STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl GUX-MAA

Transkript

1 STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl GUX-MAA

2 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres efter en time. Delprøven med hjælpemidler består af opgaverne 7 til 14 med i alt 19 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse. I prøvens første time må kun særligt tilladte hjælpemidler benyttes. I prøvens sidste del er alle hjælpemidler tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.

3 GUX matematik A - prøveform b 014 side 1 af 6 Delprøven uden hjælpemidler Kl Opgave 1 Udviklingen i antal slædehunde i Ittoqqortoormiit i årene 006 til 011 kan beskrives ved modellen s( x) = 46 0, 9 x hvor s (x) er antal slædehunde x år efter 006. a) Forklar betydningen af tallene 46 og 0,9 i modellen. Kilde: bank.stat.gl antal slædehunde år efter Opgave a) Tegn en graf for funktionen f, der opfylder følgende: definitionsmængden er Dm( f ) = ] 9;7] værdimængden er Vm( f ) = [ 8;6] f ( ) = 3 f ( = 4) 0 Bilag 1 kan benyttes. Opgave 3 a) Vis, at funktionen x dy = + 3 e er en løsning til differentialligningen = y. dx

4 GUX matematik A - prøveform b 014 side af 6 Opgave 4 I koordinatsystemet med begyndelsespunkt O er der, som vist på figuren, afbildet seks stedvektorer OA, OB, OC, OD, OE og OF. Desuden er der givet to vektorer 3 a = 4 og 5 b = 1 a) Gør rede for, hvilke af de seks stedvektorer der svarer til vektorerne a, â og a b. Opgave 5 En funktion f er bestemt ved = 3x + 6x 1 a) Bestem en forskrift for den stamfunktion F (x) til f (x), som opfylder, at F ( 1) = 5. Opgave 6 Figuren viser grafen for funktionen f givet ved = x 1x + 18 I den retvinklede trekant PQR har de to kateter henholdsvis længden x og f (x), hvor 0 < x < 3. Funktionen A (x) betegner arealet af trekant PQR som funktion af x. a) Bestem en forskrift for A (x). Bestem den værdi af x, der giver det størst mulige areal af trekant PQR. Besvarelsen afleveres kl

5 GUX matematik A - prøveform b 014 side 3 af 6 Delprøven med hjælpemidler Kl Opgave 7 Figuren viser en model af en trappe-stol, hvor målene er angivet i cm. Billedet viser trappe-stolen. 4 a) Bestem vinkel v. b) Bestem siddepladens højde s. s v Opgave 8 Temperaturen i Sisimiut er målt i en periode i april 013. Temperaturerne fordeler sig således Temperatur i Celsius ] 8; 6] ] 6; 4] ] 4; ] ] ;0] ] 0 ;] ] ;4] I alt Hyppighed a) Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn sumkurven for fordelingen af temperaturerne. b) Bestem middeltallet og medianen for fordelingen af temperaturerne. Kilde:

6 GUX matematik A - prøveform b 014 side 4 af 6 Opgave 9 Tabellen viser det antal elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse i Grønland i årene Årstal Antal elever I en model beskrives udviklingen i antallet af elever ved en funktion af typen = a x + b hvor x er antal år efter 007, og f (x) er antallet af elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse. a) Indtegn tabellens data i et koordinatsystem, og bestem tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme antallet af elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse i 01. c) Det faktiske antal elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse i 01 var 575. Sammenlign dette tal med værdien bestemt i spørgsmål b), og kommentér resultatet. Kilde:bank.stat.gl Opgave 10 Cirklen med ligningen ( x ) + ( y 1) = 5 er indtegnet i koordinatsystemet til højre. Punktet A (,6) ligger på cirklen. a) Vis, at B ( 6, ) ligger på cirklen, og bestem længden af linjestykket AB. Pilhøjden h kan bestemmes ud fra formlen v h = r 1 cos hvor v er vinklen vist på figuren, og r er radius i cirklen. b) Bestem vinklen v og pilhøjden h.

7 GUX matematik A - prøveform b 014 side 5 af 6 Opgave 11 En funktion f er bestemt ved = x x, x 0 De grå områder på figuren M 1 og M er afgrænset af grafen for f, x-aksen samt linjen med ligningen x = 4. M1 og M har begge et areal. a) Bestem det samlede areal af de grå områder. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M 1 drejes 360 om x-aksen. Opgave 1 I en model kan udviklingen i antallet af pukkelhvaler i en bestemt population i den sydøstlige del af Stillehavet beskrives ved differentialligningen ( 5800 N( )) N ( t) = 0, N ( t) t hvor N (t) betegner antallet af pukkelhvaler i populationen til tiden t (målt i år). a) Bestem væksthastigheden N (t) på det tidspunkt, hvor antallet af pukkelhvaler er 3000, dvs. når N ( t) = b) Bestem en forskrift for N (t), når N ( 0) = 19. c) Tegn grafen for N (t), når 0 t 100, og bestem modellens øvre grænse for antallet af pukkelhvaler i populationen. Kilde:

8 GUX matematik A - prøveform b 014 side 6 af 6 Opgave 13 Figuren nedenfor til venstre viser en gavl på Det gamle hospital i Nuuk. På figuren nedenfor til højre er indgangspartiet fra gavlen tegnet i et koordinatsystem i rummet, hvor enheden er 1 dm. Koordinatsættene til de navngivne punkter på figuren til højre er A (0,0,0), B( 14,0,13), C (0,17,0), D (70,17,0) og E(, 0,13). a) Bestem en ligning for den plan α, der indeholder tagfladen ABC. Tagfladen BCDE er indeholdt i planen β, der har ligningen 13 y + 17z 1 = 0. b) Bestem den stumpe vinkel mellem de to tagflader ABC og BCDE. c) Bestem arealet af tagfladen ABC. Opgave 14 Funktionen f er bestemt ved forskriften x = e, 5 x 5 a) Vis ud fra formlen i faktaboksen, at krumningen k (x) af grafen for f er k( x) = e x 3 x ( 1+ e ) Krumningen k (x) af grafen for en funktion f i et punkt P ( x, ) er bestemt ved udtrykket f ( x) k( x) = 3 1+ f ( x) ( ( ) ) Faktaboks b) Bestem krumningen af grafen for f, når x = 0. Bestem den x-værdi, hvor krumningen af grafen for f er størst.