Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kombinatorik og Sandsynlighedsregning"

Transkript

1 Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer, eller inden for spillene lotto, tips eller poker, være interesseret i at vide, hvor mange muligheder der er i alt. Inden vi kan begynde at tælle/beregne hvor mange muligheder der er, er vi nødt til at gøre det klart, hvad vores betingelser er. Betyder det f.eks. noget hvilken rækkefølge tallene/bogstaverne/personerne bliver valgt i er 1, 2, 3 det samme som 3, 2, 1? Man skal også finde ud af om tallet/bogstavet/personen kan være med mere end én gang er 1, 1, 3 f.eks. en gyldig kombination? Til dette formål har man i kombinatorikken indført nogle begreber til at sætte disse betingelser i system. Ordnet udtagelse: Rækkefølgen tallene/bogstaverne/personerne udtages i er vigtig. Uordnet udtagelse: Rækkefølgen tallene/bogstaverne/personerne udtages i er ikke vigtig. Med tilbagelægning: Tallene/bogstaverne/personerne må gerne være med flere gange. Uden tilbagelægning: Tallene/bogstaverne/personerne må ikke være med flere gange. Udtagelse betyder, at vi udtager et antal tal/bogstaver/personer altså tæller kombinationer. Sådan en udtagelse kan være enten ordnet eller uordnet. Tilbagelægning betyder om vi lægger tallet/bogstavet/personen tilbage i bunken vi kan vælge fra altså om det samme element kan være med flere gange. En udtagelse kan være enten med eller uden tilbagelægning. Det giver os i alt fire forskellige måder at tælle antal kombinationer på. Uden tilbagelægning (elementet er med én gang) Med tilbagelægning (elementet kan være med flere gange) Ordnet udtagelse (rækkefølgen har betydning) 1 2 Uordnet udtagelse (rækkefølgen har ikke betydning) 3 4 Vi ser nu på hver enkelt måde at lave kombinationer på med eksempelet på næste side. Vi har 20 forskellige bogstaver (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t). og vi skal udtage 3 af disse bogstaver. 1

2 1. Ordnet udtagelse uden tilbagelægning. ( ) = Vi må kun bruge hvert bogstav én gang, så første gang har vi 20 valgmuligheder, anden gang har vi 19, og tredje gang har vi 18. Rækkefølgen har betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,b,c og a,c,b er forskellige og derfor begge med. 2. Ordnet udtagelse med tilbagelægning. ( ) = 20 3 = 3. Uordnet udtagelse uden tilbagelægning. ( ) = (3 2 1) Vi må bruge alle 20 bogstaver hver gang, så første gang har vi 20 valgmuligheder, anden gang har vi 20, og tredje gang har vi også 20. Rækkefølgen har betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,a,c og c,a,a er forskellige og derfor begge med. Først ser vi på situationen hvis det var ordnet uden tilbagelægning ( ). Men da rækkefølgen ikke har betydning, reduceres (divideres) der med antal muligheder den ordnede udtagelse kan kombineres på (3 2 1). Rækkefølgen har ikke betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,b,c og a,c,b er ens og derfor kun skal med én gang. 4. Uordnet udtagelse med tilbagelægning. Tre ens To ens Et ens (tre forskellige) ( ) + ( ) = 1 (2 1) (3 2 1) Da det samme element kan være med flere gange, deler vi det op i tre situationer Tre ens, To ens og Et ens (tre forskellige). Rækkefølgen har ikke betydning, hvilket f.eks. vil sige at udtagelserne a,a,c og c,a,a er ens og derfor kun skal med én gang. Hvis man ser på de udregninger, man arbejder med inden for kombinatorikken, er de egentlig ikke så svære. Man kan klare sig udelukkende med de 4 regningsarter (addition, subtraktion, multiplikation og division), og der er kun fire måder at lave kombinationer på. Udfordringen inden for kombinatorikken ligger i tankeprocessen og forståelsen for, hvad det er man laver, hvorfor man gør det, og hvad man får ud af det. Dette er samtidig en stor del af grundtanken inden for matematikken. Hvis man står i en situation og skal udregne et antal kombinationer, skal man altså først finde ud af, hvilken af de fire typer udtagelser, man befinder sig inden for, inden man kan formulere et svar, der besvarer spørgsmålet. 2

3 Opgaver i kombinatorik 1 1. Hvor mange 2-cifrede tal kan man lave af tallene 2 og 3, hvis tallene må bruges flere gange? 2. Hvor mange 2-cifrede tal kan man lave af tallene 2 og 3, hvis tallene kun må bruges én gang? 3. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2 og 3, hvis tallene må bruges flere gange? 4. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2 og 3, hvis tallene kun må bruges én gang? 5. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2, 3 og 4, hvis tallene må bruges flere gange, og hvad hedder det største og det mindste tal? 6. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af tallene 1, 2, 3 og 4, hvis tallene kun må bruges én gang, og hvad hedder det største og det mindste tal? 7. Du har 6 forskellige potteplanter, som skal stilles op i en vindueskarm. På hvor mange forskellige måder kan du stille dem, når de skal stå på én række? 8. På et pizzaria kan der vælges mellem 4 forretter, 27 pizzaer og 3 desserter. Hvor mange forskellige menuer af tre retter kan der laves? 9. En anden restaurant har på sit menukort 4 forretter, 5 hovedretter og 3 desserter. Du har kun råd til forret og hovedret eller hovedret og dessert. Hvor mange forskellige menuer kan du sammensætte? 10. Til en klassediskussion skal der vælges 1 ordstyrer og 1 referent ud af klassens 24 elever. Hvor mange forskellige kombinationer er der? 11. Til elevrådet skal der vælges 2 ligeværdige medlemmer ud af klassens 24 elever. Hvor mange forskellige kombinationer er der? 3

4 12. Du skal udfylde en tipskupon med 13 fodboldkampe, men han har ingen forstand på fodbold og sætter derfor tegnene fuldstændig tilfældigt. Man kan vælge 1, X eller 2 ved hver kamp, så hvor mange kombinationer er der? 13. En pinkode til et dankort består af fire cifre (tallene 0 til 9). Hvor mange forskellige pinkoder kan der laves? Find svaret, både hvis tallene må bruges flere gange, og hvis de kun må bruges én gang. 14. I en tombola står der fircifrede tal på lodderne (også f.eks eller 0302). Der er gevinst hver gang et sådant fircifret tal ender på 5. Hvor mange gevinstmuligheder er der? 15. Ved en matematikprøve skulle eleverne vælge seks ud af ti opgaver, som de skulle løse. a. Er dette valg en ordnet eller uordnet udtagelse? b. Er det med eller uden tilbagelægning? c. På hvor mange måder kan man foretage et valg? 16. I har lavet et lotteri i klassen og har solgt 100 lodsedler, der er mærket med tallene fra 00 til 99. Hovedgevinsten - den eneste gevinst - findes ved at der fra en pose udtages to cifre. I posen ligger der ti sedler, der er mærket med cifrene 0 til 9. Hvilken type udtagelse skal der laves ved lodtrækningen, for at den kan være entydig og retfærdig? 17. Du skal ind på dit værelse og skifte sokker, men desværre er lyset gået i stykker, så du kan ikke se noget. Du ved dog hvor dine sokker er, og du ved hvilke sokker, du har i skuffen, selvom de ligger i et stort rod. I skuffen har du: 6 sorte, men én af dem er i stykker, 7 blå, men på den ene af dem er der hul på hælen, 4 grønne, men her er den én der har hul på den ene tå, 8 brune, men her blev den ene misfarvet under sidste vask, 2 røde, men her er den ene begyndt at trævle op og endelig har du 7 stribede, som alle kan bruges. Hvor mange sokker skal du tage med ud af det mørke soveværelse, for at være sikker på, at du kan få et par ens og fejlfrie sokker på? 4

