Viden Om Vind oftere, stop i tide

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Viden Om Vind oftere, stop i tide"

Transkript

1 Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi ved roulette 9 Marti Kostatiovitsch Sadsylighed 11 Niels Herik Jese Sadsylighed 11 Lars Rolad Capio Formel for sasylighed for at vide i lotto 13 Guar Bruu Et spil 13 Klaus Olsbjerg Jese Spørgsmål til 15 Simo Ollig Rebsdorf 1

2 Risici og relevas Steffe Aderse Jeg så med forudrig udsedelse»vide OM«i går på DR2. Udsedelse hadlede om optimale stopregler, sadsyligheder og risici i det hele taget, både i spil og i adre a livets facetter hvor idivider tager beslutiger. Jeg blevet meget forvirret, og overvejede om DR (+ måske de måde spørgsmålet og emet er blevet fremlagt for ekspertere) fuldstædig har misforstået begrebet risici og forvetet gevist/udfald. Poite med at tege e livsforsikrig, eller ikke at gå efter det»maximale«stop tidspukt i Deal or No deal er NETOP at ma ikke ka atage e geemsits-betragtig. Dette begreb»geemsitlig ka det ikke betale sig«som blev beyttet i flæg er fuldstædigt irrelevat. TV2 lader dig ikke spille»deal or No Deal«117 gage for at opå e geemsitlig maksimal pris. Gud lader dig heller ikke dø 117 gage for at fide ud af om det geemsitlig betale sig at tege livsforsikrige. Hele eksemplet med de optimale stopregel på parkerigsplads er derfor også lidt sjovt. Hvad hvis mi koe ligger og er i gag med at føde på hospitalet? Tør jeg så beytte de optimale stopregel? Det kue jo være der ku var 16 ud af de optimale 17 parkerigspladser... Det kue jo være jeg kue komme tættere på hospitalet og å fødsle, eller det kue være jeg bare smed de fora porte, og risikerede at få bile fjeret... Det er jo ikke hver dag at mi koe føder, og her ville jeg ok vælge IKKE at atage e geemsitsbetragtig... Det kue også være mi svigermor der vetede ved biografe... ville jeg så tage e ekstra chace? Dette er oget ma lære på 1 år på ethvert økoomikursus, vist i bjerg af videskabelige artikler og oget som de fleste med e basal ituitio ka sige sig selv. Meesker i IKKE eutrale over risici, og dette har INTET med at fejlvurdere sadsyligheder at gøre. Desude er det stort set ku spil som Kasio og adre meget simple spil ma ku spiller med sig selv hvor»rules ad probabilities of the game«er kedt (selv i et spil så simpelt som Lotto keder du ikke udbetaligere, da de afhæger af idbetaligere). I de fleste adre af livet facetter er det hverke mulige at karakterisere udfald eller sadsyligheder, og derfor har ma stort set ku si INTUITION at hadle ud fra. Mi spørgsmål er så: Hvor relevat er e geemsitsbetragtig hvor ma atager at folk forholder sig eutralt over for risici overhovedet? Svar Die spørgsmål berører ogle meget fudametale problemer, emlig:»hvad er e sadsylighed?«. Der er (midst) tre mulige måder at fortolke sadsyligheder på: (1) De frekvetielle fortolkig. Sadsylighede for e hædelse er lig hyppighede af hædelse i e (lag) række uafhægige getagelser af hædelse. F.eks. 2

3 hvis 100 kast med e møt giver»kroe«36 gage og»plat«64 gage, så er de (frekvetielle) sadsylighed for»kroe«lig I dee fortolkig er sadsylighede for e hædelse, som ikke ka getages ikke defieret. F.eks. hædelse at Store Bælts Broe bliver edsejlet i løbet af de æste 100 år, har ikke e frekvetiel sadsylighed, me faktisk bad Folketiget i si tid et kosuletfirma om at udrege dee sadsylighed. De kom med svaret 5%. Folketiget øskede at bruge dee sadsylighed til at afgøre, om der skulle iværksættes e række (dyre) sikkerhedsforastaltiger ved Store Bælts Broe. Som bekedt blev disse sikkerhedsforastaltiger iværksat ma aså risikoe for at være for stor til at kue igoreres. I 1930 ere forsøgte vo Mises at give e præcis matematisk model for frekvetielle sadsyligheder ude syderlig held modelle ideholdt e række uløselige logiske problemer. (2) De subjektive fortolkig. Sadsylighede for e hædelse er lige de grad af overbevisig, som de perso der fremsætter de, har om hvorvidt hædelse idtræffer. F.eks. kosuletfirmaets sadsylighed på 5% for e edsejlig af Store Bælts Broe i løbet af de æste 100 år, udtrykker firmaets grad af overbevisig om hvorvidt dee hædelse vil fide sted. Subjektive sadsyligheder giver meig for ehver hædelse (også selvom de ikke ka getages), me de er subjektiv: Forskellige persoer ka have forskellige subjektive sadsyligheder for samme hædelse. Nogle sadsyligheder er både frekvetielle og subjektive: Ifølge mit forsikrigsselskab er sadsylighede for, at mit hus edbræder i løbet af æste år lig. Forsikrigsselskabets sadsylighed er frekvetiel (de er baseret på e lag række observatioer af parcelhuse, der»liger«mit hus). For mig er sadsylighede subjektiv. Hædelse»mit hus edbræder i løbet af det æste år«ka ikke getages. Til trods herfor tror jeg på sadsylighede og har teget e bradforsikrig (det ville jeg også gøre, selvom de ikke var lovpligtig). I 1933 lavede Kolmogorov e præcis matematisk model for sadsylighedsregige, som i dag er æste eerådede i sadsylighedsregige. Kolmogorovs model er e model for subjektive sadsyligheder: De specificerer ikke hvad sadsylighede for e hædelse er, me de giver de fudametale regler (aksiomer) for regig med sadsyligheder. De subjektive sadsyligheder ideholder de frekvetielle sadsyligheder i de forstad, at vi i Kolmogorovs model faktisk ka bevise at de frekvetielle sadsylighed er lig de subjektive sadsylighed. Mere præcist ka vi bevise de store tals lov: Hvis X 1, X 2,... er uafhægige tilfældige tal med samme middelværdi og samme varias, da vil de»frekvetielle middelværdi«; dvs. geemsittet S = 1 (X X ), være ca. lig de fælles middelværdi, år blot atallet af observatioer er tilstrækkelig stor eller på»matematisk«: P ( lim S = µ ) = 1 hvor µ er de fælles middelværdi. (3) A priori fortolkige. A priori sadsylighede for e hædelse er de sadsylighed, som alle foruftige meesker ka ees om. F.eks. i almidelighed går ma 3

4 udfra at sadsylighede for e 6 er it et slag med e terig er lig 1 6, også ude at lave forsøg med terigkast. A priori sadsyligheder er som regel baseret på ideé om»lige mulige«udfald, og begræset til de hædelser, som alle foruftige meesker ka ees om. De opridelige model for sadsylighedsregige (B. Pascal & P. Fermat, 1654), er etop e model for a priori sadsyligheder. I dag er a priori sadsyligheder grudlaget for Bayes statistik, hvor ma starter med e apriori sadsylighed, udfører et forsøg, og bereger e posteori sadsylighed (ved hjælp af Bayes formel eller variater af dee). For at komme til die kokrete spørgsmål: I»Deal o-deal«er de relevate sadsyligheder frekvetielle for TV2 og de»geemsitlige gevist«er e reel størrelse for TV2 de spiller mage gage. For de ekelte deltager er»kald eller fald«hu/ha spiller ku é gag og de relevate sadsyligheder er således subjektive for de ekelte deltager me til trods herfor må det mest ratioelle være at idrette strategie således, at ma maksimerer si geemsitlige gevist. I hvert fald efter mi overbevisig, som selvfølgelig ka diskuteres, me jeg ka ikke se oge ade ratioal strategi. Faktisk opfattede Jakob Beroulli( ) i si berømte bog Ars cojectadi (som faktisk ideholder det første bevis for store tals lov, og som blev udgivet i 1713), sadsylighedesregige som e model for»de sude foruft«, emlig som e måde til at tage ratioale beslutiger i e tilfælgig Verde. Parkerigsproblemet: Som altid i sadsylighedsteoretiske modeller er der e række uderliggede atagelser. I parkerigsproblemet lyder de således: (a) Hædelsere»e P-plads er optaget«er uafhægige og har samme sadsylighed, som er kedt, lad os sige p. (b) Atallet af P-pladser er kedt, lad os sige d. (c) Positioe af biografe (eller hospitalet) er kedt, lad os sige udfor P-plads r.. (d) Der er opgivet e omkostig, lad os sige A, ved ikke at komme i biografe (eller på hospitalet). De optimale P-strategi giver et bestem tal, lad os sige r, som ka bereges udfra størrelsere p, d,, og A, og de optimale strategi siger:»passér de første r 1 P-pladser, tag deræst de første ledige P-plads derefter«. De præcise formel for udregige af de kritiske værdi r er eksotisk: ( { log (A d )p d (1 p) + p (1 p) p d} ) r = 1 ceil log p me hvis omkostige A ved ikke at komme i biografe (eller på hospitalet) er meget stor, så er r = 1, og du skal vælge første ledige P-plads. For hædelser i de»virkelige Verde«må ma evaluere sie sadsyligheder: (1) Ete som e frekvetiel sadsylighed. Dette gøres ved observatioer af e række»ligede«hædelser; f.eks. sadsylighede for»mit hus edbræder i løbet af det æste år«; (2) Eller som e subjektiv sadsylighed. Dette ka f.eks. gøres ved simulatioer på e computer, det var de måde, som kosuletfirmaet udregede sadsylighede for hædelse:»store Bælts Broe bliver edsejlet i løbet af de æste 100 år«. 4

