TI-92 / TI-92 Plus. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje:

Transkript

1

2 TI-92 / TI-92 Plus TI-92 har et væld af indbyggede funktioner og i dette lille hæfte kan vi kun stifte bekendskab med nogle ganske få udvalgte, der har til formål at vise den regnekraft og fleksibilitet, TI-92 er i besiddelse af. Flere funktioner og mere brugerhukommelse er til rådighed i Plus versionen, der er baseret på FLASH-teknologien. Når der kommer nye versioner af TI-92 med flere, nye og bedre applikationer, kan den gamle FLASH baserede lommeregner opgraderes: Du behøver blot at downloade de aktuelle filer fra Texas Instruments hjemmesider og sende disse til TI-92 Plus via et TI-Graph Link. Overblik Til forskel fra de fleste andre grafregnere er TI-92 udstyret med et QWERTY tastatur med Cut, Copy og Paste faciliteter. TI-92 kan således sammenlignes med en PC med et godt matematik- og geometriprogram installeret. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje: Menulinje Historikområde Indtastningslinje Statuslinje I indtastningslinjen indtastes alt, og når der trykkes på, opstilles et indtastnings/svarpar i historikområdet. Historikområdet indeholder i grundopsætningen de 30 seneste indtastnings/ svarpar. Der kan navigeres frem og tilbage i disse indtastnings/svarpar vha. piletasterne: A, B, C og D. I historikområdet skrives i Pretty Print dvs. ved brug af de symboler, der normalt benyttes i matematik. De enkelte menuer i menulinjen aktiveres ved at trykke på en af de blå funktionstaster ( ƒ - ˆ ). Fx vil Calc-menuen rumme de mest benyttede rutiner i forbindelse med differential- og integralregning. De samme (og endnu flere) menuer kan findes ved at taste 2 [MATH]: 1

3 Fra disse menuer kan rutinerne vælges og kopieres til indtastningslinjen ved at taste, men de kan også indtastes direkte fra tastaturet. Statuslinjen kan rumme oplysninger om maskinens indstilling og status (det første skærmbillede ovenfor) og undertiden hjælp (det andet skærmbillede ovenfor). Store Tal For at undersøge, hvor store tal maskinen kan håndtere, kan fakultetsfunktionen passende bringes i anvendelse (! indtastes som 2 W): Pilene til højre på skærmen markerer, at resultatet er for stort til at det kan være på skærmen. Man kan få tallet at se ved at flytte markøren til historikområdet og benytte piletasterne. Vi bemærker, at 299! behandles eksakt, men ikke 300! Det betyder, at hele tal med op til 612 cifre behandles eksakt af TI-92, hvorefter tallene behandles som floating-point. Desuden bemærker vi, at 499! er det største fakultetstal maskinen magter. Ved 500! overstiger 10-potensen nemlig 1000, der er maskinens floatingpoint grænse. Maskinen vil altid søge at regne symbolsk, men fortrækkes resultatet som et floating point tal, skal man blot taste. 2

4 Faktorisering af hele tal Maskinen har en indbygget rutine factor til opløsning af hele tal i primfaktorer. I standardversionen finder rutinen primfaktorer op til 2 16 = 65536, mens Plus-versionen ingen begrænsninger har dog skal tallet kunne behandles eksakt: Læg mærke til faktoriseringen af 100!, som giver os alle primtallene under 100. Læg også mærke til, at og er et sæt af primtalstvillinger. Regning med brøker Maskinen regner naturligvis eksakt med brøker, hvor slutresultatet altid forkortes i bund. Her kan man så passende nyde, at maskinen også kan regne symbolsk. Summer og differenser af brøker sættes ganske vist ikke på fælles brøkstreg, men dette klarer ComDenom: 3

5 Reduktion af udtryk Når maskinen fodres med et sammensat udtryk, vil den pr. automatik søge at reducere udtrykket mest muligt Fælles faktorer i polynomiumsbrøker forkortes automatisk akkurat som når talbrøker forkortes i bund. I modsætning til talbrøker, vil udtryk almindeligvis ikke blive sat fælles brøkstreg, men vi kan dog selv sørge herfor med ComDenom: Polynomiers division foregår med PropFrac og opsplitning i partialbrøker med Expand: 4

6 Komplekse tal TI-92 tillader repræsentation af komplekse tal på flere måder. Vi skal først se på den rektangulære form, a +ib, der indtastes som a +2 ) b. Vi ser på nogle eksempler: Indtaster vi komplekse tal på polær form, r e iθ vil de prompte blive omsat til rektangulær form. TI-92 Plus tillader endvidere, at polarformen indtastes som (r θ), hvor θ angives i grader eller radianer afhængig af maskinens indstilling (nedenfor er maskinen indstillet til at regne i radianer): Vinkeltegnet Ÿ laves ved at taste 2 F og gradtegnet ved 2 D. Gradtegnet tvinger maskinen til at opfatte 45 som et gradtal. I det ovenstående er der forudsat, at maskinen befinder sig i standardindstillingen REAL i Complex Mode. I denne indstilling vil maskinen ikke vise komplekse resultater med mindre der indtastes komplekse tal eller benyttes rutiner (cfactor, csolve og czeros), der kan levere komplekse resultater som angives på enten rektangulær eller polær form. Men der er to andre indstillinger (tast 3 og pil ned til Complex Format): 5

7 RECTANGULAR vil altid vise komplekse resultater på rektangulær form. I indstillingen POLAR vil resultater vises på polær form og på TI-92 Plus på formen (r θ), hvis maskinen er sat til at regne i grader. Lad os se på et par eksempler med indstillingen POLAR: For yderligere at illustrere forskellen på de to indstillinger, vil vi finde nulpunkterne i et komplekst andengradspolynomium vha. den indbyggede czeros rutine: 6

8 Graffaciliteterne Funktioner (maksimalt 99) indtastes i Y= editoren ( tast [Y=] ): Bemærk de to hakker ud for y1 og y2. De betyder, at begge funktioner er aktive dvs. vil blive tegnet, når grafvinduet åbnes. Før graferne kan tegnes, skal der specificeres et vindue. Ovenfor er valgt et standardzoom: Tast 6 i Y= editoren, hvorefter graferne tegnes. Igen giver værktøjslinjen en række muligheder, hvor vi specielt vil koncentrere os om Math-menuen ( aktiveres via ), der giver en liste over en række numeriske værktøjer man kan bruge, når man undersøger grafer: 7

9 Fx kan en arealbestemmelse give nedenstående skærmbillede: Nu er funktionsgraferne vi har tegnet ovenfor simple, så lad os vise, at det også er muligt at tegne en ret kompliceret graf med TI-92: Parameterkurver og polære plots TI-92 kan tegne mange typer grafer. Den graftype, man ønsker, vælges i 3. Vi viser et par muligheder: 8

10 Nedenstående skærmbillede viser hypercykloiden med parameterfremstillingen (x(t),y(t)) = (cos 3 (t),sin 3 (t)): - og cardioiden, r = 1 + cos(θ), ser således ud i et polært plot: Ligningsløsning Ligningsløsning med TI-92 er enkelt, hvad enten det drejer sig om at løse eksakt, numerisk, inden for et interval, inden for R eller inden for C. Nedenstående skærmbillede viser, hvordan Solve og csolve fungerer: 9

11 Solve kommandoen er naturligvis ikke begrænset til polynomielle ligninger. Selv meget komplicerede ligninger klarer TI-92: Disse ligninger er så komplicerede, at visse avancerede computerprogrammer nægter at løse dem. Ligningen 2 x = x 2 kan maskinen ikke løse eksakt, så derfor gør den det numerisk (den negative løsning kan udtrykkes vha. Lambert-funktioner, men dem har TI-92 ikke implementeret). Den sidste ligning, sin(x) = cos(x), er ikke særlig kompliceret, men viser, hvordan TI-92 tackler en situation med uendelig mange løsninger (@n1 står for en heltallig konstant). TI-92 kan naturligvis også løse ligninger med parametre: 10

12 Betragt formlen v s = 2g( cos( a) + k sin( a) ) 2 der udtrykker, hvor langt en klods vil bevæge sig op ad et skråplan, der danner vinklen a med gulvplanet. v er klodsens starthastighed, k gnidningskoefficienten og g er tyngden. Det er nemt at isolere alle størrelser i denne ligning lige med undtagelse af a selv med værdier indsat for s, v, g og k er det ikke simpelt. Lad os sætte TI-92 på opgaven: I den første linje har vi tildelt værdier til variablerne (tast:.6 s etc) og i den sidste linje har vi for at få den løsning, der ligger mellem 0º og 180º. Langt nemmere er det at benytte Numeric Solver. Numeric Solver (kun TI-92 Plus) Tast O og der kommer en menu frem, der rummer de applikationer, der er i maskinen. Vælg her A: Numeric Solver: 11

13 Ligningen indtastes efterfulgt af, hvorefter der skal tildeles værdier til ligningens variabler og konstanter. Læg mærke til, at vi har sat bound til {0, 90} for at sikre, at den løsning, vi finder, ligger mellem 0º og 90º. Værdien 45 ud for a er et gæt på løsningen og med markøren ud for a tastes og solveren aktiveres: Numeric Solver kommer for alvor til sin ret hvis der skal løses en ligning, hvor det ikke er muligt at isolere den variabel, ligningen skal løses med hensyn til fx ved bestemmelse af den ukendte rente i en annuitetsopsparing. Løsning af ligningssystemer (kun TI-92 Plus) Med denne facilitet kan vi løse lineære ligningssystemer, ikke-lineære ligningssystemer og endda ligningssystemer, hvor der indgår parametre. Lad os som eksempel løse ligningssystemerne 2x y 1=0 y =3x 2 ax 1 der geometrisk svarer til at finde skærinspunkterne mellem en ret linje og en parabel, og 3x + 2y z =0 x + 3y + 4z =0 der geometrisk svarer til at finde skæringslinjen mellem to planer i rummet: 12

14 Vi bemærker, at hvis a 2, vil parablen og linjen altid vil have to skæringspunkter. Skæringslinjen mellem de to planer er givet ved en parameterfremstilling som parameter. Differentialregning Differentialkvotienter bestemmes ved at taste 2 = efterfulgt af et funktionsudtryk og den variabel, der skal differentieres med hensyn til: Vi kan også finde afledede af højere orden. Fx vil (f(x),x,2)give os den anden afledede: 13

15 Lad os også kort se på, hvordan TI-92 foretager numerisk differentiation: Vi ser, at TI-92 udregner en symmetrisk differenskvotient, hvilket ikke er helt i uoverensstemmelse med hvad vi er vant til. Det alligevel går alligevel altid godt, idet limit() rutinen finder grænseværdien både for h gående mod 0 fra venstre og for h gående mod 0 fra højre. Taylorpolynomier I det følgende vil vi vise, hvordan vi ved anvendelse af simple metoder kan få TI-92 til at finde taylorpolynomiet af højst 3. grad i udviklingspunktet 1 for funktionen f (x) =x 2 ln(x) +x +1: Ved at redigere indtastningslinjen kan taylorpolynomier af højere grad umiddelbart bestemmes. TI-92 har en indbygget rutine til bestemmelse af taylorpolynomier, der naturligvis også kan tage hånd om standardfunktioner 14

16 Integration TI-92 kan også integrere symbolsk såvel bestemt som ubestemt og med eller uden parametre. TI-92 kan integrere enhver integrabel funktion, hvis stamfunktionen kan udtrykkes ved de funktioner, TI-92 har indbygget. Syntaksen er <(udtryk,variabel [,nedre] [,øvre]) Bemærk den sidste linje. Det er altså ikke nogen fejl at vi har skrevet [,nedre] [,øvre] selvom det betyder, at enten nedre eller øvre kan udelades. Ganske smart, idet det giver os mulighed for at arbejde med en vilkårlig stamfunktion. 15

17 Første ordens differentialligninger, eksakt (kun TI-92 Plus) Småkager bages ved 225º. Når de tages ud af ovnen, stilles de til afkøling i et 20º varmt rum. Lader vi y(t) betegne småkagernes temperatur til tiden t, vil den hastighed, hvormed afkølingen sker, være bestemt ved differentialligningen: y '= k(y 20), hvor k er en konstant, og y(0) = 225. Vi skal nu forsøge at løse denne differentialligning eksakt. Hertil benytter vi værktøjet DeSolve (der findes under Calc eller blot indtastes direkte). Måske skulle vi lige tilføje, at y' indtastes som y 2 B: I den første udregning er ligningen løst uden bibetingelser af nogen art. I den anden udregning har vi tilføjet bibetingelsen y(0) = 225. Konstanten k kan bestemmes gennem målinger. Har man fx målt, at temperaturen er faldet til 150º efter 1 minut, kan k bestemmes og grafen for den løsningskurven tegnes: Sjældent går det så let som i eksemplet ovenfor. Ofte vil DeSolve kun give løsningen y til differentialligningen implicit, hvorefter Solve kan benyttes til at isolere x om alt går vel. 16

18 Første ordens differentialligninger, numerisk (kun TI-92 Plus) Af faldskærmsklubbers web-sider fremgår, at udspring sker fra 4000 meters højde og at faldskærmen først udløses i 1500 meters højde. Den maksimale fart er 50 m/s og den fart, jordoverfladen rammes med, svarer til den fart, der opnås ved et frit fald på 2 meter dvs. 6.3 m/s. For et frit fald med luftmodstand gælder kraftligning mv' = mg kv 2, hvor v er hastigheden til tiden t, m er massen og k en konstant, der bl.a. afhænger af form og størrelse af den faldende genstand. Vi antager, at m = 80 kg. Når den maksimale fart (50 m/s) nås, er v' = 0, og kraftligningen giver da umiddelbart, at k = kg/m. Omformet til en differentialligning i TI-92 syntaks bliver kraftligningen y' = g - k/m*y^2. Det kan lade sig gøre at løse denne ligning eksakt på TI-92, men det er ikke helt nemt, idet en masse forbehold skal tages. Vi vil i stedet gøre det med de numeriske værktøjer, der er til rådighed: Vi starter med at indstille grafformatet: Tast 3 og vælg som vist på det første skærmbillede nedenfor. Tast differentialligningen ind i # editoren: Udover differentialligningen har vi i # editoren indtastet startbetingelsen y(0) = 0, der svarer til, at starthastigheden ved springet er 0. Tast dernæst Ô (i # editoren) og vælg indstillinger, så vi får tegnet et SlopeField (SLPFLD) og benytter Eulers metode: 17

19 Vi ser, at løsningskurven nærmer sig asymptotisk til ca. 50, hvilket stemmer overens med det forventede. På det andet skærmbillede er anvendt det interaktive værktøj til begyndelsesbetingelser, der er til rådighed via Š. Ved at vælge FLDOFF i grafformatet og derefter vælge akser vha. - Axes i # editoren, er der nye muligheder: Det sidste skærmbillede viser, hvordan accelerationen (y1' ) afhænger af tiden. Vælges t og y1 som akser, får vi tegnet hastigheden som funktion af tiden men denne gang uden SlopeField. Stort set de samme resultater ville vi have opnået, hvis vi i stedet for Eulers metode havde valgt den mere nøjagtige Runge-Kutta metode. Koblede differentialligninger (kun TI-92 Plus) På en ø, hvor der er gulerødder nok, udsættes x kaniner og y ræve. Tilstedeværelsen af ræve vil begrænse kaninbestanden og tilstedeværelsen af kaniner vil sikre, at rævene ikke dør af sult. 18

20 Som model til beskrivelse af denne vekselvirkning opstillede Lotka og Volterra i 1925 følgende model: x' = ax bxy y' = cy + dxy hvor a, b, c og d er konstanter, der afhænger af pladsen på øen, hvor gode rævene er til at spise kaniner etc. Vi taster ligningerne ind i editoren, vælger Runge-Kutta metoden og vælger indstillingerne som vist nedenfor, bl.a. at der er 50 kaniner og 10 ræve til at begynde med: Det sidste skærmbillede viser et såkaldt faseportræt, hvor antallet af kaniner er afsat på x-aksen og antallet af ræve på y-aksen. Som indstilling af grafformatet er valgt DirFld (tast Ô i # editoren). Begge grafer viser, at systemet er i ligevægt. Anden ordens differentialligninger (kun TI-92 Plus) Vi lægger ud med at løse differentialligningen y'' = y 1/2. Først løser vi den uden bibetingelser, hvorved der intoduceres to arbitrære og dernæst med bibetingelserne y(0) = 0 og y'(0) = 0. Vi bemærker, at i begge tilfælde får vi kun y givet implicit. Med Solve værktøjet kan vi herefter bestemme y eksplicit. Dette er vist på det andet skærmbillede nedenfor. 19

21 At DeSolve kun giver løsningen implicit skyldes, at y ikke kan udtrykkes som funktion af x uden yderligere betingelser. Disse problemer får vi ikke, hvis vi løser en standardligning som fx 4y'' +4y' +5y = 0 med eller uden bibetingelser. Grafen for løsningskurven er tegnet i intervallet [0, 3π]: Kraftligningen mv' = mg kv 2 kan opfattes som en differentialligning af 2. orden, idet s' = v, hvor s er den tilbagelagte vejlængde til tiden t. For at løse denne differentialligning numerisk på TI-92 er det nødvendigt at opfatte ligningen som et system af 1. ordens differentialligninger (skrevet i TI-92 syntaks til højre): s' = v' y1'= y2 k v' = g m v 2 y2'= g - k/m*y2^2 Ligningerne tastes ind med bibetingelser og løsningskurven, der viser v som funtion af t, tegnes: Helt tilsvarende kan differentialligninger af højere grad løses numerisk. 20

22 Matricer TI-92 kan udføre en række matrixoperationer. For at give et indtryk af nogle af disse, viser vi nedenfor, hvordan man kan bestemme egenværdier og egenvektorer for en kvadratisk matrix. Matricer indtastes rækkevist med elementer separeret af komma og rækkerne separeret af semikolon. -16, ses vi, at (15, 8, 16) er en egenvektor hørende til egenværdien 1. Tisvarende findes egenvektorerne hørende til egenværdierne 6 og 7. Men det hele kan gøres meget nemmere vha. de indbyggede rutiner eigvl og eigvc: Vi bemærker, at TI-92 automatisk normerer de fundne egenvektorer. Den egenvektor, vi fandt ovenfor, er altså sidste søjle i matricen c. Nederst ser vi, at matricen c diagonaliserer matricen a havde maskinen ikke normeret egenvektorerne, ville der stå 0 i stedet for -1. ª12 og 1. ª12. 21

23 Regression TI-92 har et væld af værktøjer indbygget til dataanalyse og er udstyret med en Data/Matrix-editor (findes under O), der gør arbejdet menustyret og meget fleksibelt. Vi giver her en lille smagsprøve. Antag, at vi har to (små) sæt af data og vil checke, om der er en lineær sammenhæng mellem disse. Nedenfor er data indtastet i Data/Matrixeditoren: Under Calc finder vi værktøjerne, hvor lineær regression vælges: - og resultatet af regressionen vises: Vi kan også lave et grafisk check af den lineære sammenhæng: 22

24 Sandsynlighedsfordelinger brugerdefinerede funktioner og menuer Sandsynlighedsfordelinger er ikke implementeret i TI-92, men det er en smal sag selv at gøre det endda sådan, at de er let tilgængelige. Vi viser, hvordan binomial- og normalfordelingen kan implementeres. De to sidste funktioner kræver, at nf og invnf er tilstede i maskinen. nf er en approksimation til standardnormalfordelinen og invnf dens inverse. De to funktioner kan findes i matematiske håndbøger og indtastes i Program Editor (findes under O): 23

25 Med et simpelt program distr() kan vi oprette vor egen oversigt over funktioner og syntaksbeskrivelser: Når programmet distr() afvikles og der trykkes på [Custom], stilles menuerne til rådighed: Der er masser af andre muligheder for brug af Custom: Fx menuer for specialtegn, hyppigt benyttede programmer etc. Der er rige muligheder for at lave egne programmer i det programmeringsværktøj, er indbygget i TI