Matematik - faget med den lange historie og den brede favn
|
|
- Frederikke Jette Nøhr
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 LOGOS 2 Matematik - faget med den lange historie og den brede favn - Læreplaner og fagopfattelser af Bjørn Grøn Jeg gik i gymnasiet i 1960 erne, den periode, hvor New Math bevægelsen skyllede ud over hele den vestlige verden som en særpræget reaktion på Sputnik-chokket. New Math var funderet i den såkaldte Bourbakitradition, der er båret af en ekstrem snæver opfattelse af matematik, og hvor man har udgrænset både den historiske dimension og de store filosofiske og erkendelsesmæssige spørgsmål. I Bourbaki-traditionen var opfattelsen, at man billedligt talt først må have styr på matematikkens atomer som logik og mængdelære, før man kan lære om de simpleste molekyler som relationer og algebraiske operationer osv. Beslægtede fagtraditioner kan findes inden for de fleste fag. Men i matematik - og også i fag som fysik - gik man nok længere ud end de fleste. Gymnasiefaget blev udmøntet i emnebaserede fagbekendtgørelser, der lukkede sig om sig selv, og i lærebøger der var kemisk renset for enhver fortælling om matematikkens udvikling og oprindelse. Et af de fremtrædende medlemmer af Bourbaki-gruppen, Dieudonné formulerede slagordet Euclid must go. Og de ryddede grundigt op - fx indgik begrebet keglesnit (der er en fælle navn for cirkler, ellipser, parabler og hyperbler) stadig i pensum, men vi så hverken kegler eller hørte noget om Apollonius eller om genopdagelsen af de antikke skrifter i renæssancen, hvor Kepler netop får sin ide om, at Marsbanen er elliptisk ved at læse Apollonius. På universitetet fremstod faget som en ren mental konstruktion. Var der historiske anmærkninger, var dette begrænset til anekdotisk bemærkninger og angivelse af årstal for de matematikere, der har lagt navn til det ene og det andet. Matematikfaget har altid haft en række forskellige skoler, der er stærkt uenige både om videnskabsteoretiske og fagdidaktiske positioner, men sådanne temaer var helt fraværende i uddannelsen. Der findes ældre matematiklærere, der har oplevet den samme udvikling, og som kan finde på at beskrive dette som en svunden guldalder. Det er nærmest det modsatte. Alt det fantastiske ved matematikfaget, som har været et af de kulturbærende fag i over 4000 år, der rummer så mange erkendelsesmæssige udfordringer og som er det fag der anvendes oftest som redskabsfag af andre blev skåret væk som overflødigt fedt dengang. De nye læreplaner blev udformet under stærk inspiration af den kompetencebaserede beskrivelse af matematikfaget, som blev præsenteret i den såkaldte KOM-rapport (Niss, 2002). Kompetencetænkningen sætter fokus på udvikling af elevens egen evne til at håndtere matematiske begreber og sammenhænge, og til at kunne anvende matematik i et fagligt samspil med andre fag. Kompetencetænkningens forestilling om eleven som aktør, og ikke som en der gives matematiske færdigheder og viden har medført, at nogle grundlæggende didaktiske holdninger til tilrettelæggelsen af undervisningen nu er skrevet ind i læreplanerne. Det betyder, at lærerne skal inddrage dette i deres planlægning af undervisningen. 1
2 Fagets to traditioner - Euklid og Archimedes I den fagopfattelse, der ligger til grund for de nye læreplaner, er matematikfagets indhold og læringsprocessen komplementære størrelser. Man vender ikke ryggen til fagets aksiomatisk-deduktive sider, men ser elevernes tilegnelse af matematiske kompetencer som en spiral, hvor induktive og deduktive elementer bestandig afløser hinanden. Faget har flere parallelt løbende traditioner og ikke blot én. De to hovedlinjer, en der beskæftiger sig med undersøgelse/udforskning af mulige sammenhænge og en, der beskæftiger sig med forankring af de fundne sammenhæng i form af beviser, har begge deres historiske oprindelse i den græske kultur, hvorfra vi på den ene side har overleveret Euklids syntetiske fremstilling af matematikkens elementer, på den anden side en mere udforskende heuristisk analytisk tilgang eksemplificeret ved Arkimedes Om metoden. Disse to traditioner har levet side om side og befrugtet hinanden gennem hele matematikhistorien, og de bør på samme måde leve side om side i de gymnasiale matematikfag. De to traditioner og de nye værktøjer Overvejelser om eksperimenterende tilgange til matematisk læring og matematisk problembehandling er ikke et nyt fænomen, der er opstået med it-værktøjerne. Det er indlejret i den ene af fagets to lange traditioner og er udførligt og inspirerende behandlet i Davis og Hersh s klassiske værk The mathematical Experience (1990). Men it-værktøjerne har løftet hele dette område op på et kvalitativt nyt niveau. I bogen Mathit, der er et resultat at et større udviklingsarbejde om it-værtøjernes didaktiske potentialer, er der et særligt kapitel om universiteternes syn på anvendelsen af eksperimenterende tilgange i matematikundervisningen. På spørgsmålet: Udvikles ræsonnementskompetencen lige så godt i en eksperimentel tilgang som i en traditionel tilgang? svarer professor Steen Markvorsen, DTU: Absolut, og oven i købet meget bedre, fordi vi netop med IT-redskaber har et værktøj og et fartøj, ved hjælp af hvilket vi kan manøvrere os tæt på det matematiske betydningsindhold i det, vi har gang i. Jeg kan godt lide det billede, hvor matematikken faktisk er som en ideel rand af vores totale erfaring om, hvordan ting opfører sig, både abstrakt og konkret. Og IT-værktøjet er absolut et fartøj, der kan bringe os tæt på at forstå den rand. Fagligt samspil Alle fag i gymnasiet er forpligtet på fagligt samspil, og i alle fags læreplaner indgår, at dele af kernestof og supplerende stof skal vælges, så det styrker mulighederne for et sådant samspil. Det faglige samspil skal således ikke ses løsrevet fra den øvrige undervisning, men skal dels styrke elevernes forståelse af de enkelte fag, ved at se faget blive brugt i andre fag, dels styrke elevernes muligheder for at arbejde med fagoverskridende emner. Matematik skal følgelig ikke være helt det samme fag i to forskellige studieretninger, men skal tones efter hvilke fag man er i studieretning med. Det kan fx ske ved at arbejde med opgavetyper og problemer, der henter stof, terminologi og formelsprog fra andre fag. På samme måde skal et fag som oldtidskundskab forstå at tone sig efter studieretningen. Fagligt samspil kan foregå på forskellige niveauer, der alle er relevante. Søren Harnow Klausen har givet en meget anvendelig kategorisering i følgende typer, set fra matematiks side: a) Samspil, hvor matematik indgår som hjælpedisciplin, evt. blot som støttefag. b) Flerfaglige samspil, hvor matematik indgår i et parallelforløb indenfor et overordnet tema/emne. 2
3 c) Fællesfaglighed, hvor matematik indgår i et samspil omkring en fælles problemstilling, der ikke kan afklares indenfor de enkelte fag. d) Fagoverskridende samspil, hvor fagenes grænser ophæves til fordel for fx en fagoverskridende problemstilling, der kræver metoder på tværs af fagene og som styrker de helt generelle tværfaglige kompetencer. (80). Det fagoverskridende samarbejde bør også have fokus på fælles generelle kompetencer, fx omkring ræsonnements- og argumentationskompetencen, og dermed gensidigt styrke de enkelte fags arbejde. Det kan eksempelvis være et fagligt samspil mellem oldtidskundskab og matematik om at forstå den særlige argumentationsform, der opstod i det antikke Grækenland, og som ikke blot fik afgørende indflydelse på matematikkens udvikling men også satte sig dybe spor i filosofiens og teologiens udvikling. Bogen Q.E.D. kan levere et grundlag for et sådant samspil. Men mulighederne er langt støre end blot dette. Når man begynder at afsøge sådanne muligheder og drøfte det kolleger imellem, er det vigtigt at begge fag er åbne. Det er jeg godt klar over af og til kan mangle hos nogle matematiklærere, men det gælder nu også den anden vej. Jeg har mødt en del oldtidskundskabslærere, der har den opfattelse, at foreligger der ikke tekster, så kan faget ikke være med. Så man kan ikke forholde sig til, hvordan de i oldtiden organiserede sig i bysamfund osv. En sådan opfattelse er både ufattelig snæver, men også ødelæggende for samarbejdet. Vi skal ikke stille absolutte vetoagtige krav op. Tværtimod er det jo utroligt spændende at bringe sit fag i spil i helt nye sammenhænge. I stedet for at jeg remser ideer op, skal læserne nu selv gøre en lille indsats. Sammen med tre andre er jeg i færd med at skrive et nyt lærebogssystem, bl.a. for at demonstrere i praksis et matematiksyn, hvor faget lever gennem store fortællinger, anvendelser og samspil med andre fag. C-bogen er udkommet og B-bogen kommer til august. Sammen med lærebøgerne udkommer der i-bøger, der rummer alt stoffet i lærebogen, men dertil en masse andet stof i form af 5 ekstra studieretningskapitler, ca. 100 projekter og en masse kildetekster. i-bogen er åben for alle indtil sommeren. Den tilgås på adressen: web.lru.dk. Kapitel 10 i i-bogen hedder Matematik og kultur og man kan få et indtryk af indholdet af nogle klip fra indholdsfortegnelsen: 3
4 4
5 I dette kapitel 10 ligger der 16 projekter, hvoraf mange kunne have interesse for oldtidskundskab. Jeg nævner blot nogle stykker, der præsenteres i i-bogen gennem disse manchetter: Projekt 10.2 Euklidisk tankegang i europæisk kulturhistorie Den euklidiske tankegang har påvirket hele den europæiske kulturkreds. Projektet omfatter både eksempler fra Euklids forgængere indenfor filosofi og litteratur Aristoteles logik og Homers Iliade og eksempler på sådanne skelsættende værker med tydelige Euklidiske fingeraftryk som Spinozas etik, Newtons optik, Den amerikanske uafhængighedserklæring og Russels og Whiteheads Principia Mathematica. Projekt 10.4 Videnskabsteori - Lakatos og Eulers polyedersætning Den ungarske matematiker Imre Lakatos var en af de største formidlere af matematik i det 20. århundrede, og samtidig en af de store videnskabsteoretikere. Han var påvirket af Platons dialoger, men udvikler dem dynamisk på en måde, så han demonstrerer, hvordan gamle rammer for matematik sprænges og ny erkendelse opstår. Hans dialog om Eulers polyedersætning er en klassiker i matematikhistorien. I projektet vil du møde fyldige uddrag af bogen. Projekt Det udelukkedes tredjes princip 5
6 Dette princip eller aksiom siger, at for en given påstand gælder altid, at enten er påstanden sand eller den modsatte påstand er sand. Der er ikke en tredje mulighed. Selv om man i daglig tale har et begreb som halvdød, så er der ingen tilstand midt imellem. Men gælder det i alle spørgsmål? Projekt Serlios søjleordner og spiralkonstruktioner I 1500 tallet udgav den italienske arkitekt Sebastiano Serlio De syv bøger om arkitektur, hvor han i alle detaljer fastlagde regler for byggeri. Værket er skrevet så den kunne anvendes som en manual af samtidens håndværkere, og den er samtidig tydeligt inspireret af Euklids Elementer. I projektet vil vi arbejde med en af detaljerne heri, nemlig konstruktion af spiraler, der har været et mønster, menneskene har brugt til alle tider. Men gå selv ind og undersøg det og tag din matematiklærer med ved hånden. Det er en og samme kulturkreds, der lagde jordbund til Euklids Elementer, Sofokles Ødipus, Zenons paradokser, Myrons Diskoskaster, Archimedes Om metoden og tempelingeniørernes søjlekonstruktioner. Derfor er det også, at man kan få god inspiration til at tænke over, hvad matematik er for en konstruktion, ved at læse Sofokles Ødipus. Og man får bedre indsigt i, hvorfor Diskoskasteren er udført sådan, når man tænker over bevægelsens mulighed og umulighed hos Zenon. Lad os finde ind til det fælles. 6
7 Illustrationer til Bjørn Grøns artikel i Logos nr. 2 Et af de ældste bevarede fragmenter af "Euklids elementer" (Bog 2, sætning 5) fundet i Oxyrhynchus 150 km syd for Cairo og dateret til ca. 100 efter vor tidsregning.<kilde : 7
8 Pythagoras sætning i den græske udgave af Euklids Elementer. Konstantinopels version af Euklids Elementer fra 888 befinder sig i dag på Bodleians bibliotek i England. Biblioteket har lagt en scanning ud på nettet, så alle med selvsyn kan gennemse ophavet til alle de udgaver af Euklids Elementer, der findes. Euklids Elementer kom i første omgang tilbage til Vesteuropa gennem den arabiske oversættelse. kilde: Euklid i middelalderen: Undervisning i geometri. Fra en middelalderudgave (ca. 1310) af den tidligste vesteuropæiske udgave af Euklids elementer. Oversat til Latin fra Arabisk ca af englænderen Adelard of Bath, der stiftede bekendtskab med de arabiske oversættelser på lange rejser i bl.a. middelhavsområdet. kilde: 8
9 Euklid i renæssancen: Luca Pacioli med elev. Maleriet fra 1495 tilskrives traditionelt Jacopo de Barari ( ), Capodimonte museet i Napoli, Italien. På billedet demonstrerer Luca Pacioli en sætning af Euklid. På bordet ses en model af et dodekaeder (regulært polyeder omkranset af 12 regulære femkanter). I luften hænger et gennemsigtigt semiregulært polyeder halvt fyldt med vand. Det vides ikke med sikkerhed hvem eleven forestiller. Luca Pacioli ( ) var franciskanermunk og matematiker. kilde: Euklid i den tidlige oplysningstid: Vi har intet at frygte, for jeg ser tegn på mennesker. Titelbladet fra skotten David Gregorys udgave fra 1703 af Euklids samlede værker (altså ikke kun elementerne Gregorys udgave var den første samlede udgave af Euklid i den vesteuropæiske verden). Billedet gengiver en fortælling af den antikke romerske arkitekt Vitruvius, de Architectura, kap. 6. 9
10 kilde: Euklid i romantikken: Oliver Byrne s farvelagte udgave fra 1847, hvor den excentriske matematiker drømte om at gøre Euklids tankegangs forståelig ved systematisk brug af farvekoder. Som pædagogisk princip fandt Byrnes ideer kun ringe opbakning. Men kunstnerisk går der klare tråde fra Byrnes pragtværk til den moderne non-figurative kunst. På nettet kan du finde Oliver Byrne s udgave her. <link til 10
Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs merePå websitet til Verden efter 1914 vil eleverne blive udfordret, idet de i højere omfang selv skal formulere problemstillingerne.
Carl-Johan Bryld, forfatter AT FINDE DET PERSPEKTIVRIGE Historikeren og underviseren Carl-Johan Bryld er aktuel med Systime-udgivelsen Verden efter 1914 i dansk perspektiv, en lærebog til historie i gymnasiet,
Læs mereKompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin
Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kort bestemmelse af faget Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved et samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds-
Læs merePerspektiver med it. CAS, dynamisk geometri, simulering og netadgang Andre kompetencer eller mere i spil. Oplæg Hjørring den 1/11-2010, Olav Lyndrup
Perspektiver med it CAS, dynamisk geometri, simulering og netadgang Andre kompetencer eller mere i spil Oplæg Hjørring den 1/11-2010, Olav Lyndrup Angrebsvinkler Læreplaner 2005 og 2010 Den daglige undervisning
Læs mereKompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin
Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved
Læs mereBIOLOGI OG SUNDHED BIOLOGI A MATEMATIK B KEMI B
BIOLOGI OG SUNDHED BIOLOGI A MATEMATIK B KEMI B STX - MENNESKET I DEN GLOBALE VERDEN SAMMENHÆNGEN MELLEM MENNESKE OG NATUR Studieretningen sætter fokus på menneskets biologi og sundhed. I biologi og kemi
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereMatematisk fagdidaktik
Matematisk fagdidaktik Det er lærerens ansvar at tilrettelægge en undervisning, der giver eleverne mulighed for at opfylde kravene i læreplanen. Dette ansvar kan ikke overlades til en given lærebog. Læreren
Læs mereDen mundtlige dimension og Mundtlig eksamen
Den mundtlige dimension og Mundtlig eksamen Mål med oplægget At få (øget) kendskab til det der forventes af os i forhold til den mundtlige dimension At få inspiration til arbejdet med det mundtlige At
Læs mereSTUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE
STUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE På Ribe Katedralskole er grundforløbet tilrettelagt ens for alle elever, så eleverne uden problemer kan ændre deres foreløbige ønske om studieretning, når der til
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereind i historien 3. k l a s s e
find ind i historien 3. k l a s s e»find Ind i Historien, 3.-5. klasse«udgør sammen med historiesystemet for de ældste klassetrin»ind i Historien Danmark og Verden, 6.-8. klasse«og»ind i Historien Danmark
Læs mereGymnasiet. Vesthimmerlands Gymnasium & HF. ... mange års erfaring gør en forskel!
Gymnasiet Sprog & Kultur Natur & Videnskab Musik & Kreativitet Krop & Sundhed Sprog & Samfund Vesthimmerlands Gymnasium & HF... mange års erfaring gør en forskel! 1 Hvad vælger du? På VHG kan du vælge
Læs mereIndholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole
Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering... 2 Socialkognitiv karriereteori - SCCT... 3 Nøglebegreb 1 - Tro på egen formåen... 3 Nøglebegreb 2 - Forventninger til udbyttet...
Læs mereStudieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen
Studieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen Kilde: Den store danske encyklopædi reto rik Men det er, som Aristoteles også fremhæver, ikke ligegyldigt, om man siger tingene
Læs mereDannelse i gymnasiet: Hvad, Hvorfor, Hvordan.
Børne- og Undervisningsudvalget 2015-16 BUU Alm.del Bilag 142 Offentligt 1 Dannelse i gymnasiet: Hvad, Hvorfor, Hvordan. Tale på uddannelsespolitisk konference på Christiansborg, lørdag, den 28-11-2015.
Læs mereNyt i faget Matematik
Almen voksenuddannelse Nyt i faget Matematik Juli 2012 Indhold Bekendtgørelsesændringer Ændringer af undervisningsvejledningen Den nye opgavetype ved den skriftlige prøve efter D Ændringer af rettevejledningen
Læs mereChristian Hansen: Filosofien i hverdagen. Christian Hansen og forlaget Klim, 2005
Christian Hansen: Filosofien i hverdagen Christian Hansen og forlaget Klim, 2005 Omslagslayout: Joyce Grosswiler Sats: Klim: Clearface 10,5 samt Futura Tryk: Narayana Press, Gylling Indbinding: Damms Bogbinderi,
Læs mereEn mini e-bog til dig fra Solrød Kommune i samarbejde med Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB
En mini e-bog til dig fra Solrød Kommune i samarbejde med Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB Kan du svare klart på alle 7 spørgsmål
Læs mereEvaluering af kompetencer
Evaluering af kompetencer Odense den 13. maj 2013 http://tinyurl.com/cca2glm Montaigne Man burde spørge hvem der ved rigtigst, ikke hvem der ved mest. KOMPIS http://tinyurl.com/d4m295w Målsætning og planlægning
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereDet gyldne snit, forløb i 1. g
Det gyldne snit, forløb i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler og tabeller - Bruge geometriprogram - Læse en elementær tekst selv om et fagligt
Læs mereMatematik i AT (til lærere)
1 Matematik i AT (til lærere) Matematik i AT (til lærere) INDHOLD 1. PROBLEMFELTER MED MATEMATIK I AT 2 2. DE ENKELTE AT-FORLØB 3 3. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 4 4. PROGRESSION
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereNogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.
Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter
Læs mereHvor er det dog en overvældende følelse, at stå her med eksamensbeviserne i. hænderne, huerne på hovedet - og formentligt en gang god sprit i blodet!
Kære alle sammen. Kære lærere, kære forældre og kære studenter. Hvor er det dog en overvældende følelse, at stå her med eksamensbeviserne i hænderne, huerne på hovedet - og formentligt en gang god sprit
Læs mereChristianshavns Gymnasium. Evaluering af grundforløbet i skoleåret 2014-2015
Christianshavns Gymnasium Evaluering af grundforløbet i skoleåret 2014-2015 Hensigt Hensigten med evalueringen er at få et helhedsbillede af 1.g-elevernes opfattelse af og tilfredshed med grundforløbet
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereJorden placeres i centrum
Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale
Læs mereHANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE
HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende
Læs mereMatematiske billeder, sprog og læsning. Michael Wahl Andersen
Matematiske billeder, sprog og læsning Michael Wahl Andersen Michael Wahl Andersen Matematiske billeder, sprog og læsning 1. udgave, 2. oplag, 2010 2008 Dafolo Forlag og forfatteren DTP og omslag: Lars
Læs merePrøver Evaluering Undervisning. Fysik/kemi. Maj-juni 2008
Prøver Evaluering Undervisning Fysik/kemi Maj-juni 2008 Ved fagkonsulent Anette Gjervig 1 Indledning Denne evaluering er udarbejdet på grundlag af censorberetninger fra syv censorer, der har medvirket
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereMatematik på mellemtrinnet. Kort om evalueringen
Matematik på mellemtrinnet Kort om evalueringen Kort om evalueringen Danmarks Evalueringsinstitut, EVA, har i en evaluering set på arbejdet med at udvikle elevernes matematikkompetencer på grundskolens
Læs mereDe femårige gymnasieforløb
GENTOFTE KOMMUNE De femårige gymnasieforløb i Gentofte Kommune Forord I Gentofte Kommune er vi ambitiøse og det er derfor med stor glæde, at vi sender dette tilbud ud til alle 7. klasses elever. Vi kan
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mereXM @ DTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Matematik 1 på DTU S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 1 Matematik 1 I begyndelsen af det tredie årtusind hedder på Danmarks
Læs mere10 principper bag Værdsættende samtale
10 principper bag Værdsættende samtale 2 Værdsættende samtale Værdsættende samtale er en daglig praksis, en måde at leve livet på. Det er også en filosofi om den menneskelige erkendelse og en teori om,
Læs mereColofon. Udgivet af Inerisaavik 2009 Udarbejdet af fagkonsulent Erik Christiansen Redigeret af specialkonsulent Louise Richter Elektronisk udgave
Colofon Udgivet af Inerisaavik 2009 Udarbejdet af fagkonsulent Erik Christiansen Redigeret af specialkonsulent Louise Richter Elektronisk udgave Indhold Evaluering af matematik 2008 2 Tekstopgivelser 2
Læs mereLæsetræning 2B. Margaret Maggs & Jørgen Brenting. - læs og forstå. illustration: Birgitte Flarup
Læsetræning 2B - læs og forstå Margaret Maggs & Jørgen Brenting illustration: Birgitte Flarup Denne bog er hentet fra Baskervilles Depot som e-bog til udskrivning på egen printer. Ved at købe adgang til
Læs mereNår en 125 år gammel madpakke begynder at fortælle... En workshop i Almen Didaktik uden for klasseværelsets fire vægge
Når en 125 år gammel madpakke begynder at fortælle... En workshop i Almen Didaktik uden for klasseværelsets fire vægge Af Linda Nørgaard Andersen, Skoletjenesten Arbejdermuseet Uanset hvilket linjefag
Læs mereÅrsplan for fag: Historie 7. årgang 2015/2016
Årsplan for fag: Historie 7. årgang 2015/2016 Antal lektioner kompetencemål Færdigheds og vidensområder Fortælle om Uge 33 37 middelalderen i Danmark og nogle af de personer, der spillede en vigtig rolle
Læs mereGaudí og den hexagonale form - et oplæg
Når man bevæger sig op ad Passeig de Gracia fra Plaça Catalunya, så møder blikket som noget af det første den helt unikke fliselægning af hexagoner. Fliselægningen på Passeig de Gracia stammer idémæssigt
Læs mereSpørgeskemaundersøgelse blandt stxlederne. Bilag til evaluering af gymnasiereformen på hhx, htx og stx samt fagområdeevalueringer 2008
Spørgeskemaundersøgelse blandt stxlederne Bilag til evaluering af gymnasiereformen på hhx, htx og stx samt fagområdeevalueringer 2008 Spørgeskemaundersøgelse blandt stxlederne Bilag til evaluering af gymnasiereformen
Læs mereMUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 1.-3. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse!
MUSEET PÅ VEN Lærervejledning 1.-3. klasse Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! Denne vejledning er tænkt som et tilbud for dem der godt kunne tænke sig at
Læs mereAristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen
Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereMundtlig prøve i Matematik
Mundtlig prøve i Matematik Tirsdag d. 9. september 2014 CFU Sjælland Mikael Scheby NTS-Center Øst Dagens indhold Prøvebekendtgørelse highlights Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler
Læs mere1b. Mat A, Kemi A, Fys B
Studieretningsbeskrivelse for 1b. Mat A, Kemi A, Fys B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et
Læs mereMatematiklærernes dag. 8. November 2010
Matematiklærernes dag 8. November 2010 Desværre ikke en bi-implikaktion - men ikke ind i himlen.. De forsvundne tegn Eight Franklins Square Bare for at gøre det.. Eight Franklins Square Diameteren i trekanten
Læs mereEVALUERINGSSTRATEGI FOR NÆSTVED GYMNASIUM OG HF
EVALUERINGSSTRATEGI FOR NÆSTVED GYMNASIUM OG HF Skolen skal sikre kvalitet i undervisningen på et overordnet niveau, hvilket er beskrevet i Bekendtgørelse om kvalitetssikring og resultatudvikling med dennes
Læs mereAT og Synopsisprøve Nørre Gymnasium
AT og Synopsisprøve Nørre Gymnasium Indhold af en synopsis (jvf. læreplanen)... 2 Synopsis med innovativt løsingsforslag... 3 Indhold af synopsis med innovativt løsningsforslag... 3 Lidt om synopsen...
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereKort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog
Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange
Læs merewww.forlagetalfa.dk hentet fra
Tilegnet Lasse, Rasmus og Anders Lise Søelund På spring med Kierkegaard en dåseåbner i form af et filosofisk essay Lise Søelund På spring med Kierkegaard en dåseåbner i form af et filosofisk essay Lise
Læs mereÅrsplan for matematik i 1. klasse 2010-11
Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden
Læs mereNår ledelse sker - mellem viden og væren 1. udgave 1. oplag, 2015
1 Når ledelse sker - mellem viden og væren 1. udgave 1. oplag, 2015 2015 Nyt Perspektiv og forfatterne Alle rettigheder forbeholdes Mekanisk, elektronisk, fotografisk eller anden gengivelse af eller kopiering
Læs mereL Æ R I N G S H I S T O R I E
LÆRINGS HISTORIE LÆRINGS HISTORIE Kom godt i gang Før I går i gang med at arbejde med dokumentationsmetoderne, er det vigtigt, at I læser folderen Kom godt i gang med værktøjskassen. I folderen gives en
Læs mereBadminton, basketball og karate på eliteniveau www.solgym.dk
Badminton, basketball og karate på eliteniveau www.solgym.dk Studieretninger med tilpasset skema til træning af idræt på eliteplan I sommeren 2008 begyndte vores første klasse på en særlig eliteidræts-studieretning,
Læs mereINDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan?
Indhold INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan? 14 INDFØRING Filosofi 16 Filosofi spørgsmål og svar
Læs mereLEMNISKATEN - et udviklingsværktøj
LEMNISKATEN - et udviklingsværktøj Hvad er en lemniskate? Ordet Lemniskate kommer fra græsk, og betyder sløjfeformet kurve. Det er det matematiske tegn for uendelighed. Lemniskaten er et udviklingsværktøj,
Læs mereEN LÆRERGUIDE TIL EKSPERIMENT OG FÆLLESSKAB
EN LÆRERGUIDE TIL EKSPERIMENT OG FÆLLESSKAB INTRODUKTION TIL LÆRERGUIDEN I perioden 3. marts 8. april 2012 kan du og din klasse opleve sammenslutningen Den Frie Udstillings Forårsudstilling 2012, der viser
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereTips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF
Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De
Læs mereAARHUS B I LLED- OG MED I ESKOLE
AARHUS B I LLED- OG MED I ESKOLE 1 Talentudviklingsholdet i AARHUS BILLED- OG MEDIESKOLE er for unge fra 15-19 år. Holdet er et 2-årigt forløb med undervisning 1 gang om ugen. Vi samarbejder med ARoS,
Læs mereModellering med Lego education kran (9686)
Modellering med Lego education kran (9686) - Et undervisningsforløb i Lego education med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Kranen - et modelleringsprojekt
Læs mereTysk fortsættersprog A stx, juni 2010
Tysk fortsættersprog A stx, juni 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Tysk er et færdighedsfag, et vidensfag og et kulturfag. Disse sider af faget er ligeværdige og betinger gensidigt hinanden. Tyskfaget
Læs mereINDVIELSE. i Egypten. Erik Ansvang. www.visdomsnettet.dk
1 INDVIELSE i Egypten Erik Ansvang www.visdomsnettet.dk 2 INDVIELSE i Egypten Af Erik Ansvang Indviet i Egypten Den traditionelle egyptologi afviser kategorisk, at pyramider og templer fungerede som en
Læs mereForsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014
Bilag 26 Forsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Græsk er et sprog- og kulturfag, der omhandler antikken som grundlag for europæisk kultur. Faget beskæftiger
Læs mere1 Indledning. Erkendelsesteori er spørgsmålet om, hvor sikker menneskelig viden er.
Indhold Forord 7 1. Indledning 9 2. Filosofi og kristendom 13 3. Før-sokratikerne og Sokrates 18 4. Platon 21 5. Aristoteles 24 6. Augustin 26 7. Thomas Aquinas 30 8. Martin Luther 32 9. 30-årskrigen 34
Læs merePrøver evaluering undervisning
Prøver evaluering undervisning Fysik/kemi Maj juni 2011 Ved fagkonsulent Anette Gjervig Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Ministeriet for Børn og Undervisning 1 Indhold Indledning... 3 De formelle krav til
Læs mereDet tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen?
75 K O M M E N TA R E R Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? Henrik Bang Center for Computerbaseret Matematikundervisning, CMU Claus Larsen Center for Computerbaseret Matematikundervisning,
Læs mereVurderingskriterier i forbindelse med valg af læremidler til distributionssamlingerne på Centre for undervisningsmidler
Vurderingskriterier i forbindelse med valg af læremidler til distributionssamlingerne på Centre for undervisningsmidler AF: ELSEBETH SØRENSEN, UNIVERSITY COLLEGE SJÆLLAND, CENTER FOR UNDERVISNINGSMIDLER
Læs mereNordagerskolen Matematisk læring i det 21. århundrede
Nordagerskolen Matematisk læring i det 21. århundrede 1 2 Indholdsfortegnelse Overordnet målsætning 4 Fokusområder 5 Elevernes lyst til at lære og bruge matematik 5 Matematikken i førskolealderen 6 Matematikken
Læs merePrædiken til 2. Påskedag kl. 10.00 i Engesvang
Prædiken til 2. Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 2. påskedag 408 Nu ringer alle klokker 222 Opstanden er den Herre Krist 234 Som forårssolen 241 Tag det sorte kors fra graven Nadververs 478 v. 4 af Han står
Læs mereKræft var sjældent i oldtiden 25. december 2010 kl. 07:30
Kræft var sjældent i oldtiden 25. december 2010 kl. 07:30 Ny forskning antyder, at kræft var en sjælden sygdom i oldtiden. Det strider imod mange kræftforskeres opfattelse af sygdommen. Af Andreas R. Graven,
Læs mereUVB - Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
UVB - Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 Institution Teknisk Gymnasium Skive - Skive Tekniske Skole Uddannelse HTX Fag
Læs mere5. Bio A, Idræt B, Mat B
Studieretningsbeskrivelse for 5. Bio A, Idræt B, Mat B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et
Læs mereAristoteles og de athenske akademier
lige geometriske genstande, som var evige og foranderlige størrelser i en abstrakt verden. Erkendelse var således ikke erkendelse af sansernes verden, men af en anden verden, kun tilgængelig for ånden.
Læs mereForsøgslæreplan for latin A stx, marts 2014
Bilag 33 Forsøgslæreplan for latin A stx, marts 2014 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Latin er et sprog- og kulturfag. På grundlag af væsentlige latinske tekster og romerskarkæologisk materiale beskæftiger
Læs mereHistorie i SRP. Hvordan får man fagligheden med?
Historie i SRP Hvordan får man fagligheden med? Det skal I kunne I bekendtgørelsen for SRP står: Formålet med studieretningsprojektet er, at eleverne arbejder selvstændigt med at fordybe sig i og formidle
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2015/Forår 2016 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer STX Oldtidskundskab C Line Sakariasen - LN Hold 3.i Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereBarbie s Bungee Jump Eleverne kan på baggrund af en matematisk/naturfaglig undersøgelse, med efterfølgende behandling af data forudsige udfaldet af et praktisk eksperiment. Eleverne vil erfare nødvendigheden
Læs mereTeknologihistorie. Historien bag FIA-metoden
Historien bag FIA-metoden Baggrund: Drivkræfter i den videnskabelige proces Opfindermyten holder den? Det er stadig en udbredt opfattelse, at opfindere som typer er geniale og nogle gange sære og ensomme
Læs mereDansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning
Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Indhold Formalia, opsætning og indhold... Faser i opgaveskrivningen... Første fase: Idéfasen... Anden fase: Indsamlingsfasen... Tredje fase: Læse- og bearbejdningsfasen...
Læs mereProjekt faglig formidling
Projekt faglig formidling Fælles projekt mellem kommunikation/it og Matematik Hvad går projektet ud på? Vi er i Kom/IT og matematik startet på et nyt SO projekt, der hedder faglig formidling, hvor at vi
Læs mereBilag 3: Elevinterview 2 Informant: Elev 2 (E2) Interviewer: Louise (LO) Interviewer 2: Line (LI) Tid: 10:45
Bilag 3: Elevinterview 2 Informant: Elev 2 (E2) Interviewer: Louise (LO) Interviewer 2: Line (LI) Tid: 10:45 LO: Det er egentlig bare en udbygning af de spørgsmål, der var på spørgeskemaet. Det er bare
Læs mereSÅ ER DET SLUT MED PAPIR
SÅ ER DET SLUT PREBEN MEJER Direktør for Innovation Lab MED PAPIR 8 SYSTIMES Fremtidens forlag må simpelthen leve og ånde i en elektronisk verden. En diskussion af undervisningsteknologi ville vel ikke
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereNordagerskolen Matematisk læring i det 21. århundrede
Nordagerskolen Matematisk læring i det 21. århundrede 1 Indholdsfortegnelse Overordnet målsætning 3 Elevernes lyst til at lære og bruge matematik 3 Matematikken i førskolealderen 3 Matematikken i indskolingen
Læs mereFaglig fordybelse fra sansning til tænkning
Faglig fordybelse fra sansning til tænkning AV HENRIK THAULOW Henrik Thaulow, klasselærer og kunst- og håndverkslærer, Steinerskolen på Ringerike siden 1991. De siste 4 årene i perioder på RSIO, billedkunståret.
Læs mereJeg er den direkte vej til en tastefejl
Flemming Jensen Jeg er den direkte vej til en tastefejl - om livet med en talblind Papyrus Publishing Tilegnet Louise Bech Via sin kærlighed og ærlighed har hun givet mig mulighed for at give udtryk for
Læs mereBrøker kan repræsentere dele af et hele som et område (fx ½ sandwich, ½ pizza, ½ æble, ½ ton grus).
Elevmateriale Undervisningsforløb Undervisningsforløbet er tiltænkt elever på 5. klassetrin. Der arbejdes en uge med hver af de tre hovedpointer, i fjerde uge arbejdes der med refleksionsaktiviteter, og
Læs mereTabelrapport. Bilag til fagevaluering af matematik B på hhx og stx
Tabelrapport Bilag til fagevaluering af matematik B på hhx og stx Tabelrapport Bilag til fagevaluering af matematik B på hhx og stx Tabelrapport Danmarks Evalueringsinstitut Citat med kildeangivelse er
Læs mereGuldbog Kemi C Copyright 2016 af Mira Backes og Christian Bøgelund.
Guldbog Kemi C Copyright 2016 af Mira Backes og Christian Bøgelund. Alle rettigheder forbeholdes. Mekanisk, fotografisk eller elektronisk gengivelse af denne bog eller dele heraf er uden forfatternes skriftlige
Læs mereÅrsplan matematik 1. klasse 2015/2016
Årsplan matematik 1. klasse 2015/2016 Undervisningen vil tage udgangspunkt i systemet Matematrix. I 1. klasse får eleverne udleveret 2 arbejdsbøger (Trix 1a + Trix 1b). Den pædagogiske tankegang i dette
Læs mere2. Mat A, Fys B, Kemi B
Studieretningsbeskrivelse for 2. Mat A, Fys B, Kemi B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et fælles
Læs mere