordet til si bog Doctrie of Chaces (3. udgave, udgivet i 1756): Your Lordship (her hetydes til de Moivre s ve og velgører Lord Carpeter) does easily percieve, that this doctrie is so far from ecouragig Play, that it is rather a Guard agaist it, by settig a clear Light, the Advatages ad Disadvatages of those Games wherei Chace is cocered. Mere præcist, sigere optimal samplig-love følgede: Lad X 1, X 2,... være e supermartigal af tilfældige tal, og lad σ og τ være stopstrategier, så at τ σ og σ er»optioal for X «, da gælder E(X σ F τ ) X τ. Størrelse E(X σ F τ ) beteger dit bedste bud på, hvad di gevist er til tid σ baseret på al de iformatio du har til tid τ.»optioalitete«af σ er et udtryk for at meget stort tab ikke er tilladt. Formle siger så, at uaset hvorda du vælger di stopstrategi, så er det såda, at jo lægere du veter med at stoppe, jo mere taber du. 10

11 Sadsylighed Niels Herik Jese Godt gået med parkerigspladse. Selv om jeg var meget god til matematik, forstod jeg aldrig rigtigt sasylighedsberegig. Det har ærgret mig lige side, og det har varet læge, da vi må være æste jævaldrede. Ka du abefale e bog, der ka sætte mig igag med at forstå og berege? Svar Der fides ikke så meget litteratur på dask, som er tilgægelig for lægmad ude professioal hjælp, me jeg ka abefale Erlig Aderses bog Reg på di gevist. På egelsk ka jeg abefale: (1) William Feller: A Itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios udgivet af Joh Wiley & Sos. Boge er fra 1950, me de ka stadig købes. (2) Abraham de Moivre: Doctrie of Chaces. Boge er fra 1756, me de ka fås i dag (fotografisk optryk af origiale) på forlaget: America Mathematical Society & Chelsea. Boge er godt ok gammel, me det er e fremragede og meget pædagogisk bog, og de år vidt omkrig i sadsylighedsregige. Sadsylighed Lars Rolad Capio Jeg har et spørgsmål til vedr. sadsylighed. Hvis der er to mulige udfald af et kast. F.eks. ved kast med e møt, hvor der er lige stor sadsylighed for plat som for kroe, er det klart, at ligegyldig hvor mage forudgåede es udfald, der har været, er udfaldet af æste kast stadig lige tilfældigt og med lige stor chace for plat som for kroe. Me samtidig er møte ødt til at stræbe mod e ligelig fordelig ml. plat og kroe, hvis de skal være e ormal møt. Så hvis der har været et stort atal udfald af f.eks. plat, må ormalfordeligs-»krafte«vel på et eller adet tidspukt begyde og»trække«møte mod det modsatte udfald, så e ligelig fordelig af udfaldede opåes. Me da kastet med møte skal være tilfældigt, er dette e umulighed, og derfor syes jeg der er e mystisk modsætig ml. møtes tilfældige udfald og de ligelige sadsylighedsfordelig. Ka du/i løse mysteriet? På forhåd tak! 11

12 Svar Dit første spørgsmål: Hvis møte har sassylighed 1 for at vise»kroe«og»plat«, 2 så gælder, at ligegyldigt hvad møte har vist de sidste gage, da er sadsylighede stadig lige 1 2 for at vide»kroe«og»plat«i kast ummer Det er e almidelig overtro, at år blot ma har tilstrækkelig mage observatioer, så er altig ormal fordelt. I sadsylighedsregige ka vi bevise de såkaldte cetrale græseværdi lov som løst sagt, siger at summe af mage»små«og uafhægige tilføldige tal, er approksimativt ormal fordelt; dvs.: Hvis S = X X er e sum af»små«tilfældige tal X 1, X 2,..., X, så gælder, uder e række specifikke forudsætiger, at vi har: lim P(x S y) = 1 y e t2 2 dt x y 2 Der fides mage adre fordeliger med dee egeskab (de såkaldte uedelige delelige fordeliger, f.eks. ekspoetial fordelige, Poisso fordelige, gamma fordelige, o.m.a.). Hver af disse fordeliger har deres ege cetrale græseværdi lov. F.eks. hvis S = X X er e sum af»små«tilfældige positive tal X 1, X 2,..., X, så gælder, uder e række specifikke forudsætiger, at vi har: x lim P(x S y) = e λ y =x λ! 0 x y og uder e ade række specifikke forudsætiger, har vi lim P(x S y) = λ y x e λt dt 0 x y Så ormal fordelige er ikke så»ormal«edda der er mage adre fordeliger, der fortjeer avet»ormal fordelige«. I sadsylighedsregige ka vi også bevise de såkaldte iterede logaritme lov, som løst sagt siger at i lage perioder (for meget lage observatiosrækker) vil die møtkast være meget lagt væk fra e ligelig fordelig. Mere præcist, hvis S beteger atallet af»kroe«i de første kast, da gælder lim sup S 1 2 = 1 og limif loglog S 1 2 = 1 loglog Faktisk er e»ligelig fordelig«udtagelse sarere ed regle. Tilfældige hædelser opfører sig gaske aderledes ed ma forveter og ligger udefor vores ituitios rækkevidde. I sadsylighedsregige ka vi berege os til, hvorledes tilfældige hædelser opfører sig, me forstå vores resultater det er e gaske ade sag. Efter et lagt liv i sadsylighedsregige ka jeg stadigvæk blive overrasket, og jeg har lært at mi ituitio, selv efter jeg har ser de mage paradokser, som sadsylighedsregige er fuld af, er eledig, me jeg ka rege mig frem til korrekte resultater. 12

13 Formel for sasylighed for at vide i lotto Guar Bruu Kue jeg få dig til at sede formel for sasylighed for at vide i lotto. Svar Sadsylighede for at have 7 rigtige i lotto (ud af 36 mulige) er lig = I almideligh er sadsylighede for at have alle (= x) rigtige i lotto (ud af mulige) lig ( ) 1 ( 1)1... ( x + 1) ( hvor = x) x x De adre vider kombiatioer, f.eks. 6 rigtige og 1 forkert er mere bøvlede at skrive op, me du ka fide formlere i Erlig Aderses bog Reg på di gevist. Et spil Klaus Olsbjerg Jese Vide om i aftes fik mig til at tæke på et problem, jeg hørte for e del år side, og som jeg aldrig har fudet e løsig på. Det drejer sig om et simpelt spil. E spiller ka vælge mellem to kuverter. I hver kuvert er et pegebeløb, i de ee et dobbelt så stort beløb som i de ade. Spillere vælger e kuvert, åber de og fider 100 kr. Ha får u at vide at ha gere må vælge om hvis ha vil. Der er aturligvis ige grud til at vælge om, sadsylighede for at spillere valgte kuverte med det store beløb er 50%. Og dog, lad os rege lidt på det. I de ade kuvert er der ete 50 kr eller 200 kr. Så ved at skifte valg, vil spillere i geemsit få 0,5 50kr + 0,5 200kr = 125kr, altså 25% mere ed hvis ha ikke ædrede sit valg. Det må altså være e god strategi at vælge om. Hvis beløbet havde været et adet, lad os sige X kr ville et omvalg i geemsit give spillere 0,5 0,5 X,kr + 0,5 2 X kr = 1,25 X kr, altså stadig 25% mere. Med adre ord, spillere behøver ikke åbe kuverte. Ligegyldig hvilke kuvert ha havde tækt sig at vælge, ville det være smart at vælge de ade!!! Hvor er fejle? 13

14 Svar Problemet er, at såda ka ma ikke rege med (betigede) middelværdier. Lad os atage at beløbee er et helt atal kroer. Hvis beløbet i de kuvert du vælger er ulige; f.eks.: 201 kr, ved du at det er det lille beløb ( = 100,5, som ikke er et helt tal). Så ved at vælge om, er du sikker på at få det store beløb! Dette viser at die udregiger ikke er korrekte. Udregigere ser mere eksotiske ud. Lad os ummerere kovoluttere 0 og 1. Lad X 0 være det tilfældige tal i kovolut r. 0 og lad X 1 = 2X 0 være det tilfældige tal i kovolut r. 1. Vi vælger u e kovolut tilfældigt og uafhægigt af tallee X 0 og X 1 ; dvs. vi vølger et tal σ som ete er 0 eller 1, så at P(σ = 0) = P(σ = 1) = 1 og σ er 2 uafhægig af X 0 og X 1. Da er τ = 1 σ ummeret på de ikke-valgte kovolut og X τ er beløbet i de ikke-valgte kovolut. Vi åber u de valgte kovolut og ser at beløbet er lig x. Dette har sadsylighed P(X σ = x) = 1 2 P(X 0 = x) P(X 0 = x 2 ) Lad A være de geemsitlige værdi af beløbet i de ikke-valgte kovolut. Da er A givet ved formle A = E(1 {X σ =x}x τ ) P(X σ = x) Nu reger vi Så A er givet ved formle E(1 {Xσ =x}x τ ) = E(1 {σ=0,x0 =x}x 1 ) + E(1 {σ=1,x1 =x}x 0 ) = 2xP(σ = 0,X 0 = x) + x 2 P(σ = 1,X 1 = x) = x ( P(X 0 = x) P(X 0 = x 2 )) E(X τ X σ = x) = x 2P(X 0 = x) P(X 0 = x 2 ) P(X 0 = x) + P(X 0 = x 2 ) som i almidelighed hverke er større ed x, midre ed x eller lig med x. For at afgøre om det er e fordel at vælge om, må du kede sadsylighede for at det»lille«tal er lig x. 14

15 Spørgsmål til Simo Ollig Rebsdorf Tak for e spædede udsedelse. Jeg er selv cad.sciet og ød hele badulje. Me statistik var var aldrig mi stærke side... Så ka ma få lov at se formle for stopstrategier i forb. med parkerig, som så illustrativt blev præseteret i programmet? (og e kort forklarig af de idgåede parametre) På forhåd tak! Svar Parkerigsproblemet: Som altid i sadsylighedsteoretiske modeller er der em række uderliggede atagelser. Her lyder de således: (a) Hædelsere»e P-plads er optaget«er uafhægige og har samme sadsylighed, som er kedt, lad os sige p. (b) Atallet af P-pladser er kedt, lad os sige d. (c) Positioe af biografe er kedt, lad os sige ud for P-plads ummer ; det atages at d, så der fides e P-plads udefor biografe. (d) Der er opgivet e omkostig, lad os sige A, ved ikke at komme i biografe, så at A er større ed afstade fra sidste P-plads til biografe. (Dette krav betyder at du er villig til at tage sidste P-plads, selv om de ligger lagt fra biografe.) De optimale P-strategi giver et bestemt tal, lad os sige r, som ka bereges udfra størrelsere p, d, og A, og de optimale strategi siger:»passér de første r 1 P-pladser, tag deræst de første ledige P-plads derefter«. De præcise formel for udregige af de kritiske værdi r er eksotisk: r = 1 ceil ( { log (A d + )p d (1 p) + p (1 p) p d} ) log p Her betyder x y det største af tallee x og y, og ceil(x) er»gulvet i x es lejlighed«; dvs. det største hele tal midre ed eller lig med x. Hvis omkostige A ved ikke at komme i biografe er meget stor, så er r = 1, og du skal vælge første ledige P-plads. Hvis p 1, dvs. midst havldele af P-pladsere 2 er ledige, da er r = og strategie sider:»kør he til biografe, og se om P-pladse udefor biografe er ledig. Hvis det er tilfældet tager du dee P-plads. Hvis ikke tager du de første ledige P-plads efter biografe, såfremt du ka fide e. I modsat fald opgiver du biografture og går hjem«. 15

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

2. februar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 9. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

2. februar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 9. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. . februar 006 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 9. februar 006 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER Hadligspla for FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER 2016-2018 LYNGBY-TAARBÆK KOMMUNE 2015 Lygby-Taarbæk Kommue Trykt på Rådhustrykkeriet Grafik Layout: Ole Lud Aderse, Iter Service INDHOLD Rotte - dyret

Læs mere

HALLO no en hjemme? Tema. + s. 28 Forstå dit barns hjerne

HALLO no en hjemme? Tema. + s. 28 Forstå dit barns hjerne HALLO o e hjemme? Eksperte forklarer, hvorfor det er så svært for små ører at høre efter. Se, hvorda det går, år Elie Holm tester de gode råd på si datter Liva, og få idblik i, hvad der sker i de lille

Læs mere

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst PET 3 1/3 ECTS Valgfaget afholdes UCN Radiografuddaelse, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst Valgfagets tema Valgfaget præseterer overordede cetrale begreber, teorier samt hadlemåder, der ka avedes

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN VELKOMMEN Tilskudsreglere beskriver hvorda Faaborg-Midtfy Kommue støtter det frivillige folkeoplysede foreigsarbejde med økoomisk tilskud og avisig

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

BILAG I PRODUKTRESUME

BILAG I PRODUKTRESUME BILAG I PRODUKTRESUME 1 1. LÆGEMIDLETS NAVN Nimerix pulver og solves til ijektiosvæske, opløsig i fyldt ijektiossprøjte Meigokokgruppe A, C, W-135 og Y kojugeret vaccie 2. KVALITATIV OG KVANTITATIV SAMMENSÆTNING

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Følelsesmæssige reaktioner og MS

Følelsesmæssige reaktioner og MS Følelsesmæssige reaktioer og MS Mosedalvej 15 2500 Valby Tlf. 3646 3646 www.scleroseforeige.dk Scleroseceter Ry Klostervej 136 8680 Ry Tlf. 8689 1011 Scleroseceter Haslev Rigstedvej 106 4690 Haslev Tlf.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

optipoint 500 Oplysninger og vigtige betjeningsprocedurer

optipoint 500 Oplysninger og vigtige betjeningsprocedurer optipoit 500 Oplysiger og vigtige betjeigsprocedurer PC (USB) Kommuikatiosplatform Hovedsæt Hådsæt optipoit sidemodul (f. eks. optipoit key module) optipoit adapter D Forklariger af tilslutigsmulighedere

Læs mere