Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft"

Transkript

1 Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af kaldet LiP). Jeg har i de fleste tilfælde benyttet samme notation som i LiP, men der er et par steder, hvor jeg har valgt at afvige fra denne. Især er betegnelserne for typer af spil ændret, da de kommer fra forbogstavet i navnet på typen, og da disse navne er blevet oversat til dansk, fandt jeg det mere naturligt også at ændre betegnelserne (samtidig er L generelt ændret til V og R til H de steder, hvor bogstavet står for henholdsvis venstre og højre). Derudover benytter jeg G V og G H for mængderne af henholdsvis venstre- og højremuligheder i spillet G, hvor LiP benytter G L og G R, mens G L og G R der benyttes for et givet spil i en af disse mængder. Disse noter er beregnet til at kunne læses af en gymnasieelev. Dog benyttes der en smule om mængder, og der forventes en smule kendskab til induktion. Appendiks A er en meget kort introduktion til mængder, som indeholder tilstrækkeligt til at forstå disse noter. Appendiks B er en introduktion til induktion. Appendiks C indeholder spilleregler til de spil, der benyttes som eksempler i disse noter. Hvismanefterathavelæstdissenoterharfået lysttilatvidemereomemnet,kanlipanbefales, selvom det bør nævnes at den er skrevet til folk med noget større matematisk baggrund (svarende til 1- års universitetsstudier). Ideen er, at man læser disse noter inden QGM Math Club. Forelæsningerne vil så gennemgå visse dele i detaljer, og man har derfor forhåbentlig en god ide om hvad emnet handler om inden øvelserne. Som minimum bør introduktionen læses. Mens du læser disse noter bør du lave en liste over de definitioner og den notation der indføres. Denne liste vil være en stor hjælp når du skal løse opgaver. Til sidst en beroligende kommentar: Selvom det forventes at du læser disse noter, forventes det langt fra at du kan huske det hele udenad (der er trods alt en hel del at læse). Det vigtigste er at du får en fornemmelse for, hvad et kombinatorisk spil er. Introduktion.1 Kombinatoriske spil Kombinatoriske spil er spil for to personer, hvor der ikke er nogen form for tilfældighed indvolveret. Dette vil sige at der ikke er nogen terninger eller lignende, at der ikke er information, som kun er til rådighed for den ene af spillerne, og at spillerne skiftes til at have tur. Vi vil få en mere præcis 1

2 definition af, hvad et kombinatorisk spil er senere, men for nu vil vi se på nogle eksempler. Vi giver eksempler både på kombinatoriske spil og på spil, som ikke er kombinatoriske, da dette vil give en bedre ide om hvad der kræves af et kombinatorisk spil. Typiske eksempler på kombinatoriske spil inkluderer skak, Go, dam, mølle, Hex, kryds og bolle, og fire på stribe. Eksempler på spil, som ikke er kombinatoriske er: Backgammon: Dette er ikke et kombinatorisk spil, da en spillers muligheder afgøres af et terningslag hver tur, hvilket giver et element af tilfældighed. Sænke Slagskibe: Dette er ikke et kombinatorisk spil, da hver spiller kun kender positionen af sine egne skibe (dette er hele pointen med spillet). Sten-Saks-Papir: Dette er ikke et kombinatorisk spil, da de to spillere tager deres tur samtidig, i stedet for at skiftes. Kinaskak (med 3 spillere): Dette er ikke et kombinatorisk spil, da der er 3 spillere i stedet for. Et yderligere eksempel på et kombinatorisk spil, som vil blive benyttet adskillige gange i disse noter er spillet Domineering. Reglerne er at finde i appendiks C. Et meget simpelt eksempel på hvordan et spil Domineering kan foregå er følgende (vi skriver V for at indikere at den spiller, som placerer vertikalt, tager et træk, og vi skriver H for at indikere at den spiller, som placerer horisontalt, tager et træk). V H V hvor den spiller, der spiller horisontalt, taber, da han ikke har nogen lovlige træk, og det er hans tur til at trække. Hvis det i stedet var den anden spiller, der startede, kunne spillet se således ud H hvorved den spiller, der spiller vertikalt, taber, da han ikke har nogen lovlige træk (på trods af at der her er masser af tomme felter). Inden du læser videre bør du gøre følgende: Spil nogle spil Domineering (for eksempel startende med et 6 gange 6 bræt), enten mod dig selv eller mod en anden. Efter at have spillet nogle spil Domineering skulle du gerne have bemærket at spillebrættet, efter et passende antal ture, har en tendens til at blive opdelt i mindre dele. Dette er et vigtigt koncept, som vi vil udforske nærmere senere. En ting, som måske vil virke lidt mærkelig i første omgang er, at når vi studerer kombinatoriske spil vil vi betragte hver position i et kombinatorisk spil som et kombinatorisk spil i sig selv. Så for eksempel når første spiller har foretaget et træk i Domineering opstår der en position, som vi kan analysere som om det var et kombinatorisk spil, uden at tage hensyn til at det er opstået som en position efter første træk i et andet spil. Dette betyder at vi, når vi analyserer et spil, ikke kan antage at en bestemt af spillerne har tur. Grunden til at dette er det rigtige at gøre er, at når et spil splitter op i mindre dele, sådan som Domineering for eksempel har en tendens til, vil vi gerne kunne analysere hver af disse små dele

3 hver for sig, og vi kan ikke på forhånd sige noget om hvilken spiller der kommer til at foretage det første træk i den givne del. Inden vi går videre vil vi nu præcisere hvad et kombinatorisk spil er. Som allerede nævnt er det et spil for spillere, hvor spillerne skiftes til at tage sin tur, hvor der ikke er nogen tilfældigheder (mere præcist vil dette sige at man kan forudsige nøjagtigt hvad der vil ske hvis man foretager et bestemt træk), og hvor al information er tilgængelig til begge spillere (så ud over at der ikke må være information, som kun den ene spiller har, må der heller ikke være information som ingen af spillerne kender). Et kombinatorisk spil må heller ikke indvolvere nogen form for fysiske evner (så det eneste der kræves for at foretage et træk er at det er lovligt. Man vil aldrig være ude af stand til at foretage et træk fordi det er for svært, så spil såsom tennis er ikke kombinatoriske). Udover disse krav skal spillet være endeligt. Det vil sige, at der altid er et endeligt antal mulige træk, og at spillet ikke kan fortsætte i det uendelige. Teknisk set betyder dette, at vi burde udelukke visse af de spil, der allerede er blevet nævnt (det er for eksempel muligt at få spillet til at køre i ring i Go og dam, så det aldrig slutter), men i sådanne tilfælde kan man beslutte en måde at afgøre spillet hvis det ender i en uendelig lykke (dette er for eksempel grunden til at man i skak har en regel der siger, at spillet er uafgjort, hvis nok træk er blevet foretaget uden at enten en bonde er blevet flyttet, eller en brik er blevet taget). Yderligere vil vi altid antage at spillet slutter når den ene spiller ikke har et lovligt træk, og denne spiller taber. De fleste velkendte spil spilles ikke på denne måde, men for det meste er det simpelt at ændre dette, ved at sige at hvis man har tabt, så har man ikke nogen lovlige træk (hvis spillet afgøres på point er man nødt til at være lidt mere kreativ. Vi vil se senere hvordan man kan klare dette). Bemærk at denne måde at spille på udelukker muligheden for uafgjort, hvilket egentlig burde udelukke en del af de velkendte spil. Der er forskellige måder at omgå dette på, men vi vil ikke gå i detaljer med disse. De spil vi vil analysere i disse noter vil altid opfylde ovenstående krav.. Spillerne og typer af spil Siden et kombinatorisk spil har spillere, vil vi vælge faste navne til dem. I disse noter vil de to spillere hedde Venstre og Højre (eller bare V og H, hvilket så stemmer overens med at den spiller i Domineering, som spiller vertikalt er V, og den spiller, som spiller horisontalt, er H). Vi vil også bruge betegnelsen Næste om den spiller, der har tur, og Foregående om den spiller, som ikke har tur (som lige har haft tur). Disse forkortes N og F. Når vi analyserer et spil vil det første spørsgmål vi stiller for det meste være hvem kan vinde? Eller med andre ord hvem har en vindende strategi? En spiller siges at have en vindende strategi hvis han, uanset hvad modstanderen gør, kan vinde (så for hvert træk modstanderen laver har han et modtræk). I et kombinatorisk spil vil der altid findes en vindende strategi for en af spillerne, men hvilken spiller kan afhænge af hvem der har tur. Vi får nu en naturlig opdeling af kombinatoriske spil i forhold til hvem der har en vindende strategi: Venstre har en vindende strategi, uanset om han er Næste eller Foregående. Sådanne spil siges at være Type V. Disse spil kaldes også positive. Højre har en vindende strategi, uanset om han er Næste eller Foregående. Sådanne spil siges at være Type H. Disse spil kaldes også negative. 3

4 Næste har en vindende strategi, uanset om han er Venstre eller Højre. Sådanne spil siges at være Type N. Disse spil kaldes også uklare. Foregående har en vindende strategi, uanset om han er Venstre eller Højre. Sådanne spil siges at være Type F. Disse spil kaldes også nul-spil (eller bare nul). Det er ikke helt oplagt at overstående faktisk er samtlige muligheder. For eksempel, hvad med muligheden for at Venstre har en vindende strategi hvis han er Næste, men ellers har Højre en vindende strategi? Men bemærk at hvis ikke Venstre er Næste, så er Højre Næste, så dette scenarie er et spil af Type N. Tilsvarende vil alle andre muligheder som disse være dækket af ovenstående. Du bør også nu tage et øjeblik og overveje, at der ikke er noget overlap i ovenstående typer, altså at det ikke kan lade sig gøre for et spil at være af mere end en type. Begrundelserne for de alternative navne til overstående spiltyper (positive, negative, uklare og nul) vil blive forklaret senere (der er faktisk en god grund). Inden vi går videre vil vi se på et eksempel for et spil af hver af de fire typer. Disse eksempler er alle positioner i Domineering (du bør verificere at de givne spil faktisk er af den påståede type). er af type V er af type H er af type N er af type F Opgave.1. Find en Domineering-position af hver type (og forskellig fra de ovenstående). Opgave.. Betragt følgende Domineering-position: 1. Find samtlige måder spillet kan forløbe på, uanset hvem der starter.. Find typen af spillet. Opgave.3. Find typen af følgende Clobber-positioner (Hint: Bemærk at den spiller, der ikke starter, hele tiden kan foretage træk, som er symmetriske med den anden spillers træk). 4

5 .3 Muligheder Som allerede nævnt vil vi betragte positionerne i et kombinatorisk spil som værende kombinatoriske spil. Ligeledes vil vi betragte et træk i et kombinatorisk spil som værende et kombinatorisk spil (vi identificerer et træk med den position trækket resulterer i). Hvis G er et kombinatorisk spil vil vi lade G V og G H betegne de mulige træk for henholdsvis VenstreogHøjre. Ilysetafoverstående betyderdettesåat G V ogg H ermængderaf kombinatoriske spil. Disse mængder kaldes (henholdsvis venstre- og højre-)mulighederne i G. Hvis for eksempel G er Domineering-positionen så er G V = { } og G H = { }, mens hvis G er positionen så er G V = G H = { }. Vi vil nu give en beskrivelse af hvilken type spillet G er, baseret på hvilke typer af spil der findes i G V og G H. G er af type V netop hvis der findes et spil i G V af type enten V eller F, og samtlige spil i G H enten er af type V eller af type N. G er af type H netop hvis samtlige spil i G V enten er af type H eller af type N og der findes et spil i G H af type enten H eller F. G er af type N netop hvis der findes et spil i G V af type enten V eller F og der findes et spil i G H af type enten H eller F. G er af type F netop hvis samtlige spil i G V er af type enten N eller H og samtlige spil i G H er af type enten N eller V. Vi vil ikke gennemgå et fuldt bevis for ovenstående, men lad os for en god ordens skyld tage et af tilfældende: Type V. Kravet er nu at Venstre skal kunne vinde, uanset om det er hans tur eller ej. Hvis det er hans tur skal han altså have mulighed for at rykke til et spil, hvor Venstre vinder når han ikke har tur. De spil der opfylder dette er netop dem af type V eller F. Hvis Venstre ikke har tur må Højre altså ikke kunne rykke til andet end spil, hvor Venstre vindes hvis han har tur. Det vil sige at de eneste spil Højre må kunne rykke til er dem af type V eller af type N. Dette viser at hvis G er af type V, så må mulighederne i G være som beskrevet i listen. Hvis på den anden side mulighederne i G er som beskrevet, så ser vi at Venstre har en vindende strategi: Hvis det er Venstres tur, så vælger han et træk af type enten V eller F (og vi har jo antaget at han har en sådan mulighed), hvorved han kan vinde. Hvis det er Højres tur, så kan han ikke vinde lige meget hvad han gør, da han jo kun kan rykke til spil af type V eller N (og disse vindes jo af Venstre når det er Venstre der har tur). Opgave.4. Verificer at beskrivelsen af de resterende typer også er korrekt..4 Addition af spil Hvis du nu har spillet nogle spil Domineering, opdagede du forhåbentlig at spillet ofte ender med at blive opdelt i mindre dele efterhånden som brættet fyldes op. Denne form for opdeling er hvad vi vil forsøge at udnytte til lettere at kunne analysere spil. 5

6 For at gøre dette, vender vi på sin vis problemet på hovedet. I stedet for at kigge på hvad der sker, hvis et spil deles op i mindre dele, vil vi starte med de mindre dele og samle dem til et større spil. Måden at sætte spil sammen på er som sådan meget enkel: Læg de to spil ved siden af hinanden. En spiller foretager et træk i dette nye spil ved at foretage et træk i præcis et af de oprindelige spil. Vi vil kalde dette nye spil summen af de to mindre spil, og hvis G 1 og G er de to spil vi lægger sammen, så betegner vi summen G 1 G. Dette svarer til den opdeling man kan se i Domineering. Hvis spillebrættet er blevet opdelt i to dele er spillet netop summen af disse dele. Dette betyder at vi for eksempel bare har = Vi vil nu give en beskrivelse af typen af G 1 G i forhold til typerne af G 1 og G. I visse tilfælde kan vi fuldstændig beskrive typen, mens vi i andre tilfælde er nødt til at nøjes med en ufuldstændig beskrivelse. V H N F V V ukendt V eller N V H ukendt H H eller N H N V eller N H eller N ukendt N F V H N F Nogle ting der bør bemærkes ved ovenstående: Hvis G er af type F, så er typen af G 1 G den samme som typen af G 1. Dette betyder at når vi lægger spil sammen, så ændrer det ikke noget hvis vi lægger et spil af type F til. Dette er grunden til at disse spil også kaldes nul-spil. Bemærk også at de steder, hvor det er sværest at sige noget om typen af G 1 G er hvor enten det ene spil er af type V og det andet er af type H, eller hvor det ene af spillene er af type N og det andet ikke er af type F. Specielt er det eneste tilfælde hvor vi på forhånd kan sige hvad typen af G 1 G vil være, når G 1 er af type N, hvis G er af type F. Dette er grunden til at spil af type N kaldes uklare (da det er uklart hvad der sker når man lægger dem til andre spil). Begrundelsen for at spil af type V og H kaldes henholdsvis positive og negative kommer til at vente lidt endnu. Lad os nu se på eksempler der viser at ovenstående ikke er mangelfuldt, altså at i de tilfælde, hvor der ikke er en komplet beskrivelse af typen af en sum, så er det faktisk muligt at få alle de nævnte typer. Hvis vi for et øjeblik misbruger notationen lidt og skriver spil som deres typer, skal vi finde eksempler på følgende (bemærk at når vi har haft eksempler på alle typer for VH så har vi også eksempler for HV): V H = V: V H = H: V H = N: 6

7 V H = F: V N = V: V N = N: HN = H: HN = N: N N = V: N N = H: N N = N: N N = F: Opgave.5. Verificer at ovenstående faktisk er eksempler på det påståede. Opgave.6. Find typen af Domineering-positionen..5 Identifikation af spil Som allerede nævnt er det første spørgsmål vi vil stille om et givet spil hvilken type det har. Men vores analyse vil ofte være begrænset til at kigge på de enkelte dele af spillet, en ad gangen, og som vi kan se fra tabellen i foregående sektion, så er det ikke nok at kende typerne af de spil, der indgår i en sum, for at kende typen af summen. Dog er der en undtagelse til dette. Hvis et spil er af type F, så er det underordnet hvilken sum det indgår i, da det ikke ændrer på typen af summen hvis man fjernede det. Vi vil derfor identificere alle spil af type F med hinanden, og blot kalde dem alle for 0. Vi kan bygge lidt videre på denne ide. Hvis G er et spil vil vi definere et spil der kaldes G, på en sådan måde at G G = 0 (altså sådan så G G er af type F). Måden vi definerer dette spil på er simpel: Vi bytter bare om på de to spillere. På denne måde vil summen blive af type F, da den spiller, der ikke starter, altid kan efterabe det træk, den anden laver. For eksempel, hvis G er et spil Domineering, så er G det samme spil, roteret 90 grader. På denne måde ser vi at for eksempel er =. 7

8 Med denne definition kan vi nu tage vores identifikation af spil en tand videre, og identificere to spil G 1 og G hvis G 1 G (vi vil fra nu af blot skrive dette som G 1 G ) er af type F. Dette giver fin intuitiv mening (i det mindste når vi bare ser på notationen), da vi jo er vant til at a = b hvis og kun hvis a b = 0, og vi har netop sagt at vi idenficerer G 1 og G hvis G 1 G = 0. Vi vil fra nu af endda skrive G 1 = G når G 1 G = 0. Vi får nu for eksempel følgende identifikationer: = = Opgave.7. Verificer overstående identifikationer. = Opgave.8. Vis at = (husk at = ).6 Positive og negative spil Vi er nu nået dertil, hvor vi kan forklare hvorfor spil af type V kaldes positive og spil af type H kaldes negative. Desværre vil forklaringen muligvis ikke være særlig tilfredsstillende. Hvis G er et spil vil vi nemlig skrive G > 0 hvis G er af type V, og G < 0 hvis G er af type H. Det er nu klart hvorfor vi vil kalde disse spil positive og negative, men vi har ikke rigtig gjort andet end at indføre noget notation. Vi vil derfor prøve at gøre denne notation naturlig. Vi er vant til at hvis a b så er også ac bc uanset hvad c er. Vi er også vant til at hvis a b og c d så er ac bd. Da vi jo allerede har en addition af vores spil ville det være rart hvis de samme regler galdt for spil. Men indtil nu har vi kun defineret < og > (i stedet for og ), og vi kan indtil nu kun sætte 0 på højresiden af en ulighed. For at råde bod på dette må vi arbejde lidt. Først vil vi udvide < og > sådan så man kan have vilkårlige spil på begge sider. Husk at vi er vant til at a < b gælder hvis og kun hvis a b < 0 (og tilsvarende for >). Da vi jo i foregående sektion definerede en måde at trække spil fra hinanden på virker det oplagt at prøve at definere < og > for spil via denne egenskab. Så hvis G 1 og G er spil skriver vi G 1 < G hvis G 1 G < 0 (altså hvis forskellen har type H). Tilsvarende skriver vi G 1 > G hvis G 1 G > 0 (altså hvis forskellen har type V). Bemærk at vi nu har G < 0 hvis og kun hvis G > 0. For at udvide til også at få og gør vi som man også gør for tal: Vi skriver G 1 G hvis enten G 1 < G eller G 1 = G, og tilsvarende for. Bemærk at der findes spil G 1 og G, sådan så ingen af G 1 < G, G 1 = G eller G 1 > G gælder (for eksempel hvis G er af type F og G 1 er af type N). Når dette er tilfældet skriver vi G 1 G og siger at G 1 og G er usammenlignelige. Nogle specifikke eksempler på usammenlignelige spil er at og, mens der til gengæld gælder at <. 8

9 Nu da vi har defineret og vil vi gerne undersøge om disse så også opfylder de egenskaber vi startede med at betragte (spørgsmålet er altså: Givet tre spil G 1, G og G 3 med G 1 G, har vi G 1 G 3 G G 3? Og givet fire spil G 1, G, G 3 og G 4 med G 1 G og G 3 G 4, har vi G 1 G 3 G G 4?). Svaret på overstående spørgsmål er heldigvis ja, så lad os formulere dette som en sætning og bevise den. Sætning.9. Lad G 1, G, G 3 og G 4 være spil. 1. Hvis G 1 G så er G 1 G 3 G G 3.. Hvis G 1 G og G 3 G 4 så er G 1 G 3 G G 4. Bevis. 1. Vi antager altså at G 1 G, og vi vil gerne vise at G 1 G 3 G G 3. Per definition betyder dette at vi skal vise at G 1 G 3 G G 3 0. Men vi kan ændre på rækkefølgen i summen uden at det gør noget, så vi kan skrive dette som G 1 G G 3 G 3 0. Men nu er venstresiden netop G 1 G, og G 1 G 0 er jo det samme som G 1 G, som var vores antagelse, så vi er færdige.. Vi antager at G 1 G og G 3 G 4, og vi vil vise at G 1 G 3 G G 4. Vi skal altså vise at G 1 G 3 G G 4 0. Igen kan vi ændre på rækkefølgen hvilket giver (G 1 G ) (G 3 G 4 ) 0. Per antagelse er G 1 G og G 3 G 4 begge af type enten H eller F (dette er jo definitionen af G 1 G og G 3 G 4 ), og det vi skal vise er at deres sum er af type enten H eller F, men dette er klart hvis man kigger på tabellen på side 6. Opgave.10. Vis at hvis G 1, G og G 3 er kombinatoriske spil med G 1 G og G G 3 så er G 1 G 3. (Hint: Husk at G G = 0). Opgave.11. Vis følgende uligheder mellem Domineering-positioner. 1. < 0. > 0 3. < 3 Mere formelt 3.1 Formel definition af kombinatoriske spil Nu da vi har en god fornemmelse for hvad et kombinatorisk spil er for en størrelse, vil vi starte forfra med definitionen. Denne gang vil vi gøre alting mere formelt og matematisk. Dette vil have to konsekvenser: Den første er at det vil blive meget nemmere for os at bevise ting om sådanne spil. Den anden er at vi i definitionen hurtigt mister fornemmelsen for hvad tingene i virkeligheden 9

10 repræsenterer (altså spil), hvilket er hvorfor vi først giver den formelle definition nu, hvor vi har fået denne fornemmelse. Ideen bag den matematiske definition er at et kombinatorisk spil er bestemt ved hvilke muligheder Venstre og Højre har. Definition 3.1. Et kombinatorisk spil er en ting af form G = {G V G H } hvor G V og G H er endelige mængder, sådan så alle elementer i G V er kombinatoriske spil og alle elementer i G H er kombinatoriske spil. En del der læser dette vil nok tænke Hov stop! Den går da ikke, da vi jo nu tilsyneladende skal bruge et kombinatorisk spil for at definere et kombinatorisk spil. Og det er der selvfølgelig noget om. Grunden til at dette er i orden er at kravet er at alle elementerne i de to mængder skal være kombinatoriske spil, men der er ikke noget krav om at der skal findes elementer i nogen af de to mængder. Det vil sige, at hvis G V = G H =, så er {G V G H } et kombinatorisk spil. Dette er et meget simpelt kombinatorisk spil, da ingen af de to spillere har nogen lovlige træk, men det er dog et kombinatorisk spil. Faktisk kan vi let finde et spil Domineering med disse G V og G H, nemlig spillet. Siden vi nu har et kombinatorisk spil, kan vi benytte dette til at konstruere yderligere spil. På denne måde får vi spillene 0 = { } 1 = {0 } 1 = { 0} = {0 0} Bemærk at hvis der kun er et enkelt element G 1 i G V eller G H, så skriver vi blot G 1 i stedet for {G 1 } i G. Generelt vil vi forsøge at undgå for mange par af {} indeholdt i hinanden, så vi vil benyttefølgendenotation: Erstat{G 1,G,...,G n }medg 1,G,...,G n,såforeksempel{{g 1,G } {G 3,G 4 }} bliver til {G 1,G G 3,G 4 }. De ovenstående spil kan realiseres som Domineering spil som følger (check selv at disse er korrekte): 0 =, 1 =, 1 = og =. Vi kan nu skrive Domineering-positionen formelt som = { }. Nu har vi så 4 kombinatoriske spil at arbejdemed, og vi kan benytte disse til at skabe yderligere spil. På en måde bliver spillene mere og mere indviklede når vi gør dette (der skal foretages flere og flere af disse skridt for at kunne definere de næste spil). For at kunne gøre denne kompleksitet mere præcis vil vi indføre fødselsdagen for et spil som følger. Definition 3.. Lad G = {G V G H } være et kombinatorisk spil. Vi definerer fødselsdagen for G, skrevet fd(g) som følger: Hvis G = { } er fd(g) = 0. Ellers er fd(g) = m 1 hvor m den største fødselsdag blandt spillene i G V G H. Nu har vi så at alle de spil der er defineret ovenfor (pånær 0) har fødselsdag 1. Man kunne nu fortsætte ved at skrive alle de spil ned, der har fødselsdag. Men dette ville allerede blive uoverskueligt, da der umiddelbart er 5 muligheder for spil med fødseldag (man skal vælge en mængde af spil til hver af G V og G H, og der er 16 muligheder for at vælge en delmængde af de fire spil med fødselsdag 0 eller 1, hvilket giver 56 spil, hvoraf 4 har fødselsdag 0 eller 1, så disse 10

11 skal trækkes fra). Dog viser det sig at mange af disse spil faktisk vil være ens (vi definerer den formelle identifikation af kombinatoriske spil lidt senere, men den er essentielt set den samme som vi benyttede i den mindreformelle del), og at der kuner forskellige. Men dette er stadig betydelig flere spil end vi har lyst til at skulle skrive ned her. Vi kan nu definere addition af kombinatoriske spil på en mere formel måde. Når du læser definitionen, så husk hvad den egentlig betyder. Det er stadig intuitivt den samme definition som vi havde tidligere, vi har bare oversat dette til den nye notation. For at lette notationen vil vi benytte følgende konvention: Hvis G er et spil og A = {A 1,A,...,A n } er en mængde af spil, så skriver vi GA = {GA 1,GA,...,GA n }. Hvis A er tom, så er GA også tom per konvention. Definition 3.3. Lad G 1 = {G V 1 GH 1 } og G = {G V GH } være kombinatoriske spil. Vi definerer G 1 G = {(G 1 G V ) (GV 1 G ) (G 1 G H ) (GH 1 G )} Ligesom da vi definerede kombinatoriske spil, har vi nu benyttet additionen af kombinatoriske spil til at definere addition af kombinatoriske spil. Denne gang er det i orden siden i alle de summer, der skal udregnes ifølge definitionen, vil summen af fødselsdagene for de to summander være mindre end summen af fødselsdagene for G 1 og G (så da vi godt kan lægge spil med fødselsdag 0 sammen, kan vi antage at vi ved hvordan man lægger spil sammen når summenaf deres fødselsdage er mindre end fd(g 1 )fd(g ), og dette er nok til at lægge G 1 og G sammen). Vi vil gerne beholde den identifikation af kombinatoriske spil, som vi indførte tidligere. Men nu vil vi gerne gøre det hele lidt mere formelt, så vi skal have defineret G for et kombinatorisk spil G, denne gang hvor G er givet som i den formelle definition. Igen vil vi lette notationen ved at benytte følgende konvention: Hvis A = {A 1,A,...,A n } er en mængde af kombinatoriske spil, så skriver vi A = { A 1, A,..., A n }. Definition 3.4. Lad G = {G V G H } være et kombinatorisk spil. Vi definerer G = { G H G V }. Endnu en gang har vi defineret noget rekursivt, men igen er det hele i orden da ovenstående giver fin mening hvis G = { } (hvor vi bare får G = G). Og da alle spil i G V og G H har mindre fødselsdag end G, kan vi benytte et tilsvarende argument som da vi definerede addition. Da vi definerede vores identifikation af spil benyttede vi at spil af type F opførte sig som 0 i forhold til addition. For at kunne definere denne identifikation nu har vi altså brug for at vide hvordan man finder typen af et spil når det er givet på den formelle måde. Men dette klares let ved at se på beskrivelsen på side 5 og simpelt hen benytte denne beskrivelse som vores definition. Definition 3.5. Lad G = {G V G H } være et kombinatorisk spil. G siges at være af type V hvis der findes et spil af type enten V eller F i G V og samtlige spil i G H er af type enten V eller N. H hvis samtlige spil i G V er af type enten H eller N og der findes et spil i G H af type enten H eller F. N hvis der findes et spil i G V af type enten V eller F og der findes et spil i G H af type enten H eller F. F hvis samtlige spil i G V er af type enten H eller N og samtlige spil i G H er af type enten V eller N. 11

12 Som i de andre definitioner benytter vi at fødselsdagene for spillene i G V og G H er mindre end fd(g), og at spillet 0 klart opfylder den sidste betingelse, så dette er af type F. Vi kan nu definere vores identifikation præcis som vi gjorde det oprindeligt. Hvis G 1 og G er kombinatoriske spil skriver vi G 1 = G hvis G 1 G er af type F (hvilket vi også skriver G 1 G = 0). Det er vigtigt at huske at vi fra nu af bruger = på denne måde, så to spil G 1 = {G V 1 GH 1 } og G = {G V GH } kan godt opfylde G 1 = G selvom der ikke gælder G V 1 = GV og GH 1 = GH (disse mængder behøver ikke engang have samme størrelse). Vores ulighed fra tidligere kan også defineres på præcis samme måde (husk, at vi definerede G 1 < G til at betyde at G 1 G var af type H og tilsvarende for de andre mulige uligheder). Opgave 3.6. Betragt spillene med fødselsdag 0 og 1 (altså spillene 0, 1, 1 og ). Vis at der gælder 1 < 0 < 1 og 1 < < 1 men at 0 og er usammenlignelige. Opgave 3.7. Opskriv følgende Domineering-positioner i den formelle notation Tal Vi har allerede set eksempler på kombinatoriske spil, der opfører sig som tal, nemlig spillene 1 og 1. Med at opføre sig som tal menes at hvis spillet 1 lægges til et andet spil, så har Venstre netop et ekstra træk i denne sum i forhold til hvad han havde før (hvilket han naturligvis vil være glad for). Mere generelt, hvis n er et naturligttal kan vi definerespillet n = {n 1 } (hvor n 1er spillet n 1 som igen er defineret via spillet n og så videre, indtil vi kommer til spillet 0 = { }). Tilsvarende kan vi definere spillet n = { (n 1)}. Ligesom for spillet 1 vil Venstre nu få n ekstra træk i et spil hvis man lægger spillet n til. Disse spil kan nu bruges som en analog til point. Hvis et spil bliver afgjort på point, så kan man hver gang en spiller får et antal point, lægge det tilsvarende antal point til i form af spillet n, hvor n er antallet af point hvis det er point til Venstre, og i form af spillet n hvis det er point til Højre. At dette ikke vil gøre andet ved spillet end at svare til at den pågældende spiller har fået et antal point følger af Sætning 3.19 (som siger at spillerne ikke har nogen grund til at benytte disse tilføjede spil til at foretage deres træk). Men der er faktisk også spil, som opfører sig på samme måde som disse, men svarende til brøker. For eksempel kan vi definere spillet 1 = {0 1}. Men hvorfor giver det mening at kalde dette spil for 1? Får Venstre et halvt ekstra træk hvis dette spil lægges til? På en måde er dette netop hvad der sker: Halvdelen af gangene dette spil lægges til vil Venstre få et ekstra træk, og halvdelen af gangene vil han ikke (dette er selvfølgelig noget løst sagt). Men vi kan komme med yderligere gode grunde til at dette spil skal kaldes 1 : For det første har vi 0 < 1 < 1, og for det andet har vi 1 1 = 1. Så i disse henseender opfører det sig i hvert fald 1

13 som det burde. Desværre gælder disse samme ting for spillet 1, så vi er nødt til at gøre lidt mere for at retfærdiggøre at vi kalder det 1. Vi vil derfor definere mere abstrakt hvad det vil sige for et kombinatorisk spil at være et Tal. Bemærk at når vi skriver Tal (med stort T), så mener vi et kombinatorisk spil, som opfylder nedenstående definition, mens vi med tal vil mene et tal i den sædvanlige forstand (på denne måde undgår vi misforståelser). Definition 3.8. Et kombinatorisk spil G = {G V G H } siges at være et Tal hvis der for ethvert spil G 1 i G V og ethvert spil G i G H gælder at G 1 og G er Tal og G 1 < G < G. Denne definition kræver nok noget forklaring. For det første giver den igen kun mening fordi spillene i G V og G H har mindre fødselsdag end G. Men hvorfor er dette overhoved en logisk måde at definere et Tal på? Ideen bag definitionen er at vi gerne vil have at de spil, som er Tal, på en eller anden måde hører sammen. Så vi vil helst ikke skulle forlade verdenen af Tal ved at foretage et træk i et Tal. Dette er grunden til kravet om at samtlige spil i både G V og G H er Tal. Grunden til at den givne ulighed kræves er den intuitive ide, at hvis spillet skal tilføje et antal træk til den ene eller den anden spiller, så må disse ekstra træk opbruges når man foretager et træk i spillet, og at opbruge et træk svarer til at nærme sig 0 (hvis for eksempel G > 0 og G 1 > 0 svarer G 1 < G jo til at G 1 er tættere på 0 end G er). Man kan også vise (men det vil vi ikke gøre her) at hvis G 1 og G er Tal, så er enten G 1 G eller G G 1 (så vi kan altid sammenligne Tal), og samtidig er G 1 og G 1 G også Tal (alle disse egenskaber er klart ting vi bør kræve hvis noget skal kunne kaldes Tal). En yderligere begrundelse for at ovenstående er en god definition af Tal er, at der findes en måde at gange Tal sammen på (se Opgave 3.14), og hvis man tager mængden af alle Tal, med vores addition og denne multiplikation, så får man noget der opfører sig præcis som de rationelle tal, hvor nævneren er en potens af (og hvis man fjerner kravet om at mængderne G V og G H er endelige får man samtlige reelle tal, plus en masse ekstra). Opgave 3.9. Vis at hvis n er et naturligt tal, så er spillene n og n (defineret tidligere) Tal. Opgave Vis at spillet 1 (defineret tidligere) er et Tal. Opgave Find Tal G 1 og G så spillet G = {G 1 G } er et Tal med 0 < G < 1 GG = 1. og sådan så Opgave 3.1. Vis at hvis n er et naturligt tal så er n( n) = 0 (som kombinatoriske spil). Opgave Vis at { } = 1. Opgave Hvis G 1 = {G V 1 GH 1 } og G = {G V GH } er Tal, vil vi definere en multiplikation af G 1 og G ved følgende. Husk konventionerne fra da vi definerede addition. Vi vil yderligere udvide denne konvention til summer of produkter med mængder på begge sider ved at lade AB være foreningen af alle mængderne a B for elementer a A (og tilsvarende for produkter). Så for eksempel er {a 1,a }{b 1,b } = {a 1 b 1,a 1 b,a b 1,a b }. (G 1 G ) V = G V 1 G G 1 G V G V 1 G V G H 1 G G 1 G H G H 1 G H (G 1 G ) H = G V 1 G G 1 G H G V 1 G H G 1 G V G H 1 G G H 1 G V 13

14 1. Vis at der for ethvert Tal G gælder at 0 G = 0.. Vis at der for ethvert Tal G gælder at 1 G = G. (Hint: Lav induktion på fødselsdagen for G). 3. Definer som tidligere 1 = {0 1} og = {1 }. Vis at 1 = Dominerede muligheder Hvis G 1 og G er spil, så kan det forekomme som en ret uoverskuelig opgave at bestemme om G 1 = G, da vi i så fald skulle kigge på G = G 1 G og finde ud af om dette er af type F, hvilket jo betyder at vi skal gennemgå samtlige muligheder i G V og G H og checke at de alle sammen er af passende typer. Heldigvis er der visse måder at fjerne muligheder fra G V og G H uden at ændre på spillet. Ideen er meget enkel: Hvis der er en mulighed i G V eller G H som en spiller aldrig ville benytte (fordi der er andre muligheder der er bedre), så ændrer det ikke på spillet hvis vi fjerner den. Lad os gøre dette præcist i en sætning og bevise denne. Sætning Lad G = {G V G H } være et kombinatorisk spil med G V = {V 1,V,V 3,...,V n } og G H = {H 1,H,H 3,...,H m }. Lad G V 1 = {V,V 3,...,V n } og G H = {H,H 3,...,H m }. Definer G 1 = {G V 1 GH } og G = {G V G H }. 1. Hvis V V 1 så er G = G 1.. Hvis H H 1 så er G = G. Bevis. Vi vil nøjes med at bevise det ene udsagn, da beviset for det andet er magen til, bare med visse ting byttet rundt. Vi antager at V V 1 og skal vise at G = G 1, altså at G G 1 er af type F. Bemærk at Venstres muligheder i G 1 er { H 1, H, H 3,..., H m } og at Højres muligheder er { V, V 3,..., V n } Antag først at Højre starter. Hvis Højre vælger en af mulighederne i G, så må denne mulighed være H i for et passende i. Men nu har venstre muligheden H i fra G 1, hvilket resulterer i H i H i = 0, så Venstre vinder. Tilsvarende, hvis Højre vælger en af mulighederne i G 1, så må denne være V i for et passende i (nu med i ). Men nu har Venstre muligheden V i fra G, og igen er resultatet V i V i = 0 så Venstre vinder. Hvis Venstre starter er der igen to muligheder. Hvis Venstre vælger en mulighed fra G 1, så må denne være H i for et passende i, og Højre har muligheden H i, hvilket som før giver 0 hvorved Højre vinder. Det samme er tilfældet hvis Venstre vælger en mulighed V i fra G som ikke er V 1, da Højre i så fald har V i som mulighed. Det eneste tilfælde der er tilbage er hvis Venstre vælger V 1. Men nu kan Højre vælge V, og antagelsen var jo at V V 1, så V 1 V 0, hvorved Højre igen vinder. Denne sætning gør at når vi kigger på et spil, så kan vi ofte fjerne mange af de muligheder der ellers ville være, hvilket gør at der bliver færre muligheder at kigge igennem, når vi skal bestemme typen af spillet. De muligheder vi kan fjerne ved hjælp af sætningen kaldes dominerede. 14

15 Det blev tidligere nævnt at mange af de spil man kan lave, som har fødselsdag, faktisk er ens. Ovenstående sætning er en god måde at se hvorfor dette er tilfældet, da de fleste af de spil, der har fødselsdag 1 kan sammenlignes, så man sjældent har brug for mere end en mulighed i hver af G V og G H. Opgave Find et spil G med fødselsdag, som har to muligheder i både G V og G H, og som ikke indeholder nogen dominerede muligheder. Vis at G er af type N og at GG = 0. Opgave I denne opgave må du gerne benytte at hvis G 1 og G er Tal, så er enten G 1 G eller G G 1. Vis at hvis G er et Tal, så findes der Tal G 1 og G så G = {G 1 G } (altså så Venstre og Højre hver kun har en mulighed i G). Opgave Opskriv Domineering-positionerne i den formelle notation og fjern de dominerede muligheder. 3.4 Valg af summand og Indtil videre har vi mest fokuseret på hvordan man analyserer de enkelte komponenter i en sum af spil og kigget på hvilke træk man skal overveje, når man har bestemt i hvilken summand man vil foretage sit træk. I denne sektion vil vi se nærmere på hvordan man kan vælge den summand, hvor det bedst kan betale sig at foretage et træk. Vi vil ikke kunne give en præcis beskrivelse af dette, men vi kan give nogle generelle ting man bør kigge efter, og samtidig vise at der er visse typer af summander man ikke bør foretage sine træk i. Lad os starte med at vise at visse spil kan udelukkes fra overvejelserne, når man skal finde en summand at foretage sit træk i. Sætning Lad G være et kombinatorisk spil med G = G 1 G, hvor G 1 er et Tal og G ikke er et Tal. Hvis den ene af spillerne har en vindende strategi som startende spiller i G, så har denne spiller en vindende strategi som starter med et træk i G. Bevis. Vi vil gøre dette ved induktion på fødselsdagen for G 1. Induktionsstarten er klar, da denne er tilfældet hvor G 1 = 0. Per symmetri skal vi blot bevise at udsagnet gælder for Venstre. Antagelsen er altså at Venstre kan vinde som startende spiller, og vi kan antage at Venstre kan gøre dette med et træk i G 1 (ellers ville vi jo være færdige). Vores induktionsantagelse er at hvis Venstre kan vinde some startende spiller i et spil af formen G 1 G hvor G 1 er et Tal med mindre fødselsdag end G 1, så kan Venstre gøre dette ved at starte med et træk i G. Der er altså et spil G 3 i G V 1 så G 3 G 0. Men da G ikke er et Tal og G 3 er et Tal, kan vi ikke have G 3 = G, så vi må faktisk have G 3 G > 0. Men dette betyder at Venstre kan vinde dette spil som startende spiller, og da fd(g 3 ) < fd(g 1 ) får vi per induktionsantagelsen, at Venstre kan vinde dette spil med et træk i G. Der er altså et spil G 4 i G V så G 3 G 4 0. Men da G 1 er et Tal og G 3 er et spil i G V 1, har vi at G 1 > G 3, hvilket giver at G 1 G 4 > G 3 G 4 0, så Venstre kan vinde G 1 G ved at foretage trækket G 4 i G, hvorved vi har vist det ønskede. 15

16 Den måde man så kan bruge denne sætning på er, at man finder de spil i ens sum, som er Tal, og ignorer så disse når man skal vælge hvor man vil foretage sit træk (givet at summen af de resterende ikke er et Tal). Efter at have udelukket alle de spil, som er Tal, kan der selvfølgelig stadig være en masse spil tilbage, og hvordan skal vi kunnevælge mellem disse? Dette er langt fra et let spørgsmål at besvare, men vi kan dog give visse ideer om hvordan man finder ud af det. Læg mærke til, at på grund af overstående sætning, så kan vi antage at når vi analyserer en given summand,såstopperspilletidensummand,hvis mannår til et Tal (damanjosåbørfokusere på de andre summander). For at få en ide om hvor attraktivt et givet spil er at foretage et træk i, definerer vi venstre- og højre-stop for spil som følger. Definition 3.0. Lad G = {G V G H } være et kombinatorisk spil. Vi definerer venstre-stoppet for G, skrevet VS(G) og højre-stoppet skrevet HS(G) til at være { G hvis G er et Tal VS(G) = max )} ellers G G V{HS(G { G HS(G) = min )} G G H{VS(G hvis G er et Tal ellers Ideen med denne definition er at VS(G) er det bedste Tal Venstre kan forvente at opnå ved at begynde at spille i G. Tilsvarende er HS(G) det bedste Tal Højre kan opnå ved at spille i G (husk at Højre foretrækker små, dvs. gerne negative, Tal). Definitionen er i orden (på trods af den rekursive natur), siden man hver gang man ikke er færdig (dvs hver gang man ikke er nået til et Tal), kun kigger på spil med mindre fødselsdag end man havde før. Og på et eller andet tidspunkt slutter man, da det eneste spil med fødselsdag 0 er spillet 0, som er et Tal. For et givet spil G kan man så se på VS(G) HS(G) (dette vil altid være et ikke-negativt Tal, men dette vil vi ikke vise her). Jo større dette Tal er, jo vigtigere er det at foretage et træk i G før ens modstander gør det. For eksempel, hvis vi tager G til at være Domineering-positionen så får vi VS(G) = 0 og HS(G) = 0 (da G ikke er et Tal, men den eneste mulighed for både Venstre og Højre er Tallet 0), så i dette tilfælde får vi at VS(G) HS(G) = 0 (dvs. at spillet er mere attraktivt end et Tal ville være, da vi jo aldrig bør trække i Tal, men kun lige netop). Opgave 3.1. Find VS(G) HS(G) når G er følgende Domineering-positioner Opgave 3.. Find typen af følgende sum af positioner i Amazons, Toppling Dominoes og Domineering: 16

17 Opgave 3.3. Betragt følgende sum af Domineering-positioner: Identificer de summander, som er Tal, og vis at summen af de resterende ikke er et tal. Find typen af spillet og verificer, at hvis man benytter metoden med at finde forskellen mellem venstreog højrestop til at finde de summander, man vil trække i (og ignorer alle andre muligheder), så leder dette til samme konklusion. Opgave 3.4. Betragt Domineering-positionen Vis at metoden med at finde forskellen mellem venstre- og højrestop for summanderne leder til den bedste strategi både for Venstre og Højre. (Hint: Prøv at lægge passende tal til spillet på en sådan måde at denne strategi er den eneste der lader Venstre vinde, og tilsvarende for Højre). 17

18 Appendiks A Mængder Mængder vil dukke op en del steder i disse noter. Vi vil ikke få brug for at vide specielt meget om mængder, men der er en del notation som vil blive benyttet, og som derfor vil blive defineret i dette appendiks. En mængde er en samling af objekter, hvor samme objekt ikke optræder mere end en gang. Vi benytter {} til at angive mængder, og adskiller elementerne i mængder med kommaer. Så for eksempel vil vi skrive {1,,3} for mængden der indeholder elementerne 1, og 3. Vi er ligeglade med rækkefølgen elementerne er blevet skrevet i, så for eksempel har vi {1,,3} = {,1,3}. I stedet for ikke at tillade at samme element optræder flere gange når vi skriver mængder, vil vi bare sige at disse mængder er ens, så vi for eksempel har {1,,3,3} = {1,,3}. Grunden til dette er at det nogle gange kan være svært på forhånd at afgøre om visse elementer er ens, så for ikke at få disse problemer tillader vi at skrive mængder, hvor samme element optræder flere gange, men vi ignorerer de ekstra gange det optræder (dette betyder så til gengæld at man skal være lidt forsigtig hvis man vil tælle antallet af elementer i en mængde, da man jo i så fald er nødt til kun at tælle de forskellige). Hvis elementet a ligger i mængder A skriver vi a A, så for eksempel er 1 {1,,3} men der gælder ikke 4 {1,,3}. Hvis alle elementer i mængden A også ligger i mængden B, så siger vi at A er en delmængde af B, og vi skriver A B. For eksempel er {1,} {1,,3} (men bemærk at også {1,,3} {1,,3}, så delmængder må godt indeholde det hele). Der gælder til gengæld ikke {1,4} {1,,3}. Bemærk også at hvis der både gælder A B og B A, så har vi A = B. Hvis vi har to mængder A og B, så er der et par måder vi kan kombinere dem på for at få en ny mængde. Vi kan lave den mængde, som indeholder alle elementer der er i enten A eller B (eller i begge). Dennekaldes foreningen af A og B og skrives A B.For eksempel er {1,,3} {,3,4} = {1,,3,4}. Vi kan også lave den mængde, som indeholder de elementer der er i både A og B. Denne kaldes fællesmængden af A og B (eller snittet af A og B), og skrives A B. For eksempel er {1,,3} {,3,4} = {,3}. Endelig kan vi lave den mængde, som indeholder de elementer i A, der ikke også er i B. Denne kaldes forskellen mellem A og B, og skrives A\B. For eksempel er {1,,3}\{,3,4} = {1}. Bemærkatderikkeernogetkravomatenmængdeindeholdernogenelementer.Hvisenmængde ikke indeholder nogen elementer, kalder vi mængden for tom. Hvis A og B begge er tomme, så er A = B (da ingen af dem indeholder nogen elementer har de jo præcis de samme elementer). Da alle tomme mængder derfor er ens vil vi blot skrive for den tomme mængde (i stedet for {}). B Induktion Induktion er en utrolig nyttig bevismetode, som vil blive benyttet til at vise visse sætninger i disse noter. Visse af opgaverne vil også kræve at man benytter induktion. Et induktionsbevis kan bruges til at vise at visse ting gælder for alle naturlige tal, eller for alle naturlige tal større end et givet tal. 18

19 For at bevise at noget gælder for alle naturlige tal m med m k (for et givet k) ved induktion skal man gøre følgende: Først viser man at udsagnet gælder for k. Dernæst viser man, at hvis udsagnet gælder for et naturligt tal n, så gælder det også for n1 (hvor det eneste man her må antage om n er at det er et naturligt tal, med n k). Hvis man kan gøre dette vil man have vist at udsagnet gælder for alle naturlige tal m med m k. Der er også en lidt anderledes version af induktion, som nogle gange er mere praktisk. Den starter på samme måde med at man viser udsagnet for k. Men derefter skal man vise at udsagnet gælder for et vilkårligt naturligt tal n, med n > k, under antagelse af at udsagnet gælder for alle naturlige tal l med k l < n. Dette vil også vise at udsagnet gælder for alle naturlige tal m med m k, og det kan være en mere praktisk måde, siden man har lov til at antage mere end man kunne i den anden version. Intuitionen for hvorfor ovenstående beviser virker er følgende: Vi har vist at det gælder for k, så det gælder også for k 1. Da det gælder for k 1 gælder det også for k (i den anderledes version er det fordi det gælder for både k og k 1 at det gælder for k ), og så fremdeles. Mere formelt kan man faktisk matematisk bevise at induktionsbeviser virker, ved at benytte observationen at enhver delmængde af de naturlige tal har et mindste element (vi vil ikke inkludere beviset her). Denne observation kan faktisk også bevises i det setup som de fleste matematikere benytter, men dette går langt ud over vores behov. Eksempel B.1. Vi ønsker at vise ved induktion at der for ethvert naturligt tal m med m 1 gælder at 1 m = m(m1) Hvis m = 1 er udsagnet at 1 = 1, hvilket klart er sandt. Vi antager nu at udsagnet er sandt for et vilkårligt naturligt tal n med n 1, altså at 1 n = n(n1) og vi ønsker at vise at så er udsagnet også sandt for n1, altså at Vi ser at og vores antagelse var jo at så vi kan sætte dette ind og få 1 (n1) = (n1)(n11) 1 (n1) = (1 n)(n1) 1 n = n(n1) 1 (n1) = (1 n)(n1) = n(n1) Hvis vi nu omskriver (n1) = (n1) og sætter dette ind får vi = n nn (n1) = (n1)(n) 1 (n1) = n(n1)(n1) som var det vi ville vise. Da vi nu har vist at udsagnet er sandt for m = 1 og at det er sandt for n1 under antagelse af at det er sandt for n, så har vi per induktion vist at det er sandt for alle m 1. 19

20 C Spilleregler I dette appendiks vil vi gennemgå reglerne for en række kombinatoriske spil. Visse af disse vil blive benyttet til eksempler og opgaver i noterne, mens andre blot er med for at de særligt interesserede kan se flere eksempler. Amazons Amazons spilles på et rektangulært ternet bræt, med brikker der kaldes Amazoner (disse kan være sorte eller hvide). Brættet kan også indeholde ødelagte felter. Den ene spiller styrer de sorte Amazoner og den anden styrer de hvide Amazoner. En Amazone bevæger sig som en dronning i skak (altså et vilkårligt antal felter i lige linje), og hver gang en Amazone har flyttet, kaster den sit spyd på samme måde, og der hvor spyden rammer, bliver feltet ødelagt. Hverken Amazoner eller spyd kan flytte igennem eller ind i ødelagte felter, og den første spiller, der ikke har et lovligt træk, taber (en del af et lovligt træk er at kaste spyddet, men hvis det er muligt at flytte en brik vil man altid kunne kaste spyddet, da man om ikke andet kan kaste det til det felt man startede på). En typisk startopstilling kunne være og en typisk stilling hvor den, der spiller sort, ikke har et lovligt træk kunne være Clobber Clobber spilles på et rektangulært ternet bræt, hvor hvert felt enten er tomt eller har en sort eller hvid brik. Den ene spiller foretager et træk ved at flytte en sort brik til et tilstødende felt som indeholder en hvid brik, og fjerne den hvide brik (felter er ikke tilstødende langs diagonaler). Den anden spiller foretager træk på samme måde med sort og hvid byttet om. Spillet slutter når ingen af spillerne har et lovligt træk. En typisk opstilling fra starten vil være med brikkerne skiftevis som for eksempel Domineering Domineering spilles på bræt delt op i kvadrater. Spillerne skiftes til at placere en dominobrik på brættet, som dækker to felter ved siden af hinanden. Den ene spiller placerer sine brikker så de 0

21 dækker felter vertikalt og den anden spiller placerer sine brikker horisontalt. Brikker skal placeres inden for brættet, og må ikke lappe over hinanden. Den første spiller, som ikke kan placere en brik, har tabt. Bemærk at brættet ikke behøver at være kvadratisk, eller for den sags skyld rektangulært. For eksempel kan man spille på et bræt af formen eller Toppling Dominoes Toppling Dominoes består af en række dominobrikker der står op. Disse kan være sorte, hvide eller grå. Den ene spiller foretager et træk ved at vælte enten en af de sorte eller en af de grå brikker mod enten venstre eller højre. Alle brikker i den valgte retning vælter også og fjernes. Den anden spiller foretager træk på samme måde, men han kan vælge enten hvide eller grå brikker at vælte. Den første spiller, der ikke har et lovligt træk, taber. Toppling Towers Toppling Towers er en variant af Toppling Dominoes, hvor man i stedet for dominobrikker bruger små tårne (i samme farver), og spiller på et rektangulært ternet bræt. De to spillere kan vælge brikker at vælte på samme måde som i Toppling Dominoes, men nu kan de væltes i fire retninger. Hvis der er et hul i en række, vil brikker kun vælte til de møder dette hul. Startopstillingen kan nu også indeholde tomme felter. Som i Toppling Dominoes spilles der indtil en spiller ikke har et lovligt træk, og denne spiller taber. 1

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright Skak Regler og strategi Version 1.0 1. september 2015 Copyright Forord At lære at spille skak er ikke svært. Det tager få minutter. At blive dygtig tager som regel årevis. Om man er dygtig eller ej, er

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459 Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Energizere bruges til at: Ryste folk sammen Få os til at grine Hæve energiniveauet Skærpe koncentrationen Få dialogen sat i gang

Energizere bruges til at: Ryste folk sammen Få os til at grine Hæve energiniveauet Skærpe koncentrationen Få dialogen sat i gang FORSKELLIGE ENERGIZERS ENERGIZER Energizere er korte lege eller øvelser, som tager mellem to og ti minutter. De fungerer som små pauser i undervisningen, hvor både hjernen og kroppen aktiveres. Selv om

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Klasse Situation Observation 3. klasse Før spillet. Der bliver spurgt ind til hvad børnene

Klasse Situation Observation 3. klasse Før spillet. Der bliver spurgt ind til hvad børnene Bilag 1 - Feltobservationer I dette bilag findes Feltobservationer, noteret under folkeskoleelevernes spilforløb. Disse feltobservationer er fremstillet i en skematisk opstilling, hvis første kolonne tydeliggør

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder 14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Dansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2

Dansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2 . 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og har lært om linjer på formen f(x) = ax + b. Han har prøvet at tegne nogle linjer på papir for at finde ud af hvilke koordinater

Læs mere

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html 1 / 10 25.6.2008 9:03 2 / 10 25.6.2008 9:03 Indhold 2 kort (spilleplader), 2 plastikfolier (benyttes til at lægge over kortet), 1 tjekometer, 28 tjekometer kort, 18 udrustningskort, 210 terræn brikker,

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

De 5 klassiske fotofejl. Fejl 1 Du er for langt væk. Fejl 2 Du er for doven. Fejl 3 Du tager altid dit foto horisontalt

De 5 klassiske fotofejl. Fejl 1 Du er for langt væk. Fejl 2 Du er for doven. Fejl 3 Du tager altid dit foto horisontalt Indholdsfortegnelse De 5 klassiske fotofejl Fejl 1 Du er for langt væk Fejl 2 Du er for doven Fejl 3 Du tager altid dit foto horisontalt Fejl 4 Du tjekker ikke hele motivet Fejl 5 Du bruger din flash forkert

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Nordisk Matematikkonkurrence. samt Danmarks Matematiklærerforening. Skoleåret 2008 2009 Opgaver ved semifinalen

Nordisk Matematikkonkurrence. samt Danmarks Matematiklærerforening. Skoleåret 2008 2009 Opgaver ved semifinalen Opgave 1 Opdeling af figur I har fået udleveret et ark med syv regulære sekskanter. Inddel dem i 6 6 på syv forskellige måder. Det er kun tilladt at bruge rette linjer. Nedenfor kan I se en af måderne

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2

Læs mere

3 trin til at håndtere den indre kritik

3 trin til at håndtere den indre kritik Fri og Kreativ 3 trin til at håndtere den indre kritik Ved cand. mag. i psykologi og pædagogik Line Larsen friogkreativ.dk Copyright 2013 friogkreativ.dk Alle rettigheder reserveret. Side 1 af 7. 3 trin

Læs mere

Kompetencebevis og forløbsplan

Kompetencebevis og forløbsplan Kompetencebevis og forløbsplan En af intentionerne med kompetencebevisloven er, at kompetencebeviset skal skærpe forløbsplanarbejdet og derigennem styrke hele skoleforløbet. Således fremgår det af loven,

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse

Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Om grundbogen Format er et læremiddel, som både har en grundbog med 8 hovedafsnit, et tilhørende evalueringsmateriale og til hvert af hovedafsnittene er der ligeledes

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN. Badmintonregler. Nik til bolden kamp SJOVE KAMPLEGE SJOVE KAMPLEGE

DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN DGI TRÆNERGUIDEN. Badmintonregler. Nik til bolden kamp SJOVE KAMPLEGE SJOVE KAMPLEGE Nr.6653 Nr.6651 Badmintonregler lov til at serve og får et point. Bordtennisbold og bat Nik til bolden kamp Der kan spilles med kun 3 jongleringer før bolden skal returneres. Kan spilles som double, hvor

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520 Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Niels Johnsen Problembehandlingskompetencen

Niels Johnsen Problembehandlingskompetencen Niels Johnsen Problembehandlingskompetencen Kursus arrangeret af UCC og Danmarks Lærerforening Ringsted 18.9.2015 Matematiske problemer matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Europa Cup - rangerings- og seedningssystem

Europa Cup - rangerings- og seedningssystem Europa Cup - rangerings- og seedningssystem Informationsmateriale: Rangering og seedning gældende fra 2002/2003 Baggrund Tilbage i 2002/2003 blev større ændringer implementeret hvad angår Champions League

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr.

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr. Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren 2007 udgave Varenr. 7522 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning...

Læs mere

Opdage styrken ved Bézier maskering

Opdage styrken ved Bézier maskering Opdage styrken ved Bézier maskering Gary Rebholz Tilbage i februar 2007 rate af denne kolonne, jeg talte om at skabe maskering spor i Vegas Pro software. Jeg vil gerne bruge denne måneds kolonne til en

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

Kombinatorisk Spilteori

Kombinatorisk Spilteori Bachelorprojekt i matematik Institut for matematiske fag, Københavns Universitet Kombinatorisk Spilteori Skrevet af: Thomas Nielsen Vejleder: Søren Eilers Contents 1 abstract 2 2 Sureelle tal 2 2.1 Konstruktion......................................

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder.

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder. s Grundtræning 7-12 måneder. Indledning. Vi har under hvalpe træningen lagt vægt på at præge hvalpen i rigtig retning og forberede den til dens fremtidige arbejdsopgaver. Vi skal nu i gang med at indarbejde

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Go, go, go Søren Wengel Mogensen

Go, go, go Søren Wengel Mogensen 4 Blokkens spil Go, go, go Søren Wengel Mogensen Du har set Russell Crowe gøre det i A Beautiful Mind. Nu skal du gøre det i Famøs. Der er selvfølgelig tale om at spille go. Go er meget kort navn for et

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Ugebrev 34 Indskolingen 2014

Ugebrev 34 Indskolingen 2014 Ugebrev 34 Indskolingen 2014 Fælles info: Kære indskolingsforældre. Allerførst velkommen tilbage til jer alle efter en dejlig varm og solrig sommerferie, det er tydeligt, at børnene har nydt det, men alle

Læs mere

10 + SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2-4. www.hasbro.dk

10 + SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2-4. www.hasbro.dk SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2006 Hasbro. Alle rettigheder forbeholdt. Distributed in the Nordic region by Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, 2600 Glostrup. www.hasbro.dk Made in Ireland 120614575108

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder.

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder. s Grundtræning 7-12 måneder. Indledning. Vi har under hvalpe træningen lagt vægt på at præge hvalpen i rigtig retning og forberede den til dens fremtidige arbejdsopgaver. Vi skal nu i gang med at indarbejde

Læs mere

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING LEKTION 22 FARVEBEHANDLING I hvert eneste spil skal man som spilfører tage stilling til, hvordan samtlige fire farver skal spilles. Derfor er dette et vigtigt område i selve spilføringen. Mange kombinationer

Læs mere