5 Teori del 2 Fakultet Når man begynder at arbejde med relativt store tal indenfor kombinatorikken bliver udregningerne hurtigt meget lange og uoverskuelige. Hvis man f.eks. skal svare på, hvor mange måder 24 elever i en klasse kan sætte sig på, vil udregningen være Det vil efterhånden blive omfattende at skrive alle de tal. Derfor har man indført et tegn, som man allerede kender fra sprogundervisningen. Nemlig dette tegn -!. Indenfor matematikken hedder det ikke udråbstegn, men derimod fakultet. Med fakultetsymbolet ville man kunne skrive ovenstående udregning som 24!. 24! = Hvis man har et tal efterfulgt af et fakultettegn, skal man altså gange dette tal med alle mindre hele tal til og med tallet 1. Undtagelsen fra denne ellers klare definition er at 0! = 1. Formlerne De fire forskellige typer udtagelser, som vi har set på, kan beskrives med nogle mere generelle formler. At de er generelle betyder, at man skriver udregningerne med bogstaver, og derefter kan benytte formlerne ved at sætte tal ind på de forskellige pladser. Til dette formål definerer vi to bogstaver n og r. n = antal muligheder r = antal pladser der skal vælges Øvelser i fakultet 1. Hvad er: 5! = 2. Hvad er: 5! : 4! = 3. Hvad er: (3 + 6)! = 4. Hvad er: 3! + 6! = 5. Hvad er: 0! = 6. Hvad er: 10! 9! = 7. Hvad er: (10 9)! = 8. Hvad er: 3! 3! = 9. Hvad er: (8 3)! 3! = 10. Hvad er: 1! = 11. Hvad er: 5! : (7 3)! = 12. Hvad er: 22! : (22 4)! 4! = 5

6 Opgaver i kombinatorik 2 1. I lærerrådet er der tyve personer, og der skal vælges to repræsentanter. En formand og en næstformand. Hvor mange kombinationer er der, og hvilken type udtagelse er det? 2. Hvis man i stedet for en formand og en næstformand vælger to ligeværdige repræsentanter i lærerrådet, hvor mange muligheder er der så, og hvilken type udtagelse er det? 3. Der skal vælges 8 elever, til skolens elevråd, og der er 55 elever, som gerne vil. Hvor mange kombinationsmuligheder er der? 4. Til Ekstrabladsfodbold skal drengene stille med et hold. Holdet skal bestå af 15 spillere, men der er 26, som gerne og gerne vil være med. Hvor mange mulige hold kan der stilles? 5. Der er nu udtaget 15 gode spillere, men der skal kun 11 spillere på banen ad gangen til at spille på de forskellige pladser. På hvor mange måder kan træneren lave startopstillingen, hvis alle spillere kan spille alle pladser? 6. I dag har næsten alle en cykellås med nøgle til, men før det var en almindelig cykellås ofte udstyret med 6 knapper, der hver kunne stå i 3 positioner. Hvor mange forskellige låsekombinationer findes der på sådan en cykellås og er alle låsekombinationerne lige brugbare? 7. Hvor mange kombinationer er der i lotto med 35 kugler, når der skal udtrækkes 6 tal. 8. Du har én 6-sidet terning i et raflebæger som du slår med seks gange i træk. Hvor mange kombinationer kan du slå? 9. Du har nu seks ens 6-sidede terninger i et raflebæger. Hvor mange forskellige kombinationer kan du slå? 6

7 Sandsynlighedsregning Teori del 1 Sandsynlighedsregning handler om at beregne sandsynligheder for forskellige hændelser. Hvis man skal beregne en sandsynlighed for at en bestemt hændelse sker må man først og fremmest vide, hvor mange mulige hændelser, der er i alt det kalder vi også for udfaldsrummet. Det svære ved sandsynlighedsregning kan være at finde ud af, hvor stort udfaldsrummet er. Heldigvis kan et godt kendskab til kombinatorikken ofte hjælpe os med at tælle/beregne, hvor mange muligheder vi har. Udfaldsrummet er således alle de kombinationer, der findes. Hvis vi f.eks. ville finde sandsynligheden for at trække spar konge fra et spil kort, hvis vi trak ét kort, ville vi først skulle finde vores udfaldsrum. Her kan vi ikke rigtig bruge kombinatorikken, men må tælle os frem, for at sikre os, at der er de 52 kort, der skal være i et kortspil. De 52 kort er vores udfaldsrum. Der er kun én spar konge i et kortspil så sandsynligheden for hændelsen at trække spar konge er 1 ud af = 0,01923 eller = 1,923 % Vi skriver sandsynligheder som brøker med hændelsen i tælleren og udfaldsrummet i nævneren. Brøken kan godt stå som vores endelige svar, men man kan også vælge at regne brøken ud og give svaret i kommatal eller gange kommatallet med 100 og få svaret i procent. Alle tre muligheder kan bruges, men procentsvaret er nok det mest brugte. Herunder er en oversigt over de almindeligt brugte udtryk inden for sandsynlighedsregningen. Udtryk Udfaldsrum: Udfald: Hændelse: Sandsynlighed: Forklaring Samtlige mulige udfald i et eksperiment. De enkelte forskellige muligheder i et eksperiment. Et eller flere udfald, der undersøges i et eksperiment. Angives som brøk, kommatal eller i procent (Sandsynligheden ligger altid mellem 0 og 1 eller 0 % og 100%) og beregnes ud fra følgende metode: Umulig hændelse: Hvis sandsynligheden for en hændelse er = 0 (0%). Sikker hændelse: Hvis sandsynligheden for en hændelse er = 1 (100%). Jævn sandsynlighed: Hvis sandsynligheden er den samme for alle udfald i udfaldsrummet. Ujævn sandsynlighed: Kan ikke beregnes matematisk, men må afprøves i praksis. Bogstavet P Man bruger bogstavet P som tegn for sandsynlighed. Hvis man f.eks. ser på sandsynligheden for at trække et es fra et spil kort, betyder det, at man i stedet for at skrive: Hvad er sandsynligheden for at trække et es? blot kan skrive P(es). 4 4 P(es) = = 7,7 % 7

8 Opgaver i sandsynlighedsregning 1 1. Beregn følgende ved kast med en terning: a. P(en treer) = b. P(ingen toer) = c. P(hverken fem eller seks) = d. P(en syver) = e. P(lige antal øjne) = f. P(mere end 4) = g. P(mindre end syv) = 2. Beregn, ved udtrækning af et kort fra et almindeligt spil kort (52 kort), følgende: a. P(en knægt) = b. P(klør 4) = c. P(en sort dame) = d. P(ingen konger) = e. P(ingen spar) = f. P(ingen billedkort) = g. P(røde eller sorte kort) = h. P(et billedkort) = 3. I en pose ligger der de 20 kugler, der er vist på tegningen til højre. Bestem forskellige sandsynligheder for trækning af en kugle. a. P(Sort kugle) = b. P(Hvid kugle) = c. P(Grå kugle) = d. P(et lige tal) = e. P(større end 15) = f. P(større end 5) = g. P(et primtal) = h. P(et kvadrattal) = i. Bestem en umulig hændelse j. Bestem en sikker hændelse 4. Ved kast med en terning er udfaldsrummet seks (1,2,3,4,5,6). Man ønsker at udføre et eksperiment med en terning, hvor udfaldsrummet skal være tre, og sandsynligheden skal være jævn. Hvad gør man? 8

9 Teori del 2 Indtil videre har vi kun set på enkle sandsynligheder, hvor eksperimentet bestod i at finde sandsynligheden for én hændelse. Man kan dog hurtigt få brug for at se på sammensatte sandsynligheder, hvor den hændelse man undersøger består af flere udfald indenfor udfaldsrummet. Vi benytter os af to principper additionsprincippet og multiplikationsprincippet: Additionsprincippet: Også kaldet enten-eller -princippet. Man lægger sine resultater sammen. Additionsprincippet bruges, når der kun er ét valg, hvor man enten skal vælge enten den ene eller den anden mulighed fra en samling af muligheder. Man siger at hændelserne er afhængige af hinanden begge hændelser kan ikke indtræffe samtidig. Hvis man f.eks. med én terning skal slå enten en 3 er eller en 5 er må der være = 2 muligheder. Vores udfaldsrum er seks, så sandsynligheden for at slå en 3 er eller en 5 er er = 6 = 3 eller 33,3 % Multiplikationsprincippet: Også kaldet både-og -princippet. Man ganger sine resultater sammen. Multiplikationsprincippet bruges når et valg består af flere uafhængige delvalg, hvor man både skal vælge fra en samling af muligheder, og fra en eller flere andre samlinger af muligheder. Man siger at hændelserne er uafhængige af hinanden begge hændelser skal indtræffe. Hvis man f.eks. med to terninger skal slå både en 3 er og en 5 er, må der være to muligheder for den første terning. Hvis den første terning bliver 3 eller 5, er der én mulighed for terning nummer 2. Der er altså 2 1 = 2 muligheder. Vores udfaldsrum er stadig seks, men den er seks for hver af de to terninger, så sandsynligheden for at slå en 3 er og en 5 er er = 36 = 18 eller 5,6 % Den modsatte hændelse Ved beregning af en sandsynlighed kan det af og til være en fordel at beregne den modsatte hændelse. P(modsatte hændelse) = 1 P(hændelse). Eksempel En mønt kastes tre gange. Hvad er sandsynligheden for, at den viser plat mindst én gang? Hvis vi skulle beregne det på traditionel vis, skulle vi lave tre beregninger, og derefter lægge dem sammen. Dvs. først sandsynligheden for én gang plat i tre kast, derefter to plat i tre og til sidst tre plat i tre kast. I dette tilfælde kan det dog være smart at beregne den modsatte hændelse altså det vi ikke er interesseret i. Den modsatte hændelse er, at mønten viser krone i alle tre kast. Udfaldsrum = = 8 Udfald der opfylder kravet om ingen plat = 1 P(ingen plat) = P(krone i tre kast) = 1/8. P(mindst én plat i tre kast) = 1 1/8 = 7/8 eller 87,5 % 9

10 Opgaver i sandsynlighedsregning 2 1. Hvor stort er udfaldsrummet ved kast med en almindelig terning? 2. Hvor mange forskellige udfald kan man få ved kast med to ens mønter? 3. En terning og en mønt kastes samtidig. a. Hvilke muligheder er der for udfaldene? b. Hvor stort er udfaldsrummet? 4. Hvor stort er udfaldsrummet ved kast med en mønt og udtrækning af et kort (fra et almindeligt spil kort) samtidig? 5. Hvad vil det sige at en sandsynlighed er jævn? 6. Hvad er forskellen på ordene sandsynlighed, chance og risiko? 7. En mønt kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for, at få plat? 8. Man har kastet en mønt tre gange og fået plat alle gangene. Hvad er sandsynligheden for at få plat, næste gang man kaster mønten? 9. Hvad er sandsynligheden for 2 gange plat, hvis samme mønt kastes 2 gange? 10. Hvad er sandsynligheden for hændelsen (plat, plat, krone), hvis der kastes 3 gange? 11. Hvad er sandsynligheden for hændelsen (plat, plat, krone), hvis rækkefølgen er ligegyldig? 12. Hvad er sandsynligheden for 2 seksere i træk ved to slag? 13. Hvad er sandsynligheden for at øjnenes sum er større end 6, hvis der kastes 2 gange med en terning? 14. Hvad er sandsynligheden for at øjnenes sum er mindre end 5, hvis der kaste 2 gange med en terning? 10

11 15. Hvor mange seksere kan man forvente ved kast med en terning gange? 16. I en pose ligger der 2 røde, 3 blå og 3 grønne bolde. a. Hvad er sandsynligheden for at tage en blå bold op? b. Hvad er sandsynligheden for at tage to blå bolde op efter hinanden? c. Hvad er sandsynligheden for at tage 3 røde bolde op efter hinanden, hvis bolden der er trukket op lægges tilbage i posen inden næste bold trækkes? 17. Når man spiller f.eks. backgammon, slår man med to terninger samtidig og lægger antallet af øjne på de to terninger sammen. a. Hvor mange forskellige slag kan man slå? b. Lav et skema, der viser udfaldsrummet. c. Beregn sandsynlighederne for de forskellige slag. d. Hvilken værdi er det mest sandsynligt, at terningerne viser tilsammen? 18. Du udfylder en tipskupon med 13 fodboldkampe helt tilfældigt. Ved hver kamp kan du vælge enten 1, X eller 2. a. Hvad er sandsynligheden for, at du har alle 13 kampe rigtig? b. Hvordan har du fundet udfaldsrummet? 19. Du prøver nu at helgardere (dvs. afkrydse alle tre muligheder) to kampe. a. På hvor mange måder kan du vælge de to kampe? b. Hvad er sandsynligheden for at få 13 rigtige, når du har helgarderet to kampe? En lille en til hjernen Der ligger 3 kort på bordet med bagsiden opad. Der ligger en dame til højre for en konge, og der er en dame til venstre for en dame. Der ligger en spar til venstre for en hjerter, og en spar til højre for en spar. Hvilke 3 kort er det tale om? Retfærdigt eller uretfærdigt kortspil? Der arbejdes i sammen i par, hvor den ene person er A og den anden B. Hvert par får 2 røde og 2 sorte kort. A blander kortene, og B skriver point ned og trækker kort. Der skal trækkes 2 kort. - Hvis B trækker et rødt og et sort kort, får B et point. - Hvis B trækker to røde kort eller to sorte kort får A et point. Første person der har 20 point vinder. Inden i begynder at spille skal i gætte på, hvem der vinder. 11

12 Livsforsikringer Forsikringsselskaber baserer sig meget på sandsynligheder, når de f.eks. skal fastsætte den præmie (årlige pris), man skal betale for en livsforsikring. Præmiens størrelse afhænger bl.a. af, hvad sandsynligheden er for, at den person, der vil tegne forsikringen, lever et vist antal år efter tegningen. Dødelighedstavler Forsikringsselskaberne gør brug af såkaldte dødelighedstavler. Tavlerne er en særlig form for statistik, der føres over befolkningens dødsalder. En dødelighedstavle kan for eksempel være opbygget, som det er vist i tabellen til højre. Af tavlen kan man læse, hvordan det går nyfødte drenge i de 65 første leveår. F.eks. når 912 af de 1000 drenge at blive 50 år, og kun 740 af dem bliver mindst 65. Ved hjælp af tabellen kan man bestemme forskellige sandsynligheder. Man kan f.eks. regne sig frem til, at sandsynligheden for, at en 50-årig mand når at blive 51 år er 906 ud af 912. Dvs = 99,3 %. 1. Kontroller at sandsynligheden for, at en 64årig mand bliver et år ældre, er 97,6 %. 2. Hvad er sandsynligheden for, at en nyfødt dreng bliver 60 år? 3. Hvad er sandsynligheden for, at en 55årig mand bliver et år ældre? 4. Hvad er sandsynligheden for, at en 55årig mand bliver 5 år ældre? En model til bestemmelse af præmien Forsikringsselskaberne bruger som sagt sådanne tavler, når de skal udregne præmien, vi skal betale for en livsforsikring. Vi skal her se på en forenklet model. Vi tænker os i modellen, at alle de årige personer ønsker at tegne en forsikring. Forsikringen er indrettet sådan, at der udbetales kr. ved hvert dødsfald, der sker inden det fyldte 65. år. Første år skal forsikringsselskabet udbetale: kr. = kr. Andet år skal forsikringsselskabet udbetale: kr. = kr. 1. Hvor mange penge skal forsikringsselskabet regne med at udbetale i alt ifølge modellen? 2. Kan det gå anderledes i virkeligheden? Første år er der 912 personer, der betaler præmie. Andet år er der 906, der betaler præmie osv. Igennem årene betales der i alt præmier. 1. Hvor meget hver præmie skal lyde på, hvis forsikringsselskabet skal skaffe penge nok til alle udbetalingerne. 2. Hvad ville være en rimelig præmie, hvis forsikringsselskabet skal have et overskud? 12

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

MATEMATIKBANKENS SANDSY NLIGHED- OG K O MB I NATORIKKOMPENDIUM. Sandsynlighed Kombinatorik Matrix Tælletræer Tilbagelægning (U)Ordnet Guns g Simula on

MATEMATIKBANKENS SANDSY NLIGHED- OG K O MB I NATORIKKOMPENDIUM. Sandsynlighed Kombinatorik Matrix Tælletræer Tilbagelægning (U)Ordnet Guns g Simula on MATEMATIKBANKENS SANDSY NLIGHED- OG K O MB I NATORIKKOMPENDIUM Sandsynlighed Kombinatorik Matrix Tælletræer Tilbagelægning (U)Ordnet Guns g Simula on Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat3 Noter: Kompetencemål efter 3. klassetrin Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker og procent Negative

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik 1.-10. klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen 1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik.

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske

Læs mere

Deskriptorspil. Navn Klasse Dato Statistik og sandsynlighed

Deskriptorspil. Navn Klasse Dato Statistik og sandsynlighed 9.0 Deskriptorspil Klip de 6 brikker ud, og del dem ligeligt. Læg kortene foran jer i en bunke med bagsiden opad. Tag hver det øverste kort fra bunken. Den ældste begynder med at vælge kategori fx typetal.

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat8 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo F+E+D 1 brikkerne statistik og sandsynlighed F+E+D 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs

Læs mere

Årsplan for 2.kl i Matematik

Årsplan for 2.kl i Matematik Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Format FACITLISTE I I I I I I I I I. Træningshæfte 1. klasse. Side 3. Facit, side 1-3. Format, Træningshæfte 1.1. Alinea. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx.

Format FACITLISTE I I I I I I I I I. Træningshæfte 1. klasse. Side 3. Facit, side 1-3. Format, Træningshæfte 1.1. Alinea. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Side Format Træningshæfte klasse Tæl ting Side FCITLISTE Side Skriv tallene Talforståelse. Marker med krydser antallet af blomster og deres blade, bier og deres vinger samt biller og deres ben. I I I.

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

statistik og sandsynlighed E+D

statistik og sandsynlighed E+D brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed E+D ISBN: 978-87-92488-20-6 1. udgave som E-bog til tablets

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Tal og algebra Eleverne kan anvende rationelle tal og variable i beskrivelser og beregninger

Tal og algebra Eleverne kan anvende rationelle tal og variable i beskrivelser og beregninger ÅRSPLAN MATEMATIK 4. KLASSE 2016/17 I de enkelte undervisningsforløb indgår der mål fra både de matematiske kompetencer og fra de 3 stofområder: Matematiske kompetencer handle med overblik i sammensatte

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Black Jack (21): Sådan spiller man Black Jack. 1. Formålet er at komme så tæt på summen 21 som muligt. Man må ikke overskride 21.

Black Jack (21): Sådan spiller man Black Jack. 1. Formålet er at komme så tæt på summen 21 som muligt. Man må ikke overskride 21. Indhold Black Jack (21):... 3 Whist... 4 Bismarck... 5 Rummy (500)... 6 Casino... 7 Spar Dame... 8 Ruder Syv... 9 Gammel Jomfru... 10 Olsen... 12 Snyd... 13 29... 14 31... 15 Gris... 16 Normale spil Black

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information BlackJack Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

3. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK!

3. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK! Lærer: Sussi Sønnichsen Forord til matematik i 3. klasse Vi vil arbejde med bogsystemet Matematrix 3A & 3B, Alinea, samt kopiark til systemet. Jeg vil differentiere undervisningen og vil foruden de stillesiddende

Læs mere

Mattip om. Division 1. Tilhørende kopier: Division 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Dividend og divisor.

Mattip om. Division 1. Tilhørende kopier: Division 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Dividend og divisor. Mattip om Division 1 Du skal lære om: De vigtigste begreber Kan ikke Kan næsten Kan Dividend og divisor Divisionsmanden Division med rest Tilhørende kopier: Division 1, 2 og 3 2016 mattip.dk 1 Division

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

T-1.24; Spil læg 3 til.

T-1.24; Spil læg 3 til. T-1.24; Spil læg 3 til. Faglige mål: Addition. At SPØRGE og SVARE i, med, om matematik. At omgås SPROG og REDSKABER i matematik. Lektionsmål: * Kan adderer med 2 og 3. * Stiller spørgsmål, der er relevante

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Årets overordnede mål inddelt i kategorier

Årets overordnede mål inddelt i kategorier Matematik 1. klasse Årsplan af Bo Kristensen, Katrinedals Skole Årets overordnede mål inddelt i kategorier Tallenes opbygning og indbyrdes hierarki Tælle til 100. Kende tælleremser som 10 20 30, 5 10 15,

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I

ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I de enkelte undervisningsforløb indgår der mål fra både de matematiske kompetencer og fra de 3 stofområder: Matematiske kompetencer Eleven kan handle hensigtsmæssigt

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matematik - Årsplan for 6.b

Matematik - Årsplan for 6.b Matematik - Årsplan for 6.b 2013-2014 Kolorit for 6. klasse består af en grundbog, en rød og en grøn arbejdsbog. Grundbogen er inddelt i 4 forskellige arbejdsformer: Fællessider, gruppesider, alenesider

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Gæt og kast 1 MATERIALER. Dette værksted handler om at gætte på resultatet af kast med terninger. Læs hele værkstedet før I begynder.

Gæt og kast 1 MATERIALER. Dette værksted handler om at gætte på resultatet af kast med terninger. Læs hele værkstedet før I begynder. Gæt og kast 1 Dette værksted handler om at gætte på resultatet af kast med terninger. Læs hele Kast 10 terninger, og læg øjnene sammen. 10 terninger Hvad er det mindste resultat, I kan få? Hvad er det

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat6 Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-35 Kendskab og skriftligt arbejde At finde elevernes individuelle niveau samt tilegne mig kendskab til deres

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence)

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence) Matematiske kompetencer indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence) løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed

Læs mere

Talforståelse. Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. Kopi opgave. Navn:

Talforståelse. Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. Kopi opgave. Navn: Talforståelse opgave 1 Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. 1 Opgave 1 Fagligt område: Talforståelse Kombinere lægge sammen. Der anvendes kun hele kroner, ellers bliver opgaven

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin:

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin: MATEMATIK Basismål i matematik på 1. klassetrin: at kunne indgå i samtale om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik at kunne afkode og anvende tal og regnetegn og forbinde dem

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Emne Mål Brug af IT Materialer Evaluering Timetal

Emne Mål Brug af IT Materialer Evaluering Timetal Årsplan 10 E KJ Generelt er der i klassen stor sprednig, men der er god arbejdsmoral Arbejdet organiseres som en blanding af klasseundervisning, gruppearbejde og pararbejde med hovedvægt på sidstnævnte.

Læs mere

Indhold Forklaring til kortene Antal trylletricks Spillets mål Trick nr. 1: BANK PÅ BUNKEN Materiel Hemmelig forberedelse

Indhold Forklaring til kortene Antal trylletricks Spillets mål Trick nr. 1: BANK PÅ BUNKEN Materiel Hemmelig forberedelse DK Fra 8 til 99 år 1 tryllekunstner + publikum Indhold: 61 kort (et spil med 48 kort + 6 kort med bagside på begge sider + 1 kort kort + 6 tryllekort med gule pailletter) Forklaring til kortene: 4 familier

Læs mere

Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO. Kan det virkelig passe?

Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO. Kan det virkelig passe? Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO Kan det virkelig passe? INFA 2006 Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO Kan det virkelig passe? Faglige udfordringer med løsninger INFA 2006 Seneste publikationer af samme

Læs mere