Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)"

Transkript

1 Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt brug af lommereger er tilladt. Fuld besvarelse er besvarelse af alle opgaver. De ekelte opgavers vægt ved bedømmelse er agivet i procet. Der må gere refereres til resultater fra læreboge og ugesedlere iklusive øvelsesopgavere. Hevisiger til adre bøger(ud over læreboge) accepteres ikke som besvarelse af et spørgsmål. Bemærk,athvisdereretspørgsmålieopgave,maikkekabesvare,må ma gere(så vidt det er muligt) besvare de efterfølgede spørgsmål og blot atage, at ma har e løsig til de foregåede spørgsmål. Husk at begrude alle die svar! NB:PesumforDM72ogDM504varikkedetsammesomdetuværedeDM527kursus.Pga.dettevilduderforkommeudforflereafdegamle opgaver,somduikkekalaveudeatlæseekstrailærebogeførst.heruder er især alle opgaver med sadsylighedsregig ude for det uværede pesum.

2 : DM72 eksame jui Opgave 1(15%) a) Agiv de logiske egatio af de følgede udsag. Die formler må hverke ideholde egatiossymbolet lige før e kvator eller de logiske implikatiosoperator. A N: { 10gåropi gåropi } B z N x N y Z: x +3 =y 2 b)afgørforudsageeidela)omdetgiveudsagellerdetsegatioer sadt. Begrud die svar! Opgave 2(15%) Beytetiduktiosbevisforatvise,atforalleaturligetal 1gælder k= Opgave 3(20%) 1 > k Beyt de kiesiske restklassesætig for at fide det midste aturlige tal x >0somopfylderdefølgedeligheder: x = 3 mod 5 x = 4 mod 7 x = 9 mod Opgave 4(20%) LadG = (V,E)væreegrafmed100kuder.Detforudsættesatehver kudev Vmidsthar76aboer. Visatderfidesemægdeafmidst5forskelligekuderiVsåledesatalle erparvisforbudetig. Hit:Startmedatvælgeevilkårligkudev 1.BetragtabomægdeS 1 afv 1 ig.prøvatfideeyderligerekudev 2 sammemedeyderligeremægde S 2,somharethøjtatalfælleskudermedS 1. Pricippet om iklusio-eksklusio ka u være e hjælp. 1

3 Opgave 5(15%) Bådediistruktorogdilærerkagodtlideatspilleteis.Foratbestå eksame i DM72 får du følgede chace. Duskalspilleialttrekampemoddem.Dichaceforatvidemodlærereer p (0,1),dichaceforatvidemodistruktoreerr (0,1).Selvfølgelig gælderp <r. Dumåuselvvælgeeafdefølgedetomulighederforrækkefølgei hvilkeduspillermoddeto: 1)Duspillerkampee1og3modlærereogkamp2modistruktore eller 2)duspillerkampee1og3modistruktoreogkamp2modlærere. Foratbeståkursetskalduvidemidsttokampeitræk. a) Aalyser sadsylighedere for at bestå hvis du vælger mulighed 1, og hvis du vælger mulighed 2. b) Hvilke mulighed giver de større sadsylighed for at bestå? Ka du forklare resultatet ude at tage hesy til die beregiger i del a)? c)atagatvived,uafhægigtafmulighededuvælger,atdutaberdi første kamp mod lærere. Bereg for begge muligheder de betigede sadsylighed for at bestå kurset Opgave 6(15%) Lad N.Forestregx = (x 1,...,x ) {0,1} kalderviestabildelstregehverdelstregx k x k+1...x s afxsåledesatallekompoetereresog delstregeikkekaforlægestilestabildelstreg,detvilsigex k 1 =x k ogx s =x s+1 (ellerk=1ellers=). Eksempel: Strege x = har 6 stabile delstrege, som er x 1 =0,x 2 =1,x 3 x 4 =00,x 5 =1,x 6 x 7 x 8 =000,x 9 x 10 =11 a)vælgetilfældigsekves (x 1,...,x ) {0,1}.Sadsylighedeforat etkompoetbliver0erp [0,1]ogsadsylighedeforatetkompoetbliver1erq:=1 p. Bereg det forvetede atal stabile delstrege i de valgte sekves. 2

4 b)hvormagestabiledelstregekaviforveteiesekvespå6bits hvishverbitertrukketuderdeuiformefordeligfra {0,1}. Hit:Selvhvisduikkekaløsedela)kaduprøvedelb)uafhægigt : DM72 eksame august Opgave 1(15%) Hvilkeafdefølgedepåstadea)-d)ersade,hvilkeerfalske.Begrudalle die svar. a)foralleijektivefuktioerf: N Nfidestofuktioerg,h:N Nsåledesatdetgælder f g h =h f g. b)ladmværeemægde.forallek NogmægderM 1,...,M k M gælder k k (M \M i ) = M \ M i. i=1 c) Betragt e edelig mægde S samme med e sadsylighedsfordelig PrsomerdefieretforpotesmægdeafS.LadA,BogCværetre forskellige hædelser således at A B. Så gælder i=1 Pr(A) <Pr(B) +Pr(C) d)lad 1væreetaturligttal.Hvisp N,1 <p<eretprimtal somgåropi,sågårpikkeopi( 1)! Opgave 2(15%) Bevisatforalle Ngælder k=1 k 2 (2k +1) (2k 1) = ( +1) 2 (2 +1) Opgave 3(25%) Rødeogsorteboldeerdeltidikassermed4boldeehver.Farveafhver bold er valgt tilfældigt. Det vides at e rød bold forekommer med sadsylighed 1 3. a)hvadersadsylighedeforatalleboldeieekeltkasseharde samme farve? b)ladxværedestokastiskevariabelsommåleratalletafkasserma skalfyldeidtilmidsteideholder4boldeafdesammefarve. BeregPr(X =1),Pr(X =2)oggeereltPr(X =)foralleaturlige tal N. c)vedbrugafresultatetfradelb)bereghvormagekasserderskal fyldesforathaveesadsylighedpåmidst95%foratmidste kasse ideholder 4 bolde af de samme farve? D.v.s. fid det midste Nsåat Pr(X ) 0.95 hvor X er de stokastiske variabel defieret i b). Viktilc):Huskatfor0<q<1og Ndergælder Opgave 4(10%) 1 q k = 1 q 1 q. k=0 Hvilkeaffølgedepåstadea)ogb)ersade,hvilkeerfalske?Begrudalle die svar! a)foralle Ngælder 112 =220 k=0 ( ) 2 k k 1. k b)ladf: N 2N = {2,4,6,...}væreebijektivfuktio.Derfideset i Nmedf(i) =2i. 3 16

5 Opgave 4(10%) P(X 2) = 5 9? Hvilkeaffølgedepåstadea)ogb)ersade,hvilkeerfalske?Begrudalle die svar! a) Der fides e diskret stokastisk variabel X, som er defieret på udfaldsrummet N med værdier i N samme med e sadsylighedsfordelig Pr som opfylder Pr(X =i) = 1 i2forallei N,i 1. b)lad {a } N væreevilkårligsekvesafaturligetal.dereksistererto reelletalc 1 ogc 2 såledesatforalle 3opfyldersekvese {a } a =c 1 a 1 +c 2 a : DM504 eksame jui Opgave 1(25%) Bevisatderforalleheletal Ngælder Opgave 2(20%) + k=1(1 1 k ) > 1 k k=1 Fidalleaturligetali{1,...,245}somløserkogruese 18 x 3modulo245. Vik:Fidemultiplikativiverstil18iZ 245 vedhjælpafdeudvidede Euklidiske algoritme Opgave 3(20%) Ladd betegeatalletafstregei{0,1,2} såledesatderhverkeforekommerto1 ereellerto2 ereitræk. a)beregværdiereford 1 ogd 2. b)visatforalle Nopfylderværdied ligige d =2 d 1 +d 2. c)forvilkårlige Nløsligigeidelb)medstartværdierefradel a). Hit til b) Det abefales at overveje hvorda ma ka forlæge strege, som afsluttermedet0ogstrege,somafslutteretemed1eller2.visatatallet af strege som både opfylder betigelsere, har lægde 1 og afslutter medet0,erpræcisd Opgave 4(15%) a) Betragt udtrykket idefirevariablex,y,z,ogw. (x +y+z+w) 9 Beregkoefficieteaftermex y 4 z 3 w,detvilsigebereghvor magegagevifårtermex y 4 z 3 wårvimultiplicerer (x +y+z+ w)ottegagemedsigselv. b)lada 1 <a 2 <... <a 21 væreesekvesaf21forskelligeaturligetali mægde {1,...,100}.Betragtallemuligedifferecera i a j somma fårforetvilkårligtvalg1 j<i 21. Vis at der fides et resultat som forekommer midst tre gage Opgave 5(15%) For at bestå eksamee i DM72 tilbyder di lærer dig følgede chace. Haplacerertrekasserforadig.Hverkasseerfyldtmed60kugler.Derer ialt120hvidekuglerog60sortekugler.kuglereerfordeltsomfølgeride tre kasser: -kasse1ideholder10sorteog50hvidekugler; -kasse2ideholder20sorteog40hvidekugler; 15 4

6 -kasse3ideholder30sorteog30hvidekugler. Dufårubidforøjee,såatduikkekasekassereogderesidhold. a)lærerebederdigførstomatvælgeetilfældigafdetrekasser(uiform fordelig). Derefter skal du trække e tilfældig kugle fra de valgte kasse(uiform fordelig). Hviss kugle du trækker er hvid består du eksamee. Hvad er sadsylighede for at bestå? b)nufårduselvmulighedeforatfordeledesorteogdehvidekugler idetrekasser.derskaldogstadigvækvære60kugleriehverkasse. Derefter geemføres det samme eksperimet. Hvaderdeoptimalefordeligafdesorteoghvidekugleridetrekasser, således at sadsylighede for at bestå eksamee bliver maksimal? Opgave 6(20%) Ekasseideholder5kugler.Hverkugleermarkeretmedettal.Tokuglerer markeretmed0,ékuglemed2,ékuglemed3ogékuglemed4. Dubestemmeruhvormagekuglerduøskerattrække.Duskaldogtrække midst é og højest alle 5. Herefter trækker du u tilfældigt(uiform fordelig) det atal kugler fra kasse, som du på forhåd bestemte dig for. Digevisterproduktetaftalleesomstårpådekugler,duhartrukket. a)hvormagekuglerskaldutrækkeforatfådemaksimaleforvetede gevist?beregdeforvetedegevistforalleatali {1,...,5}af trukkede kugler. b)betragtu 6kugler,som ermarkeretmedtallee0,0,0, 3, 4, 8. Hvaderdetoptimaleatalkuglerduskaltrække?Svarpådettespørgsmål ude at geemgå de tilsvarede beregiger fra del a) : DM72 eksame jauar Opgave 1(15%) Hvilke af følgede påstade er sade, og hvilke er falske. Begrud alle die svar. a)følgedegrafg=(v,e)hareeuler-kreds. Foretgivetpositivtheltalogegivemægdeaffamilier,atagesat sadsylighedeforatfamilieharibør,for1 i,erp i,såledesat i=1 p i = 1.Edvidereerde2 i muligemåderatfåbørpåforegive familie med i bør lige sadsylige. b)for1 i,hvadersadsylighedeforatvælgeefamiliemed etopidregeog0piger? c)detoplysesatefamiliekuhardrege.givetdette,hvadersadsylighede for at familie har etop ét bar? : DM504 eksame marts Opgave 1(25%) Bevisatforalleheletal N, 1dergælder 2 k= Opgave 2(20%) ( 1) k+1 1 k = 1 +k k=1 Ladfemvilkårligeheletalværegivet.Bevisatderfidestreudafdefem såledesat3gåropideressum Opgave 3(25%) Tysklad har heldigvis kvalificeret sig til det æste Curlig VM. I de aledig sælger Bilka poser som hver ideholder 5 billeder af ladsholdtsspillere fra de deltagede atioer. Prise for e pose er 20 kroer. Sadsylighede forateposeideholdermidstetbilledafetyskholdspillererp:=0.2 a)klaushar100kroerogkøberposeridtilhaetefårémede tysker på et billede, eller idtil ha ikke har pege tilbage. Betragt e stokastisk variabel X, som måler atallet af poser, Klaus har købttilsidst.agivfordeligeafdeevariabelforalleafxmulige værdier. b) Hvorda skal sadsylighede p for at e pose midst ideholder et billedeafetyskspillerædrestilsåledesatderfordestokastiske variabelxidela)gælder 5 14

7 Opgave 4(20%) a LadUværemægdeafallefuktioerf:A B,hvorA={1,2,3,4}og B = {1,2,3,4,5}. a) Hvor mage fuktioer ideholder U? Dvs. fid U. b)hvormagefuktioeriuerijektive? b c d c) Hvor mage fuktioer i U er surjektive? d)hvormagefuktioeriuerbijektive? e)hvormagefuktioerfiuoverholder,atf(1) +f(2) =3? f)hvormagefuktioerfiuoverholder,atf(1) +f(2) =f(3)? Opgave 5(10%) Betragt de følgede række af tal: Atag at vi u foretager os følgede: Vi vælger et af tallee tilfældigt(uiform fordelig). 2.Fratalletvalgti1.tagesutocifretilfældigtoguafhægigt(uiform fordelig). Getagelse er tilladt. Lad de stokastiske variabel X betege atallet af 1-taller, der vælges i tri 2. a)hvadersadsylighedefor,atvælgemidstet1-talitri2.,dvs.hvad erp(x 1)? b)hvaderdetforvetedeatal1-taller,derblivervalgt,dvs.hvadere(x)? Opgave 6(15%) For edeståede atager vi, at sadsylighede for at føde e dreg hhv. e pigeerdesamme,dvs. 1 2.Edvidereatagesatudfaldaffødslereruafhægige hædelser. b) Følgede mægde A er tællelig. hvor N 0 = {0,1,2,...}. e A:= { N 0 } R, c)foralleudsagpogqerfølgedealtidsadt Opgave 2(15%) ((P Q) Q) (Q (P Q)). Bevisatderforallepositiveheltalgælder i=1 (f i ) 2 =f f +1, hvorf i isfiboacci-talleedefieretvedf 0 =0,f 1 =1ogf = f 1 +f 2 for Opgave 3(15%) Fid mægde af positive heltal x, for hvilke følgede er sadt: x 1 (mod5) x 0 (mod7) x 4 (mod9) a)foregivefamiliemedtobørvedvi,atmidstétafdetobørere dreg. Hvad er sadsylighede for, at begge bør er drege? 13 6

8 Opgave 4(20%) Betragt følgede ihomogee rekursiosligig medbegydelsesbetigelsera 0 =0oga 1 =3. a =4a 1 4a 2 +3 (*) a) De associerede homogee rekursiosligig er a =4a 1 4a 2. Agiv de geerelle form for løsiger til dee homogee rekursiosligig. b) Agiv e bestemt løsig(particular solutio) til de ihomogee rekursiosligig(*) ude hesytage til begydelsesbetigelsere. c) Hvad er løsige til de ihomogee rekursiosligig(*), år begydelsesbetigelsere også tages i betragtig? Opgave 5(20%) EfterelagugepåarbejdebeslutterJessigforattagetilSchweizforatspiseoglelækrekager.Hakøbertrekagertileprisafialt10Schweizerfrac. Alle priser er heltal, og alle kager koster midst e Schweizerfrac. Dvs. atalletafmåderpriserepådetrekagerkasummeoptil10schweizerfrac svarer præcis til atallet af løsig til ligige hvorx i erpositiveheltal. x 1 +x 2 +x 3 =10, a)hvormageløsigererdertiloveståedeligig,såfremtallex i er positive heltal? b) I virkelighede kostede ige kage mere ed 5 Schweizerfrac, dvs. vi leder faktisk efter atallet af løsiger til hvorx i {1,2,3,4,5}. x 1 +x 2 +x 3 =10, Hvor mage løsiger er der i dette tilfælde? : DM504 eksame jauar Opgave 1(20%) Hvilke af følgede påstade er sade, og hvilke er falske. Begrud alle die svar. a)fortovilkårligemægderaogbgælder: (A B) =A B. b)koefficieteafx 9 y 6 i (x +3y) 15 er c)foretprimtalpogtovilkårligeheltalaogbgælder a b (modp) a 2 b 2 (modp) d)foretprimtalpogtovilkårligeheltalaogbgælder Opgave 2(15%) a 2 b 2 (modp) a b (modp) Bevisatderforalleheltal, 1gælder Opgave 3(20%) 1 (i i!) =! 1. i=0 Malthevilmegetgerefideudaf,præcishvormageDuploklodserha har.hadelerklodsereopibukerafstørrelse7,11og30ogkavedatse, hvor mage der bliver til overs, opstille følgede ligigssystem, som atallet afklodserxmåopfylde: x 5 (mod7) x 0 (mod11) x 4 (mod30) a) Agiv alle heltallige løsiger x Z til oveståede løsigssystem. b)maltheved,athaharogleærigeforældre,hvorfor0 x Givet dette, hvor mage Duplo klodser har Malthe? 12

9 a)beregsadsylighedeforatp 1 viderspilletårp 1 =1. b)beregsadsylighedeforatp 1 viderspilletårp 1 <1ogp 2 =1. BeregogsåsadsylighedeforatP 2 viderideesituatio. c)atagatp 1 <1,p 2 <1ogp 1 +p 2 >0.Beregsadsylighederefor atp 1 viderogforatp 2 vider Opgave 6(15%) AdersogIgevildeleechokoladestag.Stagebeståraf2 +1blokke afsammelægde(hvoreretpositivtheltal). Istedetforatdelechokoladestageligeoverbeslutterdesigforatdelede ved,atdehiverihversiedeafstage. Dieresultaterskalværeiformafetudtryk,somafhægerbådeafp 1 ogp 2. d)agivegeerelbetigelsesomp 1 ogp 2 idelc)skalopfyldeforat beggespillerehareligestorchaceforatvide. Vikfordelc):Forethvertaturligtalk NbetragthædelseA k atspillet erforbiefterkforsøg(hvordertællesforsøgafbeggespillere).beregpr(a k ). Hvorda er sammehæge mellem forskellige værdier af k og hædelsere atp 1 viderelleratp 2 vider? Nu ka ma beytte følgede resultat fra forelæsigere: For alle x < 1 gælder Betragtx:= (1 p 1 ) (1 p 2 ) Opgave 6(15%) r=0 x r = 1 1 x. Lad X være e diskret stokastisk variabel for hvilket der gælder: Pr(X =x) = { x 2 c hvisx { 3, 2, 1,0,1,2,3} 0 ellers Hererc Retfastkostattalsomskalberegesedeuder. a) Bestem værdie af kostate c. b) Bereg forvetigsværdie E[X] af X. c) Defier e ade diskret stokastisk variabel Y ved Y:= (X E[X]) 2 Beregforallex RsadsylighedeafPr(Y =x). d) Bereg variase Var(X) af X. Aders E velkedt kedsgerig fra chokoladevideskabe fastslår, at chokoladestageveddeeprocesvilblivedeltietoptostykkerieafde2rever mellemde2 +1blokkestagebeståraf.Revevælgesuiformtmellem mulighedere. LaddestokastiskevariabelXværeatalletafblokkeidelægsteafdeto resterede stykker. Jævfør det oveståede har vi mesp(x =i) =0ellers. a) Fid E(X). Ige P(X =i) = 1, fori { +1, +2,...,2}, b)fidvariasevar(x)afx. c)brugchebyshevsulighedsammemedspørgsmålaogbtilatfidee øvre græse for sadsylighede for at det lægste stykker har lægde midst blokke : DM504 eksame marts Opgave 1(20%) Hvilke af følgede påstade er sade, hvilke falske? Begrud alle die svar! a)ladaværemægdeafallefuktioerfra Ntil Z,d.v.s. A:= {f f: N Z}. 11 8

10 VidefierereafbildigF:A Zsom F(f):=f(3)forallef A. Da er afbildige F surjektiv, me ikke ijektiv. b)ladxværeediskretstokastiskvariabel,somerdefieretpå Nog giverreelleværdier,d.v.s.x:n R.DesudeopfylderXfølgede betigelse: X(i) 0 forallei N. SåfidesediskretstokastiskvariabelYsomerdefieretpå Nogsom opfylder Y 2 (i) 2Y(i) X(i) =0forallei N. c)derfidesetkostattalc Nsåledes,atdetforalle 3, N gælder ( ) c 3. 3 d)ladx 1,...,X 10 værediskretestokastiskevariablerdefieretforeedeligmægdes.desudeatagerviatx i ereopfylderfølgedeulighed: Så gælder Opgave 2(15%) Ladaogbværetoreelletal. X 1 (s) X 2 (s)... X 10 (s)foralles S. E[X 1 +X X 9 ] 9 E[X 10 ]. a)bevisathvisa =b,sågælderforalle N a k b k = a+1 b +1 a b k=0 b)beregdeeksplicitteværdiafsumme a k b k hvisa=b. k= Opgave 3(15%) Etlatticepuktiplaeeretpukt (x,y)forhvilketbeggekompoeterxog yerheletal. Fortoforskelligelatticepukter p i := (x i,y i )og p j := (x j,y j )defieres midtpuktetafliiesomforbiderp i ogp j sompuktetmedkoordiatere ( x i+x j 2, y i+y j 2 ). Bemærkatmidtpuktetaftolatticepukterikkebehøverselvatværeet lattice pukt. a)atagat5forskelligelatticepukter p 1,...,p 5 ergivet.bevisatder fidesmidsttoafdissehvoromgælderatderesmidtpukteretlattice pukt. b)erpåstadeidela)stadigvæksadårku4latticepukterergivet? Ete bevis de tilsvarede påstad eller fid et modeksempel. Vik: For del a) beyt pigeohole pricippet Opgave 4(15%) Det daske miisterium for uddaelse plalægger e y uddaelse om Tysk Fodbold Kultur for at styrke de iteratioale stillig af SDU. Uddaelseskalforgåefterfølgederegler.Derer8muligekurser {U 1,...,U 8 } ibachelordeleog10muligekurser {G 1,...,G 10 }ikadidatdele. Et korrekt curriculum består af præcis 4 kurser i Bachelordele og præcis 3 kurser i kadidat dele. a) Hvor mage forskellige curricula er mulige? b)atagatethvertkursusfraliste {G 1,...,G 5 }kræveratmatidligere harlæstu 1 ogatethvertkursusfraliste {G 6,...,G 10 }kræveratma tidligereharlæstbådeu 2 ogu 3. Hvor mage forskellige curricula er u mulige? Opgave 5(20%) TospillereP 1 ogp 2 spillerfølgedespil.deprøverpåskiftatkasteeboldi et hul. SpillerP 1 starter,derefterharp 2 etforsøg,dereftererdetigep 1 sturo.s.v. Spillet slutter år e af spilleree første gag har succes. IethvertforsøgafP 1 ersadsylighedeforsuccesligp 1.Ligedegælder atiethvertforsøgafp 2 ersadsylighedeforesuccesligp 2. 10

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) Gamle eksamensopgaver Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM54) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

DK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring

DK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK / -- MAG SYSTEM Gulvregørig Mag System Kocept 2 www.vermop.com Di fordel Mag System Iovativt og ekeltståede Mag System fra VERMOP står for e helt y måde at fiskere vaskbetræk på fremførere (eller skaftet)

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere