for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul"

Transkript

1 for gymnasiet og hf Karsten Juul

2 Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra HÅftet mç benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en til som oplyser at dette håfte benyttes (angiv fulde titel og Çrstal), og oplyser hold, niveau, lårer og skole. Tidligere udgaver af dette håfte har skiftet adresser til DESKRIPTIV STATISTIK Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik? Hvad er grupperede og ugrupperede data? Eksempel pç ugrupperede data Eksempel pç grupperede data... 1 Ugrupperede data.1 Hvordan udregner vi middeltal (middelvårdi) for ugrupperede data? Hvordan udregner vi middeltallet nçr der er fç data? Hvordan udregner vi middeltallet nçr der er mange data? Hvordan finder vi medianen for ugrupperede data?....1 Hvordan finder vi medianen nçr der er fç data?.... Hvordan finder vi medianen nçr der er mange data?....3 Hvordan finder vi kvartilsåttet for ugrupperede data? Hvis der er et midterste tal Hvis der ikke er et midterste tal Hvordan tegner vi boksplot? Hvordan sammenligner vi boksplot? opgave opgave opgave... 4 Grupperede data 3.1 Hvordan tegner vi et histogram? Et grupperet datasåt er en model af virkeligheden der er meget forenklet Hvordan tegner vi en sumkurve? Kumuleret frekvens og sumkurve Hvis der er oplyst procent for hvert interval Hvis der er oplyst antal for hvert interval Hvis start-tal og/eller slut-tal mangler Hvordan aflåser vi pç en sumkurve? Hvor mange procent af rérene er UNDER 3,7 meter? Hvor mange procent af rérene er OVER 5,5 meter? Hvor mange procent af rérene er MELLEM 3,7 og 5,5 meter? Hvor mange procent af rérene er LIG 3,7 meter ELLER DERUNDER? Hvordan finder vi medianen for grupperede data?... 8

3 3.6 Hvordan finder vi kvartilsåttet for grupperede data? Nedre kvartil Ñvre kvartil KvartilsÅt Middeltal for grupperede data nçr antal (hyppighed) er oplyst Middeltal for grupperede data nçr procent (frekvens) er oplyst Hvordan grupperer vi data? Hvor brede skal vi gére intervallerne nçr vi grupperer data? Sumkurve og lineår sammenhång TEST 6 StikprÉver Hvad er populationen? Hvad er stikpréven? Systematiske fejl ved valg af stikpréven TilfÅldige fejl ved valg af stikpréven Er der skjulte variable? Hvad er sandsynlighed? Eksempel Eksempel Test af hypotese Signifikansniveau HvornÇr har vi vist noget med en test? Tankegangen bag det at forkaste eller ikke forkaste en hypotese Test for uafhångighed i tabel SÇdan udregner vi FORVENTEDE TAL SÇdan udregner vi SÇdan udregner vi p SÇdan skriver vi konklusionen MisforstÇ ikke procenterne Hvordan udregner vi antal FRIHEDSGRADER i test for uafhångighed? Frihedsgrader for gange tabel Frihedsgrader for gange 3 tabel Frihedsgrader for m gange n tabel Eksempel med to frihedsgrader i test for uafhångighed Nulhypotese Test for fordeling nçr stikpréven er angivet som antal SÇdan udregner vi forventede tal SÇdan udregner vi SÇdan udregner vi antal frihedsgrader SÇdan udregner vi p SÇdan skriver vi konklusionen MisforstÇ ikke procenttallene Test for fordeling nçr stikpréven er angivet med procenter Kritisk vårdi

4 FORDELINGER Fordeling af teststärrelse 16 Fordeling af teststérrelse... 0 Normalfordeling 17 Tal der er normalfordelt Graf for tal der er normalfordelt MiddelvÅrdi for tal der er normalfordelt Spredning for tal der er normalfordelt Forskrift for funktion der viser fordelingen af tal der er normalfordelt... En anvendelse af normalfordeling.... -fordeling 3 -fordeling Forskrift for g fordeling nçr antal frihedsgrader ikke er fordeling og test... 4 NSPIRE-BESVARELSER N1 Middeltal og kvartilsät ud fra kort liste N Middeltal og kvartilsät ud fra lang liste... 5 N3 Middeltal og kvartilsät ud fra hyppighedstabel... 6 N4 Boksplot ud fra kort liste... 6 N5 Boksplot ud fra lang liste... 7 N6 Boksplot ud fra hyppighedstabel... 7 N7 Boksplot ud fra kvartilsät... 8 N8 Boksplot ud fra flere datasät... 8 N9 Histogram... 9 N10 Sumkurve ud fra antal, afläs N11 Sumkurve ud fra procent N1 Test for uafhängighed... 3 N13 Test for uafhängighed, m.m N14 Test for fordeling, antal i stikpråve N15 Test for fordeling, procent i stikpråve... 35

5 DESKRIPTIV STATISTIK Hvad er deskriptiv tatistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik? Deskriptiv statistik er metoder til at fç overblik over tal vi har indsamlet. De tal vi har indsamlet, kalder vi data. 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data? Hvis der er mange forskellige data, sç grupperer vi dem i intervaller. (Hvis vi kaster en terning 1000 gange, er der mange data, men kun 6 forskellige, sç disse skal ikke grupperes). 1.1 Eksempel på ugrupperede data. Vi har talt antallet af bår i 15 pakker. Antal bår i en pakke: Eksempel på grupperede data. Vi har vejet 00 frugter: Mellem 100 og 110 gram: 16 frugter Mellem 110 og 10 gram: 68 frugter Mellem 10 og 130 gram: 90 frugter Mellem 130 og 140 gram: 6 frugter Ugrupperede data.1 Hvordan udregner vi middeltal (middelvçrdi) for ugrupperede data? For grupperede data skal vi gére noget andet. Se afsnit pç side 9. Middeltallet for nogle tal er det vi plejer at kalde gennemsnittet. Vi kan udregne middeltallet (middelvårdien) ved at lågge tallene sammen og dividere resultatet med antallet af tal..11 Hvordan udregner vi middeltallet når der er få data? I 7 préver opnçede en elev félgende pointtal: SÇdan udregner vi middeltallet: , Middeltallet for elevens pointtal er 7, 9.1 Hvordan udregner vi middeltallet når der er mange data? De nye elever pç en skole har våret til en préve: Point Antal elever I tabellen ser vi at 5 elever har fçet 1 point, elever har fçet point, osv. Antallet af pointtal er altsç Vi behéver ikke lågge de 58 tretaller sammen. Vi fçr det samme ved at udregne Middeltallet kan vi altsç udregne sçdan: Middeltallet for elevernes pointtal er altsç 3, 9 3,9111 Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

6 . Hvordan finder vi medianen for ugrupperede data? For grupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit 3.5 pç side 8..1 Hvordan finder vi medianen når der er få data? En klasse har haft en préve. De 17 elever fik félgende point: Vi ordner disse tal efter stérrelse sç tallet til venstre er mindst: Vi ser at det midterste af tallene er 48. Man siger at tallenes median er 48. Antag at der i stedet havde våret et lige antal tal: Da der er et lige antal tal, er der ikke et tal der stçr i midten. I stedet udregner vi gennemsnittet af de to midterste tal: 5 6 5,5. Man siger at tallenes median er 5,5.. Hvordan finder vi medianen når der er mange data? De nye elever pç en skole har våret til en préve: Point Antal elever I tabellen ser vi at 5 elever har fçet 1 point, elever har fçet point, osv. Antallet af pointtal er altsç Da 14 : 107, ser det sçdan ud: ?? 6 6 Tal nr. 6 i denne råkke er férste total da der ifélge tabellen er 5 ettaller. Tal nr. 8 er férste tretal da 5 7. Tal nr. 86 er férste firtal da Tal nr. 135 er férste femtal da De to midterste tal, dvs. nr. 107 og 108, er altsç begge firtaller. Da der ikke er noget midterste tal, er medianen gennemsnittet af de to midterste tal. Medianen for elevernes pointtal er altsç 4, 0 I tabellen ovenfor Åndrer vi antallet til 3. SÇ ser det sçdan ud ??? 6 6 Vi kan se at nu er det tal nr. 108 der er medianen, dvs. medianen er 4. Statistik for gymnasiet og hf Side 016 Karsten Juul

7 .3 Hvordan finder vi kvartilsçttet for ugrupperede data? (For grupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit 3.6 pç side 8)..31 Hvis der er et midterste tal: Medianen for tallene til venstre for det midterste tal kalder vi nedre kvartil. Dvs. nedre kvartil er 7. Medianen for tallene til héjre for det midterste tal kalder vi Évre kvartil. Dvs. Évre kvartil er 57. NÇr vi taler om kvartilsåttet for nogle tal, sç mener vi de tre tal nedre kvartil, median og Évre kvartil, dvs. kvartilsåttet for tallene ovenfor er de tre tal 7, 48, Hvis der ikke er et midterste tal: Medianen for den venstre halvdel af tallene kalder vi nedre kvartil. Dvs. nedre kvartil er 3,5. Medianen for héjre halvdel af tallene kalder vi Évre kvartil. Dvs. Évre kvartil er 7. KvartilsÅttet er de tre tal 3,5, 5,5, 7, 0..4 Hvordan tegner vi boksplot? Ved at undersége datasåttet kan vi se at mindste tal = 15 nedre kvartil = 7 median = 48 Évre kvartil = 57 stérste tal = 71 Disse oplysninger har vi vist pç figuren. SÇdan en figur kaldes et boksplot point De to smç lodrette streger i enderne viser at mindste og stérste tal er 15 og 71. De to lodrette streger i hver ende af rektanglet viser at nedre og Évre kvartil er 7 og 57. Den lodrette streg i midten af rektanglet viser at medianen er 48. Rektanglet anskueliggér at den midterste halvdel af tallene ligger i intervallet fra 7 til 57. Den vandrette streg til venstre anskueliggér at den fjerdedel af tallene der er mindst, ligger i intervallet fra 15 til 7. Den vandrette streg til héjre anskueliggér at den fjerdedel af tallene der er stérst, ligger i intervallet fra 57 til 71. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

8 .5 Hvordan sammenligner vi boksplot?.51 Opgave Diagrammet viser héjdefordelingen for en plante pç to marker A og B. Sammenlign héjderne pç A og B. Svar Sammenlign stérrelser Alle dele af diagrammet bortset fra héjre endepunkt ligger långere mod héjre pç B, sç héjderne er altsç overvejende stérre pç B selv om den stérste héjde er pç A. Sammenlign spredning BÇde hele diagrammet og kassen er bredere pç A's diagram end pç B's, sç héjderne fra A er mere spredt end héjderne fra B. A B begrundelse resultat begrundelse resultat cm.5 Opgave Diagrammet viser fordelingen af tider for to lébere A og B. Sammenlign tiderne for A og B. Svar Sammenlign stérrelser Venstre endepunkt for B-diagrammet ligger til héjre for héjre endepunkt for A-diagrammet, sç B s mindste tid er stérre end A s stérste tid. Sammenlign spredning A-kassen er meget långere end B-kassen, sç midterste halvdel af tiderne er meget mere spredt for A end for B. Hele diagrammet har ca. samme långde for A og B, sç forskellen pç stérste og mindste tid er ca. den samme for A og B. A B begrundelse resultat begrundelse resultat begrundelse resultat minutter.53 Opgave 01 Diagrammet viser hvordan priserne pç en vare er fordelt i 01 og i (a) Sammenlign priserne i 01 og 013. (b) I 01 betalte en person 53,50 kr. for varen. Hvordan ligger denne pris i forhold til alle 01-priserne for varen? (c) En person betalte et beléb i den laveste halvdel af den héjeste halvdel af 01-priserne. Hvad fortåller dette om stérrelsen af belébet. Svar på (a) Sammenlign stérrelser Hele 013-diagrammet ligger til héjre for venstre halvdel af 01-diagrammet, sç alle 013-priserne er over laveste halvdel af 01-priserne. Hele 01-diagrammet ligger til venstre for kassen i 013-diagrammet, sç alle 01-priserne er lavere end de 75 % héjeste 013-priser. Sammenlign spredning Hverken for kassen eller hele diagrammet er långden Åndret våsentligt fra 01 til 013, sç der er ikke meget forskel pç hvor spredt priserne er i 01 og 013. Svar på (b) 53,50 ligger pç diagrammets venstre linjestykke, dvs. 53,50 kr. er i den nederste fjerdedel af 01-priserne. begrundelse resultat begrundelse resultat Svar på (c) NÇr et beléb er i den laveste halvdel af den héjeste halvdel, er det i héjre del af kassen, dvs. mellem 56,00 kr. og 57,00 kr. begrundelse resultat begrundelse resultat begrundelse resultat kr. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

9 Grupperede data 3.1 Hvordan tegner vi et histogram? Tabellen viser fordelingen af nogle frugters vågt. VÅgt i gram Procent Histogrammet til héjre viser oplysningerne i tabellen. Rektanglet over intervallet har héjden héjden 8 %. Dette viser at 8 % af frugterne vejer mellem 100 og 110 gram. BemÅrk: Denne mçde at tegne et histogram pç kan kun bruges fordi intervallerne , osv. er lige lange. Du skal kun kende denne mçde. Advarsel: Den vandrette akse skal tegnes som en sådvanlig tallinje. % gram RIGTIGT: FORKERT: FORKERT: 3. Et grupperet datasçt er en model af virkeligheden der er meget forenklet. Ovenfor har vi set pç félgende grupperede datasåt: VÅgt i gram Procent Da dette datasåt er grupperet, skal vi regne som om de 8 % i férste interval er helt jåvnt fordelt i dette interval de 34 % er helt jåvnt fordelt i andet interval osv. Dette betyder bl.a. et vi f.eks. skal regne som om 0 % af dataene er pråcis lig 110. Dette er ikke i modstrid med virkeligheden, for när vi siger at noget vejer 110 g, mener vi ca. 110 g. Hvis vi hermed mener mellem 109 g og 111 g, sä er der ifçlge tabellen 4, % der vejer ca. 110 g. Til eksamen plejer man ikke at spçrge om sädan noget. Der gålder altsç: Den procentdel af dataene der er 110 eller mindre, er lig den procentdel der er mindre end 110. Det giver ingen mening at spérge om 110 er talt med i intervallet eller i intervallet Dette spérgsmçl giver mening i en opgave hvor du selv skal gruppere nogle data. Se afsnit 4.1 side 9. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

10 3.3 Hvordan tegner vi en sumkurve? 3.31 Kumuleret frekvens og sumkurve Den kumulerede frekvens af et tal t er den procentdel af dataene der er af stérrelse t eller derunder. Sumkurven er grafen for den kumulerede frekvens. 3.3 Hvis der er oplyst procent for hvert interval. VÅgt i gram Frekvens 8 % 34 % 45 % 13 % For at tegne en sumkurve, udregner vi kumulerede frekvenser. Vi har skrevet dem i tabellen, og vi har udregnet dem sçdan: 8% 34% 4%, 4% 45% 87%, osv. Et intervals frekvens, er den procentdel af dataene som intervallet indeholder. Ordet kumuleret betyder ophobet. VÅgt i gram Kumuleret frekvens 0 % 8 % 4 % 87 % 100 % For at tegne sumkurven gér vi sçdan: 0 % er mindre end 100, sç ved x 100 afsåtter vi et punkt ud for 0 % pç y-aksen. 8 % er mindre end 110, sç ved x 110 afsåtter vi et punkt ud for 8 % pç y-aksen. 4 % er mindre end 10, sç ved x 10 afsåtter vi et punkt ud for 4 % pç y-aksen. Osv. Da dataene er jåvnt fordelt i hvert interval, skal vi forbinde punkterne med rette linjestykker. (Se evt. begrundelse for dette i afsnit 5 pç side 10) Hvis der er oplyst antal for hvert interval. I tabellen stçr antal i stedet for procent. SÇ mç vi omregne til procent for at kunne tegne sumkurven. LÅngde (m) 0, Antal rér Nedenfor lågger vi sammen fér vi omregner til procent. Det er for at undgç mellemfacitter med mange cifre. Antal data er Kumuleret hyppighed udregner vi sçdan: , , osv. Kumuleret frekvens udregner vi sçdan: 34 0,10567, 9 0, 3641, osv. 8 8 % I tabellen kan vi skrive hyppighed i stedet for antal rér. Det har vi gjort i tabellen nederst. gram LÅngde i meter 0, Kumuleret hyppighed Kumuleret frekvens 0 % 1,1 % 3,6 % 64,9 % 90,4 % 100,0 % 3.34 Hvis start-tal og/eller slut-tal mangler. LÅngde (m) Hyppighed I denne tabel mangler start-tal og slut-tal. SÇ skal vi kun tegne kurven i de andre intervaller. Kurven bestçr altsç af tre linjestykker. SpÉrgsmÇlene i opgaven vil kunne besvares ved hjålp af den del af kurven vi har tegnet. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

11 3.4 Hvordan aflçser vi på en sumkurve? Figuren viser sumkurven for rérene fra tabellen pç foregçende side. % 9% 55% 3,7 m 5,5 m m 3.41 Hvor mange procent af rärene er UNDER 3,7 meter? Svar: Som vist pç figuren aflåser vi at 55% af rérene er under 3,7 meter. 3.4 Hvor mange procent af rärene er OVER 5,5 meter? Svar: Som vist pç figuren aflåser vi at 9 % af rérene er under 5,5 meter. Da 100% 9% 8%, er 8% af rérene over 5,5 meter Hvor mange procent af rärene er MELLEM 3,7 og 5,5 meter? Svar: Fra de 9 % der er under 5,5 meter, skal fraregnes de 55 % der er under 3,7 meter. Da 9% 55% 37%, er 37% af rérene mellem 3,7 og 5,5 meter Hvor mange procent af rärene er LIG 3,7 meter ELLER DERUNDER? Svar: Det er samme spérgsmçl som spérgsmçlet 3.41 ovenfor da 0 % af rérene er pråcis lig 3,70000 meter. Det at der pç sumkurven er 0 % der er lig 3,7 meter, er ikke i modstrid med at nogle af rérene er mçlt til 3,7 meter. (LÅs evt. forklaringen pç dette i afsnit 3. pç side 5 ). Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

12 3.5 Hvordan finder vi medianen for grupperede data? For ugrupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit. pç side. For at finde medianen skal vi bruge sumkurven nçr det er grupperede data. Vi starter i 50 % pç y-aksen, gçr vandret hen til sumkurven, gçr lodret ned pç x-aksen, og aflåser x-vårdien. Denne x-vårdi er medianen. At et tal er median, betyder altsç at 50 % af dataene er mindre end dette tal og 50 % af dataene er stérre end dette tal. PÇ figuren er medianen Hvordan finder vi kvartilsçttet for grupperede data? For ugrupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit.3 pç side 3. For at finde kvartilsåttet skal vi bruge sumkurven nçr det er grupperede data Nedre kvartil. Vi starter i 5 % pç y-aksen, gçr vandret hen til sumkurven, gçr lodret ned pç x-aksen, og aflåser x-vårdien. Denne x-vårdi er nedre kvartil. At et tal er nedre kvartil, betyder altsç at 5 % af dataene er mindre end dette tal og 75 % af dataene er stérre end dette tal. PÇ figuren er nedre kvartil 33, Évre kvartil. Vi starter i 75 % pç y-aksen, gçr vandret hen til sumkurven, gçr lodret ned pç x-aksen, og aflåser x-vårdien. Denne x-vårdi er Évre kvartil. At et tal er Ävre kvartil, betyder altsç at 75 % af dataene er mindre end dette tal og 5 % af dataene er stérre end dette tal. PÇ figuren er Évre kvartil KvartilsÇt. 50% 10% Dette har du brug for at vide när du har fundet medianen og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks % 50% 5% 10% NÇr vi taler om kvartilsåttet for nogle tal, sç mener vi de tre tal nedre kvartil, median, Évre kvartil, dvs. kvartilsåttet er de tre tal 33,5, 43, , Dette har du brug for at vide när du har fundet nedre kvartil og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks. 33,5. Dette har du brug for at vide när du har fundet Çvre kvartil og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

13 3.7 Middeltal for grupperede data når antal (hyppighed) er oplyst Vi vil udregne middeltallet for félgende grupperede datasåt: LÅngde i meter 0, Antal rér For at udregne middeltallet forestiller vi os at de 34 tal i férste interval alle er lig tallet i midten af dette interval, de 58 tal i andet interval alle er lig tallet i midten af dette interval, osv. Dette Åndrer ikke middeltallet da tallene er jåvnt fordelt i hvert interval. 0,5 3 Tallet i midten af intervallet udregner vi sçdan: 1, 5,, 5, osv. Tal i midten af intervallet 1,5,5 3,5 4,5 6,5 Hyppighed Antal data er Middeltallet udregnes sçdan: 1,5 34,5 58 3,5 91 4,5 7 6,5 7 3,56560 Middeltal for rérs långde er 3,57cm. 8 Det er nemmere at gange med 7 end 7 gange at skrive 6, Middeltal for grupperede data når procent (frekvens) er oplyst Vi vil udregne middeltallet for félgende grupperede datasåt: LÅngde i meter 0, Frekvens 1 % 18 % 35 % 5 % 10 % For at udregne middeltallet forestiller vi os at de 1 % i férste interval alle er lig tallet i midten af dette interval, de 18 % i andet interval alle er lig tallet i midten af dette interval, osv. Dette Åndrer ikke middeltallet da tallene er jåvnt fordelt i hvert interval. 0,5 3 Tallet i midten af intervallet udregner vi sçdan: 1, 5,, 5, osv. Tal i midten af intervallet 1,5,5 3,5 4,5 6,5 Frekvens 1 % 18 % 35 % 5 % 10 % Middeltallet udregnes sçdan: 1,51,5 18 3,5 35 4,5 5 6, Hvordan grupperer vi data? Vi har modtaget et datasåt pç 60 tal (enhed er mm): ,6 Middeltal for rérs långde er 3,6cm. For at fç overblik over disse tal vil vi gruppere dem i félgende intervaller: I rammen har vi skrevet disse intervaller under hinanden. FÉrste tal i datasåttet er 63. Derfor såtter vi en streg ud for Andet tal i datasåttet er 71. Derfor såtter vi en streg ud for Osv. Et tal i datasåttet der er lig et af intervalendepunkterne, tåller vi med i intervallet til venstre for tallet. Dette er ikke eneste mäde at gçre det pä, men der er tradition for at bruge denne mäde i det danske gymnasium og hf. Efter at vi har foretaget denne optålling, kan vi opskrive det grupperede datasåt: LÅngde i mm Antal Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

14 4. Hvor brede skal vi gäre intervallerne når vi grupperer data? PÇ computer kan vi nemt Åndre intervallernes bredde og se hvordan histogrammet Åndres. Histogrammerne viser tre forskellige grupperinger af samme data. PÇ y-aksen stçr antal. Venstre figur: For lille intervalbredde. FÇ data i hvert interval fçr héjde til at svinge tilfåldigt. Midterste figur: Intervallernes bredde er passende. HÄjre figur: For stor intervalbredde. UnÉdig forenklet beskrivelse af hvordan data er fordelt. 5 Sumkurve og lineçr sammenhçng. Histogrammet viser et grupperet datasåt: Intervallet 0-30 deler vi op i 10 lige store dele (se figur). Hver af disse smç intervaller mç indeholde en tiendedel af hele intervallets observationer, dvs. de indeholder 0% 40% 30% hver 3 % af samtlige observationer. ( x, y) er et punkt pç sumkurven, dvs. y er den procentdel af observationerne der har stérrelse x eller derunder. Af histogrammet ovenfor ser vi: NÇr x 0 er y 0,0 0,40 0, 60 NÇr x 1 er y 0,60 0,03 0, 63 NÇr x er y 0,63 0,03 0, 66 Hver gang x bliver 1 stérre, vil y blive 0,03 enheder stérre, sç y vokser lineårt i intervallet fra x 0 til x 30. Derfor er grafen en ret linje i dette interval, og ligningen er y 0, 03x b. Vi udregner b : NÇr x 0 er y 0, 60 sç 0,60 0,03 0 b. Heraf ser vi at b 0, sç ligningen er y 0, 03x. For de fire intervaller er ligningerne: 0-10: y 0, 0x 10-0: y 0,04x 0, 0-30: y 0, 03x 30-40: y 0,01x 0, 6 Hvor mange procent af observationerne har stärrelse 7 eller derunder? Vi ser at vi skal bruge ligningen fra tredje interval: y 0,03 7 0,81 dvs. 81 % af observationerne er 7 eller derunder. 10 % Hvor stor er nedre kvartil? Vi skal gç ud fra 5 % pç y-aksen. Vi ser at vi skal bruge ligningen fra andet interval: 0,5 0,04x 0,. Vi léser denne ligning mht. x og fçr 11,5, dvs. nedre kvartil er 11,5. % Sumkurve Histogram Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

15 6 StikprÄver. TEST Nogen pç et gymnasium mener at der er forskel pç hvad piger og drenge mener om et bestemt spérgsmçl. For at undesége denne hypotese, spérger vi nogle piger og drenge. 6.1 Hvad er populationen? De ting eller personer som vi vil pçstç noget om, kaldes populationen. Er det alle personer i europa som nu er mellem 10 og 0 Çr? Er det alle elever pç vores gymnasium? Eller? NÇr vi laver en statistisk underségelse, skal vi skrive en pråcisering af hvad det er for en population vi vil påstå noget om. 6. Hvad er stikpräven? Vi underséger kun en lille del af hele populationen. De personer vi fçr et svar fra (eller de ting vi underséger), kaldes stikpréven. NÇr vi laver en statistisk underségelse, skal vi skrive en pråcisering af hvordan vi har valgt stikpräven. Det er IKKE nok at skrive: Vi har spurgt 47 elever pç vores gymnasium. Det er nok at skrive Den 0. februar mellem kl. 8:50 og 9:10 spurgte vi de 47 elever der sad pç gangen, og vi fik svar fra dem alle. 10 af drengene og 8 af pigerne var fra 3g FY, 13 af drengene og 16 af pigerne var fra 3g Fy. eller Den 0. februar kl. 8:50 sendte vi en besked til alle elever pç skolen. StikprÉven er de 47 elever der svarede inden kl. 10:00 den. februar. Disse to beskrivelser af en indsamling af stikpréve er sç grundige at låseren kan se om der er grund til tro at der kan våre systematiske fejl. 6.3 Systematiske fejl ved valg af stikpréven. Eksempel 1 Population: Eleverne pç vores gymnasium. StikprÉve: Eleverne i en sproglig klase. Her kan vi have lavet en systematisk fejl ved valg af stikpréven, for det kan våre at en bestemt holdning oftere er blandt sproglige end blandt andre. Eksempel Hvis vi spérger elever pr. , og mange ikke svarer, sç kan vi have lavet en systematisk fejl, for det er mçske isår elever med en bestemt holdning der svarer. 6.4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpréven. Selv om vi vålger stikpréven tilfåldigt blandt hele populationen, er det ikke helt sikkert at den ligner populationen. Det kan f.eks. våre at vi tilfåldigt har fçet for mange ja-sigere med i stikpréven. Det er muligheden for tilfåldige fejl vi beskåftiger os med nçr vi udregner tallet p. (se afsnit 9.3 og 13.4). Afsnit 6 fortsätter på näste side. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

16 6.5 Er der skjulte variable? En skjult variabel er noget der kan ÉdelÅgge resultatet selv om stikpréven er udvalgt tilfåldigt blandt hele populationen. Eksempel: Der er flere der overlever pç hospital A end pç hospital B. Man slutter at behandlingen er bedre pç A end pç B. Men forskellen skyldes at B har flere Åldre patienter. Patienternes alder er en skjult variabel der pçvirker resultatet. 7 Hvad er sandsynlighed? 7.1 Eksempel. At sandsynligheden for at vinde = 5% betyder at vi vinder 5% af gangene. 7. Eksempel. At sandsynligheden for at en pose har 3 eller flere defekte = 4 % betyder at 4 % af poserne har 3 eller flere defekte. 8 Test af hypotese. 8.1 Signifikansniveau. Hypotese: Halvdelen af brikkerne er gule. Vi tager en stikpréve for at teste hypotesen. Vi fçr en stikpréve der ligger langt fra hypotesen. Vi udregner at hvis hypotesen er rigtig, sç er sandsynligheden kun 3 % for at fç en stikpréve der ligger sç langt eller långere fra hypotesen, Hvis 3 % er mindre end det valgte signifikansniveau, sç forkaster vi hypotesen. Hvis vi har valgt signifikansniveau = 5 %, sç forkaster vi da 3 % < 5 %. Hvis vi har valgt signifikansniveau = 1 %, sç forkaster vi ikke da 3 % 1%. 8. HvornÅr har vi vist noget med en test? Kun nçr vi forkaster en hypotese, har vi vist noget. NÇr vi ikke forkaster hypotesen, har vi IKKE vist at hypotesen sandsynligvis er rigtig. Mange (ogsç lårere og lårebéger) tror at nçr vi ikke kan forkaste hypotesen, sç er det sandsynligt at hypotesen er rigtig. Dette er en katastrofal misforstçelse. Det har ingen forbindelse med virkeligheden. I nogle eksamensopgaver og vejledende opgaver spérges om der er belåg for uafhångighed. At spérge sçdan er en grov fejl da testen aldrig kan give belåg for uafhångighed. 8.3 Tankegangen bag det at forkaste eller ikke forkaste en hypotese. Antag at vi har fundet ud af félgende: Hvis det hypotese A siger, er rigtigt, sç er det usandsynligt at fç en stikpréve der ser ud som den vi har fçet. SÇ tror vi ikke at det hypotese A siger, er rigtigt. Vi forkaster hypotese A. Antag at vi har fundet ud af félgende: Hvis det hypotese A siger, er rigtigt, sç er det IKKE usandsynligt at fç en stikpréve der ser ud som den vi har fçet. SÇ forkaster vi ikke A. Hvis vi ikke forkaster A, er det sç sandsynligt at A er rigtig? NEJ, for der er altid flere hypoteser B, C, D... hvorom der gålder: Hvis det hypotesen siger, er rigtigt, sç er det IKKE usandsynligt at fç en stikpréve der ser ud som den vi har fçet. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

17 9. Test for uafhçngighed i tabel. Vi vil teste om piger og drenge har samme holdning til et spérgsmçl. Populationen er alle danskere hvis alder er 16 til 18 Çr. Hypotese: Andelen der siger ja, er ens for piger og drenge. Hypotesen er altsç at svaret er uafhångigt af om det er en pige eller en dreng. I den slags test vi laver her, gålder altid: Hypotesen er at noget er ens. Vi vålger: signifikansniveau = 5% Nogle tilfåldigt udvalgte piger og drenge fçr stillet samme spérgsmçl. StikprÉven er de piger og drenge som svarede. De svarede sçdan: Faktiske tal ja nej piger drenge SÅdan udregner vi FORVENTEDE TAL. For at teste hypotesen, udregner vi férst noget vi kalder de forventede tal, dvs. hvordan svarene skulle våre fordelt mellem de fire felter hvis ja-andelen i tabellen skulle våre ens for piger og drenge. For at kunne udregne de forventede tal udregner vi férst félgende tal: Antal piger: Antal drenge: Antal ja-sigere: Antal nej-sigere: Antal piger og drenge: Disse tal skriver vi i et skema: ja nej i alt piger 133 drenge 9 i alt I tabellen med forventede tal skal andelen af ja-sigere våre den samme for piger og drenge, sç da 158 af de 5 elever svarede ja, skal vi i denne tabel skrive at af de 133 piger svarede ja: forventet antal ja-svar fra piger: 93, 40 forventet antal nej-svar fra piger: ,40 39, 60 forventet antal ja-svar fra drenge: ,40 64, 60 forventet antal nej-svar fra drenge: 9 64,60 7, 40 Her er de fire forventede tal skrevet ind i skemaet: Forventet ja nej i alt piger 93,40 39, drenge 64,60 7,40 9 i alt Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

18 9. SÅdan udregner vi. Symbolet låses sçdan: ki i anden For hvert af de fire felter udregner vi ( faktisk forventet) forventet Ved at lågge disse fire tal sammen fçr vi tallet : χ (87 93,40) 93,40 χ 3,60 (46 39,60) 39,60 (71 64,60) 64,60 (1 7,40) 7,40 TeststÉrrelsen 3,60 er afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal. 9.3 SÅdan udregner vi p. Ovenfor udregnede vi at afstanden mellem faktiske og forventede tal er χ 3, 60. I beregningsmenuen vålger vi Statistik / Fordelinger / Cdf... og udfylder sçdan: Vi kan skrive: Nspire: Dvs. p = 5,8 % hvor p er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at afstanden er 3,60 eller stérre nçr antal frihedsgrader er SÅdan skriver vi konklusionen. Da sigifikansniveauet er 5 %, og p ikke er mindre end 5 %, kan vi ikke forkaste hypotesen. StikprÉven giver ikke belåg for at håvde at andelen der siger ja, er forskellig for piger og drenge. Tallet 1 er antal frihedsgrader. Se afsnit MisforstÅ ikke procenterne. 5,8 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig. 5,8 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. 94, % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig. 94, % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. De 5,8 % er udregnet under den forudsåtning at hypotesen er rigtig og er sandsynligheden for at fç en stikpréve hvis afvigelse fra hypotesen er sç stor som eller stérre end afvigelsen i den stikpréve vi fik. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

19 10 Hvordan udregner vi antal FRIHEDSGRADER i test for uafhçngighed? 10.1 Frihedsgrader for gange tabel. Tabellen stammer fra en underségelse af om der er forskel pç drenges og pigers holdning til det stillede spérgsmçl. I tabellen er der råkker (piger og drenge) og séjler (ja og nej). i alt Hvis vi skriver et tal i ât af de fire felter, sç er det fastlagt hvad der skal stç i de tre andre felter. Det er fordi bçde antal piger, antal drenge, antal ja og antal nej er kendt. Fordi man kun kan vålge 1 tal, er antallet af frihedsgrader 1. ja nej i alt piger drenge Frihedsgrader for gange 3 tabel. Tabellen stammer fra en underségelse ja nej? i alt af om der er forskel pç drenges og pigers holdning til det stillede piger spérgsmçl. I tabellen er der råkker (piger og drenge) og 3 séjler (ja, nej og?). drenge i alt Hvis vi skriver tal i to af de seks felter, sç er det fastlagt hvad der skal stç i de fire andre felter. Det er fordi bçde antal piger, antal drenge, antal?, antal ja og antal nej er kendt. Fordi man kun kan vålge tal, er antallet af frihedsgrader Frihedsgrader for m gange n tabel. Hvis der i test for uafhångighed er sç er m råkker og n séjler, antal frihedsgrader = ( m 1) ( n 1) Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader pç en anden mçde. Se afsnit Hvis m og n, sç fçr vi af denne formel at antal frihedsgrader = ( 1) ( 1) 11 1 ADVARSEL: Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader pç en anden mçde. Se afsnit Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

20 11 Eksempel med to frihedsgrader i test for uafhçngighed. Populationen er alle danske elever i 1.g som har matematik pç A- eller B-niveau. Vi vil teste félgende hypotese pç 5 %-signifikansniveau: Hypotese: Eleverne på A-niveau og B-niveau er lige gode til brçkregning. StikprÉven er nogle elever som fik en préve i brékregning. Hver elev fik under middel, middel eller over middel. Resultatet stçr i tabellen. under middel over i alt Faktiske tal: Vi udregner de forventede vårdier: mat A mat B i alt af de 356 elever fik under middel, sç hvis hypotesen er rigtig, mç vi forvente at ogsç af mat A-eleverne fik under middel Det forventede antal er altsç , Det forventede antal mat A-elever med karakteren middel er , 66. Vi kan fortsåtte sçdan for at udregne resten af de forventede tal, men vi kan ogsç udregne resten af de forventede vårdier ved at bruge at vi kender summen af hver råkke og séjle. Det forventede antal mat B-elever med karakteren under middel kan vi altsç udregne sçdan: 95 51,77 43, 3. Forventede tal: under middel over i alt mat A 51,77 74,66 67, mat B 43,3 6,34 56,43 16 i alt Vi udregner teststérrelsen som er afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal: (5151,77) (6574,66) (7867,57) (4443,3) (76,34) (4656,43) 51,77 74,66 67,57 43,3 6,34 56,43 Vi fçr 6, 31. Antal frihedsgrader = (antal råkker 1) (antal séjler 1) = ( 1) (3 1) = Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader pç en anden mçde. Se afsnit Vi udregner p som er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig for at er i hvert fald 6,31: Nspire: Dvs. p = 4,3 % hvor p er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at afstanden er 6,31 eller stérre nçr antal frihedsgrader er. Da p er mindre end 5 %, forkaster vi hypotesen, sç pç 5 %-signifikansniveau har vi vist: Eleverne pç A-niveau og B-niveau er ikke lige dygtige til brékregning. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

21 1 Nulhypotese. NÇr vi udférer en test, sç underséger vi om en bestemt hypotese kan forkastes. Denne hypotese kaldes nulhypotesen. Nulhypotesen skal pçstç at noget er ens. Dette kan udtrykkes pç flere mçder. FÉlgende fire såtninger er samme hypotese: Der er ikke forskel pç pigers og drenges holdning til spérgsmçlet. Pigers og drenges holdning til spérgsmçlet er ens. Elevers holdning til spérgsmçlet er uafhångig af kén. Elevers kén har ikke betydning for deres holdning til spérgsmçlet. Der er ikke sammenhång mellem kén og holdning til spérgsmçlet. Den alternative hypotese er den hypotese som vi har belåg for at håvde hvis testen forkaster nulhypotesen. Hvis vi vil undersége om der er forskel pç pigers og drenges holdning til et spérgsmçl, sç skal vi skrive félgende nulhypotese: Nulhypotese: Pigers og drenges holdning er ens. Alternativ hypotese: Pigers og drenges holdning er forskellig. 13 Test for fordeling når stikpräven er angivet som antal. I et land er det muligt at stemme pç pç fire partier A, B, C og D. Hypotese: Tilslutningen til partierne er som vist i tabellen. Hypotese: A B C D 33 % 8% 39 % 0 % Vi spérger folk der er tilfåldigt valgt blandt dem der mç stemme, og fçr félgende 150 svar: Faktiske tal: A B C D Populationen er dem der mç stemme. StikprÉven er dem der svarede. Vi vil teste hypotesen pç signifikansniveu 5 % SÅdan udregner vi forventede tal. Hvis hypotesen er rigtig, mç vi forvente félgende tal: A: 150 0,33 49, 5 B: 150 0,08 1 C: 150 0,39 58, 5 D: 1500,0 30 Forventede tal: A B C D 49,5 1 58, SÅdan udregner vi. Symbolet låses ki i anden For hvert af de fire felter udregner vi ( faktisk forventet) forventet Ved at lågge disse fire tal sammen fçr vi teststérrelsen som er afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal: (46 49,5) 49,5 ( 1) 1 (55 58,5) 58,5 (7 30) 30 0, , , ,3 9,09 Langt det stérste bidrag til teststérrelsen er 8,33333 som stammer fra B. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

22 13.3 SÅdan udregner vi antal frihedsgrader. Ovenfor skrev vi tal i félgende skema: A B C D I alt NÇr vi har skrevet tal i tre af felterne, sç er det fastlagt hvad der skal stç i det sidste felt da summen skal våre 150. Antal frihedsgrader er 3 da vi kan vålge tre af tallene. I test for fordeling gålder: antal frihedsgrader = antal felter Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader pç en anden mçde. Se afsnit SÅdan udregner vi p. Ovenfor udregnede vi at afstanden mellem faktiske og forventede tal er χ 9, 09. I beregningsmenuen vålger vi Statistik / Fordelinger / Cdf... og udfylder sçdan: Vi kan skrive: Nspire: Dvs. p =,8 % hvor p er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at afstanden er 9,09 eller stérre nçr antal frihedsgrader er SÅdan skriver vi konklusionen. Da p er mindre end 5 %, forkaster vi hypotesen. PÇ 5 %-signifikansniveau har vi belåg for at håvde at: Fordelingen er ikke som vist i férste tabel MisforstÅ ikke procenttallene.,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig.,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. 97,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig. 97,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. De,5 % er udregnet under den forudsåtning at hypotesen er rigtig og er sandsynligheden for at fç en stikpréve hvis afvigelse fra hypotesen er sç stor som eller stérre end afvigelsen i den stikpréve vi fik. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

23 14 Test for fordeling når stikpräven er angivet med procenter. I et land er det muligt at stemme pç pç fire partier A, B, C og D. Hypotese: Tilslutningen til partierne er som vist i tabellen. Hypotese: A B C D 33 % 8% 39 % 0 % Nogen har spurgt folk der er tilfåldigt valgt blandt dem der mç stemme, og har fçet svar fra 150. De har angivet resultatet i procenter sçdan: Vores data: A B C D 30,7 % 14,7 % 36,7 % 18,0 % For at kunne teste hypotesen mç vi udregne de faktiske tal som disse procenter er udregnet ud fra. I tabellen med faktiske tal SKAL alle tal våre hele tal. (I tabellen med forventede tal mç der gerne stç kommatal). A: 150 0,307 46, 05 B: 150 0,147, 05 C: 150 0,367 55, 05 D: 150 0,18 7 Faktiske tal: A B C D Da vi nu har de faktiske tal, kan vi udfére testen pç samme mçde som i afsnit Kritisk vçrdi. Hver dag underséger vi nogle varer med en -test med frihedsgrader og signifikansniveau 5 %. En dag er = 6,88. SÇ er p = 3,%, dvs. vi forkaster. En dag er = 4,68. SÇ er p = 9,6 %, dvs. vi forkaster ikke. NÇr = 6,88 forkaster vi, og nçr = 4,68 forkaster vi ikke. Der mç våre en -vårdi mellem 6,88 og 4,68 som skiller mellem at forkaste og ikke forkaste. Vi vil finde den vårdi der skiller, dvs. den -vårdi hvor p = 5 % : Nspire léser ligningen χãcdf(,,) = 0,05 mht. og fçr = 5,99. Tallet 5,99 kaldes den kritiske vårdi. De dage hvor er stérre end 5,99, forkaster vi hypotesen. (I andre test vil de kritiske vårdier normalt våre andre tal). Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

24 Fordeling af teststärrelse 16 Fordeling af teststärrelse FORDELINGER I skemaet er nogle elever inddelt pç to mçder: mçde 1: pige eller dreng mçde : svarer ja eller nej De to inddelinger er uafhångige af hinanden hvis H 0 : sandsynlighed for ja er ens for pige og drenge dvs. hvis H 0 : brékdel af piger der siger ja = brékdel af drenge der siger ja. Man vålger tilfåldigt en stikpréve blandt eleverne og udfylder skemaet ovenfor. Selv om populationen opfylder brékdel af piger der siger ja = brékdel af drenge der siger ja, kan vi ikke forvente at dette gålder stikpréven (skemaet). Hvis skemaet er meget langt fra at opfylde dette, sç gåtter vi pç at H 0 er forert. Vi siger at vi forkaster nulhypotesen. Ud fra stikpréven (skemaet) udregner vi et tal (teststérrelsen ) som er et udtryk fra stikpréves afstand fra hypotese. (Tallet udregnes ved at bruge formlen i afsnit 9.). Hvis hypotesen er rigtig og vi mange gange tager en stikpréve og udregner tallet, sç fçr vi tal der er fordelt som kurven viser. 1 x 1 f ( x) x e, x 0. π Forskriften for f skal du IKKE huske! Eksempel: Areal mellem graf og x-akse i intervallet 1 x er 0,16. Det betyder at 16% af tallene ligger i intervallet. Hele arealet mellem graf og x-akse mç våre 1 (100 %). 1 f ( x) dx 0,16. Hvis vi fçr en stikpréve med =,5, sç er p lig sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at fç en stikpréve hvor er,5 eller stérre. PÇ sidste figur ser vi at p er 0,1, altsç 10 %, sç vi forkaster ikke hypotesen hvis signifikansniveau er 5 %..5 f ( x) dx 0,1. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

25 Normalfordeling 17 Tal der er normalfordelt. Vi mçler héjden af alle drenge i 3.g. De mçlte tal afsåtter vi som prikker pç en tallinje. Tallene ligger ikke jåvnt fordelt. De er fordelt sçdan: Der er et sted pç tallinjen hvor tallene ligger tåt. Jo långere man kommer fra dette sted, jo mindre tåt ligger tallene. NÇr vi mçler ting af samme slags, vil tallene ofte våre fordelt pç en bestemt mçde som vi kalder normalfordelt. F.eks. er héjderne af drengene i 3.g normalfordelt. 18 Graf for tal der er normalfordelt. Grafen til venstre viser hvordan nogle mçlte tal er fordelt. Hvis vi afsåtter tallene som prikker pç x-aksen, vil prikkerne ligge tåttest der hvor y er stérst, dvs. når 13 pç x-aksen ligger prikkerne tåttest. NÅr 11 pç x-aksen er y mindre, sç når 11 vil prikkerne ligge mindre tåt. NÅr 6 vil prikkerne ligge meget mindre tåt da y er tåt pç 0. Arealet under grafen er 1 = 100 %. I intervallet 13 x 14 er arealet under grafen 0,191, dvs. i dette interval ligger 19,1 % af de mçlte tal. I intervallet 15 x 16 er arealet under grafen 0,09, dvs. i dette interval ligger 9, % af de mçlte tal. Grafen for g er bredere end grafen for f. Til gengåld er den lavere da arealet under grafen skal våre 1. NÇr grafen er bredere, ligger tallene mere spredt. 19 MiddelvÇrdi for tal der er normalfordelt. MiddelvÅrdien af de mçlte tal er 13, da grafen er symmetrisk om x =13. Dette gålder bçde for f og g. g f f f 0 Spredning for tal der er normalfordelt. PÇ f-grafen ser vi at hvis vi fra middelvårdien gçr ud til begge sider, sç fçr vi 68,3 % af tallene med. Vi siger at tallenes spredning er fordi vi skal gç ud fra middelvårdien for at fç 68,3 % af tallene med. PÇ g-grafen ser vi at spredningen er 3. 1 Forskrift for funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt. NÇr tal er normalfordelt med middelvårdi m og spredning s, sç vil funktionen f der viser fordelingen, have félgende forskrift: Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul g f

26 f ( x) s 1 π e 1 ( x s m) Denne forskrift skal du IKKE huske! En anvendelse af normalfordeling. Ved fremstillingen af en vare er der pç grund af tilfåldigheder stor forskel pç vågtene af varerne. VÅgtene er normalfordelt med spredning 1,5 gram. Varer der vejer under 3 gram skal kasseres. (Jo tungere varen er, jo dyrere er det at fremstille den). Opgave: Hvor stor en del af varerne skal kasseres hvis maskinen indstilles til at fremstille varer med middelvårdi 33 gram? Svar: Lad f våre funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt med middelvårdi m = 33 og spredning s = 1,5. Arealet under f-grafen i intervallet < x < 3 er 3 f ( x) dx 0,5 sç 5, % af varerne skal kasseres. Udregnet af Nspire. Opgave: Hvor stor en del af varerne skal kasseres hvis maskinen indstilles til at fremstille varer med middelvårdi 34,5 gram? Svar: Lad g våre funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt med middelvårdi m = 34,5 og spredning s = 1,5. Arealet under g-grafen i intervallet < x < 3 er 3 g( x) dx 0,048 sç 4,8 % af varerne skal kasseres. Udregnet af Nspire. Opgave: En ny maskine laver varer der er normalfordelt med spredning 1 gram. Hvor stor en del af varerne skal kasseres hvis maskinen indstilles til at fremstille varer med middelvårdi 33 gram? Svar: Lad h våre funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt med middelvårdi m = 33 og spredning s = 1. Arealet under h-grafen i intervallet < x < 3 er 3 h( x) dx 0,159 sç 15,9 % af varerne skal kasseres. Udregnet af Nspire. Statistik for gymnasiet og hf Side 016 Karsten Juul

27 -fordeling 3 -fordeling. Nogle tal er normalfordelt med middelvårdi 0 og spredning 1. PÇ figur 9 har vi tegnet nogle fç af disse tal som prikker. Disse fç af tallene har vi valgt sçdan at de giver et indtryk af hvordan alle tallene er fordelt. Hvert af tallene opléfter vi til anden: ( 0,6) 0,36,5 6,5 osv. De tal vi fçr pç denne mçde, er fordelt som antydet pç figur 10. Vi vil finde forskriften for funktionen g der viser hvordan disse tal er fordelt. (Kun fç af tallene er vist som prikker). Figur 9 f g Figur 10 g-grafen viser hvordan tallene fra 9.3 er fordelt, dvs. hvis vi mange gange tager en stikpräve og hver gang udregner, så vil vi få nogle tal der er fordelt som g-grafen viser. Da vi i afsnit 9 tog en stikpréve hvor χ 3, 60 p g( x) dx 0,058. 3,60 Her har vi brugt forskriften for g som stçr i linjen (9) i afsnit 5., kunne vi altsç have udregnet p sçdan: 4 Forskrift for g. f og g er funktionerne fra afsnit 3. Arealfunktionerne for f og g kalder vi F og G, dvs. F (x) = grçt areal pç figur 11 og G (x) = grçt areal pç figur 1. 1,0 0,5 0,5 Figur 11 Figur 1 F( x ) f G(x) g x x Tallene i intervallet 0 t x stammer fra tallene i intervallet x t x, sç grçt areal pç figur 1 = grçt areal pç figur 13 dvs. (1) G( x) C Af figur 11 og 13 ser vi at C F( x ) A. x A x 0,5 C x B f Figur 13 Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

28 Vi indsåtter dette i (1): () G( x) F( x ) A Da f-grafen er symmetrisk, er (3) G( x) F( x ) B A B, sç i () kan vi erstatte A med B: Hele arealet under f-grafen er 1, sç af figur 13 og 11 ser vi at B 1 F( x ). Dette indsåtter vi i (3): (4) G( x) F( x ) ( 1 F( x )) Vi reducerer (4) og fçr: (5) G( x) F( x ) 1 Da G er arealfunktion for g, er (6) g( x) G( x) Af (5) og (6) fçr vi (7) g( x) ( F( x ) 1) Nspire udregner héjresiden og fçr (8) x e g( x) x I rammen ses hvordan vi taster for at fç (8). Du skal IKKE kunne denne indtastning. Denne formel skal du IKKE huske! 5 -fordeling når antal frihedsgrader ikke er 1. Forskriften (8) omskriver vi til ( 9) 1 g( x) x e, x 0. π funktion viser fordelingen af tal der er -fordelt med 1 frihedsgrad. I (9) har x eksponenten Hver gang vi lågger 1 til eksponenten, bliver antallet af 1 frihedsgrader 1 stérre. Samtidig mç vi erstatte konstanten π med en anden konstant sç arealet under grafen stadig er 1. Hvis antallet af frihedsgrader er 4, sç er tåthedsfunktionen altsç af typen g( x) kxe Nspire léser ligningen e x k x dx 0 mht. k og fçr 1 k 4 1 x, sç 1 e x 1 x (10) g( x) x, x 0 4 er funktionen der viser fordelingen af tal der er -fordelt med 4 frihedsgrader fordeling og test. Figuren viser grafen for funktionen (10) fra afsnit 5. Hvis vi i en -test med 4 frihedsgrader fçr at er 6,8, sç er p lig det grç areal: p 1 xe dx 0, ,8 4 Normalt regner vi dette tal ud sçdan: x p = χãcdf(6.8,, 4) = 0,14684 g Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

29 N1 Middeltal og kvartilsät ud fra kort liste Nspire-besvarelser N Middeltal og kvartilsät ud fra lang liste Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

30 N3 Middeltal og kvartilsät ud fra hyppighedstabel N4 Boksplot ud fra kort liste Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

31 N5 Boksplot ud fra lang liste N6 Boksplot ud fra hyppighedstabel Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

32 N7 Boksplot ud fra kvartilsät N8 Boksplot ud fra flere datasät Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

33 N9 Histogram Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

34 N10 Sumkurve ud fra antal, afläs Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

35 N11 Sumkurve ud fra procent Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

36 N1 Test for uafhängighed Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

37 N13 Test for uafhängighed, mm Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

38 N14 Test for fordeling, antal i stikpråve Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

39 N15 Test for fordeling, procent i stikpråve Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 03 Karsten Juul TEST StikprÅver.... Hvad er populationen?.... Hvad er stikpråven?....3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.....4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven...

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) (VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler inden for deskriptiv statistik... 12 Normalfordelingskurver...

Læs mere

Statistik - supplerende eksempler

Statistik - supplerende eksempler - supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a Grupperede observationer: Middelværdi

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 5. Statistik Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 1. Ugrupperede Observationer Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år : 1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 92%

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf102-MAT/C-31082010 Tirsdag den 31. august 2010 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 9 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Under 63 år : 88% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :

Under 63 år : 88% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år : 1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 88%

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold VUC Skive-Viborg Hfe Matematik B Claus Ryberg

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx122-mat/b-17082012 Fredag den 17. august 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet

Læs mere

Torben Rønne. Statistik. med TI InterActive

Torben Rønne. Statistik. med TI InterActive Torben Rønne Statistik med TI InterActive Indholdsfortegnelse 1 Beskrivende statistik... 3 1.1 Middelværdi, kvartilsæt og boksplot... 3 1. Histogram og sumkurve... 5 1.3 Varians og spredning... 9 Normalfordelingen...

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

En lille introduktion til WordMat og statistik.

En lille introduktion til WordMat og statistik. En lille introduktion til WordMat og statistik. WordMat er et gratis program som kan arbejde sammen med word 2007 og 2010. Man kan downloade programmet fra nettet. Se hvordan på linket: http://www.youtube.com/watch?v=rqsn8aakb-a

Læs mere

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen

Læs mere

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det.

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Emne: procent og rente: 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion.

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion. Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium 2011 Definer en funktion og funktionsværdier (1.1) 32 (1.2) (1.3) Tegn grafen for en funktion (2.1) 250 200 150 100 50 0 5 10 8 6 4 2 0 1 2 0 y

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A)

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Opgave 1 I nedenstående tabel ses resultaterne af samtlige hjerteklapoperationer i 007-08 ved Odense Universitetshospital (OUH) sammenlignet

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Opgaver til anden delprøve matematik B

Opgaver til anden delprøve matematik B 1 Opgaver til anden delprøve matematik B Dette dokument omhandler anden delprøve, den med CAS - hjælpemiddel. Dette afsnit bygger på lærerplanen og vejledningen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaver

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere