Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2"

Transkript

1 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på målinger. Fordelingens sandsynlighedsteoretiske egenskaber giver et solidt matematisk grundlag at bygge på. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Normalfordelingen er symmetrisk, har et maximum og er fuldstændigt beskrevet ved to parametre, nemlig midddelværdien og variansen (eller standardafvigelsen). 2 Hvis X er normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2 har X tæthed { } ϕ(x) = exp (x µ)2 2πσ 2 2σ 2 Vi skriver X N(µ, σ 2 ) Vi antager fremover at vi har observationer af x = (x,..., x n ) X = (X,..., X n ) hvor X i, i =,..., n er normalfordelte med samme varians σ 2, men muligvis med forskellig middelværdi µ i. T-test benyttes når man vil teste hypoteser om middelværdien af normalfordelte variable. Vi ser på 3 forskellige slags t-test: One-sample t-test benyttes når man vil teste om uafhængige, identisk fordelte normale variable kommer fra en fordeling med en kendt middelværdi. Uparret t-test benyttes når man vil sammenligne middelværdierne i to grupper af uafhængige, identisk fordelte normale variable. Det antages at der er samme varians i de to grupper, og man ønsker at teste om middelværdierne er ens. Parret t-test benyttes når man vil teste om differencen mellem sammenhørende par af observationer af normalfordelte variable med samme varians kommer fra en normalfordeling med kendt middelværdi. Er det samme som one-sample t-test udført på differenserne. 3 4

2 One-sample t-test Statistisk model: hvor N (µ,σ 2 ) har tæthed Hypotese: ϕ (µ,σ 2 )(x) = (R n, (N (µ,σ 2 )) (µ,σ 2 ) R ]0, [) ( 2πσ 2 ) n exp { H : µ = µ 0 2σ 2 } (x s µ) 2 s= Estimatorer under den fulde model: og ˆµ = n ˆσ 2 = n dog benyttes s 2 = x s = x s= (x s x) 2 s= n (x s x) 2 ˆµ N(µ, σ2 n ) ; SSD = nˆσ2 = (n )s 2 σ 2 χ 2 n ; ˆµ s 2 s= 5 6 Kvotientteststørrelsen for test af µ = µ 0 er Estimatorer under hypotesen: µ = µ 0 σ 2 = (x s µ 0 ) 2 n s= og n σ 2 σ 2 χ 2 n ( ˆσ 2 Q(x) = σ 2 ) n 2 og testsandsynligheden er givet ved ( ɛ(x) = 2P T n x µ ) 0 s/ n hvor T n er T fordelt med n frihedsgrader. Bemærk: Vi beregner gennemsnittet, trækker den formodede middelværdi fra og dividerer med et estimat af standardafvigelsen. Vi har altså en teststørrelse, der under hypotesen har middelværdi 0 og varians. 7 8

3 Bemærk også at under hypotesen er X N(µ 0, σ2 n ), dvs at n( X µ0 ) N(0, σ 2 ). Desuden er (n )s 2 σ 2 χ 2 n og X s 2. Definitionen af en t-fordeling med f frihedsgrader er netop T = hvor U N(0, ) og Z χ 2 f og U Z. U Z/f Vi kan altså direkte se at vores teststørrelse n( x µ0 ) n( x µ0 )/σ T = = s ((n )s2 /σ 2 )/(n ) er t-fordelt med n frihedsgrader. VIGTIGT: Testsandsynligheden (p-værdien) angiver sandsynligheden for at man under et lignende eksperiment observerer den samme eller en større afstand mellem gennemsnittet og den formodede middelværdi som den man har observeret i det konkrete eksperiment. Hvis denne sandsynlighed er stor kan vi godt tro på at den observerede forskel blot skyldes tilfældig variation. Hvis sandsynligheden er lille vil vi være tilbøjelige til ikke at tro på at det udelukkende skyldes tilfældigheder, men snarere at data ikke stammer fra en fordeling med den formodede middelværdi. Hvis testsandsynligheden er mindre end 0.05 siger vi at middelværdien er signifikant forskellig fra µ 0 på 5% niveau. 9 0 Uparret t-test: Sammenligning af middelværdi i to normalfordelinger Observation fra x = (x rs ) r=,2,s=,...nr X = (X rs ) r=,2,s=,...nr uafhængige normalfordelte variable X rs N(µ r, σ 2 ) med µ r R og σ > 0. Sæt n = n + n 2. X har tæthed ϕ µ,µ 2,σ 2(x) = ( 2πσ 2 ) n exp { 2σ 2 } 2 n r (x rs µ r ) 2 r= s= Statistisk model og hypotese Statistisk model (R n, (N (µ,µ 2,σ 2 )) (µ,µ 2,σ 2 ) R 2 ]0, [) hvor N (µ,µ 2,σ 2 ) har tæthed ϕ µ,µ 2,σ 2(x) Hypotese: H : µ = µ 2 = µ 2

4 Estimatorer og teststørrelse MLE under M : ˆµ r = x r ˆσ 2 = n Dog benyttes : s 2 = n 2 MLE under H : µ = x σ 2 = n Dog benyttes : s 2 = n 2 n r (x rs x r ) 2 r= s= 2 n r (x rs x r ) 2 r= s= 2 n r (x rs x) 2 r= s= 2 n r (x rs x) 2 r= s= Testsandsynlighed og fordeling af estimatorer Fordeling af MLE under M: Fordeling af MLE under H: ˆµ ˆµ 2 ˆσ 2 ˆµ r N(µ r, n r σ 2 ) nˆσ 2 σ 2 χ 2 n 2 µ ˆσ 2 µ N(µ, n σ2 ) n σ 2 σ 2 χ 2 n 3 4 Kvotientteststørrelse Testsandsynlighed ( ˆσ 2 Q(x) = σ 2 ) n 2 ɛ(x) = 2P T n 2 x x 2 s n + n 2 hvor s 2 = 2 nr n 2 r= s= (x rs x r ) 2, og T n 2 er T fordelt med n 2 frihedsgrader. Bemærk: Vi beregner differencen på de to gennemsnit, trækker den formodede middelværdi fra (=0) og dividerer med et estimat af standardafvigelsen på differencen. Vi har altså en teststørrelse, der under hypotesen har middelværdi 0 og varians. Også her kan vi direkte se fordelingen af vores teststørrelse udfra fordelingerne af de enkelte elementer og definitionen af en t-fordeling., Eksempel: eksamensopgave For at undersøge om methylkviksølv er lige farligt for mænd og kvinder udførtes et forsøg hvor raske personer fik indgivet CH oralt. I forsøget deltog seks kvinder og ni mænd. For hver person måltes halveringstiden i dage for den indgivne methylkviksølv. Det kan i det følgende antages at observationerne er uafhængige og normalfordelte. Ved besvarelsen kan nedenstående R-udskrifter og Figur anvendes. Resultaterne er angivet i datasættet methyl 5 6

5 > methyl sex halvtid kvinde 52 2 kvinde 69 3 kvinde 73 4 kvinde 88 5 kvinde 87 6 kvinde 56 7 mand 72 8 mand 88 9 mand 87 0 mand 74 mand 78 2 mand 70 3 mand 78 4 mand 93 5 mand 74. Er det rimeligt at antage at målingerne fra henholdsvis mænd og kvinder stammer fra fordelinger med samme varians? 2. Angiv et estimat og et 95% konfidensinterval for forskellen mellem middelværdierne for halveringstiden for kvinder og mænd. 3. Kan halveringstiden antages at være den samme for kvinder og mænd? Forklar p-værdien i Udskrift Antag at halveringstiden ikke afhænger af køn. Angiv estimater for middelværdi og varians i den fælles halveringsfordeling. 5. Kommenter residualplottet Figur. Er det rimeligt at antage at data er normalfordelt? 7 8 Udskrift > var.test(halvtid ~ sex, data = methyl) Udskrift 2 > t.test(halvtid ~ sex, data = methyl, var.equal=true) F test to compare two variances Two Sample t-test data: halvtid by sex F = , num df = 5, denom df = 8, p-value = 0.43 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to sample estimates: ratio of variances data: halvtid by sex t = , df = 3, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to sample estimates: mean in group kvinde mean in group mand

6 Udskrift 3 > t.test(halvtid, data = methyl) One Sample t-test data: halvtid t = , df = 4, p-value = 4.835e-3 alternative hypothesis: true mean is not equal to sample estimates: mean of x Residualer Index 2 22 Løsning til spørgsmål. Er det rimeligt at antage at målingerne fra henholdsvis mænd og kvinder stammer fra fordelinger med samme varians? Løsning til spørgsmål 2 2. Angiv et estimat og et 95% konfidensinterval for forskellen mellem middelværdierne for halveringstiden for kvinder og mænd. Fra Udskrift : F = , num df = 5, denom df = 8, p-value = 0.43 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to Se også IH s Fra Udskrift 2: sample estimates: mean in group kvinde mean in group mand

7 Løsning til spørgsmål 4 Løsning til spørgsmål 3 3. Kan halveringstiden antages at være den samme for kvinder og mænd? Forklar p-værdien i Udskrift 2. Fra Udskrift 2: t = , df = 3, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to Antag at halveringstiden ikke afhænger af køn. Angiv estimater for middelværdi og varians i den fælles halveringsfordeling. Fra Udskrift 3: t = , df = 4, p-value = 4.835e-3 alternative hypothesis: true mean is not equal to sample estimates: mean of x T-teststørrelsen er givet ved T = x µ 0 s/ n hvor s 2 er estimatet for variansen vi er interesseret i. Testet er for µ 0 = 0 og x er angivet til at være Frihedsgraderne er 4 og antallet af observationer er således n = 5. Vi får s 2 = ( x µ 0) 2 T 2 /n = /5 = Løsning til spørgsmål 5 5. Kommenter residualplottet Figur. Er det rimeligt at antage at data er normalfordelt? Bemærk at punkterne ligger nogenlunde symmetrisk omkring 0 uden åbenlys stuktur og uden outliers. Residualplottet kan således godt underbygge en antagelse om normalfordelte data. Derfor estimerer vi fordelingen af halveringstiden til N( , )

8 Lineær regression Observationssæt t x Parret t-test Dette test benyttes hvis man har sammenhørende par af observationer, for eksempel før og efter et indgreb på samme subjekt, og man ønsker at teste om indgrebet ændrer middelværdien. I praksis udføres testet ved at lave et one-sample t-test på differencerne. t x t n x n Realisationer af stokastiske variable X r, r =,..., n X r erne er indbyrdes uafhængige. X r N(ν + βt r, σ 2 ) Lineær regression Statistisk model Linearitetsmodel Ny parametrisering X r N(ν + βt r, σ 2 ) M l : EX r = α + β(t r t), (α, β) R 2, Parameterområde under modellen Θ 0 = R 2 ]0, [ x er observation fra den statistiske model EX r = α + β(t r t) for r =,..., n Regressionslinien bliver y(t) = α + β(t t) og liniens skæring med y aksen bliver α β t. hvor N α,β,σ 2 har tæthed ϕ α,β,σ 2(x) = (R n, (N α,β,σ 2) (α,β,σ 2 ) R 2 ]0, [) ( 2πσ 2 ) n exp { 2σ 2 } (x r α β(t r t)) 2 r= 3 32

9 MLE for (α, β, σ 2 ) er entydigt givet ved Dog benyttes s 2 l = ˆα = x ˆβ = n r= (x r x)(t r t) SSD t ˆσ l 2 = (x r x n r t)) 2 r= n 2 (x r x ˆβ(t r t)) 2 r= ˆα, ˆβ og ˆσ 2 l (eller s 2 l ) er uafhængige og ˆα N(α, n σ2 ) ˆβ N(β, SSD l = (n 2)s 2 l = nˆσ 2 l σ 2 χ 2 n 2 σ 2 SSD t ) Estimatet for regressionslinien y(t) bliver Den stokastiske variabel har fordeling Y (t) N ŷ(t) = x + ˆβ(t t). Y (t) = X + ˆβ(t r t) (α + β(t t), σ 2 ( n + (t t) 2 ) ) SSD t Variansen på den estimerede regressionslinie vokser med afstanden til t, således at regressionslinien er bedst bestemt nær t. I praktiske anvendelser indsættes ( x, ˆβ, s 2 l ) i stedet for parameterværdierne, når man skal angive estimatorernes og den estimerede regressionslinies fordelinger. Test for β under linearitetsmodellen Hypotese: H β : EX r = α + β 0 (t r t), r =,..., n, α R Parameterområde under hypotesen: Θ β = R ]0, [ Statistisk model hvor N α,σ 2 har tæthed ϕ α,σ 2(x) = (R n, (N α,σ 2) (α,σ 2 ) R ]0, [) ( 2πσ 2 ) n exp { 2σ 2 } (x r α β 0 (t r t)) 2 r= 35 36

10 MLE under H β ˆα = x ˆσ 2 β = n Dog benyttes s 2 β = ˆα og ˆσ β 2 er uafhængige ˆα N(α, n σ2 ) (x r x β 0 (t r t)) 2 r= n (x r x β 0 (t r t)) 2 r= SSD β = (n )s 2 β = nˆσ2 β σ2 χ 2 n ( SSDt Testsandsynlighed: ɛ β (x) = 2P T β ˆβ ) β 0 hvor T β = SSDt( ˆβ(X) β 0) s l (X) er T fordelt med n 2 frihedsgrader. s l Eksempel på eksamen Fedtsyreprocenten er den fundamentale kvalitetsegenskab ved sæbe. Den bestemmes sædvanligvis ved langsomme kemiske laboratoriemålinger. Til lettelse af produktionskontrollen i sæbefabrikker har man foreslået at bestemme fedtsyreprocenten ved at måle sæbens elektriske ledningsevne. Ledningsevnen er let at måle, og målingerne kan udføres på produktionsstedet. I nedenstående tabel findes en række uafhængige bestemmelser af ledningsevnen målt i milli-siemens (ms) for en bestemt sæbetype og forskellige fedtsyreprocenter Fedtsyre- Ledningsevne procent i ms Tabel : Sammenhæng mellem ledningsevne og fedtsyreprocent i sæbe. I R-udskriften nedenfor er data analyseret ved hjælp af en lineær regressionsmodel. Opstil den statistiske model. Redegør for forudsætningerne for analysen, og diskuter om disse kan antages at være opfyldte i det foreliggende tilfælde. 2. Angiv estimater for parametrene under regressionsmodellen og disses fordeling. 3. Er data forenelige med en hypotese om at ledningsevnen ikke afhænger af fedtsyreprocenten? 4. Er data forenelige med en hypotese om at regressionslinien har en hældning på 0.6? Ved besvarelsen kan nedenstående uddrag af et R-udskrift og et QQ-plot af de standardiserede residualer anvendes. Data antages at ligge i datasættet ledning med de to variable fedtpct og ledning

11 Udskrift : Normal Q Q Plot Call: lm(formula = ledning ~ I(fedtpct - mean(fedtpct)), data = ledning) Residuals: Min Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-6 I(fedtpct - mean(fedtpct)) e Residual standard error: on 4 degrees of freedom Sample Quantiles Theoretical Quantiles 4 42 Besvarelse. Opstil den statistiske model. Data består af 6 observationer af ledningsevnen, hvor fedtsyreprocenten også er angivet. Vi angiver den rte måling af ledningsevnen som x r med tilhørende fedtsyreprocent t r. Det antages at ledningsevnen X r er normalfordelt med middelværdi α + β(t r t), hvor t er gennemsnittet af de angivne fedtsyreprocenter, og varians σ 2. Den statistiske model bliver således (R 6, (N α,β,σ 2) (α,β,σ 2 ) R 2 ]0, [) hvor N α,β,σ 2 har tæthed { ϕ α,β,σ 2(x) = ( exp 2πσ 2 ) 6 2σ 2 6 r= (x r α β(t r t)) 2 }. Redegør for forudsætningerne for analysen, og diskuter om disse kan antages at være opfyldte i det foreliggende tilfælde. Det antages at data er uafhængige. Det angives at det er uafhængige bestemmelser, så denne antagelse vil vi godtage. Derudover antages data at være normalfordelt med den givne middelværdi. Dette kan efterprøves ved at se på fordelingen af residualerne. Fra udskriftet kan vi bruge informationen om residualerne. Her bør henholdsvis min og max og. og 3. kvartil være nogenlunde lige store i absolut værdi. Det lader til at være fint opfyldt. Derudover bør medianen være tæt på 0, der er gennemsnittet af residualerne. Dette lader også til at være opfyldt, og vi godtager således normalfordelingsantagelsen. QQ-plottet af de standardiserede residualer indikerer også fin overensstemmelse med normalfordelingsantagelsen, da punkterne ligger tæt på en ret linie

12 2. Angiv estimater for parametrene under regressionsmodellen og disses fordeling. Bemærk først at regressionen er foretaget på de centrerede værdier af fedtprocenten, dvs gennemsnittet af t r er fratrukket alle fedtprocentangivelser inden analysen. Vi skal angive estimater for de 3 parametre α, β og σ og deres fordelinger. Vi har ˆα = x r og ˆα N(α, σ2 n n ) r= n r= ˆβ = (x r x)(t r t) σ n r= (t og ˆβ N(β, 2 r t) 2 n r= (t r t) ) 2 s 2 = n 2 (x r x ˆβ(t r t)) 2 og (n 2)s 2 σ 2 χ 2 n 2 r= hvor s 2 er estimatet for σ 2. Vi benytter estimaterne for α, β og σ når fordelingerne skal vurderes. I udskriftet under Coefficients er α betegnet som interceptet og estimeret til Dette estimat er gennemsnittet af ledningsevnemålingerne. Standardfejlen for estimatet er angivet til Denne kunne også findes i sidste linie hvor s er angivet til Antallet af målinger er n = 6. Bemærk at s/ n = 0.485/ 6 = Vi får således følgende bud på fordelingen af ˆα: ˆα N(.58938, ) I udskriftet under Coefficients findes estimatet for β under I(fedtpct - mean(fedtpct)) og er estimeret til med en standard fejl på Vi har følgende bud på fordelingen af ˆβ: I udskriftets sidste linie angives et estimat for σ til s = og frihedsgraderne er n = 2 = 4. Vi har følgende bud på fordelingen af s 2 : ˆβ N( , ) s χ 2 4 = χ

13 3. Er data forenelige med en hypotese om at ledningsevnen ikke afhænger af fedtsyreprocenten? Vi skal teste hypotesen H : β = 0 Dette kan gøres med t-teststørrelsen T β = SSDt ˆβ 0 s der under hypotesen er T-fordelt med n 2 = 4 frihedsgrader. Den er allerede regnet ud i udskriftet og kan findes på linien for β: I(fedtpct - mean(fedtpct)) e-06 Den er således angivet til T β = Testsandsynligheden er opgivet til at være.63e-06. Der er altså en meget lille sandsynlighed for at observere en værdi for ˆβ på eller længere væk fra 0 i en stikprøve af denne størrelse, hvis den sande værdi af β er 0. Vi afviser således hypotesen om at ledningsevnen ikke afhænger af fedtsyreprocenten. 4. Er data forenelige med en hypotese om at regressionslinien har en hældning på 0.6? Vi skal teste hypotesen H : β = 0.6 Dette kan gøres med t-teststørrelsen SSDt T β = ˆβ 0.6 s der under hypotesen er T-fordelt med n 2 = 4 frihedsgrader. I udskriftets sidste linie er s angivet til 0.485, og vi har ˆβ = Vi mangler værdien af SSD t. Den kan beregnes således: Estimatet for standardfejlen på ˆβ er angivet til , og er estimeret ved s/ SSD t. Vi får at SSDt = 0.485/ = Vi kan nu beregne t-teststørrelsen: T β = SSDt ˆβ 0.6 s = =.883 Testsandsynligheden er givet ved 2P (T.883) og kan slås op i R med ordren > 2*(-pt( , df=4)) [] Da testsandsynligheden er større end 0.05 kan vi acceptere hypotesen om en hældning på 0.6 på 5% niveau. Hvis man ikke har mulighed for at slå testsandsynligheden op i R kan en tilnærmelse findes i MS s Her angives at P (T ) = 0.025, dvs at P ( T ) = Da 2.45 >.883 kan vi konkludere at vi accepterer hypotesen på 5% niveau. En endnu grovere tilnærmelse kan findes udfra betragtningen: P ( T n.96) > P ( Y.96) = 0.05 for alle n =, 2,..., hvor Y er standard normalfordelt. Konklusion: Data er forenelige med en hypotese om at regressionslinien har en hældning på

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige

Læs mere

da er X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2,σ1 2 + σ2) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ 2 ), da er X = 1 n (X 1 +... + X n ) N(µ, σ2

da er X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2,σ1 2 + σ2) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ 2 ), da er X = 1 n (X 1 +... + X n ) N(µ, σ2 Statistik og Sandsynlighedsregning IH kapitel Overheads til forelæsninger, onsdag 5. uge Resultater om normalfordeling X N(µ,σ ). N har tæthed ϕ µ,σ (x) = exp (x µ) πσ σ EX = µ, Var(X) = σ X µ N(0,) σ

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion

Læs mere

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Dagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??

Dagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/?? Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,

Læs mere

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d

Læs mere

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

To samhørende variable

To samhørende variable To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen

Læs mere

Modul 5: Test for én stikprøve

Modul 5: Test for én stikprøve Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Program. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.

Program. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud

Læs mere

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1 (a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,

Læs mere

Konfidensinterval for µ (σ kendt)

Konfidensinterval for µ (σ kendt) Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)

Læs mere

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22 Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 6.

En Introduktion til SAS. Kapitel 6. En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Reeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 3 2007.

Reeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 3 2007. Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 3 2007. Opgave 1. 3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler - også blyant - er tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Multipel Lineær Regression

Multipel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus

Læs mere

Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge

Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge Opgave 1. Data indlæses i 3 kolonner, som f.eks. kaldessalt,pre ogpost. Der er således i alt tale om 26 observationer, idet de to grupper lægges

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af

Læs mere

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer. Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne

Læs mere

Mat2SS Vejledende besvarelse uge 11

Mat2SS Vejledende besvarelse uge 11 MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen) Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1 Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen

Læs mere

Modul 6: Regression og kalibrering

Modul 6: Regression og kalibrering Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ. Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Opgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1

Opgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1 Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for biokemikere Inge Henningsen Michael Sørensen Oktober 2003 Opgaver til ZAR II Opgave 1 Et datasæt består af 20 observationer.

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative

Læs mere

Det kunne godt se ud til at ikke-rygere er ældre. Spredningen ser ud til at være nogenlunde ens i de to grupper.

Det kunne godt se ud til at ikke-rygere er ældre. Spredningen ser ud til at være nogenlunde ens i de to grupper. 1. Indlæs data. * HUSK at angive din egen placering af filen; data framing; infile '/home/sro00/mph2016/framing.txt' firstobs=2; input id sex age frw sbp sbp10 dbp chol cig chd yrschd death yrsdth cause;

Læs mere

Basal statistik. 30. januar 2007

Basal statistik. 30. januar 2007 Basal statistik 30. januar 2007 Deskriptiv statistik Typer af data Tabeller Grafik Summary statistics Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet

Læs mere

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013 Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013 I forbindelse med reagensglasbehandling blev 100 par randomiseret til to forskellige former for hormonstimulation.

Læs mere

Appendiks Økonometrisk teori... II

Appendiks Økonometrisk teori... II Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag    susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller

Læs mere

Modul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik

Modul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2013 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres

Læs mere

a) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?

a) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl? Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5

Læs mere

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Modelkontrol i Faktor Modeller

Modelkontrol i Faktor Modeller Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på

Læs mere

Oversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel

Oversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................

Læs mere

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3. Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Program. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren

Program. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren Faculty of Life Sciences Program Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Sammenligning af to grupper: tre eksempler Sammenligning af mere end to grupper: ensidet

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Variansanalyse i SAS 1. Institut for Matematiske Fag December 2007

Variansanalyse i SAS 1. Institut for Matematiske Fag December 2007 Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Institut for Matematiske Fag December 2007 Variansanalyse i SAS 1 Ensidet variansanalyse Bartlett s test Tukey s test PROC

Læs mere