Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kombinatorik og Sandsynlighedsregning"

Transkript

1 Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer, eller inden for spillene lotto, tips eller poker, være interesseret i at vide, hvor mange muligheder der er i alt. Inden vi kan begynde at tælle/beregne hvor mange muligheder der er, er vi nødt til at gøre det klart, hvad vores betingelser er. Betyder det f.eks. noget hvilken rækkefølge tallene/bogstaverne/personerne bliver valgt i er 1, 2, 3 det samme som 3, 2, 1? Man skal også finde ud af om tallet/bogstavet/personen kan være med mere end én gang er 1, 1, 3 f.eks. en gyldig kombination? Til dette formål har man i kombinatorikken indført nogle begreber til at sætte disse betingelser i system. Ordnet udtagelse: Rækkefølgen tallene/bogstaverne/personerne udtages i er vigtig. Uordnet udtagelse: Rækkefølgen tallene/bogstaverne/personerne udtages i er ikke vigtig. Med tilbagelægning: Tallene/bogstaverne/personerne må gerne være med flere gange. Uden tilbagelægning: Tallene/bogstaverne/personerne må ikke være med flere gange. Udtagelse betyder, at vi udtager et antal tal/bogstaver/personer altså tæller kombinationer. Sådan en udtagelse kan være enten ordnet eller uordnet. Tilbagelægning betyder om vi lægger tallet/bogstavet/personen tilbage i bunken vi kan vælge fra altså om det samme element kan være med flere gange. En udtagelse kan være enten med eller uden tilbagelægning. Det giver os i alt fire forskellige måder at tælle antal kombinationer på. Uden tilbagelægning (elementet er med én gang) Med tilbagelægning (elementet kan være med flere gange) Ordnet udtagelse (rækkefølgen har betydning) 1 2 Uordnet udtagelse (rækkefølgen har ikke betydning) 3 4 Vi ser nu på hver enkelt måde at lave kombinationer på med eksempelet på næste side. Vi har 20 forskellige bogstaver (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t). og vi skal udtage 3 af disse bogstaver. 1

2 1. Ordnet udtagelse uden tilbagelægning. ( ) = Vi må kun bruge hvert bogstav én gang, så første gang har vi 20 valgmuligheder, anden gang har vi 19, og tredje gang har vi 18. Rækkefølgen har betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,b,c og a,c,b er forskellige og derfor begge med. 2. Ordnet udtagelse med tilbagelægning. ( ) = 20 3 = 3. Uordnet udtagelse uden tilbagelægning. ( ) = (3 2 1) Vi må bruge alle 20 bogstaver hver gang, så første gang har vi 20 valgmuligheder, anden gang har vi 20, og tredje gang har vi også 20. Rækkefølgen har betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,a,c og c,a,a er forskellige og derfor begge med. Først ser vi på situationen hvis det var ordnet uden tilbagelægning ( ). Men da rækkefølgen ikke har betydning, reduceres (divideres) der med antal muligheder den ordnede udtagelse kan kombineres på (3 2 1). Rækkefølgen har ikke betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,b,c og a,c,b er ens og derfor kun skal med én gang. 4. Uordnet udtagelse med tilbagelægning. Tre ens To ens Et ens (tre forskellige) ( ) + ( ) = 1 (2 1) (3 2 1) Da det samme element kan være med flere gange, deler vi det op i tre situationer Tre ens, To ens og Et ens (tre forskellige). Rækkefølgen har ikke betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,a,c og c,a,a er ens og derfor kun skal med én gang. Hvis man ser på de udregninger, man arbejder med inden for kombinatorikken, er de egentlig ikke så svære. Man kan klare sig udelukkende med de 4 regningsarter (addition, subtraktion, multiplikation og division), og der er kun fire måder at lave kombinationer på. Udfordringen inden for kombinatorikken ligger i tankeprocessen og forståelsen for, hvad det er man laver, hvorfor man gør det, og hvad man får ud af det. Dette er samtidig en stor del af grundtanken inden for matematikken. Hvis man står i en situation og skal udregne et antal kombinationer, skal man altså først finde ud af, hvilken af de fire typer udtagelser, man befinder sig inden for, inden man kan formulere et svar, der besvarer spørgsmålet. 2

3 Opgaver i kombinatorik 1 1. Hvor mange 2-cifrede tal kan man lave af tallene 2 og 3, hvis tallene må bruges flere gange? 2. Hvor mange 2-cifrede tal kan man lave af tallene 2 og 3, hvis tallene kun må bruges én gang? 3. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2 og 3, hvis tallene må bruges flere gange? 4. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2 og 3, hvis tallene kun må bruges én gang? 5. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2, 3 og 4, hvis tallene må bruges flere gange, og hvad hedder det største og det mindste tal? 6. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2, 3 og 4, hvis tallene kun må bruges én gang, og hvad hedder det største og det mindste tal? 7. Du har 6 forskellige potteplanter, som skal stilles op i en vindueskarm. På hvor mange forskellige måder kan du stille dem, når de skal stå på én række? 8. På et pizzaria kan der vælges mellem 4 forretter, 27 pizzaer og 3 desserter. Hvor mange forskellige menuer af tre retter kan der laves? 9. En anden restaurant har på sit menukort 4 forretter, 5 hovedretter og 3 desserter. Du har kun råd til forret og hovedret eller hovedret og dessert. Hvor mange forskellige menuer kan du sammensætte? 10. Til en klassediskussion skal der vælges 1 ordstyrer og 1 referent ud af klassens 24 elever. Hvor mange forskellige kombinationer er der? 11. Til elevrådet skal der vælges 2 ligeværdige medlemmer ud af klassens 24 elever. Hvor mange forskellige kombinationer er der? 3

4 12. Du skal udfylde en tipskupon med 13 fodboldkampe, men han har ingen forstand på fodbold og sætter derfor tegnene fuldstændig tilfældigt. Man kan vælge 1, X eller 2 ved hver kamp, så hvor mange kombinationer er der? 13. En pinkode til et dankort består af fire cifre (tallene 0 til 9). Hvor mange forskellige pinkoder kan der laves? Find svaret, både hvis tallene må bruges flere gange, og hvis de kun må bruges én gang. 14. I en tombola står der fircifrede tal på lodderne (også f.eks eller 0302). Der er gevinst hver gang et sådant fircifret tal ender på 5. Hvor mange gevinstmuligheder er der? 15. Ved en matematikprøve skulle eleverne vælge seks ud af ti opgaver, som de skulle løse. a. Er dette valg en ordnet eller uordnet udtagelse? b. Er det med eller uden tilbagelægning? c. På hvor mange måder kan man foretage et valg? 16. I har lavet et lotteri i klassen og har solgt 100 lodsedler, der er mærket med tallene fra 00 til 99. Hovedgevinsten - den eneste gevinst - findes ved at der fra en pose udtages to cifre. I posen ligger der ti sedler, der er mærket med cifrene 0 til 9. Hvilken type udtagelse skal der laves ved lodtrækningen, for at den kan være entydig og retfærdig? 17. Du skal ind på dit værelse og skifte sokker, men desværre er lyset gået i stykker, så du kan ikke se noget. Du ved dog hvor dine sokker er, og du ved hvilke sokker, du har i skuffen, selvom de ligger i et stort rod. I skuffen har du: 6 sorte, men én af dem er i stykker, 7 blå, men på den ene af dem er der hul på hælen, 4 grønne, men her er den én der har hul på den ene tå, 8 brune, men her blev den ene misfarvet under sidste vask, 2 røde, men her er den ene begyndt at trævle op og endelig har du 7 stribede, som alle kan bruges. Hvor mange sokker skal du tage med ud af det mørke soveværelse, for at være sikker på, at du kan få et par ens og fejlfrie sokker på? 4

5 Teori del 2 Fakultet Når man begynder at arbejde med relativt store tal indenfor kombinatorikken bliver udregningerne hurtigt meget lange og uoverskuelige. Hvis man f.eks. skal svare på, hvor mange måder 24 elever i en klasse kan sætte sig på, vil udregningen være Det vil efterhånden blive omfattende at skrive alle de tal. Derfor har man indført et tegn, som man allerede kender fra sprogundervisningen. Nemlig dette tegn -!. Indenfor matematikken hedder det ikke udråbstegn, men derimod fakultet. Med fakultetsymbolet ville man kunne skrive ovenstående udregning som 24!. 24! = Hvis man har et tal efterfulgt af et fakultettegn, skal man altså gange dette tal med alle mindre hele tal til og med tallet 1. Undtagelsen fra denne ellers klare definition er at 0! = 1. Formlerne De fire forskellige typer udtagelser, som vi har set på, kan beskrives med nogle mere generelle formler. At de er generelle betyder, at man skriver udregningerne med bogstaver, og derefter kan benytte formlerne ved at sætte tal ind på de forskellige pladser. Til dette formål definerer vi to bogstaver n og r. n = antal muligheder r = antal pladser der skal vælges Øvelser i fakultet 1. Hvad er: 5! = 2. Hvad er: 5! : 4! = 3. Hvad er: (3 + 6)! = 4. Hvad er: 3! + 6! = 5. Hvad er: 0! = 6. Hvad er: 10! 9! = 7. Hvad er: (10 9)! = 8. Hvad er: 3! 3! = 9. Hvad er: (8 3)! 3! = 10. Hvad er: 1! = 11. Hvad er: 5! : (7 3)! = 12. Hvad er: 22! : (22 4)! 4! = 5

6 Opgaver i kombinatorik 2 1. I lærerrådet er der tyve personer, og der skal vælges to repræsentanter. En formand og en næstformand. Hvor mange kombinationer er der, og hvilken type udtagelse er det? 2. Hvis man i stedet for en formand og en næstformand vælger to ligeværdige repræsentanter i lærerrådet, hvor mange muligheder er der så, og hvilken type udtagelse er det? 3. Der skal vælges 8 elever, til skolens elevråd, og der er 55 elever, som gerne vil. Hvor mange kombinationsmuligheder er der? 4. Til Ekstrabladsfodbold skal drengene stille med et hold. Holdet skal bestå af 15 spillere, men der er 26, som gerne og gerne vil være med. Hvor mange mulige hold kan der stilles? 5. Der er nu udtaget 15 gode spillere, men der skal kun 11 spillere på banen ad gangen til at spille på de forskellige pladser. På hvor mange måder kan træneren lave startopstillingen, hvis alle spillere kan spille alle pladser? 6. I dag har næsten alle en cykellås med nøgle til, men før det var en almindelig cykellås ofte udstyret med 6 knapper, der hver kunne stå i 3 positioner. Hvor mange forskellige låsekombinationer findes der på sådan en cykellås og er alle låsekombinationerne lige brugbare? 7. Hvor mange kombinationer er der i lotto med 35 kugler, når der skal udtrækkes 6 tal. 8. Du har én 6-sidet terning i et raflebæger som du slår med seks gange i træk. Hvor mange kombinationer kan du slå? 9. Du har nu seks ens 6-sidede terninger i et raflebæger. Hvor mange forskellige kombinationer kan du slå? 6

7 Sandsynlighedsregning Teori del 1 Sandsynlighedsregning handler om at beregne sandsynligheder for forskellige hændelser. Hvis man skal beregne en sandsynlighed for at en bestemt hændelse sker må man først og fremmest vide, hvor mange mulige hændelser, der er i alt det kalder vi også for udfaldsrummet. Det svære ved sandsynlighedsregning kan være at finde ud af, hvor stort udfaldsrummet er. Heldigvis kan et godt kendskab til kombinatorikken ofte hjælpe os med at tælle/beregne, hvor mange muligheder vi har. Udfaldsrummet er således alle de kombinationer, der findes. Hvis vi f.eks. ville finde sandsynligheden for at trække spar konge fra et spil kort, hvis vi trak ét kort, ville vi først skulle finde vores udfaldsrum. Her kan vi ikke rigtig bruge kombinatorikken, men må tælle os frem, for at sikre os, at der er de 52 kort, der skal være i et kortspil. De 52 kort er vores udfaldsrum. Der er kun én spar konge i et kortspil så sandsynligheden for hændelsen at trække spar konge er 1 ud af = 0,01923 eller = 1,923 % Vi skriver sandsynligheder som brøker med hændelsen i tælleren og udfaldsrummet i nævneren. Brøken kan godt stå som vores endelige svar, men man kan også vælge at regne brøken ud og give svaret i kommatal eller gange kommatallet med 100 og få svaret i procent. Alle tre muligheder kan bruges, men procentsvaret er nok det mest brugte. Herunder er en oversigt over de almindeligt brugte udtryk inden for sandsynlighedsregningen. Udtryk Udfaldsrum: Udfald: Hændelse: Sandsynlighed: Forklaring Samtlige mulige udfald i et eksperiment. De enkelte forskellige muligheder i et eksperiment. Et eller flere udfald, der undersøges i et eksperiment. Angives som brøk, kommatal eller i procent (Sandsynligheden ligger altid mellem 0 og 1 eller 0 % og 100%) og beregnes ud fra følgende metode: Umulig hændelse: Hvis sandsynligheden for en hændelse er = 0 (0%). Sikker hændelse: Hvis sandsynligheden for en hændelse er = 1 (100%). Jævn sandsynlighed: Hvis sandsynligheden er den samme for alle udfald i udfaldsrummet. Ujævn sandsynlighed: Kan ikke beregnes matematisk, men må afprøves i praksis. Bogstavet P Man bruger bogstavet P som tegn for sandsynlighed. Hvis man f.eks. ser på sandsynligheden for at trække et es fra et spil kort, betyder det, at man i stedet for at skrive: Hvad er sandsynligheden for at trække et es? blot kan skrive P(es). 4 4 P(es) = = 7,7 % 7

8 Opgaver i sandsynlighedsregning 1 1. Beregn følgende ved kast med en terning: a. P(en treer) = b. P(ingen toer) = c. P(hverken fem eller seks) = d. P(en syver) = e. P(lige antal øjne) = f. P(mere end 4) = g. P(mindre end syv) = 2. Beregn, ved udtrækning af et kort fra et almindeligt spil kort (52 kort), følgende: a. P(en knægt) = b. P(klør 4) = c. P(en sort dame) = d. P(ingen konger) = e. P(ingen spar) = f. P(ingen billedkort) = g. P(røde eller sorte kort) = h. P(et billedkort) = 3. I en pose ligger der de 20 kugler, der er vist på tegningen til højre. Bestem forskellige sandsynligheder for trækning af en kugle. a. P(Sort kugle) = b. P(Hvid kugle) = c. P(Grå kugle) = d. P(et lige tal) = e. P(større end 15) = f. P(større end 5) = g. P(et primtal) = h. P(et kvadrattal) = i. Bestem en umulig hændelse j. Bestem en sikker hændelse 4. Ved kast med en terning er udfaldsrummet seks (1,2,3,4,5,6). Man ønsker at udføre et eksperiment med en terning, hvor udfaldsrummet skal være tre, og sandsynligheden skal være jævn. Hvad gør man? 8

9 Teori del 2 Indtil videre har vi kun set på enkle sandsynligheder, hvor eksperimentet bestod i at finde sandsynligheden for én hændelse. Man kan dog hurtigt få brug for at se på sammensatte sandsynligheder, hvor den hændelse man undersøger består af flere udfald indenfor udfaldsrummet. Vi benytter os af to principper additionsprincippet og multiplikationsprincippet: Additionsprincippet: Også kaldet enten-eller -princippet. Man lægger sine resultater sammen. Additionsprincippet bruges, når der kun er ét valg, hvor man enten skal vælge enten den ene eller den anden mulighed fra en samling af muligheder. Man siger at hændelserne er afhængige af hinanden begge hændelser kan ikke indtræffe samtidig. Hvis man f.eks. med én terning skal slå enten en 3 er eller en 5 er må der være = 2 muligheder. Vores udfaldsrum er seks, så sandsynligheden for at slå en 3 er eller en 5 er er = 6 = 3 eller 33,3 % Multiplikationsprincippet: Også kaldet både-og -princippet. Man ganger sine resultater sammen. Multiplikationsprincippet bruges når et valg består af flere uafhængige delvalg, hvor man både skal vælge fra en samling af muligheder, og fra en eller flere andre samlinger af muligheder. Man siger at hændelserne er uafhængige af hinanden begge hændelser skal indtræffe. Hvis man f.eks. med to terninger skal slå både en 3 er og en 5 er, må der være to muligheder for den første terning. Hvis den første terning bliver 3 eller 5, er der én mulighed for terning nummer 2. Der er altså 2 1 = 2 muligheder. Vores udfaldsrum er stadig seks, men den er seks for hver af de to terninger, så sandsynligheden for at slå en 3 er og en 5 er er = 36 = 18 eller 5,6 % Den modsatte hændelse Ved beregning af en sandsynlighed kan det af og til være en fordel at beregne den modsatte hændelse. P(modsatte hændelse) = 1 P(hændelse). Eksempel En mønt kastes tre gange. Hvad er sandsynligheden for, at den viser plat mindst én gang? Hvis vi skulle beregne det på traditionel vis, skulle vi lave tre beregninger, og derefter lægge dem sammen. Dvs. først sandsynligheden for én gang plat i tre kast, derefter to plat i tre og til sidst tre plat i tre kast. I dette tilfælde kan det dog være smart at beregne den modsatte hændelse altså det vi ikke er interesseret i. Den modsatte hændelse er, at mønten viser krone i alle tre kast. Udfaldsrum = = 8 Udfald der opfylder kravet om ingen plat = 1 P(ingen plat) = P(krone i tre kast) = 1/8. P(mindst én plat i tre kast) = 1 1/8 = 7/8 eller 87,5 % 9

10 Opgaver i sandsynlighedsregning 2 1. Hvor stort er udfaldsrummet ved kast med en almindelig terning? 2. Hvor mange forskellige udfald kan man få ved kast med to ens mønter? 3. En terning og en mønt kastes samtidig. a. Hvilke muligheder er der for udfaldene? b. Hvor stort er udfaldsrummet? 4. Hvor stort er udfaldsrummet ved kast med en mønt og udtrækning af et kort (fra et almindeligt spil kort) samtidig? 5. Hvad vil det sige at en sandsynlighed er jævn? 6. Hvad er forskellen på ordene sandsynlighed, chance og risiko? 7. En mønt kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for, at få plat? 8. Man har kastet en mønt tre gange og fået plat alle gangene. Hvad er sandsynligheden for at få plat, næste gang man kaster mønten? 9. Hvad er sandsynligheden for 2 gange plat, hvis samme mønt kastes 2 gange? 10. Hvad er sandsynligheden for hændelsen (plat, plat, krone), hvis der kastes 3 gange? 11. Hvad er sandsynligheden for hændelsen (plat, plat, krone), hvis rækkefølgen er ligegyldig? 12. Hvad er sandsynligheden for 2 seksere i træk ved to slag? 13. Hvad er sandsynligheden for at øjnenes sum er større end 6, hvis der kastes 2 gange med en terning? 14. Hvad er sandsynligheden for at øjnenes sum er mindre end 5, hvis der kaste 2 gange med en terning? 10

11 15. Hvor mange seksere kan man forvente ved kast med en terning gange? 16. I en pose ligger der 2 røde, 3 blå og 3 grønne bolde. a. Hvad er sandsynligheden for at tage en blå bold op? b. Hvad er sandsynligheden for at tage to blå bolde op efter hinanden? c. Hvad er sandsynligheden for at tage 3 røde bolde op efter hinanden, hvis bolden der er trukket op lægges tilbage i posen inden næste bold trækkes? 17. Når man spiller f.eks. backgammon, slår man med to terninger samtidig og lægger antallet af øjne på de to terninger sammen. a. Hvor mange forskellige slag kan man slå? b. Lav et skema, der viser udfaldsrummet. c. Beregn sandsynlighederne for de forskellige slag. d. Hvilken værdi er det mest sandsynligt, at terningerne viser tilsammen? 18. Du udfylder en tipskupon med 13 fodboldkampe helt tilfældigt. Ved hver kamp kan du vælge enten 1, X eller 2. a. Hvad er sandsynligheden for, at du har alle 13 kampe rigtig? b. Hvordan har du fundet udfaldsrummet? 19. Du prøver nu at helgardere (dvs. afkrydse alle tre muligheder) to kampe. a. På hvor mange måder kan du vælge de to kampe? b. Hvad er sandsynligheden for at få 13 rigtige, når du har helgarderet to kampe? En lille en til hjernen Der ligger 3 kort på bordet med bagsiden opad. Der ligger en dame til højre for en konge, og der er en dame til venstre for en dame. Der ligger en spar til venstre for en hjerter, og en spar til højre for en spar. Hvilke 3 kort er det tale om? Retfærdigt eller uretfærdigt kortspil? Der arbejdes i sammen i par, hvor den ene person er A og den anden B. Hvert par får 2 røde og 2 sorte kort. A blander kortene, og B skriver point ned og trækker kort. Der skal trækkes 2 kort. - Hvis B trækker et rødt og et sort kort, får B et point. - Hvis B trækker to røde kort eller to sorte kort får A et point. Første person der har 20 point vinder. Inden i begynder at spille skal i gætte på, hvem der vinder. 11

12 Livsforsikringer Forsikringsselskaber baserer sig meget på sandsynligheder, når de f.eks. skal fastsætte den præmie (årlige pris), man skal betale for en livsforsikring. Præmiens størrelse afhænger bl.a. af, hvad sandsynligheden er for, at den person, der vil tegne forsikringen, lever et vist antal år efter tegningen. Dødelighedstavler Forsikringsselskaberne gør brug af såkaldte dødelighedstavler. Tavlerne er en særlig form for statistik, der føres over befolkningens dødsalder. En dødelighedstavle kan for eksempel være opbygget, som det er vist i tabellen til højre. Af tavlen kan man læse, hvordan det går nyfødte drenge i de 65 første leveår. F.eks. når 912 af de 1000 drenge at blive 50 år, og kun 740 af dem bliver mindst 65. Ved hjælp af tabellen kan man bestemme forskellige sandsynligheder. Man kan f.eks. regne sig frem til, at sandsynligheden for, at en 50-årig mand når at blive 51 år er 906 ud af 912. Dvs = 99,3 %. 1. Kontroller at sandsynligheden for, at en 64årig mand bliver et år ældre, er 97,6 %. 2. Hvad er sandsynligheden for, at en nyfødt dreng bliver 60 år? 3. Hvad er sandsynligheden for, at en 55årig mand bliver et år ældre? 4. Hvad er sandsynligheden for, at en 55årig mand bliver 5 år ældre? En model til bestemmelse af præmien Forsikringsselskaberne bruger som sagt sådanne tavler, når de skal udregne præmien, vi skal betale for en livsforsikring. Vi skal her se på en forenklet model. Vi tænker os i modellen, at alle de årige personer ønsker at tegne en forsikring. Forsikringen er indrettet sådan, at der udbetales kr. ved hvert dødsfald, der sker inden det fyldte 65. år. Første år skal forsikringsselskabet udbetale: kr. = kr. Andet år skal forsikringsselskabet udbetale: kr. = kr. 1. Hvor mange penge skal forsikringsselskabet regne med at udbetale i alt ifølge modellen? 2. Kan det gå anderledes i virkeligheden? Første år er der 912 personer, der betaler præmie. Andet år er der 906, der betaler præmie osv. Igennem årene betales der i alt præmier. 1. Hvor meget hver præmie skal lyde på, hvis forsikringsselskabet skal skaffe penge nok til alle udbetalingerne. 2. Hvad ville være en rimelig præmie, hvis forsikringsselskabet skal have et overskud? 12

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik 1.-10. klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo F+E+D 1 brikkerne statistik og sandsynlighed F+E+D 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

statistik og sandsynlighed E+D

statistik og sandsynlighed E+D brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed E+D ISBN: 978-87-92488-20-6 1. udgave som E-bog til tablets

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information BlackJack Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Sandsynlighedregning

Sandsynlighedregning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 1. udgave 2007 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

1V1 positionsspil. Deltagere: Alle 6 pr. bane. Banen: 20 X 20. Materialer: 4 kegler og en bold pr. 6 spillere.

1V1 positionsspil. Deltagere: Alle 6 pr. bane. Banen: 20 X 20. Materialer: 4 kegler og en bold pr. 6 spillere. 1V1 positionsspil Deltagere: Alle 6 pr. bane Banen: 20 X 20 Øvelsen starter med at en spiller i midten skal løbe i position og vise hvor han vil have bolden. Rød spiller er presspiller, så blå skal være

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg

Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg SPILLEBESKRIVELSE Revision 003 Den 13. april 2000 Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 Opstillingsvejledning for Compu-Game automater. Indgreb i automatens

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse 1 Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik

Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik Forberedelsesmateriale Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik 1 Kort om sandsynlighedsregningens historie Den århusianske matematiker Jørgen Hoffmann-Jørgensen har skrevet følgende: Sandsynlighedsregningens

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

LÆREBOG SKAT. af Reinar Petersen. 1998 Reinar Petersen, Gråsten 2. udgave

LÆREBOG SKAT. af Reinar Petersen. 1998 Reinar Petersen, Gråsten 2. udgave LÆREBOG I SKAT af Reinar Petersen LÆREBOG I SKAT Side 2 INDLEDNING...3 DELTAGERE...4 KORTENE OG FARVERNES VÆRDI...4 Kortrækkefølgen...4 Kortgivning...5 REGLERNE...5 TYPER SPIL...5 1. Grand...6 2. Trumf...6

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Tal om tal. Et inspirationshæfte til tidlig talindlæring

Tal om tal. Et inspirationshæfte til tidlig talindlæring Tal om tal Et inspirationshæfte til tidlig talindlæring Tal om tal Et inspirationshæfte til tidlig talindlæring. Dette hæfte giver inspiration til arbejdet med børns kendskab til tal i hjemmet, i børnehaven

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

TALKUNNEN. Tre test: Modeltest Forskelstest Sammenhængstest. Allan C. Malmberg MI 140 ISBN 87-7701-630-0

TALKUNNEN. Tre test: Modeltest Forskelstest Sammenhængstest. Allan C. Malmberg MI 140 ISBN 87-7701-630-0 TALKUNNEN 2 Allan C. Malmberg Tre test: Modeltest Forskelstest Sammenhængstest MI 140 ISBN 87-7701-630-0 INFA A Matematik - 1998 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Lav et gameshow til tv2-zulu!

Lav et gameshow til tv2-zulu! Lav et gameshow til tv2-zulu! Et problemorienteret projektarbejde gennemført i 1. og 2.g (matematik A og B) Indhold Præsentation af klasserne og rammerne for forløbet...3 Projektets overordnede udviklingssigte...3

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

LEKTION 4 MODSPILSREGLER

LEKTION 4 MODSPILSREGLER LEKTION 4 MODSPILSREGLER Udover at have visse fastsatte regler med hensyn til udspil, må man også se på andre forhold, når man skal præstere et fornuftigt modspil. Netop modspillet bliver af de fleste

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Elevmateriale. Forløb Statistik

Elevmateriale. Forløb Statistik Elevmateriale Forløb Statistik Første lektion: I første lektion skal eleverne reflektere over, hvordan man sammenligner datasæt. Hvordan afgør man, hvor høj man er i 5. klasse? I andre dele af matematikken

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Staveløb. Bane: Figurbanen. Mellemtrin. Dansk. Organisering: Hold af 2 elever. Hvert hold har 3 felter på yderstregerne.

Staveløb. Bane: Figurbanen. Mellemtrin. Dansk. Organisering: Hold af 2 elever. Hvert hold har 3 felter på yderstregerne. Indhold Side 2: Staveløb Side 3: Bevæg de 120 hyppigste ord Side 4: Find flest ord Side 5: Gangetræning Side 6: 10er venner Side 7: Staveræs Side 8: Plus/minus leg Side 9: Gæt et bogstav Side 10: Find

Læs mere

3. De to typer spil 3. 5. Meldingernes rækkefølge 4. 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5

3. De to typer spil 3. 5. Meldingernes rækkefølge 4. 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5 1 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning 1 2. Kortgivning 2 3. De to typer spil 3 4. Meldeforløbet 3 5. Meldingernes rækkefølge 4 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5 7. De enkelte meldingers

Læs mere

Parvis. do. do. Aflevering af individuelle lektier s. 12-13

Parvis. do. do. Aflevering af individuelle lektier s. 12-13 Fagårsplan 2010/2011 Matematik 6.A. B side 1 af 8 Brian Sørensen (BS) Kongeskær SkoleNord 32 33 Cirklen 34 35 eleverne tager manglende prøver eleverne og læreren sætter mål for årets arbejde i matematik

Læs mere

Regneark for begyndere

Regneark for begyndere Regneark for begyndere Regneark i Open- og LibreOffice Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er et regneark?...4 Grundlæggende opbygning...4 Kast dig ud i det!...5 Du arbejder med: Din første

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Ligninger og brøker. Matematik 7.-9. klasse

Ligninger og brøker. Matematik 7.-9. klasse Ligninger og brøker Matematik 7.-9. klasse Udgivet af Dansk Skoleidræt Marts 2014 1. udgave, 1. oplag Trykt i 500 stk. Forfattere: Lene Faaborg Stenger, Tønder Ungdomsskole og Tine Vind Bromerholm. Grafisk

Læs mere