5 Ituitioe er ige hjælp her, og de giver alt for ofte et urealistisk bud på sadsylighede. Lad mig give et simpelt eksempel. E møt kastes ige og ige, dette giver os e række af K er (»kroe«) og P er (»plat«). Lad os betragte første forekomst af PK i de rækkefølge. Da sadsylighede for PK er lig = 1, vil ma ituitivt forvete at PK kommer cirka hver fjerde gag, og at ma således i»sit«skal vete 4 gage 4 på første forekomst af PK. Dette er faktisk korrekt, me udregige er meget lag og»tricket«. Så vidt så godt ituitioe er korrekt. Lad os betragte første forekomst af KK. Da sadsylighede for KK også er lig 1 4, er det klart at ma ligeledes i»sit«skal vete 4 gage på første forekomst af KK eller er det u også det? Geemføres beregigere, som ige er lage og»tricket«, får ma at de geemsitlige vetetid på KK er lig 6. Det er ikke så godt ituitioe er forkert. Mi ituitio siger også at de geemsitlige vetetid på KK skal være 4, me mie beregiger siger at de er lig 6, og desude viser forsøg med møtkast at 6 er korrekt. I sadsylighedsregige er der et hav af ligede eksempler, som viser at vores ituitive forestilliger om sadsyligheder er håbløst forkert og strider mod beregiger (og forsøg!). Husk også at sadsylighedsbegrebet er et yt begreb, som ku har eksisteret i ca. 450 år. Før de tid eksisterede begrebet overhovedet ikke, til trods for at spil har været kedt lige side meesket kravlede ed fra træeree og begydte at gå på to be. Dee lage erfarigsrække udviklede ikke e ituitio om sadsyligheder. Sadsyligheder Per Hedegård I udsedelse siger Hoffma-Jørgese, dels at ma ikke skal stole på si ituitio me på beregigere, og at hvis sadsylighede er 1 6 for at slå e sekser i det første slag, så er de også 1 6 hvis ma efter 100 slag ikke har slået e sekser. Mi ituitio siger mig, at det sidste absolut ikke ka passe. Sadsylighede for at slå 100 ikkeseksere i træk, givet at sadsylighede for e sekser i hvert slag er 1 6, er 1 83millioer altså e tiededel af sadsylighede for at få 7 rigtige i lotto! Jeg ved også matematikeres»ærlige terig«ikke fides i virkelighede, me er e teoretisk fiktio. Ehver rigtig terig er e fysisk virkelig tig, og det skulle være meget mærkeligt, om de var»ærlig«. Hvis jeg efter 100 slag ikke havde set e sekser, ville jeg bestemt komme i tvivl herom og sige, at sadsylighede for at teriger var»ærlig«er gaske lille og derfor og ædre mi sadsylighed for at slå e sekser i slag ummer 101. Ituitio og commo sese syes i dette tilfælde at være mere korrekt ed beregiger baseret på matematiske fiktioer som»ærlige teriger«. 5

6 Svar I Lotto er e hver give kombiatio overordetlig usadsylig, også de kombiatio der bliver udtrukket. Så usadsylige hædelser idtræffer! Med hesy til terige. Dette er et gammelt problem, som går tilbage til midtea f 1700-tallet, hvor de to matematikere d Alember og Daiel Beroulli diskuterede om hvorvidt terige har»hukommelse«eller ej. Daiel Beroulli påstod, at terige har ige»hukommelse«, og d Alembert påstod, at det havde de. De diskuterede problemet i mere ed 30 år ude at å til eighed. Jeg vil sige at hvis e terig ikke har vist e 6 er i 100 slag, så er de måske skæv, me på de ade side er der blevet spillet så meget teriger i løbet af de sidste cirka 6000 år (så gammel er terige), at det ikke er usadsyligt at e»ærlig terig«på et eller adet tidspukt i disse mage år ikke har vist e 6 er i 100 successive slag. Med hesy til matematiske»fiktioer«. Det er korrekt, at år vi aveder matematik (heruder sadsylighedsregig) på de»virkelige Verde«, så bygger vi på e idealiseret fiktio. Problemet er så om fiktioe fugerer i praksis. Ved at avede matematik, ka vi forudsige hvor og hvorår de æste solformørkelse idtræffer og det gør de! Matematik er ikke e aturvideskabelig discipli. Matematikkes objekt er ikke de»virkelige Verde«, me des objekt er vores ege take. Dette gør matematik til e filosofisk discipli, som af historiske årsager i dag er helagt til de aturvideskabelige fakulteter. Det er oget af et uder at matematikke faktisk fugerer i de»virkelige verde«, og ogle filosoffer går så lagt, at de siger, at matematikke er»natures sprog«. Matematikke fugerer upåklageligt i aturvideskabere, i de forstad at de giver korrekte forudsigelser. Forsikrigsselskabere er det bedste bevis for, at sadsylighedsregige fugerer i de»virkerlige Verde«. Forsikrig og sadsylighedsregig opstod cirka samtidigt (i midte af 1600-tallet), og forsikrig var de første seriøse avedelse af sadsylighedsregige. Gå ud og se forsikrigsselskaberes paladser, hvis sadsylighedsregiges»fiktio«ikke fugerede i de»virkelige Verde«, ville de ligge i ruier! Med hesy til»commo sese«: Faktisk opfattede Jakob Beroulli ( ) i si berømte bog Ars cojectadi (Kuste at gætte udgivet i 1713), sadsylighedsregige som e model for»de sude foruft«, emlig som e måde til at tage ratioale beslutiger i e tilfældig Verde. 6

7 Spørgsmål til eksperte Thomas Aderse Det er ogle rigtig spædede udregiger der bliver beskrevet i programmet. Især det med terigere. Me jeg har u et spørgmål rettet mod poker, som jeg selv spiller e del. Jeg kue godt tæke mig at vide, hvor meget held spiller id i poker kotra skills. F.eks hvad er held procete, hvis ma spiller e Sit&Go turerig hvor blidse starter 20/40 og stiger hvert 10. miut og der er 10 meesker med. Og sætte det op imod et cash game, hvor blidse ikke stiger. Er det i høj grad emmere at vide pege i cash games eller Sit&gos? Svar Poker er ikke et hazard-spil, i de forstad at i det lage løb vil de spiller der er bedst til at evaluere sadsylighedere og agere korrekt udfra disse sadsyligheder vide. Hvis to spillere er lige gode (eller lige dårlige) til at evaluere sadsylighedere, er spillet et»fair«spil, hvilket betyder de i det lage løb begge vil ede op med e geemsitlig gevist på 0 kr. Så det er umuligt at give et svar på dit spørgsmål, eller rettere svaret afhæger af hvor gode spillere er til at evaluere de relevate sadsyligheder. Held eller uheld er fæomeer, som udviskes over e lag periode. Ikke destomidre har mage spillere de erfarig, at de e give afte sidder i held eller i uheld. Dette er e korrekt observatio, som skyldes de fuldstædige tilfældighed i kortfordelige. Lad os betragte to spillere, som spiller e række spil i løbet af e afte. I sadsylighedsregige siger vi e spiller sidder»i held«, hvis ha/hu har ført (dvs. har haft e positiv gevist) de meste af tide, og sidder»i uheld«, hvis ha/hu har været bagud (dvs. har haft tab) det meste af tide. Atag, at de to spillere er lige dygtige, dvs. sadsylighede er lig 1 for at de ee eller de ade vider et spil. Umiddelbart, vil 2 ma forvete, at år spillere er lige dygtige, så vil de to spillere have ført/været bagud cirka halvdele af spillee. I sadsylighedsregige ka vi bevise de såkaldte arcus-sius lov, som siger at der er e stor sadsylighed for at de ee spiller sidder»i held«og de ade sidder»i uheld«, mes sadsylighede for at de to spillere har ført/været bagud cirka halvdele af spillee er forbløffede lille. Mere præcist, siger arcus-sius love: Hvis F Du spiller e række»fair«spil. Hvis F beteger atallet af gage, du har haft positiv gevist i de første spil, da vil F være de del af tide d har»ført«i de første spil, og der gælder lim P( x F y ) = 1 y 1 dt 0 x y 1. 2π x t(1 t) er cirka 1 2, har du ført/været bagud i cirka halvdele af spillee, hvis F er lille, er stor, dvs. tæt på 1, har di siddet»i held«. dvs. tæt på 0, har du siddet»i uheld«, hvis F 7

8 Arcus-sius love viser at de geemsitlige værdi af F at 1 2 er de mest usadsylige værdi af F er lige 1 2, me de viser også,, og at 0 og 1 er de mest sadsylige værdier af F. Der betyder at de geemsitlige værdi 1 2, ikke skyldes at F er cirka 1, me at 2 de fremkommer som et geemsit af tal som er æste lig 0 eller æste lig 1. Beviset for arcus-sius love er overordetlig lagt og svært, me de er udtryk for at tilfældigheder opfører sig gaske aderledes ed ma forveter vores ituitio om sadsyligheder leder os ofte på vildspor. Arcus-sius love blev bevis omkrig 1955 af e dask sadsylighedsteoretiker, Erik Sparre Aderse (som iøvrigt var mi første lærer i sadsylighedsregig). Til Rasmus Østergaard Pederse Spiller ma blackjack, roulette og ligede spil hvor oddsee er imod dig bør ma vel kue vide. Jeg meer fx at i blackjack er sadsylighede for at vide omkrig 1 3. Spiller ma u flere spil og fortsætter med at 3 doble idsatse vil ma altid vide mere. Altså i først spil har ma sadsylighede: 1 ( ) = 1 3, for at vide I adet spil 1 ( ) = 5 9, altså allerede i adet spil overvejee sadsylighed for at vide. Fortsætter ma dee takegag lidt, vil ma hurtigt se at der er så oplagt sadsylighed for at vide ide ma kommer op på e ustyrlig idsats at ma altid bør vide. Da spillee aldrig taber må der vel være e fejl i det jeg siger. Hvad er galt med dee takegag, hvor ma altid vil komme ud ove ud? Svar I blackjack er oddsee ikke imod dig - de er med dig. Dette skyldes at du keder»dealeres«strategi. De optimale strategi i blackjack blev udreget i begydelse af 1960 ere og de giver spillere e geemsitlig gevist på lidt uder 3% af hedes/has opsætig. Uheldigvis kræver de optimale strategi, at ma ka tælle og huske mage kort (der er cirka 300 mulige kort i e»stack«), dette er dog de midste kust, strategie kræver at ma ka udføre mage og lage beregiger på kort tid. Ma skal derfor helst have e computer til rådighed og helst e såkaldt»talkuser«e almidelig computer er for lagsom. Vedrørede die beregiger. Der er altså sadsylighed 1 for at fide første, adet, 3 tredje spil etc. Der er sadsylighed = 2 ) for at tabe første spil og vide adet spil. I almidelighed er der sadsylighed ( 2 3 for at tabe de 1 første spil og vide det te spil. Disse sadsyligheder bliver overordetlig små år tallet bliver stor. De strategi du omtaler er e variat af de såkaldte martial strategi. Det er e almidelig overtro bladt spillere, at martial strategie er e sikker vider strategi. Jeg vil gere 8

9 beytte lejlighede til kraftigt at advare mod strategie - i sadsylighedsregige ka vi vise at de med sikkerhed (dvs. 100%) fører til rui! Se også mit svar til Marti Kostatiovitch. E sikker strategi ved roulette Marti Kostatiovitsch Ved roulette ka ma spille på rød og sort. Geviste på disse to spil er idsatse 2. I flg. mi teori, så burde det altså kue lade sig gøre at få et overskud, ved at bruge følgede metode: 1 Sats altid på samme farve. 2 Sats altid det dobbelte af det foregåede spil. Et eksempel: Laveste idsats er Spil laveste idsats. Spil 25 i første spil. Har du vudet, er geviste = 25, og du starter fra Har du tabt, så satser du idsats fra sidste spil 2. Spil 50 i adet spil. Har du vudet, er geviste 100 (50+25) = 25, og du starter fra 1. Har du tabt, så starter du fra 2. Spil 100,- i tredje spil. Har du vudet, er geviste 200 ( ) = 25, og du starter fra 1. Har du tabt, så starter du fra 2. Bordee har altid et loft, me alligevel burde sadsylighede for at ramme loftet være midre ed sadsylighede for at ramme rigtig farve. Har jeg fudet e skudsikker teori, eller er jeg bare blevet blid i mi jagt på e em idtjeig? Svar De strategi du omtaler, har været kedt i århudreder. De går uder avet martigalstrategie. Ordet»martigal«har flere betydiger på dask; f.eks.: (a) Et specielt par bukser med både livrem og seler; (b) Stormskødet til mesasejlet på et sejlskib. Mesasejlet er det agterste sejl på et tre-mastet sejlskib. Det sidder på lags af skibet, i modsætig til storsejlee, som er tværstillet. I stomvejr måtte ma stryge storsejlee og lægge skibet op mod vide, me for at roret kue virke måtte ma sætte et sejl for at give skibet egefart det var mesasejlet, som så blev sikret med et tovværk, som blev kaldt»martigale«. (c) De læderrem, som går fra e hests brige 9

10 op til hage, og som sal forhidre heste i at»slå«med hovedet og kaste ryttere af. (d) De spilstrategi, som du omtaler i di . Der er flere adre betydiger af ordet»martigal«. Fælles for dem alle, er at de er e slags sikkerhedsforastaltig. Ordet stammer fra de fraske ladsby Martigaux, hvis idbyggere fra gammel tid er kedt som forsigtige folk. Det er almidelig overtro bladt spillere, at martigalstrategie er e sikker vider strategi. I sadsylighedsregige ka vi bevise, at martigalstrategie med sikkerhed (dvs. med sadsylighed 100%) fører til rui (også selv ude»loft«); medmidre ma har uedelig stor kapital og det er uedelig stor i matematisk betydig meget stor er ikke ok! Det er vist de færreste der har uedelig stor kapital, og hvis ma har ka ma ikke forøge si kapital ved at vide:»uedelig + hvadsomhelst = uedelig«. Så lad være med at beytte martigalstrategie de fører til sikker rui! Som det også blev poiteret i udsedelse, skal ma betvivle si ituitio og stole på sie beregiger, me det forudsætter at ma reger korrekt, og det er ikke så emt. De beregiger der viser at martitalstrategie fører til sikker rui er lage og komplicerede. I sadsylighedsregige ka vi bevise e»lov«som går uder avet Optimal samplig (jeg har ikke fudet e passede dask oversættelse). Optimal samplig-love sige (løst sagt): Hvis ma har edelig kapital og spiller e række spil, hvor oddsee er imod e og ma ikke er clairvoyat (e såda række spil kaldes e supermartigal i sadsylighedsegige), så fides ige strategi, der ka ædre odds. De optimale strategi er simpel me beklagelig:»stop før du begyder«. Abraham de Moivre ( ) udtrykker det meget klart i forordet til si bog Doctrie of Chaces (3. udgave, udgivet i 1756): Your Lordship (her hetydes til de Moivre s ve og velgører Lord Carpeter) does easily percieve, that this doctrie is so far from ecouragig Play, that it is rather a Guard agaist it, by settig a clear Light, the Advatages ad Disadvatages of those Games wherei Chace is cocered. Mere præcist, sigere optimal samplig-love følgede: Lad X 1, X 2,... være e supermartigal af tilfældige tal, og lad σ og τ være stopstrategier, så at τ σ og σ er»optioal for X «, da gælder E(X σ F τ ) X τ. Størrelse E(X σ F τ ) beteger dit bedste bud på, hvad di gevist er til tid σ baseret på al de iformatio du har til tid τ.»optioalitete«af σ er et udtryk for at meget stort tab ikke er tilladt. Formle siger så, at uaset hvorda du vælger di stopstrategi, så er det såda, at jo lægere du veter med at stoppe, jo mere taber du. 10

11 Sadsylighed Niels Herik Jese Godt gået med parkerigspladse. Selv om jeg var meget god til matematik, forstod jeg aldrig rigtigt sasylighedsberegig. Det har ærgret mig lige side, og det har varet læge, da vi må være æste jævaldrede. Ka du abefale e bog, der ka sætte mig igag med at forstå og berege? Svar Der fides ikke så meget litteratur på dask, som er tilgægelig for lægmad ude professioal hjælp, me jeg ka abefale Erlig Aderses bog Reg på di gevist. På egelsk ka jeg abefale: (1) William Feller: A Itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios udgivet af Joh Wiley & Sos. Boge er fra 1950, me de ka stadig købes. (2) Abraham de Moivre: Doctrie of Chaces. Boge er fra 1756, me de ka fås i dag (fotografisk optryk af origiale) på forlaget: America Mathematical Society & Chelsea. Boge er godt ok gammel, me det er e fremragede og meget pædagogisk bog, og de år vidt omkrig i sadsylighedsregige. Sadsylighed Lars Rolad Capio Jeg har et spørgsmål til vedr. sadsylighed. Hvis der er to mulige udfald af et kast. F.eks. ved kast med e møt, hvor der er lige stor sadsylighed for plat som for kroe, er det klart, at ligegyldig hvor mage forudgåede es udfald, der har været, er udfaldet af æste kast stadig lige tilfældigt og med lige stor chace for plat som for kroe. Me samtidig er møte ødt til at stræbe mod e ligelig fordelig ml. plat og kroe, hvis de skal være e ormal møt. Så hvis der har været et stort atal udfald af f.eks. plat, må ormalfordeligs-»krafte«vel på et eller adet tidspukt begyde og»trække«møte mod det modsatte udfald, så e ligelig fordelig af udfaldede opåes. Me da kastet med møte skal være tilfældigt, er dette e umulighed, og derfor syes jeg der er e mystisk modsætig ml. møtes tilfældige udfald og de ligelige sadsylighedsfordelig. Ka du/i løse mysteriet? På forhåd tak! 11

12 Svar Dit første spørgsmål: Hvis møte har sassylighed 1 for at vise»kroe«og»plat«, 2 så gælder, at ligegyldigt hvad møte har vist de sidste gage, da er sadsylighede stadig lige 1 2 for at vide»kroe«og»plat«i kast ummer Det er e almidelig overtro, at år blot ma har tilstrækkelig mage observatioer, så er altig ormal fordelt. I sadsylighedsregige ka vi bevise de såkaldte cetrale græseværdi lov som løst sagt, siger at summe af mage»små«og uafhægige tilføldige tal, er approksimativt ormal fordelt; dvs.: Hvis S = X X er e sum af»små«tilfældige tal X 1, X 2,..., X, så gælder, uder e række specifikke forudsætiger, at vi har: lim P(x S y) = 1 y e t2 2 dt x y 2 Der fides mage adre fordeliger med dee egeskab (de såkaldte uedelige delelige fordeliger, f.eks. ekspoetial fordelige, Poisso fordelige, gamma fordelige, o.m.a.). Hver af disse fordeliger har deres ege cetrale græseværdi lov. F.eks. hvis S = X X er e sum af»små«tilfældige positive tal X 1, X 2,..., X, så gælder, uder e række specifikke forudsætiger, at vi har: x lim P(x S y) = e λ y =x λ! 0 x y og uder e ade række specifikke forudsætiger, har vi lim P(x S y) = λ y x e λt dt 0 x y Så ormal fordelige er ikke så»ormal«edda der er mage adre fordeliger, der fortjeer avet»ormal fordelige«. I sadsylighedsregige ka vi også bevise de såkaldte iterede logaritme lov, som løst sagt siger at i lage perioder (for meget lage observatiosrækker) vil die møtkast være meget lagt væk fra e ligelig fordelig. Mere præcist, hvis S beteger atallet af»kroe«i de første kast, da gælder lim sup S 1 2 = 1 og limif loglog S 1 2 = 1 loglog Faktisk er e»ligelig fordelig«udtagelse sarere ed regle. Tilfældige hædelser opfører sig gaske aderledes ed ma forveter og ligger udefor vores ituitios rækkevidde. I sadsylighedsregige ka vi berege os til, hvorledes tilfældige hædelser opfører sig, me forstå vores resultater det er e gaske ade sag. Efter et lagt liv i sadsylighedsregige ka jeg stadigvæk blive overrasket, og jeg har lært at mi ituitio, selv efter jeg har ser de mage paradokser, som sadsylighedsregige er fuld af, er eledig, me jeg ka rege mig frem til korrekte resultater. 12

13 Formel for sasylighed for at vide i lotto Guar Bruu Kue jeg få dig til at sede formel for sasylighed for at vide i lotto. Svar Sadsylighede for at have 7 rigtige i lotto (ud af 36 mulige) er lig = I almideligh er sadsylighede for at have alle (= x) rigtige i lotto (ud af mulige) lig ( ) 1 ( 1)1... ( x + 1) ( hvor = x) x x De adre vider kombiatioer, f.eks. 6 rigtige og 1 forkert er mere bøvlede at skrive op, me du ka fide formlere i Erlig Aderses bog Reg på di gevist. Et spil Klaus Olsbjerg Jese Vide om i aftes fik mig til at tæke på et problem, jeg hørte for e del år side, og som jeg aldrig har fudet e løsig på. Det drejer sig om et simpelt spil. E spiller ka vælge mellem to kuverter. I hver kuvert er et pegebeløb, i de ee et dobbelt så stort beløb som i de ade. Spillere vælger e kuvert, åber de og fider 100 kr. Ha får u at vide at ha gere må vælge om hvis ha vil. Der er aturligvis ige grud til at vælge om, sadsylighede for at spillere valgte kuverte med det store beløb er 50%. Og dog, lad os rege lidt på det. I de ade kuvert er der ete 50 kr eller 200 kr. Så ved at skifte valg, vil spillere i geemsit få 0,5 50kr + 0,5 200kr = 125kr, altså 25% mere ed hvis ha ikke ædrede sit valg. Det må altså være e god strategi at vælge om. Hvis beløbet havde været et adet, lad os sige X kr ville et omvalg i geemsit give spillere 0,5 0,5 X,kr + 0,5 2 X kr = 1,25 X kr, altså stadig 25% mere. Med adre ord, spillere behøver ikke åbe kuverte. Ligegyldig hvilke kuvert ha havde tækt sig at vælge, ville det være smart at vælge de ade!!! Hvor er fejle? 13

14 Svar Problemet er, at såda ka ma ikke rege med (betigede) middelværdier. Lad os atage at beløbee er et helt atal kroer. Hvis beløbet i de kuvert du vælger er ulige; f.eks.: 201 kr, ved du at det er det lille beløb ( = 100,5, som ikke er et helt tal). Så ved at vælge om, er du sikker på at få det store beløb! Dette viser at die udregiger ikke er korrekte. Udregigere ser mere eksotiske ud. Lad os ummerere kovoluttere 0 og 1. Lad X 0 være det tilfældige tal i kovolut r. 0 og lad X 1 = 2X 0 være det tilfældige tal i kovolut r. 1. Vi vælger u e kovolut tilfældigt og uafhægigt af tallee X 0 og X 1 ; dvs. vi vølger et tal σ som ete er 0 eller 1, så at P(σ = 0) = P(σ = 1) = 1 og σ er 2 uafhægig af X 0 og X 1. Da er τ = 1 σ ummeret på de ikke-valgte kovolut og X τ er beløbet i de ikke-valgte kovolut. Vi åber u de valgte kovolut og ser at beløbet er lig x. Dette har sadsylighed P(X σ = x) = 1 2 P(X 0 = x) P(X 0 = x 2 ) Lad A være de geemsitlige værdi af beløbet i de ikke-valgte kovolut. Da er A givet ved formle A = E(1 {X σ =x}x τ ) P(X σ = x) Nu reger vi Så A er givet ved formle E(1 {Xσ =x}x τ ) = E(1 {σ=0,x0 =x}x 1 ) + E(1 {σ=1,x1 =x}x 0 ) = 2xP(σ = 0,X 0 = x) + x 2 P(σ = 1,X 1 = x) = x ( P(X 0 = x) P(X 0 = x 2 )) E(X τ X σ = x) = x 2P(X 0 = x) P(X 0 = x 2 ) P(X 0 = x) + P(X 0 = x 2 ) som i almidelighed hverke er større ed x, midre ed x eller lig med x. For at afgøre om det er e fordel at vælge om, må du kede sadsylighede for at det»lille«tal er lig x. 14

15 Spørgsmål til Simo Ollig Rebsdorf Tak for e spædede udsedelse. Jeg er selv cad.sciet og ød hele badulje. Me statistik var var aldrig mi stærke side... Så ka ma få lov at se formle for stopstrategier i forb. med parkerig, som så illustrativt blev præseteret i programmet? (og e kort forklarig af de idgåede parametre) På forhåd tak! Svar Parkerigsproblemet: Som altid i sadsylighedsteoretiske modeller er der em række uderliggede atagelser. Her lyder de således: (a) Hædelsere»e P-plads er optaget«er uafhægige og har samme sadsylighed, som er kedt, lad os sige p. (b) Atallet af P-pladser er kedt, lad os sige d. (c) Positioe af biografe er kedt, lad os sige ud for P-plads ummer ; det atages at d, så der fides e P-plads udefor biografe. (d) Der er opgivet e omkostig, lad os sige A, ved ikke at komme i biografe, så at A er større ed afstade fra sidste P-plads til biografe. (Dette krav betyder at du er villig til at tage sidste P-plads, selv om de ligger lagt fra biografe.) De optimale P-strategi giver et bestemt tal, lad os sige r, som ka bereges udfra størrelsere p, d, og A, og de optimale strategi siger:»passér de første r 1 P-pladser, tag deræst de første ledige P-plads derefter«. De præcise formel for udregige af de kritiske værdi r er eksotisk: r = 1 ceil ( { log (A d + )p d (1 p) + p (1 p) p d} ) log p Her betyder x y det største af tallee x og y, og ceil(x) er»gulvet i x es lejlighed«; dvs. det største hele tal midre ed eller lig med x. Hvis omkostige A ved ikke at komme i biografe er meget stor, så er r = 1, og du skal vælge første ledige P-plads. Hvis p 1, dvs. midst havldele af P-pladsere 2 er ledige, da er r = og strategie sider:»kør he til biografe, og se om P-pladse udefor biografe er ledig. Hvis det er tilfældet tager du dee P-plads. Hvis ikke tager du de første ledige P-plads efter biografe, såfremt du ka fide e. I modsat fald opgiver du biografture og går hjem«. 15

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse 2013 Fra vide til hadlig Få flere uge, især med ade etisk baggrud ed dask, til at begyde på og geemføre e erhvervsfaglig uddaelse Tekst/forfatter LG Isight Udgivet af Fastholdelseskaravae/- Miisteriet

Læs mere

Trekantsområdets kystlejrpladser

Trekantsområdets kystlejrpladser Gl.Å bo v Selum Stederup Søderskov De østyske forde,, og forde, byder på uikke atur ser lags kyste. Alle e. Favetræspladse Jorde er god, og skove er derfor frodig og varieret. De markerede rute, der går

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence Affaldshådbog 2008 Batteriidsamlig Gebrugsstatioer Storskrald Kokurrece Idhold Hilse fra direktøre 3 Nyheder i 2008 4 Geerelt 5 Hjælp di skraldemad 5 ORDNINGER Restaffald 6 Papiridsamlig 8 Batterier på

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

VERDEN. handler ETISK OG FAIR? Skolekontakten

VERDEN. handler ETISK OG FAIR? Skolekontakten P e t e r B e j d e r & K a a r e Ø s t e r VERDEN hadler ETISK OG FAIR? Skolekotakte Verde hadler etisk og fair? Peter Bejder & Kaare Øster VERDEN hadler Verde hadler etisk og fair? Peter Bejder & Kaare

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

af det hele Randi Laubek Frederikshavn

af det hele Randi Laubek Frederikshavn Frederikshav af det hele Radi Laubek Natures skøhed har haft stor betydig for mi musik, fortæller sagere, sagskrivere og musikere Radi Laubek, der er vokset op i det ordjyske. Side 14 15 Morgefruer med

Læs mere

Naturen. i kommunerne

Naturen. i kommunerne Nature i kommuere Side 2007 har Damarks kommuer sørget for at pleje og beskytte ature. Med dee udgivelse vil KTC vise eksempler på, hvorda kommuere værer om ature, og får borgere med ud i det grøe Nature

Læs mere

Rette behandling gjorde aktivt liv muligt

Rette behandling gjorde aktivt liv muligt Smerter, gigt og kogler Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Damarks mest effektive sygehuse bruger de dyreste smertemedici I de to midtjyske byer Give og Brædstrup fider ma ladets mest effektive

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013...det brugervelige gulv Smart på mage......forskellige måder Lami art Black & Hype Der fides æppe oget gulv, der sætter brugere mere i fokus ed lamiatgulve fra Tarkett.

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Citation for published version (APA): Lewis Brooks, A.. T. (2010). Leg dig fra smerten. Fokus magasinet, (2), 16-17.

Citation for published version (APA): Lewis Brooks, A.. T. (2010). Leg dig fra smerten. Fokus magasinet, (2), 16-17. Aalborg Uiversitet Leg dig fra smerte Brooks, Toy Published i: magasiet Publicatio date: 2010 Documet Versio Forlagets edelige versio (ofte forlagets pdf) Lik to publicatio from Aalborg Uiversity Citatio

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

CLUB DE FÚTBOL TIETGEN

CLUB DE FÚTBOL TIETGEN CLUB DE FÚTBOL TIETGEN V S. OT TO Ø N S T E D KO L L E G I E T 11.11.01 KICK-OFF 15.30 I DETTE NUER: Fialedag i Fælledparke Veje til fiale 3 C.F. Tietge historie 4 Truppe 6 aageres peptalk 8 Kamp oversigt

Læs mere

Med serien Super let PS kan børn allerede fra 6 år få succes med deres første

Med serien Super let PS kan børn allerede fra 6 år få succes med deres første Superbør er super lette bøger til legelæsig og læsetræig allerede fra 5 år, det vil sige til det sidste år i børehave og til bh.kl. 1. klasse. Børee får her et tilbud på gode oplevelser, mage samtaleemer

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

YSoft SafeQ. Accounting software og terminaler. Applikationer YSoft SafeQ

YSoft SafeQ. Accounting software og terminaler. Applikationer YSoft SafeQ YSoft SafeQ Accoutig software og termialer Applikatioer YSoft SafeQ YSoft SafeQ, itroduktio YSoft SafeQ Komplet Accoutig og sikkerhed YSoft SafeQ er e serverløsig, som kotrollerer og fordeler udskrivige

Læs mere

Kabe - bladet. 29. årgang nr. 1 forår 2014

Kabe - bladet. 29. årgang nr. 1 forår 2014 Kabe - bladet 29. årgag r. 1 forår 2014 INTERCAMP og KABE fortæller i e pressemeddelelse, at de fra 1. jauar 2014 idleder et flerårigt samarbejde med de professioelle campist Peer Neslei fra CAMPINGFERIE.Dk

Læs mere

bizhub PRO C754 Den perfekte kombination til printbranchen Produktionssystem bizhub PRO C754

bizhub PRO C754 Den perfekte kombination til printbranchen Produktionssystem bizhub PRO C754 bizhub PRO C754 De perfekte kombiatio til pritbrache Produktiossystem bizhub PRO C754 bizhub PRO C754 produktiossystem Kokurrecedygtig udskrivig For at opå succes på markedet i dag skal ma som modere virksomhed

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere