Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul"

Transkript

1 Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l Kasen Jl

2 Indhold 1. Vinkle Tekans häjde og aeal HÄjde HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal Eksemel ho aeal e kend Pyhagoas såning Kaee og hyoense Pyhagoas' såning esem kaee med Pyhagoas' såning esem hyoense med Pyhagoas' såning Sogbg ModsÇende inkel elle side eegnelse fo modsçende inkel elle side Od fo sidene i en einkle ekan Ensinklede ekane Od og meode i ogae om ensinklede ekane Simel ogae om ensinklede ekane Sammensa ogae om ensinklede ekane.... osins, sins, angens og Nsie osins, sins og angens i einkle ekan De e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan Eksemle Ç degninge med cos, sin og an i einkle ekan Sinsfomlen fo aeal af ekan Sinsfomlen fo aeal af ekan eis fo sinsfomlen fo aeal af ekan Eksemle Ç bg af sinsfomlen fo aeal af ekan Sinselaionen Sinselaionen eis fo sinselaionen esem inkel med sinselaionen esem side med sinselaionen Ogae med o läsninge osinselaionen osinselaionen eis fo cosinselaionen esem inkel med cosinselaionen esem side med cosinselaionen Nogle begebe HÄjde Median Vinkelhaleingslinje Nogle beegnelse Sammensa ogae KadasÅninge... 1 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan De 4 fomle il degning af side og inkle i einkle ekan De 4 ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen... 1 De 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal... 1 De 3 fomle fo ilkçlig ekan E ande beis fo cosinselaionen osinselaionen eis fo cosinselaionen En idligee esion af dee häfe ha skife adesse il: h://ma1.dk/ekansbeegning_fo_b_og_a_niea_i_sx_og_hf_01.df I fålgende häfe e de Åelse, men ikke alle e eleane fo bgene af nääende häfe. h://ma1.dk/oeelse_il_haefe_kofae_ekansbeegning_fo_gymnasie_og_hf.df Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf, dgae Ç 014 Kasen Jl. Nyese dgae af dee häfe kan downloades fa h://ma1.dk/noe.hm. HÄfe mé benyes i ndeisningen his läeen med de samme sende en il som olyse a dee häfe benyes, og olyse hold, niea, läe og skole. 19/-01

3 1. Vinkle I en ekan e de e inkle alid 180 ilsammen: I ligebene ekan e inkle ed gndlinje lige soe, ds. nç = e =. l m His l og m e aallelle, e =. En inkel i en ekan e sids his den e nde 90 e his den e 90 sm his den e oe 90.. Tekans häjde og aeal..1 HÄjde. HÅjden fa e de linjesykke de gé fa og inkele ind É den modséende side. HÅjden fa gé inkele ind É den modséende sides folängelse. Siden e håjden fa.. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal. Fo ekane gålde: aeal = 1 häjde gndlinje Tekans aeal = En af håjdene i ekanen. 1 da Gndlinje, ds. den af sidene de e inkele É den alge håjde. a c d b Fomlen bges ikke kn il a besemme aeal. His i kende o af allene aeal, håjde og gndlinje, sé kan i besemme de sidse af allene..3 Eksemel ho aeal e kend. eal = 10 = 1 häjdegndlinje 1 h 8 19, 8 h aeal 10 1, LÄsning af ligningen den hjålemidle: 10 1 h 10 h h , h h 7, LÄsning af ligningen med hjålemidle: Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

4 3. Pyhagoas' såning. 3.1 Kaee og hyoense. Sidene og eekanens kaee. De kan i se fodi inklen imellem og e e. Siden e hyoensen. De kan i se fodi ikke e en af kaeene. dasel: His en ekan ikke e einkle, sç ha den heken hyoense elle kaee. 3. Pyhagoas' såning. Pyhagoas såning som fomel Fo en einkle ekan gålde: nç og e kaee, og e hyoense. Pyhagoas såning i od GÄlde kn i einkle ekan. Den ene kaee i anden ls den anden kaee i anden e hyoensen i anden. 3.3 esem kaee med Pyhagoas' såning. Vi se: kaeene e a og hyoensen e 10 Defo e a 10 LÄsning af ligningen den hjålemidle: a 10 a 10 da 0<a a a a LÄsning af ligningen med hjålemidle: 3.4 esem hyoense med Pyhagoas' såning. Vi se: kaeene e og 1 hyoensen e Defo e 1 LÄsning af ligningen den hjålemidle: 1 1 da 0< LÄsning af ligningen med hjålemidle: Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 014 Kasen Jl

5 4. Sogbg ModsÇende inkel elle side. e modsçende inkel il siden l, og l e modsçende side il inklen, fodi l ikke säde o il. Vi se a m og n säde o il, sç m og n e ikke modsçende il. l w m e modsçende il m. w e modsçende il n. n 4. eegnelse fo modsçende inkel elle side. His de sç i ekan DEF e f 14 gålde de e siden oe fo inkelsidsen F de e 14. Sogbgen e nemlig sçdan a nç e so bogsa e en inkelsids i en ekan, gålde de ilsaende lille bogsa e siden oe fo inkelsidsen, D f E e d F his de ikke femgç ande. Eksemel Ç dnyelse af denne sogbg: I en ekan ho inkel e e, e a b c. dasel: Se fig il häje. De d ikke his d skie m =,. LÅseen kan ikke ide om de e elle de e,. Ski m Ç den side d mene. D skal alid egne en skise i en geomeiogae. M 4.3 Od fo sidene i en einkle ekan. Siden e en kaee fodi den säde o il den ee inkel. Siden e hyoensen fodi den ikke säde o il den ee inkel. Siden e den hosliggende kaee il inkel fodi e den af kaeene de säde o il inkel. Siden e den modsçende kaee il inkel fodi e den af kaeene de ikke säde o il inkel. dasel: Odene kaee og hyoense kan kn bges i en einkle ekan. Eksemle d n 8 k 3 w g e hosliggende kaee il n e hosliggende kaee il w h e modsçende kaee il inklen Ç 3 e modçende kaee il d e modçende kaee il w Hyoensen e 8 g e hyoense 7 h Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

6 . Ensinklede ekane..1 Od og meode i ogae om ensinklede ekane. PÇ figen ha jeg bg be il a ise hilke inkle de e lige soe: De o inkle med dobbelbe e lige soe. De o inkle med enkelbe e lige soe. De o sidse inkle mç sç Åe lige soe da inklene i en ekan ilsammen e 180. de o ekane ha samme inkle, dykke i ed a sige a ekanene e ensinklede. Regel: NÇ o ekane ha samme inkle, e de en skalafako. NÇ i gange sidene i den ene ekan med skalafakoen, sç fç i sidene i den anden ekan. PÇ figen ha jeg is a jeg ha alg a kalde skalafakoen k, og a jeg ha alg a de e sidene i ense ekan de skal ganges med skalafakoen. (1) 0k = 8 da sidene de e 0 og 8 ha lige soe modsçende inkle (dobbelbe). () 47k = da sidene de e 47 og ha lige soe modsçende inkle (ingen be). (3) nk = 4, da sidene de e n og 4, ha lige soe modsçende inkle (enkelbe). f (1) fç i k = 8 = 1,4 Vi ha n degne k og kan bge k il a degne og n. 0 f () fç i = 471,4 =,8 4, f (3) fç i n = = 33 1,4. Simel ogae om ensinklede ekane. Ogae Tekanene og DEF Ç figen e ensinklede. esem d og c. Sa Tekanene e ensinklede, sç de e de en skalafako som i gange side i med fo a fç side i DEF. c 4 D 9 1 F NÉ de i ogaen sé ode ensinklede, skal i nomal degne en skalafako. d E = 9 da sidene de e og 9, ha ens modsçende inkle. = 1, Vi ha diidee begge side med. Vi ha n degne og kan bge il a degne d og c. 4 = d da sidene de e 4 og d, ha ens modsçende inkle. 41, = d d =.. c = 1 da sidene de e c og 1, ha ens modsçende inkle. c 1, = 1 c =.8. Vi ha diidee begge side med 1,. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

7 .3 Sammensa ogae om ensinklede ekane. Ogae PÇ figen e aallel med DE. esem E. 1 E 1 Sa Da e aallel med DE, e ekanene og DE ensinklede, sç de e en skalafako k. Udegning af k : k 1 k 1 k 3 da sidene de e og 1, ha samme modçende inkel. Vi ha n degne k og kan bge k il a degne. D Ved hjäl af eglene fo ensinklede ekane kan i degne längde af side i ekanene, men E e ikke side i en af ekanene. Vi degne defo fås. SÉ kan i deefe degne E ed a Äkke fa 1. Udegning af : Udegning af E : E E da og siden de e 1, ha ens modsçende inkle.. osins, sins, angens og Nsie. I mange ogae med ekane ha i bg fo a egne med noge de hedde cosins, sins og angens. I e maemaikfel i e noeinde i Nsie ase i cos() og cl-ene (cmd-ene Ç Mac) : NÇ i låse denne ligning, sige i: cosins il e 0, Flee degninge: NÇ i låse disse ligninge, sige i sins il 138 e 0,9131 og angens il 1, e 0,7194. His e en inkel i en ekan og 7cos() = 4, sç skal i läse denne ligning. Ligningen ha mange osiie og negaie läsninge, men da e en inkel i en ekan, skal i kn finde läsninge mellem 0 og 180. Nsie läse ligningen 7cos() = 4 mh. fo 0<<180 og fç =,101. His e en inkel i en einkle ekan, skal i kn finde läsninge mellem 0 og 90. HUSK: Oe sole-linjen skie i med sädanlig maemaiksog had de foegé i solelinjen. HUSK alid: HÅjeklik, ibe, Gade fo a Äe hel sikke. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 014 Kasen Jl

8 7. osins, sins og angens i einkle ekan. 7.1 De e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan. NÇ sç gålde: e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee e ' s modsçende kaee cos( ) ds. hyoense gange cos() e 's hosliggende kaee sin( ) ds. hyoense gange sin() e 's modsçende kaee an( ) ds. 's hosliggende kaee gange an() e 's modçende kaee I mange ilfålde hedde inklen og sidene noge ande end,,,. Defo e de ofe en fodel a dykke eglene i od som i ha gjo il ense fo fomlene. 7. Eksemle Ç degninge med cos, sin og an i einkle ekan. 7. a Ogae esem inkel. Sa f den einklede ekan D fç i sin( ). Nsie läse ligningen sin( ) mh. fo 0 90 og fç, 447, b Ogae esem. Sa D f den einklede ekan D fç i cos( 0). Nsie läse ligningen cos( 0) mh. fo 0 og fç 7, 778 7, c Ogae 30 mee fa e Å sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e. Tekanen il häje e en model af denne siaion. esem Åes häjde. h Sa f denne einklede ekan fç i 30 an() h. TÅes häjde e 38 m. 30 Enhed: mee Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 014 Kasen Jl

9 8. Sinsfomlen fo aeal af ekan. 8.1 Sinsfomlen fo aeal af ekan. Sinsfomlen fo aeal af ekan e T 1 sin( ) ho T e aeale, og e o side i ekanen, og e inklen mellem disse side. T Fomlen bges ikke kn il a besemme aeal. His i kende e af allene T,, og, sé kan i besemme de sidse af allene. Sinsfomlen fo aeal af ekan dyk i od: eal af ekan = 1 den ene side den anden side sins il inklen imellem de o side. 8. eis fo sinsfomlen fo aeal af ekan. PÇ figen egne i en häjde h de dele ekanen o i o ekane. f den ense af disse og af fomlen fo sins i einkle ekan fç i: sin() = h f häjde-gndlinje-fomelen fo ekans aeal fç i: aeal = 1 häjde gndlinje h T = 1 h T = 1 h Hei esae i h med sin(). Oenfo sç i a sin() = h. T = 1 sin() Dee e sinsfomlen fo ekans aeal, sç i ha beis a den gålde. 8.3 Eksemle Ç bg af sinsfomlen fo aeal af ekan. Ogae eale af ekan D e 31,. esem långden af D. esem aeale af ekan D. Sa Da aeal af ekan D e 31,, fç i af sinsfomlen fo aeal af ekan: 31, = 0, D sin(110). Nsie läse ligningen 31, = 0, D sin(110) mh. D og fç D = 13,41 13, D f ekan D og sinsfomlen fo aeal af ekan fç i: eal af ekan D e Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

10 9. Sinselaionen. 9.1 Sinselaionen. Sinselaionen gålde i alle ekane og sige a ho sin( ) sin( ) siden e modsçende il inklen siden e modsçende il inklen Vi bge IKKE sinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 9. eis fo sinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde h, de dele ekanen i o ekane. Da disse e einklede, e sin( ) h og sin( ) h. sin( ) sin( ) da begge side e lig h. sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) Vi ha diidee begge ligningens side med sin( ) sin( ). Vi ha fokoe de o bäke. sin( ) sin( ) Dee e sinselaionen, sç i ha beis a den gålde. h 9.3 esem inkel med sinselaionen. Ogae esem inklen Ç figen. Sa f sinselaionen fç i sin( ) sin(110). Nsie läse ligningen 34 mh. fo sin( ) sin(110) og fç 37, 9094 elle 14, 091 ds. = 37,9 fo mç Åe minde end 90 da en af de ande inkle e oe esem side med sinselaionen. Ogae esem siden b Ç figen. Sa Vi fç bg fo siden b 's modsçende inkel: = sé den fo maemaikfele. ibe skal Äe = og gade. TilfÅj efe faci. b f sinselaionen fç i: sin( 48) sin(10) 7 b Nsie läse mh. b fo 0b og fç b 4, 11. Ds.: b = 4, sin( 48) sin(10) 10 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

11 9. Ogae med o läsninge. Ogaen I ekan e (* ) 34, a og c 8. Vi il degne inkel. Skisen Vi egne en skise: Udegningen Vi såe ind i sinselaionen: 8 sin(34) sin( ) Nsie läse denne ligning mh. fo og fç: 3, elle 11, De o ekane De ise sig a de e o ekane de ofylde (*). I den ene af disse ekane e 3,, og i den anden e 11,. Vi il egne de o ekane. FÄs egne i og inkel. 34 l 8 Pnke ligge Ç l, og afsanden fa il e. Defo egne i en cikel med cenm og adis : N ha i de o ekane. l 34 8 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

12 10. osinselaionen osinselaionen. osinselaionen gålde i alle ekane og sige a ho cos( ), og e ekanens side siden e modsçende il inklen Vi bge IKKE cosinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 10. eis fo cosinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde. n = m n = ( m) Dee se i Ç figen. Vi ha oläfe begge side il anden. (1) n = + m m Vi ha omskee häjesiden ed hjål af en af kadasåningene. Se afsni 13. HÄjden dele ekanen i o einklede delekane. f den ense fç i () cos() = m Hyoense gange cos() e 's hosliggende kaee. h + n = og h + m = Vi ha bg Pyhagoas Ç he af de o delekane. h = n og h = m Vi ha kke samme al fa Ç begge side. n = m Da begge side e lig h. = m + n Vi ha lag n il begge side. = m + + m m Vi ha esae n med häjesiden fa (1). = + m De o led m og m e gçe d mod hinanden = + cos() Vi ha esae m med ensesiden af (). Dee e cosinselaionen, sç i ha beis a den gålde. m h n 10.3 esem inkel med cosinselaionen. Ogae esem inklen Ç figen. Sa f cosinselaionen fç i: 3,,4,0,4,0 cos( ) 3,,4 Nsie läse ligningen 3,,4,0,4,0 cos( ) mh. fo og fç 3, 09. Ds.: = 3,1., esem side med cosinselaionen. Ogae esem siden Ç figen. Sa f cosinselaionen fç i: = cos(9) Nsie läse ligning = cos(9) mh. fo 0 og fç 1, 93. Ds.: =, Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

13 11. Nogle begebe HÄjde. En häjde i en ekan e e linjesykke de gç fa en inkelsids il e nk Ç den modsçende side og e inkele Ç denne side. I enhe ekan e de e häjde. PÇ figen e is häjden ha fa Ç siden a. F.eks.: His de i en ogae e olys a D e häjden Ç (se fig), sç ha d fçe olys a inkel D e e. SÇ kan d bge eglene fo einkle ekan. h a D 11. Median. En median i en ekan e e linjesykke de gç fa en inkelsids il midnke af den modsçende side. I enhe ekan e de e mediane. D PÇ figen e is medianen mb fa Ç siden b m b His de i en ogae e olys a D e median Ç (se fig), sç ha d fçe olys a D og D e lige lange: F.eks.: His d kende D elle kan degne D, sç kan d degne ed a gange D med. F.eks.: His d kende elle kan degne, sç kan d degne D ed a diidee med Vinkelhaleingslinje. En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gç gennem en af inkelsidsene og halee inklen. I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÇ figen e is inkelhaleingslinjen fo inkel. w w His de i en ogae e olys a D e inkelhaleingslinje fo inkel D (se fig), sç ha d fçe olys a inklene og e lige soe: F.eks.: His d kende elle kan degne, sç kan d degne inkel i ekan ed a gange med. F.eks.: His d kende inkel i ekan elle kan degne den, sç kan d degne inkel ed a diidee inkel med Nogle beegnelse. e inkel i ekan. Eksemel: PÇ figen e RSQ. S R e linjesykke med endenke og. e långden af linjesykke. Eksemel: PÇ figen e PQ og PS ikke samme linjesykke, men PQ PS. I en ekan beegne, og bçde nke og inkle. Eksemel: Man kan skie P 90 elle P 90. P Q Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

14 1. Sammensa ogae. En gndogae i ekansbeegning kan d läse ed a finde ogaen i oesigen side En sammensa ogae kan d ikke läse ed a finde ogaen i en låebog da de e al fo mange mlighede. Meningen med en sammensa ogae e a d skal se hodan d kan läse den ed hjål af gndogae. I mange sammensae ogae e de egne e linjesykke som dele en ekan o i o delekane. Fo a finde d af had d skal gäe, kan d egne de e ekane he fo sig og skie al og bogsae Ç dem. NÇ d ha egne de e ekane, se d om de e en af dem ho d kan egne noge d. His de d ha egne d, ogsç e en side elle inkel i en af de ande ekane, sç skie d ogsç eslae he. De e iså igig a egne den soe ekan da de ise sig a linjen inden i den e disaheende nç man egne Ç den soe ekan. 13. KadasÅninge. De e kadasåninge: Kadae Ç en sm: Kadae Ç en diffeens: ( a b) a b ab ( a b) a b ab To als sm gange samme als diffeens: ( a b)( a b) a b Sogbg: kadae Ç e al = alle oläfe il anden. Eksemel: kadae Ç 4 = 1 og kadae Ç 3x = 9x. Eksemle Ç bg af kadasåningene: Kadae Ç en sm: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b Kadae Ç en diffeens: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b To als sm gange samme als diffeens: (3x ) (3x ) (3x) ( a b) ( a b) a b 9x Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

15 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il häje e sidene med långde 3 og 4 kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med långde e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. Den kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. Den anden kaee e inklens modsçende kaee. 4 3 Tye 1 Tye Tye 3 Hyoensen og en sids inkel. Vinklens hosliggende kaee. cos(37) Nsie degne ense side inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen En sids inkel og dens hosliggende kaee. Hyoensen. cos( 37) 4 Nsie läse mh. inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Hyoensen og en kaee. Vinklen mellem disse. cos( ) 4 Nsie läse mh. fo inklens sids inkel hyoensen hosliggende kaee 4 Tye 4 Tye Tye Hyoensen og en sids inkel. Vinklens modsçende kaee. sin (37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens modsçende kaee. Hyoensen. sin ( 37) 3 Nsie läse mh. Hyoensen og en kaee. Kaeens modsçende inkel. sin ( ) inklens sids inkel hyoensen inklens sids inkel hyoensen 3 modsçende kaee modsçende kaee Nsie läse mh. fo inklens modsçende kaee sids inkel hyoensen Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

16 Tye 7 Tye 8 Tye 9 En sids inkel og dens hosliggende kaee. Vinklens modsçende kaee. 4 an(37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens modsçende kaee. Vinklens hosliggende kaee. an( 37) 3 Nsie läse mh. De o kaee. En sids inkel. 4 an( ) 3 inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Nsie läse mh. fo inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Tye 10 Tye 11 De o kaee. Hyoensen. 3 4 hyoense kaee Nsie läse mh. fo Hyoensen og en kaee. Den anden kaee. 4 Nsie läse mh. fo hyoense kaee De 4 fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af fälgende fie fomle: I en einkle ekan gålde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gålde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee (3) hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsående_kaee (4) inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsående_kaee Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

17 De 4 ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. En inkel mellem o side og disse o side. Siden oe fo inklen. alid cos(41,4) inklensben siden oe fo inklen Nsie läse ligningen mh. fo 0 41,4 Tye 13: 4 Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. De e side. Vinklen. alid cos( ) inklensben siden oe fo inklen Nsie läse ligningen mh. fo Tye 14: Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. En side og o inkle. En af de ande side. sin( 41.4) sin( 8.8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 41,4 Nsie läse ligningen mh. fo 0 41,4 His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, sç mçe i fäs degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e ,8 Tye 1: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. To side og inklen oe fo en af dem. Vinklen oe fo den anden af de o side. 4 8,8 sin( 4 ) sin( 8,8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e 4 enhede, ligge oe fo inklen af säelse Nsie läse ligningen mh. fo Nsie gie bçde en läsning nde 90 og en läsning oe 90. Hsk a begnde hilken af läsningene de skal bges. I dee ilfålde kan begndelsen Åe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den säse i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

18 De 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal Tye 1 eale e alid 1 To side og inklen mellem dem. eale. T 1 sin(41,4 ) inklen skal Åe mellem disse side Nsie degne ligningens häje side. T 41,4 Tye 17 alid 9,9 1 eale, inklen mellem o side og en af de o side. Den anden af de o side. 1 sin(41,4 ) Nsie läse ligningen mh.. inklen skal Åe mellem disse side 9,9 41,4 Tye 18 alid 9,9 1 eale og o side. Vinklen mellem de o side. 1 sin( ) inklen skal Åe mellem disse side Nsie läse ligningen mh. fo Ligningen ha bçde en läsning nde 90 og en läsning oe 90. His ogaen e i en Äe, sç il de Åe flee olysninge sç de femgç hilken af de o ekane ogaen deje sig om. 9,9 De 3 fomle fo ilkçlig ekan He af meodene 1-18 bge en af fälgende e fomle: I alle ekane gålde 1 () T sin( ) nç T e ekanens aeal og e inklen mellem sidene og. () sin( ) nç e siden oe fo inklen og e siden oe fo inklen. sin( ) (7) cos( ) nç, og e sidene og e inklen mellem og. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

19 14. E ande beis fo cosinselaionen osinselaionen. osinselaionen gålde i alle ekane og sige a ho cos( ), og e ekanens side siden e modsçende il inklen Vi bge IKKE cosinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 14. eis fo cosinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde. h Vi bge yhagoas Ç den häje af de o einklede ekane og fç: m n = h + n I denne ligning esae i h med m (yhagoas bg Ç den ense af de o einklede ekane, se (1)), og i esae n med m (da m og n ilsammen e ). SÇ fç i = m + ( m) Hei ( ds. i = m + ( m) ) esae i m med cos() (Vense ekan: hyoense gange cos e inkels hosliggende kaee, se ()). = (cos()) + ( cos()) Nsie edcee häje side (se (3)) og fç = + cos() Dee e cosinselaionen som hemed e beis. emåkninge (1) m +h = e yhagoas bg Ç den ense af de o einklede ekane h = m i ha kke m fa begge side () I den ense af de o einklede ekane se i a e hyoense m e hosliggende kaee il inklen sç cos() = m da hyoense gange cosins il inkel e lig inkels hosliggende kaee. (3) NÇ Nsie edcee, se de sçdan d: Vi se a Nsie fç samme e led som i ha skee, men Nsie skie de e led i en anden ÅkkefÄlge. De e led e, og. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

20 Sikodsegise aeal 1, 7, 1 aeal og sins 7 beis fo cosinselaionen 10, 17 beis fo sinsfomlen fo aeal af ekan 7 beis fo sinselaionen 8 cosins cosins og Nsie cosins i einkle ekan, 13, 14 cosinselaionen 10, 1, 17 ensinklede ekane 4, hosliggende kaee 3, 13, 14 hyoense, 13, 14 häjde 1, 11 häjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal 1 kaee, 13, 14 kadasåninge 1 median 11 modsçende kaee 3, 13, 14 modsçende side 3 modsçende inkel 3 Pyhagoas' såning, 14 e inkel 1 einkle ekan 13, 14 sammensa ogae 1 sins, 7 sins i einkle ekan, 13, 14 sins og Nsie sinsfomel fo aeal 7 sinselaionen 8, 1 skalafako 4 sids inkel 1 sm inkel 1 angens angens i einkle ekan, 14 angens og Nsie o läsninge 9 ilkçlig ekan 1 inkel 1, 11 inkelhaleingslinje 11

Trekantsberegning. for C-niveau i hf Karsten Juul A D

Trekantsberegning. for C-niveau i hf Karsten Juul A D Tekansbeegning fo -niea i hf 0 01 Kasen Jl aeal...1, 7, 1 aeal og sins...7 beis fo sinsfomlen fo aeal af ekan...7 beis fo sinselaionen...8 cosins... cosins og Nsie... cosins i einkle ekan..., 11, 1 cosinselaionen...9,

Læs mere

for C-niveau i stx udgave 2

for C-niveau i stx udgave 2 fo C-niea i sx dgae B D h a A C 01 Kasen Jl 1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning... 5. Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee

Læs mere

for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul fo C-niea i sx 01 Kasen Jl 1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning.... Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee nä i kende kaee

Læs mere

for B- og A- niveau i stx og hf

for B- og A- niveau i stx og hf fo - og - niea i sx og hf D s 01 Kasen Jl Indhold 1: HÄjde og aeal... 1 1.1 Definiion HÄjde... 1 1. Eksemel En side kan Åe en häjde... 1 1.3 SÅning eal af ekan.... 1 1.4 Eksemel eal e kend... : Pyhagoas'

Læs mere

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Kotfattet fo gymnasiet og hf 5 00 Kasten Jl Indhold. HÄjde og aeal.... Pythagoas' såtning... 3. Ensinklede tekante...4 4. Cosins og sins i etinklet tekant...6 5. Tangens i etinklet tekant...9 6. Vinkle...

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller Tik køe. Nogle memiske modelle Memiske eme Tik køe Nogle memiske modelle Ole Wi-Hse Køge gymsium 008 Tik køe. Nogle memiske modelle Idhold Idhold.... Geeelle deiiioe og begige oe bil ik....3. Aiklig ik-køe

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14.

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14. Det skå kast o ballistiske kue side 1 Institut fo Matematik, DTU: Gymnasieopae Det skå kast Teoi: Eik Øhlenschlæe, Fysik fo Diplomineniøe, Gyldendal 1996, side 13-14 Fa kastemaskine til pojektile Fiu 1

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Elementær Matematik. Parameterkurver

Elementær Matematik. Parameterkurver Elemenæ Maemaik Paameekuve Ole Wi-Hansen 8 Indhold. Indledende beagninge.... Vekofunkione.... Tangen il en paameekuve.... Lodee, vandee angene og spidse....7. Undesøgelse af paameekuve...8 5. Kuvelængde

Læs mere

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt.

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt. SANDARDBEINGELSER 1 GENERELLE BESEMMELSER 11 Disse beingelse nendes i lle fohold imellem Kunden og X, mminde nde e skiflig fl 12 Fo indgå fle m X skl undeskieen/ undeskiene fo Kunden æe egningsbeeige De

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST Vej og Tafikeknik Design Køselsdynamik 1 Kæfe og enegi I den klassiske fysiks ideale eden, il en paikel, de ikke e udsa fo en esuleende kaf, beæge sig i en fas ening med konsan hasighed. De il ikke opæde

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens MSLT: Udesøgelse af laes Du skal have foeage e Mulipel Søv Laes Tes - MSLT. Søvlaes e de id, de gå, fa du ha lag hovede på pude fo a, il du. SÅDAN FOREGÅR UNDERSØGELSEN Udesøgelse age e hel dag. Med 2

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Fysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.

Fysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3. Keples lve Skeve af Jacb Lasen.å HTX Slagelse Udgive i samabejde med Main Gyde Pulsen.å HTX Slagelse 1 De Lve På baggund af den danske asnm Tych Bahes bsevaine. De va isæ paallaksemålinge af Mas placeing

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

til häftet Kortfattet Trekantsberegning for gymnasiet og hf

til häftet Kortfattet Trekantsberegning for gymnasiet og hf til häftet Kortfattet Treatsberegig for gyasiet og hf c 00 04 44 00 Karste Jl ette häfte ideholder bla age sädalige ogaer so låses hrtigt og fçr eleere til efterhçde at Äe sig til at behadle stoffet Ç

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE

CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE As fas as necessay as slow as possible KONTAKT TEKST: PR konoe SVENDBORG KOMMUNE RAMSHERRED 5 5700 SVENDBORG FOTO: Gei Haukusson WWW.SVENDBORG.DK WWW.CITTASLOW-SVENDBORG.DK

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Udge Alle eghede foeholde Jck Schmd og Reé Agd edee emk Fomelmlg fo og 4 emee Id Clgeøe Alog Uee Udge Alle eghede foeholde Jck Schmd og Reé Agd edee FORORD Dee memke fomelmlg e opdelg dejde l å geødeede

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Oure Friskole. Utrygheder ved skolen. Utrygge punkter Antal udpegninger. Utrygge strækninger Antal udpegninger 5 til til til 5.

Oure Friskole. Utrygheder ved skolen. Utrygge punkter Antal udpegninger. Utrygge strækninger Antal udpegninger 5 til til til 5. Oue ikole Uyghede ved kolen Piv-/ikole, Oue ikole Uygge punke Anl udpegninge 5 il 5 il 5 3 il il 3 il Uygge ækninge Anl udpegninge 5 il il 5 3 il il 3 il Svfodeling Skolefikken fodeling Svpocen f kolevejlyen

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

43-43 Geometri. Cirkelring. m = π ( r 2. R, r er radierne, t er tykkelsen og m er middelomkreds. Ellipse

43-43 Geometri. Cirkelring. m = π ( r 2. R, r er radierne, t er tykkelsen og m er middelomkreds. Ellipse 4-4 eometi Fiu ikelin Ellipse t Fomle O π ( t m π ( m π ( t, e diene, t e tykkelsen o m e middelomkeds. O π π e den le stokse o den le lillekse. Pelstykke Tpez ektnel O 6 4 ln 8 e øjden på pelstykket o

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Rumgeometri Side 1 af 20

Rumgeometri Side 1 af 20 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle

Læs mere

ÅRSBERETNING F O R SKAGEN KOMMUNALE SKOLEVÆSEN 1955-1956 VED. Stadsskoleinspektør Aage Sørensen

ÅRSBERETNING F O R SKAGEN KOMMUNALE SKOLEVÆSEN 1955-1956 VED. Stadsskoleinspektør Aage Sørensen ÅRSBERETNING F O R SKAGEN KOMMUNALE SKOLEVÆSEN 1955-1956 VED Stadsskoleinspektør Aage Sørensen S k a g e n s k o le k o m m is s io n : (d.» / s 1956) P r o v s t W a a g e B e c k, f o r m a n d F r u

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Maksimal strømning 1

Maksimal strømning 1 Makimal rømning 1 Srømningneærk E rømningneærk (eller blo e neærk) N beår af En æge, orienere graf G med ikke-negaie helallige kanæge, hor ægen af en kan e kalde kapacieen c(e) af e To ærlige knder, og

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Misspecifikationer i modal-split modeller

Misspecifikationer i modal-split modeller Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: h@du.dk Absak Økonoeiske

Læs mere

landinspektøren s meddelelsesblad maj 1968 udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører

landinspektøren s meddelelsesblad maj 1968 udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører landinspektøren s meddelelsesblad udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings medlemmer redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører indhold: L a n d in s p e k t ø r lo v e n o g M

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dmk ekke Uetet Sde f 6 de Skftlg pøe, de 4. deceme, Kuu yk Kuu. //4 Vghed: 4 tme lle hjælpemdle: Ige hjælpemdle "Vægtg": eele edømme om e helhed. Alle kl egude med mde det e get. Alle mellemegge kl mege.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

0A Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6

0A Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 0A Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK H/S HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK A6 HC BHK H/S

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Dek1aration vedrørende bebygge1se m.v. på 5 gnmde ved Sko1eve~. 6~, Gl. Hasseris, Hasseris s~gn, deklarerer og_bestemmer herved

Dek1aration vedrørende bebygge1se m.v. på 5 gnmde ved Sko1eve~. 6~, Gl. Hasseris, Hasseris s~gn, deklarerer og_bestemmer herved x- f Mar nr 6, G1 Hasseris Anme1der: Ilasseris kommune r 04085 Dek1araion vedrørende bebygge1se mv på 5 gnmde ved Sko1eve - 1 Underskrevne Hasseris komnjune som ejer a: ejendommen mr nr 6, Gl Hasseris,

Læs mere

t2c,l2d,l2m, 12n,t2p ogl2q Til orientering vedr. ejendommen, Åboulevarden 51-53 Bilag: Skr. mrkt. t2 a + tegn. mrkt. 8000 Aarhus C 20LL Den 25.

t2c,l2d,l2m, 12n,t2p ogl2q Til orientering vedr. ejendommen, Åboulevarden 51-53 Bilag: Skr. mrkt. t2 a + tegn. mrkt. 8000 Aarhus C 20LL Den 25. 8000 Aarhus C De 25. maj 20LL Plalægig og Byggeri Tekik og Miljø Aarhus Kommue Til orieerig vedr. ejedomme, Åboulevarde 51-53 Ejere af Åboulevarde 51-53 har søg om illadelse il idreig af bolig i ageage

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken 6. sepember 2013 JHO Priser og Forbrug Sammenhæng mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og årsal i ejendomssalgssaisikken Dee noa gennemgår sammenhængen mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70 61 Få Anal få (udyk i usind) Belgien 120 Fankig 9 000 Øsig 350 Danmak 120 Iland 5 000 Pougal 3 600 Tyskland 2 000 Ialien 11 000 Finland 70 Gækenland 9 000 Luxemboug 7 Sveige 440 Spanien 24 000 Nedelandene

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Ö ØÒ ÅÓÒÖÙÔ Ò ØÐ ÓÐÚÖÚ ÓÖ ÓÖ ÓÐ ØÖ Ó ÐÚÖ ¼¼¼ Ö ØÒ ÅÓÒÖÙÔ ÒÑÓ ºµ Å ÖØ ÓÔÖ ØÐ ÓÑÑÖÐÐ ÓÖÑÐ ÀÇÄ Ö ÄÖ Ò ÂÙÐ Ò ÇÐ ÖÚ ÖØ ÖÒ ÂÖ ÚÒØ ÂÙÐÒØ ½¼ ÓÖ ÅÓÒÖÙÔ ÅÖÐØ ½ ÓÖ ÅÓÒÖÙÔ ÄÙØÐ ½ Ä ÖÒ Ò ÎÒØÖÒ ØÙÒÒÐ ½ ÓÔÖÒ ÐØ ÒÓÖ

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere