Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
|
|
- Niels Kristoffersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt brug af lommereger er tilladt. Fuld besvarelse er besvarelse af alle opgaver. De ekelte opgavers vægt ved bedømmelse er agivet i procet. Der må gere refereres til resultater fra læreboge og ugesedlere iklusive øvelsesopgavere. Hevisiger til adre bøger(ud over læreboge) accepteres ikke som besvarelse af et spørgsmål. Bemærk,athvisdereretspørgsmålieopgave,maikkekabesvare,må ma gere(så vidt det er muligt) besvare de efterfølgede spørgsmål og blot atage, at ma har e løsig til de foregåede spørgsmål. Husk at begrude alle die svar! NB:PesumforDM72ogDM504varikkedetsammesomdetuværedeDM527kursus.Pga.dettevilduderforkommeudforflereafdegamle opgaver,somduikkekalaveudeatlæseekstrailærebogeførst.heruder er især alle opgaver med sadsylighedsregig ude for det uværede pesum.
2 : DM72 eksame jui Opgave 1(15%) a) Agiv de logiske egatio af de følgede udsag. Die formler må hverke ideholde egatiossymbolet lige før e kvator eller de logiske implikatiosoperator. A N: { 10gåropi gåropi } B z N x N y Z: x +3 =y 2 b)afgørforudsageeidela)omdetgiveudsagellerdetsegatioer sadt. Begrud die svar! Opgave 2(15%) Beytetiduktiosbevisforatvise,atforalleaturligetal 1gælder k= Opgave 3(20%) 1 > k Beyt de kiesiske restklassesætig for at fide det midste aturlige tal x >0somopfylderdefølgedeligheder: x = 3 mod 5 x = 4 mod 7 x = 9 mod Opgave 4(20%) LadG = (V,E)væreegrafmed100kuder.Detforudsættesatehver kudev Vmidsthar76aboer. Visatderfidesemægdeafmidst5forskelligekuderiVsåledesatalle erparvisforbudetig. Hit:Startmedatvælgeevilkårligkudev 1.BetragtabomægdeS 1 afv 1 ig.prøvatfideeyderligerekudev 2 sammemedeyderligeremægde S 2,somharethøjtatalfælleskudermedS 1. Pricippet om iklusio-eksklusio ka u være e hjælp. 1
3 Opgave 5(15%) Bådediistruktorogdilærerkagodtlideatspilleteis.Foratbestå eksame i DM72 får du følgede chace. Duskalspilleialttrekampemoddem.Dichaceforatvidemodlærereer p (0,1),dichaceforatvidemodistruktoreerr (0,1).Selvfølgelig gælderp <r. Dumåuselvvælgeeafdefølgedetomulighederforrækkefølgei hvilkeduspillermoddeto: 1)Duspillerkampee1og3modlærereogkamp2modistruktore eller 2)duspillerkampee1og3modistruktoreogkamp2modlærere. Foratbeståkursetskalduvidemidsttokampeitræk. a) Aalyser sadsylighedere for at bestå hvis du vælger mulighed 1, og hvis du vælger mulighed 2. b) Hvilke mulighed giver de større sadsylighed for at bestå? Ka du forklare resultatet ude at tage hesy til die beregiger i del a)? c)atagatvived,uafhægigtafmulighededuvælger,atdutaberdi første kamp mod lærere. Bereg for begge muligheder de betigede sadsylighed for at bestå kurset Opgave 6(15%) Lad N.Forestregx = (x 1,...,x ) {0,1} kalderviestabildelstregehverdelstregx k x k+1...x s afxsåledesatallekompoetereresog delstregeikkekaforlægestilestabildelstreg,detvilsigex k 1 =x k ogx s =x s+1 (ellerk=1ellers=). Eksempel: Strege x = har 6 stabile delstrege, som er x 1 =0,x 2 =1,x 3 x 4 =00,x 5 =1,x 6 x 7 x 8 =000,x 9 x 10 =11 a)vælgetilfældigsekves (x 1,...,x ) {0,1}.Sadsylighedeforat etkompoetbliver0erp [0,1]ogsadsylighedeforatetkompoetbliver1erq:=1 p. Bereg det forvetede atal stabile delstrege i de valgte sekves. 2
4 b)hvormagestabiledelstregekaviforveteiesekvespå6bits hvishverbitertrukketuderdeuiformefordeligfra {0,1}. Hit:Selvhvisduikkekaløsedela)kaduprøvedelb)uafhægigt : DM72 eksame august Opgave 1(15%) Hvilkeafdefølgedepåstadea)-d)ersade,hvilkeerfalske.Begrudalle die svar. a)foralleijektivefuktioerf: N Nfidestofuktioerg,h:N Nsåledesatdetgælder f g h =h f g. b)ladmværeemægde.forallek NogmægderM 1,...,M k M gælder k k (M \M i ) = M \ M i. i=1 c) Betragt e edelig mægde S samme med e sadsylighedsfordelig PrsomerdefieretforpotesmægdeafS.LadA,BogCværetre forskellige hædelser således at A B. Så gælder i=1 Pr(A) <Pr(B) +Pr(C) d)lad 1væreetaturligttal.Hvisp N,1 <p<eretprimtal somgåropi,sågårpikkeopi( 1)! Opgave 2(15%) Bevisatforalle Ngælder k=1 k 2 (2k +1) (2k 1) = ( +1) 2 (2 +1) Opgave 3(25%) Rødeogsorteboldeerdeltidikassermed4boldeehver.Farveafhver bold er valgt tilfældigt. Det vides at e rød bold forekommer med sadsylighed 1 3. a)hvadersadsylighedeforatalleboldeieekeltkasseharde samme farve? b)ladxværedestokastiskevariabelsommåleratalletafkasserma skalfyldeidtilmidsteideholder4boldeafdesammefarve. BeregPr(X =1),Pr(X =2)oggeereltPr(X =)foralleaturlige tal N. c)vedbrugafresultatetfradelb)bereghvormagekasserderskal fyldesforathaveesadsylighedpåmidst95%foratmidste kasse ideholder 4 bolde af de samme farve? D.v.s. fid det midste Nsåat Pr(X ) 0.95 hvor X er de stokastiske variabel defieret i b). Viktilc):Huskatfor0<q<1og Ndergælder Opgave 4(10%) 1 q k = 1 q 1 q. k=0 Hvilkeaffølgedepåstadea)ogb)ersade,hvilkeerfalske?Begrudalle die svar! a)foralle Ngælder 112 =220 k=0 ( ) 2 k k 1. k b)ladf: N 2N = {2,4,6,...}væreebijektivfuktio.Derfideset i Nmedf(i) =2i. 3 16
5 Opgave 4(10%) P(X 2) = 5 9? Hvilkeaffølgedepåstadea)ogb)ersade,hvilkeerfalske?Begrudalle die svar! a) Der fides e diskret stokastisk variabel X, som er defieret på udfaldsrummet N med værdier i N samme med e sadsylighedsfordelig Pr som opfylder Pr(X =i) = 1 i2forallei N,i 1. b)lad {a } N væreevilkårligsekvesafaturligetal.dereksistererto reelletalc 1 ogc 2 såledesatforalle 3opfyldersekvese {a } a =c 1 a 1 +c 2 a : DM504 eksame jui Opgave 1(25%) Bevisatderforalleheletal Ngælder Opgave 2(20%) + k=1(1 1 k ) > 1 k k=1 Fidalleaturligetali{1,...,245}somløserkogruese 18 x 3modulo245. Vik:Fidemultiplikativiverstil18iZ 245 vedhjælpafdeudvidede Euklidiske algoritme Opgave 3(20%) Ladd betegeatalletafstregei{0,1,2} såledesatderhverkeforekommerto1 ereellerto2 ereitræk. a)beregværdiereford 1 ogd 2. b)visatforalle Nopfylderværdied ligige d =2 d 1 +d 2. c)forvilkårlige Nløsligigeidelb)medstartværdierefradel a). Hit til b) Det abefales at overveje hvorda ma ka forlæge strege, som afsluttermedet0ogstrege,somafslutteretemed1eller2.visatatallet af strege som både opfylder betigelsere, har lægde 1 og afslutter medet0,erpræcisd Opgave 4(15%) a) Betragt udtrykket idefirevariablex,y,z,ogw. (x +y+z+w) 9 Beregkoefficieteaftermex y 4 z 3 w,detvilsigebereghvor magegagevifårtermex y 4 z 3 wårvimultiplicerer (x +y+z+ w)ottegagemedsigselv. b)lada 1 <a 2 <... <a 21 væreesekvesaf21forskelligeaturligetali mægde {1,...,100}.Betragtallemuligedifferecera i a j somma fårforetvilkårligtvalg1 j<i 21. Vis at der fides et resultat som forekommer midst tre gage Opgave 5(15%) For at bestå eksamee i DM72 tilbyder di lærer dig følgede chace. Haplacerertrekasserforadig.Hverkasseerfyldtmed60kugler.Derer ialt120hvidekuglerog60sortekugler.kuglereerfordeltsomfølgeride tre kasser: -kasse1ideholder10sorteog50hvidekugler; -kasse2ideholder20sorteog40hvidekugler; 15 4
6 -kasse3ideholder30sorteog30hvidekugler. Dufårubidforøjee,såatduikkekasekassereogderesidhold. a)lærerebederdigførstomatvælgeetilfældigafdetrekasser(uiform fordelig). Derefter skal du trække e tilfældig kugle fra de valgte kasse(uiform fordelig). Hviss kugle du trækker er hvid består du eksamee. Hvad er sadsylighede for at bestå? b)nufårduselvmulighedeforatfordeledesorteogdehvidekugler idetrekasser.derskaldogstadigvækvære60kugleriehverkasse. Derefter geemføres det samme eksperimet. Hvaderdeoptimalefordeligafdesorteoghvidekugleridetrekasser, således at sadsylighede for at bestå eksamee bliver maksimal? Opgave 6(20%) Ekasseideholder5kugler.Hverkugleermarkeretmedettal.Tokuglerer markeretmed0,ékuglemed2,ékuglemed3ogékuglemed4. Dubestemmeruhvormagekuglerduøskerattrække.Duskaldogtrække midst é og højest alle 5. Herefter trækker du u tilfældigt(uiform fordelig) det atal kugler fra kasse, som du på forhåd bestemte dig for. Digevisterproduktetaftalleesomstårpådekugler,duhartrukket. a)hvormagekuglerskaldutrækkeforatfådemaksimaleforvetede gevist?beregdeforvetedegevistforalleatali {1,...,5}af trukkede kugler. b)betragtu 6kugler,som ermarkeretmedtallee0,0,0, 3, 4, 8. Hvaderdetoptimaleatalkuglerduskaltrække?Svarpådettespørgsmål ude at geemgå de tilsvarede beregiger fra del a) : DM72 eksame jauar Opgave 1(15%) Hvilke af følgede påstade er sade, og hvilke er falske. Begrud alle die svar. a)følgedegrafg=(v,e)hareeuler-kreds. Foretgivetpositivtheltalogegivemægdeaffamilier,atagesat sadsylighedeforatfamilieharibør,for1 i,erp i,såledesat i=1 p i = 1.Edvidereerde2 i muligemåderatfåbørpåforegive familie med i bør lige sadsylige. b)for1 i,hvadersadsylighedeforatvælgeefamiliemed etopidregeog0piger? c)detoplysesatefamiliekuhardrege.givetdette,hvadersadsylighede for at familie har etop ét bar? : DM504 eksame marts Opgave 1(25%) Bevisatforalleheletal N, 1dergælder 2 k= Opgave 2(20%) ( 1) k+1 1 k = 1 +k k=1 Ladfemvilkårligeheletalværegivet.Bevisatderfidestreudafdefem såledesat3gåropideressum Opgave 3(25%) Tysklad har heldigvis kvalificeret sig til det æste Curlig VM. I de aledig sælger Bilka poser som hver ideholder 5 billeder af ladsholdtsspillere fra de deltagede atioer. Prise for e pose er 20 kroer. Sadsylighede forateposeideholdermidstetbilledafetyskholdspillererp:=0.2 a)klaushar100kroerogkøberposeridtilhaetefårémede tysker på et billede, eller idtil ha ikke har pege tilbage. Betragt e stokastisk variabel X, som måler atallet af poser, Klaus har købttilsidst.agivfordeligeafdeevariabelforalleafxmulige værdier. b) Hvorda skal sadsylighede p for at e pose midst ideholder et billedeafetyskspillerædrestilsåledesatderfordestokastiske variabelxidela)gælder 5 14
7 Opgave 4(20%) a LadUværemægdeafallefuktioerf:A B,hvorA={1,2,3,4}og B = {1,2,3,4,5}. a) Hvor mage fuktioer ideholder U? Dvs. fid U. b)hvormagefuktioeriuerijektive? b c d c) Hvor mage fuktioer i U er surjektive? d)hvormagefuktioeriuerbijektive? e)hvormagefuktioerfiuoverholder,atf(1) +f(2) =3? f)hvormagefuktioerfiuoverholder,atf(1) +f(2) =f(3)? Opgave 5(10%) Betragt de følgede række af tal: Atag at vi u foretager os følgede: Vi vælger et af tallee tilfældigt(uiform fordelig). 2.Fratalletvalgti1.tagesutocifretilfældigtoguafhægigt(uiform fordelig). Getagelse er tilladt. Lad de stokastiske variabel X betege atallet af 1-taller, der vælges i tri 2. a)hvadersadsylighedefor,atvælgemidstet1-talitri2.,dvs.hvad erp(x 1)? b)hvaderdetforvetedeatal1-taller,derblivervalgt,dvs.hvadere(x)? Opgave 6(15%) For edeståede atager vi, at sadsylighede for at føde e dreg hhv. e pigeerdesamme,dvs. 1 2.Edvidereatagesatudfaldaffødslereruafhægige hædelser. b) Følgede mægde A er tællelig. hvor N 0 = {0,1,2,...}. e A:= { N 0 } R, c)foralleudsagpogqerfølgedealtidsadt Opgave 2(15%) ((P Q) Q) (Q (P Q)). Bevisatderforallepositiveheltalgælder i=1 (f i ) 2 =f f +1, hvorf i isfiboacci-talleedefieretvedf 0 =0,f 1 =1ogf = f 1 +f 2 for Opgave 3(15%) Fid mægde af positive heltal x, for hvilke følgede er sadt: x 1 (mod5) x 0 (mod7) x 4 (mod9) a)foregivefamiliemedtobørvedvi,atmidstétafdetobørere dreg. Hvad er sadsylighede for, at begge bør er drege? 13 6
8 Opgave 4(20%) Betragt følgede ihomogee rekursiosligig medbegydelsesbetigelsera 0 =0oga 1 =3. a =4a 1 4a 2 +3 (*) a) De associerede homogee rekursiosligig er a =4a 1 4a 2. Agiv de geerelle form for løsiger til dee homogee rekursiosligig. b) Agiv e bestemt løsig(particular solutio) til de ihomogee rekursiosligig(*) ude hesytage til begydelsesbetigelsere. c) Hvad er løsige til de ihomogee rekursiosligig(*), år begydelsesbetigelsere også tages i betragtig? Opgave 5(20%) EfterelagugepåarbejdebeslutterJessigforattagetilSchweizforatspiseoglelækrekager.Hakøbertrekagertileprisafialt10Schweizerfrac. Alle priser er heltal, og alle kager koster midst e Schweizerfrac. Dvs. atalletafmåderpriserepådetrekagerkasummeoptil10schweizerfrac svarer præcis til atallet af løsig til ligige hvorx i erpositiveheltal. x 1 +x 2 +x 3 =10, a)hvormageløsigererdertiloveståedeligig,såfremtallex i er positive heltal? b) I virkelighede kostede ige kage mere ed 5 Schweizerfrac, dvs. vi leder faktisk efter atallet af løsiger til hvorx i {1,2,3,4,5}. x 1 +x 2 +x 3 =10, Hvor mage løsiger er der i dette tilfælde? : DM504 eksame jauar Opgave 1(20%) Hvilke af følgede påstade er sade, og hvilke er falske. Begrud alle die svar. a)fortovilkårligemægderaogbgælder: (A B) =A B. b)koefficieteafx 9 y 6 i (x +3y) 15 er c)foretprimtalpogtovilkårligeheltalaogbgælder a b (modp) a 2 b 2 (modp) d)foretprimtalpogtovilkårligeheltalaogbgælder Opgave 2(15%) a 2 b 2 (modp) a b (modp) Bevisatderforalleheltal, 1gælder Opgave 3(20%) 1 (i i!) =! 1. i=0 Malthevilmegetgerefideudaf,præcishvormageDuploklodserha har.hadelerklodsereopibukerafstørrelse7,11og30ogkavedatse, hvor mage der bliver til overs, opstille følgede ligigssystem, som atallet afklodserxmåopfylde: x 5 (mod7) x 0 (mod11) x 4 (mod30) a) Agiv alle heltallige løsiger x Z til oveståede løsigssystem. b)maltheved,athaharogleærigeforældre,hvorfor0 x Givet dette, hvor mage Duplo klodser har Malthe? 12
9 a)beregsadsylighedeforatp 1 viderspilletårp 1 =1. b)beregsadsylighedeforatp 1 viderspilletårp 1 <1ogp 2 =1. BeregogsåsadsylighedeforatP 2 viderideesituatio. c)atagatp 1 <1,p 2 <1ogp 1 +p 2 >0.Beregsadsylighederefor atp 1 viderogforatp 2 vider Opgave 6(15%) AdersogIgevildeleechokoladestag.Stagebeståraf2 +1blokke afsammelægde(hvoreretpositivtheltal). Istedetforatdelechokoladestageligeoverbeslutterdesigforatdelede ved,atdehiverihversiedeafstage. Dieresultaterskalværeiformafetudtryk,somafhægerbådeafp 1 ogp 2. d)agivegeerelbetigelsesomp 1 ogp 2 idelc)skalopfyldeforat beggespillerehareligestorchaceforatvide. Vikfordelc):Forethvertaturligtalk NbetragthædelseA k atspillet erforbiefterkforsøg(hvordertællesforsøgafbeggespillere).beregpr(a k ). Hvorda er sammehæge mellem forskellige værdier af k og hædelsere atp 1 viderelleratp 2 vider? Nu ka ma beytte følgede resultat fra forelæsigere: For alle x < 1 gælder Betragtx:= (1 p 1 ) (1 p 2 ) Opgave 6(15%) r=0 x r = 1 1 x. Lad X være e diskret stokastisk variabel for hvilket der gælder: Pr(X =x) = { x 2 c hvisx { 3, 2, 1,0,1,2,3} 0 ellers Hererc Retfastkostattalsomskalberegesedeuder. a) Bestem værdie af kostate c. b) Bereg forvetigsværdie E[X] af X. c) Defier e ade diskret stokastisk variabel Y ved Y:= (X E[X]) 2 Beregforallex RsadsylighedeafPr(Y =x). d) Bereg variase Var(X) af X. Aders E velkedt kedsgerig fra chokoladevideskabe fastslår, at chokoladestageveddeeprocesvilblivedeltietoptostykkerieafde2rever mellemde2 +1blokkestagebeståraf.Revevælgesuiformtmellem mulighedere. LaddestokastiskevariabelXværeatalletafblokkeidelægsteafdeto resterede stykker. Jævfør det oveståede har vi mesp(x =i) =0ellers. a) Fid E(X). Ige P(X =i) = 1, fori { +1, +2,...,2}, b)fidvariasevar(x)afx. c)brugchebyshevsulighedsammemedspørgsmålaogbtilatfidee øvre græse for sadsylighede for at det lægste stykker har lægde midst blokke : DM504 eksame marts Opgave 1(20%) Hvilke af følgede påstade er sade, hvilke falske? Begrud alle die svar! a)ladaværemægdeafallefuktioerfra Ntil Z,d.v.s. A:= {f f: N Z}. 11 8
10 VidefierereafbildigF:A Zsom F(f):=f(3)forallef A. Da er afbildige F surjektiv, me ikke ijektiv. b)ladxværeediskretstokastiskvariabel,somerdefieretpå Nog giverreelleværdier,d.v.s.x:n R.DesudeopfylderXfølgede betigelse: X(i) 0 forallei N. SåfidesediskretstokastiskvariabelYsomerdefieretpå Nogsom opfylder Y 2 (i) 2Y(i) X(i) =0forallei N. c)derfidesetkostattalc Nsåledes,atdetforalle 3, N gælder ( ) c 3. 3 d)ladx 1,...,X 10 værediskretestokastiskevariablerdefieretforeedeligmægdes.desudeatagerviatx i ereopfylderfølgedeulighed: Så gælder Opgave 2(15%) Ladaogbværetoreelletal. X 1 (s) X 2 (s)... X 10 (s)foralles S. E[X 1 +X X 9 ] 9 E[X 10 ]. a)bevisathvisa =b,sågælderforalle N a k b k = a+1 b +1 a b k=0 b)beregdeeksplicitteværdiafsumme a k b k hvisa=b. k= Opgave 3(15%) Etlatticepuktiplaeeretpukt (x,y)forhvilketbeggekompoeterxog yerheletal. Fortoforskelligelatticepukter p i := (x i,y i )og p j := (x j,y j )defieres midtpuktetafliiesomforbiderp i ogp j sompuktetmedkoordiatere ( x i+x j 2, y i+y j 2 ). Bemærkatmidtpuktetaftolatticepukterikkebehøverselvatværeet lattice pukt. a)atagat5forskelligelatticepukter p 1,...,p 5 ergivet.bevisatder fidesmidsttoafdissehvoromgælderatderesmidtpukteretlattice pukt. b)erpåstadeidela)stadigvæksadårku4latticepukterergivet? Ete bevis de tilsvarede påstad eller fid et modeksempel. Vik: For del a) beyt pigeohole pricippet Opgave 4(15%) Det daske miisterium for uddaelse plalægger e y uddaelse om Tysk Fodbold Kultur for at styrke de iteratioale stillig af SDU. Uddaelseskalforgåefterfølgederegler.Derer8muligekurser {U 1,...,U 8 } ibachelordeleog10muligekurser {G 1,...,G 10 }ikadidatdele. Et korrekt curriculum består af præcis 4 kurser i Bachelordele og præcis 3 kurser i kadidat dele. a) Hvor mage forskellige curricula er mulige? b)atagatethvertkursusfraliste {G 1,...,G 5 }kræveratmatidligere harlæstu 1 ogatethvertkursusfraliste {G 6,...,G 10 }kræveratma tidligereharlæstbådeu 2 ogu 3. Hvor mage forskellige curricula er u mulige? Opgave 5(20%) TospillereP 1 ogp 2 spillerfølgedespil.deprøverpåskiftatkasteeboldi et hul. SpillerP 1 starter,derefterharp 2 etforsøg,dereftererdetigep 1 sturo.s.v. Spillet slutter år e af spilleree første gag har succes. IethvertforsøgafP 1 ersadsylighedeforsuccesligp 1.Ligedegælder atiethvertforsøgafp 2 ersadsylighedeforesuccesligp 2. 10
Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)
For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)
Gamle eksamensopgaver Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM54) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereTIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og
TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereDK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring
DK / -- MAG SYSTEM Gulvregørig Mag System Kocept 2 www.vermop.com Di fordel Mag System Iovativt og ekeltståede Mag System fra VERMOP står for e helt y måde at fiskere vaskbetræk på fremførere (eller skaftet)
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereScorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?
Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereinfo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.
ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereInformation til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!
Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereNanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereSandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com
ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereNanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereDe Platoniske legemer De fem regulære polyeder
De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereTEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA
TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mere6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereIntroduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem
Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereKapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL
Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereCykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel
Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereAnalyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)
Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)
Læs mereTænk arbejdsmiljø. Træsektionen. allerede i udbudsfasen
Foto: Bria Berg Træsektioe Træsektioe uder Dask Byggeri er med sie godt 2.500 medlemsvirksomheder de største sektio uder Dask Byggeri, og er desude e af de mere aktive sektioer med ege uderudvalg for tekik,
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H
ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges
Læs mereUddannelsesparathed. Vejledning om processerne ved vurdering af uddannelsesparathed (UPV) og ansøgning til ungdomsuddannelserne
Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig til ugdomsuddaelsere Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereAugust 2012 AKTIVERING. for dig under 30 F O A S A R B E J D S L Ø S H E D S K A S S E
F O A S A R B E J D S L Ø S H E D S K A S S E August 2012 AKTIVERING for dig uder 30 INDHOLD 1. Du er uder 25 år er ude uddaelse og har ige bør side 4 2. Du er uder 25 år er ude uddaelse og har bør side
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mere