Huldæk. Beregningseksempel og KS af regneark Betonelementkonstruktioner fra byggeriet af Navitas

Transkript

1 B E T O N E L E M E N T F O R E N I N G E N Huldæk Beregningseksempel og KS af regneark Betonelementkonstruktioner fra byggeriet af Navitas

2 Indholdsfortegnelse Indledning Beregninger af huldæk i kold tilstand Snitkræfter Geometri Anvendelsesstadiet Brudstadiet Resultatudskrift fra regneark Beregninger af huldæk i varm tilstand Resultatudskrift fra regneark Bilag Indledning Nærværende dokument er en gennemregning af et huldæk, som er simpelt oplagt på vederlag af betonelementvægge. Beregninger følger generelt anvisningerne i Betonelementbyggeriers Statik, Polyteknisk forlag, 1. udgave af 2010, redigeret af Jesper Frøbert Jensen, som er udarbejdet på Baggrund af DS/EN og DS/EN I forbindelse med beregning af forskydning i kold og varm tilstand er anvendt EN Forskydning i varm tilstand er yderligere beskrevet i bilag 1. Beregningerne omhandler alene statiske beregninger i anvendelsesstadiet, brudstadiet og ulykkesstadiet. Der er ikke set på svingning for bevægelig last. Dette er en særskilt opgave, se nærmere på under Teknik og design. Beregningseksemplet er udarbejdet til anvendelse som dokumentationsrapport for Betonelement- Foreningens beregningsmodul: Huldæk. Da eksemplet samtidig har være anvendt som led i kvalitetssikringen af beregningsmodulet, er det af hensyn til kontrollen valgt at præsentere mange af resultaterne med ganske mange betydende cifre.

3 Beregninger af huldæk i kold tilstand Nærværende afsnit vedrører huldæk i kold tilstand Belastninger Langtidslast p EL = 4,34+(2,69+0,5*2,5)*1,2 9,1 kn/m Karakteristiks last p Ek = 4,34+(2,69+1*2,5)*1,2 10,6 kn/m Regningsmæssig last p Ed = 4,34+(2,69+1,5*2,5)*1,2)*1,1 13,3 kn/m Spændvidde L = 11,1 m Snitkræfter Snitkræfterne beregnes ud fra en simpelt understøttet bjælke, dvs. M = 1/8pL 2 og V = 1/2pL. Langtidslast Karakteristiks last Regningsmæssig last M [knm] V [kn] 139,4 50,3 162,5 58,6 204,1 73,6 Geometri Elementets højde h = Elementets bredde i toppen b top = Elementets bredde i bunden b bund = Centerafstand mellem hullerne c-c hul = Antal huller n = Der er placeret armering i bunden N = Afstand fra bunden af huldækket c = 265 mm 1150 mm 1190 mm 226 mm 5 stk 10 stk 45 mm Areal af liner A p = 93 mm 2 Hullerne er defineret som et hul med en lodret symetriakse - på hver side af symetriaksen defineres hullet af 8 punkter, som vist i skemaet nedenfor. Areal, statisk moment og inertimoment bestemmes for betonen ud fra nedenstående formler. Resultaterne af beregningerne er gengivet i skemaet efter punkterne, som definerer hullerne.

4 Tværsnitskonstanterne bestemmes i programmet ud fra et repræsentativt tværsnit der udgør 1/10 af det samlede tværsnit, hvor det trapezformede tværsnit modelleres med et "side tillæg", som ved multiplikation giver de rette tværsnitskonstanter. Tværsnitskonstanterne for betonen bestemmes som Tværsnitsareal. A i = ½(x 2 +x 1 )(y 2 -y 1 ) A = SA i Statisk moment S x,i = 1/6(2x 2 y 2 +x 2 y 1 +x 1 y 2 +2x 1 y 1 )(y 2 -y 1 ) S x = SS x,i Inertimoment I x,i = 1/12(x 2 y y 2 2 x 2 +2x 2 y 1 y 2 +3y 1 2 x 1 +x 1 y 2 2 )(y 2 -y 1 ) I x = SI x,i I skemaet nedenfor bestemmes ud fra ovenstående formler tværsnitskonstanter for en halv kanal Pkt ,0 40,0 46,3 52,4 6 46,3 212,6 7 8 s 23,9 t [mm] [mm] 80,1 86,3 92,5 132,5 80,1 178,8 221,8 0,0 225,0 S A i [mm 2 ] 286,6 2139,1 3991,5 3991,5 2139,1 324,3 37,7 0, ,833 I x,i -A x,i a 2 [mm 4 ] , , , , , , ,9 0, ,6 S x,i [mm 3 ] 13830, , , , , ,2 8409,7 0, ,7 Afstanden fra kanalens tyngdepunkt til bunden af elementet a = 133,0 mm Tværsnitskonstanter a = Tværsnitsareal A t = b top *h+0,5*(b bund -b top )*h+a*n*a p -2*n*SA i = ,7 mm 2 12 Statiske moment tages om bunden af kanalerne S t =b top *h*h/2+0,5*(b bund -b top )*h*h/3+a*n*a p *c-2*n*sa i (185+40)= ,25 mm 3 Tyngdepunktet placering h = S t / A t = 125,9 mm I t = 1/12*b top *h 3 +b top *h*(h/2-h) 2 + 1/36*(b bund -b top )h 3 + 0,5*(b bund -b top )*h*(1/3*h-h) 2 +N*a*(p/64*d 4 p +A p *(c-h) 2 ) -2*n*(S*I x,i -A i (a-h) 2 ) = mm 4 Modstandsmoment for bestemmelse af spændinger i bund af huldæk W t,bund ,65 mm 3

5 Værdier fra beregningsprogrammet A t = ,7 mm 2 I t = mm 4 W t,bund = ,65 mm 3 Afvigelse fra beregningerne i nærværende eksempel DA t = 0,000 % DI t = 0,000 % DW t,bund = 0,000 %

6 Anvendelsesstadiet Forspænding Effektiv forspænding s p,eff = Effektiv forspændingskraft N p = N*A p *s p,eff Moment fra forspændingen M p = N p (h-c) Balancemomentet regnes som 1,2*M p M bal = 1,2*M p = Revnemomentet Trykstyrke f ck = Bøjningstrækstyrke f ctbk =0,7*MAX(1,6-h/1000;1)*MIN(0,3*f ck 2/3 ;2,12*LN(1+(f ck +8)/10)) = M rev = (f ctbk +N p /A t )*W t,bund +M p = 1160,0 MPa 1078,8 kn 87,2 knm 104,7 knm 55 MPa 3,94 MPa 210,5 knm Værdier fra programmet M p = M bal = M rev = 87,2 knm 104,7 knm 210,5 knm Afvigelse fra beregningerne i nærværende eksempel DM p = 0,000 % DM bal = 0,000 % DM rev = 0,000 % Spændinger Spændinger bestemmes jf. tradition ud fra en bestemt alfa værdi. Denne værdi er 12. I forbindelse med bestemmelse af spændingerne antages det at tværsnittet er urevnet. Spændinger fra forspændingen s top = N p /A t - M p /I t (h-h) = s bund = N p /A t + M p /I t (h) = Spændinger fra egenvægt Moment fra egenvægt for s = 5,55 m, hvor g = 4,343 kn/m M G = 1/2*g*L*s-1/2*g*s 2 = s top = N p /A t - (M p -M G )/I t (h-h) = s bund = N p /A t + (M p -M G )/I t (h) = Spændinger for langtidslast M L = s top = N p /A t - (M p -M L )/I t (h-h) = s bund = N p /A t + (M p -M L )/I t (h) = Spændinger for karakteristisk last M K = s top = N p /A t - (M p -M L )/I t (h-h) = s bund = N p /A t + (M p -M L )/I t (h) = -1,9 MPa 12,4 MPa 66,8 knm 3,9 MPa 7,2 MPa 139,4 knm 10,1 MPa 162,5 12,1-0,22 1,6 MPa knm MPa MPa

7 Deformationer I forbindelse med bestemmelse af deformationer skal der medtages bidrag fra krybning. Bestemmelsen af krybetal sker jf. DS/EN 1992 anneks B. I og med at huldæk oplever forskellige lastsituationer bestemmes krybningen i to tidsrum af huldækkets levetid. 1. tidsrum er fra afformning til levering, hvor huldækket er belastet alene af dets egenvægt. Derefter betragtes et tidsrum, hvor huldækket er indbygget. Dette er det tidsrum, hvor det antages at langtidslasten er påført. I beregningerne betragtes huldækket som værende massivt med en tykkelse svarende til højden af huldækket. Bredden af huldækket sættes til 1000mm. Dette gøres da luftfugtigheden i kanalerne antages at være 100%, hvorfor de ikke bidrager til krybning. Der er i beregningerne ikke taget stilling til cementtype. Lager Tid fra støbning til element afformes. t 0 = Relativ luftfugtighed i støbehal 3 døgn RH = 90 % Bestemmelse af elementets teoretiske størrelse h 0. A c = h*1000 = ,0 mm 2 u = 2*(h+1000)= h 0 = 2*A c /u = Middelbetontrykstyrke f ck = f cm = f ck + 8MPa Koefficienter der tager hensyn til betontrykstyrkens indflydelse. a 1 = (35/f cm ) 0,7 = a 2 = (35/f cm ) 0,2 = a 3 = (35/f cm ) 0,5 = Koefficient der afhænger af den relative luftfugtighed b H = 1,5*(1+(0,012RH) 18 )h a 3 = b H < 1500 a 3 = Teoretiske krybetal j 0 = j RH b(f cm ) b(t 0 ) = Hvor j RH = (1+(1-RH/100)/(0,1h 0 1/3 )a 1 )a 2 = Faktor der tager højde for virkningen af betonstyrke på det teoretiske krybetal b(f cm ) = 16,8/(f cm ) ½ = Faktor der tager højde for virkningen af betonens alder b(t 0 ) = 1/(0,1+t 0 0,2 )= Slutkrybetallet kan nu bestemmes til j = j ,0 mm 209,5 mm 55 MPa 63 MPa 0,663 0,889 0, ,2 1118,0 1,55 0,99 2,12 0,74 1,55 I forbindelse med indbygning af huldækket, tages der ikke hensyn til at udtørrings overfladen ændres. Fx ved påførelse af afretningslag, hvorfor den relative grove model er acceptabel

8 Levering, start på langtidslast Det antages konservativt at elementet ved indbygnig udsættes for hele langtidslasten. Tid fra støbning til levering og indbygning af element t 0 = Relativ luftfugtighed i byggeriet 28 døgn RH = 55 % Bestemmelse af elementets teoretiske størrelse h 0. A c = h*1000 = ,0 mm 2 u = 2*(h+1000)= h 0 = 2*A c /u = Middelbetontrykstyrke f ck = f cm = f ck + 8MPa Koefficienter der tager hensyn til betontrykstyrkens indflydelse. a 1 = (35/f cm ) 0,7 = a 2 = (35/f cm ) 0,2 = a 3 = (35/f cm ) 0,5 = Koefficient der afhænger af den relative luftfugtighed b H = 1,5*(1+(0,012RH) 18 )h a 3 = b H < 1500 a 3 = Teoretiske krybetal j 0 = j RH b(f cm ) b(t 0 ) = Hvor j RH = (1+(1-RH/100)/(0,1h 0 1/3 )a 1 )a 2 = Faktor der tager højde for virkningen af betonstyrke på det teoretiske krybetal b(f cm ) = 16,8/(f cm ) ½ = Faktor der tager højde for virkningen af betonens alder b(t 0 ) = 1/(0,1+t 0 0,2 )= Slutkrybetallet kan nu bestemmes til j = j ,0 mm 209,5 mm 55 MPa 63 MPa 0,663 0,889 0, ,7 1118,0 1,38 1,34 2,12 0,49 1,38

9 I de efterfølgende beregninger bestemmes deformationer af huldækket, på baggrund af sekantmolet bestemt som 0,7*51000f ck /(f ck +13). Det tidsafhængige elasticitetsmodul bestemmes ud fra reduktion af betonens karakteristiske trykstyrke, ved b cc (t), jf. anvisningerne i DS/EN Bestemmelse af leveringspilhøjden I forbindelse med bestemmelse af leveringspilhøjden tages der hensyn til betonens alder i og med at den afformes før den er 28 døgn. Jf. DS/EN1992 afsnit (6) kan betonens styrke som funktion af tiden bestemmes som b cc (t) = exp(s*(1-(28/t) ½ )) = Hvor s = 0,25. f ck (t)=b cc (t)f cm -8 = Betonenen elastisitetsmodul bliver E(t) = 0,7*51000*f ck (t)/(f ck (t)+13) E = 0,7*51000*f ck /(f ck +13) E(t)/E = 0,60 29,7 MPa 24828,4 MPa 28875,0 MPa 0,860 Krybetal ved levering t = 28 j Lev = j 0 *(t-t 0 )/(b H +t-t 0 ) = døgn 0,494 Forholdet mellem stålets og betonens elasticitetsmodul. a Lev = E s /(E(t)/(1+j Lev )) = Bøjningsstivhed EI = E s /a Lev *I t = 2,70E+13 Nmm 2 Momentet for opspænding (korrigeret for udbøjningsform) og egenvægt alene M = M p *1,2*1,25+M G = Udbøjningen bliver da. u=1/10*m/ei*l 2 Programmet beregner 11,73-64,08 knm -29,21 mm -29,21 mm Forskel 0,000 % Udbøjningen for langtidslast bestemmes ud fra langtidsmomentet M = M L - M G 72,6 knm Forskellen mellem armeringens elasticitetsmodul og betoenens j 0 = a L-G = E s /(E/(1+j 0 )) = Bøjningsstivhed EI = E s /a L-G *I t = 1,97E+13 Nmm 2 Udbøjningen bliver da. u L-G =1/10*M/EI*L 2 1,38 16,08 45,38 mm Udbøjning fra forspændingen Udbøjningen for langtidslast bestemmes ud fra langtidsmomentet M = M G -1,2*1,25*M P -64,1 knm

10 Forskellen mellem armeringens elasticitetsmodul og betoenens j 0 = a G-F = E s /(E/(1+j 0 )) = Bøjningsstivhed EI = E s /a G-F *I t = 1,84E+13 Nmm 2 Udbøjningen bliver da. u G-F =1/10*M/EI*L 2 1,55 17, ,94 mm Pga at huldækelementet afformes i en meget ung alder kommer der et ekstra tillæg til deformationen Udbøjningen bestemmes ud fra udbøjningen fra forspændingen a = /(0,7*51000*f ck /(f ck +13))*(1+j Lev ) Du Lev = u p *(1/(E(t)/E-1)*a/a G-F u L = u L-G +u G-F +Du Lev = Programmet beregner u L = 10,09-4,09 mm -1,662 mm -1,662 mm Forskel 0,000 % Udbøjninger for korttidslast a K = /(0,7*51000*f ck /(f ck +13)) M = M L -M K = 6,75 23,06 knm Bøjningsstivhed EI = E s /a K *I t = 4,69E+13 Nmm 2 Udbøjningen bliver da. u K =1/10*M/EI*L 2 + u L 4,39 mm Programmet beregner u K = 4,39 mm Forskel 0,000 % I ovenstående beregninger er tværsnitskonstanterne bestemt ud fra en fast værdi af alfa. Dette er valgt for at få konsistens med spædingsanalysern, hvor anvendelse af en slutværdi for a er meningsløst.

11 Brudstadiet Momentkapacitet I nærværende afsnit bestemmes momentkapaciteten af huldækket. Momentkapaciteten bestemmes ud fra fremgangsmåden i Elementbyggeriers Statik. For at simplificere tværsnitsanalysen regnes der på 1/10 del af betonens tværsnit. Koordinater er vist nedenfor. Dette kan gøres i og med at nullinjen er bundet til at være vandret. Tværsnitsanalysen løses iterativt. Det antages at tryklinjen defineres af følgende koordinater i det repræsentative tværsnit Nullinjen Koordinater til dannelse af tværsnit x [mm] y [mm] , ,76 x [mm] y [mm] ,75 52,393 32,893 86,25 20,5 132,5 32, ,75 66,75 212,61 89, , x [mm] Ovenfor ses det repræsentative betontværsnit og tryklinjens placering y [mm] Repræsentativt tværsnit Tryklinje Skæringspunkter, Tryklinje og tværsnit Programmet Koordinater for nullinjens skæring med den repræsentative betontværsnit x [mm] y [mm] -2, ,76 96,0 222,76 Elementets trapezformede tværsnit er indregnet forholdsvis via et lille smig i udsnittets form. Dette ses da udsnittets kant langs y-aksen ikke er parallel.

12 Dannelses af s og t koordinater for bestemmelse af betonresultaten og betonresultantens moment om nullinjen. 1-2, ,76 2 x [mm] y [mm] 96,0 222, ,0 225, ,0 265,0 5-2,0 265,0 6-2,6 222,8 s [mm] t [mm] 3, , ,0 2,2 119,0 42,237 4,0 42,237 3, I grafen ovenfor er trykzonen beregnet i programmet vist med små sorte kryds. Størrelsen af trykresultanten bestemmes som, hvor Konstanterne A, B og D er givet ved D

13 Ud fra ovenstående formler bestemmes trykresultanten af betonens trykzone. Bestemmelse af konstanterne A, B og D f ck = f cm = f cd = E cm = e c1 = 0,7*f cm 0,31 /1000 e 0 = (2,8+27*((98-f cm )/100) 4 )/1000 t max = 55,0 MPa 63,0 MPa 41,4 MPa 38214,2 MPa 0,0025 0, ,2 mm A = B = D = 0,019 0,012 1,999 s t s' i s'' i DN c,i [mm] [mm] [N] 3,4 0, ,0 0,0 102,01 7, ,0 2, ,0 42, ,0 42,2 3,3625 0,0151 3,4 0, , ,9 0 N c = SDN c,i = ,9 N Programmet finder ,9 N Forskel 0,000 %

14 Herefter kan placering af Nc bestemmes som 2 Det er kun interessant at finde resultantens placering i t retningen, da der ikke kan ske bøjning om s retningen. s t s' i s'' i D(t c N c,i ) [mm] [mm] [Nmm] 3,4 0,0 0,0 0, ,0 0,0 102,0 7,6 845,25 119,0 2,2 119,0 0,0 4E ,0 42,2 0,0 0,0 0 4,0 42,2 3,4 0, ,4 0,0 0,0 0,0 0 t c N c = SD(t c N c,i ) = ,8 Nmm Programmet finder ,8 N Forskel 0,000 % t c = 25,99 mm Programmet finder 25,99 mm Forskel 0,000 %

15 Bidraget fra armeringen findes ved at bestemme tøjningen i armeringen som t j = -(h-c-t max ) s p,eff = e a,j = s p,eff /E s -t j /t max e 0 = -177,8 mm 1160,0 MPa 0,019 Kraften i armeringen bestemmes som f uk = f ud = E s = f pk = f pd = e ud = Spændingen i armeringenstangen bliver s = f pd +(f ud -f pd ) (e a,j -f pd /E s )/(e ud -f pd /E s ) = N aj = 1820,0 MPa 1596,5 MPa ,0 MPa 1600,0 MPa 1403,5 MPa 0, , ,9 N Projektionsligevægt -100,0 N Det ses at projektionsligningen ikke helt er opfyldt ud fra den nullinje programmet har beregnet. Dette skyldes, at programmet af hensyn til den numeriske stabilitet standser iterationsprocessen til bestemmelse af nullinjens beliggenhed, når resultanten af trykspændingerne i betonen balancerer inden for 0,1 kn med resultanten af trækspændingerne i armeringen. Programmet får ,9 N Forskel 0,000 % Momentkapaciteten bliver, der er taget moment om armeringen Afstand fra tryk resultant til armeringen h c = h-t max -c+t c = M Rd = 203,8 mm 285,8 knm Programmet finder Forskel Tages der moment om trykresultanten bestemmes momentet M Rd = 285,6 knm 0,2 knm 285,6 knm Programmet finder 285,6 knm Forskel 0,000 %

16 Forskydningskapacitet Forskydningsstyrken af huldækket bestemmes ud fra EN1168 afsnit V Rd,c = 0,8*b w I/S((f tcd 2 +0,9a 1 s cp f ctd ) ½ = hvor b w = 10*min(x) I = ,5 mm 4 S = ,7 mm 3 f ctm = 2,12*ln(1+f cm /10) t = b cc = exp(1-(28/t) ½ ) f ctm (t) = f ctm *b cc = f ctd (t)=0,7*f ctm (t)/g c a 1 = l x = 65+h/2/tan(p)*35/180= l pt = 1,25*0,19*f*s eff,p /(h p1 h 1 f ctd (t)) s cp = N p /A c 102,1 245,0 4,21 MPa 3,0 0,46 døgn 1,93 MPa 1,02 MPa 0,19 254,2 mm 1373,0 mm 5,96 MPa Programmets formel 102,1 kn Forskel 0,000 %

17 Resultatudskrift fra regneark

18 Beregninger af huldæk i varm tilstand I nærværende afsnit foretages der en dimensionering af huldæk i brand. Der foretages en eftervisning af forskydningskapaciteten og momentkapaciteten. Forskydningkapaciteten bestemmes iht. EN 1168 Annex G. Belastnninger Fladelast q Ed = 9,2 kn/m 2 Spændvidde L = Regningsmæssige snitkræfter M Ed = V Ed = 11,09 m 141,4 knm 51,0 kn Forskydningskapacitet Parametre til forskydningsberegning iht. EN1168 anneks G a 50% b w = d = 65,1 mm 245 mm 220 mm Temperaturer Temperaturer bestemme ud fra temperaturkurven i det nationale anneks. I beregningerne skal huldækkene modstå en 120 min standard brand. Varmeledningsevnen l = 0,75 W/m o C Densiteten r = 2300 kg/m 3 Brandtiden t = 120 min k(t) = 10,346

19 Nedenfor bestemmes temperaturerne forskellige steder i huldækkonstruktionen. x Program Liner Beton ½h Stødjern a50% 0, ,2 a Temperaturen ved vederlaget bestemmes som q m,lbp = (c*q 1,liner +a*q 1,a )/l x = k ct = [m] 0,045 0,1325 0,08 0,065 q 1 [ o C] 343,33 187,97 199,06 [ o C] 345,4 188,99 200,47 203,73 202,86 204,39 k p = k fc = k s = 0,602 0,968 0, ,08 0,68 Reduktionsfaktoren for betonens trykstyrke er bestemt ud fra reduktionskurverne for søsand og granit, som angivet i det danske nationale anneks. Forøgelsen af forskydningsstyrke i forhold til anneks G er ca. 0,5% hvorfor det anses for acceptabelt. Reduktionsværdierne for liner er fundet ud fra 2,0% tøjningen, dvs. styrkereduktionen i eurocode Dette gøres i og med at arbejdskurven for linerne tillader udnyttelse af tøjningshærdning. Bestemmelse af forskydningsstyrken, se også bilag 1 vedrørende anvendelse af Annex G til EN 1168 Vederlagsdybde a = Fugearmering f yk = 65 mm 500 MPa Tværsnitsareal A c = A t - a*n*a p = ,7 mm 2 V Rd,c,q = (C q,1 +a k C q,2 )b w d = hvor C q,1 = 0,15s cp,q = s cp,q = F R,a,qp / A c = hvor F Ra,q,p = N*A p *min(l x *f bpd,q /(a 2 ø) ; 0,9*f pk *k p ) = l x = a+c = f bpd,q = h p2 *h 1 *f ctm *0,7*k c,t = og C q,2 = (0,58*k c f cm *(F R,a,qp +F R,a,qs )/(f yk b w d)) 1/3 = hvor F R,a,qs = A s f yk k s = Diameteren af fugearmeringen er regnet til 10 mm 64,5 kn 0,09 0, ,26 0, , mm 2,39 a k = min(1+(200/d) ½ ;2) = 1,95 Programmet finder V Rd,c,q = 64,45 kn Forskel 0,000

20 Momentkapacitet Bestemmelse af momentkapaciteten for huldæk sker ud fra anvendelse af DS/EN Betonen antages at have en krum arbejdslinje, som angivet i Figur 3.1, som er gengivet nedenfor. I beregninger anvendes arbejdskurven indtil e c1,q, som er topppunktet. Toppunktet af betonen givet ved f c,q og e c1,p afhænger af temperaturen. I programmet anvendes der danske betonen, med reduktionsfaktorer, svarende til det der var kendt i DS og som er angivet i Betonelementsbyggeriers Statik Fig. 9-2 anfør i DS/EN Figur 3.3, som er gengivet nedenfor. Armeringen i huldækkene er liner og tråde (cw). Linerne antages at opfører sig som I forbindelse med bestemmelse f py,q anvendes b = 0,9, som angivet i DS/EN Den krumme arbejdskurve for betonen, den ikke lineære arbejdskurve for armeringen og afhængigheden af temperaturen q, gør at beregningerne og løsningen af den statiske ækvivalens ikke kan ske analytisk. Løsningen findes derfor ved iteration. Der anvendes sekant metoden som iterationsmetode for at finde nulpunkt for projekttionsligningen. Der udføres 2 beregninger svarende til balanceret tværsnit, hvor tøjningen i armeringen er givet til e py,q =0,02 og svarende til maksimal udnyttelse af betonen, hvor tøjningen i betonens yderste fiber er givet til e c1,q. Temperaturen i betonen i trykzonen vil egentlig varierer. Det antages på den sikre side at betonens temperatur svarer til temperaturen i en ½h. I forbindelse med beregningerne antages der et idealiseret tværsnit at huldækket, hvor kanalerne antages at være rektangulære med en geometri som vist nedenfor.

21 b Geometri b = 1150,0 mm a top h = 265,0 mm b w = 245,0 mm b w h a top = 40,0 mm c 1 c 1 = 0,0 mm c 2 = 45,0 mm c 2 For at undgå integration af spændingsfordelingen i betonen over trykzonehøjden, inddeles denne i skiver. Det antages at der ligger 7 skiver over kanalerne og 3 skiver i mellem kanalerne Dvs er x<a top inddeles trykxonen i 7 skiver, er x>a top, da inddeles trykzonen i 10 skiver, hvor de 3 skiver ligger mellem kanalerne. I det følgende bestemmes momentkapaciteten i to tilfælde, den ene er med kendt tøjning i linerne og det andet tilfælde er med kendt tøjning i betonen. Beregninger med kendt tøjning i armering. Trykzonens udbredelse skønnes tilsvarende den fundet i kold tilstand x = 42,2 mm På baggrund af trykzonens udbredelse og antagelse om kendt tøjning i det nederste lag armering, kan man på baggrund af de geometriske parametre bestemme tøjningstilstanden i trykzonen og i en evt. trykarmering. Tøjningen i trækarmeringen e p,2 = e py,q +s p,eff /E s = 0,0259 0/00 Tøjningen i betonens yderste kant bliver e c = e py,q *x/(d-x) = 0,0048 0/00 Da x>a top inddeles a top i 7 skiver i'te skive Dx [mm] e m N c,i [N] 1 5,7143 0, ,7143 0, ,7143 0, I skemaet til venstre er følgende formler anvendt. e m = e c *(x-(i-½)*dx)/x Dette svarer til tøjningen i midten af skiven N c,i = 3e m k fc f ck /(e c1,q *(2+(e m /e c1,q ) 3 ))Dx*b 4 5,7143 0, e c,1 = 0,0053 0/00 5 5,7143 0, ,7143 0, ,7143 0, Da trykzonen antages at være større end atop og derfor breder sig ned mellem kanalerne indeles dette i 3 yderligere skiver i'te skive Dx [mm] e m N c,i [N] 8 0,7456 0, ,6 9 0,7456 0, ,2 10 0,7456 0,0000 0,0003

22 Herved kan den resulterende kraft fra trykzonen bestemmes N c = SN c,i = 1530,4 kn Bidraget fra trækarmeringen bestmmes ud fra temperaturen q p,2 = 345,4 o C På baggrund af tabel 3.3 i DS/EN bestemmes indgangsparametre til armeringens arbejdskurve q [ o C] f py,q /(bf pk ) f pp,q /(bf pk ) E p,q /E p e pt,q e pu,q 300,0 0,72 0,32 0,88 0,055 0, ,0 0,46 0,13 0,81 0,060 0, ,4 0,6 0,23 0,85 0,057 0,107 I og med at tøjningen i armeringen er bestemt bliver spændingen i armeringen f py,q = 0,61*bf pk = 0,61*0,9*1820 = 986,0 MPa Trækresultaten i trækarmeringen bliver N a = N*A p *f py,q = 917,0 kn Momentkapaciteten bestemmes Betontrykkets moment om oversiden x'n c = S 7 i=1(i-½)dx*n c,i + S 10 i=8 (a top +(i-7-½)dx)*n c,i = Indre momentarm h i = h-c 2 -(x'n c )/N c = M Rd = N c *h i = 23,0 knm 205,0mm 313,7 knm Det ses at projektionsligningen ikke er opfyldt, hvor x må ændres. Beregninger følger beregningerne ovenfor, men er samlet i et skema. x e c N c h i M Rd [mm] [-] [kn] [mm] [knm] 21,1 0, ,2 212,8 81,1 31,0 0, ,5 209,3 175,5 32,7 0, ,3 208,7 194,8 32,4 0, ,7 208,8 191,4 32,4 0, ,0 208,8 191,5 32,4 0, ,0 208,8 191,5

23 Beregninger med kendt tøjning i betonen. Trykzonens udbredelse skønnes tilsvarende den fundet i kold tilstand x = 42,2 mm På baggrund af trykzonens udbredelse og antagelse om kendt tøjning i det nederste lag armering, kan man på baggrund af de geometriske parametre bestemme tøjningstilstanden i trykzonen og i en evt. trykarmering. Tøjningen i trækarmeringen e p,2 = e c1 *(h-c 2 -x)/x+s p,eff /E s = 0,0284 0/00 Tøjningen i betonens yderste kant bliver e c = e c,1 = 0,0053 0/00 Da x>a top inddeles a top i 7 skiver i'te skive Dx [mm] e m N c,i [N] 1 5,7143 0, ,7143 0, ,7143 0, I skemaet til venstre er følgende formler anvendt. e m = e c *(x-(i-½)*dx)/x Dette svarer til tøjningen i midten af skiven N c,i = 3e m k fc f ck /(e c1,q *(2+(e m /e c1,q ) 3 ))Dx*b 4 5,7143 0, e c,1 = 0,0053 0/00 5 5,7143 0, ,7143 0, ,7143 0, Da trykzonen antages at være større end atop og derfor breder sig ned mellem kanalerne indeles dette i 3 yderligere skiver i'te skive Dx [mm] e m N c,i [N] 8 0,7456 0, ,5 9 0,7456 0, ,6 10 0,7456 0,0000 0,0003 Herved kan den resulterende kraft fra trykzonen bestemmes N c = SN c,i = 1646,0 kn Bidraget fra trækarmeringen bestmmes ud fra temperaturen q p,2 = 345,4 o C På baggrund af tabel 3.3 i DS/EN bestemmes indgangsparametre til armeringens arbejdskurve q [ o C] f py,q /(bf pk ) f pp,q /(bf pk ) E p,q /E p e pt,q e pu,q 300,0 0,72 0,32 0,88 0,055 0, ,0 0,46 0,13 0,81 0,060 0, ,4 0,6 0,23 0,85 0,057 0,107 I og med at tøjningen i armeringen er bestemt bliver spændingen i armeringen f py,q = 0,61*bf pk = 0,61*0,9*1820 = 986,0 MPa

24 Trækresultaten i trækarmeringen bliver N a = N*A p *f py,q = 917,0 kn Momentkapaciteten bestemmes Betontrykkets moment om oversiden x'n c = S 7 i=1(i-½)dx*n c,i + S 10 i=8 (a top +(i-7-½)dx)*n c,i = Indre momentarm h i = h-c 2 -(x'n c )/N c = M Rd = N c *h i = 25,2 knm 204,7mm 336,9 knm Det ses at projektionsligningen ikke er opfyldt, hvor x må ændres. Beregninger følger beregningerne ovenfor, men er samlet i et skema. x e c N c h i M Rd [mm] [-] [kn] [mm] [knm] 21,1 0, ,0 212,3 174,5 23,2 0, ,6 211,5 191,4 23,6 0, ,5 211,4 194,4 23,6 0, ,0 211,4 193,9 23,6 0, ,0 211,4 193,9 23,6 0, ,0 211,4 193,9 Da der opnås ligevægt ud fra begge beregningsmetoder, vælges den største momentkapacitet, da der er tale om to nedreværdi løsninger M Rd = 193,9 knm Beregnet af program M Rd = Forskel 193,9 knm 0,000 knm

25 Resultatudskrift fra regneark

26 Bilag 1

27

28

29