Kortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet"

Transkript

1 Kortprojektioner og forvanskninger Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Juni 2006

2 Chapter 1 Forord Disse noter er skrevet til landinspektørstudiet ved Aalborg Universitet. Formålet med noterne er at give en introduktion til teorien for kortprojektioner og egenskaber ved forskellige kort. I kapitel 2 gives en kort repetition af nogle begreber fra calculus, som forudsættes kendt. Kapitel 3 er begrundelsen for, at en diskussion af kortprojektioner og deres egenskaber er nødvendig, nemlig at der ikke findes ideelle kort. Studiet af projektioner med calculus-værktøj kræver koordinater på modeller af Jorden. De indføres i kapitel 4. Nogle projektioner har en geometrisk beskrivelse, og det er den, kapitel 5 handler om. Målestoksforholdet for en projektion er ikke en konstant, men en funktion, der afhænger af både sted og retning. Et værktøj til udregning af såvel målestok som forvanskninger af vinkler og arealer er Første Fundamentalform. Dette behandles i kapitlerne 6 og 7. I kapitel 8 konstrueres vinkeltro og arealtro projektioner, herunder den vinkelbevarende cylinderprojektion, Mercatorprojektionen. Kapitel 9 om konstruktion af konforme kort med minimal målestoksforhold er mestendels henvisning til opgaver, som stilles i kurset. Endelig er kapitel 10 en udledning af afstandskorrektionen for System I kurset bruges disse noter sammen med anden litteratur, og der er således ikke tale om, at noterne giver en komplet fremstilling af teorien for kortprojektioner. 1

3 2 CHAPTER 1. FORORD

4 Chapter 2 Forudsætninger I noterne bruges regneregler og begreber fra teorien for vektorrum. Vi giver en kort repetition af nogen af de relevante emner. Definition En vektorfunktion er en afbildning fra en delmængde af et Euklidisk rum til et Euklidisk rum f : U R n hvor U R m Vektorfunktioner er givet ved deres koordinatfunktioner f i : f(x 1,...,x m ) = (f 1 (x 1,...,x m ),f 2 (x 1,...,x m ),...,f n (x 1,...,x m )) Eksempel f : R 2 R 3 f(x 1,x 2 ) = (x 1,x 2,x x 2 2 ) I det følgende vil de vektorfunktioner, der forekommer, være vilkårligt ofte differentiable (se definition i Calculusmaterialet fra basisuddannelsen) og vi vil få brug for at udregne partielle afledte. Vi giver definitionen for funktioner fra R 2 til R 3 - det er let at se, hvordan man generaliserer det. Definition Lad f : R 2 R 3 være en differentiabel funktion. Den partielle afledte, f (x x 0,y 0 ) = f x (x 0,y 0 ) er givet ved f x (x f(x 0 + h,y 0 ) f(x 0,y 0 ) 0,y 0 ) = lim h 0 h Partielle afledte mht. y defineres tilsvarende. 3 = lim h 0 f 1 (x 0 +h,y 0 ) f 1 (x 0,y 0 ) h lim h 0 f 2 (x 0 +h,y 0 ) f 2 (x 0,y 0 ) h lim h 0 f 2 (x 0 +h,y 0 ) f 2 (x 0,y 0 ) h

5 4 CHAPTER 2. FORUDSÆTNINGER Man udregner partielle afledte med hensyn til en given variabel ved at betragte de andre variable som konstante. De partielle afledte af en vektorfunktion er vektorfunktioner: Hvis f : R n R m, så er f xi : R n R m. Eksempel Lad f(x,y) = (x 2 y + cosx,y exp(x),x + y). Så er f x (x,y) = (2xy sin x,y exp(x), 1) og f y (x,y) = (x 2,exp(x), 1) Når vi ønsker at beskrive en kurve i R n, kan vi f.eks. bruge en parameterfremstilling. Her gives definitioner for kurver i R 3, og det er overladt til læseren at overveje, hvordan det ser ud generelt for R n. Definition En parametriseret kurve i R 3 er en vilkårligt ofte differentiabel afbildning α :]a,b[ R 3, α(t) = (α 1 (t),α 2 (t),α 3 (t)). Kurvens hastighedsvektor til tiden t, er α (t) = (α 1(t),α 2(t),α 3(t)) Farten til tiden t, er længden af hastighedsvektoren α (t) = (α 1(t)) 2 + (α 2(t)) 2 + (α 3(t)) 2. Afstanden langs kurven fra α(t 0 ) til α(t 1 ) er t1 t 0 α (t) dt Vi får brug for kurver i R 2 og R 3 i det følgende. Desuden skal vi bruge kædereglen, som vi her giver i et eksempel: Eksempel Lad γ :]a,b[ R 2 være givet ved γ(t) = (u(t),v(t) og lad funktionen x : R 2 R 3 være x(u,v) = (x 1 (u,v),x 2 (u,v),x 3 (u,v)). Så er den sammensatte funktion x γ en funktion af én variabel, t, og den afledte er (x γ) (t) = x u (u(t),v(t))du x (t) + dt v (u(t),v(t))dv dt (t) Bemærk, at x du (u(t),v(t)) er en vektor, mens (t) er et tal. u dt Der vil være flere dele af såvel Calculus som lineær algebra, som kommer i brug. Læseren opfordres til at konsultere kursuslitteraturen fra basisuddannelsen, når det bliver nødvendigt.

6 Chapter 3 Om kort Et kort er en model af en del af Jordens overfade. En model er en forsimplet udgave af virkeligheden, og når man laver modeller, skal man derfor overveje, hvilke egenskaber, i.e., hvilke dele af virkeligheden, man ønsker repræsenteret i modellen, og hvor præcist dette skal og kan lade sig gøre. Blader man rundt i et atlas, vil man se, at der er mange forskellige måder, man kan bruge til kortlægning. Verdenskort ser f.eks. meget forskellige ud alt efter hvilken kortprojektion, man har valgt. Selv kort over et så relativt lille område som Danmark kan give mange billeder af landet, se Fig. 3.1 Man fristes til at spørge, hvilket kort der er bedst? Og hvorfor man så ikke bare altid bruger det kort? Der er nogle grundlæggende problemer ved at repræsentere den runde Jord i planen, som man skal gøre sig klart for at forstå de mange forskellige kort. Det kedelige faktum er, at der ikke er ét kort, der er det bedste kort. Man kan højst håbe på at finde et, der er bedst til det, man har tænkt sig at anvende kortet til. For at undersøge det problem nærmere, vil vi se på de geometriske egenskaber ved kuglefladen. Jorden er naturligvis ikke en kugleflade - den er nærmere en ellipsoide, og selv det er en tilnærmelse 1. Vi ser nærmere på forskellige modeller for hele Jorden senere; de kvalitative betragtninger om kort vil tage udgangspunkt i kuglefladen, hvor såvel de væsentlige problemer som de moderne kort kan gives en udmærket beskrivelse. Det kræver så en modifikation at overføre resultaterne fra kuglefladen til ellipsoidemodellerne senere. 1 Tænk bare på Mount Everest. Det er ikke med, hvis vi vælger en ellipsoide som model for Jorden. 5

7 6 CHAPTER 3. OM KORT Figure 3.1: Forskellige kort over Danmark 3.1 Kuglefladens geometri I skolen viser man, at vinkelsummen i en plan trekant er π eller 180. Her vil vi udregne vinkelsummen i en trekant på kuglefladen og dermed illustrere en fundamental forskel på kuglefladens og planens geometri. Det kan anbefales, at man læser dette afsnit med en bold ( eller en appelsin eller noget andet kuglerundt ) i hånden. Brug bolden (!) som tavle til at tegne cirkler, trekanter etc. Det gør det lettere at forestille sig geometrien af kuglefladen. Først skal vi overveje, hvad en trekant på kuglefladen er. Der er ikke linier på en kugleflade - alle kurver på en kugleflade må nødvendigvis krumme for

8 3.1. KUGLEFLADENS GEOMETRI 7 at holde sig i kuglefladen. De kurver, der bedst svarer til linier er storcirkler En storcirkel er en kurve, der fremkommer ved skæring af kuglefladen med en plan gennem kuglefladens centrum. Ækvator er en storcirkel. Storcirkler er de største cirkler på kuglefladen. Den korteste forbindelse mellem to punkter på kuglefladen er langs en storcirkel. Gennem to antipodiske punkter, for eksempel Nord- og Sydpolen, går der uendeligt mange storcirkler. Gennem to punkter, der ikke er antipodiske, går der kun en storcirkel. En trekant på kuglefladen, en sfærisk trekant dannes af tre punkter, som er parvis forbundet ved storcirkelstykker. Se fig. 3.2 Vinklen mellem to kurver er vinklen mellem deres tangentvektorer. Da tangentvektorer til en storcirkel er vektorer i den plan, der definerer storcirklen, er vinklen mellem to storcirkler samtidig vinklen mellem de to planer. Vi regner som hovedregel vinkler i radianer her: Faktum: På en kugleflade med radius R, er vinkelsummen i en sfærisk trekant med areal A, givet ved Argument for dette: α + β + γ = π + A/R 2 Se på en af vinklerne, α, og de to storcirkler, der danner den. I figur 3.3 er arealet mellem to sådanne storcirkler skraveret. Da arealet af en kugleflade med radius R er 4πR 2, og da en dobbeltmåne med vinkel π vil dække hele kuglen, får vi: Arealet af en dobbeltmåne med vinkel α er α π 4πR2 = 4αR 2. Skraver nu de tre dobbeltmåner, der hører til de tre vinkler i trekanten (gør det på bolden), Nu er hele kuglefladen dækket, og trekanten er dækket tre gange (den er i alle dobbeltmånerne), så den er dækket to gange for meget. Og det er trekanten på bagsiden af kuglen også Heraf: 4αR 2 + 4βR 2 + 4γR 2 = 4πR 2 + 4A

9 8 CHAPTER 3. OM KORT Figure 3.2: En sfærisk trekant og de storcirkler, der danner den. Bemærk, at storcirklerne mødes på bagsiden af kuglen og danner endnu en trekant.

10 3.1. KUGLEFLADENS GEOMETRI Figure 3.3: En dobbeltmåne mellem to storcirkler - kun forsiden er skraveret

11 10 CHAPTER 3. OM KORT hvor A er trekantens areal. Og heraf følger resultatet om vinkelsummen. 3.2 Ideelle projektioner findes ikke Fra forrige afsnit ved vi, at kuglefladens geometri er fundamentalt forskellig fra planens, idet vinkelsummer i trekanter på kuglefladen som på Fig. 3.4 adskiller sig fra vinkelsummen i en trekant i planen: På en kugleflade med radius R er vinkelsummen i en storcirkeltrekant med vinkler α, β og γ målt i radianer givet ved: α + β + γ = π + A R 2 (3.1) hvor A er arealet af trekanten. Størrelsen A R 2 kaldes sfærisk excess. Man kan vise, at trekanter på en ellipsoide opfylder lignende omend mere komplicerede formler, men der er vinkelsummen også for stor. I planen er vinkelsummen som bekendt π, og altså uafhængig af arealet af trekanten. Hvad skal et ideelt kort opfylde? Grundlæggende skal man kunne måle størrelser på kortet og nemt regne ud, hvad de tilsvarende størrelser er i naturen og omvendt. De størrelser, man gerne vil måle, kunne f.eks. være afstande/længder, vinkler og arealer. Det er de tre vigtigste geometriske størrelser, og det er også det, man i praksis kan forestille sig at ville måle. Et ideelt kort bør således være 1. Afstandstro: Have en fast faktor m, så længde i kortet = m længde i naturen. 2. Arealtro: Have en fast faktor k, så areal i kortet = k areal i naturen. 3. Vinkeltro: Vinkler i kortet=vinkler i naturen. Vinkeltro kort kaldes også konforme. Når man måler afstanden mellem to punkter i planen, måles den langs linien mellem punkterne. På kuglefladen er det afstanden langs en storcirkel, der er aktuel. Storcirklerne er de kurver på kuglefladen, der svarer til kortest afstand mellem punkterne på dem. 2 Dette leder til endnu et krav til det ideelle kort, som skal sikre, at man måler det samme i planen og i naturen: 4) Storcirkelstykker skal afbildes i rette liniestykker. 2 Hvis man går den rigtige vej rundt.

12 3.2. IDEELLE PROJEKTIONER FINDES IKKE 11 β γ α α γ f β α γ β Figure 3.4: Trekanter på kuglen og i planen. (Faktisk kan man vise, at dette følger af 1), men det vil vi ikke gøre her.) Men Sætning Der findes ikke en afbildning fra en åben 3 delmængde U af kuglefladen S 2 til planen, som sender storcirkelstykker i liniestykker og som bevarer vinkler. Bevis: Antag, at vi har en sådan afbildning fra U S 2 til R 2, som i Fig Lad α, β, γ være vinkler i en storcirkeltrekant, som ligger i U. Den bliver sendt over i en sædvanlig trekant i planen, da storcirkelstykkerne går i liniestykker. Hvis vinklerne er bevaret, har vi fra den sfæriske trekant, at α + β + γ = π + A/R 2. Men vinklerne i den plane trekant er de samme, så vi har også α + β + γ = π, og det kan jo ikke passe - ligemeget hvor lille en trekant, vi har valgt. Vi har opnået en modstrid. Altså findes en sådan afbildning ikke. Det er altså ikke muligt at lave en ideel projektion. Faktisk kan man vise: Der findes ikke en afbildning fra en åben delmængde af S 2 til planen, some er afstandstro. Der findes ikke en afbildning fra en åben delmængde af S 2 til planen, som bevarer både vinkler og arealer. Men man kan lave projektioner, der bevarer arealer. Og andre projektioner, der bevarer vinkler. Det samme gælder for afbildninger fra en ellipsoide til planen. 3 Vi skal bare bruge, at der er en (lillebitte) storcirkeltrekant indeholdt i U, så U må f.eks. ikke være en kurve på kuglefladen.

13 12 CHAPTER 3. OM KORT

14 Chapter 4 Geografiske koordinater I en matematisk behandling af kortprojektioner er det nødvendigt med en analytisk beskrivelse af afbildninger fra kuglefladen til planen. Til det formål har vi brug for et koordinatsystem på kuglefladen, og vi vil bruge geografiske koordinater, længdegrader og breddegrader. Breddegraden ϕ til et punkt P på kuglefladen, er vinklen mellem ækvatorplanet og en linie fra centrum af kuglen til P. Se Figurerne 4.1 og 4.3 Længdegrader måles udfra Greenwichmeridianen. Meridianer er storcirkelbuer fra Nordpolen til Sydpolen. De fremkommer som snittet af kuglefladen med en plan, der indeholder Nord- og Sydpolen. Man har fastlagt nulmeridianen som den, der går gennem et bestemt punkt ved Greenwichobservatoriet i London. Længdegraden λ for P er vinklen mellem den meridian, der går gennem P, og Greenwichmeridianen. Punkter med samme breddegrad danner en cirkel parallel med ækvatorplanet. Sådanne cirkler kaldes paralleller eller breddecirkler. Bemærk, at den eneste breddecirkel, der er en storcirkel, er Ækvator. Længdegrader opgives typisk som en vinkel mellem 0 og 180, med angivelse af, om det er østlig eller vestlig længde - i.e., om der skal gås mod øst eller vest fra Greenwich. Vi vil i stedet bruge λ [ 180, 180 ], hvor negative vinkler er vestlig længde, eller λ [ π,π], hvor vinklen er målt i radianer. Tilsvarende opgives breddegrader som Nordlig eller Sydlig bredde og med en vinkel mellem 0 og 90. Vi bruger ϕ [ 90, 90 ], hvor negative vinkler er sydlig bredde, eller ϕ [ π/2,π/2]. 13

15 14 CHAPTER 4. GEOGRAFISKE KOORDINATER Figure 4.1: Geografiske koordinater P ϕ Figure 4.2: Breddegrader på ellipsoider Ellipsoider og geografiske koordinater Et punkt på en ellipsoide kan også tildeles geografiske koordinater. Længdegraden bestemmes som for kuglefladen. Men breddegraden er vinklen mellem lodlinien og ækvatorplanet. Se Fig. 4.2

16 4.1. GEOGRAFISK TIL KARTESISK 15 Z P X λ ϕ Y Figure 4.3: Kuglefladens geografiske koordinater 4.1 Fra geografiske koordinater til kartesiske koordinater Anbringes kuglefladen med centrum i Origo i et sædvanligt kartesisk 1 koordinatsystem, hvor x aksen peger ud gennem Greenwichmeridianen og z aksen peger op gennem Nordpolen, så er punkter på kuglen naturligvis bestemt ved deres kartesiske koordinater. Ved trekantsbetragtninger ser man x y z = R cosϕcosλ R cosϕsin λ R sin ϕ hvor R er radius af kuglefladen. Den tænksomme læser vil have bemærket, at Nord- og Sydpolen samt datolinien ikke er entydigt repræsenteret i de geografiske koordinater. Det vil vi ikke problematisere yderligere, men man skal naturligvis overveje, om det giver problemer, hvis man senere arbejder med disse områder. 1 Et retvinklet koordinatsystem - ordet kartesisk kommer fra René Descartes, 31/ /2 1650

17 16 CHAPTER 4. GEOGRAFISKE KOORDINATER Z b X a a Y Figure 4.4: Omdrejningseelipsoide med halvakser a og b 4.2 Omdrejningsellipsoider En omdrejningsellipsoide med halvakser a og b, se Fig. 4.4 kan beskrives analytisk som den delmængde af R 3, der opfylder ligningen x 2 a 2 + y2 a 2 + z2 b 2 = 1 De geografiske koordinater for et punkt kan omskrives til kartesiske koordinater: x y z = N cosϕcosλ N cosϕsin λ N (1 e 2 ) sin ϕ Hvor er excentriciteten og N = e 2 = a2 b 2 a 2 a 2 a2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ er krumningsradius i punktet. I stedet for at opgive a og b, bruger man ofte a og fladtrykningen f = a b. For modeller af Jorden er fladtrykningen omkring a 1/297.

18 Chapter 5 Kortprojektioner fra en geometrisk synsvinkel De geografiske koordinater giver nu mulighed for at beskrive en kortprojektion som en afbildning f : U R 2 f(λ,ϕ) = (f 1 (λ,ϕ),f 2 (λ,ϕ)) hvor U er en delmængde af {(λ,ϕ) R 2 π λ π, π/2 ϕ π/2} Nu er der altså masser af muligheder: Man skal bare vælge sig nogle (differentiable) funktioner f 1 og f 2. Hvis det skal give mening som et kort, må vi forlange, at f er injektiv: Hvis f(λ 1,ϕ 1 ) = f(λ 2,ϕ 2 ), så skal (λ 1,ϕ 1 ) = (λ 2,ϕ 2 ) Men stadig er der mange muligheder. Nogle kan beskrives geometrisk, og det er det synspunkt, vi vil anlægge i dette kapitel. 5.1 Geometriske planprojektioner Denne familie af projektioner er givet ved, at man anbringer projektionsplanen et sted i R 3, typisk tangerende eller skærende kuglefladen. Dernæst vælges et punkt, Q 0 i rummet. Projektionerne beskrives så ved P afbildes over i det punkt, hvor linien gennem P og Q 0 skærer projektionsplanen. I det følgende antages kuglefladen at have radius 1. Vi studerer de tre projektioner vist i fig. 5.1 Eksempel Lad projektionsplanen være givet ved z = 1 og lad projektionspunktet være Origo. En linie gennem P = (cosϕcosλ, cosϕsin λ, sin ϕ) og Origo 17

19 18 KAPITEL 5. KORTPROJEKTIONER f(p) f(p) f(p) P P P Figure 5.1: Planprojektioner: Gnomonisk, stereografisk og ortografisk. kan parameterfremstilles som t cosϕcosλ 0 cosϕsin λ 0 sin ϕ 0 Skæring med planen z = 1 sker, når 1 = tsin ϕ, altså t = 1/ sin ϕ, og dermed er projektionen givet på analytisk form ved (λ,ϕ) ( cosϕ cosϕ cosλ, sin λ) = cotϕ(cosλ, sin λ) sin ϕ sin ϕ Denne projektion kaldes den gnomoniske planprojektion. Figure 5.2: Kort med den gnomoniske azimutalprojektion Den bevarer hverken vinkler eller arealer, men den afbilder storcirkelstykker i rette linier. Overvej, hvor stor en del af Jorden, man kan få med på èt kort.

20 5.2. GEOMETRISKE CYLINDERPROJEKTIONER 19 Stereografisk projektion. Figure 5.3: Stereografisk projektion Eksempel Lad projektionsplanen være planen givet ved z = 1 og lad projektionspunktet være Sydpolen, (0, 0, 1). Den projektion, der fremkommer ved ovenstående opskrift, er Stereografisk projektion, se fig Den er givet ved (λ,ϕ) (2 cosϕ 1 + sin ϕ cosλ, 2 cosϕ 1 + sin ϕ sin λ) = 2 cosϕ (cosλ, sin λ) 1 + sinϕ Stereografisk projektion bevarer vinkler. Det skal vi se senere. Eksempel Ortografisk planprojektion. Her lader man projektionspunktet være uendelig langt væk - eller rettere: Man projicerer vinkelret ned på projektionsplanen z = 1. Det giver (λ,ϕ) (cosϕcosλ, cosϕsin λ) = cosϕ(cosλ, sin λ) 5.2 Geometriske cylinderprojektioner Her forestiller man sig, at projektionsplanen er rullet sammen til en cylinder, som tangerer kuglefladen i Ækvator. Så projektionen består geometrisk af to skridt: Projicer på cylinderen og klip derefter denne op og rul den ud til en plan. Det ordner vi på en gang, på følgende måde: Et punkt på cylinderen har to koordinater: En længdegrad, u og en højde over x y-planen, v som på fig Det er så de samme koordinater, vi bruger i planen:

21 20 KAPITEL 5. KORTPROJEKTIONER Figure 5.4: Kort med den ortografiske azimutalprojektion N Ækvator S Figure 5.5: Geometriske cylinderprojektioner Eksempel Archimedes arealbevarende cylinderprojektion. (Kaldes ofte Lambert s projektion, men Archimedes var nu først). Et punkt på kuglen afbildes vandret ud på cylinderen. Med andre ord: Træk en halvlinie, fra z-aksen gennem P, parallelt med x y planen og find dens skæringspunkt med cylinderen. Det analytiske udtryk er Projektionen er arealbevarende. (λ,ϕ) (λ, sinϕ) Eksempel Centralcylindrisk projektion. Her vælger vi Origo som projektionspunkt. Vi ser altså på halvlinien fra Origo gennem P. Det analytiske udtryk for projektionen bliver (λ,ϕ) (λ, tan(ϕ))

22 5.3. KEGLEPROJEKTIONER 21 Z u v P Y X 5.3 Kegleprojektioner Figure 5.6: Koordinater på cylinderen En tredie familie af geometriske projektioner er kegleprojektionerne. Her er projektionsplanen foldet til en kegle, som placeres på toppen af kuglefladen. Disse projektioner vil ikke blive behandlet nærmere i noterne her. Deres analytiske form ligner planprojektionerne: (λ, ϕ) h(ϕ)(cos(aλ), sin(aλ)) Hvor 0 a 1. Geometrisk afhænger a af, hvor stor en åbningsvinkel, keglen har.

23 22 KAPITEL 5. KORTPROJEKTIONER ϕ tan(ϕ) ϕ sin(ϕ) Figure 5.7: Geometriske cylinderprojektioner. Centralcylindrisk og Archimedes projektion. Figure 5.8: Archimedes arealtro cylinderprojektion

24 5.3. KEGLEPROJEKTIONER 23 Figure 5.9: Kort med den centralcylindriske projektion

25 24 KAPITEL 5. KORTPROJEKTIONER

26 Chapter 6 Målforhold Målforholdet for en kortprojektion skal give relationer mellem længder i naturen og længder på kortet. Mere præcist ønsker vi at kunne udtrykke sammenhængen mellem længder af kurver på kuglefladen eller ellipsoiden, kaldet datumfladen, og længder af kurver i kortet. Lad γ :]a,b[ S være en kurve på datumfladen og lad f : S R 2 være en kortprojektion, se fig Forholdet mellem længden af kurven efter og før projektion, er m(γ) = b a (f γ) (s) ds b a γ (s) ds Der er altså et tal, der udtrykker forholdet mellem de to kurvelængder. Det bliver imidlertid ganske uoverskueligt at have et målforhold for hver kurve, og det kan da også systematiseres. Deler man kurven op i små stykker, vil hvert lille stykke blive strakt med en faktor, og disse er forskellige. Faktisk sker der en strækning i hvert punkt og enhver retning. Se f.eks. Archimedes projektion, Figur 5.8; det er tydeligt, at strækning langs breddecirkler tæt på Nordpolen er større end langs Ækvator og end strækning langs en meridian. Lad P være et punkt på kurven, P = γ(t 0 ). målforholdet i P langs γ er m(p,γ) = lim t t0 t t 0 (f γ) (s) ds t t 0 γ (s) ds I denne grænseovergang går både tæller og nævner mod 0, og for sådanne grænseovergange gælder L Hôpital s regel (Guillaume Francois Antoine Marquis de L Hôpital,

27 26 CHAPTER 6. MÅLFORHOLD γ(t) f f γ(t) γ a b f γ Figure 6.1: En kurve før og efter projektion. 1704), som her siger, at lim t t 0 t t 0 (f γ) (s) ds t t 0 γ (s) ds = lim t t0 d t dt t 0 (f γ) (s) ds t t 0 γ (s) ds d dt Dette kan man regne ud til (f γ) (t) lim = (f γ) (t 0 ) t t 0 γ (t) γ (t 0 ) Vi får altså et målforhold for hvert punkt P og hver retning γ (t 0 ) Eksempel Hovedmålforholdet. En projektion vil ofte blive betragtet som bestående af to afbildninger: En, der skrumper kuglefladen med radius R til en kugleflade med radius r: F(x,y,z) = r (x,y,z) og en afbildning fra den lille R kugle til planen, som skal have et målforhold tæt på 1. Hovedmålforholdet er målforholdet for afbildningen F. Det kan vi nemt regne ud: F γ(t) = r γ(t), så R (F γ) (t) = r R γ (t) og altså er målforholdet (F γ) (t 0 ) γ (t 0 ) = r R for alle kurver γ og alle punkter γ(t 0 ).

28 6.1. MÅLFORHOLD OG KÆDEREGLEN Målforhold og kædereglen En kurve γ på kuglefladen eller ellipsoiden, kan beskrives ved de geografiske koordinater: γ(t) = X(λ(t),ϕ(t)) hvor X(λ,ϕ) = hvis datumfladen er kuglefladen. R cosϕcosλ R cosϕsin λ R sinϕ Hvis datumfladen er en omdrejningsellipsoiden med halvakser a og b har vi X(λ,ϕ) = N cosϕcosλ N cosϕsin λ N (1 e 2 ) sin ϕ Hvor og N = e 2 = a2 b 2 a 2 a 2 a2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ Tilsvarende kan billedkurven efter projektion, f γ(t), beskrives via de geografiske koordinater. Det er netop det, vi gør når en projektion skrives (λ,ϕ) (f 1 (λ,ϕ),f 2 (λ,ϕ)). Vi vil bruge notationen X(λ,ϕ) = (f 1 (λ,ϕ),f 2 (λ,ϕ)) for den analytiske fremstilling af projektionen i geografiske koordinater. Til beregning af målforhold skal vi altså bruge d dt X(λ(t),ϕ(t)) og d dt X(λ(t),ϕ(t)). Det udregner vi systematisk ved brug af kædereglen: γ (t) = d dt X(λ(t),ϕ(t)) = X λ(λ(t),ϕ(t))λ (t) + X ϕ (λ(t),ϕ(t))ϕ (t) Længden udregnes ved skalarprodukt: γ (t) 2 = γ (t) γ (t) = (X λ (λ(t),ϕ(t))λ (t)+x ϕ (λ(t),ϕ(t))ϕ (t)) (X λ (λ(t),ϕ(t))λ (t)+x ϕ (λ(t),ϕ(t))ϕ (t)) = X λ (λ(t),ϕ(t)) X λ (λ(t),ϕ(t))(λ (t)) 2 +2X λ (λ(t),ϕ(t)) X ϕ (λ(t),ϕ(t))λ (t)ϕ (t)

29 28 CHAPTER 6. MÅLFORHOLD +X ϕ (λ(t),ϕ(t)) X ϕ (λ(t),ϕ(t))(ϕ (t)) 2 Eller lidt kortere, hvor vi underforstår, at X λ og X ϕ er funktioner af (λ(t),ϕ(t)): γ (t) 2 = (X λ X λ )(λ (t)) 2 + 2(X λ X ϕ )λ (t)ϕ (t) + (X ϕ X ϕ )(ϕ (t)) 2 og tilsvarende: (f γ) (t) 2 = ( X λ X λ )(λ (t)) 2 + 2( X λ X ϕ )λ (t)ϕ (t) + ( X ϕ X ϕ )(ϕ (t)) 2 Udregning af længderne og dermed målforholdet er altså blevet delt i de afledte af λ(t) og ϕ(t) samt nogle størrelser, der afhænger af punktet P = γ(t) = (λ,ϕ), som vi vil indføre en notation for: E(λ,ϕ) = X λ (λ,ϕ) X λ (λ,ϕ) F(λ,ϕ) = X λ (λ,ϕ) X ϕ (λ,ϕ) (6.1) G(λ,ϕ) = X ϕ (λ,ϕ) X ϕ (λ,ϕ) Funktionerne E, F og G kaldes koefficienterne til første fundamentalform for kuglefladen/ellipsoiden. Og de tilsvarende størrelser Ẽ, F og G er koefficienterne til første fundamentalform for projektionen. Første fundamentalform skrives også (ds) 2 = E(dλ) 2 + 2Fdλdϕ + G(dϕ) 2 målforholdet kan nu skrives m((λ,ϕ),γ ) 2 = Ẽ(λ ) Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 E(λ ) 2 + 2Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 (6.2) Sætning målforholdet afhænger kun af punktet (λ, ϕ) og tangentretningen γ (t) (γ (t)) Bevis: Vi skal vise, at målforholdet langs en kurve med tangent givet ved γ (t) = X λ λ (t)+x ϕ ϕ (t)) er det samme som langs en kurve med tangent kγ (t) = k(x λ λ (t) +X ϕ ϕ (t)). Det kan omskrives til kγ (t) = X λ kλ (t) +X ϕ kϕ (t) og fra 6.2 ved vi, at målforholdet så kan beregnes som m((λ,ϕ),kγ ) 2 = Ẽ(kλ ) Fkλ kϕ + G(kϕ ) 2 E(kλ ) 2 + 2Fkλ kϕ + G(kϕ ) 2 Man forkorter med k 2 og ser, at m((λ,ϕ),kγ ) = m((λ,ϕ),γ )

30 6.2. FØRSTE FUNDAMENTALFORM 29 (λ(t), ϕ(t)) = (λ 0 + t cosα, ϕ 0 + t sin α P α Figure 6.2: Målforhold i retning α Vi har altså et målforhold for hvert punkt og i enhver tangentretning. Skal vi kende alle målforhold, er det således nok at se på situationen, hvor (λ,ϕ ) har længde 1. Enhedsvektorer kan skrives (λ,ϕ ) = (cosα, sin α). I hvert punkt P = X(λ 0,ϕ 0 ) kan vi således nøjes med at studere målforhold langs linier i parameterplanen ( (λ, ϕ)-planen) (λ 0 + tcosα,ϕ 0 + tsin α), som jo netop opfylder, at (λ (0),ϕ (0)) = (cosα, sin α) og X(λ(0),ϕ(0)) = P Målforholdet i P i retning α er m(p,α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cosαsin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cosαsin α + G sin 2 α I alle beregninger af målforhold får vi altså brug for første fundamentalform for kugleflader eller omdrejningsellipsoider. 6.2 Første fundamentalform for kugleflader og ellipsoider Først finder vi første fundamentalform for kuglefladen: X(λ,ϕ) = R cosϕcosλ R cosϕsin λ R sinϕ

31 30 CHAPTER 6. MÅLFORHOLD X λ (λ,ϕ) = X ϕ (λ,ϕ) = R cosϕsin λ R cosϕcosλ 0 R sinϕcosλ R sin ϕ sin λ R cosϕ Koefficienterne til første fundamentalform for kuglen er altså E(λ,ϕ) = R 2 cos 2 ϕ, F(λ,ϕ) = 0, G(λ,ϕ) = R 2 (6.3) For ellipsoiden er det lidt mere omstændeligt, men det lader sig dog gøre. Man får efter omhyggelig differentiation... E = N 2 cos 2 ϕ F = 0 G = M 2 Hvor M = a 2 b 2 (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ) 3/2 6.3 Udregninger af målforhold Eksempel Langs en længdegrad/meridian, er α = π/2, så målestokken er G m(p,π/2) = G Langs en breddecirkel/parallel, er α = 0, og målestokken er m(p, 0) = Ẽ E Eksempel Målforholdet for Gnomonisk planprojektion.

32 6.3. UDREGNINGER AF MÅLFORHOLD 31 Projektionen har analytisk form X(λ,ϕ) = ( cotϕcosλ cotϕsin λ ) hvoraf ( ) cotϕsinλ X λ (λ,ϕ) = cotϕcosλ ( 1 sin X ϕ (λ,ϕ) = cosλ ) 2 ϕ 1 sinλ sin 2 ϕ Første fundamentalform er altså Målforholdet bliver så Ẽ(λ,ϕ) = cot 2 ϕ, F(λ,ϕ) = 0, G(λ,ϕ) = 1 sin 4 ϕ m((λ,ϕ),α) 2 = cot2 ϕ cos 2 α + 1 sin 4 ϕ sin2 α R 2 cos 2 ϕ cos 2 α + R 2 sin 2 α Langs en breddecirkel får vi 1 m((λ,ϕ), 0) = R 2 sin 2 ϕ = 1 R sin ϕ og langs en længdegrad: 1 m((λ,ϕ),π/2) = R 2 sin 4 ϕ = 1 R sin 2 ϕ Eksempel Ortografisk planprojektion. Her er ( ) cosϕcosλ X(λ,ϕ) = cosϕsinλ Og vi får Så X λ (λ,ϕ) = ( cosϕsin λ cosϕcosλ X ϕ (λ,ϕ) = ( sin ϕ cosλ sin ϕ sin λ Ẽ(λ,ϕ) = cos 2 ϕ, F(λ,ϕ) = 0, G(λ,ϕ) = sin 2 ϕ ) )

33 32 CHAPTER 6. MÅLFORHOLD Første fundamentalform for kuglefladen blev regnet ud ovenfor. Heraf Langs en breddegrad fås: m((λ,ϕ),α) 2 = cos2 ϕ cos 2 α + sin 2 ϕ sin 2 α R 2 cos 2 ϕ cos 2 α + R 2 sin 2 α og langs en længdegrad m((λ,ϕ), 0) = 1 R 2 = 1 R m((λ,ϕ),π/2) = sin 2 ϕ R 2 = sin ϕ R Eksempel Stereografisk projektion. Den behandles nøjere i en opgave! Her får man ved udregninger som ovenfor m((λ,ϕ),α) = sin ϕ målforholdet afhænger altså ikke af vinklen α. Vi vil senere se, at det betyder, at projektionen er konform. Eksempel Centralcylindrisk projektion. ( ) λ X(λ,ϕ) = tanϕ ( ) 1 X λ (λ,ϕ) = 0 ( ) 0 X ϕ (λ,ϕ) = 1 cos 2 ϕ Og koefficienterne til første fundamentalform er Ẽ(λ,ϕ) = 1, F(λ,ϕ) = 0, G(λ,ϕ) = 1 cos 4 ϕ cos 2 α + 1 m((λ,ϕ),α) 2 cos = 4 ϕ sin2 α R 2 cos 2 ϕ cos 2 α + R 2 sin 2 α 1 m((λ,ϕ), 0) = R = 1 2 R 1 m((λ,ϕ),π/2) = R 2 cos 4 ϕ = 1 R cos 2 ϕ

34 6.3. UDREGNINGER AF MÅLFORHOLD 33 Eksempel Archimedes projektion X(λ,ϕ) = ( λ sin ϕ X λ (λ,ϕ) = ( 1 0 ) X ϕ (λ,ϕ) = ( 0 cosϕ m((λ,ϕ),α) 2 cos 2 α + cos 2 ϕ sin 2 α = R 2 cos 2 ϕ cos 2 α + R 2 sin 2 α 1 m((λ,ϕ), 0) = R 2 cos 2 ϕ = 1 R cosϕ cos2 ϕ m((λ,ϕ),π/2) = = cosϕ R 2 R Bemærk, at produktet m((λ,ϕ), 0)m((λ,ϕ),π/2) = 1 R 2 er konstant. Vi vil senere se, at det betyder, at projektionen er arealbevarende. ) )

35 34 CHAPTER 6. MÅLFORHOLD

36 Chapter 7 Første fundamentalform og forvanskninger af vinkler og arealer I foregående afsnit viste det sig, at første fundamentalform spiller en central rolle i målforholdsberegninger. I dette kapitel sættes fokus på deformation af vinkler og arealer. Målet er i første omgang at kunne beregne forvanskningerne ved en given projektion, men nok så vigtigt vil analysen her senere gøre det muligt at konstruere projektioner med ønskede egenskaber - arealbevarende eller vinkelbevarende projektioner. Forvanskninger ved afbildning fra kuglen/ellipsoiden til ellipsoiden, kan studeres som den forvanskning, der sker fra planen til kuglen/ellipsoiden ved geografiske koordinater X i forhold til den forvanskning, der sker ved kortet (afbildningen X udtrykker kortet i geografiske koordinater), se fig Vinkler og første fundamentalform Vinkelforvanskningen er et udtryk for forskellen på vinkler mellem kurver på datumfladen (kugleflade/ellipsoide) og vinkler mellem billedkurverne i i kortet. Ligesom med målforholdet, kan dette systematiseres ved brug af første fundamentalform: Vi ser på to kurver γ 1 (t) og γ 2 (t) på datumfladen, som skærer hinanden i t = 0. Disse skrives i geografiske koordinater: γ 1 (t) = X(λ 1 (t),ϕ 1 (t)) 35

37 36 FØRSTE FUNDAMENTALFORM OG FORVANSKNINGER f X X Figure 7.1: Forvanskninger fra kuglen til planen er en kvotient af forvanskninger ved X og ved X γ 2 (t) = X(λ 2 (t),ϕ 2 (t)) Vinklen v mellem kurverne defineres til at være vinklen mellem deres tangentvektorer, så vi har cosv = γ 1(0) γ 2(0) γ 1(0) γ 2(0) Bruger vi nu kædereglen på γ i (t) = X(λ i(t),ϕ i (t)), kan dette udregnes til cosv = Eλ 1λ 2 + F(λ 1ϕ 2 + λ 2ϕ 1) + Gϕ 1ϕ 2 (E(λ 1 ) 2 + 2Fλ 1ϕ 1 + G(ϕ 1) 2 ) (E(λ 2) 2 + 2Fλ 2ϕ 2 + G(ϕ 2) 2 ) Vinklen w mellem de projicerede kurver X(λ i (t),ϕ i (t)) udregnes tilsvarende, og vi finder cosw = Ẽλ 1 λ 2 + F(λ 1 ϕ 2 + λ 2 ϕ 1 ) + Gϕ 1 ϕ 2 (Ẽ(λ 1) Fλ 1ϕ 1 + G(ϕ 1) 2 ) (Ẽ(λ 2) Fλ 2ϕ 2 + G(ϕ 2) 2 ) Nu kan vi således i princippet udregne forskellen på v og w, omend det er ganske besværligt!

38 7.1. VINKLER OG FØRSTE FUNDAMENTALFORM Vinkelbevarende projektioner En vinkelbevarende projektion kaldes også konform. Vi ved nu, at en sådan projektion skal opfylde v = w og altså cosv = cosw for alle v og i alle punkter P. Vi ser på nogle tilfælde: 1. (λ 1,ϕ 1 ) = (1, 0) og (λ 2,ϕ F 2 ) = (0, 1). Så er cosv = EG og cosw = e F ee e G 2. (λ 1,ϕ 1) = (1, 1) og (λ 2,ϕ 2) = (1, 0). Så er cosv = E+F E E+2F+G og cosw opskrives tilsvarende. 3. (λ 1,ϕ 1) = (1, 1) og (λ 2,ϕ 2) = (0, 1). Så er cosv = E+F G E+2F+G og igen kan cos w opskrives tilsvarende. Vi får nu tre ligninger, der skal være opfyldt for en konform projektion: F EG = F Ẽ G E + F E + 2F + G E = Ẽ + Ẽ F + 2 F + G Ẽ og E + F E + 2F + G G = Ẽ + Ẽ F + 2 F + G G Fra de sidste to ligninger fås E ee = G, og indsættes det i den første ser man eg F = F = 0 eller F F e = E E e = G G e. Det er altså en nødvendig betingelse for en konform projektion. Omvendt: Hvis en projektion opfylder ligningerne ovenfor, så er den konform: Lad k = E e E = G e G. Så er E = kẽ, G = k G og F = k F (også, hvis F = F = 0). Vi udregner cosv = Eλ 1λ 2 + F(λ 1ϕ 2 + λ 2ϕ 1) + Gϕ 1ϕ 2 (E(λ 1 ) 2 + 2Fλ 1ϕ 1 + G(ϕ 1) 2 ) (E(λ 2) 2 + 2Fλ 2ϕ 2 + G(ϕ 2) 2 ) = kẽλ 1λ 2 + k F(λ 1ϕ 2 + λ 2ϕ 1) + k Gϕ 1ϕ 2 (kẽ(λ 1) 2 + 2k Fλ 1ϕ 1 + k G(ϕ 1) 2 ) (kẽ(λ 2) 2 + 2k Fλ 2ϕ 2 + k G(ϕ 2) 2 ) Sættes k udenfor og forkortes væk, ser man cosv = cosw.

39 38 FØRSTE FUNDAMENTALFORM OG FORVANSKNINGER Vi har vist: Sætning En projektion med første fundamentalform Ẽ, F, G fra en datumflade med første fundamentalform E, F, G er konform hvis og kun hvis enten F F = Ẽ E = G G eller F = F = 0 og Ẽ E = G G Vore datumflader, kugler og ellipsoider, er parametriseret med F = 0, så det er tilfældet F = F = 0 og E e E = G e G, vi skal studere her. Men teorien rækker altså længere end til kortprojektioner. Konforme projektioner har pæne målforhold: Sætning målforholdet for en konform projektion afhænger ikke af retningen: Ẽ m((λ,ϕ),α) = E = G G Omvendt: Hvis målforholdet er uafhængigt af retningen, så er projektionen konform. Bevis: At en konform projektion har et målforhold som ovenfor, vises ved at indsætte E = kẽ, G = k G og F = k F i formlen for målforholdet. Hvis målforholdet er uafhængigt af α, så er m((λ,ϕ), 0) 2 = m((λ,ϕ),π/2) 2 = m((λ,ϕ),π/4) 2, så E E e = G G e = E+2F+G ee+2 F+ e G e. Heraf følger ligningerne for en konform projektion. Eksempel Stereografisk projektion er konform. 7.2 Arealer og første fundamentalform Arealet af et område X(U), hvor U R 2 udregnes - ikke overraskende- som et dobbeltintegrale. Det viser sig at give mening at definere Areal(X(U)) = X λ (λ,ϕ) X ϕ (λ,ϕ) dλdϕ U

40 7.2. AREALER OG FØRSTE FUNDAMENTALFORM 39 Hvis U er området afgrænset af a λ b og c ϕ d fås Areal(X(U)) = d b c a X λ (λ,ϕ) X ϕ (λ,ϕ) dλdϕ Det geometriske indhold i definitionen af arealet er, at X λ (λ,ϕ) X ϕ (λ,ϕ) er arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne X λ (λ,ϕ) og X ϕ (λ,ϕ), så integralet er en grænseovergang fra en sum af små arealer Σ N i=1 X λ (λ i,ϕ i ) λ X ϕ (λ i,ϕ i ) ϕ = Σ N i=1 X λ (λ i,ϕ i ) X ϕ (λ i,ϕ i ) λ ϕ altså en Riemannsum for ovenstående dobbeltintegrale. Arealet af billedet ved projektion er Areal( X(U)) = d b c a X λ (λ,ϕ) X ϕ (λ,ϕ) dλdϕ Arealerne kan udtrykkes ved første fundamentalform ved brug af formlen v w = v 2 w 2 (v w) 2, som læseren er velkommen til at vise - det kan gøres ved at skrive alting op i koordinater. Bruges denne, fås og Areal(X(U)) = Areal( X(U)) = d b c a d b c a EG F 2 dλdϕ Ẽ G F 2 dλdϕ Hvis projektionen er arealbevarende, skal disse integraler være ens for alle valg af området U, og det medfører, at integranderne er ens. Hvis integranderne er ens, er integralerne det naturligvis også, i.e., Sætning En projektion er arealbevarende hvis og kun hvis EG F 2 = Ẽ G F 2 for alle (λ,ϕ). Eksempel Archimedes projektion er arealbevarende.

41 40 FØRSTE FUNDAMENTALFORM OG FORVANSKNINGER

42 Chapter 8 Konstruktion af vinkel- eller arealbevarende projektioner I sidste kapitel fandt vi nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at projektioner er vinkel eller arealbevarende. Og vi så, at stereografisk projektion bevarer vinkler, mens Archimedes projektion bevarer arealer. I dette kapitel vil vi konstruere flere konforme og arealbevarende projektioner. Ligningerne F F = Ẽ E = G G og F = F = 0 og Ẽ E = G G EG F 2 = Ẽ G F 2 er partielle differentialligninger: De giver relationer mellem de partielle afledede af X og X. Det er absolut ikke simpelt at løse sådanne ligninger, og vi vil da også reducere problemet på forskellig vis. Ved at begrænse den mængde af funktioner, X, vi vil løse ligningerne for, på en sådan måde, at vi i stedet for partielle differentialligninger får sædvanlige differentialligninger. 8.1 Cylinderprojektioner igen I studiet af projektioner fra et geometrisk synspunkt så vi på denne type projektioner. De projektioner, vi fandt, er karakteriseret ved, at meridianer går i linier parallelt med y-aksen, mens breddecirkler går i linier parallelt med x-aksen. De har formen (λ,ϕ) (λ,h(ϕ)), hvor h bestemmer, hvor højt en breddecirkel med 41

43 42 VINKEL- ELLER AREALTRO PROJEKTIONER h(60) h(30) h(0) h(-30) h(-60) Figure 8.1: En cylinderprojektion (λ, ϕ) (cλ, h(ϕ)) breddevinkel ϕ skal afbildes op. Generaliserer vi dette, idet vi tillader en skalering λ cλ får vi: En cylinderprojektion er en projektion X(λ,ϕ) = (cλ,h(ϕ)), hvor c er positiv (retning mod vest skal være til venstre på kortet), h(ϕ) er differentiabel, voksende (Nord skal være opad i kortet) og h er injektiv Første fundamentalform og målforhold for en cylinderprojektion X λ (λ,ϕ) = (c, 0) X ϕ (λ,ϕ) = (0,h (ϕ)) Ẽ(λ,ϕ) = c 2, F(λ,ϕ) = 0, G(λ,ϕ) = h (ϕ) 2 målforholdet for en cylinderprojektion fra en kugleflade med radius 1 er m((λ,ϕ),α) 2 = c2 cos 2 α + (h (ϕ)) 2 sin 2 α cos 2 ϕ cos 2 α + sin 2 α Langs bredde og længdegrader: m((λ,ϕ), 0) = c og m((λ,ϕ),π/2) = cos ϕ h (ϕ)

44 8.2. PLANPROJEKTIONER IGEN Den konforme cylinderprojektion Hvis datumfladen er kuglefladen med radius 1, er ligningen for konformitet e E eg, et stamfunktion-, altså c 2 = G cos 2 ϕ h (ϕ) 2. Da h (ϕ) er positiv, får vi h (ϕ) = sproblem. c cos ϕ E = Løsningen til dette er h(ϕ) = c ln(tan(π/4 + ϕ/2)) + k, hvor k er en konstant. Hvis vi sender Ækvator i x-aksen, er k = 0, og vi har En konform cylinderprojektion er en Mercatorprojektion: (λ,ϕ) (cλ,cln(tan(π/4 + ϕ/2)) Man kalder sommetider projektioner, hvor c 1, for modificerede Mercatorprojektioner, og kun den med c = 1 er så Mercatorprojektionen. Det vil vi ikke skelne mellem her Den arealbevarende cylinderprojektion Vi har jo allerede en arealbevarende cylinderprojektion, nemlig Archimedes projektion. Og det er faktisk også den eneste - bortset fra skalering: Differentialligningerne for arealbevarelse giver EG = Ẽ G cos 2 ϕ = c 2 h (ϕ) 2 h (ϕ) = 1 c cosϕ hvor vi bruger, at h (ϕ) og cosϕ er positive. Heraf følger h(ϕ) = 1 sin ϕ, og altså har vi: En arealbevarende cylinderprojektion c har formen (λ,ϕ) (cλ, 1 sin ϕ) c Geometrisk kan man fortolke c som radius i den cylinder, man projicerer på. For c < 1 er det en cylinder, der skærer kuglen i bredde cirklen med cosϕ 0 = c Eksempel Peters projektionen, som nogen har et nærmest religiøst, eller i hvert fald politisk forhold til (søg på nettet og se, hvad de dog skriver), er en arealbevarende cylinderprojektion med c = 2 (ϕ 2 0 = 45 ) - somme tider er brugt lidt større eller mindre c. 8.2 Planprojektioner igen De geometriske planprojektioner omkring Nordpolen, som vi studerede tidligere, opfylder allesammen, at meridianer går i halvlinier startende i Origo, mens bred-

45 44 VINKEL- ELLER AREALTRO PROJEKTIONER decirkler går i cirkler med centrum i Origo. Generelle planprojektioner er projektioner, der opfylder denne karakteristik. Altså har formen X(λ,ϕ) = r(ϕ)(cosλ, sin λ) Første fundamentalform udregnes: X λ (λ,ϕ) = r(ϕ)( sin λ, cosλ) X ϕ (λ,ϕ) = r (ϕ)(cosλ, sin λ) og altså Ẽ(λ,ϕ) = r(ϕ) 2, F(λ,ϕ) = 0, G(λ,ϕ) = r (ϕ) 2 målforholdet for en generel planprojektion er: m((λ,ϕ),α) 2 = r(ϕ)2 cos 2 α + r (ϕ) 2 sin 2 α cos 2 ϕ cos 2 α + sin 2 α m((λ,ϕ), 0) = r(ϕ) cosϕ, og m((λ,ϕ),π/2) = r (ϕ) Havde vi placeret projektionsplanen i z = 1, ville formlerne ovenfor blive de samme, men r(ϕ) skal så være voksende, hvor den er aftagende ved projektion omkring Nordpolen Den konforme planprojektion omkring Nordpolen Vi har jo set, at stereografisk projektion er konform. Men det er også den eneste konforme planprojektion - bortset fra en skalering. ee = G e E G er opfyldt hvis og kun hvis r(ϕ) 2 cos 2 ϕ = r (ϕ) 2 1 r(ϕ) cosϕ = r (ϕ) hvor vi antager, at r(ϕ) er positiv og r (ϕ) er negativ - Nordpolen skal afbildes i Origo, så r(ϕ) er aftagende. Denne differentialligning kan f.eks. løses ved separation af de variable, eller man kan få Maple til at løse den. Løsningen er cosϕ r(ϕ) = c 1 + sin ϕ

46 8.3. KEGLEPROJEKTIONER IGEN 45 målforholdet er m(λ,ϕ) = c 1 + sinϕ Den geometriske stereografiske projektion har c = 2 Projektion omkring Sydpolen ville give cosϕ r(ϕ) = c 1 sin ϕ Den arealbevarende planprojektion Differentialligningerne for denne er cos 2 ϕ = r(ϕ) 2 r (ϕ) 2 eller cosϕ = r(ϕ)r (ϕ), som igen kan løses med resultatet r(ϕ) = 2 sin ϕ 2. Man skal undervejs bruge, at r(π/2) = 0 til at bestemme en konstant. 8.3 Kegleprojektioner igen X(λ, ϕ) = (r(ϕ) cos(aλ), r(ϕ) sin(aλ)) hvor a er en konstant, og 0 < a 1. For a = 1 har vi en planprojektion. Første fundamentalform bliver Ẽ = (ar(ϕ))2, F = 0, G = (ar (ϕ)) 2 og konforme kegleprojektioner har formen X(λ,ϕ) = (f(ϕ) cosaλ,f(ϕ) sin aλ) hvor f(ϕ) = e k (tan ( ϕ 2 + π 4 )) a målforholdet er: m(λ,ϕ) = ek a (tan ( ϕ 2 + π 4 )) a cosϕ Den geometriske fortolkning af denne projektion er: En kegle med åbningsvinkel ϕ 0, hvor a = sin(ϕ 0 ) anbringes over Nordpolen af kuglen/ellipsoiden, og f(ϕ) bestemmer, hvor højt op breddecirklerne afbildes.k er en vilkårlig konstant, så e k er en positiv konstant. Det plane billede ved en kegleprojektion fås ved at folde keglen ud.

47 46 VINKEL- ELLER AREALTRO PROJEKTIONER

48 Chapter 9 Konstruktion af konforme projektioner med lille målestoksafvigelse Et fornuftigt krav til en kortprojektion - og i hvert fald det, man kræver i virkeligheden - er, at den skal være konform og at målforholdet ikke skal afvige for meget fra hovedmålforholdet på det område, man ønsker at kortlægge. For et givet område er opgaven altså at vælge en konform projektion, der er passende, og at vælge den skaleringskonstant, der indgår i projektionen, så målestoksafvigelsen bliver lille indenfor det givne område. Læs nærmere om dette på spisesedlerne, hvor I vil regne opgaver, der går ud på netop dette. Det bliver også nødvendigt at ændre positionen af projektionsfladen, så vi f.eks. ikke projicerer på en cylinder anbragt omkring Ækvator, men i stedet tangerende en meridian. Læs mere om det i [2]. 47

49 48 KONFORME PROJEKTIONER

50 Chapter 10 Afstandskorrektionen Nu kan vi regne målforhold ud for en projektion, men hvordan regner man så rent faktisk om fra afstanden mellem to punkter målt i kortet til afstande i naturen og tilbage? Vi vil se på dette, hvor projektionen er konform, så målforholdet altså ikke afhænger af, hvad retning, man går, men kun af punkterne. Problemet består kort sagt i følgende: Givet en afbildning f fra kuglefladen (ellipsoiden) ind i planen. To punkter P,Q på kuglen afbildes i punkter p,q i planen. Hvilken sammenhæng består der mellem den sfæriske afstand S mellem P og Q og den plane afstand d mellem p og q? Tænker man lidt efter, så optræder der faktisk 4 kurver, der er knyttet til problemet: 1. den geodætiske korteste forbindelse α mellem P og Q (for en kugle drejer det sig om en storcirkelbue) med længde S 2. dens billede f(α) er normalt en krum kurve fra p til q med længde s 3. den korteste forbindelse mellem p og q er naturligvis det rette liniestykke imellem dem (korden k), med længde d 4. Korden er billedet af en kurve β = f 1 (k) med længde D. Kurven β er normalt ikke en storcirkelbue. Sammenhængen mellem længderne S og s fra (1) og (2), hhv. D og d kan bestemmes vha. målforholdsfunktionen. Til gengæld er det forholdsvis svært, at bestemme forskellen mellem d og s (eller D og S), men også det kan lade sig gøre approksimativt, under anvendelse af numeriske metoder. I landmålingssammenhæng er disse sidste korrekturled heldigvis små og uden praktisk betydning, hvorimod der skal tages hensyn til dem i geodætisk sammenhæng. Vi nøjes her med at bestemme afstandskorrektionen σ = s S idet vi beregner d D, som ifølge ovenstående er en god approksimation til σ: 49

51 50 CHAPTER 10. AFSTANDSKORREKTIONEN P α β Q f p f(α) k q En parameterfremstilling for korden k er, x(t) = p + t og den tilsvarende parameterfremstilling for β er så ȳ(t) = f 1 ( x(t)). Bemærk, at x (t) = 1. Vi siger, at k er parametriseret ved buelængde. Langs med disse kurver gælder per definition for målforholdet: pq pq m( x(t)) = m(ȳ(t)) = x (t) ȳ (t) = 1 ȳ (t). Integration langs med β beregner dennes længde D: D = d 0 ȳ (t) dt = d 0 1 m( x(t)) dt Idet målforholdet normalt kun afviger lidt fra 1, kan man skrive m = 1 + a, hvor 1 a er en lille størrelse, og for små værdier af a gælder: = 1 1 a, altså: m 1+a D d 0 (1 a( x(t)))dt = d d 0 a( x(t))dt, σ d D d 0 a( x(t))dt. For System 34 (jysk-fynsk afsnit) har vi: a(y,x) = , (x ) 2,

52 Her betegner x x-koordinaten målt i meter. Jeg følger her notationen fra Kai Borres bog [1]. Indsætter man en parameterfremstilling for det rette liniestykke fra (y, x) til (y 1,x 1 ): fås: x(t) = (y,x) + t d (y 1 y,x 1 x) 51 d D = d d+122, , (x + t (x 1 x) ) 2 dt = d d 0 (x ) 2 +2 (x ) (x 1 x) t+ (x 1 x) 2 t 2 = d d d+122, [(x ) 2 t+(x ) (x 1 x) t2 d +(x 1 x) 2 t 3 d [ , {(x ) (x x 1 x)+ 1 3 (x 1 x) 2 }] = d [ , [3(x )(x ) + (x x 1 ) 2 ] = 3 d 2]d 0 = d [ , [(x ) 2 +(x ) 2 +(x ) (x )]]. Med den approksimation, vi allerede har lavet, kan vi også sige d D D [ , [(x ) 2 +(x ) 2 +(x ) (x )]]. Tilsvarende gælder: σ = s S s [ , [(x ) 2 +(x ) 2 +(x ) (x )]] S [ , [(x ) 2 +(x ) 2 +(x ) (x )]]. For andre projektioner med mere komplicerede målforholdsfunktioner, vil ovenstående skulle gøres numerisk. De første led i rækkeudvikling af målforhold for Transversal Mercator har samme form som målforholdet for System 34 m(n,e) = a + b(e E 0 ) 2, hvor E 0 er Easting for midtemeridianen, den falske Easting. Altså kan ovenstående regninger (gen)bruges til at opnå afstandskorrektion for Transversal Mercator, hvis man ikke ønsker højere nøjagtighed, end de første led i rækkeudviklingen giver.

53 52 CHAPTER 10. AFSTANDSKORREKTIONEN

54 Chapter 11 Konforme plane afbildninger Koordinatskift mellem to kort, ombecifring, kan betragtes som en afbildning fra planen ind i planen. Hvis begge kort er konforme, er koordinatskiftsafbildningen det også. Og da vi primært anvender konforme kort, er det relevant at overveje, hvilke konforme plane afbildninger, der findes. Vi genbruger argumenterne om konforme afbildninger fra kuglen til planen: I Fig. 11 lader vi X(u,v) = (u,v) og X(u,v) = f(u,v) er den afbildning, som vi vil undersøge. Hvad skal der til, for at f er konform? Alle argumenterne fra kuglefladen kan genbruges, og vi får, at f er konform, hvis og kun hvis Ẽ E = G G og F = F = 0 Det er let at udregne E = 1, F = 0 og G = 1. Og da X(u,v) = f(u,v) = (f 1 (u,v),f 2 (u,v)), er Ẽ = ( f 1 u )2 + ( f 2 f 1 u )2, G = ( v )2 + ( f 2 v )2 og F = f 1 f 2 u u + f 1 f 2 v v Eller med andre ord; f er konform, hvis og kun hvis vektorerne ( f1 u f 2 u ) og ( f1 v f 2 v har længde 1 og står vinkelret på hinanden. Hvis vi ved, at kortene har samme orientering, giver det, at ) f 1 u = f 2 v og f 1 v = f 2 u 53

55 54 CHAPTER 11. KONFORME PLANE AFBILDNINGER f X X Har kortene ikke samme orientering får vi Eksempel Lad f 1 u = f 2 v og f 1 v = f 2 u f(u,v) = ( a 0 + a 1 u + a 2 u 2 + buv + c 1 v + c 2 v 2 //r 0 + r 1 u + r 2 u 2 + suv + t 1 v + t 2 v 2 ) Da er f konform, hvis og kun hvis a 1 = t 1,s = 2a 2 = 2c 2,b = 2t 2 = 2r 2,r 1 = c 1. Med det komplekse polynomium P(u + iv) = (a 0 + ir 0 ) + (a 1 + ir 1 )(u + iv) + (a 2 it 2 )(u + iv) 2 fås da f 1 (u,v) = Re(P(u + iv)) og f 2 (u,v) = Im(P(u,v)). Det gælder generelt: Hvis f 1 (u,v) og f 2 (u,v) er polynomier; så er f konform hvis og kun hvis der findes et komplekst polynomium i u + iv, så f 1 er realdelen og f 2 er imaginærdelen. Et komplekst polynomium af grad n har n+1 komplekse koefficienter, altså 2(n+1) forskellige reelle tal. Et reelt n te grads polynomium af 2 variable har (n+2)(n+ 1)/2 reelle koefficienter. Så der er ialt (n + 2)(n + 1) koefficienter at vælge frit i f 1 og f 2, hvis f ikke er konform, hvorimod der er 2n + 2, hvis f er konform.

56 Bibliography [1] Kai Borre, Landmåling, [2] Lisbeth Fajstrup, Mercator and Transversal Mercator, Findes på kursushjemmesiden. 55

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Kortprojektioner L mm Problemformulering

Kortprojektioner L mm Problemformulering Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder

Læs mere

ONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.

ONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig. Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,

Læs mere

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

9940 8848

9940 8848 Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: ca.10:15-12:00 Opgaveregning i grupperummene Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver -

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Kortprojektioner L4 2016 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant. Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2017-forår 2018 Institution Videndjurs, Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv

Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv 0. April 2007 Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv Af Astrid Pørtner Nielsen & Lise Danelund Introduktion: Formålet med projektet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.

2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion. Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner

Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Et almindeligt 3D-koordinatsystem er som et 2D-koordinatsystem, hvor der blot er rejst en tredje akse vinkelret på planen i punktet (0,0),

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013-2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Lærer(e) Helle Kruchov

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x

A U E R B A C H M I K E   # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA03

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere