ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,"

Transkript

1 INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner og ligninger, og lger er et mtemtiksprog, der kn nvendes i formler og modeller. Alger indgår i flere f ogens kpitler, men hensigten med dette kpitel er, t eleverne udvikler deres forståelse f lger og deres fortrolighed med t ruge lger som et redsk f til t løse mtemtiske prolemer. Eleverne hr tidligere rejdet med lger som en proes, hvor en prolemstilling, hændelse eller ndet fænomen fr virkeligheden oversættes til et lgerisk udtrk, det lgeriske udtrk evt. omskrives og endelig tolkes i forhold til den prolemstilling, hændelse eller lignende, der vr udgngspunktet. Igennem første del f kpitlet kommer eleverne især til t rejde med midterste del f proessen, hvor det hndler om t omskrive lgeriske udtrk. Fokus er på t ruge vrile i formler i forindelse med reduktion og forskellige prentesregler. Geometriske repræsenttioner liver rugt som støtte til t udvikle prentesregler og som repræsenttion for prentesreglerne. Den mtemtiske kompetene repræsenttion og smolehndling er derfor helt entrl gennem hele kpitlet. Ræsonnementskompetenen er i spil, åde når eleverne udvikler regneregler og generliserer f udvikling f et mønster (side 75) og smmenhænge mellem tl (side 78). smolehndling). Der rejdes med hjælpemiddelkompetenen, idet et funktionsprogrm kn nvendes i forindelse med grfisk løsning f ligninger og uligheder. Endelig er hensigten også, t eleverne får en forståelse for og et overlik over regler for løsning f ligninger og uligheder. Kpitlets entrle fglige egreer er: lger vrile prentesregler reduktion ligninger uligheder grfisk løsning f ligninger og uligheder Huskeliste: Kopirk (til side 7, 77, 78) Formelsmling (til side 77) Funktionsprogrm (til side 8, 8) FÆLLES MÅL På Kolorits hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er st op for rejdet med kpitlet. I sidste del f kpitlet skl eleverne rejde med t løse prolemstillinger fr hverdgen ved hjælp f ligninger og uligheder. Her er hele proessen med t oversætte, omskrive og tolke i højere grd i spil. Forskellige situtioner eskrives åde med ligninger/uligheder, teller, grfer og sproglige repræsenttioner (repræsenttion og 8

2 VARIABLE SIDE 7 SIDE 7 7 Vrile og formler m m 5 m 5 m h: højde og : prllelle sider A: rel A = m m h ( + ) VARIABLE Øverst kn I se fire forskellige eksempler, hvor det er hensigtsmæssigt t ruge vrile. I eksemplet i rmme ruges vrile i en formel for relet f et trpez. Brug oplsningerne i rmme. Beregn relet f trpezet. Kn lle reelle tl ruges i formlen? Hvorfor? Hvorfor ikke? Kunne formlen være skrevet på en nden måde? d Hvordn vil formlen se ud, hvis trpezets prllelle sider etegnes med m og n? e Hvordn vil formlen fr opgve d kunne skrives, hvis m er tre gnge så lng som n? Diskuter, hvorfor vrile ruges i formler. Vrile og prentesregler ( + ) = + + I eksemplet i rmme ruges vrile i en prentesregel. Forklr reglen ( + ) = + + ud fr tegningen i rmme. Forklr reglen ( ) = + ud fr tegningen herunder. Brug evt. også kopirk. ( ) 5 Diskuter, hvorfor vrile ruges i prentesregler. 878_kolorit9_7-88_.indd 7 7// 8:: AM 6 m Det giver ikke mening med negtive tl i formlen, men lle positive reelle tl kn nvendes. h(+ ) J, f A =. A = h (m + n) d A = h (n + n) = hn Det liver muligt t udtrkke generelle smmenhænge. ( + ) er et udtrk for relet f kvdrtet med sidelængden +. og er et udtrk for relet f de små kvdrter. er et udtrk for relet de to rektngler. ( ) er et udtrk for relet f kvdrtet med sidelængden. er et udtrk for relet f det store kvdrt, og er et udtrk for relet f det lille kvdrt. er et udtrk for relet de to rektngler. Når trækkes fr, liver trukket fr to gnge, derfor skl lægges til. I kn ruge: Kopirk Denne og den følgende side præsenterer fire forskellige eksempler, hvor det er hensigtsmæssigt t ruge vrile. De vrile spiller forskellige roller i de fire eksempler. I eksemplet i rmme ruges de vrile i forindelse med en formel. Her er de vrile h, og pldsholdere for positive, reelle tl. Vi kn sætte tl ind på de vriles plds og ruge formlen til t eregne noget gnske estemt, nemlig relet f et trpez. Vi hr i mtemtik trdition for t nvende nogle estemte ogstver til t repræsentere noget estemt, f et h til t repræsentere højden, når det gælder rel- og rumfngseregninger f figurer. Vi kunne hve vlgt ndre ogstver. Ld eleverne evt. komme med ndre eksempler på ogstver, vi ofte ruger til noget estemt, f i ligninger. Pointen er, t vi kn ruge ogstver som pldsholdere for tl og dermed udtrkke en generel smmenhæng i formler. Opgve og sætter fokus på dette. En generel smmenhæng kn også være en regneregel. Det er prentesreglen i eksempel et eksempel på. Vi kn sætte lle reelle tl ind på pldserne, hvor og står skrevet i prentesreglen. Eleverne kn i opgve og ruge geometriske repræsenttioner til t (e)vise, t reglerne gælder. Brug evt. kopirk i forindelse med opgve. Eleverne hr tidligere i Kolorit 8 - mtemtik grundog rejdet med t ruge geometriske repræsenttioner til t udvikle regler for, hvordn mn kn gnge ind i en prentes og eregne kvdrtet på en toleddet størrelse. Vi foreslår, t opgve og 5 indgår i en fælles klssesmtle på ggrund f elevernes rejde i små grupper med opgve, og. Ld også eleverne fortælle hinnden deres forklringer på, hvorfor prentesreglerne i opgve og gælder. I kn rejde videre med kopirk 9: Vrile og formler 5 Det liver muligt t udtrkke nogle generelle regler for regning med prenteser. I rmme er vist euro og 7,5 kr. Eksemplet dnner udgngspunkt for, t eleverne skriver ligninger, så de kn om- Vrile og formler regne fr euro til kroner og fr kroner til euro, jf. opgve Vrile og prentesregler 6. I opgve 6 kn ligningen f være 7,5 =. Den vrile er her et gnske estemt tl, vi ikke kender endnu. Ofte tler vi om den uekendte. spiller derfor en nden rolle her, end h: højde og : prllelle sider A: rel ( + ) = + + de vrile som eleverne rejdede med på side 7, men er A = h ( + ) stdig pldsholder for et tl. I rmme står tre forskellige ligninger. Eleverne skl i opgve 8 løse ligningerne. Hensigten er t sætte fokus på t løse ligninger og reduere regneudtrk. Kolorit 8 - mtemtik grundog stte i kpitlet Funktioner og ligninger fokus på, t eleverne formliserede deres rejde og erfringer med t løse ligninger til egentlige regler for ligningsløsning. Eleverne kn trække på disse regler her smt repetere følgende forskellige regneregler: t gnge ind i en prentes (se evt. Kolorit 8 mtemtik grundog, s. 5) og t hæve plusprenteser t hæve minusprenteser (se evt. Kolorit 7 mtemtik grundog, s. 9-95) t eregne kvdrtet på toleddede størrelser (se s. 7). Ld eleverne forklre for hinnden i en klssesmtle, hvilke regneregler og regler for ligningsløsning de ruger, og hvorfor reglerne gælder. Det er vigtigt, t eleverne udvikler forståelse for reglerne. De geometriske repræsenttioner kn være en støtte i den forindelse. Vrile og ligninger euro svrer til 7,5 dnske kr. Eksemplet i rmme hndler om t ruge vrile i en ligning. 6 Brug oplsningerne i rmme, og skriv en ligning, som I kn ruge til t finde ud f, hvor meget 5 euro svrer til i dnske kroner. dnske kroner svrer til i euro. 7 Diskuter, hvorfor vrile ruges i forindelse med ligninger. Eksemplerne i rmme rummer også ligninger. Disse kn live lettere t løse, hvis I reduerer regneudtrkkene på hver side f lighedstegnet. 8 Løs ligningerne i rmme. 9 Diskuter, hvornår I kn få rug for t reduere regneudtrk. MMMMMMMMMMMMMM Vrile og reduktion MUNTLIG + 5( ) = ( + ) + = = ( + ) ( ) Indhold og mål I dette kpitel skl I rejde med t forstå lger og med t ruge lger. Målet er, t I liver edre til t ruge vrile i regneudtrk og formler. liver edre til t forenkle regneudtrk ved t reduere. får overlik over forskellige prentesregler. liver edre til t ruge ligninger og uligheder til prolemløsning i mtemtik. undersøger og udvikler regler til t løse uligheder. 878_kolorit9_7-88_.indd 7 7// 8::7 AM 6 7,5 5 = eller : 7,5 = 5. 7,5 = 7 Vi ruger vrile til t etegne de tl, vi leder efter. 8 =, = 5, =. 9 F når mn løser ligninger eller vil forenkle regneudtrk, mn skl regne videre med

3 FÆRDIGHED SIDE 7 ET MØNSTER SIDE 75 FÆRDIGHED Skriv omkredsen f figurerne på 5 Reduer udtrkkene. mindst to forskellige måder d + 5 e m + m p + 6p f + + g + 5 h + 5 i 6 + j + 5 d d 6 Amnd tænker på et tl. Hun gnger tllet med. Hun lægger til tllet. e Hun ender med. m Skriv en ligning, der viser Amnds tnker. m m Hvilket tl tænker Amnd på? 7 Anthon tænker på et tl. m m Hn lægger 5 til tllet. Hn gnger tllet med. m Hn trækker fr tllet. Hn ender med 6. Skriv et regneudtrk, du kn ruge til Skriv en ligning, der viser Anthons t eregne længden f grundlinjen i en treknt med relet m tnker. og en Hvilket tl tænker Anthon på? højde på m. 8 ( + ) = 8. Hvd er Omskriv formlen for en treknts rel, så der på venstre side f lighedstegnet står ( + )? + 6? ( + )? g d? h Omskriv formlen for relet f et trpez, så der på venstre side f lighedstegnet står h _kolorit9_7-88_.indd 7 7// 8::8 AM F = + = ( + ) F d + d + e = d + e F m + m + m + m + m + m = 5 m = m g = g = A h h = A g h = A + m = m d e m p = (m p) f + 5 = ( + 5) g + = ( + ) h i 5 j = = 7 ( + 5) = 6 = d 6 Øverst på siden er vist et figurmønster, der vokser, jo større figurnummeret liver. Eleverne skl undersøge, om/hvordn ntllet f hvide, lå, gule kvdrter smt det smlede ntl kvdrter vokser. Eleverne kn tælle på tegningen øverst, når det gælder de tre første figurnumre. Det kn være en støtte for nogle elever t fortsætte med t tegne nogle f de efterfølgende figurnumre, når de skl udflde skemet med ntllet f kvdrter i de forskellige frver. Efterhånden som eleverne hr tlt sig frem for t finde ntllet f kvdrter i de forskellige frver i figurerne, er det muligt t nå frem til ræsonnementer som f: der er ltid to lå kvdrter i hvert figurnummer der kommer et hvidt kvdrt mere på hver side, hver gng figurnummeret liver en større, dvs. to hvide kvdrter flere hver gng figurnummeret svrer til ntllet f kolonner med gule kvdrter. Hver kolonne hr et ntl gule kvdrter, der er større end figurnummeret. Eleverne kn ruge de sstemer, de opdger, til t udflde tellen for de seks første figurnumre. Når de skl udflde tellen for figur nr., er det hensigten, t de kommer frem til resultterne ved hjælp f udregninger og ikke ved t tge udgngspunkt i foregående figur. Ved figur nr. n, er det hensigten, t eleverne generliserer og udtrkker ntllene f de forskellige kvdrter med et regneudtrk, der indeholder n, ortset fr de lå kvdrter. Opgve sætter fokus på t omskrive lgeriske udtrk. Læg mærke til, t hvis de hvide rækker f kvdrter tippes og lægges på hver side f de gule kolonner i en figur, og hvert f de lå kvdrter lægges i forlængelse f hver f de hvide kvdrter, så fremkommer der et kvdrt svrende til regneudtrkket (n + ). ET MØNSTER Mønstret estår f nogle kvdrter i forskellige frver. Forestil dig, t mønstret fortsætter med t vokse. Fremstil en tel som den viste, og udfld den ved t undersøge ntllet f frvede kvdrter i hver f figurerne. Vis, t regneudtrkket for ntl kvdrter i lt svrer til regneudtrkket (n + ). Det kn være en god idé t omskrive de to regneudtrk. nr. nr. nr. Figur nr. 5 6 n Antl hvide kvdrter Antl lå kvdrter Antl gule kvdrter Antl kvdrter i lt 9 9_kolorit9_7-88_r.indd 75 5/9/ 8:: AM (n + ) = n + + n n + + n + n = n + + n 75 I kn rejde videre med kopirk : Vrile og regneudtrk kopirk : Vrile og reduktion Figur nr. 5 6 n Antl hvide kvdrter 6 8 n + Antl lå kvdrter Antl gule kvdrter n (n + ) = n + n Antl kvdrter i lt n + + n + n 8 85

4 PARENTESREGLER SIDE 76 SIDE 77 Hæve prenteser Plusprenteser kn mn hæve uden t skifte fortegn. Eksempler: 6 + (9 + ) = = + ( + d) = + + d Minusprenteser kn mn hæve, hvis mn skifter fortegnene i prentesen. Eksempler: 8 ( + ) = = ( + d) = + + d 76 PARENTESREGLER De følgende opgver skl give jer indlik i prentesreglerne øverst. Øverst til venstre kn I se regler for t hæve prenteser. Giv eksempler på regneudtrk med plusprenteser. minusprenteser. Hæv prenteserne, og forklr, hvordn I gør. + ( + ) 5 + ( + ) ( + 5) + 6 d 7 ( ) Hvilken sitution kn regneudtrkket eskrive? 5 + (5 + ) Gnge ind i prenteser Mn kn gnge ind i prenteser ved t gnge med hvert led i prentesen. d Figur : d ( + + d) = + + d = + + d Figur : d ( + d) = + d Brug figur øverst til højre til t forklre, hvorfor ( + + d) = + + d. 5 Tegn figurer, der psser til regneudtrkkene, og omskriv dem ved t gnge ind i prenteserne. ( ) 7 ( ) d ( + e + f) 6 Brug figur øverst til højre til t forklre, hvorfor ( + d) = + d 7 Omskriv regneudtrkkene ved t gnge ind i prenteserne. 8 ( + ) ( + 5) ( + 6) 878_kolorit9_7-88_.indd 76 7// 8::9 AM + ( + ) = + + = ( + ) = = + 8 ( + 5) + 6 = = + d 7 ( ) = = + 9 Bemærk, t de to opgver giver mulighed for t drøfte prentesens etdning, idet tl og regnetegn er ens i egge opgver. Regneudtrkket kn f eskrive en person med kr. Der køes noget til 5 kr., og hn får kr. f en, som hr skldt hm penge. Regneudtrkket eskriver, hvor mnge personen så hr. Eleverne skl på side 76 og 77 rejde med forskellige prentesregler. Den første rmme indeholder eksempler på regler knttet til t hæve plus- og minusprenteser. Eleverne hr i Kolorit 7 mtemtik grundog rejdet med disse regler med udgngspunkt i en konkret kontekst, nemlig indkø. Det er fgørende, t det ikke re liver en smling regler, eleverne skl lære udend, men t de udvikler forståelse for, hvorfor de enkelte regler gælder. Derfor skl eleverne i opgve forklre hinnden, hvordn de gør og i opgve finde situtioner, som regneudtrkkene kn repræsentere. Situtionen i opgve kn f være, t en kunde køer en vre til 5 kr. og en vre til kr. og etler med kr. Hvor mnge penge skl kunden hve tilge? (5 + ) udtrkker hvor meget skl jeg etle i lt, og det trækkes fr kr., (5 + ). Hvis mn tænker: Først etler jeg 5 kr. og dernæst etler jeg kr. kn det udtrkkes med regneudtrkket 5 svrende til, t (5 + ) = 5, dvs. t mn skifter fortegn, når en minusprentes hæves. Eksemplerne i den nden rmme hndler om t gnge ind i prenteser (den distriutive lov). Prentesreglen er repræsenteret med åde regneudtrk med vrile og med rektnglers reler. Rektnglerne giver eleverne mulighed for t tænke igennem en visuel repræsenttion, hvilket kn hjælpe dem til t forstå, hvorfor prentesreglen gælder. Derfor skl eleverne også i opgve 5 selv tegne figurer, der psser til regneudtrkkene. Opgve og 6 kn dnne udgngspunkt for en smtle i klssen, og eleverne kn evt. rejde med opgve 5 og 7 i små grupper. Regneudtrkket kn f eskrive en sitution, hvor der hndles vrer til 5 kr. og kr. Der etles med kr. De smlede udgifter eregnes og dernæst trækkes fr kr. og ( + + d) svrer til længderne f figurens to sider. er et udtrk for hele figurens rel., og d udtrkker relet f figurens små rektngler d + de + df I kn ruge: Kopirk En formelsmling Prentesreglen i den tredje rmme hndler om t gnge pren- Hæve prenteser Gnge ind i prenteser Plusprenteser kn mn hæve uden t Mn kn gnge ind i prenteser ved t skifte fortegn. gnge med hvert led i prentesen. Eksempler: 6 + (9 + ) = = Figur : + ( + d) = + + d ( + + d) = + + d Minusprenteser kn mn hæve, hvis teser, der indeholder flere led, med hinnden. = + + d mn skifter fortegnene i prentesen. Eksempler: Eleverne kn i opgve 8 ruge deres 8 ( + erfringer ) = = fr Figur side : 76 ( + d) = + + d med t etrgte to fktorer i et regneudtrk som de to sider ( + d) = + d i et rektngel og produktet f de to fktorer som relet f rektnglet. Træk evt. en prllel til side 7, hvor eleverne rejdede med kvdrtet på en toleddet størrelse. Også på denne side er det fgørende, t eleverne udvikler forståelse for, hvorfor prentesreglerne gælder. Elevernes viden liver på den måde mere fleksiel og prentesreglen lettere t huske smt ruge i ndre smmenhænge. Derfor skl de igen i opgve 9 selv tegne figurer, der psser til regneudtrkkene, og forklre omskrivningerne. Det er ikke så oplgt t fremstille tegninger, der psser til regneudtrkkene i opgve, d sutrktion indgår. Hensigten er, t eleverne ruger prentesreglerne til t omskrive regneudtrkkene. I den fjerde rmme rejder eleverne med to tls sum gnge de smme to tls differens. Tl evt. med eleverne om, hvd ordene sum (resulttet i forindelse med ddition) og differens etder (resulttet i forindelse med sutrktion). Brug evt. kopirk til opgve. I kn rejde videre med kopirk : Regneudtrk og figurer kopirk : Omskriv regneudtrk med vrile 6 og ( + d) svrer til den røde figurs to sidelængder, og ( + d) svrer til relet f den røde figur. + svrer til relet f hele figuren; d skl trækkes fr for t få relet f den røde del = ( + )( + d) = + d + + d Flere led gnge flere led ( + ) ( + d) =? 8 Brug tegningen øverst til venstre til t udvikle en regel for, hvordn I kn omskrive ( + ) ( + d). 9 Tegn og forklr, hvordn I kn omskrive regneudtrkkene. d ( + )( + ) ( + 8)( + ) ( + ) d ( + ) e ( + ) Undersøg ved hjælp f omskrivninger, om udsgnene er snde. Forklr jeres resultt. ( + ) = ( ) ( ) = ( ) d To tls sum gnge de smme to tls differens ( + ) ( ) =? Brug tegningerne øverst til højre og evt. kopirk til t forklre, hvorfor ( + )( ) =. Undersøg, hvilke prentesregler der står i en formelsmling. 878_kolorit9_7-88_.indd 77 7// 8:: AM 9 ( + )( + ) = = 96 d e Sndt. Sndt. Arelet f de to grønne rektngler i lt kn findes ved ( + )( - ). Det lille rektngel med relet ( ) kn skæres f og lægges under det grønne område. Herved ses, t ( + )( ) =

5 SAMMENHÆNGE MELLEM TAL SIDE 78 SIDE 79 FÆRDIGHEDER t t 9 t t + t t + t t t t t 9 t t t t + SAMMENHÆNGE MELLEM TAL Til venstre er vist to eksempler på kvdrter med tl fr en tlplde se kopirk. For hvert kvdrt skl du eregne summen f de grønne tl og summen f de lå tl. differensen mellem de grønne tl og differensen mellem de lå tl. produktet f de grønne tl og produktet f de lå tl. Undersøg på smme måde ndre kvdrter på tlplden fr kopirk. Hvd opdger du? Du kn ruge vrile til t generlisere dine resultter fr opgve og. På kvdrtet til venstre kldes tllet i midten for t. Tegn kvdrtet, og udfld de tomme felter. Beregn summen f de grønne tl og summen f de lå tl. differensen mellem de grønne tl og differensen mellem de lå tl. produktet f de grønne tl og produktet f de lå tl. 5 Smmenlign dine resultter i opgve med dine resultter i opgve og. Hvd hr du fundet ud f? 878_kolorit9_7-88_.indd 78 7// 8:: AM Summen f de grønne tl og summen f de lå tl er 8 i det første kvdrt og 5 i det ndet kvdrt, dvs. det doelte f tllet i midten. Differensen mellem de grønne tl er i egge kvdrter, og differensen mellem de lå tl er 8 i egge kvdrter. Produktet f de grønne tl er 6 i første kvdrt og 55 i ndet kvdrt. Produktet f de lå tl er 8 i første kvdrt og 5 i ndet kvdrt. I hvert kvdrt er summen f de grønne tl lig med summen f de lå tl. differensen mellem grønne tl er. differensen mellem lå tl 8. differensen mellem produktet f de lå tl og produktet f de grønne tl 9. I kn ruge: Kopirk Opgverne på siden tger udgngspunkt i kvdrter på en tlplde. På hele siden skl eleverne eregne summen f, differensen mellem smt produktet f hhv. de grønne og de lå tl og på den ggrund undersøge, hvilke smmenhænge der dukker op. I opgve er udgngspunktet de to kvdrter, der er vist i ogen. I opgve vælger eleverne selv nogle kvdrter fr tlplden på kopirk, som de vil undersøge. Opgve og hndler om t generlisere de opdgelser, eleverne hr gjort sig i opgve og og med regneudtrk med vrilen t evise opdgelserne. Arejdet med siden giver derfor eleverne mulighed for t strke deres ræsonnementskompetene. De får mulighed for t lære t skelne mellem enkelttilfælde og generliseringer smt for t udvikle mtemtiske ræsonnementer. Smtidig kn eleverne øve sig på t ruge prentesregler, når de i opgve skl eregne produktet f hhv. de grønne og de lå tl. Ld eleverne rejde smmen om opgverne i små grupper. Arejdet med siden kn evt. fortsættes med, t eleverne frver nogle ndre end de grønne og lå tl i et kvdrt og undersøge, om de kn finde ndre smmenhænge i et sådnt kvdrt. De kn også indrmme ndet end kvdrter, f rektngler, og undersøge, hvilke smmenhænge de kn finde. I kn rejde videre med: kopirk : Tl og vrile kopirk 5: Smmenhænge mellem tl t 9 t + t + t t t + t t t + 9 (t + ) + (t ) = t. (t + 9)(t 9) = t. (t + ) (t ) =. (t + 9) (t 9) = 8. (t + )(t ) = t. (t + 9)(t 9) = t 8. = = e og = d = f d 9 9 ( ) 8 ( ) + + d = 6( + + ) e + f + g z + 5z + z h Sndt Sndt Flsk d Sndt e Sndt f Sndt d + 5 e + + f + g 9 h 9 7 n + 5n n d n e n + f n 8 = A = 5 9 FÆRDIGHED Hvilke udtrk hr smme værdi? 6 Reduer regneudtrkkene. ( + 8) d + 8 ( + ) 8 + e (8 + ) ( + )( + ) + f ( + ) ( + )(5 + ) d ( )( + ) Hæv prenteserne, og reduer regneudtrkkene. f ( ) e ( + ) g ( + )( ) + + ( + ) h ( + )( ) 6 + ( + ) + + ( ) 7 Hvilket f regneudtrkkene d ( + ) + n + n + n 5n er størst, hvis Beregn værdien f regneudtrkkene i opgve, når n =? d n =? n =? e n = = og =? n = 5? f n =? = og = 8 Beregn Gng ind i prenteserne, og reduer regneudtrkkene. værdien f. rektnglets rel. ( + ) 7( ) ( + ) d ( + + ) + ( + + ) Omkreds: 5 e ( + ) f ( + ) + Omkreds: 5 g z ( ) z h ( + ) + 9 Beregn rektnglets + 5 Sndt eller flsk? længde. 5( + 7) = 5 ( + 7) redde. ( + ) = ( + ) rel. ( + ) = ( + ) d ( + ) = ( + + ) Omkreds: e + = ( + ) ( ) f + 6 = ( + ) Omkreds: ( ) ( ) ( ) _kolorit9_7-88_.indd 79 7// 8:: AM

6 LIGNINGER OG ULIGHEDER SIDE 8 SIDE 8 = og = 5 + = = På en internetfé koster det kr. om måneden t være medlem. Derudover koster det 5 kr. pr. time t ruge internettet. Mn kn også ruge internettet for kr. i timen, hvis mn ikke er medlem. Forklr, hvordn priserne på internetféen er overst til ligninger og teller øverst til venstre. Forklr, hvilken smmenhæng der er mellem de rette linjer og ligningerne øverst. Undersøg, hvor mnge timer I skl ruge internettet om måneden, for t det edst kn etle sig t være medlem. LIGNINGER OG ULIGHEDER = Forklr, hvd skæringspunktet mellem de rette linjer fortæller om priserne på internetféen. 5 Forklr, hvorfor I kn finde skæringspunktets værdi ved t løse ligningen = Løs ligningen ved t flæse på de rette linjer. eregne. 7 Find skæringspunktets værdi ved t flæse på grferne. eregne. 878_kolorit9_7-88_.indd 8 7// 8::5 AM = svrer til prisen for t ruge internettet, hvis mn ikke er medlem. Det koster kr. i timen, og er ntl timer. = 5 + svrer til t ruge internettet som medlem. Det koster kr. t være medlem om måneden og 5 kr. pr. time t ruge internettet. er ntl timer. Den lå grf svrer til =. Den skærer -ksen i (, ), d det ikke koster noget, hvis internettet ikke ruges. Hældningstllet er. Den røde grf svrer til = 5 +. Den skærer -ksen i (, ), d det koster kr., unset om internettet ruges. Hældningstllet er 5. Over 6 timer. Det kn flæses i tellen, på grfen eller eregnes ved t løse ligningen over grferne. Side 8 og 8 hr fokus på ligninger og uligheder med udgngspunkt i prisen for t ruge internettet på en internetfe. På side 8 er omdrejningspunktet ligninger, mens det er uligheder på side 8. Øverst på side 8 er prisen for t ruge internettet på en internetfe med/uden medlemsk repræsenteret på tre forskellige måder, nemlig med en ligning, en tel og en grf. Eleverne skl rejde med smmenhængen mellem repræsenttionerne, og hvordn priserne på internetfeen er overst til disse repræsenttioner. Vi foreslår, t opgve og er udgngspunktet for en klssesmtle, og t eleverne efterfølgende rejde med opgve i små grupper. Ld eleverne selv vælge, hvordn de vil løse opgve. Det kn f være ved t sætte forskellige tl ind i ligningerne øverste, t flæse tellen eller opskrive regneudtrk ud fr den sproglige eskrivelse f situtionen. Opgve -7 kntter sig til grferne i rmme øverst på siden. Vi foreslår, t opgve og 5 indgår i en klssesmtle, og t eleverne efterfølgende i små grupper rejder med opgve 6 og 7. Det entrle fglige indhold her er, t ligningen åde kn løses ved t omskrive ligningen og isolere og ved t flæse skæringspunktet på grferne. I forindelse med en fælles opsmling kn eleverne udfordres derligere med spørgsmål som: Hvordn vil den røde grf ændre sig, hvis prisen for medlemsk liver drere? Hvd vil det etde for skæringspunktet mellem de to grfer? Hvordn ændrer grferne sig, hvis prisen pr. time liver drere? Billigere? Skæringspunktet fortæller, hvor mnge timer mn skl ruge internettet, for t prisen er det smme unset, om mn er medlem eller ej. 5 I skæringspunktet hr de to oprindelige ligninger smme - og -værdi. Ved t løse ligningen finder vi ud f, hvornår de to oprindelige ligninger hr smme - værdi. 6 = 6 = 6 7 = 8 = 8 Konteksten for opgverne på denne side er fortst priser for t ruge internettet på en internetfe. Grferne i de to koordintsstemer øverst på siden svrer til grferne øverst på side 8, men her er omdrejningspunktet uligheder. Eleverne kender ulighedstegnet fr ndre smmenhænge, hvor det er levet rugt til t eskrive, t et tl er større/mindre end et ndet tl, men det er første gng eleverne ser ulighedstegnet nvendt i forindelse med regneudtrk på egge sider f ulighedstegnet. Her hndler det om t kunne oversætte mellem en konkret kontekst og uligheden. Bemærk, t de åne og lukkede irkler smt linjestkket under koordintsstemet repræsenterer løsningen på ulighederne. Vi foreslår, t opgve 8- indgår i en fælles smtle i klssen, og t eleverne efterfølgende rejder med opgve og i små grupper. Det er hensigten, t eleverne i opgve ruger grferne fr opgve til t løse uligheden. Bemærk, t eleverne skl udvikle regler for t løse uligheder på side Uligheden til venstre eskriver, hvor mnge timer mn skl ruge internettet, for t prisen for t være medlem er større end prisen for ikke t være medlem. Uligheden til højre eskriver, hvor mnge timer mn skl ruge internettet, for t prisen for t være medlem er mindre eller lig med prisen for ikke t være medlem. 9 Hvis mn ruger internettet 6 timer om måneden, er prisen den smme. Hvis mn ruger internettet mindre end 6 timer om måneden, kn det edst etle sig ikke t være medlem. Hvis mn ruger internettet mere end 6 timer om måneden, kn det edst etle sig t være medlem. Den lukkede irkel etder, t intervllet er lukket, og tllet skl regnes med. Den åne irkel etder, t tllet ikke skl regnes med. Den lukkede irkel etder, t 6 skl regnes med. skl være større end eller lig med 6. = 5 + < Ligesom I kn ruge ligninger til t løse forskellige prolemstillinger i mtemtik, kn I også ruge uligheder til t eskrive forskellige prolemstillinger. I ligninger indgår der et lighedstegn, og i uligheder indgår der et ulighedstegn. 8 Diskuter, hvilke prolemstillinger de to uligheder øverst eskriver i for indelse med priserne på inter - net féen. 9 Løs ulighederne ved t ruge de rette linjer, og forklr, hvd jeres result ter fortæller om priserne på internet féen. Løsningen til uligheden øverst til venstre er et hlvåent intervl. Forklr, hvd den åne og den lukkede irkel etder Forklr, hvordn løsningen til uligheden øverst til højre er vist i koordintsstemet. Løs ligningen + = + 7 ved t tegne de to rette linjer = + og = + 7. eregning. Løs uligheden + < _kolorit9_7-88_r.indd 8 7/7/5 6: = <

7 I FITNESSCENTER SIDE 8 LØS LIGNINGER GRAFISK SIDE 8 I FITNESSCENTER I kn ruge: Et funktionsprogrm I kn ruge: Et funktionsprogrm LØS LIGNINGER GRAFISK FITNESSCENTER PRISER: Kontnt etling uden medlemsk: dg: 75 kr. måned: 5 kr. Medlemsk: Strtger: 5 kr. Månedligt elø: kr. 8 Til venstre er vist forskellige priser for t entte et fitnessenter. Ktrine er ikke medlem f fitnessentret og etler kontnt pr. dg, hun træner. Skriv en ligning for den rette linje, der viser smmenhængen mellem prisen i kr. () og ntl dge, Ktrine er i fitnessentret (). Tegn i et koordintsstem den rette linje, der eskriver smmenhængen mellem pris og ntl dge, Ktrine træner. Skriv en ligning, der eskriver, hvor mnge gnge mn skl træne om måneden for, t det er lige drt t etle pr. måned og pr. dg. Løs ligningen ved t tegne rette linjer og ved eregning. Brug evt. et funktionsprogrm. Hvor mnge gnge skl Ktrine træne om måneden, for t det edst kn etle sig med kontnt etling hver træningsdg? hver måned? 5 Skriv en ulighed, der eskriver, hvornår det edst kn etle sig med kontnt etling hver træningsdg. hver måned. 6 Ktrine overvejer t live medlem f fitnessentret. Forklr, hvd ligningen = + 5 eskriver om priserne i fitnessentret. Tegn den rette linje = + 5. Hvor meget skl Ktrine træne for, t det kn etle sig for hende t live medlem? Hvorfor? 878_kolorit9_7-88_.indd 8 7// 8::9 AM = = = 6 Mindre end 6 gnge. Mere end 6 gnge < 5 75 > Det fglige indhold i opgverne er prllelt til det fglige indhold på side 8 og 8. Her hndler det lot om priser i et fitnessenter frem for priser på en internetfe. Opgve tger udgngspunkt i de priser, der er knttet til etling uden medlemsk, og eleverne skl skrive en ligning og tegne en ret linje, der eskriver smmenhængen mellem prisen og ntl dge, Ktrine træner. I opgve skl eleverne skrive en ligning, som de løser i opgve åde grfisk og ved eregning. Eleverne kn her med fordel ruge et funktionsprogrm til grfisk ligningsløsning. Opgve og 5 hænger smmen. I opgve skl eleverne løse prolemstillingen, mens de i opgve 5 skriver den ulighed, der er knttet til prolemstillingen. Her er fokus på t oversætte den konkrete sitution til en ulighed. Eleverne kn tge udgngspunkt i den ligning, de skrev i opgve. I opgve 6 skl eleverne oversætte den nden vej. Her får de givet en ligning og skl oversætte den til priserne i et fitnessenter. Opgve 6 kn eleverne åde løse ved t sætte tl ind på s plds, men også ved t skrive og løse en ulighed. I kn rejde videre med: kopirk 6: Feriejo 6 5 kr. etles i strtger og kr. om måneden. er ntl måneder, så ligningen eskriver prisen for ntl måneder < 5 >,6. Hvis Ktrine træner to måneder er det illigst for hende t være medlem. Den fglige kerne er på denne side grfisk ligningsløsning. Opgverne er ikke knttet til nogen kontekst, men opgverne liver i mtemtikkens verden og entrerer sig om ligninger for og grfiske fildninger f rette linjer og prler. I opgve kn eleverne finde løsningen på ligningen ved t flæse skæringspunkterne mellem den rette linje og prlen. I opgve - skl eleverne selv tegne kurverne. Eleverne kn med fordel ruge et funktionsprogrm til deres undersøgelser. Nogle elever kn hve rug for støtte til t se, t regneudtrkkene på hver side f lighedstegnet kn etrgtes som ligninger for kurver. Vend evt. tilge til side 8 og eksemplet med internetfeen. I opgve 5 skl eleverne ruge deres erfringer fr opgve - og give eksempler på ligninger, der opflder de givne krv. Eleverne kn f tegne to kurver, der hr netop et skæringspunkt (5), to skæringspunkter (5) og ingen skæringspunkter (5) og ruge kurvernes ligninger til t opskrive de ligninger, som giver løsningerne, jf. de givne krv. Eleverne kn evt. prøve t løse hinndens ligninger. I kn rejde videre med: kopirk 7: Løs ligninger grfisk () kopirk 8: Løs ligninger grfisk () = og = = og = = og = Den rette linje = + 8 og prlen = er tegnet til højre. Brug kurverne til t finde egge løsninger til + 8 =. Løs ligningerne ved t tegne kurver i et funktionsprogrm. + 5 = = 6 = Undersøg, om der er en løsning til ligningen + 8 = ( ). Forklr, hvd du finder ud f. Undersøg, om der er én, flere eller ingen løsninger til ligningerne. = + + = = + d + = + 5 Skriv et eksempel på en ligning, der hr netop én løsning. to løsninger. ingen løsninger _kolorit9_7-88_.indd 8 7// 8:: AM = og = Nej, der er ingen løsning til ligningen. Der er én løsning, =. Der er ingen løsninger. Der er to løsninger, =,5 og =. d Der er ingen løsninger. 5 F + 5 = + 9 = + =

8 LIGNINGER OG ULIGHEDER - REGNEREGLER SIDE 8 SIDE 85 Løs ligninger + = 8 + = 8 Hvilket tl skl jeg lægge til for t få 8? 8 = 6 Det er 6 = 6 Hvilket tl skl jeg gnge med for t få 6? Forklr eksemplet øverst til venstre, og løs ligningen + = 8. I hr tidligere undersøgt, hvilke regler der gælder for løsning f ligninger. Løs ligningerne, og diskutér, om I ruger nogle f reglerne øverst til højre = + 8 = + 5 = 6 7 d ( + ) = + e = ( + 8) Diskuter ud fr eksemplet øverst til venstre, hvorfor mn ikke må gnge med på egge sider f lighedstegnet, når mn løser ligninger. LIGNINGER OG ULIGHEDER REGNEREGLER Regneregler Mn kn trække det smme tl fr på egge sider f lighedstegnet. Mn kn lægge det smme tl til på egge sider f lighedstegnet. Mn kn gnge med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. Mn kn dividere med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. I hvilke ligninger er = 5 løsning? + 8 = + = + + = 6 d + = + Ligningen + = 8 kldes en førstegrdsligning. Ligningen + = 8 kldes en ndengrdsligning, fordi står i nden potens. 5 Hvilke to løsninger hr ndengrdsligningen + = 8? 6 Løs ndengrdsligningerne. = 5 = 7 = + 878_kolorit9_7-88_r.indd 8 7/7/ :: PM = = 7 = = = og 5 = 5 og = 5 6 = 5 og = 5 = 6 og = 6 = og = Eleverne hr i Kolorit 8 mtemtik grundog rejdet med t udvikle regneregler for løsning f ligninger. De to rmmer øverst på side 8 viser dels en måde t løse ligninger på, som eleverne hr set før, og dels en oversigt over de regneregler, som opgverne i Kolorit 8 mtemtik grundog dnnede ggrund for, t eleverne kunne udvikle. Opgve og hr til hensigt t repetere dette. Ld eleverne forklre for hinnden, hvordn de løser ligningerne, og hvorfor deres fremgngsmåde er holdr. Vær opmærksom på det fælles sprogrug, som udvikler sig i klssen. I forindelse med opgve kn det være svært t forstå, hvd der sker, hvis en forklring f er: når jeg fltter 8 over på den nden side f lighedstegnet, liver det til minus 8. At sige jeg trækker 8 fr på egge side f lighedstegnet er tdeligere knttet til en forståelse, f, t lighedstegnet etder, t regneudtrkkene på egge sider f lighedstegnet skl hve smme værdi (der skl være ligevægt). Vi skl derfor ændre det smme på egge sider f lighedstegnet, hvis regneudtrkkene stdig skl hve smme værdi. I opgve skl eleverne undersøge, hvilke ligninger = 5 er en løsning til. Bemærk, t der sgtens kn være elever, som kn løse ligninger, men som går i stå, når de skl undersøge, om en estemt værdi er løsning til en ligning, lige som det omvendte også kn være tilfældet. Det er derfor vigtigt, t eleverne åde rejder med t løse ligninger og t undersøge, om estemte værdier er løsninger til ligninger. I opgve kn eleverne åde undersøge, om = 5 er en løsning ved grfisk ligningsløsning og ved t sætte 5 ind på s plds. I opgve 5 og 6 rejder eleverne med ndengrdsligninger. Det er ikke meningen, t de skl rejde med diskriminnten og formlen for t finde rødder i et ndengrdspolnomium. Hensigten er, t eleverne isolerer på den ene side f lighedstegnet og dernæst finder to løsninger. (Både 5 og ( 5) giver 5). Side 85 hr fokus på uligheder. Opgve 7 og 8 er knttet til rmmen øverst til venstre på siden. Bemærk, t de to nederste lighedstegn kn skrives enten på denne måde og eller på denne måde q og Q. Regneregler Mn kn trække det smme tl fr på egge sider f lighedstegnet. Mn kn lægge det smme tl til på egge sider f lighedstegnet. Mn kn gnge med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. Mn kn dividere med det smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med. Opgve 9 hndler om t forstå, hvd en ulighed er og t undersøge, om de sv tl gør udsgnene snde. Her gør det smme sig gældende som ved ligninger. Der kn godt være elever, der kn løse uligheder, men går i stå, når de skl undersøge, om estemte værdier er løsninger til uligheden, lige som det modstte kn forekomme. Derfor er det vigtigt, t eleverne får erfringer med egge dele. I opgve skl eleverne undersøge, om der gælder de smme regler for løsning f uligheder som for løsning f ligninger. I opgve vil eleverne erfre, t de kn ruge de smme regler. Rmmen øverst til højre på siden og opgve og hr til hensigt, t eleverne indser, t reglerne for t gnge og dividere knttet til ligningsløsning ikke gælder i forindelse med uligheder, hvis der er tle om negtive tl. I den forindelse skl ulighedstegnet vendes om. Eleverne kn rejde med opgve 9, og i grupper, men vi nefler, t opgve 7-8 smt - indgår i en klssesmtle, hvor læreren spiller en entrl rolle. Ulighedstegn En ulighed kn være to regneudtrk eller tl med et ulighedstegn imellem, f 8 + <. Ulighedstegn: < > 7 Forklr, hvd uligheden øverst til venstre etder, og løs den. 8 Forklr, hvd de fire ulighedstegn etder, og skriv et eksempel på en ulighed med hvert f ulighedstegnene. 9 Hvilke f tllene,,,, 5, 6, 7 gør udsgnet sndt? + > < + > 8 + d ( + ) > Løs ulighederne, og undersøg, om I kn ruge de smme regler, som når I løser ligninger. + 7 > e > 8 + < f > 5 + g > 9 d + h < 8 Løs uligheder + > 8 + > 8 Hvilket tl skl jeg lægge til for t få et tl, der er større end 8? Forklr eksemplet øverst til højre. Løs uligheden + > 8. Diskutér, hvorfor resulttet er < og ikke >. Diskuter, hvd løsningen til 5 < er. I kn løse uligheder på næsten smme måde, som I løser ligninger. Hvis I gnger eller dividerer med negtive tl, når I løser uligheder, skl ulighedstegnet vendes om. Løs uligheden øverst til højre ved hjælp f reglerne for løsning f uligheder. Forklr, hvd I gør. Løs ulighederne, og forklr, hvilke regler I ruger. > 7 6 < 6 < d 8 9 e 5 < 9 > 6 Det er et tl, der er større end 6 > 6 Hvilket tl skl jeg gnge med for t få et tl, der er større end 6? 8_kolorit9_7-88_r.indd 85 7/7/5 6:58 9 6, 7,,, 5, 6, 7,,,, 5, 6, 7 d,, > < d e > f 9 g < 7 eller > 7 h > 9 eller < 9 < > 85 Eleverne kn f rejde i små grupper med opgverne efterfulgt f en opsmlende fælles smtle i klssen. 8 Hvilke tl kn vi lægge til 8 og få en sum, der er mindre end? <. <: mindre end. >: større end. : mindre end eller lig med. : større end eller lig med. < < 8 > 7 > 9 95

9 FÆRDIGHED SIDE 86 SIDE 87 FÆRDIGHEDER FÆRDIGHED Løs ligningerne. 7 Tegn hver figur herunder. 8 + = Beregn summen f to tl ved 7 = 6 siden f hinnden, og skriv resulttet i rækken under. 5 + = 6 Beregn værdien f. d 8 = 5 e,5 + = 7 Eksempel: f 7 : =,7 g : =, = 8 + = 8 Løs ligningerne. = ( + ) = 7 9 ( + ) = 7 + ( ) + = d ( ) 5( ) = 8 Beregn to løsninger til ligningerne. = 8 = ( + 5) ( + ) = 6 8 d ( + )( ) = e ( + )( ) + = f 5 = + 8 I hvilke ligninger er = 5 en løsning? + = ( + ) + = = d + 7 = Skriv mindst to ligninger, hvor = er løsning. d Skriv en ligning, der kn ruges til t eregne sidelængden i et kvdrt, 5 + hvor omkredsen er m _kolorit9_7-88_.indd 86 7// 8::5 AM = = 5 = d = 6 e = 6 f = g = = = = d = =, = =, = = 6, = d =, = e =, = f = 5, = 5 og 5 F + 5 = + 8 = = 7 = > < 8 < d < e > 5 f <,5 g > 6 h < 6 i > eller < 9 (, ) > Løs ulighederne. Brug de rette linjer fr opgve, og løs ulighederne. + 5 > 8 > > + 5 > 6 < + d < 8 + > e 5 < 5 d < + f 5 < g > 6 En kue skl kunne rumme mindst h < m. i > Opstil en ulighed, du kn ruge til t eregne kuens sidelængde. 9 I koordintsstemet er to rette Hvor stor skl linjer med ligningerne sidelængden være? = og = + tegnet. En linder hr en grundflde med relet m og skl kunne rumme 5 mindst 6 m. Opstil en ulighed, du kn ruge til t eregne linderens højde. Hvor stor skl højden være? V = G h h V: rumfng h: højde G: rel f r grundflde Brug de to rette linjer til t løse ligningen = + Løs uligheden > + Ktrine tjener 5 kr. om måneden. En måned regner hun med t ruge Tegn tre rette linjer i et koordintsstem med ligningerne. kr. til f tøj og telefon. Opstil en ulighed, der udtrkker, = hvor mnge iogrfture det højst V = G h = + kn live til for resten f pengene, = hvis en iogrfillet koster 75 kr. h V: rumfng Løs uligheden. h: højde G: rel f r grundflde _kolorit9_7-88_.indd 87 7// 8::6 AM = + = > < < d < Q m Q m skl vi rette ulighedstegnene til dem, der er i. udgve? Hvd skl jeg gøre? Jnne d = h Q 6 m h Q 8 m 75 q 5 q 6 I kn rejde videre med: kopirk 9: Ligninger og uligheder I kn rejde videre med: kopirk 9: Ligninger og uligheder kopirk 5: En kugle og en linder 96 97

10

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22 Hvor mnge led er der i hvert f disse regneudtryk? Beregn værdien f udtrykkene. ANTAL LED + 5 + 5 + 5 5 5 + + 9 5 c + 5 6 +5 = 7 d + 5 + 0 = e 5 5 8 5 6 = 800 6 = 78 f + 6,5 87 : 7 + 5 7 = 7,57 Forind udtrykkene

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter.

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter. Måling Omkreds Arel Rumfng Enheder Regnehistorier Milli =. 000 Centi = Dei = = 0,00 00 = 0,0 0 = 0, entimeter m kvdrtentimeter m 2 kuikentimeter m I det 8. århundrede lev måleenheden meter opfundet i Frnkrig.

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Fra arbejdstegning til isometrisk tegning og omvendt

Fra arbejdstegning til isometrisk tegning og omvendt Nr. 5 Fr rejdstegning til isometrisk tegning og omvendt Forfr Fr siden Fr oven Forfr Fr siden Fr oven Klssektivitet. yg en figur med -7 centikuer, og tegn en rejdstegning. Gem figuren. yt tegning med en

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

KAP 6 CIRKLER OG POLYGONER

KAP 6 CIRKLER OG POLYGONER KAP 6 CIRKLER OG POLYGONER I dette kpitel skl eleverne rbejde med cirklen og dens egenskber og med centrum, rdius, dimeter, omkreds og rel. Derudover skl eleverne gennem ktivitet rbejde undersøgende med

Læs mere

- Om højder og grundlinjer i trekanter

- Om højder og grundlinjer i trekanter KP 4 FIGURER, FLER OG LINJER I dette kpitel skl eleverne lære om definitionerne på forskellige typer f linjer. Herefter skl de gennem teori, ktivitet og opgver rbejde med egenskberne ved forskellige typer

Læs mere

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center Arhus Universitet, Lortoriekompleks inno Center Skitseprojekt. 16. septemer 2010 Beskrivelse se fde udsnit nord Udsmykningen indeftter: 2 stk. udsmykkede glsprtier á 2 x 12,62 x 4,40 m. 3 stk. emlede srør

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Forudsætninger. Eleverne forudsættes: at kunne tælle sig frem til rumfanget af Matematiske kompetencer. kasser, der er bygget af centicubes. HVORFOR?

Forudsætninger. Eleverne forudsættes: at kunne tælle sig frem til rumfanget af Matematiske kompetencer. kasser, der er bygget af centicubes. HVORFOR? KAP 0 RUMFANG I dette kpitel skl eleverne rejde med t eregne rumfng f ksser. De skl lære t skelne lem forskellige eneder (, og ). Eleverne skl endvidere rejde med verdgsmål (ml, cl, dl, L, knivspids, tsk.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere