Circuit Theory. A collection of examination problems Magnus Danielsen. NVDRit 2010:09

Transkript

1 1 Circuit Theory A collection of examination problems Magnus Danielsen NVDRit 2010:09

2 2 Heiti / Title Circuit Theory A collection of examination problems Høvundar / Authors Magnus Danielsen Ritslag / Report Type Undirvísingartilfar/Teaching Material NVDRit 2010:09 Náttúruvísindadeildin og høvundurin ISSN Útgevari / Publisher Náttúruvísindadeildin, Fróðskaparsetur Føroya Bústaður / Address Nóatún 3, FO 100 Tórshavn, Føroyar (Faroe Islands) Postrúm / P.O. box 2109, FO 165 Argir, Føroyar (Faroe nvd@setur.fo

3 3 Contents: Abstract June 2006 June 2003 January 2003 April 2002 June 2001 July 2000 June 1999 June 1997 February 1994 June 1993 June 1991 Abstract, English: Circuit Theory - A collection of examination problems The problems have been used for examinations in the course Circuit Theory for students in BSc Electrical Engineering. Abstract, Faroese: Streymrásfrøði - Savn av próvtøkuuppgávum Uppgávurnar hava verið settar til próvtøku í skeiðinum í Streymrásfrøði fyri studentum í BSc ravmagnsverkfrøði.

4 FRÓÐSKAPARSETUR FØROYA (UNVERSITAS FÆROENSIS) Page 1 of 3 pages + 2 appendices Examination: Monday , time: Subject: Circuit Theory (Streymrásfrøði) Helping material permitted: Books, pocket calculator, and writing equipment. Assessment: The solutions will be assessed as a whole Problem 1 Generator a Load impedance E R0 jωl 0 R jx b Fig. 1 Z = R jx In fig.1 a circuit is composed of a sinusoidal generator E = 10 0 o volt (rms) in series with an impedance R 0 + j ωl 0. At the terminals a b a load impedance Z = R jx is connected. It is given that: The cyclic frequency is ω = 2π 50 rad/sec (corresponding to the frequency 50 Hertz), R 0 = 40 ohm, and L 0 = 95.5 mh. 1.1 Determine the maximum average power which can be delivered to the load impedance. 1.2 Determine the values of the resistance R, and the reactance X, when maximum average power is delivered to the load. Is X an inductance or a capacitance. Explain why. Continues next page

5 Problem 2 a Page 2 of 3 pages R A V + + V ab J + V - R R - b Fig. 2 In fig. 2 a circuit is sho wn composed of three resistors of magnitude R, an independent current generator J, and a dependent voltage gernerator with the magnitude A V, where A is a constant, and V is the voltage between the terminals of the current generator. 2.1 Determine an expression for the open circuit voltage V ab between the terminals a and b. Connect now the terminals a and b by a short circuit wire. 2.2 Determine an expression for the short circuit current I sc through the short circuit connecting terminals a and b. We now set R = 1 kiloohm, and J = 5 ma. 2.3 Draw up a Thevenin equivalent circuit as seen from the terminals a and b, and determine the Thevenin voltage Eth, and the Thevenin resistance Rth expressed as a function of A. Determine a value for A, and the corresponding value for E th for which the Thevenin equivalent circuit forms an ideal voltage generator, where R th = 0 ohm. Continues next page

6 Problem 3 C 2 Page 3 of 3 pages E(s) + - R 1 A C 1 B + R 2 OPAMP + V(s) Fig.3 The operational amplifier in the circuit in fig.3 is ideal. The components are given by R 1 = 2 kiloohm, R 2 = 10 kiloohm, C 1 = 1 µf, and C 2 = 5 µf. 3.1 Set up the node equations for the node A, and for the node B, and using these equations, show that the transfer function can be written as: V(s) H(s) = = E(s) s s Determine the poles and the zeros for the transfer function H(s), and plot their positions in the complex s-plane. Is the circuit stable or unstable, and explain why? 2 In the next question, use a step generator at the input with the Laplace transform E(s) = v g /s, with v g = 10 volt. 3.3 Find a matematical expression for the output voltage v(t) as a function of time, and sketch the time elapse for v(t). In the following question a sinusoidal voltage generator with the frequency f = ω/(2π) replaces the input generator E(s). 3.4 Draw a straight line approximation (Bode diagram) of the amplitude plot A(f)=20 log H(j2πf) (in db) as a function of the frequency f. Find the exact values of A(f) at the corner frequencies ( = frequencies corresponding to poles and zeroes). 3.5 Draw a plot of the p hase angle ϕ(f) = H(j2 πf) as a function of the frequency f. (Use the attached appendix 1 and 2 for the drawing of the amplitude and phase plots) End s 4

7 Appendix A m p l i t u d e ( d B ) C y c l i c F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) Frequency (Hz)

8 360 Appendix P h a s e ( d e g r e e s ) Frequency (Hz) C y c l i c F r e q u e n c y ( r a d / s e c )

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25 FRÓÐSKAPARSETUR FØROYA (UNVERSITAS FÆROENSIS) Page 1 of 4 pages + Appendix Examination: Tuesday , time: Subject: Streymrásfrøði (Circuit Theory) Helping material permitted: All usual, including books Assessment: The solutions will be assessed as a whole Problem 1 Fig.1 In the circuit in fig.1 the operational amplifier is ideal. The impedances Z 1 = Z 1 (s), Z 2 = Z 2 (s), Z 3 = Z 3 (s), and Z 4 = Z 4 (s) are functions of the complex Laplace variable s. V o (s) 1.1 Derive the transfer function H(s) = expressed as a function of Z 1, Z 2, Z 3, and Z 4. V i (s) In the following questions the impedances are specified by Z 1 = R 1, Z 2 = R 2 (1/sC 2 ), Z 3 = R 3, and Z 4 = R 4 + 1/(sC 4 ), where the resistances and the capacitances have the values R 1 = 1 kω, R 2 = 9 kω, R 3 = 10 kω, R 4 = 1.1 kω, C 2 = 2 µf, and C 4 = 10 nf. 1.2 Show that the transfer function can be expressed approximately by V o (s) s s H(s) = = V i (s) s s Find the the poles and zeros for H(s), and illustrate in a drawing their position in the complex s-plane. Continues next page

26 In the next question, use at the input a step voltage generator with the Laplace transform of the voltage V i (s) = v g /s, where v g = 1 volt. Page 2 of 4 pages 1.3 Find a mathematical expression for the output voltage v o (t) as a function of time, and draw the time elapse for v o (t). Use the initial and final value theorems to find the values of v o (t) for t 0 +, and for t. Check if these values are in agreement with the expression for output voltage v o (t) found. In the following question the input generator is replaced by a sine generator with the frequency f = ω/(2π), where ω is the cyclic frequency. 1.4 Draw a straight line approximation (Bode diagram) of the amplitude plot A(f) = 20 log H(j2πf) in db as a function of the frequency f. Find the exact values of A(f) at the corner frequencies ( = frequencies corresponding to poles and zeroes). 1.5 Draw a straight line approximation (Bode diagram) of the phase angle plot ϕ(f)= H(j2πf) as a function of the frequency f. (Use the sheet in the attached appendix for the drawing of the amplitude and phase plots) Continues next page

27 Page 3 of 4 pages Problem 2 Z s =R s +1/(jw C s ) I 1 + I 1 M I E s Z V 1 - Z V 1 - L 1 L 2 V 2 - Z L = R L +jw L L Fig.2.1 Fig.2.2 E R 1/(jw C) jw L Fig.2.3 In fig.2.1 a generator with the internal source voltage E s, and the internal impedance Z s supplies the impedance Z with power. The source voltage is harmonic (sinusoidal) with the cyclic frequency ω = 2πf. The internal voltage source has the value The internal impedance is given by E s = 10 0 o volt (rms-value) Z s = R s +1/(jωC s ) = 2 j100 ohm 2.1 Determine the maximum average power P average (active power) that can be delivered to the impedance Z. Determine the corresponding value of Z = Z max. 2.2 Determine the total complex power S complex, and the reactive power Q reactive delivered to the impedance Z = Z max. Continues next page

28 Page 4 of 4 pages The impedance Z as used in fig 2.1 is constructed by a non-ideal transformer as shown in fig The transformer has the following data: The self inductance in the primary winding L 1 = 15 mh The self inductance in the secondary winding L 2 = 400 mh The mutual inductance M = 50 mh The transformer windings have zero resistance, and the magnetic core material is taken to have no power loss. The secondary winding is coupled to a load impedance Z L =R L +jωl L, where L L = 350 mh. In the next questions at high frequencies the approximation ωl 2 >> R L can be used. Also it is assumed that Z = Z max. 2.3 Determine an expression (formula) for the impedance Z = R + jx on the assumption that ωl 2 >> R L, and determine the value of R L. 2.4 Show and explain that the equivalent diagram for the circuit in fig.2.1 with this Z inserted can be redrawn as a resonance circuit, shown in fig.2.3. Determine the values for R, L, and E. 2.5 Determine the values for the resonance frequency f res = (2π) -1 ω res, the capacitance C and of quality factor Q (Q-value) for the resonance circuit. END

29 50 Appendix for problem Amplitude (db) Frequency (Hz) Phase (degrees) Frequency (Hz)

30 FRÓÐSKAPARSETUR FØROYA (UNVERSITAS FÆROENSIS) Side 1 af 3 sider + bilag Eksamen: Onsdag 14.juli 2000, kl Fag: Streymrásfrøði (Kredsløbsteori) Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Vægtning: Opgavesættet vægtes som en helhed Opgave 1 t open = 0 i L (t) + e o + + v C (t) I fig. 1 er opgivet et kredsløb med komponenter, hvor spændingsgeneratoren giver en konstant spænding e o = 1 volt for alle tider 0 < t <. Switchen (afbryderen) U 1 er sluttet for t < 0 og åben for t > 0. Modstandene har værdierne R 1 = R 2 = R 3 = 1 kω. Kondensatoren har størrelsen C = 1 nf, og selvinduktionen har størrelsen L = 0,5 mh. 1.1 Find strømmen i selvinduktionen i L (0 ) og spændingen over kondensatoren v C (0 ) til tiden t = 0. Tegn et s-domæne ækvivalent kredsløb ("s-domain equivalent circuit") med angivelse af Laplaceudtrykkene for alle impedanser og begyndelsesværdigeneratorer. 1.2 Udled et udtryk for den Laplacetransformerede spænding V C (s) over kondensatoren, og vis, at udtrykket kan skrives på formen s + a V C (s) = K s 2 + b 1 s + b 0 Bestem alle konstanterne K, a, b 1 og b 0. Såfremt spørgsmål 1.2 ikke er besvaret, kan man i næste spørgsmål sætte konstanternes værdier til: K = 1 volt, a = sek -1, b 1 = sek -1 og b 0 = sek Bestem tidsfunktionen v C (t), hvis Laplace transformerede er V C (s). Fortsættes næste side

31 Side 2 af 3 sider Opgave 2 E(s) + H(s) + V(s) Den til systemet i fig.2.1 viste overføringsfunktion ( transfer function ), defineret som den Laplace transformerede af impulsresponsen h(t) er opgivet til at være V(s) s 2 (s+300) H(s) = L{h(t)} = = 4, E(s) (s+30) 2 (s s ) 2.1 Bestem alle poler og nulpunkter, og skitser disses placering i det komplekse s-plan. Bestem impulsresponsen h(t) til tiderne t = 0 + og t =. Anvend begyndelsesværdi og slutværdi sætningerne ( initial- and final value theorem ). 2.2 Tegn knækkurveapproximationen ("straight line approximation") for amplitudekarakteristikken som funktion af frekvensen f. Husk at angive talværdier for karakteristiske niveauer og punkter i tegningen. Bestem de eksakte værdier for amplitudekarakteristikkens størrelser ved alle knækfrekvenser ( corner frequencies ), og skitser den eksakte karakteristik på basis heraf og knækkurveapproximationen. (Anvend f.eks. vedlagte bilag til at tegne på). 2.3 Opskriv et formeludtryk for fasekarakteristikken. Tegn knækkurveapproximationen ("straight line approximation") for fasekarakteristikken som funktion af frekvensen f. Husk at angive talværdier for karakteristiske niveauer og punkter i tegningen. Bestem de eksakte værdier for fasekurvens størrelser ved alle nulpunkts- og polfrekvenser, samt i punkterne hvor approximationen har et knæk, og skitser den eksakte fasekarakteristik på basis heraf og knækkurveapproximationen. (Anvend f.eks.vedlagte bilag til at tegne på.) Fortsættes næste side

32 Side 3 af 3 sider Opgave 3 V 0 0 o I A Z G = jx G a Z L =R L +jx L I A ' A + V o I B Z G = jx G b Z L =R L +jx L I B ' B n + V o I C Z G = jx G c Z L =R L +jx L I C ' C + + Z = V AB R +jx Z = + R +jx V CA Z = R +jx V BC + 3-fase Generator 3-faset linie 3-fase belastning Fig.3 Fig.3 viser et trefasesystem, bestående af generatorerne V 0 0 o, V o og V o med indre impedanser Z G = jx G, der er tilsluttet et liniesystem med linieimpedanserne Z L = R L + jx L. Den trefasede belastning består af tre ens impedanser Z = R + jx forbundet i en trekantkobling til de tre punkter A, B og C i forbrugerenden. Følgende data er opgivet: Den cykliske frekvens: Generatorspændings rms værdi: Generatorimpedans: Linieimpedans: Belastningsimpedans: ω = 2π 50 rad/sek. V 0 = 230 volt Z G = jx G = j6 Ω Z L =R L +jx L = 3+j24 Ω Z = R +jx = j800 Ω 3.1 Beregn liniespændingen V AB = V AB ϕ AB (det vil sige rms værdi V AB og vinkel ϕ AB af liniespændingen). Angiv desuden størrelserne for vinklerne ϕ BC og ϕ CA for liniespændingerne V BC og V CA. 3.2 Beregn den komplekse effekt S, den aktive effekt P og den reaktive effekt Q, der afsættes i belastningen (d.v.s. alle belastningsimpedanserne). SLUT

33 Amplitude (db) Frekvens (Hz) Fase (grader) Frekvens (Hz)

34 FRÓÐSKAPARSETUR FØROYA (UNVERSITAS FÆROENSIS) Side 1 af 4 sider + bilag Eksamen: Onsdag 30.juni 1999, kl Fag: Streymrásfrøði (Kredsløbsteori) Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Vægtning: Opgavesættet vægtes som en helhed Opgave 1 J 0 J Y a' a a a' b b' I Fig. 1.1 er opgivet et kredsløb med komponenter med følgende værdier: Strømgeneratoren: J 0 = 5 A 0 o (den opgivne strømstyrke er rms-værdi) Selvinduktionerne: L 1 = 20 mh og L 2 = 5 mh Modstanden : R 1 = 4 ohm Den cykliske frekvens: ω = 2π 50 rad/sek 1.1 Beregn størrelserne for strømgeneratoren J og admittansen Y i Mayer-Norton ækvivalentdiagrammet fig.1.2 svarende til kredsløbet i fig Bestem den maksimale effekt P max, som generatoren kan afgive til en belastning, der tilsluttes udgangsterminalerne a-a'. Terminalerne b-b' i et belastningskredsløb, som vist i fig.1.3, tilsluttes nu til udgangsterminalerne a-a' for generatorkredsløbet. Desuden sættes R 2 =8 ohm. 1.3 Bestem værdierne for C1 og C2 i belastningskredsløbet i fig 1.3. således, at den maksimale effekt P max, som generatorkredsløbet kan afgive, afsættes i R 2. Fortsættes næste side

35 Side 2 af 4 sider Opgave 2 Fig.2.1 I fig.2.1 er opgivet et Laplace transformeret ækvivalent ("s-domain equivalent") kredsløb med to ideelle operationsforstærkere og fire impedanser Z 1, Z 2, Z 3 og Z 4. Kredsløbet gives en indgangsspænding, hvis Laplacetransformerede er E(s). Udgangsspændingen har den Laplacetransformerede V(s). 2.1 Bestem et udtryk for overføringsfunktionen ("transfer function") H(s) = V(s)/E(s) som funktion af de fire impedanser Z 1, Z 2, Z 3 og Z 4. De indgående impedanser sættes til Z 1 = 1/(sC 1 ), Z 2 = R 2 og Z 3 = 1/(sC 3 ) og Z 4 = R 4, hvor kondensatorværdierne er C 1 = 40 nf og C 3 = 1 µf, og modstandsværdierne R 2 = 1 kohm og R 4 = 0,5 kohm. 2.2 Vis, at det fundne generelle udtryk for H(s) med de opgivne oplysninger om de indgående impedanser kan reduceres til s 2 H(s) = s s Find poler og nulpunkter, og angiv disses placering i et komplekst s-plan. Hvad kan der sluttes om systemets stabilitet? Fortsættes næste side

36 Side 3 af 4 sider 2.3 Tegn knækkurve approximationen ("straight line approximation") for kredsløbets amplitudekarakteristik som funktion af frekvensen f. (Anvend f.eks.vedlagte bilag til tegningen.) Beregn eksakt størrelse og frekvensplacering af amplitudekarakteristikkens største værdi. 2.4 Find et formeludtryk for fasekarakteristikken. Skitser fasekarakteristikken ved angivelse af assymptoter for f 0 og f, samt fasekurvens værdi og hældning i frekvenspunkterne svarende til nulpunkter og poler. (Anvend f.eks.vedlagte bilag til tegningen.) Herefter sættes E(s) = 1/s svarende til, at generatorens tidsfunktion er en trinfunktion ("step function") u(t). 2.5 Bestem funktionsudtrykket for tidsvariationen af udgangsspændingen v(t), hvis Laplacetransformerede er V(s). Fortsættes næste side

37 Side 4 af 4 sider Opgave 3 I A V AN Z Y =R Y +jx Y I A ' V AN Z Y =R Y +jx Y + A + A n + I B V BN Z Y =R Y +jx Y B I C V CN Z Y =R Y +jx Y N n + I B ' V BN C Z Y =R Y +jx Y B I C ' V CN C C Z Y =R Y +jx Y N + C + C Fig.3.1 Fig.3.2 En trefaset belastning er som vist i fig.3.1 tilsluttet de tre faser A, B og C, samt belastningens neutrale punkt (nulpunkt) N i en stjernekobling. Følgende data er opgivet: Fasespændingerne i tilslutningspunkterne er (alle spændinger er opgivet i rms værdier) V AN = 230 volt 0 o V BN = 230 volt -120 o V CN = 230 volt +120 o Den cykliske frekvens er ω = 2π 50 rad/sek. Den aktive effekt (active power), der optages af belastningen er P = 10 kw. Effektfaktoren (power factor) pf = cos ϕ = 0,8 og 0<ϕ <90 o I kredsløbet fig.3.1 nævnes liniestrømmene I A, I B og I C. Man ønsker nu at formindske liniestrømmenes nummeriske værdi mest muligt ved at koble tre ens kondensatorer med kapaciteten C mellem faserne som vist i fig.3.2. Herved ændres liniestrømmene til I A ', I B ' og I C '. 3.1 Bestem størrelsen af kapaciteten C, der giver minimum for den nummeriske værdi I A ' for liniestrømstyrken. Bestem det hertil svarende forhold I A ' / I A mellem den nummeriske størrelser for liniestrømmen I A ' med den fundne kapacitet C indkoblet og den oprindelige liniestrøm I A uden C. SLUT

38 BILAG TIL OPGAVE 2

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59