2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?"

Transkript

1 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del af det reelle talrum, R n, her R 3, eller R 2. Jorden og/eller dens overflade er en mangfoldighed. I Figur 2.10 vises afbildningen, f, af en omegn, U, omkring et punkt X, på Jordens overflade over i f(u), der er en delmængde af R 2. Parret (f, U) kaldes også i abstrakt matematik et kort. f er en kortprojektion og den inverse afbildning, f -1, er en parametrisering eller parameterfremstilling af U. ksempel 2.10 E Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? I praksis optræder flere afbildninger: A: Fra Jordoverfladen eller rummet til ellipsoiden, (X,Y,Z) (,,h=0). (Eventuelt til geoiden, H = 0). B 1 : Afbildning (kort) til planen af et delområde (omegn) B 2 : Afbildning til kugle, og herfra til planen af delområde (omegn). Kortene har forskellige egenskaber, der helt eller delvist udelukker hinanden: (a) afstandstro (b) konforme, dvs. lokalt vinkeltro (c) arealtro

2 2.10 (1) Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med kortest afstand. (En sådan kurve kaldes en orthodrom eller geodætisk linie). (2) Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med konstant kurs. (En sådan kurve kaldes en loxodrom). Kurver i rummet har parameterfremstilling c: R R 3, Eksempel 2.4.2: Meridian på kugle med længden 0 og parallel med bredde 0. De kurver, der frembringes ved i planen at holde en koordinat fast, kaldes parameterkurverne. I eksempel er meridianer og paralleller parameterkurverne. Men da parameterfremstillingerne ikke er entydige, kan der være mange parameterkurver. En vigtig type kurver,er de, der forbinder to punkter med den korteste afstand. De kaldes de geodætiske kurver eller linier. På kuglen er det storcirklerne. Eksempel Storcirkel på en kugle gennem ( 0, 0 ) med azimuth.

3 2.11 der så afbildes videre over på kuglen. Udfra de sfæriske trekantsformler, jvf. Figur 2.12, så er Øvelse Kontroller, at vi for azimuth lig med 0 får meridianerne og at vi for = 90 o ikke får en parallel! Når vi skal vurdere en kortprojektions egenskaber, skal vi altid huske på, at størrelser som afstande, arealer og retninger alle måles i det tre-dimensionale rum. Længden af en vektor v = (X,Y,Z) er eller kvadratet på længden er skalarproduktet af vektoren med sig selv, s 2 = v v. Cosinus til vinklen mellem 2 vektorer, v 1 og v 2 er lig med skalarproduktet af vektorerne divideret med vektorernes længder, dvs. skalarproduktet af de tilsvarende enhedsvektorer. Vi har her udtrykt den sædvanlige metrik i rummet ved hjælp af skalarproduktet. På en flade må vi arbejde lidt anderledes. I gennem hvert punkt af fladen vil der gå to parameterkurver, der er billede af kurvene x = konstant og y = konstant i kortet. Hver af disse kurver vil have en tangent, og 2 tangenter udspænder en plan, tangentplanen, se Figur I denne kan vi måle vinkler og afstande, som om vi var i det 2-dimensionale reelle talrum. Men tangentvektorerne vil ikke nødvendigvis være enhedsvektorer eller vinkelrette på hinanden, dvs. de danner ikke nødvendigvis nogen orthonormal basis. Og det må vi selvfølgelig tage hensyn til. Eksempel 2.4.4: Tangentplanen svarende til eksempel Vi skal differentiere parameterkurverne med hensyn til x og y, og evaluere i billedet (X,Y).

4 2.12 Nu definerer vi billedet af en vektor i kortet (a,b) som værende vektoren (a v 1 + b v 2 ) i tangentplanen. Har vi 2 vektorer i kortet (a 1, b 1 ) og (a 2, b 2 ) så kan vi udtrykke deres skalarprodukt i tangentplanen som Eksempel 2.4.5: For kortprojektionen i eksempel får vi Helt generelt, er det vi har fundet, den såkaldte Jakobi-matrix. Den kaldes også den metriske fundamentalform,

5 2.13 Bemærk at basisvektorernes længde er e ½ og f ½, at cosinus til vinklen mellem vektorerne og arealet er matricens determinant, A = ef - g 2. Vi kan nu definere målestoksforholdet m som værende forholdet hvor m er angivet som en funktion af (a, b), dvs. det er retningsafhængigt! Vi ser også at målestoksforholdene i akseretningerne er kvadratroden af e, henholdsvis f. Hvis basisvektorerne skal være vinkelrette på hinanden, så skal g være lig med 0. Vi kan nu definere: Konform: Vinklerne mellem tangentvektorerne bevares i ethvert punkt. Arealtro: Arealer målt i tangentplanen udspændt af to vektorer skal være konstant, ef - g 2 = konstant. Afstandstro: Afstande målt i tangentplanen bevares, eller Eksempel 2.4.6: Cylinderprojektion fra kuglen. Vi forlanger her at afbildningen er afstandstro langs Ækvator, samt at den som funktion af x kun afhænger af længden og af y kun af bredden, dvs: hvor f er en funktion, vi vil finde. Basisvektorerne bliver

6 2.14 Her får vi så for at vinklerne skal bevares må vi have Løsningen til denne ligning er Denne størrelse kaldes også isometrisk bredde og det er den der er grundlaget for de sædvanlige søkort i Merkators projektion. Hvis afbildningen skulle have været arealtro, så var betingelsen Hvis vi ønsker en Meridian afstandstro, så bytter vi (på kuglen!) om på længde og bredde. Herved fremkommer den overmåde meget benyttede Transverse Merkator projektion, se Figur Ved at rotere 90 o om X-aksen, så den nye Z-akse går i samme retning som Y aksen, bytter om på længde og bredde, så er med o = 0 i Figur 2.15 Heraf får vi

7 2.15 Dvs. Det er grundlaget for UTM, Universal Transversal Merkator projektion, der benyttes på alle moderne topografiske kort i målestoksforhold fra 1:25000 til 1: UTM har der særlige forhold, at der for hver 6 o er defineret en ny midtermeridian, hvor målestoksforholder er Herved skærer cylinderen langs to kurver, så den generelle målestoksforvrængning er mindst mulig inden for 6 o zonen. Generelt så kan vi opfatte bredden og længden som funktioner af de plane koordinater (x, y). Så bliver parameterkurvernes tangentvektorer, Her får vi så efter en lang udregning Udskifter vi med isometrisk bredde, så

8 2.16 Hvis vi vil forlange at kortprojektionen skal være konform, så må tangentvektorerne være lige lange og skalarproduktet må være 0. (De skal være vinkelrette på hinanden). For at dette kan gælde, så må vi have Dette er de berømte Cauchy-Riemanns differentialligninger, der som konsekvens har, at sammenhængen mellem (x,y) og (, ) kan udtrykkes om en kompleks analytisk funktion, endda som et polynomium (med uendelig mange led, en potensrække), hvor a'ern og b'erne er komplekse konstanter og i er den imaginære enhed. Denne form har den fordel, at man udfra kendskabet til den ene række let kan finde den anden række for den inverse afbildning. I Kort & Matrikelstyrelsens transformationsprogrammer er dette udnyttet til flere af de konforme kortprojektioner, se Poder, K., and K.Engsager: Some conformal mappings and transformations for geodesy and cartography. Draft KMS, Vi skal nu udnytte de generelle formler til at finde udtrykket for en kegleprojektion.

9 2.17 Her forlanges røring langs en af parallellerne. Indfører vi vinklen og forlanger at afstanden fra keglens toppunkt er en funktion af bredden alene, så er Vi må nu udregne de afledede med hensyn til x og y. Her er to udregnet; udregn selv de andre: Herefter kan længden og det indre produkt af tangent-vektorerne udregnes, (f' er den afledede af f):

10 2.18 Konformitet kræver nu at vektorerne er lige lange og vinkelrette på hinanden, så og heraf Herefter fastlægges konstanterne c 1, c 2 og c 3, så vi får målestoksforholdet til at passe. Ved at multiplicere med en passende faktor, er det også muligt at få keglen til at skære langs 2 paralleller. De endelige formler svarende til en røringsparallel med bredden 0 (for en kugle) bliver Udfra formlerne for keglen kan man udlede formlerne for Merkators projektion (Tangens ved ækvator) og for Polar-stereografisk projektion, hvor en plan tangerer en af polerne. Formlerne for polar-stereografisk projektion bliver hvor vi har forskudt nulpunktet til skæringspunktet mellem røringsparallellen og midtermeridianen.

11 2.19 Nulpunktsforskydning. Ofte ønsker vi et bestemt punkt ( 0, 0 ) skal afbildes over i kortet som (0,0). Det gøres enklest ved først at afbilde punktet over i kortet i (x 0, y 0 ), og derefter definere den nye afbildning som x' = x - x 0, y' = y - y 0. Eksempel For kegleprojektionen ønsker vi nulpunktet lagt på rørings-parallellen med bredde 0. Dvs. vi skal fratrække afstanden fra keglens toppunkt, Meridiankonvergensen. Vinklen mellem meridian-kurvens billede og Y-aksen (Nord-retningen) kaldes meridiankonvergensen. Vinklen findes i tangentplanen mellem tangenterne til meridianen og til parameterkurven svarende til x = konstant, (v 2 ), som vi har udledt et generelt udtryk for ovenfor. Tangenten til meridianen er

12 2.20 Ved at danne det indre produkt, og dividere med længden af tangenterne får vi cosinus til vinklen, Hvis længden er uafhængig af y, som i Merkators projektion, så ser vi at cos = 1, dvs. = 0. For Transvers-Merkator er x = R f( '), y = R '. Heraf får vi eller meridiankonvergensen er tilnærmet lig med længde-differensen fra midtermeridianen. Ellipsoidiske formler. Ovenfor har vi udledt formler for kortprojektioner fra en kugle til planen. De tilsvarende formler for overgangen fra en ellipsoide til planen, evt. med en "genvej" over en kugle kan udledes uden særlige komplikationer. - Formlerne bliver længere. Mange flere detailler om kortprojektioner, herunder om såkaldte skævaksede findes i Peter Ricardus og Ron K. Adler, Nogle af de følgende illustrationer er kopieret fra denne bog. Danske kortprojektioner. De sædvanlige topografiske kort (4, 2 og 1 cm) er i UTM-projektionen med midtermeridianer med længderne 9 o og 15 o. (Zone 32 og zone 33), se Buchwaldt, Søkort er i Merkators projektion. Dette giver meridianer og paralleller som rette linier. Lambert konform-konisk projektion benyttes for Fly kort (ICAO).

13 2.21 Det Danske koordinatsystem System 34 (se Buchwaldt, 1976) er ikke baseret på nogen kortprojektion i matematisk forstand. Basis er en tilnærmet transversal konform cylinderprojektion (samt 1 for Bornholm). Jorden er regnet kugleformet, baseret på middelkrumningsradius for Hayford-ellipsoiden (a = m, 1/f = 297) i bredden 56 o 08' for Jylland og 55 o 20' for Sjælland. Det trigonometriske punkt Agri Baunehøj har fået koordinaterne (Y, X) = ( 200 km, 200 km), så alle danske koordinater er positive. X - aksen peger mod Nord og Y - aksen peger mod vest. Afbildningen er iøvrigt fastlagt så retningen fra Agri til Lysnet er 24 o 31'14".17. Den er konstrueret så målestoksændringerne er mindre end 50 ppm (part per million) for Jylland og 22 ppm for Sjælland. Den benyttes til alle matrikulære formål. Overgangen fra System 34 Sjælland, Jylland og Bornholm, bygger på kendskabet til koordinater i 2 systemer, nemlig UTM og System 34. Der er konstrueret flere sæt af polynomier, der repræsenterer overgangen fra det ene system til det andet, se Andersson. O. og K.Poder:, Litteratur til kapitel 2. Andersson. O. og K.Poder: Koordinattransformationer ved Geodætisk Institut. Landinspektøren, Årg. 30, s , Bomford. G.: Geodesy. 4. ed., Clarendon Press, Oxford, Buchwaldt, F.: UTM nettet, Opbygning og anvendelse, Geodætisk Institut, 2. oplag Buchwaldt, F.: Den Danske Kortprojektion System Damsk Kartografisk Selskab, Pub. Nr. 5, (Uden år, dog 1976). Grossmann, W.: Geodätische Rechnungen und Abbildungen, Verlag Konrad Wittwer, Ricardus, Peter og Ron K. Adler: Map Projections, North-Holland, 2. ed Pearson II, F.: Map Projections, Theory and Applications.CRC Press, Inc., 1990.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.

2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion. Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane

Læs mere

Kortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Kortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kortprojektioner og forvanskninger Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Juni 2006 Chapter 1 Forord Disse noter er skrevet til landinspektørstudiet ved Aalborg Universitet.

Læs mere

Kortprojektioner L mm Problemformulering

Kortprojektioner L mm Problemformulering Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder

Læs mere

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Kortprojektioner L4 2016 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark

UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 1 Version 1 2017-04-01 Geomatics Notes 1. Version 1, 2017-04-01 Geodætisk systembeskrivelse: UTM/ETRS89: Den

Læs mere

Nyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS

Nyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Nyt om projektioner Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010 Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Indhold Lidt om kortprojektioner generelt DKTM: Hvorfor, hvordan... Web Mercator hvad er det? Kortprojektioner

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

ONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.

ONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig. Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Geodæsi og Geostatistik

Geodæsi og Geostatistik 1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 009. Indhold: 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi?. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater..1 De mange bredder. Enheder.3

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

9940 8848

9940 8848 Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: ca.10:15-12:00 Opgaveregning i grupperummene Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver -

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Indledning og indhold

Indledning og indhold UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2011-maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2011 Htx Sukkertoppen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Find pkt. 26 (den sorte prik i midten af cirklen med tallet "26")

Find pkt. 26 (den sorte prik i midten af cirklen med tallet 26) Kortreference Når man skal angive et steds beliggenhed ved hjælp af hærkort, bruger man en kortreference. Den anvendes, når man skriftligt eller mundtligt skal give meddelelse om "noget" i terrænet - en

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder

Læs mere

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt. Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

System 34. Geodætisk systembeskrivelse. Geomatics Notes 3 Version UDKAST

System 34. Geodætisk systembeskrivelse. Geomatics Notes 3 Version UDKAST System 34 Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 3 Version UDKAST 2017-03-22 Geomatics Notes 3. Version UDKAST, 2017-03-22 Geodætisk systembeskrivelse: System 34 The Geomatics Notes Series is published

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2014-maj 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere