Erik Vestergaard Erik Vestergaard, 2009.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009."

Transkript

1

2 Erik Vestergrd Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner

3 Erik Vestergrd 3 Definition 1 En funktion på formen f ( ) = b, R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel funktion. Bemærk, t mn konsekvent hr vlgt t definere funktionerne for udelukkende positive -værdier, selvom mn for visse værdier f godt kunne hve indst negtive værdier f. For ndre værdier f, for eksempel = ½, vil det derimod ikke give mening t indsætte negtive -værdier (Overvej!). Hvis b= 1 kldes funktionen for en potensfunktion. Eksempel Nedenfor er fbildet grferne for forskellige potensfunktioner (dvs. b= 1). Vi ser, t potensfunktionen er voksende når > 0 og ftgende når < 0. For = 0 er funktionen konstnt. Hvis mn ændrer på b-værdierne i forskrifterne for de fbildede funktioner, så vil de nye grfer ikke være en prllelforskydning i forhold til de gmle; derimod vil der være tle om en sklering i y-ksens retning. Det vil svre til, t mn strækker eller komprimerer grfen i y-ksens retning (Overvej hvorfor!).

4 4 Erik Vestergrd Sætning 3 Ld f ( ) = b ; R +. D gælder: ) Grfen for f går igennem punktet (1, b ). b) gnges (fremskrives) med k y gnges (fremskrives) med c) Funktionen er voksende, hvis > 0, ftgende, hvis < 0 og konstnt, hvis = 0. k. Bevis: f (1) = b 1 = b 1= b. Dette viser ). For t vise b) indsætter vi k i forskriften for f og omskriver: (1) y = f ( k ) = b ( k ) = b k = k ( b ) = k f ( ) = k y1 hvor vi for t få tredje lighedstegn hr benyttet en f potensreglerne. Udregningen (1) viser, t hvis gnges med k, så bliver den nye y-værdi k gnge så stor som den forrige y-værdi. c) Overldes til læseren t overveje. Bemærk, t sætning 3b) fortæller os, t hvis gnges med et bestemt tl, så gnges også y med et bestemt tl ufhængigt f hvilket mn strtede med!

5 Erik Vestergrd 5 Husk fr rentesregningen, t når mn gnger med et tl F (fremskrivningsfktoren), så svrer det til t lægge renten r til, hvor smmenhængen mellem F og r er F = 1+ r. At lægge 5% til 500 svrer ltså til t gnge 500 med 1,5, idet F = 1+ r = 1+ 0, 5= 1, 5. Vi siger, t 500 hr fået en reltiv tilvækst på 0,5 eller 5%. Omvendt svrer en fremskrivningsfktor på 0,88 til t trække 1% fr, idet r= F 1= 0,88 1= 0,1= 1%. Denne smmenhæng mellem fremskrivningsfktoren F og den reltive tilvækst r betyder, t vi kn omformulere sætning 3b). D vi hr t gøre med fremskrivning f både og y, vil vi indføre betegnelsen F 1, som det fremskrives med, mens F skl betegne det, som y fremskrives med. Tilsvrende vil vi lde r 1 betegne den reltive tilvækst i, mens r skl betegne den reltive tilvækst i y. Vi hr dermed () F1 = 1+ r1 og F = 1+ r Sætning 3b) kn dermed udtrykkes på følgende måde: F1 = k F = k, hvormed (3) F = F1 Indsættes udtrykkene fr () i (3), fås følgende sætning: Sætning 4 (Reltive tilvækster) Givet en potensiel udvikling. Hvis gives en reltiv tilvækst på r 1, så får y en reltiv tilvækst på r, bestemt ved: (4) 1 + r = (1 + r1 ) Eksempel 5,3 Betrgt potensudviklingen med forskrift f ( ) =. ) Hvd sker der med y, hvis gnges med 1,1? b) Oversæt det, som sker i spørgsmål ), til reltive tilvækster i og y. c) Hvor meget skl mn gnge med, for t y fordobles? Løsning: ) Ifølge (3) fås: 1 1,3 F = 1,1 F = F = 1,1 = 1, 98, så y gnges med 1,98. b) Ifølge () hves: r 1 = F 1 1= 1,1 1= 0,1= 1% og r = F 1= 1,98 1= 0, 98 = 9,8%. En reltiv tilvækst på 1% i giver ltså en reltiv tilvækst på 9,8% i y. c) D F = fås ifølge (3): er ltså, t skl gnges med 1,35.,3, ,35 1 F = F = F = F = F. Svret Figuren på næste side illustrerer skemtisk situtionen i spørgsmålene ) og b).

6 6 Erik Vestergrd Eksempel 6 0,54 Betrgt potensudviklingen med forskrift f ( ) = 13, 4. ) Hvis vokser med 17%, hvor mnge procent vokser y d med? b) Hvor mnge procent skl vokse med, for t y vokser med 7%? Løsning: Vi benytter sætning 4. ) b) 0,54 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1+ 0,17) 1+ r = 1,17 1+ r = 1, 088 r = 1, 088 1= 0, 088= 8,8% Svret er ltså, t y vokser med 8,8%. 0,54 0,54 0, r = (1 + r ) 1+ 0, 7 = (1 + r ) 1, 7 = (1 + r ) 1, 7 = 1+ r 1,557 = 1+ r 1,557 1= r 0,557= r 55,7% = r Dermed konkluderer vi, t skl vokse med 55,7%, for t y vokser med 7%. Eksempel 7 Ld 0,84 =. Hvor mnge procent øges y med, hvis reduceres med %? f ( ) 480 Løsning: Vi benytter igen sætning 4. 0,84 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1 + ( 0, )) 1+ r = 0, r = 1, 3 r = 1, 3 1= 0, 3= 3, %. Vi konkluderer, t y vokser med 3,3%.

7 Erik Vestergrd 7 Forskriften udfr to støttepunkter Vi hr tidligere set, t mn kn bestemme forskriften for en lineær funktion og en eksponentiel funktion, når mn kender to punkter på funktionens grf. Dette er også tilfældet med potensudviklinger. Det vil vi se på nu. Sætning 8 Ld f ( ) = b og ld ( 1, y 1) og (, y ) være to punkter på grfen for f. D kn eksponenten bestemmes ved følgende formel: log( y) log( y1) (5) = log( ) log( ) 1 Bevis: D punkterne ligger på grfen, hves y1 = b 1 og y = b, som ngivet på figuren. 1,, y1 og y skl her ntges t være kendte. Derimod er og b ukendte. Mn ser snedigt, t mn kn skffe sig f med den ene ubekendte, b, ved t tge forholdet mellem de to y-værdier: y b (6) y1 b = = = hvor vi blndt ndet hr brugt en potensregel. For t isolere tger vi logritmen på begge sider f (6). Herved fås:

8 8 Erik Vestergrd y log y = log 1 1 (7) log( y ) log( y ) = [ log( ) log( )] = 1 1 log( y) log( y1) log( ) log( ) 1 hvor logritmereglerne er blevet nvendt. Eksempel 9 Bestem forskriften for den potensielle funktion, hvis grf går igennem følgende to punkter: (,5) og (6,7). Løsning: log( y ) log( y ) log(7) log(5) log( ) log( ) log(6) log() 1 = = = 1 1,5350 1,5350 Dermed hves foreløbigt: f ( ) = b. For t bestemme b indsættes ét f de to opgivne dtpunkter, ligegyldigt hvilket. Vi vælger (,5): 1, = b = b 1, 754 = b 1,5350 Altså fås 1,5350 =. f ( ) 1,754 Bemærkning 10 For t finde b, kn du også skrive mere direkte: b = y 5 = 1,5350 = 1, 754. Bemærkning 11 Af (7) fremgår det, t mn kn bruge følgende lterntive udtryk for : (8) = y log y 1 log 1

9 Erik Vestergrd 9 Dobbeltlogritmisk ppir Sætning 1 f er en potensfunktion log( y) er en lineær funktion f log( ) Bevis: Ld os først vise : Det ntges, t f er en potensudvikling, dvs. t funktionen kn skrives på formen: y= b med b R +. Hvis vi tger logritmen på begge sider f lighedstegnet og udnytter logritmereglerne fås: (9) log( ) log( y = b ) = log( b) + log( ) = log( ) + log( b) Herf ser vi, t logritmen til y er en lineær funktion f logritmen til, med hældningskoefficient og konstntled log( b ). Ld os dernæst slutte den nden vej, : Det ntges, t log( y ) er en lineær funktion f log( ), dvs. vi hr log( y) = c log( ) + d for to konstnter c, d R. Vi tger ntilogritmen på begge sider og får: (10) c log( ) + d c log( ) d log( ) c d d c y= 10 = = (10 ) 10 = 10 hvor to potensregler er benyttet. Vi ser, t der virkeligt er tle om en potensudvikling, med eksponent c og b= 10 d. Når vi tegner grfen for en funktion, så gøres det på grundlg f en række støttepunkter (, f ( )), hvor y-koordinten er funktionsværdien i. Hvis mn i stedet fsætter punkter (log( ),log( f ( ))), dvs. udskifter lle - og y-værdier med deres logritmer, så får mn selvfølgelig en nden kurve. Sætning 1 udtrykker d, t kurven er en ret linje hvis og kun hvis f er en potensudvikling. Dette er et smrt kriterium til t fgøre om en ukendt funktion er en potensudvikling eller ej. Det er nemlig meget nemmere t fgøre om en kurve er en ret linje end t fgøre om en kurve krummer på den rigtige måde. Der findes for eksempel mnge ikke-potensielle udviklinger, hvis grfer krummer omtrent som grfen for en potensiel udvikling! Nu vil det være besværligt t skulle til t beregne logritmerne til lle - og y-værdierne; derfor hr mn indført et såkldt dobbeltlogritmisk ppir, hvor mn slipper for t tge logritmerne, idet både - og y-kse er udstyret med en logritmisk skl, som omtlt tidligere. Vi kn ltså konkludere:

10 10 Erik Vestergrd Sætning 13 En funktion er en potensudvikling hvis og kun hvis dens grf er en retlinet grf i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Eksempel 14 Tegn grfen for 1,5 = på dobbeltlogritmisk ppir og løs følgende opgver: f ( ) 35 ) Bestem funktionsværdien i = 0 ved flæsning og ved beregning. b) Løs ligningen f ( ) = 150 ved flæsning og ved beregning. Løsning: Husk, t der på logritmiske kser ikke er et nulpunkt, idet ksen kun kn indeholde positive værdier. Vi vælger t fbilde grfen for i de to dekder fr 1 til 100. Andenksen kn d pssende indeholde de tre dekder fr 10 til Ifølge sætning 13 er grfen på dobbeltlogppir en ret linje. Vi behøver derfor blot udregne to støttepunkter. 1,5 f (1) = 35 1 = 35 ; 1,5 f (30) = = 457. Grfpunkterne (1,35) og (30,457) indtegnes på ppiret og linjen igennem dem tegnes (se næste side). 1,5 ) Aflæsning: f (0) = Beregning: f (0) = 35 0 = 1480,3. b) Aflæsning: f ( ) = 150 = 3,. Beregning: 150 f ( ) = = 35 = 4, 857= 35 1,5 4, 857 = 3, 034= 1,5 1,5 1,5 Aflæsningerne er ikke mrkeret på grfen på næste side, som de normlt skl være ved skriftlige fleveringer! Bemærkning 15 Hvis mn hr grfen for en potensudvikling fbildet på dobbeltlogppir, og forskriften er ukendt, så kn mn hurtigt få en god værdi for eksponenten ved med en linel t måle hældningskoefficienten for den retlinede grf, som den er tegnet på dobbeltlogppir. At kn bestemmes på denne måde fremgår direkte f formel (5) i sætning 8 og definitionen f en logritmisk skl (Overvej!). På grfen på næste side er det vist, hvordn hældningskoefficienten fås til ycm cm = 1,5cm 10,0 cm= 1, 5, hvilket stemmer overens med hvd vi llerede vidste fr eksempel 14, dvs. t = 1, 5.

11 Erik Vestergrd ,5 cm cm

12 1 Erik Vestergrd Eksempel 16 Ld 0,58 = og f ( ),5 0,0 g( ) = 49. Løs ligningen f ( ) = g( ) ved beregning. Løsning: 0,58 0,58 0,0 f ( ) = g( ),5 = 49 = 0,0 0,58 ( 0,0) 0,78 0,78 49,5 = 19,6 = 19,6 = 19,6 = 45,4 hvor vi i tredje ensbetydende tegn hr benyttet en velkendt potensregel! Løsningen er ltså = 45, 4, som kn kontrolleres ved indsættelse i hver f de to forskrifter! En potensiel model: Det mtemtiske pendul Et mtemtisk pendul består f et punktformigt lod, som er fstgjort til enden f en msseløs snor. Svingningstiden T ngiver den tid, det tger for loddet t svinge fr det øverste punkt i bnen over til den nden side og tilbge igen. Hvis mn ser bort fr enhver form for modstnd, herunder vindmodstnd, så kn mn vise, t svingningstiden for uendeligt små udsving er givet ved formlen: (11) T = π l g hvor l repræsenterer snorens længde og g = 9,8 m/s er tyngdeccelertionen. Vedrørende betingelsen uendeligt små udsving, kn mn regne med, t formlen holder med stor tilnærmelse, når det mksimle udsving er under 30 grder med en fejl på under %. Selv om lle ovenstående forudsætninger ldrig kn være opfyldt i en virkelig sitution, så viser det sig, t formlen ofte en rigtig god værdi for svingningstiden. Vigtigt er det dog, t loddets udstrækning er forholdsvis lille.

13 Erik Vestergrd 13 Der er en grund til, t vi betrgter netop dette eksempel her. Det viser sig nemlig, t svingningstiden er en potensiel funktion f snorlængden. Dette indses ved t omskrive formel (11) til: (1) T l l π π = π = π = l = l = b l g g g g 0,5 0,5 hvor b= π g er en konstnt, som ikke er vigtig her. Vi vil nu besvre nedenstående spørgsmål ved hjælp f teorien gennemgået i denne note: ) Hvor mnge procent vokser svingningstiden, når snorlængden vokser med 5%? b) Hvor mnge procent ftger svingningstiden, hvis snorlængden hlveres? c) Hvor mnge procent skl snorlængden øges med, for t svingningstiden forøges med 0%? Løsninger: 0,5 I vores tilfælde er y= b. Eksponenten er ltså lig med 0,5 og svrer til snorlængden l, mens y svrer til svingningstiden T: ) Vi gør brug f sætning 4, idet r 1 = 5% = 0,5 : 0,5 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1+ 0, 5) 1+ r = 1, 5 1+ r = 1,118 r = 1,118 1= 0,118= 11,8% Svingningstiden vokser ltså med 11,8%. b) En hlvering f snorlængden betyder en reltiv tilvækst i på 50%, hvilket betyder t r 1 = 50% = 0,5. Vi benytter igen sætning 4: 0,5 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1 + ( 0,50)) 1+ r = 0,50 1+ r = 0,707 r = 0, 707 1= 0, 93= 9,3% Svingningstiden ftger ltså med 9,3%. c) Vi gør brug f sætning 4, idet r = 0% = 0, 0 : 0,5 0,5 0, r = (1 + r ) 1+ 0, 0 = (1 + r ) 1, 0 = (1 + r ) 1, 0= 1+ r 1, 44= 1+ r 1, 44 1= r 0, 44= r 44% = r Snorlængden skl ltså forøges med 44% for t svingningstiden forøges med 0%.

14 14 Erik Vestergrd Opgver Opgve 1 Tegn grferne for følgende potensielle funktioner i et lmindeligt koordintsystem eller eventuelt på grfregneren: ) b) f ( ) = 0, 4 f ( ) = 4 1,6 0,5 Opgve Ld y,3 = 560. ) Hvd sker der med y, hvis gnges med? b) Hvd skl mn gnge med, for t y-værdien gnges med 1,8? Opgve 3 Ld y 0,67 = 0,3506. ) Hvis vokser med 17%, hvor mnge procent vokser y d med? b) Hvis flder med 34%, hvor mnge procent ftger y d med? c) Hvor mnge procent skl vokse med, for t y fordobles? Opgve 4 Ld 1, =. f ( ) 3,85 ) Hvor stor er den reltive y-tilvækst, hvis den reltive -tilvækst er 45%? b) Hvor stor en reltiv -tilvækst skl der til for t give en reltiv y-tilvækst på 18%? Opgve 5 Ld y= 56,5 ) Hvor mnge procent ftger y med, hvis vokser med 7%? b) Hvor mnge procent vokser y med, hvis hlveres? c) Hvor meget skl øges med i procent for t y hlveres? Opgve 6 En potensiel funktion opfylder, t y øges med 53%, når øges med 33%. Bestem en værdi for eksponenten.

15 Erik Vestergrd 15 Opgve 7 Grfen for en potensiel funktion går igennem to punkter ( 1, y 1) og (, y ). Bestem forskriften for funktionen, når punkterne er: ) (; 4) og (4;8) b) (3; 8) og (1;18) c) (; 60) og (8;5) d) (1,8; 5,7) og (6,3; 9,5) e) ( 3; 9) og (; 9 3) Opgve 8 Grfen for en potensiel funktion går igennem to punkter ( 1, y 1) og (, y ). Bestem forskriften for funktionen, når punkterne er: ) (; 17) og (3; 30) b) (4,7; 0,87) og (10,9; 0,067) c) (1,9; 70, 4) og (34,1;106,9) Opgve 9 En potensiel funktion hr en grf, som går igennem punktet (5,6). Desuden oplyses det, t den reltive y-tilvækst er 60%, når øges med 0%. Bestem en forskrift for funktionen. Opgve 10 En potensiel funktion opfylder f (1) = 0, 6. Desuden oplyses det, t y øges med 80%, hvis øges med 3%. Bestem en forskrift for funktionen. Opgve 11 Det oplyses om en potensiel udvikling, t y vokser med 15%, når vokser med 10%. Hvor mnge procent vokser y med, hvis vokser med 0%? Opgve 1 Ld f ( ) 4 1,7 =. ) Bestem f (1,9) b) Løs ligningen f ( ) = 17 c) Hvis øges med 1%, hvor meget øges funktionsværdien d med? d) Hvis reduceres med 34%, hvor meget reduceres funktionsværdien d med?

16 16 Erik Vestergrd Opgve 13 Om en potensiel funktion oplyses det, t f (6) = 8 og t funktionsværdien øges med 50%, når øges med 70%. Bestem forskriften for funktionen. Opgve 14 Om en potensiel funktion oplyses det, t f (4,1) = 5,8 og f (11, ) = 30, 7. Indtegn punkterne på dobbeltlog-ppir og løs følgende opgver grfisk: ) Bestem f (8, 7) b) Løs ligningen f ( ) = 70 Opgve 15 En potensiel funktion hr en grf, som går igennem punkterne (17,100) og (30,10). Indtegn punkterne på dobbeltlog-ppir og løs følgende opgver grfisk: ) Bestem f (40) b) Løs ligningen f ( ) = 5 c) Benyt linel-metoden til t give en god værdi for (se bemærkning 15). Opgve 16 Ld 3,4 f ( ) = 1. Løs ligningen f ( ) = 400 ved beregning. Opgve 17 Løs følgende ligninger ved beregning: ( > 0) ) b) c) d) 7,6 = 800,08 1,65 7,89 = ,4 450 = = 13 Opgve 18 Løs følgende ligninger ved beregning: ( > 0) : ) b) c) 1,4 3 1,5 (4 ) = 78 7 = 5 = 3

17 Erik Vestergrd 17 Opgve 19 1,4 0,6 Ld f ( ) = 4 og g( ) = 400. Tegn grferne for de to funktioner på dobbeltlogppir og brug det til t løse ligningen f ( ) = g( ) grfisk. Kontroller resulttet med grfregneren, hvis du hr en sådn! Opgve 0 Ld f ( ) = 5 1, 8,6, R være en eksponentiel funktion og ld g( ) = 0,56, R + være en potensiel funktion. Kn f ( ) = g( ) løses ved beregning, eller er mn nødt til t løse den grfisk, f med en lommeregner? Slut f med t løse ligningen. Opgve 1 (Model) En terning er en rektngulær ksse, hvor længde, bredde og højde er ens. ) En terning hr volumenet 3 m 3. Bestem sidelængden i terningen. b) Sidelængden i en terning øges med 10% Hvor mnge procent øges volumenet d? c) Hvor mnge procent skl mn øge sidelængden med, for t fordoble volumenet? Opgve (Model) Når mn går på køreskole, så lærer mn den velkendte regel, t bremselængden vokser med kvdrtet på hstigheden. Det betyder, t hvis y er bremselængden og er hstigheden, så gælder der y= b for et eller ndet tl b. ) Hvis frten vokser fr 100 km/t til 140 km/t, hvor mnge procent er hstigheden så vokset? Hvor mnge procent vil bremselængden dermed vokse? b) Hvis frten sænkes fr 100 km/t til 80 km/t, hvor mnge procent reduceres bremselængden d med? c) Hvis frten sættes ned med 10%, hvor mnge procent kortere bliver bremselængden d? d) Hvis mn højst kn tillde t bremselængden vokser med 50%, hvor mnge procent kn mn d højst tillde t lde frten vokse med? Opgve 3 (Model) ) Når mn nedkopierer en side fr en bog med 0% (i længden) på en kopimskine, hvor meget reduceres relet så med? b) Når mn nedkopierer fr A4 til A5 på en kopimskine, så hlveres relet. Hvor meget er sidelængden blevet reduceret med i procent?

18 18 Erik Vestergrd Opgve 4 (Model) Når mn hr t gøre med en gnske lille rdioktiv kilde, der kn opfttes som punktformig, så gælder der den såkldte fstndskvdrtlov, som siger, t strålingsintensiteten ftger med kvdrtet på fstnden. Hermed menes, t hvis er fstnden til kilden og y er stråleintensiteten, så findes der en konstnt b, så 1 y = b = b ) Hvd sker der med strålingsintensiteten, hvis mn går ud i den dobbelte fstnd fr kilden? (Hjælp: Hvd gnger du med?) b) Hvd sker der med strålingsintensiteten, hvis mn øger fstnden med 50%? c) Hvor mnge gnge så lngt væk fr den rdioktive kilde skl mn flytte sig, for t 1 strålingsintensiteten ftger til f det oprindelige niveu? 1000 d) Strålingsintensitet betyder den strålingsenergi, som pr. sek. psserer igennem et rel på 1 m, nbrgt vinkelret på stråleretningen. Enheden er derfor W/m. Prøv t forklre det logiske i fstndskvdrtloven ved t kigge på nedenstående figur. Det kn ntges, t kilden stråler lige meget ud i lle retninger! Opgve 5 (Model) Lydens hstighed i en gs kn fås f følgende formel: v = k hvor v er lydens hstighed regnet i m/s, T er temperturen regnet i Kelvin, M er molrmssen regnet i kg mol og k er en konstnt, som kun fhænger f gssen. T M

19 Erik Vestergrd 19 ) Det oplyses, t for tmosfærisk luft er molrmssen lig med 0,0896 kg mol og t konstnten k er lig med 3, 414( J (mol K) ) 1. Bestem lydens hstighed, når temperturen er lig med 0 C. Husk t omregne temperturen til Kelvin! b) Smme spørgsmål, når temperturen er 30 C. c) Vis, t i tmosfærisk luft kn lydhstigheden v skrives som følgende funktion f 0,5 temperturen T i Kelvin: v= 0,06 T, idet vi for overskuelighedens skyld glemmer enheden på b-leddet. (Hjælp: Sørg for t få konstnterne smlet til en konstnt. Få desuden idéer fr eksemplet med det mtemtiske pendul fr hovedteksten). d) Hvor vrm skl den tmosfæriske luft være, for t lydhstigheden bliver 370 m/s? 0,5 e) Hvis du hr en grfregner, tegn så grfen for funktionen v= 0,06 T og løs smme spørgsmål som under d), denne gng ved hjælp f grfregneren. f) Benyt udtrykket for v fr spørgsmål c) til t besvre følgende spørgsmål: Hvis temperturen i Kelvin vokser med 10%, hvor mnge procent vokser lydens hstighed i tmosfærisk luft d med? g) (svær). Antg nu, t vi hr t gøre med en vilkårlig gs. Argumenter for, t hvis temperturen i gssen vokser fr 0 C til 30 C, så vil lydhstigheden deri vokse med smme procent, unset hvilken gs, der er tle om (Hjælp: Argumenter udfr den første formel i denne opgve!). Opgve 6 (Model) Nedenstående tbel indeholder smmenhørende værdier mellem en vindmølles vingedimeter og den effekt, som vindmøllen producerer. Dimeter (m) Effekt (kw) ) Eftervis, ved t tegne dtpunkterne ind på et dobbeltlogritmisk ppir, t der er tle om en potensiel udvikling. b) Bestem en forskrift for denne potensielle udvikling. c) Hvor stor effekt vil en mølle med vingedimeter 100 meter hve, ifølge formlen? d) Hvilken vingedimeter vil give en effekt på 1000 kw? e) Hvor mnge procent øges effekten, hvis vingedimeteren gøres 0% større? f) Hvor meget skl vingedimeteren forøges med i procent, for t effekten fordobles? Opgve 7 (Model) 4 3 Volumenet V f en kugle med rdius r er givet ved formlen V = π r, mens dens 3 overflderel O er givet ved O= 4 π r. Hvis rdius øges med 10%, hvor meget er den reltive tilvækst i volumen og overflderel d?

20 0 Erik Vestergrd Opgve 8 (Model) På grundlg f de observtioner f himmelkuglens objekter, som Tycho Brhe så fremrgende hvde udført i slutningen f 1500-tllet, fremkom den tyske stronom Johnnes Kepler med tre love om plneternes bevægelse omkring solen. Tycho Brhe ( ) Johnnes Kepler ( ) 1. lov Enhver plnet bevæger sig i en ellipsebne omkring solen med solen i brændpunktet for ellipsen.. lov Hstigheden i ellipsebnen vrierer således, t en linje fr plneten til solen overstryger lige store reler i lige store tidsrum. 3. lov Kvdrtet på en plnets omløbstid divideret med tredje potens f dens middelfstnd (= ellipsens hlve storkse) til solen er konstnt inden for solsystemet.

21 Erik Vestergrd 1 Vi skl specielt se på den tredje lov, som overst betyder, t omløbstiden T er en potensiel funktion f middelfstnden. ) Vis, t smmenhængen er givet ved T 3 = konstnt. Nedenfor er givet en tbel med smmenhørende værdier f omløbstid og middelfstnd for plneterne i vort solsystem. Som enhed for middelfstnd vælges Astronomisk Enhed, som er jordens middelfstnd til solen (1 AE = 149,6 mill. km). b) Eftervis Keplers 3. lov ved t fsætte punkter i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Bemærk, t middelfstndene (-værdierne) strækker sig over 3 dekder og omløbstiderne (y-værdierne) over 4 dekder, så hvis du ikke limer to dobbeltlogritmiske rk smmen, så kn punkterne ikke være på ppiret. Hvis du ikke hr lyst, eller ikke hr mteriler til t lime to rk smmen, så bør du i det mindste fsætte punkterne for de første 6 plneter på et enkelt rk. c) Bestem en forskrift for potensudviklingen ved t vælge to punkter på den bedste rette linje igennem dtpunkterne. Overvej hvorfor b-leddet omtrent eller præcist bliver lig med 1: hr det noget med enhederne t gøre? Kn du i øvrigt sige god for Keplers lov? d) Hvor stor skulle middelfstnden være for en tænkt plnet med en omløbstid på 100 år? e) Hvor mnge procent vokser omløbstiden, når middelfstnden vokser med 15%? f) Hvor mnge procent skl middelfstnden reduceres med, for t omløbstiden hlveres? Plnet Middelfstnd (AE) Omløbstid (år) Merkur 0,387 0,41 Venus 0,73 0,615 Jorden 1,000 1,000 Mrs 1,54 1,881 Jupiter 5,03 11,86 Sturn 9,534 9,457 Urnus 19,18 84,009 Neptun 30, ,79 Pluto 39,44 47,68

22 Erik Vestergrd Opgve 9 (Model) Mn nvender ofte en grov model til t vurdere en persons eventuelle overvægt: det såkldte Body Mss Inde (BMI), som er defineret ved udtrykket nedenfor. m b = b : BMI, m : vægt, h : højde h SI-enheden for BMI er ltså kg/m. Hvis vi regner vægten i kg og højden i m får vi følgende opdeling f vægtklsser lt efter hvor stort BMI er: < 18,5 Undervægtig 18,5 4,9 Normlvægtig 5,0 9,9 Overvægtig 30,0 Svær overvægtig En person A er 5% højere end en nden person B. Hvor mnge procent kn A tillde sig t veje mere end B og lligevel hve smme BMI? Opgve 30 (Model) Mn hr i biologien fundet en god mtemtisk model for smmenhængen mellem et menneskes overflderel BSA (Body Surfce Are) som funktion f højden h, regnet i cm, og mssen m, regnet i kg: 0,75 0,45 = 0, (DuBois & DuBois ligningen) BSA h m ) Bestem overflderelet for en person, der vejer 65 kg og er 177 cm høj. b) Bestem en værdi for dit eget overflderel. c) Hvor mnge procent øges en persons overflderel med, hvis personens msse øges med 0%? Den empiriske formel er ikke så god for stærkt overvægtige personer. Så bruger mn ndre formler. Du kn eventuelt søge på nettet for ndre lterntive formler...

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Opgave 1 ( Toppunktsformlen ) Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH. Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere