ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen"

Transkript

1 ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium Version: 18. august 2007 side 1 af 15

2 Astronomisk navigation hvad er det? Hvad er navigation? Ordet stammer fra latin. Navis betyder skib, og ago er et verbum, der kan betyde mange forskellige ting, herunder at sætte i gang, lede og føre. De to ord danner tilsammen verbet navigare, som så betyder at sejle eller føre et skib. Heraf kommer ordet navigatio, der er det latinske substantiv for det at føre et skib. Ordene kendes i mange forskellige sprog og i mange moderne sammenhænge også i overført betydning. Navigatør, navy, navigate, navigator, at navigere i det moderne samfund er blot nogle eksempler. Alle har deres udspring i den kunst at kunne sejle. Hvorfor er dette emne interessant? Det er i hvert fald interessant set under en historisk synsvinkel. Transport af mennesker og varer til søs kendes langt tilbage i tiden. Sejlads på Nilen i Ægypten. Sejlads på de store floder i Kina. Sejlads på Middelhavet i oldtiden. Noas ark i Det Gamle Testamente. Profeten Jonas, ligeledes fra Det Gamle Testamente, der kastes over bord og opsluges af en stor fisk. Odysseus, der efter at have deltaget i krigen mod Troja flakker omkring på Middelhavet i ti år som beskrevet i Odysséen. Fønikerne, der grundlægger handelskolonier utallige steder spredt i de landområder, der grænser op til Middelhavet. Vikingerne, der sejler fra Skandinavien ad de russiske floder til Sortehavet, plyndrer langt op ad de vesteuropæiske floder, grundlægger herskerdynastier i Normandiet og på Sicilien. Venezianerne, som i århundreder tjener formuer på at formidle handlen mellem det fjerne og det nære østen og Vesteuropa. Portugiserne og Spanierne, som baner sig vej over Atlanterhavet til Den Nye Verden, rundt om Afrika til Indien og til Kina og Japan. Og som taber kampen om magten til søs til de nordeuropæiske sømagter Holland og England. England, der etablerer et verdensomspændende imperium i kraft af sin formåen til søs. Man kan blive ved. Myter, sagn, sømandsfortællinger, skipperskrøner og afgørende historiske begivenheder til søs er der nok at tage af. Men hvordan kommer matematikken ind i billedet? Det er ikke helt lige til at forklare især ikke kort. Der er en hel del mellemregninger man er nødt til at beherske først. Vi vil prøve at begynde en gang i oldtiden. Lad os forestille os, at vi er ombord på skib et eller andet sted i Middelhavet. I appendiks 1 og 2 præsenterer vi to litterære beskrivelser fra oldtiden af sådan en situation. Denne ene har karakter af sagn, den anden er formentlig stort set historisk. (De to appendikser er ikke med i dette word-dokument, men findes på geomat.dk). I appendiks 1 er kapitel 27 i Apostlenes gerninger citeret i sin helhed. De skildrede begivenheder foregår i det første århundrede af vor tidsregning. Her fortælles om apostlen Paulus sørejse fra Cæsarea (i det nuværende Israel) til Rom. Ved afrejsen fra Kreta kommer skibet ud for en storm, og der siges I flere dage sås hverken sol eller stjerner, og det var stadig hårdt vejr. Til sidst svandt ethvert håb om vores redning. (v.20). Det var åbenbart betydningsfuldt, at de ikke kunne se hverken Solen eller stjernerne. I appendiks 2 er vi tilbage i en langt tidligere periode, adskillige århundreder tidligere (det er ikke stedet her at diskutere fra hvilken periode de to store digte Illiaden og Odysséen stammer). Her er helten i Odysséen blevet sendt helt alene af sted på et skib fra Kalypsos ø et Version: 18. august 2007 side 2 af 15

3 sted i Middelhavet. Som det fremgår havde han i høj grad sin opmærksomhed henvendt på stjernerne og stjernbillederne, snildt som den øvede Sømand, og gav især agt på Bjørnen, som det gjaldt om Stadig at have til Venstre på hele sin Fart over Havet. Bjørnen er stjernebilledet Store Bjørn, hvis hoveddel her i landet nok er bedre kendt som Karlsvognen. Her er det endnu tydeligere, at stjernebilledernes positioner spiller en væsentlig rolle for hvordan sømanden i Middelhavet orienterer sig, når han ikke kan se land. Derfor taler man om astronomisk navigation. I det følgende prøver vi at få styr på, hvordan det nu kan være. Hvor er vi? Første scenario: Vi kan se land. Vi kan se et karakteristisk bjerg, som vi har set før på en tidligere sørejse. Vi ved, at så skal vi følge kysten et stykke mod nord for at komme til en havn vi kender. Ingen problemer. Andet scenario: Der er hav omkring os, så langt øjet rækker. Vi aner ikke hvor vi er, hele den foregående nat har der blæst en storm, og vi har ikke kunnet se en hånd for os. Nu er det blevet stille og det er klaret op. Solen skinner. Den følgende nat er det stadig klart vejr, så stjernehimlen hvælver sig over os i al sin pragt. Hvad kan vi bruge det til? For det første Solen: Figur 1 Solens gang hen over himmelen giver en idé om verdenshjørnerne. Den står op et sted i østlig retning og går ned et sted i vestlig retning. Der hvor den står højst på himlen (man siger at den kulminerer), er retningen mod syd. Hvis man er på den sydlige halvkugle, kulminerer Solen mod nord. For det andet stjernehimlen: Version: 18. august 2007 side 3 af 15

4 Figur 2 I løbet af et døgn vil stjernerne foretage cirkulære bevægelser på himlen som antydet på tegningen. Man kan selvfølgelig kun se den del af cirklerne, som stjernerne beskriver mens det er mørkt. Det ser ud som om stjernerne bevæger sig omkring et punkt, der ligger fast på himlen, og meget tæt på dette punkt sidder der oven i købet en stjerne. Denne bevægelse skyldes i virkeligheden, at Jorden roterer om sig selv i løbet af et døgn omkring en akse, der peger mod dette punkt; men det var ikke opfattelsen i oldtiden, den gang mente man, at det var hele himlen der drejede omkring Jorden. Stjernen meget tæt på omdrejningspunktet kalder man Polarstjernen (Stella Polaris), på dansk kalder man den ofte også Nordstjernen. Nordstjernen kunne altså bruges til at fastlægge retningen mod nord med. Foruden Nordstjernen kunne man nikke genkendende til mange andre stjerner. En del af dem havde man givet navne, og man havde ordnet mange af dem i mønstre, de såkaldte stjernebilleder. Ved iagttagelser af stjernehimlen gennem mange år og ved at tale med ældre mennesker der også havde iagttaget himlen gennem mange år, kunne man efterhånden samle så megen erfaring sammen, så man kendte stjernehimlens udseende på forskellige tider af året og vidste hvordan stjernebilledernes beliggenhed på himlen varierede i løbet af natten, og på den måde fik man en idé om hvad tid på natten det var. Man lærte, at der var nogle stjernebilleder man kun kunne se på bestemte tider af året, og andre som man kunne se hele året rundt. Hvis man ikke kunne se hverken land, sol eller stjerner var der meget få hjælpemidler tilbage. Kompasset dukker først op i Europa mere end tusinde år senere end Paulus levede, så den mulighed var der ikke. Så var der erfaringer om, hvilke vinde der blæste hvor og hvornår; men vejrliget var og er for lunefuldt og omskifteligt i middelhavsområdet til at disse erfaringer kunne bruges til ret meget. Endelig var der sømandens gennem år opsamlede fornemmelse for skibets hastighed og hvor langt man nok var kommet og i hvilken retning, men erfaringen viste gang på gang, at denne intuition tit slog fejl. På samme måde som det i øvrigt viste sig århundreder senere, da konservative søfolk i 1700-tallet satte større lid til deres egne fornemmelser og forældede beregninger af positionen end til det nymodens kronometer. Man var altså i alt væsentligt henvist til tegnene på himmelkuglen. Vi går lidt mere i detaljer med anvendelsen af Solen og Nordstjernen. Version: 18. august 2007 side 4 af 15

5 Man havde fået erfaring for, at disse kunne benyttes ikke bare til at fastlægge verdenshjørnerne, men også til at give et fingerpeg om, hvor langt man var nord eller syd for et kendt sted. Man havde nemlig lagt mærke til, at Nordstjernen ikke stod lige højt over horisonten alle steder. Hvis man sejlede mod nord kom den til at stå højere oppe på himlen, hvis man sejlede mod syd, lavere. Man bemærkede også, at Solen kunne komme højere op på himlen jo længere mod syd man kom. Faktisk blev denne iagttagelse udnyttet til at beregne Jordens omkreds med, idet matematikeren Eratosthenes ( f.kr.) beregnede forskellen mellem Solens højde på himlen ved sommersolhverv i Alexandria i det nordlige Ægypten og i Syene i det sydlige Ægypten (nutidens Aswân), der ligger meget tæt på den nordlige vendekreds. Figur 3 Figur 4 Hvis man kan bestemme Nordstjernens højde over horisonten eller Solens højde over horisonten ved middagstid (når den står højest) har man altså et mål for hvor langt mod syd eller nord man er. Højden måles som vist på figurerne som en vinkel. Astronomerne havde i oldtiden instrumenter til at måle en sådan højde. Men ingen af disse instrumenter kunne bruges ombord på et skib. Det er ikke helt klart, om man havde opfundet skibsinstrumenter hertil, men sandsynligvis ikke. Muligvis brugte man mere primitive metoder til at skønne over højden, for eksempel håndsbredder på en udstrakt hånd. Version: 18. august 2007 side 5 af 15

6 Vinkelmålingsinstrumenter er altså afgørende for, om man kan udnytte disse iagttagelser til mere præcise positionsbestemmelser. Men det ser ud som om man i oldtiden og gennem middelalderen helt op til 1300-tallet har kunnet klare sig uden sådanne instrumenter. Og det var ikke fordi man hele tiden sejlede med kysten i sigte, det viser jo de to tekster i appendiks 1 og 2. Jordkloden og stedsbestemmelse At Jorden har form som en kugle, var allerede de græske matematikere og naturfilosoffer klar over. Som nævnt ovenfor, bestemte Eratosthenes Jordens omkreds, og det var naturligvis på basis af den opfattelse, at Jorden er kugleformet. På samme måde mente man, at Månen, Solen og de fem dakendte planeter var bundet til kuglesfærer, der drejede sig om den ubevægelige jord. Ordet sfære (σφαιρα) betyder netop kugle. De græske matematikere i oldtiden benyttede trestalssystemet (arvet fra babylonierne), når de foretog astronomiske beregninger. De inddelte cirklen i 360 grader, og på den måde opstod det vinkelmål, der benyttes den dag i dag, hvor en såkaldt lige vinkel er en der spænder over en halvcirkel og derfor måles ved 180 grader, en ret vinkel er halvdelen af en lige vinkel og derfor måles ved 90 grader. I forbindelse med astronomien udviklede de græske matematikere en matematisk disciplin, der betegnes sfærisk geometri. Det betyder geometri på en kugleoverflade. Vi har brug for at kende enkelte begreber fra den sfæriske geometri: En storcirkel er en cirkel på en kugleoverflade, der har sit centrum beliggende i kuglens centrum. En lillecirkel er en cirkel på en kugleoverflade, der ikke har sit centrum beliggende i kuglens centrum. For at beskrive et steds beliggenhed på jordkloden kan vi gøre brug af disse begreber. Figur 5 Version: 18. august 2007 side 6 af 15

7 Først skal vi bestemme den akse Jorden drejer sig omkring en gang i døgnet det er den linje gennem Jordens centrum, der forbinder Nordpolen og Sydpolen. Dernæst skal vi bestemme ækvator, det er den storcirkel, der står vinkelret på jordaksen. En meridian er defineret som en halv storcirkel, der forbinder Nordpolen med Sydpolen. Igennem ethvert sted på jordkloden går der altså en meridian. Stedets beliggenhed på meridianen fastlægges ved, hvor mange grader cirkelbuen på meridianen fra ækvator til stedet spænder over. Dette antal grader kaldes stedets geografiske bredde. Hvis stedet ligger nord for ækvator, kaldes tallet nordlig bredde, og hvis stedet ligger syd for ækvator, kaldes tallet sydlig bredde. Den geografiske bredde kan altså variere mellem 0 og 90 graders nordlig bredde og mellem 0 og 90 graders sydlig bredde. Hvis stedet ligger på ækvator, siger man at bredden er 0 grader. Hvilken meridian stedet ligger på bestemmes således: Først fastlægges en såkaldt 0-meridian. Så måler man på ækvator, hvor mange grader man skal bevæge sig for at komme til stedets meridian. Dette antal grader kaldes stedets geografiske længde. Hvis man skal bevæge sig mod øst, kaldes dette tal østlig længde, hvis man skal bevæge sig mod vest, kaldes tallet vestlig længde. Den geografiske længde kan altså variere mellem 0 og 180 grader østlig længde og mellem 0 og 180 grader vestlig længde. Hvis stedet ligger på 0-meridianen, siger man at længden er 0. Punktet P på figuren har den geografiske bredde β og den geografiske længde λ. P s bredde er nordlig bredde, og P s længde er østlig længde. Alle de steder på jordkloden der har den nordlige bredde β, ligger på en lillecirkel med centrum på Jordens omdrejningsakse. En sådan cirkel kaldes en breddecirkel. Længde og bredde er altså to tal, der tilsammen bestemmer et steds beliggenhed på Jordens overflade. På samme måde som x og y bestemmer et steds beliggenhed i et almindeligt koordinatsystem, så man kan sige at længde og bredde definerer en slags koordinatsystem på kugleoverfladen. Tilbage til den praktiske virkelighed. Det var faktisk først da europæerne vovede sig ud på de store verdenshave, at de virkelig følte behovet for at bestemme deres position. Selv om middelhavssejladsen som omtalt godt kunne byde på dage uden landkending, klarede man sig åbenbart uden egentlige instrumenter. Ganske vist havde vikingerne flere hundrede år før sejlet på tværs af Atlanterhavet, men deres navigation og eventuelle brug af hjælpemidler er et kapitel for sig, som stadig er omdiskuteret og som vi ikke vil komme ind på her. Hvordan finder man så ud af, hvad ens geografiske længde og geografiske bredde er? Det viser sig, at der er stor forskel på, hvor vanskeligt det er bestemme de to typer koordinater. Den geografiske bredde bliver man tidligt i stand til at bestemme, mens bestemmelse af den geografiske længde frembyder et hårdnakket problem, der først lader sig løse i slutningen af 1700-tallet. Så vi tager det lettere først. Version: 18. august 2007 side 7 af 15

8 Bestemmelse af den geografiske bredde Metode 1: Brug af Nordstjernen Som tidligere nævnt, havde man allerede i oldtiden erfaret, at jo længere nordpå man kom, jo højere stod Nordstjernen på himlen, og jo længere sydpå man kom, jo lavere stod den. Så der må jo være en forbindelse mellem den geografiske bredde og Nordstjernens placering på himmelkuglen. Himmelkuglen er betegnelsen for den halvkugle man ser, når man står et sted på Jordens overflade og lægger nakken tilbage og ser op i himlen, plus den halvkugle under ens fødder der må være fortsættelsen af den halvkugle, man faktisk ser. Det er altså som om man står på en flad skive, horisontplanen, og er omgivet af en kæmpestor kugle som vist på figur 6: Figur 6 Punktet lige lodret over observatørens hoved kaldes zenit, og punktet lodret under dennes fødder kaldes nadir. Bemærk, at himmelkuglen ikke er en fysisk kugle på samme måde som Jorden er det, men blot en matematisk abstraktion. Denne abstraktion sætter os imidlertid i stand til præcist at beskrive beliggenheden af det vi ser på himmelkuglen. Faktisk må vi opfatte himmelkuglen som en kugle med centrum lige der hvor vi står og uendelig stor radius. Det der betyder noget er retninger til punkter på himmelkuglen og vinkler på himmelkuglen og ikke himmelkuglens radius. Men når vi tegner den er vi selvfølgelig nødt til at tegne den med en bestemt radius. Version: 18. august 2007 side 8 af 15

9 Figur 7 I virkeligheden er horisontplanen jo tangentplan til den enorme kugle, som Jorden udgør. På figur 7 står observatøren på jordkloden i punktet P og den tegnede lille halvkugle, der ligesom er en udvækst på jordkloden, er den øverste halvdel af himmelkuglen vist på den foregående tegning. Men bemærk venligst endnu en gang: himmelkuglen er en matematisk abstraktion, så den kunne lige så godt på figur 7 være tegnet som en 100 gange så stor kugle. Sådan en tegning kunne figur 6 egentlig godt være, hvor den store jordklode fra figur 7 så er svundet ind til den lille sorte kugle i midten af horisontplanen på figur 6. Når der gennem P på figur 7 tegnes en linje parallel med Jordens omdrejningsakse, fås en linje der peger i retning af himlens nordpol det punkt på himlen om hvilket det ser ud som om alle stjernerne drejer sig i løbet af et døgn. Nordstjernen ligger meget tæt ved dette punkt, men er ikke helt sammenfaldende med det. I det følgende vil vi dog gå ud fra, at retningen til himlens nordpol og retningen til Nordstjernen er den samme. Her forudsættes det naturligvis, at Nordstjernen er så langt væk, at det ikke gør nogen målelig forskel, om man sigter mod den fra jordklodens centrum eller fra jordklodens overflade. Hvad himlens sydpol så er, giver sig selv. Linjen, der forbinder himlens sydpol og himlens nordpol kaldes undertiden for verdensaksen. Den er parallel med Jordens omdrejningsakse. Himlens ækvator er så den storcirkel på himmelkuglen der står vinkelret på verdensaksen. Himlens ækvator ligger i en plan parallel med den plan der indeholder Jordens ækvator. Den halve storcirkel gennem zenit og himlens nordpol og sydpol ligger i samme plan som stedets meridian på jordkloden, og den kaldes derfor også stedets meridian på himmelkuglen (observatørens meridian på figur 6). Nu er vi klar til at foretage breddebestemmelse, og her skal vi bruge lidt elementær geometri. Vi kalder vinklen mellem retningen til zenit og retningen til himlens nordpol (altså Nordstjernen) for y og den mindste vinkel mellem horisonten og retningen til Nordstjernen for b (se figur 8). Vinkel b er altså Nordstjernens højde over horisonten, der kaldes h på figur 4. Det fremgår, at y + b = 90 grader. Linjen der forbinder Jordens centrum med P er en linje, der overskærer to parallelle linjer, nemlig de to linjer på figur 8 der begge peger mod himlens nordpol. Da ensliggende vinkler Version: 18. august 2007 side 9 af 15

10 her er lige store, får man de vinkler ved Jordens centrum, der er angivet på figur 8. Men vinkel b ved Jordens centrum er jo netop stedet P s geografiske bredde (sammenlign med figur 5). Figur 8 Vi har nu vist, at man kan bestemme et steds geografiske bredde ved simpelthen at måle Nordstjernens højde over horisonten på det pågældende sted. Dermed har vi teoretisk løst problemet med at bestemme bredden. Men har vi også løst det i praksis? Vi ser indtil videre bort fra, at Nordstjernen ikke helt ligger i himlens nordpol. Der er i hvert fald to problemer tilbage at løse. For det første bygger metoden jo på, at vi faktisk kan se Nordstjernen. Efterhånden som sejladsen på verdenshavene foregik længere og længere mod syd, blev det et voksende problem, at Nordstjernen rykkede tættere og tættere på horisonten og til sidst når man passerede ækvator forsvandt under den. Og så kunne man jo ikke bruge den til noget. På den nordlige halvkugle, hvor man teoretisk set skulle kunne se den, kunne man i praksis komme ud for, at observationen blev umuliggjort af dårligt vejr og skydække. Det var især et problem ved sejlads i den nordlige del af Atlanterhavet. For det andet er der problemet med i praksis at måle vinklen. Som tidligere nævnt havde man allerede i oldtiden bygget instrumenter, der kunne måle sådanne vinkler på himmelkuglen. Men de krævede fast grund og kunne ikke bruges til søs. Så hvis man skulle længere end til at skønne over vinklens størrelse i håndsbredder, måtte man opfinde instrumenter, der kunne måle vinkler til søs. Udviklingen af disse instrumenter er hænger nøje sammen med navigationens historie, og andetsteds på kan man nærmere studere de vigtigste af dem. Version: 18. august 2007 side 10 af 15

11 Metode 2: Brug af Solen eller en anden stjerne end Nordstjernen Først vil vi imidlertid se nærmere på problemet: hvad nu, hvis vi ikke kan se Nordstjernen? Problemet lader sig ikke rigtig løse, hvis det skyldes, at himlen er overskyet. Så er der ikke andet at gøre end at vente på, at det bliver klart vejr igen. Men vi er ikke nødvendigvis afhængige af at bruge Nordstjernen. Hvis det bliver klart vejr om dagen, kan vi simpelthen bruge Solen, og hvis det er om natten, kan vi bruge andre stjerner. I det følgende vil vi beskrive metoden under ét ved at tale om et himmellegeme. Her kan der altså være tale om både Solen og en eller anden stjerne, metoden er i begge tilfælde den samme. Vi får nu brug for at indføre endnu et nyt begreb: ekliptika. Ekliptika er en storcirkel på himmelkuglen som danner en vinkel på ca 23,5 grader med himlens ækvator. Men hvad skjuler der sig bag begrebet ekliptika? Hvis man nøje studerer himlen gennem et helt år og noterer sig hvor Solen står i forhold til stjernerne hver dag, vil man bemærke at Solen flytter sig rundt på himlen mellem stjernerne i løbet af et år. Dens årlige bevægelse i forhold til stjernerne er en storcirkel på himmelkuglen, og det er denne cirkel man kalder ekliptika. Ja, man kan jo ganske vist ikke se Solen og stjernerne samtidig om dagen, men så kan man notere hvilke stjerner der står diametralt modsat Solen på himlen den pågældende dag, ved at lægge mærke til hvilke stjerner der står på himlen i stik syd ( kulminerer ) den følgende nat. Det var noget man fik styr på allerede tidligt i oldtiden, og de stjernebilleder som Solen på sin årlige gang hen over himlen passerede igennem fik en særlig opmærksomhed. Man noterede sig tolv sådanne stjernebilleder, og det er de stjernebilleder, der i dag ofte betegnes stjernetegn og som tilsammen kaldes dyrekredsen eller zodiaken. Ekliptika skærer himlens ækvator to steder, som benævnes henholdsvis forårspunktet og efterårspunktet. De hedder sådan, fordi Solen befinder sig i det først punkt netop ved forårsjævndøgn og i det andet punkt ved efterårsjævndøgn. Forårspunktet tjener nu som nulpunkt for et koordinatsystem på himmelkuglen af samme slags som geografisk længde og bredde på jordkloden. Figur 9 Version: 18. august 2007 side 11 af 15

12 Et himmellegemes sted på himmelkuglen kan bestemmes ved hjælp af to vinkler, α og δ. Et himmellegemes deklinationscirkel er den storcirkel, der går gennem himmellegemet og himlens nordpol. På figur 9 er der tegnet en fjerdedel af den. Det antal grader der måles på deklinationscirklen på det korteste stykke fra himlens ækvator til himmellegemet, kaldes himmellegemets deklination og betegnes med δ. En deklination kan variere mellem 0 og 90 grader; hvis himmellegemet ligger nord for himlens ækvator, siges deklinationen at være nordlig eller positiv, og hvis det ligger syd for himlens ækvator, siges deklinationen at være sydlig eller negativ. Himmellegemets rektascension α er det antal grader der måles på ækvator fra forårspunktet mod øst hen til den halvdel af himmellegemets deklinationscirkel som himmellegemet er på. Rektascensionen kan variere mellem 0 og 360 grader. Man siger at et himmellegeme kulminerer, når det står højest på himlen. Når det kulminerer, står det på meridianen, og det kan ske både nord og syd for zenit.. Hvis man nu observerer et bestemt himmellegemes højde over horisonten, når det står højest på himlen, hvordan kan man så bestemme stedets geografiske bredde? Hertil kræves der kun kendskab til himmellegemets deklination. Dette kan indses ud fra følgende tegning: Figur 10 Vi tænker os, at himmellegemet netop står på meridianen i syd. Himmellegemets deklination kaldes δ og dets højde over horisonten kaldes h. Vinklen mellem retningen til himmellegemet og retningen til zenit kaldes himmellegemets zenitdistance, og den er benævnt z. Så er z + h = 90 grader. Den geografiske bredde for stedet P kaldes β, og det fremgår nu af figur 10, at β = z + δ (ensliggende vinkler ved en linje der overskærer to parallelle linjer). På figur 10 har himmellegemet nordlig deklination. Hvis det i stedet har sydlig deklination, gælder der nøjagtig det samme, blot skal δ her regnes negativ. Man kan regne på tilsvarende måde, hvis himmellegemet kulminerer på meridianen i nord (det gør f.eks. Nordstjernen). Så skal man blot regne zenitdistancen negativ. Vi kan derfor konkludere Version: 18. august 2007 side 12 af 15

13 Når man fra et sted på jordkloden med geografisk bredde β observerer et himmellegeme med deklination δ (positiv, når det er nordlig deklination, og negativ, når det er sydlig deklination), så gælder: β = z + δ, hvor z er himmellegemets zenitdistance, når det kulminerer. Her regnes z positiv ved kulmination syd for zenit og negativ ved kulmination nord for zenit. Nu er spørgsmålet selvfølgelig: Hvor får vi deklinationen fra? Svaret er: den findes i en tabel over stjerners deklinationer og rektascensioner. Sådanne tabeller har astronomerne haft siden oldtiden, og det er ikke stedet her at komme ind på, hvordan man har fået målt eller beregnet disse størrelser. En stjerne har den samme deklination og rektascension hele tiden, da retningen til den ikke ændrer sig på himmelkuglen, men ligger fast. Det er derfor man undertiden kalder en stjerne en fixstjerne (fix = fast). Derimod har hverken Solen eller Månen eller planeterne en fast position på himmelkuglen. Hvis himmellegemet er Solen, er sagen altså noget mere kompliceret. Solen bevæger sig jo rundt mellem stjernerne (som tidligere nævnt er den bane den beskriver på himmelkuglen i løbet af et år netop storcirklen ekliptika), så den skifter hele tiden deklination. Så må man få fat i en tabel over Solens deklination på hver dag i året. Sådanne tabeller har astronomerne også haft længe. Omkring 1500 begyndte man at bringe deklinationstabeller for Solen i navigationshåndbøger (se fig.11). Så hvis man kan måle et himmellegemes højde over horisonten, når det kulminerer (står højest på himlen), så kan man også bestemme sin egen geografiske bredde, blot man har en deklinationstabel til rådighed for det pågældende himmellegeme. For Danmarks vedkommende kan Solens deklination på kulminationstidspunktet aflæses for hver dag i året i Københavns Universitets Almanak, Skriv- og Rejsekalender, som udgives hvert år (se fig.12 og 13). Helt præcist er det deklinationen når Solen kulminerer på meridianen gennem Københavns Observatorium. Version: 18. august 2007 side 13 af 15

14 Figur 12. Forside af Almanak, skriv- og rejsekalender for Figur 11. Deklinationstabel for Solen for august måned. Faksimile af Regimento do Estrolabio e do Quadrante, portugisisk navigationsbog fra begyndelsen af 1500-tallet (München, Carl Kuhn 1914). Version: 18. august 2007 side 14 af 15

15 Figur 13. Tabel for august 2007 fra Almanak Version: 18. august 2007 side 15 af 15

NAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie. NAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie

NAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie. NAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie NAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium november 2003 / rev. 2004 1 Hvad snakker vi om? Hvad er navigation? Ordet stammer fra latin.

Læs mere

Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål.

Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål. Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål. Jorden Alt - Az Time vinkel DEC RA - DEC Ækvator Horisonten Himlens ækvator Himlens ækvator

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser 1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Læs selv om LANDKORT. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

Læs selv om LANDKORT. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Landkort Mange forskellige slags kort I gamle dage var

Læs mere

Introduktion til Astronomi

Introduktion til Astronomi Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen Kontor: 1520-230 Email: hans@phys.au.dk Tlf.: 8942 3779 Introduktion til Astronomi 1 Introduktion til Astronomi Studieretning Astronomi 3. år Valgfag Relativistisk

Læs mere

Jakobsstav instrumentbeskrivelse og virkemåde

Jakobsstav instrumentbeskrivelse og virkemåde Jakobsstav instrumentbeskrivelse og virkemåde En jakobsstav er et vinkelmålingsinstrument, hvis historie man kan følge tilbage til 1300-tallet. Den har været benyttet som både astronomiske instrument,

Læs mere

Verdensbilleder Side 1 af 7

Verdensbilleder Side 1 af 7 Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt

Læs mere

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Formål Når solens stråler rammer en vandret flade på en klar dag, består indstrålingen af diffus stråling fra himlen og skyer såvel som solens direkte stråler.

Læs mere

Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstantens dele Sekstantens enkeltdele. Sekstanten med blændglassene slået til side. Blændglassene skal slås til, hvis man sigter mod solen. Version:

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

Verdensbilleder i oldtiden

Verdensbilleder i oldtiden Verdensbilleder Teksten består af to dele. Den første del er uddrag fra Stenomuseets skoletjeneste(http://www.stenomuseet.dk/skoletj/), dog er spørgsmål og billeder udeladt. Teksten fortæller om hvordan

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

HAF Sfærisk astronomi

HAF Sfærisk astronomi Forside1 Plane trekanter B Vinkelsum = 180 c a a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) b 2 = c 2 + a 2 2 a c cos(b) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) A b C a sin(a) = b sin(b) = c sin(c) 1 Sfæriske trekanter N v Lillecirkel

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Afstande Afstande i universet

Afstande Afstande i universet Side 1 Til læreren i universet Her får man en fornemmelse af rummeligheden i universet at stjernerne ikke, som antaget i Middelalderen, sidder på indersiden af en kugleflade, men i stedet er spredt i rummet

Læs mere

Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstantens dele Figur 1. Boxsekstanten med låget skruet på som håndtag. Figur 2 Boxsekstanten anbragt i sin trækasse i lukket tilstand. Boxsekstanten

Læs mere

F O R S I D E N. STJERNE OBS SALLING ALMANAKKEN. DÆKNINGSKORT. REDIGERING Jens Th. Carlsen

F O R S I D E N. STJERNE OBS SALLING ALMANAKKEN. DÆKNINGSKORT. REDIGERING Jens Th. Carlsen F O R S I D E N. I STJERNE OBS SALLING SER PÅ: P ALMANAKKEN. REDIGERING Jens Th. Carlsen DE FØRSTE F SIDER FORTÆLLER OM: ALMANAKKENS HISTORIE. HVILKET ÅR R EFTER??? GYLDENTAL M.M. PÅSKEDAGENE I 40 ÅRIG

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Navigation langs kysten. Af Benjamin Kristensen, redaktør, www.duelighed.dk

Navigation langs kysten. Af Benjamin Kristensen, redaktør, www.duelighed.dk Navigation langs kysten. Af Benjamin Kristensen, redaktør, www.duelighed.dk Der bør altid være et brugbart kompas, et søkort og et håndlod ombord på båden. Hvis du beslutter dig for at sejle mere end 1

Læs mere

Vi går ud fra, at vi kender udgangspunktets position det kunne f.eks. være en europæisk havn.

Vi går ud fra, at vi kender udgangspunktets position det kunne f.eks. være en europæisk havn. Om Bestikregning Bestikregning går ud på, at man forsøger at finde ud af hvor man er ved at benytte sig af følgende oplysninger: a. Udgangspunktets position (breddegrad og længdegrad) b. Hvilken retning

Læs mere

TIL KAPITEL 1 Hvor er jeg? Hvad er jeg? OPGAVE 1.01 Beregn Jordens omkreds. (s. 12)

TIL KAPITEL 1 Hvor er jeg? Hvad er jeg? OPGAVE 1.01 Beregn Jordens omkreds. (s. 12) TIL KAPITEL 1 Hvor er jeg? Hvad er jeg? (s. 12) PGAVE 1.01 Beregn Jordens omkreds G tolinje 0 Ø 100 Ø 90 Ø 60 V 50 V 40 V 30 V 20 V 10 V 0 80 N 70 N 60 N 50 N 40 N 30 N 20 N 10 N 0 10 S 20 S 30 S 1.4 Jordkloden

Læs mere

MÅNEDISTANCEMETODEN. Figur 1. Illustration af månedistancemetoden udgaven af Petrus Apianus: Cosmographia, første gang udgivet i 1524.

MÅNEDISTANCEMETODEN. Figur 1. Illustration af månedistancemetoden udgaven af Petrus Apianus: Cosmographia, første gang udgivet i 1524. MÅNEDISTANCEMETODEN Forhistorie Ret tidligt under de store opdagelser fandt man ud af astronomiske metoder til at bestemme den omtrentlige breddegrad man befandt sig på. Til at begynde med bestod det formentlig

Læs mere

Orientering. www.1hag.dk. Indholdsfortegnelse

Orientering. www.1hag.dk. Indholdsfortegnelse Orientering At finde den hurtigste, korteste eller nemmeste vejhar du brug for, både som spejder og i hverdagen. Orientering betyder oprindeligt at vende mod den opgående sol eller østen. Altså at få klarhed

Læs mere

Stjernekort især før og lidt nu. Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning

Stjernekort især før og lidt nu. Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning Farnese Atlas Nationalærkæologisk museum, Neapel. 41 stjernebilleder, med gitter, ca. 125. f.kr. Bestemt ud fra præcessionen! Hipparchos data. Planisphære

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Modellering Ib Michelsen 2013

Modellering Ib Michelsen 2013 Modellering Ib Michelsen 2013 Ib Michelsen Modellering Side 2 Matematisk modellering indeholder en række elementer, der er i spil alt afhængig af den konkrete sag: For det første må der ske en afgrænsning

Læs mere

Observationelle Værktøjer

Observationelle Værktøjer Observationelle Værktøjer Et værktøjskursus. Afsluttes med en rapport på ca. 10-15 sider (IKKE et Bachelor Projekt!). Tenerife Kursus (Januar 2010?). Matlab programmering. Øvelser i 1525-319, Instruktor:

Læs mere

Vinkelmåling med sekstant

Vinkelmåling med sekstant Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt

Læs mere

KOSMOS B STJERNEBILLEDER

KOSMOS B STJERNEBILLEDER SOL, MÅNE OG STJERNER STJERNEBILLEDER 1.1 Lav et stjernekort (1) 7 SOL, MÅNE OG STJERNER STJERNEBILLEDER 1.1 Lav et stjernekort (2) 8 SOL, MÅNE OG STJERNER STJERNEBILLEDER 1.2 Lav et horoskop 9 SOL, MÅNE

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse

Læs mere

Den astronomiske enhed

Den astronomiske enhed Bestemmelse af Den astronomiske enhed Snapshot fra Stellarium Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus Juni 2012. (Redigeret maj 2015.) Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 1/10

Læs mere

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: NAVIGATION II

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/99

Læs mere

Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i april 2012?

Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i april 2012? Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i april 2012? Venus Indtil midt i maj 2012 vil man kunne se planeten Venus lavt i Vest lige efter solnedgang. I april vil man have god tid til at observere den.

Læs mere

Projekt 3.8. Månens bjerge

Projekt 3.8. Månens bjerge Projekt 3.8. Månens bjerge Introduktion til hvordan man kan arbejde med dette projekt. Det følgende kan integreres i et projekt om verdensbilleder, hvor man både kommer ind på diskussioner om at opnå erkendelse,

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Alle religioner har beretninger om verdens skabelse og udvikling, der er meget forskellige og udsprunget af spekulation. Her fortælles om nogle få videnskabelige

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Cirkler og kugler. Fagdidaktisk opgave i matematik. Frederiksberg Seminarium - Forår 2000 Hold: MA 98 B Vejleder: Steen Groðe

Cirkler og kugler. Fagdidaktisk opgave i matematik. Frederiksberg Seminarium - Forår 2000 Hold: MA 98 B Vejleder: Steen Groðe Cirkler og kugler Fagdidaktisk opgave i matematik Frederiksberg Seminarium - Forår 2000 Hold: MA 98 B Vejleder: Steen Groðe Udarbejdet af: Line Maria Jensen 980410 Ditte Maria Lauridsen 980415 Heidi Yoma

Læs mere

Triangulering af Danmark.

Triangulering af Danmark. Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Månen Der er fuldmåne den 15.02.14. Der er nymåne den 30. januar, og et par dage senere kan man iagttage en tiltagende Måne om aftenen

Månen Der er fuldmåne den 15.02.14. Der er nymåne den 30. januar, og et par dage senere kan man iagttage en tiltagende Måne om aftenen Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i februar 2014? Månen Der er fuldmåne den 15.02.14. Der er nymåne den 30. januar, og et par dage senere kan man iagttage en tiltagende Måne om aftenen På Månens

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu

Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu Side 1 af 8 Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu Projektet handler om udgravning af tunneler og drejer sig om følgende enkle spørgsmål:

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Giza-pyramiderne. Oplæg til matematik. www.galapagos.dk. foto: Otto Nielsen & Søren Sørensen grafik: Brian Ravnborg udgave 1.

Giza-pyramiderne. Oplæg til matematik. www.galapagos.dk. foto: Otto Nielsen & Søren Sørensen grafik: Brian Ravnborg udgave 1. Giza-pyramiderne Oplæg til matematik Navn: Klasse: www.galapagos.dk af Brian Ravnborg foto: Otto Nielsen & Søren Sørensen grafik: Brian Ravnborg udgave 1.01 2007 Find mere om pyramiderne på www.galapagos.dk

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i november 2011?

Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i november 2011? Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i november 2011? Jupiter Planeten Jupiter vil den 01.11. stå op nær øst ved solnedgang, og lidt senere vil man have god udsigt til den. I løbet af aftenen og natten

Læs mere

Horsens Astronomiske Forening

Horsens Astronomiske Forening Marts 2008 I 1967 flyttede en dansk astronom A ind i æresboligen ved Carlsberg. Denne astronoms far B var også en berømt astronom, men var født i et andet land. B var ved sin fødsel landsmand med en astronom

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Mellemøsten før 1400. Persere, arabere og tyrkere. Perserriget. Romerriget. Vidste du, at.. De arabiske storriger. Arabisk kultur og sprog.

Mellemøsten før 1400. Persere, arabere og tyrkere. Perserriget. Romerriget. Vidste du, at.. De arabiske storriger. Arabisk kultur og sprog. Historiefaget.dk: Mellemøsten før 1400 Mellemøsten før 1400 Mellemøstens historie før 1400 var præget af en række store rigers påvirkning. Perserriget, Romerriget, de arabiske storriger og det tyrkiske

Læs mere

1. læsning: sl Evangelium

1. læsning: sl Evangelium 1. læsning: sl.31.2-6 Herre, hos dig søger jeg tilflugt, lad mig ikke for evigt blive til skamme, udfri mig i din retfærdighed! v3 Vend dit øre mod mig, red mig i hast, vær min tilflugts klippe, den borg,

Læs mere

Månen Der er fuldmåne den Der er nymåne den 29. april og den 28. maj, og et par dage senere kan man iagttage en tiltagende Måne om aftenen

Månen Der er fuldmåne den Der er nymåne den 29. april og den 28. maj, og et par dage senere kan man iagttage en tiltagende Måne om aftenen Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet i maj 2014? Månen Der er fuldmåne den 14.05.14. Der er nymåne den 29. april og den 28. maj, og et par dage senere kan man iagttage en tiltagende Måne om aftenen

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadranterne i instrumentpakken fra geomat.dk er kopier af et instrument lavet af Georg Hartman i 1547. Originalen

Læs mere

For alle mennesker gælder det, at vi hele tiden er undervejs, og at vi spørger os selv, om vi nu er dér, hvor vi skal være i livet.

For alle mennesker gælder det, at vi hele tiden er undervejs, og at vi spørger os selv, om vi nu er dér, hvor vi skal være i livet. 1 af 5 Prædiken søndag d. 8. januar 2017. Metodistkirken i Odense. Thomas Risager, D.Min. Tekster: Matt 2,1-1-12 For alle mennesker gælder det, at vi hele tiden er undervejs, og at vi spørger os selv,

Læs mere

Det levende univers. Det levende univers. Det. levende. univers. PRAXIS Nyt Teknisk Forlag. En engageret og letforståelig introduktion til universet,

Det levende univers. Det levende univers. Det. levende. univers. PRAXIS Nyt Teknisk Forlag. En engageret og letforståelig introduktion til universet, En engageret og letforståelig introduktion til universet, skrevet med de fysisk-astronomiske briller på. Forfatterne Helle og Henrik Stub fortæller om stjerner og planeter; galakser og kvasarer; stjernefødsel

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).

Opgave: GPS og koordinater (Geo-øvelse i Kongens Have). Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik

Læs mere

Mikkel Gundersen Esben Milling

Mikkel Gundersen Esben Milling Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Hjulkors og skibenes sejlretninger på helleristningsfelterne

Hjulkors og skibenes sejlretninger på helleristningsfelterne Hjulkors og skibenes sejlretninger på helleristningsfelterne Hvis man har stået og kigget ned på de mærkværdige helleristning-hjulkors, som de ses på specielt Lille Strandbygård, har man måske bare forestillet

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Doryphorie (spydbærere) i den græske astrologi

Doryphorie (spydbærere) i den græske astrologi Doryphorie (spydbærere) i den græske astrologi - en tabt dimension i tydningen Susanne Denningsmann har skrevet en vigtig doktorgrad med titlen: Die astrologische Lehre der Doryphorie : eine soziomorphe

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad.

Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/03

Læs mere

Astrologi & Einsteins relativitetsteori

Astrologi & Einsteins relativitetsteori 1 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Samuel Grebstein www.visdomsnettet.dk 2 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Af Samuel Grebstein Fra The Beacon (Oversættelse Ebba Larsen) Astrologi er den

Læs mere

2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.

2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion. Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane

Læs mere

Hvordan bestemmes højder? Hvordan bestemmes en sigteretning? Hvordan beregnes en hældning?... 11

Hvordan bestemmes højder? Hvordan bestemmes en sigteretning? Hvordan beregnes en hældning?... 11 Hvordan bestemmes højder?... 6 Opgave 1: Højden af en lodret klippevæg (1)... 6 Opgave 2: Højden af en lodret klippevæg (2)... 6 Opgave 3: Højden af en pyramide... 7 Opgave 4: Højden af en pyramide beregnet

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet - Juni 2010?

Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet - Juni 2010? Hvad kan man se netop nu i Galileoscopet - Juni 2010? Vesthimlen den 1.06.2010 kl. 23 vist med planetarieprogrammet Stellarium. Venus. Den 1.6. kl.22 vil den klare Venus kunne ses 16 grader over den vestlige

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

STJERNERNE, YOGA-SUTRAS

STJERNERNE, YOGA-SUTRAS STJERNERNE, YOGA-SUTRAS OG DE INDVIEDE af OVE VON SPAETH Udgivet af VisdomsNettet 1 www.visdomsnettet.dk Stjernerne, Yoga sutras og de Indviede Af OVE VON SPAETH www.moses-egypt.net www.visdomsnettet.dk

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Nattehimlen april 2015

Nattehimlen april 2015 Nattehimlen april 2015 4. april. Fuldmåne 13.05 UT. I nogle lande kaldes den lyserød måne, æggemåned eller græsmåne. 4. april. En kort måneformørkelse indtræffer tæt på dagens fuldmåne blot to måneder

Læs mere

Projekt 10.10 Archimedes skrift Sandtælleren

Projekt 10.10 Archimedes skrift Sandtælleren Projekt 00 Archimedes skrift Sandtælleren Der er nogle, Kong Gelon, der tror, at sandet er uendeligt i sin mangfoldighed; og med sandet mener jeg ikke blot det, der findes omkring Syrakus og i resten af

Læs mere