ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen"

Transkript

1 ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium Version: 18. august 2007 side 1 af 15

2 Astronomisk navigation hvad er det? Hvad er navigation? Ordet stammer fra latin. Navis betyder skib, og ago er et verbum, der kan betyde mange forskellige ting, herunder at sætte i gang, lede og føre. De to ord danner tilsammen verbet navigare, som så betyder at sejle eller føre et skib. Heraf kommer ordet navigatio, der er det latinske substantiv for det at føre et skib. Ordene kendes i mange forskellige sprog og i mange moderne sammenhænge også i overført betydning. Navigatør, navy, navigate, navigator, at navigere i det moderne samfund er blot nogle eksempler. Alle har deres udspring i den kunst at kunne sejle. Hvorfor er dette emne interessant? Det er i hvert fald interessant set under en historisk synsvinkel. Transport af mennesker og varer til søs kendes langt tilbage i tiden. Sejlads på Nilen i Ægypten. Sejlads på de store floder i Kina. Sejlads på Middelhavet i oldtiden. Noas ark i Det Gamle Testamente. Profeten Jonas, ligeledes fra Det Gamle Testamente, der kastes over bord og opsluges af en stor fisk. Odysseus, der efter at have deltaget i krigen mod Troja flakker omkring på Middelhavet i ti år som beskrevet i Odysséen. Fønikerne, der grundlægger handelskolonier utallige steder spredt i de landområder, der grænser op til Middelhavet. Vikingerne, der sejler fra Skandinavien ad de russiske floder til Sortehavet, plyndrer langt op ad de vesteuropæiske floder, grundlægger herskerdynastier i Normandiet og på Sicilien. Venezianerne, som i århundreder tjener formuer på at formidle handlen mellem det fjerne og det nære østen og Vesteuropa. Portugiserne og Spanierne, som baner sig vej over Atlanterhavet til Den Nye Verden, rundt om Afrika til Indien og til Kina og Japan. Og som taber kampen om magten til søs til de nordeuropæiske sømagter Holland og England. England, der etablerer et verdensomspændende imperium i kraft af sin formåen til søs. Man kan blive ved. Myter, sagn, sømandsfortællinger, skipperskrøner og afgørende historiske begivenheder til søs er der nok at tage af. Men hvordan kommer matematikken ind i billedet? Det er ikke helt lige til at forklare især ikke kort. Der er en hel del mellemregninger man er nødt til at beherske først. Vi vil prøve at begynde en gang i oldtiden. Lad os forestille os, at vi er ombord på skib et eller andet sted i Middelhavet. I appendiks 1 og 2 præsenterer vi to litterære beskrivelser fra oldtiden af sådan en situation. Denne ene har karakter af sagn, den anden er formentlig stort set historisk. (De to appendikser er ikke med i dette word-dokument, men findes på geomat.dk). I appendiks 1 er kapitel 27 i Apostlenes gerninger citeret i sin helhed. De skildrede begivenheder foregår i det første århundrede af vor tidsregning. Her fortælles om apostlen Paulus sørejse fra Cæsarea (i det nuværende Israel) til Rom. Ved afrejsen fra Kreta kommer skibet ud for en storm, og der siges I flere dage sås hverken sol eller stjerner, og det var stadig hårdt vejr. Til sidst svandt ethvert håb om vores redning. (v.20). Det var åbenbart betydningsfuldt, at de ikke kunne se hverken Solen eller stjernerne. I appendiks 2 er vi tilbage i en langt tidligere periode, adskillige århundreder tidligere (det er ikke stedet her at diskutere fra hvilken periode de to store digte Illiaden og Odysséen stammer). Her er helten i Odysséen blevet sendt helt alene af sted på et skib fra Kalypsos ø et Version: 18. august 2007 side 2 af 15

3 sted i Middelhavet. Som det fremgår havde han i høj grad sin opmærksomhed henvendt på stjernerne og stjernbillederne, snildt som den øvede Sømand, og gav især agt på Bjørnen, som det gjaldt om Stadig at have til Venstre på hele sin Fart over Havet. Bjørnen er stjernebilledet Store Bjørn, hvis hoveddel her i landet nok er bedre kendt som Karlsvognen. Her er det endnu tydeligere, at stjernebilledernes positioner spiller en væsentlig rolle for hvordan sømanden i Middelhavet orienterer sig, når han ikke kan se land. Derfor taler man om astronomisk navigation. I det følgende prøver vi at få styr på, hvordan det nu kan være. Hvor er vi? Første scenario: Vi kan se land. Vi kan se et karakteristisk bjerg, som vi har set før på en tidligere sørejse. Vi ved, at så skal vi følge kysten et stykke mod nord for at komme til en havn vi kender. Ingen problemer. Andet scenario: Der er hav omkring os, så langt øjet rækker. Vi aner ikke hvor vi er, hele den foregående nat har der blæst en storm, og vi har ikke kunnet se en hånd for os. Nu er det blevet stille og det er klaret op. Solen skinner. Den følgende nat er det stadig klart vejr, så stjernehimlen hvælver sig over os i al sin pragt. Hvad kan vi bruge det til? For det første Solen: Figur 1 Solens gang hen over himmelen giver en idé om verdenshjørnerne. Den står op et sted i østlig retning og går ned et sted i vestlig retning. Der hvor den står højst på himlen (man siger at den kulminerer), er retningen mod syd. Hvis man er på den sydlige halvkugle, kulminerer Solen mod nord. For det andet stjernehimlen: Version: 18. august 2007 side 3 af 15

4 Figur 2 I løbet af et døgn vil stjernerne foretage cirkulære bevægelser på himlen som antydet på tegningen. Man kan selvfølgelig kun se den del af cirklerne, som stjernerne beskriver mens det er mørkt. Det ser ud som om stjernerne bevæger sig omkring et punkt, der ligger fast på himlen, og meget tæt på dette punkt sidder der oven i købet en stjerne. Denne bevægelse skyldes i virkeligheden, at Jorden roterer om sig selv i løbet af et døgn omkring en akse, der peger mod dette punkt; men det var ikke opfattelsen i oldtiden, den gang mente man, at det var hele himlen der drejede omkring Jorden. Stjernen meget tæt på omdrejningspunktet kalder man Polarstjernen (Stella Polaris), på dansk kalder man den ofte også Nordstjernen. Nordstjernen kunne altså bruges til at fastlægge retningen mod nord med. Foruden Nordstjernen kunne man nikke genkendende til mange andre stjerner. En del af dem havde man givet navne, og man havde ordnet mange af dem i mønstre, de såkaldte stjernebilleder. Ved iagttagelser af stjernehimlen gennem mange år og ved at tale med ældre mennesker der også havde iagttaget himlen gennem mange år, kunne man efterhånden samle så megen erfaring sammen, så man kendte stjernehimlens udseende på forskellige tider af året og vidste hvordan stjernebilledernes beliggenhed på himlen varierede i løbet af natten, og på den måde fik man en idé om hvad tid på natten det var. Man lærte, at der var nogle stjernebilleder man kun kunne se på bestemte tider af året, og andre som man kunne se hele året rundt. Hvis man ikke kunne se hverken land, sol eller stjerner var der meget få hjælpemidler tilbage. Kompasset dukker først op i Europa mere end tusinde år senere end Paulus levede, så den mulighed var der ikke. Så var der erfaringer om, hvilke vinde der blæste hvor og hvornår; men vejrliget var og er for lunefuldt og omskifteligt i middelhavsområdet til at disse erfaringer kunne bruges til ret meget. Endelig var der sømandens gennem år opsamlede fornemmelse for skibets hastighed og hvor langt man nok var kommet og i hvilken retning, men erfaringen viste gang på gang, at denne intuition tit slog fejl. På samme måde som det i øvrigt viste sig århundreder senere, da konservative søfolk i 1700-tallet satte større lid til deres egne fornemmelser og forældede beregninger af positionen end til det nymodens kronometer. Man var altså i alt væsentligt henvist til tegnene på himmelkuglen. Vi går lidt mere i detaljer med anvendelsen af Solen og Nordstjernen. Version: 18. august 2007 side 4 af 15

5 Man havde fået erfaring for, at disse kunne benyttes ikke bare til at fastlægge verdenshjørnerne, men også til at give et fingerpeg om, hvor langt man var nord eller syd for et kendt sted. Man havde nemlig lagt mærke til, at Nordstjernen ikke stod lige højt over horisonten alle steder. Hvis man sejlede mod nord kom den til at stå højere oppe på himlen, hvis man sejlede mod syd, lavere. Man bemærkede også, at Solen kunne komme højere op på himlen jo længere mod syd man kom. Faktisk blev denne iagttagelse udnyttet til at beregne Jordens omkreds med, idet matematikeren Eratosthenes ( f.kr.) beregnede forskellen mellem Solens højde på himlen ved sommersolhverv i Alexandria i det nordlige Ægypten og i Syene i det sydlige Ægypten (nutidens Aswân), der ligger meget tæt på den nordlige vendekreds. Figur 3 Figur 4 Hvis man kan bestemme Nordstjernens højde over horisonten eller Solens højde over horisonten ved middagstid (når den står højest) har man altså et mål for hvor langt mod syd eller nord man er. Højden måles som vist på figurerne som en vinkel. Astronomerne havde i oldtiden instrumenter til at måle en sådan højde. Men ingen af disse instrumenter kunne bruges ombord på et skib. Det er ikke helt klart, om man havde opfundet skibsinstrumenter hertil, men sandsynligvis ikke. Muligvis brugte man mere primitive metoder til at skønne over højden, for eksempel håndsbredder på en udstrakt hånd. Version: 18. august 2007 side 5 af 15

6 Vinkelmålingsinstrumenter er altså afgørende for, om man kan udnytte disse iagttagelser til mere præcise positionsbestemmelser. Men det ser ud som om man i oldtiden og gennem middelalderen helt op til 1300-tallet har kunnet klare sig uden sådanne instrumenter. Og det var ikke fordi man hele tiden sejlede med kysten i sigte, det viser jo de to tekster i appendiks 1 og 2. Jordkloden og stedsbestemmelse At Jorden har form som en kugle, var allerede de græske matematikere og naturfilosoffer klar over. Som nævnt ovenfor, bestemte Eratosthenes Jordens omkreds, og det var naturligvis på basis af den opfattelse, at Jorden er kugleformet. På samme måde mente man, at Månen, Solen og de fem dakendte planeter var bundet til kuglesfærer, der drejede sig om den ubevægelige jord. Ordet sfære (σφαιρα) betyder netop kugle. De græske matematikere i oldtiden benyttede trestalssystemet (arvet fra babylonierne), når de foretog astronomiske beregninger. De inddelte cirklen i 360 grader, og på den måde opstod det vinkelmål, der benyttes den dag i dag, hvor en såkaldt lige vinkel er en der spænder over en halvcirkel og derfor måles ved 180 grader, en ret vinkel er halvdelen af en lige vinkel og derfor måles ved 90 grader. I forbindelse med astronomien udviklede de græske matematikere en matematisk disciplin, der betegnes sfærisk geometri. Det betyder geometri på en kugleoverflade. Vi har brug for at kende enkelte begreber fra den sfæriske geometri: En storcirkel er en cirkel på en kugleoverflade, der har sit centrum beliggende i kuglens centrum. En lillecirkel er en cirkel på en kugleoverflade, der ikke har sit centrum beliggende i kuglens centrum. For at beskrive et steds beliggenhed på jordkloden kan vi gøre brug af disse begreber. Figur 5 Version: 18. august 2007 side 6 af 15

7 Først skal vi bestemme den akse Jorden drejer sig omkring en gang i døgnet det er den linje gennem Jordens centrum, der forbinder Nordpolen og Sydpolen. Dernæst skal vi bestemme ækvator, det er den storcirkel, der står vinkelret på jordaksen. En meridian er defineret som en halv storcirkel, der forbinder Nordpolen med Sydpolen. Igennem ethvert sted på jordkloden går der altså en meridian. Stedets beliggenhed på meridianen fastlægges ved, hvor mange grader cirkelbuen på meridianen fra ækvator til stedet spænder over. Dette antal grader kaldes stedets geografiske bredde. Hvis stedet ligger nord for ækvator, kaldes tallet nordlig bredde, og hvis stedet ligger syd for ækvator, kaldes tallet sydlig bredde. Den geografiske bredde kan altså variere mellem 0 og 90 graders nordlig bredde og mellem 0 og 90 graders sydlig bredde. Hvis stedet ligger på ækvator, siger man at bredden er 0 grader. Hvilken meridian stedet ligger på bestemmes således: Først fastlægges en såkaldt 0-meridian. Så måler man på ækvator, hvor mange grader man skal bevæge sig for at komme til stedets meridian. Dette antal grader kaldes stedets geografiske længde. Hvis man skal bevæge sig mod øst, kaldes dette tal østlig længde, hvis man skal bevæge sig mod vest, kaldes tallet vestlig længde. Den geografiske længde kan altså variere mellem 0 og 180 grader østlig længde og mellem 0 og 180 grader vestlig længde. Hvis stedet ligger på 0-meridianen, siger man at længden er 0. Punktet P på figuren har den geografiske bredde β og den geografiske længde λ. P s bredde er nordlig bredde, og P s længde er østlig længde. Alle de steder på jordkloden der har den nordlige bredde β, ligger på en lillecirkel med centrum på Jordens omdrejningsakse. En sådan cirkel kaldes en breddecirkel. Længde og bredde er altså to tal, der tilsammen bestemmer et steds beliggenhed på Jordens overflade. På samme måde som x og y bestemmer et steds beliggenhed i et almindeligt koordinatsystem, så man kan sige at længde og bredde definerer en slags koordinatsystem på kugleoverfladen. Tilbage til den praktiske virkelighed. Det var faktisk først da europæerne vovede sig ud på de store verdenshave, at de virkelig følte behovet for at bestemme deres position. Selv om middelhavssejladsen som omtalt godt kunne byde på dage uden landkending, klarede man sig åbenbart uden egentlige instrumenter. Ganske vist havde vikingerne flere hundrede år før sejlet på tværs af Atlanterhavet, men deres navigation og eventuelle brug af hjælpemidler er et kapitel for sig, som stadig er omdiskuteret og som vi ikke vil komme ind på her. Hvordan finder man så ud af, hvad ens geografiske længde og geografiske bredde er? Det viser sig, at der er stor forskel på, hvor vanskeligt det er bestemme de to typer koordinater. Den geografiske bredde bliver man tidligt i stand til at bestemme, mens bestemmelse af den geografiske længde frembyder et hårdnakket problem, der først lader sig løse i slutningen af 1700-tallet. Så vi tager det lettere først. Version: 18. august 2007 side 7 af 15

8 Bestemmelse af den geografiske bredde Metode 1: Brug af Nordstjernen Som tidligere nævnt, havde man allerede i oldtiden erfaret, at jo længere nordpå man kom, jo højere stod Nordstjernen på himlen, og jo længere sydpå man kom, jo lavere stod den. Så der må jo være en forbindelse mellem den geografiske bredde og Nordstjernens placering på himmelkuglen. Himmelkuglen er betegnelsen for den halvkugle man ser, når man står et sted på Jordens overflade og lægger nakken tilbage og ser op i himlen, plus den halvkugle under ens fødder der må være fortsættelsen af den halvkugle, man faktisk ser. Det er altså som om man står på en flad skive, horisontplanen, og er omgivet af en kæmpestor kugle som vist på figur 6: Figur 6 Punktet lige lodret over observatørens hoved kaldes zenit, og punktet lodret under dennes fødder kaldes nadir. Bemærk, at himmelkuglen ikke er en fysisk kugle på samme måde som Jorden er det, men blot en matematisk abstraktion. Denne abstraktion sætter os imidlertid i stand til præcist at beskrive beliggenheden af det vi ser på himmelkuglen. Faktisk må vi opfatte himmelkuglen som en kugle med centrum lige der hvor vi står og uendelig stor radius. Det der betyder noget er retninger til punkter på himmelkuglen og vinkler på himmelkuglen og ikke himmelkuglens radius. Men når vi tegner den er vi selvfølgelig nødt til at tegne den med en bestemt radius. Version: 18. august 2007 side 8 af 15

9 Figur 7 I virkeligheden er horisontplanen jo tangentplan til den enorme kugle, som Jorden udgør. På figur 7 står observatøren på jordkloden i punktet P og den tegnede lille halvkugle, der ligesom er en udvækst på jordkloden, er den øverste halvdel af himmelkuglen vist på den foregående tegning. Men bemærk venligst endnu en gang: himmelkuglen er en matematisk abstraktion, så den kunne lige så godt på figur 7 være tegnet som en 100 gange så stor kugle. Sådan en tegning kunne figur 6 egentlig godt være, hvor den store jordklode fra figur 7 så er svundet ind til den lille sorte kugle i midten af horisontplanen på figur 6. Når der gennem P på figur 7 tegnes en linje parallel med Jordens omdrejningsakse, fås en linje der peger i retning af himlens nordpol det punkt på himlen om hvilket det ser ud som om alle stjernerne drejer sig i løbet af et døgn. Nordstjernen ligger meget tæt ved dette punkt, men er ikke helt sammenfaldende med det. I det følgende vil vi dog gå ud fra, at retningen til himlens nordpol og retningen til Nordstjernen er den samme. Her forudsættes det naturligvis, at Nordstjernen er så langt væk, at det ikke gør nogen målelig forskel, om man sigter mod den fra jordklodens centrum eller fra jordklodens overflade. Hvad himlens sydpol så er, giver sig selv. Linjen, der forbinder himlens sydpol og himlens nordpol kaldes undertiden for verdensaksen. Den er parallel med Jordens omdrejningsakse. Himlens ækvator er så den storcirkel på himmelkuglen der står vinkelret på verdensaksen. Himlens ækvator ligger i en plan parallel med den plan der indeholder Jordens ækvator. Den halve storcirkel gennem zenit og himlens nordpol og sydpol ligger i samme plan som stedets meridian på jordkloden, og den kaldes derfor også stedets meridian på himmelkuglen (observatørens meridian på figur 6). Nu er vi klar til at foretage breddebestemmelse, og her skal vi bruge lidt elementær geometri. Vi kalder vinklen mellem retningen til zenit og retningen til himlens nordpol (altså Nordstjernen) for y og den mindste vinkel mellem horisonten og retningen til Nordstjernen for b (se figur 8). Vinkel b er altså Nordstjernens højde over horisonten, der kaldes h på figur 4. Det fremgår, at y + b = 90 grader. Linjen der forbinder Jordens centrum med P er en linje, der overskærer to parallelle linjer, nemlig de to linjer på figur 8 der begge peger mod himlens nordpol. Da ensliggende vinkler Version: 18. august 2007 side 9 af 15

10 her er lige store, får man de vinkler ved Jordens centrum, der er angivet på figur 8. Men vinkel b ved Jordens centrum er jo netop stedet P s geografiske bredde (sammenlign med figur 5). Figur 8 Vi har nu vist, at man kan bestemme et steds geografiske bredde ved simpelthen at måle Nordstjernens højde over horisonten på det pågældende sted. Dermed har vi teoretisk løst problemet med at bestemme bredden. Men har vi også løst det i praksis? Vi ser indtil videre bort fra, at Nordstjernen ikke helt ligger i himlens nordpol. Der er i hvert fald to problemer tilbage at løse. For det første bygger metoden jo på, at vi faktisk kan se Nordstjernen. Efterhånden som sejladsen på verdenshavene foregik længere og længere mod syd, blev det et voksende problem, at Nordstjernen rykkede tættere og tættere på horisonten og til sidst når man passerede ækvator forsvandt under den. Og så kunne man jo ikke bruge den til noget. På den nordlige halvkugle, hvor man teoretisk set skulle kunne se den, kunne man i praksis komme ud for, at observationen blev umuliggjort af dårligt vejr og skydække. Det var især et problem ved sejlads i den nordlige del af Atlanterhavet. For det andet er der problemet med i praksis at måle vinklen. Som tidligere nævnt havde man allerede i oldtiden bygget instrumenter, der kunne måle sådanne vinkler på himmelkuglen. Men de krævede fast grund og kunne ikke bruges til søs. Så hvis man skulle længere end til at skønne over vinklens størrelse i håndsbredder, måtte man opfinde instrumenter, der kunne måle vinkler til søs. Udviklingen af disse instrumenter er hænger nøje sammen med navigationens historie, og andetsteds på kan man nærmere studere de vigtigste af dem. Version: 18. august 2007 side 10 af 15

11 Metode 2: Brug af Solen eller en anden stjerne end Nordstjernen Først vil vi imidlertid se nærmere på problemet: hvad nu, hvis vi ikke kan se Nordstjernen? Problemet lader sig ikke rigtig løse, hvis det skyldes, at himlen er overskyet. Så er der ikke andet at gøre end at vente på, at det bliver klart vejr igen. Men vi er ikke nødvendigvis afhængige af at bruge Nordstjernen. Hvis det bliver klart vejr om dagen, kan vi simpelthen bruge Solen, og hvis det er om natten, kan vi bruge andre stjerner. I det følgende vil vi beskrive metoden under ét ved at tale om et himmellegeme. Her kan der altså være tale om både Solen og en eller anden stjerne, metoden er i begge tilfælde den samme. Vi får nu brug for at indføre endnu et nyt begreb: ekliptika. Ekliptika er en storcirkel på himmelkuglen som danner en vinkel på ca 23,5 grader med himlens ækvator. Men hvad skjuler der sig bag begrebet ekliptika? Hvis man nøje studerer himlen gennem et helt år og noterer sig hvor Solen står i forhold til stjernerne hver dag, vil man bemærke at Solen flytter sig rundt på himlen mellem stjernerne i løbet af et år. Dens årlige bevægelse i forhold til stjernerne er en storcirkel på himmelkuglen, og det er denne cirkel man kalder ekliptika. Ja, man kan jo ganske vist ikke se Solen og stjernerne samtidig om dagen, men så kan man notere hvilke stjerner der står diametralt modsat Solen på himlen den pågældende dag, ved at lægge mærke til hvilke stjerner der står på himlen i stik syd ( kulminerer ) den følgende nat. Det var noget man fik styr på allerede tidligt i oldtiden, og de stjernebilleder som Solen på sin årlige gang hen over himlen passerede igennem fik en særlig opmærksomhed. Man noterede sig tolv sådanne stjernebilleder, og det er de stjernebilleder, der i dag ofte betegnes stjernetegn og som tilsammen kaldes dyrekredsen eller zodiaken. Ekliptika skærer himlens ækvator to steder, som benævnes henholdsvis forårspunktet og efterårspunktet. De hedder sådan, fordi Solen befinder sig i det først punkt netop ved forårsjævndøgn og i det andet punkt ved efterårsjævndøgn. Forårspunktet tjener nu som nulpunkt for et koordinatsystem på himmelkuglen af samme slags som geografisk længde og bredde på jordkloden. Figur 9 Version: 18. august 2007 side 11 af 15

12 Et himmellegemes sted på himmelkuglen kan bestemmes ved hjælp af to vinkler, α og δ. Et himmellegemes deklinationscirkel er den storcirkel, der går gennem himmellegemet og himlens nordpol. På figur 9 er der tegnet en fjerdedel af den. Det antal grader der måles på deklinationscirklen på det korteste stykke fra himlens ækvator til himmellegemet, kaldes himmellegemets deklination og betegnes med δ. En deklination kan variere mellem 0 og 90 grader; hvis himmellegemet ligger nord for himlens ækvator, siges deklinationen at være nordlig eller positiv, og hvis det ligger syd for himlens ækvator, siges deklinationen at være sydlig eller negativ. Himmellegemets rektascension α er det antal grader der måles på ækvator fra forårspunktet mod øst hen til den halvdel af himmellegemets deklinationscirkel som himmellegemet er på. Rektascensionen kan variere mellem 0 og 360 grader. Man siger at et himmellegeme kulminerer, når det står højest på himlen. Når det kulminerer, står det på meridianen, og det kan ske både nord og syd for zenit.. Hvis man nu observerer et bestemt himmellegemes højde over horisonten, når det står højest på himlen, hvordan kan man så bestemme stedets geografiske bredde? Hertil kræves der kun kendskab til himmellegemets deklination. Dette kan indses ud fra følgende tegning: Figur 10 Vi tænker os, at himmellegemet netop står på meridianen i syd. Himmellegemets deklination kaldes δ og dets højde over horisonten kaldes h. Vinklen mellem retningen til himmellegemet og retningen til zenit kaldes himmellegemets zenitdistance, og den er benævnt z. Så er z + h = 90 grader. Den geografiske bredde for stedet P kaldes β, og det fremgår nu af figur 10, at β = z + δ (ensliggende vinkler ved en linje der overskærer to parallelle linjer). På figur 10 har himmellegemet nordlig deklination. Hvis det i stedet har sydlig deklination, gælder der nøjagtig det samme, blot skal δ her regnes negativ. Man kan regne på tilsvarende måde, hvis himmellegemet kulminerer på meridianen i nord (det gør f.eks. Nordstjernen). Så skal man blot regne zenitdistancen negativ. Vi kan derfor konkludere Version: 18. august 2007 side 12 af 15

13 Når man fra et sted på jordkloden med geografisk bredde β observerer et himmellegeme med deklination δ (positiv, når det er nordlig deklination, og negativ, når det er sydlig deklination), så gælder: β = z + δ, hvor z er himmellegemets zenitdistance, når det kulminerer. Her regnes z positiv ved kulmination syd for zenit og negativ ved kulmination nord for zenit. Nu er spørgsmålet selvfølgelig: Hvor får vi deklinationen fra? Svaret er: den findes i en tabel over stjerners deklinationer og rektascensioner. Sådanne tabeller har astronomerne haft siden oldtiden, og det er ikke stedet her at komme ind på, hvordan man har fået målt eller beregnet disse størrelser. En stjerne har den samme deklination og rektascension hele tiden, da retningen til den ikke ændrer sig på himmelkuglen, men ligger fast. Det er derfor man undertiden kalder en stjerne en fixstjerne (fix = fast). Derimod har hverken Solen eller Månen eller planeterne en fast position på himmelkuglen. Hvis himmellegemet er Solen, er sagen altså noget mere kompliceret. Solen bevæger sig jo rundt mellem stjernerne (som tidligere nævnt er den bane den beskriver på himmelkuglen i løbet af et år netop storcirklen ekliptika), så den skifter hele tiden deklination. Så må man få fat i en tabel over Solens deklination på hver dag i året. Sådanne tabeller har astronomerne også haft længe. Omkring 1500 begyndte man at bringe deklinationstabeller for Solen i navigationshåndbøger (se fig.11). Så hvis man kan måle et himmellegemes højde over horisonten, når det kulminerer (står højest på himlen), så kan man også bestemme sin egen geografiske bredde, blot man har en deklinationstabel til rådighed for det pågældende himmellegeme. For Danmarks vedkommende kan Solens deklination på kulminationstidspunktet aflæses for hver dag i året i Københavns Universitets Almanak, Skriv- og Rejsekalender, som udgives hvert år (se fig.12 og 13). Helt præcist er det deklinationen når Solen kulminerer på meridianen gennem Københavns Observatorium. Version: 18. august 2007 side 13 af 15

14 Figur 12. Forside af Almanak, skriv- og rejsekalender for Figur 11. Deklinationstabel for Solen for august måned. Faksimile af Regimento do Estrolabio e do Quadrante, portugisisk navigationsbog fra begyndelsen af 1500-tallet (München, Carl Kuhn 1914). Version: 18. august 2007 side 14 af 15

15 Figur 13. Tabel for august 2007 fra Almanak Version: 18. august 2007 side 15 af 15

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

Afstande Afstande i universet

Afstande Afstande i universet Side 1 Til læreren i universet Her får man en fornemmelse af rummeligheden i universet at stjernerne ikke, som antaget i Middelalderen, sidder på indersiden af en kugleflade, men i stedet er spredt i rummet

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Navigation langs kysten. Af Benjamin Kristensen, redaktør, www.duelighed.dk

Navigation langs kysten. Af Benjamin Kristensen, redaktør, www.duelighed.dk Navigation langs kysten. Af Benjamin Kristensen, redaktør, www.duelighed.dk Der bør altid være et brugbart kompas, et søkort og et håndlod ombord på båden. Hvis du beslutter dig for at sejle mere end 1

Læs mere

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Formål Når solens stråler rammer en vandret flade på en klar dag, består indstrålingen af diffus stråling fra himlen og skyer såvel som solens direkte stråler.

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Vinkelmåling med sekstant

Vinkelmåling med sekstant Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

CHRISTIAN VOLLMOND. På rette vej - om søfart og navigation

CHRISTIAN VOLLMOND. På rette vej - om søfart og navigation CHRISTIAN VOLLMOND På rette vej - om søfart og navigation INDHOLD 2 3 5 8 10 14 16 PÅ RETTE VEJ SØFART HVILKEN VEJ SKAL JEG SEJLE? BREDDEGRADSBEREGNING LÆNGDEGRADSBEREGNING OPDAGELSER OG HANDEL ILLUSTRATIONER

Læs mere

Mellemøsten før 1400. Persere, arabere og tyrkere. Perserriget. Romerriget. Vidste du, at.. De arabiske storriger. Arabisk kultur og sprog.

Mellemøsten før 1400. Persere, arabere og tyrkere. Perserriget. Romerriget. Vidste du, at.. De arabiske storriger. Arabisk kultur og sprog. Historiefaget.dk: Mellemøsten før 1400 Mellemøsten før 1400 Mellemøstens historie før 1400 var præget af en række store rigers påvirkning. Perserriget, Romerriget, de arabiske storriger og det tyrkiske

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Stonehenge i England har måske en længere historie end tidligere antaget

Stonehenge i England har måske en længere historie end tidligere antaget Studiekreds 2015-3 Sidste gang beskæftigede vi os primært med de relativt ny-opdagede (1994) megalit-anlæg i det anatolske område i det sydøstlige Tyrkiet. Selvom anlæggenes akse-orienteringer tydeligvis

Læs mere

Hvor starter Zodiakken?

Hvor starter Zodiakken? Udgivet af Astrologisk Museum ISSN 1602-9631 No. 4 08.06.2004 side 1:5 Nyhedsbrevet handler denne gang udelukkende om astrologiprogrammet PCA-ARGUS. Astrologiprogrammet er det mest benyttede herhjemme

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Begivenheder i navigationens historie

Begivenheder i navigationens historie Begivenheder i navigationens historie Bemærk, at denne kronologiske liste på ingen måder giver sig ud for at være en udtømmende beskrivelse af emnet. Jeg har koncentreret mig om perioden fra 12. århundrede

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Thi de roser sig af, at de har hele kunsten i hovedet...

Thi de roser sig af, at de har hele kunsten i hovedet... Thi de roser sig af, at de har hele kunsten i hovedet... Af navigatør Jørgen Marcussen Således rapporterede den tyske matematiker Georg Joachim Rheticus, 1514 1576, da han i 1540 sejlede med en skipper,

Læs mere

Triangulering af Danmark.

Triangulering af Danmark. Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Folkeskolens afgangsprøve Maj 2007 Geografi - facitliste

Folkeskolens afgangsprøve Maj 2007 Geografi - facitliste Folkeskolens afgangsprøve Maj 2007 1/23 G3 Indledning Norden De nordiske lande er Danmark, Norge, Sverige, Finland og Island. De nordiske lande er industrialiserede, og befolkningerne har høje indkomster

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Verdensdelen Europa. Middelalderen. Den Westfalske Fred. Vidste du, at... Europa i verden. 2.verdenskrig. Europa i dag

Verdensdelen Europa. Middelalderen. Den Westfalske Fred. Vidste du, at... Europa i verden. 2.verdenskrig. Europa i dag Historiefaget.dk: Verdensdelen Europa Verdensdelen Europa Europa er ikke bare en geografisk afgrænset verdensdel. Europa er også lande, der hænger sammen historisk, kulturelt, religiøst og politisk. Landene

Læs mere

Modul 11-13: Afstande i Universet

Modul 11-13: Afstande i Universet Modul 11-13 Modul 11-13: Afstande i Universet Rumstationen ISS Billedet her viser Den Internationale Rumstation (ISS) i sin bane rundt om Jorden, idet den passerer Gibraltar-strædet med Spanien på højre

Læs mere

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: SØVEJSREGLER

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: SØVEJSREGLER SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 3. grad. Y3Søv-1/99

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER

STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER De lyse nætter - godt vi har Månen Juni 2008 ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER Ole Rømer Observatoriet Observatorievejen 1 8000 Århus C www.oeaa.dk Formand/Webmaster:

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Natur og Teknik QUIZ.

Natur og Teknik QUIZ. Natur og Teknik QUIZ. Hvorfor er saltvand tungere end almindeligt vand? Saltvand er tungere end vand, da saltvand har større massefylde end vand. I vand er der jo kun vand. I saltvand er der både salt

Læs mere

Verdensbilleder Historisk astronomi verdensbilleder

Verdensbilleder Historisk astronomi verdensbilleder Side 1 Til læreren Verdensbilleder Historisk astronomi verdensbilleder Alle kulturer har til enhver tid forsøgt at forstå indretningen af deres omgivelser. Hvor lurer farerne, og hvor uddeler naturen gaver.

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Opgaver til solceller

Opgaver til solceller Opgaver til r I forbindelse med MasterClass Junior camp 3, arbejdede talenterne med r. De lavede hver deres egen og hver skole udformede et dyr med på og 1-2 vibratorer koblet på rne. Talenterne blev opdelt

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Folkeskolens afgangsprøve Maj 2007 Geografi - facitliste

Folkeskolens afgangsprøve Maj 2007 Geografi - facitliste Folkeskolens afgangsprøve Maj 2007 1/23 G4 Indledning Norden De nordiske lande Sverige, Norge, Finland, Island og Danmark - er små lande sammenlignet med andre lande i verden. Sverige er det største land

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik.

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et MEGA godt emne det har været sjovt! Patrick Stistrup 6. klasse Indhold - Hvad har vi

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Natur/teknik Lidt om vejret Side 1. Lidt om vejret

Natur/teknik Lidt om vejret Side 1. Lidt om vejret Natur/teknik Lidt om vejret Side 1 Lidt om vejret Baggrund Alle mennesker interesserer sig for vejret. Meteorologer gør det professionelt. Fiskere gør det for deres sikkerheds skyld. Landmænd for udbyttes

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

KOSMOS GRUNDBOG B ERIK BOTH HENNING HENRIKSEN

KOSMOS GRUNDBOG B ERIK BOTH HENNING HENRIKSEN KOSMOS GRUNDBOG B ERIK BOTH HENNING HENRIKSEN Indhold Sol, Måne og stjerner 6 Himlen er over os Solsystemet 1 Jorden og Månen 16 Formørkelser og tidevand 0 Cafe Kosmos: Truslen fra rummet 4 Magnetisme

Læs mere

Eksempel på naturfagsprøve Januar 2007 Geografi Facitliste

Eksempel på naturfagsprøve Januar 2007 Geografi Facitliste Eksempel på naturfagsprøve Januar 2007 Geografi Facitliste 1/27 Geo Kilder Opgave:1: Opgave 2: Opgave 3: Opgave 4: Opgave 5: Opgave 6: Opgave 7: Opgave 8: Opgave 14: Opgave 15: Opgave 17: Opgave 19: Opgave

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Introduktion til astronomi

Introduktion til astronomi Introduktion til astronomi Efteråret 2015 Illustration 1:Orion. Kilde: NASA. Side 1/36 Side 2/36 Indholdsfortegnelse Introduktion til astronomi...1 1.1. Stjernebilleder...3 1.2. Hvordan ser stjernebillederne

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Betlehemstjernen. Af Hartvig Wagner. Af flere grunde må år 7 før vor tidsregnings begyndelse. Astronomisk begivenhed

Betlehemstjernen. Af Hartvig Wagner. Af flere grunde må år 7 før vor tidsregnings begyndelse. Astronomisk begivenhed Betlehemstjernen Af Hartvig Wagner Af flere grunde må år 7 før vor tidsregnings begyndelse anses for at være Jesu fødselsår. Astronomisk begivenhed Netop det år indtraf et påfaldende skue på stjernehimlen.

Læs mere

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm Oven over skyerne..! Du skal lære mennesker, steder og ting ude i rummet og på jorden hvor du bor Du skal lære om stjernetegnene Du skal lave din egen planet-rap Du skal skrive et brev fra Månen Du skal

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Prædiken til 2. påskedag, Luk. 24,13-35. 1. tekstrække.

Prædiken til 2. påskedag, Luk. 24,13-35. 1. tekstrække. 1 Grindsted Kirke. Mandag d. 1. april 2013 kl. 11.00. Egil Hvid-Olsen Prædiken til 2. påskedag, Luk. 24,13-35. 1. tekstrække. Salmer. DDS 234 Som forårssolen morgenrød. DDS 241 Tag det sorte kors fra graven!.

Læs mere

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014 Uge Emne Trinmål for faget Læringsmål for emnet 33 Opstart 34 - Relationer 35 36-38 39-40 41 42 43-48 Tallene 1-10 Geometriske figurer Aktiv Rundt i Danmark Tale om sprog Lægge mærke til naturfaglige fra

Læs mere

Fadervor. b e l e n å b n e r b ø n n e. f o r j u n i o r e r

Fadervor. b e l e n å b n e r b ø n n e. f o r j u n i o r e r Fadervor B I b e l e n å b n e r b ø n n e n b e l e n å b n e r b ø n n e f o r j u n i o r e r f o r j u n i o r e r Bibelen Nu skal du læse i Bibelen. Har du selv en bibel, så kan du bruge den! Hvis

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Lignelsen om de betroede talenter

Lignelsen om de betroede talenter Lignelser Tema Nogle gange siger vi ikke direkte, hvad vi mener. Det kan være fordi, der er noget, der er svært at få sagt, eller noget, der er svært at forklare. I sådanne tilfælde kan man benytte sig

Læs mere

Vandets kredsløb Den samlede mængde af vand, der findes på kloden, bevæger sig i et evigt kredsløb.

Vandets kredsløb Den samlede mængde af vand, der findes på kloden, bevæger sig i et evigt kredsløb. DET VIGTIGE VAND Vandets kredsløb Den samlede mængde af vand, der findes på kloden, bevæger sig i et evigt kredsløb. VIDSTE DU DET? Vand er en forudsætning for alt liv. Ingen levende organismer, hverken

Læs mere

UGE 3: GUDS FOLK. Scene 1 Pagten Fortællingen bygger på 1Mos 11-18, 22, 26-50 & 2Mos 1 FORBEREDELSE FORTÆLLING & DIALOG

UGE 3: GUDS FOLK. Scene 1 Pagten Fortællingen bygger på 1Mos 11-18, 22, 26-50 & 2Mos 1 FORBEREDELSE FORTÆLLING & DIALOG UGE 3: GUDS FOLK FORBEREDELSE Det store billede Det er her vi skal hen hovedpunkterne som denne samling skal få til at stå tydeligt frem. Vores identitet som Guds familie. Gud valgte sit folk af ren og

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1

Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1 Her i nærheden 1 af Christian Marinus Taisbak. En lille dialog om store emner, τὸ ἄπειρον og τὸ ἄτοπον, det endeløse og det hjemløse. En dialog i platonisk ånd i anledning af en tresårsdag. Nu var runde

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Har du været på sol-ferie? Nævn 3 sammen-satte ord, som starter med sol! Fx sol-hat. Er en kasket god i solen? Hvorfor? Hvorfor ikke?

Har du været på sol-ferie? Nævn 3 sammen-satte ord, som starter med sol! Fx sol-hat. Er en kasket god i solen? Hvorfor? Hvorfor ikke? Opgave 1 Quiz og byt Klip langs de stiplede linier Modul 1 Hvad får du lyst til, når det er sommer? Har du været på sol-ferie? Hvad gør solen ved dit humør? Tæl til 10, men skift alle ulige tal ud med

Læs mere

LEKTION 4 MODSPILSREGLER

LEKTION 4 MODSPILSREGLER LEKTION 4 MODSPILSREGLER Udover at have visse fastsatte regler med hensyn til udspil, må man også se på andre forhold, når man skal præstere et fornuftigt modspil. Netop modspillet bliver af de fleste

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I denne test skal I finde ud af, hvilket transportmiddel, I kan køre hurtigst på? Hypotese Hvilket transportmiddel tror I, I kan køre hurtigst på? Hvorfor? Det skal I bruge:

Læs mere

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15)

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15) Loven for bevægelse (Symbol nr. 15) 1. Guddommens jeg og skabeevne bor i ethvert væsens organisme og skabeevne Vi er igennem de tidligere symbolforklaringers kosmiske analyser blevet gjort bekendt med

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Elektronisk søkortsystem

Elektronisk søkortsystem Kapitel 3 side 18 Elektronisk søkortsystem Et elektronisk søkortsystem samler oplysninger fra mange forskellige navigationsinstrumenter. Oplysningerne bliver vist på et elektronisk søkort, som navigatøren

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Verdens fattige flytter til byen

Verdens fattige flytter til byen Verdens fattige flytter til byen Af Henrik Valeur, 2010 Om 20 år vil der være to milliarder flere byboere end i dag. Den udviklingsbistand, verden har brug for, er derfor byudviklingsbistand. FN forventer,

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

De allierede. De allierede i 1939. Tysk angrebskrig i Vest 1940 og Øst 1941. Vidste du, at.. Japansk angreb på USA og Østfronten

De allierede. De allierede i 1939. Tysk angrebskrig i Vest 1940 og Øst 1941. Vidste du, at.. Japansk angreb på USA og Østfronten Historiefaget.dk: De allierede De allierede De lande, som bekæmpede Tyskland og Japan under 2. verdenskrig, kaldes de allierede. De allierede i 1939 De allierede gik sammen, fordi Tyskland i september

Læs mere

Den vandrette og den lodrette akse.

Den vandrette og den lodrette akse. Den vandrette og den lodrette akse. En tilgang til tilværelsen, som måske kan gøre det lettere at blive bevidst om forskellige aspekter af livet, er ved at se på den vandrette og den lodrette akse. Det

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere