Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene"

Transkript

1 Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder og forvetes at have ået midst til og med øvelse 6. i løbet af de første to lektioer. 3. Fælles samlig: a. Afklarig af evetelle spørgsmål b. Præsetatio af Fiboacci tallee c. Præsetatio af idée i et idktiosbevis 4. Grppere arbejder videre og tager hrtigt fat på afsittet om Fiboacci tallee. Prodktkrav: Hver grppe afleverer e rapport. Rapporte skal ideholde: e præsetatio med ege ord af, hvad det glde sit er i kst, arkitektr mv., og hvad det har med matematik at gøre (se evt. etadresse i pkt 5). løsig af øvelsere om det glde sit til og med øvelse 7. e præsetatio med ege ord af, hvad Fiboacci tallee er, hvor de optræder i vores omverde, og hvad de har med det glde sit at gøre. (se evt. etadresse i pkt 5). løsig af øvelsere om Fiboacci tallee til og med øvelse 3. Hver grppe laver ete øvelse 7. eller fider e ade geometrisk opgave på ettet, som løses i stedet. Bemærk: De faglige fordsætiger for at elevere ka arbejde med materialet er følgede: Kedskab til ligedaethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskab til adegradsligige. Grdlæggede smbolmaiplatio, herder kvadratsætiger. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

2 Projekter: Kapitel Det glde sit Opsøg selv via leksika, fagbøger eller iteret iformatioer om det glde sit: D skal have sat dig id i det på e såda måde, at d med ege ord ka give e mdtlig og skriftlig fremstillig af det. De følgede matematiske del om det glde sit er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. Id imellem øvelsere er der givet defiitioer og aført forskellige bemærkiger. Defiitio Et rektagel ABCD kaldes et gldet rektagel, hvis det opflder følgede: Når vi skærer et kvadrat ABEF væk, så får vi et t rektagel ECDF, B E C A F D som er ligedaet med det store rektagel ABCD: B + C C D A + D E F Bemærk: Når rektaglere er ligedaede, gælder der, at:, dvs. forholdet mellem de lage og de korte side er es for de to rektagler. () De følgede matematiske del om Fiboacci tallee er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

3 Projekter: Kapitel Øvelse Beregig af det glde sit Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: Formel () omskrives til eller 0. Ligige omskrives videre til: 0. (a) Læg mærke til, at det ikke er eller, me derimod forholdet, der er det glde sit. Det er det, vi er iteresseret i at berege! er altså de kedte størrelse og fides som e løsig til adegradsligige z z 0. (b) Vis, at løsige er z 5. Heraf ka vi kokldere: Det glde sit er lig med 5,68... (3) Øvelse De ade løsig beteges af og til '. Med dee betegelse har vi altså, at 5 og ' 5 er løsigere til adegradsligige z z 0. Redegør for at der gælder, at ' og '. Øvelse 3 Hvis et gldet rektagel har side som de lage side og side som de korte side, så er de korte side de lage side (4) de lage side Idsæt i ' og vis, at ' de korte side. (5) Redegør også for at '. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

4 Projekter: Kapitel Øvelse 4 Tilærmet kostrktio af det glde sit Læg lijestkkere i forlægelse af hiade: B E C Vi øsker at fide d af, hvor stor e del dgør af hele lægde +. a) Vis, at svaret på dette er ' eller tilærmet 0,68 Dvs. dgør ca. 6 % af hele lijestkket. Vi skal således dmåle 6% af lijestkket og dér afsætte et mærke, år et lijestkke skal deles i et forhold som det glde sit. Vi ka atrligvis måle d fra hvert edepkt, så der bliver to glde sit på e lije. Øvelse 5 Hvorda skal ma dele et lijestkke på 0, således at de to stkker ka dgøre sidere i et gldet rektagel? Øvelse 6 Vi har givet et lijestkke på. Vi øsker at dette skal dgøre de korte side i et gldet rektagel. Hvor stor skal de lage side være? Bemærk, at dtrkket: de korte side de lage side der gælder for et gldet rektagel, ka omskrives til: de lage sidede korte side. Øvelse 7 Vi øsker at lave et gldet rektagel med areal 40. Hvor lage skal sidere være? Øvelse 8 Eksakt kostrktio af det glde sit Bemærk: Dette er de geometriske kostrktio svarede til beregigere i øvelse. Kostrér e retviklet trekat, hvor de lægste katete er (eheder), og de korte katete er (ehed) 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

5 Projekter: Kapitel se figre. B D A E C Med e passer kostreres e cirkel med cetrm i B og radis CB. Skærigspktet med AB kaldes D. Med passere teges e cirkel med cetrm i A og radis AD. Skærigspktet med AC kaldes E. Vis, at AC AE. 5 Vis at dette ka omskrives til 5, dvs. det er lig med tallet Φ. Koklsio: Kostrktioe med de to cirkelber deler AC i det glde sit. Øvelse 6. Geometrisk kostrktio af et gldet rektagel d fra et givet kvadrat Bemærk: Dette er de geometriske kostrktio svarede til beregige i øvelse ovefor (5.). Vi har givet et kvadrat med sidelægde B E A F og øsker at kostrere et rektagel ABCD, som er et gldet rektagel. Udfør følgede kostrktio (se tegige): BE halveres, og vi fider midtpktet M. Med M som cetrm og MF som radis teges e cirkel. Dee cirkel skærer forlægelse af BE i et pkt C. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

6 Projekter: Kapitel B M E C A F Påstad: Side BC er de lage side i et gldet rektagel, hvor side AB er de korte side, dvs. rektaglet ABCD er gldet, hvor D fides på forlægelse af AF. Bevis påstade, dvs. bevis følgede at BC BA 5. Øvelse 9 B Kostrer e ligebeet trekat med topvikel 36. Viklere ved grdlije er så 7. Halvér vikel A. 36 Skærigspktet med side BC kaldes D. Vis at ACD er esviklet med BAC Argmetér for at sidere AD og BD har samme lægde, som vi kalder. Lægde af DC kaldes. A D 7 C Vis, at. Omskriv til 0. Argmetér for at forholdet mellem sidere og i trekat ADC er lig med det glde sit. Formler dette som e sætig om dee tpe trekat. Bemærk: Trekater med disse vikler kaldes af og til for glde trekater. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

7 Projekter: Kapitel Øvelse 0 A Kostrer e reglær femkat ABCDE, dvs. e femkat, hvor sidere og viklere er lige store. v Kostrer også diagoalere AC, BE og BD. Argmetér for at viklere i e femkat, f.eks. hele vikel E, er 08. Gå på jagt efter ligebeede trekater ide i femkate, og argmeter for at viklere markeret med v faktisk er lige store. (Hjælp: Begd f.eks. med at se på trekat ABE og dreg, hvor stor v er). Argmetér for at viklere markeret er lige store, og at = v. (Hjælp: se først på vikle markeret w.) B v v C w Q P v D v E Argmetér for at viklere markeret er lige store, og at de derfor må være lig med. Vis at 3v = 08, og altså at v = 36. Heraf får vi: = = 7. Agiv midst 3 glde trekater ide i femkate. CQ CP Udt dette til at vise at. QP PA Koklsio: Diagoalere skærer hiade op i glde sit. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

8 Projekter: Kapitel Fiboacci tallee Forberedelse: Læs de egelske versio af Leoardo af Pisa s kai problem. Leoardo af Pisa kaldes ofte Fiboacci. Ha levede i Norditalie omkrig år 00 og var med at gøre de højtdviklede arabiske matematik kedt i Eropa. Ha dede bl.a. et stort bidrag til, at de arabiske tal blev kedt og efterhåde avedt i stedet for romertallee. Kaiproblemet gav aledig til at stdere de mærkelige talrække,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, som side er blevet kaldt Fiboacci tallee. Giv e kort præsetatio af kaiproblemet, hvor d bl.a. redegør for, hvad det har med Fiboacci tallee at gøre. De følgede matematiske del om Fiboacci tallee er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. Defiitio Fiboacci tallee er de talfølge,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, der opstår ved, at det æste elemet daes som smme af de to foregåede (dette kaldes i matematik e rekrsiv defiitio ). Med smboler ka dette dtrkkes således: Lad betege det te tal i talfølge (f.eks. =, 6 = 8, 8 =, osv.) Regle om det æste elemet ka så skrives således: Øvelse Opskriv de første 5 Fiboacci tal i et skema som dette: Øvelse Idtast Fiboacci tallee som e talfølge i dit CAS værktøj. Hertil skal d først omstille maskies program til talfølger (ædrig i mode ). Der er plads til flere talfølger, og d idtaster f.eks. i de første, som hedder. Det 4. tal og det te tal i følge hedder i maskies sprog (4) og (). Regle om det æste elemet, som er formleret i (6), idtastes så. Edelig skal d give begdelsesværdier, og dette er de første to tal i følge, der idskrives således: {,}. I Table ka d se følges tal. Hvad er Fiboacci tal r. 40? 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

9 Projekter: Kapitel Øvelse 3 Udreg forholdet mellem ét tal i Fiboacci talfølge og det foregåede tal, dvs.: 3 4 5,,,, Ka d se et møster et tal, som dee følge ærmer sig? Udreg tilsvarede: 3 4,,,, Hvilket tal ærmer dee følge sig tilseladede? Øvelse 4 Lad os kalde brøkere fra forrige øvelse a, a, a 3,..., dvs. a 3 a 4 a3 3,5 Lav e tallije med e stor ehed, f.eks. 8 eller 0 cm. Afsæt et så stort atal af tallee i talfølge a, a, a 3,..., at d ka svare på følgede: Beskriv med ord det møster, d ser. Defiitio: Græseværdi Atag, at vi har e talfølge a, a, a 3,... Hvis der fides et bestemt tal a 0, som talfølges elemeter ærmer sig mere og mere, jo lægere vi går frem i følge, så siger vi, at a 0 er græseværdie for talfølge, og vi skriver a 0 år. (Læses: a går mod a 0, år går mod edelig. ) Bemærk: Udtrkket ærmer sig mere og mere betder: Hvis vi øsker at komme tættere på a ed e give lille forskel på f.eks. 0,000, så ka vi fide et bestemt tri i talfølge, hvorfra alle følgede tal er så tæt på som øsket. Påstad Vi vil tage vores eksperimet med dregig og afsætig på tallije som et argmet for, at talfølge a, a, a 3,... af brøker lavet d fra Fiboacci tallee faktisk har e græseværdi (dee påstad vil vi bevise seere se tillæg). Det ser d, som om græseværdie er tallet. Ka vi bevise dette? Det er opgave i de æste øvelse. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

10 Projekter: Kapitel Øvelse 5 Når d er kommet igeem øvelse og har fdet d af, hvad er, ved så tilbage og se, hvor kom fra. Så får d et bedre overblik over, hvorfor vi foretager omskrivigere. Lad os begde med at kalde græseværdie for, dvs. a år. Af defiitioe på Fiboacci tal har vi: Vis, at dette ka omskrives til:. (7) Vi øsker at omskrive formel (7) til formel (8) edefor. Dertil har vi brg for følgede to tig:. a. a Vis det sidste ved at begde med a. Idsættes. og. i (7), får vi a a Når bliver meget stor vil både a og a ærme sig græseværdie. Ligige (8) gælder hele veje. Derfor må der også til sidst gælde, at Omskriv dette til eller 0 Argmeter for at = Φ ved simpelthe at løse ligige. Da var græseværdie for a følge, ved vi derfor, at a år. Formler dette resltat med ord. Bemærk: Det er lidt besværligt at drege Fiboacci tal lagt fremme i følge, fordi vi skal arbejde os frem tri for tri. CAS værktøjet er atrligvis e stor hjælp. Me ke ma fide e formel for dregig af et givet Fiboacci tal, var det eklere. Og der fides faktisk e gaske mærkelig formel, som giver os mlighed for direkte at drege f Fiboacci tal r. 37 eller r. 73. Formle blev fdet af e matematiker ved av Biet, og år ma ser de, tror ma, det er løg, at de formel altid giver et helt tal. Fiboacci tallee bliver hrtigt meget store, så formle har hovedsagelig teoretisk iteresse. Som e hjælp til at vise formle, skal vi først klare følgede: (6) (8) (9) (0) 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

11 Projekter: Kapitel Sætig Hvis tallet opflder, så gælder for ethvert atrligt tal, at, hvor ere er Fiboacci tallee. Bemærk: Tallet keder vi godt: Det er ete eller '. () Øvelse 6 Beviset for sætige Beviset laves trivist, dvs. vi idser, det gælder for =, = 3, = 4 osv. I hvert tri dtter vi det, vi ved om, emlig at formel (9) gælder:. tri: Vi ved, at, og det er det samme som (hvorfor?). 3. tri: Vi gager ligige (9) igeem med på begge sider og får. 3 Vis at dette ka omskrives til. 3 Me det er det samme som (hvorfor?) () tri: Vi gager ligige () igeem med på begge sider og får.. 4 Vis at dette ka omskrives til Me det er det samme som osv. 4 3 Lad os sige, at vi har vist formle id til tri r. 9, dvs. vi har vist formle tri: Vi gager prøv selv at geemføre dette tri, så d år frem til. 0 3 Vi ka således altid komme et skridt derligere fremad. Derfor siger vi, at sætige er bevist ved de tekik, der kaldes matematisk idktio. SÆTNING (Biets formel) Det te led i Fiboacci talfølge ka dreges således: 5 5 (3) 5 Bemærk: Prøv at drege ogle eksempler, som 5, 8 og 30, for at se, at formle giver det øskede. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

12 Projekter: Kapitel Øvelse 7 Beviset for Biets sætig De to tal 5 og ' 5 er løsiger til ligige, så derfor gælder ifølge sætige ovefor og øvelse 3 for ethvert atrligt tal : ' ' Vis, at d heraf ka få: ' ' Vis, at ' 5.. Idsættes dette, får vi ' 5. Vis edelig, at vi herfra får Biets formel. Der fides på ettet et væld af adresser vedrørede Fiboacci tallee. På adresse ka d fide e omfattede iformatio. Fid her: Fiboacci tal og det glde sit i atre Fid på hjemmeside midst to matematiske sammehæge, som ikke er omtalt i disse oter og gør rede for dem. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

13 Projekter: Kapitel Etra: Fiboacci tallees opførsel Dette tillæg hadler om, hvorfor talfølge af forhold mellem Fiboacci tallee opfører sig som de gør. Øvelse 8 Betragt de første Fiboacci tal: i i Øvelse 9 Læg mærke til: og og og 8 44 samt følgede: 4 3 og og og 7 69 Formler med ord de regler d ka se d af dette møster. Øvelse 0 Vi så i foregåede øvelse, at vi af og til har brg for at skele mellem lige tal (, 4, 6, ) og lige tal (, 3, 5, ). Når vi skal ræsoere matematisk om lige og lige tal, er vi ødt til at ke skele mellem tallee ved hjælp af matematisk smbolsprog. Det gør vi ved at skrive de lige tal som, eller, eller + osv., hvor er et tilfældigt atrligt tal. De lige tal skrives som +,, +3 osv. Et lige eller et lige tal ka skrives på flere måder, f.eks. 8 = 4 eller 8 = 3 + eller 8 = 5 eller og 9 = 4 + eller 9 = eller 9 = 5 eller Det afgørede er, at vi får dtrkt, om går op eller ikke går op i tallet. Når vi skriver lige tal og lige tal således, ka regle fra øvelse 9 formleres således: For efterfølgede lige mre i Fiboacci talfølge (som 6 og 8 ) gælder: (4) 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

14 Projekter: Kapitel For efterfølgede lige mre i Fiboacci talfølge (som 7 og 9 ) gælder: Dette vises trivist med samme tekik, som vi avedte i øvelse 6. Vi har set, at formlere (4) og (5) gælder for Fiboacci tallee op til 9. Vi ke blive ved et stkke tid ed; me i stedet spørger vi : Hvis formlere (4) og (5) gælder op til e bestemt værdi af, ka vi så vise, at de også gælder for de æste Fiboacci tal? Hvis vi ka det, så siger vi, at formlere er vist for alle tal ved hjælp af matematisk idktio. Vi øsker at vise de æste to formler. Overvej at disse skrives: (4') (5) 3 Vi viser (4') ved at drege vestre side og her bette, at det er Fiboacci tal. Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: hvilket var det øskede. Prøv selv med samme metode at vise (5'), dvs. vise, at (5') Bemærk: Fid tilbage til de første dregiger af forholdet mellem Fiboacci tallee og afsætig af disse på e tallije. Vi kaldte for emheds skld: a, a 3, a 4 3, For følge a, a, a 3,... så vi, at:. Forskelle mellem efterfølgede tal i a følge bliver midre og midre.. Tallee a, a4, a 6,... (de lige mre) bliver midre og midre Tallee a, a3, a 5,... (de lige mre) bliver større og større. 4. For hvert tri i a følge bliver tallet skiftevis større og midre ed det foregåede, dvs. a er større ed a, a 3 er midre ed a, a 4 er større ed a 3, Tilsamme giver dette, at følge af a tal sviger frem og tilbage og lagsomt ærmer sig e græseværdi (som, vi beviste ovefor, var lig med ). Vi beviser påstadee 4 ved hjælp af formlere (4) og (5) fra øvelse 0. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

15 Projekter: Kapitel Øvelse Formler påstadee, 3 og 4 ved hjælp af smbolere a, a, a og a. Øvelse Påstad r. : Forskelle mellem to efterfølgede tal dreges: a a Argmeter for at. Sammefatter vi, har vi derfor: a a Tallee og bliver større og større, hvorfor brøke bliver midre og midre. Koklsio: Forskelle mellem efterfølgede tal bliver midre og midre og ærmer sig 0, år går mod edelig. Påstad r. : Vi ser på tallee a, a4, a6,..., a og vil vise, at a a. Overvej at dette dtrkker, at tallee med lige mre bliver midre og midre. Af (4) får vi: Vi reger videre (gør øje rede for hvert skridt): a a der også ka skrives: a a Koklsio: Tallee med lige mre bliver midre og midre. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

16 Projekter: Kapitel Påstad r. 3: Prøv selv at vise, at,altså at a a, med brg af formel (5). Koklsio: Tallee med lige mre bliver større og større. Påstad r. 4: Formel (4) giver som ævt:, hvilket ka omskrives til: a a der også ka skrives: a a Koklsio: Et tal med lige mmer er midre ed det foregåede med lige mmer Formel (5) giver tilsvarede:, hvilket ka omskrives til: a a der også ka skrives: a a Koklsio: Et tal med ige mmer er større ed det foregåede med lige mmer Prøv at askeliggøre de to resltater fra (6) og (7) med = 4, = 5 og = 6. Koklsioe bliver, at for hvert tri bliver a tallet skiftevis større og midre. (6) (7) Samlet har vi set, at a følges led sviger frem og tilbage, de lige mre bliver midre, de lige bliver større, mes forskelle mellem efterfølgede tal ærmer sig 0. Derfor må følge have e græseværdi. Vi argmeterede i forrige afsit for, at var der e græseværdi, så ville dee være det glde sit. Altså har vi alt i alt vist, at forholdet mellem efterfølgede Fiboaccital ærmer sig tallet det glde sit. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf:

Bjørn Grøn. Det gyldne snit og Fibonacci-tallene

Bjørn Grøn. Det gyldne snit og Fibonacci-tallene jør Grø Det glde sit og Fiboacci-tallee Det glde sit og Fiboacci-tallee Side af 4 Det glde sit og Fiboacci-tallee Fordsætiger: Kedskab til ligedaethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskab til adegradsligige.

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger Eksamesspørgsmål NmaC144s sommer 014. Gør rede for omformigsreglere for ligiger. Spørgsmål 1: Ligiger Giv eksempler på hvorda forskellige ligiger løses. Du bør her komme id på flere forskellige ligigstper,

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Facade 4. 02 Soveværelse 02 Soveværelse. 4 Værelse 10 m². 04 Værelse 3397 3325. 16 Trapperum 19 m². 14 Bad. 1700 11 Entré. 11 Entré 6 m². Stue.

Facade 4. 02 Soveværelse 02 Soveværelse. 4 Værelse 10 m². 04 Værelse 3397 3325. 16 Trapperum 19 m². 14 Bad. 1700 11 Entré. 11 Entré 6 m². Stue. A(A)-1- Type 3-3,2 m² Type 4-98,2 m² Type 1-76, Type 6-3, A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 12588 7452 9768 8280 3050 4 4 3397 3325 3050 4520 4 44 4259 m² AA AB Facade 3 Forsyningsskabe Gang 3682 8152 21 m² 2080

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere