Højere Teknisk Eksamen maj Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet"

Transkript

1 Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008

2 Forord Forberedelsesmateriale til 5-timers skriftlig prøve Der er afsat 10 timer på 2 dage til arbejdet med forberedelsesmaterialet til den 5-timers skriftlige prøve. Nogle af spørgsmålene ved 5-timersprøven tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra undervisningen. Oplægget indeholder teori, eksempler og opgaver i tilknytning til et emne fra undervisningen. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale må medtages til den skriftlige prøve. 2

3 Krumning 1 Indledning Kurver og flader kan være mere eller mindre krumme. De fleste vil nok have en fornemmelse af, hvor en kurve krummer meget eller lidt. Men det er muligt at give en præcis matematisk definition af krumning, altså sætte tal på begrebet. I dette forberedelsesmateriale vil vi arbejde med krumning af plane kurver, hvordan krumningen er defineret, og hvordan man regner den ud. En kurves krumning giver en fornemmelse af, hvordan den ser ud. Men krumning spiller også en væsentlig rolle i naturvidenskab og teknik. Jo krummere en stang skal være, jo større kraft skal der bruges til at bøje den i form. Og lysstrålernes gang i det menneskelige øje afhænger af krumningen af linsens overflade, som derfor bliver reguleret af øjets muskler alt efter, om man skal kigge på ting tæt på eller langt væk. En uensartet krumning af linsen kaldes bygningsfejl (astigmatisme), og resulterer i et dårligt syn. Med moderne laserteknik kan man ændre på linsens krumning, og hermed udbedre dette problem. Jo mere stangen skal krummes, desto flere kræfter skal der bruges. Tegning: Mart Tiemensma Skal man fokusere på ting tæt på, ændrer øjets muskler linsens krumning. Kilde: 3

4 2 Cirklens krumning For at nå frem til den generelle definition af krumning, vil vi begynde med en meget simpel kurve, nemlig cirklen. Intuitivt vil de fleste nok sige, at en cirkel med lille radius er mere krum end en cirkel med stor radius, fordi man drejer skarpere rundt i svinget på cirklen med lille radius. Gennemløbes cirklen i den positive omdrejningsretning, altså mod uret, drejer man hele tiden mod venstre, og vi vil sige, at krumningen er positiv. Gennemløbes cirklen derimod i den negative omdrejningsretning, med uret, drejer man hele tiden til højre, og vi vil sige, at krumningen er negativ. Se figur 1. Figur 1. I cirklen til venstre gennemløbes cirklen i den positive omløbsretning, dvs. mod uret. Til højre gennemløbes cirklen i den negative omløbsretning, dvs. med uret. For at sætte tal på dette, vil vi måle hvor meget cirklens tangent drejer, når et punkt bevæger sig på cirklen. Se figur 2. Lad P 0 betegne et fast punkt på en cirkel med centrum i C og radius r, og lad først P bevæge sig på cirklen i positiv omdrejningsretning, altså mod uret. Når vektoren CP er drejet en positiv vinkel u i forhold til CP 0, er tangenten til cirklen også drejet vinklen u i forhold til den oprindelige retning. Længden af cirkelbuen fra P 0 til P er s = ru, hvis u måles i radianer. Lad os se hvor meget tangenten er drejet i forhold til den tilbagelagte buelængde. Vi betegner dette forhold med det græske bogstav κ (kappa), altså κ = u s = u ru = 1 r. Størrelsen κ er altså uafhængig af, hvor langt tangenten er drejet, og også uafhængig af, hvilket punkt vi har valgt som begyndelsespunkt P 0. Vi vil definere dette tal som cirklens krumning, κ. Hvis cirklen i stedet gennemløbes i negativ retning, dvs. med uret, gennemløber u negative værdier, og s = ru. Tilsvarende fås κ = u s = u ru = 1 r. I begge tilfælde ser vi, at krumningens numeriske værdi bliver større, desto mindre cirklens radius bliver, ganske som ønsket. Regnes der med enheder, har krumningen enheden længde 1. 4

5 u P r ru C u r P 0 C u r P 0 r ru u P Figur 2. Til venstre ses en cirkel gennemløbet mod uret. Tangenten drejer i den positive retning. Krumningen er positiv. Til højre ses en cirkel gennemløbet med uret, så den viste vinkel u er negativ. Tangenten drejer i den negative retning. Krumningen er negativ. Vi opsummerer: Definition 1 En cirkel med radius r, gennemløbet i den positive omløbsretning (mod uret), har krumingen κ = 1 r En cirkel med radius r, gennemløbet i den negative omløbsretning (med uret), har krumingen κ = 1 r 3 Krumning af grafer Vi kigger nu på kurver, der er givet som grafer for funktioner, defineret på et interval I. Vi får brug for både den første og anden afledede og vil derfor regne med, at både f (x) og f (x) er defineret for alle x I. Den grundlæggende idé er at tilnærme grafen med en cirkel. Hvis vi kan finde den cirkel, der passer bedst til grafen i et punkt, kan vi definere, at grafens krumning i dette punkt er cirklens krumning. For forskellige punkter på grafen vil forskellige cirkler være den bedste, og derfor vil krumningen variere langs grafen. Se figur 3. Vi ønsker derfor at definere en funktion κ(x), der for ethvert x beskriver krumningen af grafen for f i punktet (x, f (x)). Først må vi definere, hvad det betyder, at en cirkel passer bedst til grafen i et bestemt punkt (x 0, f (x 0 )). 5

6 y 2 1-1,2 1,5 x Figur 3. Grafen for funktionen f (x) = 1 3 x3 x + 1 er tilnærmet med cirkler for x 0 = 1,2 og x 0 = 1,5. Da radierne i de to cirkler er forskellige, er krumningen af grafen forskellig i de to punkter. I afsnit 3.2 viser vi, hvordan man finder ligninger for disse cirkler. 3.1 Kontakt mellem funktioner Definition 2 To funktioner f og g har kontakt af 1. orden i x 0 hvis f (x 0 ) = g(x 0 ) og f (x 0 ) = g (x 0 ). Opgave 1 Vis, at funktionerne f (x) = x 2 og g(x) = x3 3 har kontakt af 1. orden i x 0 = 2. Tegn graferne for de to funktioner f og g i samme koordinatsystem. Definition 3 To funktioner f og g har kontakt af 2. orden i x 0 hvis f (x 0 ) = g(x 0 ), f (x 0 ) = g (x 0 ) og f (x 0 ) = g (x 0 ). Opgave 2 a) Vis, at funktionerne f (x) = x 2 og g(x) = x3 3 ikke har kontakt af 2. orden i x 0 = 2. 6

7 b) Vis, at funktionerne f (x) = x 2 og h(x) = x3 3 x4 8 har kontakt af 2. orden i x 0 = 2. Tegn graferne for de tre funktioner f,g og h i samme koordinatsystem. 3.2 Krumningscirklen y y = g + (x) r = 3 (1,2) -2 4 y = g (x) x Figur 4. Cirklen med centrum i (1,2) og radius 3. Eksempel 1 Cirklen med centrum i (1,2) og radius 3 er vist på figur 4. Den har ligningen (x 1) 2 + (y 2) 2 = 3 2. Hvis vi vil bestemme y ud fra denne ligning, kan vi først isolere (y 2) 2, (y 2) 2 = 9 (x 1) 2. Tager vi kvadratroden på begge sider af ligningen fås to løsninger, y 2 = ± 9 (x 1) 2 og endelig y = 2 ± 9 (x 1) 2. Udtrykket under kvadratroden skal være ikke-negativt. Udtrykket er 0 når x = 2 eller x = 4 og positivt mellem disse værdier. Udtrykket for y er altså defineret for x [ 2; 4]. Hermed har vi fundet, at cirklen er sammensat af graferne for de to funktioner g + (x) = (x 1) 2, g (x) = (x 1) 2, x [ 2; 4].

8 Beregningen fra eksemplet kan gennemføres helt generelt. Dette gør vi i opgave 3. Opgave 3 Vi betragter en cirkel med centrum i (a,b) med radius r. Se figur 5. y y = g + (x) r (a,b) y = g (x) Figur 5. En cirkel kan ikke fremkomme som grafen af én funktion. Men den øvre og den nedre halvcirkel kan fremstilles som grafer for hver sin funktion, g + og g. x a) Vis, at den øvre halvcirkel er grafen for funktionen g + (x) = b + r 2 (x a) 2, (1) som er defineret på intervallet I = [a r; a + r]. b) Vis, at den nedre halvcirkel er grafen for funktionen g (x) = b r 2 (x a) 2, (2) som er defineret på intervallet I = [a r; a + r]. Nu kan vi definere den cirkel, der passer bedst til en graf i et punkt, som den cirkel, der har kontakt af 2. orden med grafen. Definition 4 Hvis funktionen g + defineret i (1) har kontakt af 2. orden med funktionen f i (x 0, f (x 0 )), er krumningen af grafen for f i dette punkt lig med 1/r. Hvis funktionen g defineret i (2) har kontakt af 2. orden med funktionen f i (x 0, f (x 0 )), er krumningen af grafen for f i dette punkt lig med 1/r. Den fundne cirkel, givet ved enten g + eller g, kaldes krumningscirklen for grafen i punktet (x 0, f (x 0 )). Cirklens centrum kaldes krumningscentrum, og dens radius kaldes krumningsradius. 8

9 Vi har valgt fortegnene for krumningen, så de stemmer overens med fortegnet for krumningen af cirklen, når den gennemløbes gennem voksende værdier af x. Når x vokser, gennemløber (x,g + (x)) nemlig halvcirklen med uret, mens (x,g (x)) gennemløber halvcirklen mod uret. Se figur 6. y g + g g g -1,2 1,5 x Figur 6. Grafen for funktionen f (x) = 1 3 x3 x + 1 med krumningscirklerne indtegnet for x 0 = 1,2 og x 0 = 1,5 som i figur 5. For x 0 = 1,2 har vi brug for den øvre halvcirkel givet ved funktionen g +, og krumningen er negativ. For x 0 = 1,5 har vi brug for den nedre halvcirkel givet ved funktionen g, og krumningen er positiv. Når vi skal lede efter en krumningscirkel, er det første spørgsmål, om man skal forsøge sig med en øvre halvcirkel givet ved g + eller en nedre halvcirkel givet ved g. Følgende opgave giver svaret på dette spørgsmål. Opgave 4 a) Bestem et udtryk for g +(x). b) Vis, at g +(x) < 0 for alle x i definitionsmængden for g +. c) Vis tilsvarende, at g (x) > 0 for alle x i definitionsmængden for g. Vi skal altså benytte g + i punkter, hvor f (x 0 ) < 0 og i disse punkter er krumningen negativ. Vi skal bruge g i punkter, hvor f (x 0 ) > 0, og her er krumningen positiv. I punkter hvor f (x 0 ) = 0, kan vi ikke finde nogen krumningscirkel. Dette problem vender vi tilbage til. Først tager vi et konkret eksempel. 9

10 Eksempel 2 Vi vil beregne krumningen for grafen for funktionen f (x) = cos(x) for x 0 = 0. Da cos (0) = cos(0) = 1 er negativ, har vi brug for en øvre halvcirkel repræsenteret ved funktionen g +, og krumningen er derfor negativ. De tre betingelser for, at g + har kontakt med f af anden orden i x 0 = 0 er f (0) = cos(0) = g + (0) 1 = b + r 2 a 2 f (0) = cos (0) = g a +(0) 0 = r 2 a 2 f (0) = cos (0) = g +(0) 1 = (r 2 a 2 ) 3 2 Fra den anden ligning ser vi straks, at a = 0. Indsættes dette i den tredje ligning fås r 2 r2 1 = (r 2 ) 3 2 = 1 r 2 så r = 1 (Den negative løsning r = 1 er ikke relevant, da r repræsenterer en radius og derfor skal være positiv). Endelig får vi fra den første ligning, at b = 0. Altså har krumningscirklen centrum i (0,0) og krumningsradius er 1. Krumningen er κ = 1 r 1 y = 1. Se figur 7. π π 2 1 π 2 x Figur 7. Grafen for f (x) = cos(x) og krumningscirklen for x 0 = 0. Opgave 5 Vis, at krumningscirklen for grafen for f (x) = x 2 i x 0 = 0 har centrum i samt at krumningen for grafen i (0,0) er κ = 2. ( 0, 1 ) og radius = 1 2 2, Ligningerne til bestemmelse af krumningsradius og krumningscentrum kan løses én gang for alle. Lad os sige, at vi betragter et punkt (x 0, f (x 0 )), hvor f (x 0 ) > 0, så vi har brug for funktionen g. Betingelserne for, at g har kontakt af 2. orden med f er f (x 0 ) = g (x 0 ), f (x 0 ) = g (x 0 ), og f (x 0 ) = g (x 0 ). Dette er tre ligninger med tre ubekendte, nemlig krumningscirklens radius r og krumningscentrets koordinater a og b. Ligningerne er ikke svære at løse, men vi springer udregningerne over her, og giver bare resultatet. 10

11 Sætning 1 Grafen for f i punktet (x 0, f (x 0 )), hvor f (x 0 ) 0, har en krumningscirkel med centrum i (a,b) hvor a = x 0 f (x 0 )(1 + f (x 0 ) 2 ) f, b = f (x 0 ) f (x 0 ) 2 (x 0 ) f, (3) (x 0 ) og radius er r = (1 + f (x 0 ) 2 ) 3 2 f (x 0 ) Hvis f (x 0 ) = 0, findes der ingen krumningscirkel.. (4) Sætningen siger altså, at man faktisk kan finde en cirkel, der bedst tilnærmer en graf for en funktion, undtagen i punkter hvor den anden afledede f er nul. Krumningen er enten 1 r eller 1 r, alt efter om f (x 0 ) > 0 eller f (x 0 ) < 0. I begge tilfælde får man det samme udtryk for krumningen, og vi kan nu endelig opskrive den formel, vi har søgt. Sætning 2 Krumningen for grafen for en funktion f i punktet (x, f (x)) er givet ved f (x) κ(x) =. (5) (1 + f (x) 2 ) 3 2 Bemærk, at vi for at benytte formlerne ikke længere behøver at tænke over, om vi har brug for den øvre eller nedre halvcirkel til at tilnærme grafen. Eksempel 3 For funktionen f (x) = 1 3 x3 x + 1 finder man f (x) = x 2 1 og f (x) = 2x. Da f (x) 0 undtagen for x = 0, har grafen for f en krumningscirkel i alle punkter, undtagen i (0, f (0)) = (0,1). Fra fortegnet af f (x) ser vi, at krumningen er negativ for x < 0 og positiv for x > 0. Ved brug af formlerne (3) (5) finder man for punktet (x, f (x)) krumningscenterets koordinater a = x6 3x 4 + 2x 2 2, b = 5x4 12x 2 + 6x + 6, 2x 6x og krumningsradius Fra (5) ser man at krumningen er Se figur 8. r = (x4 2x 2 + 2) 3 2 2x 2x κ(x) =. (x 4 2x 2 + 2)

12 y = f (x) y x y = κ(x) -1-2 Figur 8. Grafen for f (x) = 1 3 x3 x + 1 og grafen for den tilhørende krumningsfunktion κ(x). Når x går imod 0 går r mod uendelig. Selv om der ikke er defineret nogen krumningscirkel for x = 0, giver udtrykket for krumningen alligevel mening her, og værdien er κ = 0. Man kan lidt løst sige, at krumningscirklen har uendelig radius i dette punkt. Helt generelt giver udtrykket for krumningen (5) mening for alle x, for nævneren er altid positiv. Vi vil derfor tillade os at tale om punkter hvor grafens krumning er nul, og det vil være i netop de punkter hvor f (x) = 0. Opgave 6 Der er givet funktionen f (x) = e x2, x R. a) Bestem krumningen κ(x) for grafen for f. b) Tegn graferne for f og κ i det samme koordinatsystem. c) Bestem den mindste værdi som κ antager. d) Bestem de værdier af x, hvor κ antager sin største værdi. 12

13 4 Krumning af parameterkurver For kurver, der er givet ved parameterfremstillinger på et interval I ( ) x(t) r = t I, (6) y(t) er det på samme måde muligt at definere krumningen i et punkt udfra den cirkel, der har kontakt af 2. orden med kurven i punktet. Vi springer udregningerne over, og giver blot resultatet Sætning 3 Krumningen for en kurve med parameterfremstillingen (6) er κ(t) = x (t)y (t) x (t)y (t). (7) (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3 2 I lighed med situationen for en kurve, der er givet ved en funktionsgraf, må vi kræve at koordinatfunktionerne x(t),y(t) kan differentieres to gange. Desuden må vi kræve, at x (t) og y (t) ikke er nul samtidig, da nævneren i (7) så bliver nul. Opgave 7 a) Parameterfremstillingen ( x(t) y(t) ) = ( r cos(t) r sin(t) ), t [0; 2π] fremstiller en cirkel med radius r, gennemløbet mod uret. Vis, at κ(t) = 1 r. Krumningen er altså konstant og positiv, og vi finder det samme resultat som i afsnit 2. b) Parameterfremstillingen ( x(t) y(t) ) = ( r cos(t) r sin(t) ), t [0; 2π] fremstiller en cirkel med radius r, gennemløbet med uret. Vis, at κ(t) = 1 r. Opgave 8 En kurve har parameterfremstillingen ( ) ( ) x(t) 3 cos(t) + sin(t) =, t [0; 2π]. y(t) sin(t) 2 cos(t) a) Tegn kurven. 13

14 b) Bestem krumningen κ(t). c) Bestem de punkter på kurven, hvor krumningen er størst. d) Find de værdier af t, hvor κ(t) = 1. Opgave 9 Den Europæiske Union fastlægger en række sikkerhedsregler for jernbaners skinneføring. I Kommissionens henstilling af 21. marts 2001 om grundparametre for det transeuropæiske jernbanesystem for højhastighedstog kan man læse For side- og arbejdsspor gælder en mindsteværdi for kurveradius på 150 m. Ved planlægningen af en banestrækning overvejes en skinneføring, der følger grafen for en funktion af formen eax 1 x [ 1000; 1000], fa (x) = 500 ax e +1 hvor a er en positiv parameter. Alle mål er i meter. a) Tegn graferne for fa når a = 0, 05, a = 0, 01, a = 0, 005 i samme koordinatsystem. b) Vis, at EU s krav til skinneføringen betyder, at uligheden κ(x) < 0, m være opfyldt. 1 skal c) Vis, at skinneføringen med a = 0, 05 ikke opfylder kravet, hvorimod skinneføringen med a = 0, 01 gør det. 14

15

16

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx1-mat/a-170801 Fredag den 17. august 01 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 HTX

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Vektorfunktioner vha. CAS

Vektorfunktioner vha. CAS Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Vejgeometri. Erik Vestergaard

Vejgeometri. Erik Vestergaard Vejgeometri Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, Haderslev 007 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 Indholdsfortegnelse. Indledning... 5. Plane kurver... 5. Parametriserede

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne

Læs mere

Matematik Aflevering - Æggebæger

Matematik Aflevering - Æggebæger Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Termin hvori undervisningen afsluttes: maj juni 10 HTX Sukkertoppen,

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fredag den 30. maj 2008 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 Matematik A Prøvens varighed er 5

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere