Seminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Seminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012"

Transkript

1 Seminar 1 Regularitet og Automater 28/ Jesper Gulmann Henriksen

2 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion + Øvelser dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

3 3 Regularitet og Automater Formål med kurset: At præsentere matematiske teknikker og centrale begreber, der anvendes i datalogi rekursive definitioner, induktionsbeviser formelle sprog modeller for beregnelighed regularitet ( egenskaber som generelt kendetegner beregningsprocesser i it-systemer med begrænset mange tilstande ) fundament for andre kurser Beregnelighed og Logik, Oversættelse, Statisk Analyse, Software Verifikation, Kombinatorisk Søgning, Concurrency,...

4 Tekstgenkendelse Specificere og genkende tekststrenge søgning i tekster (Unix grep) leksikalsk analyse i oversættere (flex) HTML input validering (PowerForms)... Konkret anvendelse af regulære udtryk og endelige automater 4

5 HTML-formularer HTML formularer indeholder input-felter, hvor brugeren kan indtaste tekststrenge Eks.: datoer telefonnumre CPR-numre adresser URL er... 5

6 6 HTML input-validering Brugeren må ikke indtaste ugyldige strenge Den traditionelle løsning: Programmér input validering i JavaScript (til browseren så input valideres løbende mens formularen udfyldes), og Java (til serveren for det tilfælde at browseren ikke udfører JavaScript-koden) Problemer: det er svært at programmere JavaScript, der virker på alle (nyere) browsere vi skal skrive den samme kode i to forskellige sprog store dele af koden skal skrives igen og igen...

7 Den datalogiske løsning 1. Analysér problemområdet 2. Design et domæne-specifikt højniveau sprog 3. Lav en oversætter, der genererer JavaScript- og Javakoden fra højniveau-specifikationer Sproget PowerForms er udviklet efter denne metode input-felter beskrives med regulære udtryk, der oversættes til endelige automater 7

8 Regulære udtryk Et alfabet er en endelig mængde af tegn En streng er en endelig sekvens af tegn fra alfabetet Et sprog er en mængde af strenge Et regulært udtryk beskriver et (potentielt uendeligt) sprog: Ø den tomme mængde af strenge mængden bestående af den tomme streng a mængden bestående af en enkelt streng, som er det ene tegn a fra alfabetet 8 r 1 +r 2 de strenge der beskrives af r 1 eller r 2 r 1 r 2 de strenge der kan opdeles i to dele, så venstre del beskrives af r 1 og højre del af r 2 r* de strenge der kan opdeles i et antal dele, der hver beskrives af r

9 Eksempler på regulære udtryk Gyldige datoer, telefonnumre, CPR-numre, adresser, URL er,... Strenge over alfabetet ={0,1} af lige længde: 9 ( )* eller: ((0+1)(0+1))* Strenge over alfabetet ={0,1} med ulige antal 1 er: 0*10*(10*10*)* eller: 0*1(0*10*1)*0* eller:...

10 Et mere realistisk eksempel Floating-point tal (i Pascal): alfabet: ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,.,E} eksempler på gyldige strenge: E forkortelser: d d + d*d s +++- samlet udtryk: sd + (.d + +.d + Esd + + Esd + ) 10

11 Genkendelse af strenge Givet et regulært udtryk r og en streng x, hvordan undersøger vi om x matcher r? Den naive løsning: Vi prøver os frem, afhængigt af strukturen af r Ø matcher intet matcher kun den tomme streng a matcher kun strengen a r 1 +r 2 matcher x hvis r 1 eller r 2 matcher x r 1 r 2 opdel x så x=x 1 x 2 på alle mulige måder, check om der eksisterer en opdeling så r 1 matcher x 1 og r 2 matcher x 2 r* opdel x så x=x 1 x 2...x n på alle mulige måder, check om der eksisterer en opdeling så r matcher x i for alle i=1...n Det virker! men er håbløst ineffektivt... 11

12 Endelige automater En endelig automat, der genkender strenge over alfabetet ={0,1} med ulige antal 1 er: Automaten læser strengen ét tegn ad gangen, fra venstre mod højre Hver tilstand repræsenterer en viden om den læste delstreng Hvis automaten ender i en accept-tilstand, så accepteres(=genkendes) strengen 12 1

13 Kleenes sætning Regulære udtryk og endelige automater har samme udtrykskraft Konstruktive beviser: ethvert regulært udtryk kan oversættes til en ækvivalent endelig automat enhver endelig automat kan oversættes til et ækvivalent regulært udtryk Formelle beviser kræver formelle definitioner 13

14 PowerForms-eksempel Lad R være et regulært udtryk, der svarer til gyldige datoer på form dd/mm-åååå Oversæt R til en ækvivalent endelig automat F Repræsenter F som et JavaScript-program, der kan svare på om en streng x er accepteret ikke accepteret, men der er en sti til accept ikke accepteret og ingen sti til accept 14

15 PowerForms-eksempel 29/02 29/ /date.html 15

16 Endelige automater til modellering af systemer Endelige automater er også nyttige uden regulære udtryk Endelige automater kan modellere systemer og egenskaber De teoretiske resultater om endelige automater kan bruges til at kombinere modeller og verificere om et givet system har en given egenskab 16

17 Verifikation En endelig automat, der modellerer en togsimulator (fra VisualSTATE): 1421 del-automater transitioner 2981 inputs 2667 outputs 3204 lokale tilstande ialt antal tilstande: Virker toget? 17

18 Beregnelighed Input PROGRAM Output Input og Output er strenge PROGRAM er en algoritme, der kører på en maskine Eks.: Givet et naturligt tal N som input, maskinen beregner N 2 som output 18

19 Beslutningsproblemer Input PROGRAM ja/nej Hvis vi ignorerer effektivitet, så kan ethvert beregningsproblem omformuleres som et beslutningsproblem Eks.: Givet to naturlige tal N og M som input, maskinen svarer ja hvis og kun hvis M=N 2 19

20 Beslutningsproblemer og sprog Ethvert beslutningsproblem P er et sprog: L = { de strenge x, hvor svaret på P er ja } Ethvert sprog L er et beslutningsproblem: P: er input x i L? 20

21 Eksempler på beslutningsproblemer Givet en streng, er den en gyldig dato på form dd/mm-åååå? er den et syntaktisk korrekt Java program? er den et primtal? er den en konfiguration i skak hvor det er muligt for hvid at vinde? er den et semantisk korrekt Java-program? er den en syntaktisk korrekt sætning i dansk? er den en litterær klassiker? vi vil kun se på formelle sprog og veldefinerede problemer 21

22 Endelige automater som model for beregnelighed Vi vil studere følgende emne: Hvilke problemer kan afgøres af en maskine med endeligt meget hukommelse? Med andre ord: Hvilke sprog kan genkendes af endelige automater? 22

23 Mere generelle modeller for beregnelighed Turing-maskiner: endelige automater med adgang til en uendeligt stor notesblok kan udføre vilkårlige algoritmer (Church-Turing-tesen) formel udtrykskraft som f.eks. Java og C Pushdown-automater: endelige automater med adgang til en vilkårligt stor stak (last-in-first-out) anvendes ofte i parsere i oversættere udtrykskraft imellem endelige automater og Turingmaskiner 23

24 Klasser af formelle sprog klassen af alle sprog (over et givet alfabet) de rekursivt enumerable sprog (svarer til Turing-maskiner) de regulære sprog de endelige sprog 24 de kontekstfri sprog (pushdown-automater)

25 Hvorfor nøjes med endelige automater? Klassen af regulære sprog har mange pæne egenskaber: afgørlighed (f.eks, givet en endelig automat M, accepterer M nogen strenge overhovedet? ) lukkethed (fællesmængde, forening,...) Til sammenligning: Ved Turing-maskiner er næsten alt uafgørligt Pushdown-automater / kontekstfri grammatikker: en mellemting, både med udtrykskraft og afgørlighedsegenskaber 25

26 26 Uafgørlighed Her er et lille program: while (x 1) { if (even(x)) x = x/2; else x = 3*x+1; } Terminerer programmet for alle input x>0? Ja eller nej? Tilsyneladende ja, men ingen har endnu bevist det! Men vi kan bevise, at der ikke findes et program (=en Turingmaskine), der kan afgøre det generelle problem givet et program P, terminerer P på alle input?

27 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion + Øvelser dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

28 Praktiske oplysninger om kurset Kursushjemmeside gautevu12 Seminarer Lørdag d. 28. januar Nygaard-192 Lørdag d. 11. februar Nygaard-192 Lørdag d. 3. marts Nygaard-192 Underviser 28 Jesper Gulmann Henriksen

29 Materiale John Martin Introduction to Languages and the Theory of Computation 4. udgave, McGraw-Hill, supplerende materiale på kursets hjemmeside 29

30 Aktivitet Forventet aktivitet pr. uge = 15 timer 3 x 7 timers seminarer = 21 timer i alt 6 uger á 15 timer pr. uge = 90 timer i alt Tid mellem seminarer = 69 timer i alt Forventet hjemmearbejde 11 timers hjemmearbejde pr. uge Der forventes, at man Læser de angivne kapitler i bogen Løser opgaverne Afleverer de 3 obligatoriske opgaver 30

31 Opgaver Teoretiske opgaver Udfordrer forståelsen af det gennemgåede materiale Øvelse i typisk datalogisk matematik Programmeringsprojekt (dregaut Java-pakken) Implementation af de gennemgåede algoritmer, der udledes af konstruktive beviser Supplement til teoretiske opgaver Øvelse i Java-programmering 31

32 Eksamen Onsdag d. 21. marts 2012 Mundtlig, ekstern censur, 7-trinsskalaen 20 min. per person, uden forberedelsestid For at kunne indstilles til eksamen skal man have godkendt besvarelser af de obligatoriske opgaver Eksamenspørgsmålene er på hjemmesiden 32

33 Eksamen Formålet med kurset er at den studerende skal opnå følgende kompetencer: definere den basale terminologi (strenge, sprog, klasser af sprog, samt basale operationer på disse). beskrive basale abstrakte sprogformalismer (regulære udtryk, endelige automater, regulære grammatikker, kontekstfri grammatikker) - fra intuitivt niveau og konkrete eksempler til formel notation og generelle definitioner. beskrive egenskaber ved formalismerne, bl.a. ækvivalens, begrænsninger og beslutningsprocedurer. forklare og udføre algoritmer, der oversætter mellem formalismerne eller afgør beslutningsproblemer - fra konkrete eksempler til generelle og formelle beskrivelser. bevise og analysere egenskaber ved formalismerne (ved hjælp af konstruktive beviser og induktionsbeviser) - fra intuitivt niveau til formelle detaljer. Eksamen vil vurdere i hvor høj grad kursisten besidder disse kompetencer 33

34 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion + Øvelser dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

35 Alfabeter, strenge og sprog Et alfabet er en endelig mængde (af tegn/symboler) eks.: ={a,b,c} En streng x er en endelig sekvens af tegn fra alfabetet eks.: x=abba repræsenterer den tomme streng (strengen af længde 0), Et sprog L er en mængde af strenge eks.: L={,cab,abba} * er mængden af alle strenge over dvs. L * hvis L er et sprog over eks.: hvis ={a,b,c} så er *={,a,b,c,aa,ab,ac,aaa,aab,...} 35

36 Konkatenering af strenge Hvis x,y *, så er x y (konkateneringen af x og y) den streng, der fremkommer ved at sætte tegnene i x før tegnene i y Eks.: hvis x=abb og y=a, så er x y=abba y x=aabb Bemærk: x = x=x for alle x x y skrives ofte xy (uden ) 36

37 Konkatenering af sprog Hvis L 1,L 2 *, så er L 1 L 2 (konkateneringen af L 1 og L 2 ) defineret ved L 1 L 2 = {x y x L 1 y L 2 } Eks.: Hvis ={0,1,2,a,b,c} og L 1 ={,10,212} L 2 ={cab,abba} så er L 1 L 2 ={cab,10cab,212cab,abba,10abba,212abba} Bemærk: L { } = { } L = L for alle L L Ø = Ø L = Ø for alle L L 1 L 2 skrives ofte L 1 L 2 (uden ) 37

38 Kleene stjerne L k = LL L konkatenering af k forekomster af L L 0 = { } L* = U i=0... L i (Kleene stjerne af L) L + = L*L 38

39 Rekursive definitioner En definition er rekursiv, hvis den refererer til sig selv Eks.: Fibonacci f: 1 hvis n=0 eller n=1 f(n) = f(n-1)+f(n-2) ellers Enhver selv-reference skal referere til noget mindre og føre til endeligt mange selv-referencer 39

40 En rekursiv definition af strenge x er en streng over alfabetet, dvs. x *, hvis x =, eller x = y a hvor y * og a (underforstået: * er den mindste mængde, der opfylder dette) Eksempel: abc = ((( a) b) c) * (hvor ={a,b,c,d}) 40

41 Syntaks af regulære udtryk Mængden R af regulære udtryk over er den mindste mængde, der indeholder følgende: Ø a for hver a (r 1 +r 2 ) hvor r 1,r 2 R (r 1 r 2 ) hvor r 1,r 2 R (r*) hvor r R 41

42 Rekursive strukturer Tænk på en rekursiv struktur (f.eks. et regulært udtryk eller en streng) som en træ-struktur Eksempel: Det regulære udtryk (a+((b*)c)) svarer til: a + * c b Eksempel: Strengen baa svarer til: a a 42 b

43 43 Semantik af regulære udtryk Sproget L(r) af et regulært udtryk r defineres i strukturen af r : L(Ø) = Ø L( ) = { } L(a) = {a} L( (r 1 +r 2 ) ) = L(r 1 ) L(r 2 ) L( (r 1 r 2 ) ) = L(r 1 )L(r 2 ) L( (r*) ) = (L(r))* L( ) = L((Ø*)), så vi kan opfatte som en forkortelse for (Ø*)

44 Regulære sprog Definition: Et sprog S er regulært hvis og kun hvis der eksisterer et regulært udtryk r hvor L(r)=S 44

45 Parenteser i regulære udtryk Forening og konkatenering er associative, så vi vælger at tillade f.eks. at (a+(b+c)) kan skrives a+b+c at (a(bc)) kan skrives abc Vi definerer præcedens for operatorerne: * binder stærkest konkatenering binder middel + binder svagest eks.: (a+((b*)c)) kan skrives a+b*c 45

46 Eksempel Betragt følgende regulære udtryk r over alfabetet {0,1}: r = (1+ )001 På grund af parentesreglerne er dette det samme som r = ((((1+ )0)0)1) Så sproget for r er L(r) = ((({1} { }){0}){0}){1}) = {1001,001} 46

47 Quiz! 1. Hvad er et sprog? 2. Hvad betyder {a,bc}*? 3. Hvad er betingelsen for at et sprog S er regulært? 47

48 Øvelser Regulære udtryk [Martin, Opg. 3.2] [Martin, Opg. 3.7 a) e)] Opg. S1.1 (på hjemmesiden)

49 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

50 Reverse-operatoren Givet en streng x *, definer reverse(x) i strukturen af x: reverse( ) = reverse(ya) = a(reverse(y)) hvor y *, a Eksempel: reverse(123) =... =

51 Reverse på sprog Givet et sprog L *, definer Reverse(L) = { reverse(x) x L } Eksempel: Hvis L={,123,abc} så er Reverse(L)={,321,cba} 51

52 Rekursive definitioner og induktionsbeviser Rekursive definitioner giver ofte anledning til induktionsbeviser Hvis vi skal bevise noget på form for alle X gælder P(X), hvor mængden af X er er defineret rekursivt, så kan vi prøve bevisteknikken induktion i strukturen af X 52

53 Strukturel induktion Vi skal bevise noget på form for alle X gælder P(X), hvor mængden af X er er defineret rekursivt Enhver af X erne er opbygget ved et endeligt antal anvendelser af reglerne fra den rekursive definition nogle X er er atomare resten er sammensatte af mindre X er Induktionsprincippet: Bevis at 1. hvis X er atomar, så gælder P(X) basis 2. hvis X er sammensat af X 1,,X n, induktions-skridtet så gælder P(X) under antagelse af, induktionsat P(X 1 ),,P(X n ) gælder hypotesen Hvis begge dele kan bevises, så gælder P(X) for alle X 53

54 Et induktionsbevis Påstand: Hvis S er et regulært sprog, så er Reverse(S) også regulært (dvs. de regulære sprog er lukkede under Reverse) Bevis: S er regulært, så der eksisterer et regulært udtryk r så L(r)=S Vi vil vise ved induktion i strukturen af r, at der eksisterer et regulært udtryk r hvor L(r )=Reverse(L(r)), hvilket medfører, at Reverse(S) er regulært 54

55 Basis r = Ø: vælg r = Ø L(r ) = Ø = Reverse(Ø) = Reverse(L(r)) r = a hvor a : vælg r = a... 55

56 Induktionsskridt For alle deludtryk s af r kan vi udnytte induktionshypotesen: der eksisterer et regulært udtryk s hvor L(s )=Reverse(L(s)) r = r 1 +r 2 hvor r 1,r 2 R : vælg r = r 1 +r 2 hvor r 1 og r 2 er givet af i.h.... r = r 1 r 2 hvor r 1,r 2 R : vælg r = r 2 r 1... r = r 1 * hvor r 1 R : vælg r = (r 1 )* Lemma 1: x,y *: reverse(xy)= reverse(y)reverse(x) bevis: induktion i strukturen (eller længden) af y Lemma 2: i 0,E *: Reverse(E i ) = (Reverse(E)) i bevis: induktion i i

57 Konstruktive beviser Bemærk at dette induktionsbevis indeholder en algoritme til givet et regulært udtryk for S at konstruere et regulært udtryk for Reverse(S) Sådanne beviser kaldes konstruktive Husk altid både konstruktionen og beviset for dens korrekthed 57

58 Algoritme Input: et regulært udtryk r Definer en rekursiv funktion REV ved: REV(Ø) = Ø REV(a) = a, hvor a REV(r 1 +r 2 ) = REV(r 1 ) + REV(r 2 ) REV(r 1 r 2 ) = REV(r 2 ) REV(r 1 ) REV(r 1 *) = (REV(r 1 ))* Output: det regulære udtryk REV(r) 58

59 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

60 Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk: deklarative dvs. ofte velegnede til at specificere regulære sprog Endelige automater: operationelle dvs. bedre egnet til at afgøre om en given streng er i sproget Ethvert regulært udtryk kan oversættes til en endelig automat og omvendt (bevises ved Seminar 2...) 60

61 En endelig automat En endelig automat, der genkender strenge over alfabetet ={0,1} med ulige antal 1 er: Automaten læser strengen ét tegn ad gangen, fra venstre mod højre Hvis automaten ender i en accept-tilstand, så accepteres(=genkendes) strengen 1 61

62 At køre en streng på en automat Eksempel: vi vil vide om strengen 1010 accepteres Vi starter i starttilstanden og læser strengen Vi ender i en ikke-accept tilstand, så strengen accepteres ikke 62

63 Hvad repræsenterer tilstandene? Hver tilstand repræsenterer en viden om den hidtil læste delstreng Eksempel: X Y 1 X: der er læst et lige antal 1 er Y: der er læst et ulige antal 1 er 63

64 Formel definition af endelige automater En endelig automat (finite automaton/fa) er et 5-tupel (Q,, q 0, A, ) hvor Q er en endelig mængde af tilstande er et alfabet q 0 Q er en starttilstand A Q er accepttilstande : Q Q er en transitionsfunktion 64

65 Eksempel Denne grafiske repræsentation af en automat: X Y 1 svarer til 5-tuplet (Q,, q 0, A, ), hvor Q = {X,Y} = {0,1} q 0 = X A = {Y} : Q Q er denne funktion: tilstand input 0 1 X X Y Y Y X 65

66 Hvorfor en formel definition? Den formelle definition viser kort og præcist hvad en FA er For eksempel, en FA har endeligt mange tilstande den har præcis én starttilstand en vilkårlig delmængde af tilstandene kan være accepttilstande for enhver tilstand q og alfabetsymbol a er der én udgående transition (til tilstanden (q,a)) der er ikke noget krav om, at alle tilstande kan nås fra starttilstanden 66

67 Sproget af en automat 5-tupel-definitionen fortæller hvad en FA er Vi vil nu definere hvad en FA kan: En FA accepterer en streng, hvis dens kørsel fra starttilstanden ender i en accepttilstand Sproget L(M) af en FA M er mængden af strenge, den accepterer M genkender sproget L(M) 67

68 Formel definition af L(M) Givet en FA M=(Q,, q 0, A, ), definer den udvidede transitionsfunktion *: Q * Q ved *(q, x) = q ( *(q, y), a) hvis x= hvis x=ya hvor y * og a x * accepteres af M hvis og kun hvis *(q 0, x) A Definer L(M) = { x * x accepteres af M } 68

69 Quiz! Lad ={a,b}. Tegn en FA M så L(M) = * a,b 2. L(M) = Ø a,b a 3. L(M) = {a} b a,b a,b a b L(M) = { x * n a (x) lige og n b (x) ulige } n a (x): ad hoc notation for antal a er i strengen x b a b b a a

70 Øvelser Endelige automater [Martin, Opg. 2.2 e)] [Martin, Opg. 2.3 a) b)] [Martin, Opg. 2.1 a) c)]

71 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion + Øvelser dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

72 Skelnelighed Givet et sprog L, hvor mange tilstande er nødvendige i en FA M hvis L(M)=L? To strenge, x og y, skal ende i forskellige tilstande, hvis der er behov for at kunne skelne dem dvs. z *: (xz L yz L) (xz L yz L) *(q 0, x) *(q 0, y) 72

73 73 Definition af skelnelighed Lad L * og x,y * x og y er skelnelige mht. L hvis z *: (xz L yz L) (xz L yz L) Alternativ definition (som i bogen): Kvotientsproget L/x defineres som L/x = { z * xz L } dvs., x og y er skelnelige mht. L hvis L/x L/y z skelner x og y mht. L hvis z L/x - L/y eller z L/y - L/x

74 Eksempel Hvis L = { s {0,1}* s ender med 10 } x = 00 y = 01 så er x og y skelnelige mht. L Bevis: z = 0 skelner x og y dvs. hvis (Q,, q 0, A, ) genkender L så er *(q 0, x) *(q 0, y) 74

75 Nødvendigt antal tilstande i en FA Antag x 1, x 2,..., x n * og for ethvert par x i,x j, i j er x i og x j skelnelige mht. L Enhver FA der genkender L har mindst n tilstande Bevis (skitse): antag FA en har færre end n tilstande det medfører at i j: *(q 0, x i )= *(q 0, x j ) modstrid med at x i og x j er skelnelige mht. L 75

76 Eksempel 1: En stor automat Lad L 42 = { x {0,1}* x 42 og det 42. symbol fra højre i x er et 1 } Lad x 1, x 2,..., x 2 42 være alle strenge af længde 42 over alfabetet {0,1} Disse strenge er alle parvist skelnelige mht. L 42 En automat der genkender L 42 har derfor mindst 2 42 tilstande (...hvis den overhovedet findes) 76

77 Eksempel 2: palindromer Lad pal = { x {0,1}* x=reverse(x) } Lad x og y være to vilkårlige forskellige strenge over {0,1} x og y er skelnelige mht. pal (bevis: se bogen...) Vi kan altså finde en vilkårligt stor mængde parvist skelnelige strenge, så pal er ikke regulært 77

78 Forening af regulære sprog Givet to regulære sprog, L 1 og L 2 er L 1 L 2 også regulært? Ja! (dvs. klassen af regulære sprog er lukket under forening) 78

79 M 1 : (strenge med lige antal 0 er) Eksempel 1 X Y M 2 : A 1 (strenge der ender med 0) 1 0 B M: L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) 79 1 XA XB YA YB 1

80 Produktkonstruktionen Antag vi har to FA er: M 1 = (Q 1,, q 1, A 1, 1 ) M 2 = (Q 2,, q 2, A 2, 2 ) Definer en ny FA: M = (Q,, q 0, A, ) hvor Q = Q 1 Q 2 q 0 = (q 1, q 2 ) A = { (p, q) p A 1 q A 2 } ((p, q), a) = ( 1 (p, a), 2 (q, a)) Der gælder nu: L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) 80 produktmængden af tilstande

81 Konstruktivt bevis for korrekthed Lemma: x *: *((p, q), x) = ( 1 *(p, x), 2 *(q, x)) (Bevis: opgave 2.11, induktion i x) Brug lemmaet samt definitionerne af M og L( ) 81

82 Nøjes med opnåelige tilstande Produktkonstruktionen bruger Q = Q 1 Q 2 I praksis er hele tilstandsrummet sjældent nødvendigt Eksempel: 1 0 M X Y 1 : M 2 : A B M: L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) XA 1 XB YA 1 YB Kun tilstande, der er opnåelige fra starttilstanden er relevante for sproget! (Bevis: opg.) 82

83 Fællesmængde og differens Givet to regulære sprog, L 1 og L 2 1. er L 1 L 2 også regulært? 2. er L 1 -L 2 også regulært? Ja! (dvs. klassen af regulære sprog er lukket under fællesmængde og differens) Bevis: produktkonstruktion som ved men for, vælg A = { (p, q) p A 1 q A 2 } for -, vælg A = { (p, q) p A 1 q A 2 } 83

84 Givet et regulære sprog R Komplement er R (Rs komplement) også regulært? Ja! (dvs. klassen af regulære sprog er lukket under komplement) Bevis 1: Vælg L 1 = * og L 2 = R, hvorved R = L 1 -L 2 Bevis 2: Givet en FA M = (Q,, q 0, A, ) hvor L(M)=R Definer M = (Q,, q 0, Q-A, ) Derved gælder at L(M )=R (hvorfor?) 84

85 Eksempel M: 1 XA YA (strenge med lige antal 0 er eller ender med 0) 1 XB 0 0 YB M : L(M ) = (L(M)) (strenge med ulige antal 0 er og ender ikke med 0) 1 XA XB YA YB 1 85

86 Øvelser Produktkonstruktion [Martin, Opg. 2.10]

87 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion + Øvelser dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

88 dregaut.regexp Java-repræsentation af regulære udtryk Speciel syntaks: # betyder Ø % betyder Alfabetet angives som en mængde af Unicode-tegn Eksempel: ((a+ )cbc)* skrives som ((a+%)cbc)* 88

89 dregaut Java-pakken Udleverede programdele: FA.java: repræsentation af FA er Alphabet.java State.java StateSymbolPair.java AutomatonNotWellDefinedException.java: hjælpeklasser til FA.java 89

90 FA.java public class FA { public Set<State> states; public Alphabet alphabet; public State initial; public Set<State> accept; public Map<StateSymbolPair,State> transitions; }... // Q // // q 0 Q // A Q // : Q Q et Alphabet objekt indeholder mængde af Character objekter et StateSymbolPair objekt består af et State objekt og et Character objekt 90

91 Nyttige metoder i FA.java FA() - konstruerer uinitialiseret FA objekt FA(Alphabet a) - konstruerer FA for det tomme sprog clone() - kloner et FA objekt checkwelldefined() - undersøger om FA objektet repræsenterer en veldefineret FA getnumberofstates() - returnerer størrelsen af states settransition(state q, char c, State p) - tilføjer en c transition fra q til p todot() - konverterer FA objekt til Graphviz dot input (til grafisk repræsentation) 91

92 Obligatorisk Opgave 1 Detaljer kan ses på hjemmesiden Studér de udleverede programdele Repræsentation af FA er Yderligere udleverede metoder: delta(), deltastar(), complement() Implementér FA-metoder accepts(), intersection(), union(), minus() Opbyg en FA og eksporter den grafisk

93 Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion + Øvelser dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

94 Automater til modellering og verifikation Eksempel: en jernbaneoverskæring Tre komponenter: et tog krydser vejen kommunikerer med kontrolsystemet et kontrolsystem styrer bommen en bom Sikkerhedsegenskab: bommen er altid nede, når toget krydser vejen 94

95 Modellering af systemet TOG approach KONTROLSYSTEM approach BOM lower exit cross raise lower raise down exit up 95 Begivenheder: approach: toget nærmer sig cross: toget krydser vejen exit: toget forlader området lower: besked til bommen om at gå ned raise: besked til bommen om at gå op down: bommen går ned up: bommen går op

96 Modellering som FA er Eksempel: lower, raise, down, up approach lower, raise, down, up M TOG = cross, exit exit cross lower, raise, down, up, approach, cross, exit approach, cross lower, raise, down, up approach, exit definer accepttilstande tilføj loop-transitioner så komponenterne får samme alfabet tilføj crash-tilstand og ekstra transitioner så transitionsfunktionen bliver total 96

97 Kombination af komponenterne Vi er interesseret i de sekvenser af begivenheder, der opfylder alle komponenterne Produktkonstruktion: L(M) = L(M TOG ) L(M KONTROL ) L(M BOM ) 97

98 Modellering af sikkerhedsegenskaben bommen er altid nede, når toget krydser vejen up, approach, exit, lower, raise down cross, down, approach, exit, lower, raise S = cross up cross, down, up, approach, exit, lower, raise 98

99 Verifikation Korrekthed: L(M) (L(S)) = Ø dvs. vi skal bruge produktkonstruktion (igen) komplement algoritme til at afgøre om sproget for en given FA er tomt (Seminar 3) hvis L(M) (L(S)) Ø: enhver streng i L(M) (L(S)) svarer til 99 et modeksempel (algoritme: Seminar 3)

100 Verifikation med dregaut-pakken Opbyg FA-objekter svarende til M TOG, M KONTROL, M BOM, og S Kombiner med FA.intersection() og FA.complement() Brug FA.isEmpty() og FA.getAShortestExample() Resultat: modeksempel: approach lower down up cross 100

101 Resumé Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion og Beviser Frokost Endelige Automater + Øvelser Skelnelighed og Produktkonstruktion dregaut-pakken Case Study: Modellering og Verifikation

102 Løsninger på udvalgte øvelser Martin, Opg. 2.2 e) Sproget bestående af strenge, der udgøres af konkatenationer af delstrengene ab eller ba, dvs. (ab + ba)^*

103 Løsninger på udvalgte øvelser Martin, Opg. 2.3 a) Det kræver 6 tilstande b) Det kræver n+2 tilstande Hvert præfiks af x og en streng af længde n+1 er alle indbyrdes skelnelige

104 Løsninger på udvalgte øvelser Martin, Opg. 3.2 a) aa b) ab c) a d) aba

105 Løsninger på udvalgte øvelser Martin, Opg. 3.7 a) b*ab*ab* b) (a + b)*a(a + b)*a(a + b)* c) + a + b + (a + b)*(aa + ba + bb) d) (aa + bb)(a + b)* + (a + b)*(aa + bb) e) (b + ab)*( + a)

106 Løsninger på udvalgte øvelser Opg. S1.1 a) Sproget bestående af alle strenge med et ulige antal b er b) Sproget bestående af alle strenge af længde 3n eller 3n+1 for et naturligt tal n

107 Løsninger på udvalgte øvelser Opg. S1.2 De 2 første er lovlige. Den sidste har et '%' for meget til sidst. Opg. S1.3 Alle 3 strenge er lovlige (nr. 3 dog kun hvis man ignorerer referencerne til RFC2821 om lovlige domain-navne).

Regularitet og Automater

Regularitet og Automater Plan dregaut 2007 Regularitet og Automater Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske oplysninger om kurset Ugens emner Introduktion til ugens opgaver 2 Regularitet og Automater Formål med kurset: at

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Martin Geisler. Uge 49, 2001

Martin Geisler. Uge 49, 2001 Min dintprog-browser Martin Geisler Uge 49, 2001 Resumé Dette dokument beskriver tankerne bag min dintprog-browser, en browser skrevet i Java der skal kunne fortolke en mindre delmængde af HTML 4, kaldet

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Indhold 1 Compilerens opbygning 2 Leksikalsk analyse 3 Grammatikker 4 LL-parsing 5 LR-parsing 6 Det abstrakte syntaks-træ 7 Attribut-grammatikker

Indhold 1 Compilerens opbygning 2 Leksikalsk analyse 3 Grammatikker 4 LL-parsing 5 LR-parsing 6 Det abstrakte syntaks-træ 7 Attribut-grammatikker Indhold 1 Compilerens opbygning 4 1.1 Compilerensfunktion... 4 1.2 Fasericompileringen... 4 1.3 TinyogC-... 7 2 Leksikalsk analyse 9 2.1 Strengeogsprog... 9 2.2 Regulæreudtryk... 10 2.3 Deterministiskeendeligeautomater...

Læs mere

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ DM502 Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ 1 DM502 Bog, ugesedler og noter De første øvelser Let for nogen, svært for andre Kom til øvelserne! Lav opgaverne!

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Skriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 5. januar 2011

Skriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 5. januar 2011 Skriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 5. januar 2011 Version 1.1 af 2011-01-28 Dette eksamenssæt har 7 sider. Tjek med det samme at du har alle siderne. Eksamens varighed er 4 timer. Der er fire

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

Kursusarbejde 2 Grundlæggende Programmering

Kursusarbejde 2 Grundlæggende Programmering Kursusarbejde 2 Grundlæggende Programmering Arne Jørgensen, 300473-2919 klasse dm032-1a 31. oktober 2003 Indhold 1. Kode 2 1.1. hotel.h.................................................... 2 1.2. hotel.cc...................................................

Læs mere

FSFIs lynguide til DFRs elektronisk bevissystem

FSFIs lynguide til DFRs elektronisk bevissystem FSFIs lynguide til DFRs elektronisk bevissystem Dette er en kort guide i anvendelsen af Dansk Førstehjælpsråd elektroniske bevissystem. Guiden viser og forklarer hvordan du som instruktør og medlem af

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Induktion

BOSK F2011, 1. del: Induktion P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

CV for Lasse Nielsen

CV for Lasse Nielsen CV for Lasse Nielsen Lasse Nielsen 16. marts 2008 Personlig Data Mit navn er Lasse Nielsen, jeg er født den 17 Juni 1981 på Holbæk sygehus. Min adresse er Rektorparken 18, 7. tv. (Lokal 073) 2450 København

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser 3/10/96 Seminaret den 26/10 vil omhandle den sidste fase af analysen og de første skridt i kodegenereringen. Det drejer sig om at finde betydningen af programmet, nu hvor leksikalsk og syntaktisk analyse

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL

PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL Uge 1 & 2 Det basale: Det primære mål efter uge 1 og 2, er at få forståelse for hvordan AMP miljøet fungerer i praksis, og hvordan man bruger PHP kodesproget til at

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

1. HVAD ER HOT POTATOES? 2. HVAD BESTÅR HOT POTATOES AF? 3. HVAD KOSTER HOT POTATOES? 4. SOFTWARE- OG HARDWAREKRAV.

1. HVAD ER HOT POTATOES? 2. HVAD BESTÅR HOT POTATOES AF? 3. HVAD KOSTER HOT POTATOES? 4. SOFTWARE- OG HARDWAREKRAV. Hot Potatoes 1. Hvad er Hot Potatoes?...2 2. Hvad består Hot Potatoes af?...2 3. Hvad koster Hot Potatoes?...2 4. Software- og hardwarekrav...2 5. Versioner....3 6. Indstillinger...3 Ny, Åbn, Gem, Gem

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Encoding:...1 Et tegn sæt (character set):...1 UTF-8 og UTF-16 (Unicode):...2

Encoding:...1 Et tegn sæt (character set):...1 UTF-8 og UTF-16 (Unicode):...2 Encoding:...1 Et tegn sæt (character set):...1 UTF-8 og UTF-16 (Unicode):...2 Encoding: Vi har tidligere set på spørgsmålet om et XML dokuments encoding. Det er generelt altid en god ide at gemme et dokument

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Daglig brug af JitBesked 2.0

Daglig brug af JitBesked 2.0 Daglig brug af JitBesked 2.0 Indholdsfortegnelse Oprettelse af personer (modtagere)...3 Afsendelse af besked...4 Valg af flere modtagere...5 Valg af flere personer der ligger i rækkefølge...5 Valg af flere

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

BAAN IVc. Brugervejledning til BAAN Data Navigator

BAAN IVc. Brugervejledning til BAAN Data Navigator BAAN IVc Brugervejledning til BAAN Data Navigator En udgivelse af: Baan Development B.V. P.O.Box 143 3770 AC Barneveld Holland Trykt i Holland Baan Development B.V. 1997. Alle rettigheder forbeholdes.

Læs mere

SmartFraming Et vindue til nationale sundhedssystemer. Version 3.0

SmartFraming Et vindue til nationale sundhedssystemer. Version 3.0 SmartFraming Et vindue til nationale sundhedssystemer Version 3.0 Infrastruktur i dagens sundheds IT Det sundhedsfaglige personale benytter sig i dag af en række forskellige systemer i forbindelse med

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Manual til opsætning af Jit-klient version 2.0. Opsætning. Copyright Jit-Danmark ApS 2008. Find mere information på www.jitbesked.

Manual til opsætning af Jit-klient version 2.0. Opsætning. Copyright Jit-Danmark ApS 2008. Find mere information på www.jitbesked. Opsætning 1 Indholdsfortegnelse Sådan finder du indstillingerne...3 Generelt...5 Brugerstyring...6 Brugerstyring Enkeltbruger-system(standard)...7 Brugerstyring Flerbruger-system med Logon...8 Brugervedligeholdelse

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Kontraktbaseret Design. Anker Mørk Thomsen

Kontraktbaseret Design. Anker Mørk Thomsen Kontraktbaseret Design Anker Mørk Thomsen 5. marts 2014 -2 Kontraktbaseret Design Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 9788740491500 Forord Bogen er blevet til gennem undervisning i faget Kontraktbaseret

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Objektorienteret design med arv og polymorfi:

Objektorienteret design med arv og polymorfi: Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Objektorienteret design med arv og polymorfi: Substitutionsprincippet Composite Design Pattern Finn Nordbjerg Side 1 Objektorienteret

Læs mere

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller.

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Flowchart Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Et godt program til at tegne flowcharts med er, EDGE-Diagrammer, eller Smartdraw.

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Introduktion til C programmering

Introduktion til C programmering Introduktion til C programmering Rasmus Erik Voel Jensen Uge 17 voel@math.ku.dk Dagens forelæsning Formalia Indledende programmering, main, include, printf, variable, scanf, if-else, statements, eksempler

Læs mere

Tidsregistrering. Jacob E., Jacob H., Mathias, Mads H., Jonatan og Dan 3.4. Informationsteknologi B. Roskilde Tekniske Gymnasium 25-11-2014

Tidsregistrering. Jacob E., Jacob H., Mathias, Mads H., Jonatan og Dan 3.4. Informationsteknologi B. Roskilde Tekniske Gymnasium 25-11-2014 2014 Tidsregistrering Jacob E., Jacob H., Mathias, Mads H., Jonatan og Dan 3.4 Informationsteknologi B Roskilde Tekniske Gymnasium 25-11-2014 Indholdsfortegnelse 1 Indledning... 3 2 User stories... 3 3

Læs mere

Håndbog Til CPR services. Bilag 8 GCTP-standard m.m. CPR-kontoret

Håndbog Til CPR services. Bilag 8 GCTP-standard m.m. CPR-kontoret Håndbog Til CPR services Bilag 8 GCTP-standard m.m. CPR-kontoret Datavej 20, Postboks 269, 3460 Birkerød E-post: cpr@cpr.dk. Telefax 45 82 51 10. Hjemmeside: www.cpr.dk Side 2 af 14 Indholdsfortegnelse

Læs mere

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002 Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Medfødt grammatik. Chomskys teori om sprogtilegnelse efterlader to store stridspunkter i forståelsen af børnesprog:

Medfødt grammatik. Chomskys teori om sprogtilegnelse efterlader to store stridspunkter i forståelsen af børnesprog: Medfødt grammatik I slutningen af 1950 erne argumenterede lingvisten Noam Chomsky for, at sprogets generativitet måtte indeholde nogle komplekse strukturer. Chomskys argumentation bestod primært af spørgsmålet

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Limitations in Formal Systems and Languages

Limitations in Formal Systems and Languages Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Afsnittet er temmelig teoretisk. Er du mere til det praktiske, går du blot til det næste afsnit.

Afsnittet er temmelig teoretisk. Er du mere til det praktiske, går du blot til det næste afsnit. Afsnittet er temmelig teoretisk. Er du mere til det praktiske, går du blot til det næste afsnit. XML (eng. extensible Markup Language) XML er en måde at strukturere data på i tekstform. På samme måde som

Læs mere

5. Retorik; skrive taler, hvor man inddrager argumentation og de forskellige appelformer.

5. Retorik; skrive taler, hvor man inddrager argumentation og de forskellige appelformer. Skrivekompetencer Genrebevidsthed 1. Reproduktion: a. Lad elever reproducere genrer, fx i forbindelse med processkrivning. Eleverne kan bruge en eksemplarisk tekst (fx en undersøgelse, artikel etc.) som

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Produkt Modellering & Load til Microsoft Dynamics NAV

Produkt Modellering & Load til Microsoft Dynamics NAV Produkt Modellering & Load til Microsoft Dynamics NAV Send data fra et CAD-system, modellér de ønskede produktionsdata, og opret herefter stamdata automatisk i Dynamics NAV. Formål: Hovedformålet med PM&L

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

En note om Programmering

En note om Programmering En note om Programmering Kurt Nørmark Institut for Datalogi Aalborg Universitet normark@cs.aau.dk Resumé Denne note er en introduktion til programmering. Formålet er at give dig et indblik i hvad programmering

Læs mere

FRA USECASE TIL TESTCASE HP TEST BRUGERKONFERENCE, 10. APRIL 2014

FRA USECASE TIL TESTCASE HP TEST BRUGERKONFERENCE, 10. APRIL 2014 FRA USECASE TIL TESTCASE HP TEST BRUGERKONFERENCE, 10. APRIL 2014 LIDT OM MIG SELV Erfaring NIELS-HENRIK HANSEN 35+ års samlet IT erfaring 15+ år som test manager Certificeret Inspection Leader ISEB Foundation

Læs mere

Retningsliner for etwinning værktøjer

Retningsliner for etwinning værktøjer Retningsliner for etwinning værktøjer Registrer til etwinning Trin 1: Deltagerens data Trin 2: Twinning præferencer Trin 3: Skole data Trin 4: Skole profil TwinFinder Automatisk søgning Gem søgning Avanceret

Læs mere

Poly. - Javapakke til behandling af polynomier

Poly. - Javapakke til behandling af polynomier Poly - Javapakke til behandling af polynomier z 3 x y x 2 3 x -3 Skrevet af Susanne Nykjær Knudsen, John Thystrup Jensen, Jens Lykke Brandt, Troels C. Damgaard, Jacob W. Winther og Mikkel Bundgaard Vejleder:

Læs mere

DKAL Snitflader Afsendelse og modtagelse af meddelelser via S/MIME

DKAL Snitflader Afsendelse og modtagelse af meddelelser via S/MIME DKAL Snitflader Afsendelse og modtagelse af meddelelser via S/MIME 1 Indholdsfortegnelse B.1. INTRODUKTION... 3 B.1.1. HENVISNINGER... 3 B.1.2. INTEGRATION MED EKSISTERENDE SIKKER E-POSTLØSNING... 3 B.1.3.

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere