To trafikmodeller. Jens Lund Tornbjerg Gymnasium

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "To trafikmodeller. Jens Lund Tornbjerg Gymnasium"

Transkript

1 To trafikmodeller af Jens Lund Tornbjerg Gymnasium Indledning Dette er en rapport om et undervisningsforløb, der er gennemført i en 2.g-matematikerklasse i det 3- årige forløb til A-niveau ifølge bekendtgørelsen af maj Undervisningsforløbet er et led i kurset med titlen: Problemorienteret projektarbejde inden for matematisk modellering udbudt af IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Dette kursus er blevet afviklet i foråret Problemet, som behandles i forløbet, kan næppe kaldes autentisk i gængs forstand, idet problemet blev opstillet med afsæt i en traditionel matematikopgave. Den undren, som elevernes forskellige resultater af opgaven gav anledning til, blev udnyttet til at belyse visse aspekter af modelleringsprocessen. Som det vil fremgå af rapporten skærpede det elevernes interesse for projektet, at problemet voksede ud af det daglige arbejde. I denne forstand var problemet i høj grad autentisk. Intentioner med projektet For mit eget vedkommende er projektarbejdsformen i faget matematik et relativt uopdyrket område, hvorimod jeg udmærket kender til det i forbindelse med faget fysik. De overordnede formål med forløbet var derfor A) i almindelighed at afprøve egen praksis med henblik på problemorienteret projektarbejde i faget matematik og B) i særdeleshed at undersøge hvorvidt det valgte forløb egnede sig til at lade eleverne arbejde på egen hånd med læreren i en tilbagetrukket konsulentrolle. Eleverne var bekendte med min deltagelse i kurset som den direkte anledning til dette problemorienterede arbejde, men var i øvrigt ikke orienterede om de overordnede formål med projektet. Hvad angår eleverne, så kan intentionerne for elevernes udbytte af projektet i stikordsform udtrykkes ved to kompetencer: 1

2 C) Modelleringskompetence. D) Problembehandlingskompetence. For at indkredse C) lidt nøjere, så nævnes det her, at det var tanken, at forløbet skulle introducere modelleringsbegrebet med særlig fokus på udvalgte dele af modelleringsprocessen. Der følger yderligere et par kommentarer til disse intentioner for elevernes udbytte efter en kort beskrivelse af projektets baggrund. Projektets baggrund Ideen til projektet har sin baggrund i en opgave, som klassen havde arbejdet med umiddelbart før dette kursus om projektarbejde inden for matematik begyndte. Klassen havde regnet en opgave fra Vejledende eksempler på eksamensopgaver i matematik, matematisk linje 3-årigt forløb til A- niveau, (Matematiklærerforeningen 1998) nemlig opgave Da opgaven spiller en vis rolle for det følgende, gengives den her: Opgave I en trafikanalyse indgår følgende model for antallet N(v) af biler, der pr. minut kan passere en bro: Nv ( ) = 17v 0, 008v + 0, 2v + 4 2, hvor v (km/time) er den fart, bilerne kører med. Bestem den fart, der ifølge modellen tillader flest biler at passere broen pr. minut. Opgaven lægger op til at anvende standardteknik til at optimere N, hvilket de fleste elever også lykkedes fint med. I et par af besvarelserne havde der imidlertid indsneget sig en banal regne- eller skrivefejl med den konsekvens, at N '(v) viste sig at være positiv for alle v. På denne baggrund konkluderede de pågældende elever, at N måtte være en monotont voksende funktion af farten v, og selv om man i besvarelserne kunne spore en fornuftig skepsis rettet mod denne konklusion, accepteredes resultatet: Højere hastighed betyder flere biler over broen. Ved denne lejlighed nåede vi ikke at behandle dette problem særlig meget, men det var imidlertid tydeligt, at nagede problemet ikke ligefrem eleverne, så havde det dog vakt deres nysgerrighed. I kursets idéfase under et udmærket gruppearbejde blev det klart for mig, at denne situation, som tilfældigt var opstået, måtte kunne udnyttes til at præsentere eleverne for matematisk modellering. Sagen er jo, at der faktisk er to modeller i spil her: Dels opgavens model dels (hos nogle elever) en ikke-formuleret model, der ligger som en støtte bag accepten af det fejlagtige resultat. Ved at samle opmærksomheden om disse forhold syntes det på forhånd ikke umuligt at opnå følgende effekter ved projektet: 2

3 1) En forståelse af, at de forudsætninger og antagelser, der ligger bag en matematisk model, har afgørende betydning for de konklusioner, man kan drage ved hjælp af modellen. Vejen til en sådan indsigt skulle bestå i produktion af to modeller for brokørsel med forskellige konklusioner. 2) Matematisering i modelprocessen. I dette forløb kommer matematiseringen ind i billedet i form af de formler, der skal udledes. 3) Modelkritik. Umiddelbart er der tale om den modelkritik, som er nødvendig for at forkaste den ikke-formulerede model, men også den model, der omtales i opgave 5.034, kan undersøges med henblik på begrænsninger. 4) At opleve et eksempel på matematik i anvendelse med den pointe, at eleverne selv gennemfører anvendelsen, blandt andet ved at foretage konsekvensberegninger på baggrund af modellen. Og her er faktisk mere på spil end blot det at opdage nytteværdien ved anvendelsen af et stykke matematik, nemlig også den indsigt, at matematiske modeller faktisk opstilles på baggrund af ræsonnementer af forskellig art, de er ikke naturgivne, men kan tværtimod udsættes for analyse og spørgsmål om baggrund, forudsætninger osv. 5) Et ønske, som muligvis er mere fromt end realistisk, om at den netop omtalte indsigt i matematiske modeller kunne overføres til arbejdet med matematik i det hele taget og altså give den indsigt, at matematiske udsagn netop er af en sådan beskaffenhed, at man kan og bør gå dem efter i sømmene. Program for projektet Med de beskrevne intentioner vendte jeg tilbage til klassen, som blev mindet om opgave og de overvejelser, den havde sat i gang. Ved at rette opmærksomheden mod ordet model i opgaven var det ikke svært sammen med eleverne at nå frem til, at vi her var ved sagens kerne. For at fastholde de to modeller i brændpunktet og for at lette elevernes tilgang til den egentlige projektopgave blev forløbet organiseret i to afdelinger. Første afdeling gik ud på, at klassen i grupper på tre elever straks skulle begynde at opbygge to modeller for brokørsel, idet de blev præsenteret for følgende Lille projekt Der skal fremstilles to modeller, dvs. der skal opstilles og udledes to udtryk for N(v), antallet af biler, der pr. minut kan passere en bro, som funktion af bilernes fart, v. Den ene model skal underbygge konklusionen: N er en voksende funktion af v. Den anden model skal underbygge konklusionen i opgave Disse modeller skal beskrives i en rapport, der svarer til 1,5 hjemmeopgavesæt. En del af arbejdet er derfor at nedskrive, hvilke antagelser, der gøres, hvordan formlerne udledes og hvordan konklusionerne opnås. 3

4 Gruppeinddelingen var foretaget på forhånd ud fra et ønske om at danne grupper på tværs af de tre 1.g-klasser, hvorfra klassen er dannet, altså en overvejelse af social art, der i øvrigt ikke er specielt knyttet til dette forløb. Denne første afdeling af arbejdet blev påbegyndt onsdag den 30. marts og fortsatte dagen efter. Her blev eleverne præsenteret for programmet for den resterende del af forløbet. Det så således ud: Program Torsdag den 31. marts (3 moduler): Arbejdet i grupper påbegyndes. Tirsdag den 5. april (6 moduler): modul: Arbejdet i grupperne fortsættes. 6. modul: Lynkursus i matematiske modeller modul: Arbejdet i grupperne fortsættes. Onsdag den 6. april (3 moduler): modul: Arbejdet i grupperne afsluttes, rapporten færdiggøres. Rapporten afleveres torsdag den 7. april. Længden af de nævnte moduler er ½ time. Lynkurset om modeller (tirsdag den 5. april) bestod i en mere formel beskrivelse af matematiske modeller, og det blev afviklet på et tidspunkt, hvor eleverne allerede havde prøvet kræfter med modelleringsopgaven i form af det Lille projekt. Efter dette lille kursus kunne anden afdeling af projektarbejdet gå i gang ved at den endelige problemformulering for projektet blev udleveret til hver af grupperne. Den følger nedenfor, men først et par kommentarer til den. Man kan lægge mærke til, at det Lille projekt indgår som en del af projektopgaven i form af opstillingen af de to modeller a) og b). I et forsøg på at simulere et autentisk problem skulle eleverne bruge deres opstillede modeller til at undersøge trafikforhold på Storebæltsbroen. Dette indebar, at eleverne fremskaffede og undersøgte talmateriale, der beskriver trafikforhold ved broen. Man kan på internetadressen www. storebaelt.dk få forskellige oplysninger om, hvor mange biler, der passerer broen ligesom det er muligt at skaffe oplysninger om hastighedsbegrænsninger på broen under dårlige vindforhold (det er tanken med de vindforhold, der er nævnt i problemformuleringen). Det var en del af opgaven, at eleverne selv skulle søge disse oplysninger. Her følger så projektopgaven: 4

5 Projektopgave Projektet går ud på at behandle følgende problem: Har Storebæltsbroen kapacitet til at sørge for en jævn trafikstrøm, også i spidsbelastede perioder under dårlige vindforhold? For at tage hul på dette problem skal man opstille to matematiske modeller for antallet af biler, N(v), der pr. minut kan passere broen: a) En model, der underbygger konklusionen, at N er voksende. b) En model, der underbygger konklusionen, at N har en størsteværdi. Behandlingen af problemet skal ske ud fra model b). Gruppen skal aflevere en rapport over arbejdet. Denne rapport skal indeholde følgende elementer: 1) Opstilling af modellerne, dvs. en præcisering af de forudsætninger, som gruppen lægger til grund for modellerne og udledninger af de nødvendige formler. Modellerne skal præsenteres i rapporten! gerne på flere måder: ved hjælp af formler, ved hjælp af grafer, eller.... 2) Ved at udnytte den opstillede model b) skal man behandle spørgsmålet i den indledende problemstilling. Talmateriale, der danner baggrund for besvarelsen, skal fremlægges i rapporten. 3) Modelkritik. Det er indbygget i modelbegrebet, at der foretages afgrænsninger og idealiseringer, som er nødvendige for at kunne behandle det pågældende virkelighedsområde. Modelkritik vil så sige, at man skal gå ind på, hvilke begrænsninger, der ligger i hver af modellerne, hvilke forhold tager modellerne ikke hensyn til osv. Og hvordan kunne modellerne eventuelt forbedres, således at denne kritik kunne imødegås? Rapporten skal stiles til jeres kammerater. Det betyder, at det hele skal forklares så grundigt, at en person, som ikke på forhånd kender noget til sagen, kan forstå rapporten. Rapporten afleveres senest torsdag den 7. april. Problemformuleringen var altså fuldstændig lærerstyret. Til gengæld var resten af arbejdet lagt aldeles frit ud til eleverne. Det gjaldt udledningerne af formlerne, fastlæggelsen af parametre, der indgår i formlerne, og med hensyn til at skaffe sig trafikale oplysninger om Storebæltsbroen. Forløbet var designet til kun at vare i alt ca. 7 klokketimer. Det viste sig dog nødvendigt at udvide tidsrammen med ca. 1½ time. 5

6 Hvordan gik det så? Det korte svar er, at det faktisk gik fint. En udfoldning af det korte svar følger herunder. Ideen med at lade en opgave, der havde kastet et spørgsmål opstået i forbindelse med elevernes arbejde med opgaven af sig, viste sig at være en effektiv indgang til at arbejde problemorienteret. Eleverne tog uden videre problemet til sig, og jeg kunne kun konstatere, at der blev arbejdet ivrigt med projektet i grupperne. Dette arbejde faldt, så vidt som jeg, som tilbagetrukken konsulent, kunne iagttage, i fire forskellige faser, der hver for sig kan fortjene en kommentar. Disse kommentarer inddrager foruden mine egne observationer enkelte af de kommentarer, som eleverne gav i forbindelse med en evaluering af projektet; i næste afsnit Evaluering af forløbet kan man læse om de spørgsmål, jeg stillede eleverne i denne sammenhæng. Begyndelsen til projektet var altså en udledning af to formler og en præcisering af hvilke forudsætninger, man måtte gøre for at kunne udlede dem. Denne fase af arbejdet viste sig naturligt nok at være besværlig for eleverne. Det er tydeligt i elevernes evalueringer, at denne indledende periode, hvor man endnu kun er i gang med så at sige at opdage eller afgrænse problemerne, er blevet opfattet som lidt uoverskuelig. En sådan opfattelse hænger vel naturligt sammen med problemorienteret arbejde og tilstedeværelsen af en indledende uoverskuelig periode må høre med til et succeskriterium for, om et problem er af passende sværhedsgrad, når eleverne vel at mærke også oplever at komme fornuftigt igennem med deres egen løsning. Som et eksempel på en indledende afgrænsning refereres her en del af en samtale mellem eleverne indbyrdes i en gruppe og en henvendelse til læreren(l). Samtalen er en (forkortet) rekonstruktion efter hukommelsen, men skulle i store træk gengive indholdet: Elev 1: Men broens længde må da betyde noget for, hvor mange biler der kommer over. Kender vi længden af broen? Elev 2: Nej, det gør vi ikke. Elev 1: Men hvis nu broen er meget lang, således at det tager meget lang tid for bilerne at komme over, så må der da komme færre over. Elev 2: Jo, men man tæller vist op ved at holde øje med, hvor mange biler der passerer broen i den ene ende. Men hastigheden må selvfølgelig betyde noget. Elev 1: Og sikkerhedsafstanden! Elev 2: Ja, for hvis hastigheden vokser, så vil sikkerhedsafstanden også vokse, så hvis hastigheden bliver meget høj, så vil der næsten ingen biler komme over, fordi sikkerhedsafstanden skal være meget stor. Elev 1 (henvendt til læreren): Skal der være nogen begrænsninger i bilernes fart i modellen? L: Tjah, nu er det jo jeres model, så hvad ville I mene? Elev 1: Nåh, hastighedsbegrænsninger. 6

7 Ved samtaler af denne art foretog grupperne en afgrænsning af problemet, en afgrænsning, som er nødvendig for at kunne gå i gang med en løsning af problemet. På dette punkt bidrager projektet altså til at give eleverne problembehandlingskompetence. Den slags overvejelser, som eleverne tvinges ud i her, adskiller sig også fra de overvejelser, som den oprindelige opgave lægger op til. Der er ingen tvivl om, at disse overvejelser af eleverne på den ene side blev opfattet som besværlige, men at de på den anden side også var et kærkomment eksempel på anvendelsen af matematik; en elev taler i evalueringen om, at problemer af denne art kræver mere fantasi. Næste fase i arbejdet bestod i at udlede formler for N(v) på baggrund af de forudsætninger for de to modeller, man var nået frem til i grupperne. Udtrykket for N(v) er af denne form: Nv ( ) = v av + bv + c 2, hvor a, b og c er parametre, som skal fastlægges i modellen. Her repræsenterer c længden af en bil og i sikkerhedsafstanden av 2 + bv indgår parametre, der har med bremselængde og reaktionslængde at gøre. Det var interessant at konstatere, at hvor én gruppe (her kaldet gruppe I) først udleder den simple model a) (se projektopgaven på side 5) og bruger den som trædesten for den mere realistiske model b), så vælger en anden gruppe (som kaldes gruppe II) at gå den modsatte vej ved at betragte model a) som en speciel udgave af model b) med en konstant sikkerhedsafstand. I begge tilfælde støtter arbejdet med den ene model altså arbejdet med den anden. Den førstnævnte gruppe har vel her opdaget, at man ved udledning af en formel undertiden kan komme igennem ved at betragte en enklere situation først, mens den anden har set en fordel i at betragte en mere generel situation og dernæst betragte et særtilfælde. Disse forhold dokumenteres her ved at citere uddrag fra to rapporter: Gruppe I: Vi begynder med at udlede den første model, da vi mener at vi ud fra den kan udlede den anden. 1.model I de to modeller er bilernes længde l = 4m. Vi antager at bilerne kører så tæt, at mellemrummet mellem dem ikke tages i betragtning. For at finde ud af, hvor mange biler, k 1, der kan være på broen, deler vi længden af broen, L, angivet i meter, med længden af bilerne, l, også målt i meter, og ganger med antallet af vejbaner, a. Her spiller andre faktorer også ind, men dem udelader vi i denne model. La l k = 1 Dette er væsentligt, fordi antallet af biler på broen er en af faktorerne der bestemmer antallet af biler, der passerer broen per sekund. Vi skal finde ud af hvor lang tid i minutter én bil er om at passere broen. Her skal vi bruge bilens hastighed, v, der måles i m/min, og længden af broen, L, herved får vi: 7

8 t = L v Vi finder nu antallet af biler der passerer broen på et minut, ved hastigheden v. Denne funktion betegnes N(v). Den afhænger af hvor mange biler der kan være på broen, k 1, og hvor hurtigt én bil kan passere broen. k1 Nv ( ) = = t La v = l L va l Diskussion: Man kan ikke regne med denne model, fordi der ikke er taget højde for færdselsreglerne. Derfor er modellen ikke realistisk. Man kan ikke regne med den i den virkelige verden. Herefter opbygges model 2 ved at l i det udledte udtryk for N(v) erstattes med en længde, der inddrager såvel bremse- som reaktionslængde. Hertil kommer nødvendige omregningsfaktorer, således at v kan måles i km/t. Gruppe II begynder med at tilvejebringe et udtryk for f (v), sikkerhedsafstanden, som funktion af bilernes hastighed v. De når frem til udtrykket (hvor bilens længde er medregnet): 2 f ( v) = 0, 0067v + 0, 2785v + 4, hvor v måles i km/t og sikkerhedsafstanden i meter. Herefter forsættes rapporten med: Antallet af biler, der kan være på Storebæltsbroen, kan findes ved at dividere broens længde, L, med f (v). Dette giver følgende funktion: lv ( ) = L 0, 0067v + 0, 2785v + 4 2, hvor L måles i m og v i km/t. Herefter bestemmes det, hvor lang tid det tager en bil at passere broen: L pv ( ) = 027, v, hvor L måles i m, v i km/t og p(v) kommer ud i sekunder. Vi ganger med 027, for at lave hastigheden, målt i km/t, om til m/s. Ved hjælp af disse formler kan følgende formel udledes. Ved hjælp af denne formel kan det udregnes, hvor mange biler, der kommer over broen pr. sekund. lv () Nv ( ) = = pv ( ) 027, v 2, hvor v er hastigheden målt i km/t. 0, 0067v + 0, 2785v + 4 Dette omregnes til biler pr. minut: 8

9 Nv ( ) = 027, v 60 16, 6v = 0, 0067v + 0, 2785v + 4 0, 0067v + 0, 2785v Herefter vender gruppe II sig mod: Model 1 Vi sætter sikkerhedsafstanden til at være 4m. Fra det ovenstående kan vi derfor hurtigt nå frem til: 16, 6v Nv ( ) = = , v. En detalje viste sig drilagtig for eleverne, nemlig spørgsmålet om at få enhederne til at stemme, idet farten, der optræder som inddata i modellen, rimeligvis skal måles i km/time, mens sikkerhedsafstanden måles i meter. De overvejelser, som eleverne herved blev drevet ud i, er næppe hverdagskost i matematikundervisningen, hvor enhedsproblematikken ofte nedtones. Til gengæld bidrog overvejelser af denne art til at gøre problemet realistisk. I øvrigt kunne man iagttage, hvordan eleverne efterhånden brugte analyser af enhederne som et redskab ved udledningen af formlerne. Et andet aspekt ved udledningen drejede sig om fastlæggelse af parametre i udtrykket for sikkerhedsafstanden av 2 + bv. Her blev der benyttet regneark til at bestemme parametrene ud fra oplysninger om sammenhæng mellem bremselængde og hastighed. En gruppe fandt disse oplysninger på en internetadresse. At sikkerhedsafstanden var et sådant andengradsudtryk byggede for en anden gruppes vedkommende på elevernes viden fra teori-undervisningen i forbindelse med deres køreprøver. Tredje fase i arbejdet gik ud på at anvende modellen til at besvare et konkret spørgsmål, altså at undersøge konsekvensberegninger af modellen. En gruppe indfører antallet af kørebaner i deres model og er dermed tæt på et eksempel på anvendelse af en model, der kan danne baggrund for en trafikpolitisk beslutning (om antallet af kørebaner). Udfærdigelsen af rapporterne udgjorde sidste fase i arbejdet. Rapporterne viste sig at være ganske velskrevne, men bar (forståeligt nok) alligevel præg af, at dette er en uvant form for skriftlig matematik for eleverne. Det gælder især med hensyn til diskussionen af modellernes begrænsninger og parametrenes betydning for modellerne, her var der mest tale om opremsninger. Det virker som om rapporterne på dette punkt ikke spejler den fornuftige proces, der var gået forud. Denne sidste fase blev derfor udvidet med en lille gennemskrivning af rapporterne efter en diskussion i grupperne på baggrund af lærerens kommentarer. En sådan gennemarbejdning af en større opgave er vel i øvrigt i sig selv en god øvelse med henblik på senere skriftlige arbejder. Evaluering af forløbet Foruden den evaluering, man som lærer altid ledsager et forløb med, foranstaltede jeg en lille undersøgelse blandt eleverne. Den havde følgende udformning 9

10 Evaluering af projekt i 2mMA Om formen (det praktiske): Stikord: Gruppearbejde kontra ikke gruppearbejde, selvvalgte/ikke selvvalgte grupper, mange moduler samlet, Om det faglige: Stikord: Fagligt udbytte ved projektarbejdsformen?... Forslag til forbedringer/ændringer: Foruden de henvisninger til denne evaluering, som allerede er blevet nævnt, skal her nævnes, at eleverne synes enige om, at - projektet udgjorde en spændende afveksling i den daglige matematikundervisning, - det var fint, at grupperne var dannet på forhånd, - sammenhængende moduler er en fordel ved denne slags projekter. Ud over dette var der udbredt tilfredshed med at arbejde i grupper, for så kan man styrke hinandens forslag, som det hedder i en elevkommentar. Flere elever udtrykker tilfredshed med dels at koble matematikken sammen med hverdags ting dels med det forhold, at man her har opstillet sin egen formel ; der er med andre ord tale om, at arbejdsformen har styrket fornemmelsen af at have taget det behandlede emne og den hertil nødvendige matematik i besiddelse. Som forslag til forbedringer af forløbet nævnes, at grupperne kunne fremlægge deres resultater for hinanden og derudover er der enkelte elever, som gerne havde set lynkurset om modellering placeret tidligere i forløbet. Min vurdering af om intentionerne (C) og D), se side 2) for elevernes udbytte blev indfriet bygger på processen under forløbet og elevernes rapporter. Som allerede nævnt i afsnittet Hvordan gik det så? side 6 har dette forløb bidraget til elevernes problembehandlingskompetence. Med hensyn til modelleringskompetence drejer det sig først og fremmest om de effekter 1), 2) og 3), som er nævnt i afsnittet Projektets baggrund (se side 3). Der er ingen tvivl om, at der er opnået positive resultater, når det drejer sig om punkterne 1) og 2); her er intentionerne blevet indfriet. Svagere i billedet står punkt 3), der drejer sig om modelkritik. På den ene side kan eleverne uden videre afvise model a) på bekostning af model b), men man kan frygte, at denne afvisning er så oplagt, at udbyttet af den herved opnåede erkendelse ikke er så stort. På den anden side indeholder elevernes rapporter ikke systematiske overvejelser, endsige gennemregnede eksempler, om sammenhængen mellem vejforhold og den nødvendige tilpasning af parametre og betydningen heraf for modellens resultater. Det var indbygget i problemformuleringen, at der skulle trækkes resultater ud af modellen for at besvare et konkret spørgsmål. Den side af sagen fungerer tilfredsstillende; en gruppe har endda 10

11 betragtninger om et worst case scenario, hvor trafikanterne passerer broen inden for korte tidsrum (af forskellig varighed). På side 3 nævnes et par effekter, 4) og 5), som egentlig først kan observeres i forbindelse med det fremtidige arbejde med matematiske modeller og matematik i almindelighed, men elevernes arbejde under hele forløbet og deres kommentarer i evalueringen giver begrundet håb om, at disse effekter viser sig på længere sigt. Vurderingen af om de overordnede formål med projektet er blevet opfyldt, farves naturligvis af de helt overvejende positive resultater, som ovenstående evaluering er et udtryk for. Med andre ord er jeg ikke i tvivl om, at problemorienteret projektarbejde i matematik har meget for sig, jeg har i hvert fald fået smag for mere af det samme. Ser man på positive sider ved det konkrete forløb, kan man hæfte sig ved, at problemet åbenbart har en passende sværhedsgrad, således at det udgør en udfordring, men en udfordring, som eleverne kan tage op ved på egen hånd at nå frem til fornuftige resultater. Det kan udgøre et problem ved forløbet at bede om en udledning af en model, der allerede foreligger, her i form af opgave 5.034, idet det måske bliver for styrende for elevernes indsats. Man kan sige, at eleverne i dette projekt stiger ind i modelleringsprocessen på en lidt speciel måde, så forløbet her kan næppe stå alene, men bør nok betragtes som en introduktion. Med fordel kunne det følges af et forløb, hvor man udøver modelleringsprocessen helt fra bunden med et (selvvalgt) problem. For den aktuelle klasse vil det ske senere i forbindelse med differentialligningsmodeller. Forløbet set i fremtidens perspektiv Anledningen til dette forløb var en tilfældighed. Alene af denne grund er det måske vanskeligt at udlede noget eksemplarisk af forløbet. Man kan i hvert fald ikke forlade sig på, at en helt tilsvarende situation opstår, når en klasse regner opgave Men man kan måske i det daglige arbejde være opmærksom på de tilfælde, hvor undren eller nysgerrighed opstår blandt eleverne. Er emnet i øvrigt egnet, kan en sådan situation udgøre en indgang til at arbejde problemorienteret. Den helt umiddelbare gevinst er, at man får elevernes motivation foræret. Dette forløb, eventuelt med de i afsnittet Evaluering af forløbet nævnte justeringer, vil uden videre kunne indgå i de nye læreplaner efter gymnasiereformen. Faktisk vil forløbet passe bedre her end under den nuværende bekendtgørelse, idet det da vil ligge inden for rammerne af de nye læreplaner at følge op med forløb, der kan supplere et sådant indledende forløb om modellering. Forløbet vil også kunne videreudvikles i et samarbejde med faget fysik. Det ville give mulighed for at trænge et lag dybere ned i modellen, når bremselængder skal fastlægges. 11

Indholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole

Indholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering... 2 Socialkognitiv karriereteori - SCCT... 3 Nøglebegreb 1 - Tro på egen formåen... 3 Nøglebegreb 2 - Forventninger til udbyttet...

Læs mere

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?. Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Udarbejdelse af synopsis: 21. april 8. maj Mundtlig årsprøve: Maj/juni 2015

Udarbejdelse af synopsis: 21. april 8. maj Mundtlig årsprøve: Maj/juni 2015 Kære elev i 2g. AT7 er en forsmag på næste års AT-eksamen. Du skal derfor udarbejde en synopsis og til mundtlig årsprøve i AT. På de næste sider får du den nødvendige generelle information. Med venlig

Læs mere

L Æ R I N G S H I S T O R I E

L Æ R I N G S H I S T O R I E LÆRINGS HISTORIE LÆRINGS HISTORIE Kom godt i gang Før I går i gang med at arbejde med dokumentationsmetoderne, er det vigtigt, at I læser folderen Kom godt i gang med værktøjskassen. I folderen gives en

Læs mere

Introduktion til mundtlig eksamen: projekt med mundtlig fremlæggelse

Introduktion til mundtlig eksamen: projekt med mundtlig fremlæggelse Introduktion til mundtlig eksamen: projekt med mundtlig fremlæggelse Agenda: Procedure for mundtlig eksamen med mundtlig fremlæggelse af projekt De kritiske spørgsmål Mundtlig eksamen i praksis mundtlig

Læs mere

BLIV EKSPERT I DIN TEMPERAMENTSBOMBE

BLIV EKSPERT I DIN TEMPERAMENTSBOMBE GRY BASTIANSEN BLIV EKSPERT I DIN TEMPERAMENTSBOMBE ARBEJDSBOG FOR UNGE BLIV EKSPERT I DIN TEMPERAMENTSBOMBE Akademisk Forlag og Gry Bastiansen 1 INDHOLD VELKOMMEN TIL KURSET, DER GØR DIG TIL EKSPERT PÅ

Læs mere

Nyt i faget Matematik

Nyt i faget Matematik Almen voksenuddannelse Nyt i faget Matematik Juli 2012 Indhold Bekendtgørelsesændringer Ændringer af undervisningsvejledningen Den nye opgavetype ved den skriftlige prøve efter D Ændringer af rettevejledningen

Læs mere

NGG Nordsjællands Grundskole og Gymnasium. Kortlægning og analyse af faktorer for valg af gymnasium blandt 9. og 10. klasses elever og deres forældre

NGG Nordsjællands Grundskole og Gymnasium. Kortlægning og analyse af faktorer for valg af gymnasium blandt 9. og 10. klasses elever og deres forældre NGG Nordsjællands Grundskole og Gymnasium Kortlægning og analyse af faktorer for valg af gymnasium blandt 9. og 10. klasses elever og deres forældre 1. Indledende kommentarer. Nordsjællands Grundskole

Læs mere

Studieretningsprojektet i 3.g 2007

Studieretningsprojektet i 3.g 2007 Studieretningsprojektet i 3.g 2007 Det følgende er en generel vejledning. De enkelte studieretnings særlige krav og forhold forklares af faglærerne. STATUS I 3.g skal du udarbejde et studieretningsprojekt.

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

UCC - Matematikdag - 08.04.14

UCC - Matematikdag - 08.04.14 I hold på 3-4 (a) Problemformulering: Hvor lang tid holder en tube tandpasta? Gå gennem modellens faser fra (a) til (f) Hvad er en matematisk modelleringsproces? Virkelighed (f) Validering (a) Problemformulering

Læs mere

Faglig læsning i matematik

Faglig læsning i matematik Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har

Læs mere

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange

Læs mere

Dansk-historie-opgave 1.g

Dansk-historie-opgave 1.g Dansk-historie-opgave 1.g Vejledning CG 2012 Opgaven i historie eller dansk skal træne dig i at udarbejde en faglig opgave. Den er første trin i en tretrinsraket med indbygget progression. I 2.g skal du

Læs mere

Værkstedsundervisning hf-enkeltfag Vejledning/Råd og vink August 2010

Værkstedsundervisning hf-enkeltfag Vejledning/Råd og vink August 2010 Værkstedsundervisning hf-enkeltfag Vejledning/Råd og vink August 2010 Alle bestemmelser, der er bindende for undervisningen og prøverne i de gymnasiale uddannelser, findes i uddannelseslovene og de tilhørende

Læs mere

AT og Synopsisprøve Nørre Gymnasium

AT og Synopsisprøve Nørre Gymnasium AT og Synopsisprøve Nørre Gymnasium Indhold af en synopsis (jvf. læreplanen)... 2 Synopsis med innovativt løsingsforslag... 3 Indhold af synopsis med innovativt løsningsforslag... 3 Lidt om synopsen...

Læs mere

GLAMSBJERG FRI- OG EFTERSKOLE

GLAMSBJERG FRI- OG EFTERSKOLE GLAMSBJERG FRI- OG EFTERSKOLE Realkompetencer Efterskolens selvevaluering 2008/2009 06-06-2009 Selvevaluering: Realkompetencer Indledning Emnet for dette skoleårs selvevaluering er Realkompetencer og den

Læs mere

METODESAMLING TIL ELEVER

METODESAMLING TIL ELEVER METODESAMLING TIL ELEVER I dette materiale kan I finde forskellige metoder til at arbejde med kreativitet og innovation i forbindelse med den obligatoriske projektopgave. Metoderne kan hjælpe jer til:

Læs mere

Forældreperspektiv på Folkeskolereformen

Forældreperspektiv på Folkeskolereformen Forældreperspektiv på Folkeskolereformen Oplæg v/ personalemøde på Hareskov Skole d. 23. januar 2014 Tak fordi jeg måtte komme jeg har glædet mig rigtig meget til at få mulighed for at stå her i dag. Det

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Christianshavns Gymnasium Studieretningsopgaven i 2.g (SRO) januar- marts 2014 VEJLEDNING

Christianshavns Gymnasium Studieretningsopgaven i 2.g (SRO) januar- marts 2014 VEJLEDNING Christianshavns Gymnasium Studieretningsopgaven i 2.g (SRO) januar- marts 2014 VEJLEDNING Studieretningsopgaven i 2.g (SRO) er andet trin i rækken af større, flerfaglige opgaver i gymnasiet. Den bygger

Læs mere

Kvaliteter hos den synligt lærende elev

Kvaliteter hos den synligt lærende elev Kvaliteter hos den synligt lærende elev Taksonomisk opbygning af aspekter hos synligt lærende elever Jeg skaber forbindelser Jeg forbinder viden og tænkning for at skabe nye forståelser Jeg forbinder ikke

Læs mere

Københavns åbne Gymnasium Elevudsagn fra spørgeskemaundersøgelsen i 2q

Københavns åbne Gymnasium Elevudsagn fra spørgeskemaundersøgelsen i 2q Københavns åbne Gymnasium Elevudsagn fra spørgeskemaundersøgelsen i 2q 1.7 Overraskelser ved gymnasiet eller hf! Er der noget ved gymnasiet eller hf som undrer dig eller har undret dig? 20 Det har overrasket

Læs mere

MatematiKan og Fælles Mål

MatematiKan og Fælles Mål MatematiKan og Fælles Mål MatematiKan er et digitalt værktøj til matematik. Det hører til gruppen af interaktive CAS værktøjer. Denne type digitale værktøjer er kendetegnet ved, at de har en delvis blank

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Mål, undervisningsdifferentiering og evaluering

Mål, undervisningsdifferentiering og evaluering Mål, undervisningsdifferentiering og evaluering Artikel af pædagogisk konsulent Lise Steinmüller Denne artikel beskriver sammenhænge mellem faglige mål, individuelle mål og evaluering, herunder evalueringens

Læs mere

Kan vi fortælle andre om kernen og masken?

Kan vi fortælle andre om kernen og masken? Kan vi fortælle andre om kernen og masken? Det kan vi sagtens. Mange mennesker kan umiddelbart bruge den skelnen og den klarhed, der ligger i Specular-metoden og i Speculars begreber, lyder erfaringen

Læs mere

SRP Retningslinjer for studieretningsprojekter ved Holstebro Tekniske Gymnasium

SRP Retningslinjer for studieretningsprojekter ved Holstebro Tekniske Gymnasium SRP Retningslinjer for studieretningsprojekter ved 1 Formål Studieretningsprojektet udarbejdes i uddannelsens 3. år og har et studieforberedende sigte. Studeretningsprojektet indgår med 30 timer uddannelsestid.

Læs mere

Tutorordning og studiebog - Hf Vejledning September 2007

Tutorordning og studiebog - Hf Vejledning September 2007 Tutorordning og studiebog - Hf Vejledning September 2007 Denne vejledning indeholder uddybende og forklarende kommentarer til de enkelte punkter i hfbekendtgørelsens bilag 5 om tutorordning og studiebog

Læs mere

Bilag til AT-håndbog 2010/2011

Bilag til AT-håndbog 2010/2011 Bilag 1 - Uddybning af indholdet i AT-synopsen: a. Emne, fagkombination og niveau for de fag, der indgår i AT-synopsen b. Problemformulering En problemformulering skal være kort og præcis og fokusere på

Læs mere

En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer.

En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer. Bilag 5 En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer. Indledning Vi har som led i projektet observeret en del lektioner, med helt eller delvis fokus på Maple-brug.

Læs mere

Kompetencemål: Eleven kan vurdere sammenhænge mellem egne valg og forskellige vilkår i arbejdsliv og karriere

Kompetencemål: Eleven kan vurdere sammenhænge mellem egne valg og forskellige vilkår i arbejdsliv og karriere Det foranderlige arbejdsliv Uddannelse og job; eksemplarisk forløb 7.-9. klasse Faktaboks Kompetenceområde: Arbejdsliv Kompetencemål: Eleven kan vurdere sammenhænge mellem egne valg og forskellige vilkår

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelse i 3g og 2./3.hf, Greve Gymnasium 2008 Undersøgelsens hovedresultater, sammenskrevet af skolens kvalitetsstyregruppe.

Spørgeskemaundersøgelse i 3g og 2./3.hf, Greve Gymnasium 2008 Undersøgelsens hovedresultater, sammenskrevet af skolens kvalitetsstyregruppe. Spørgeskemaundersøgelse i 3g og 2./3.hf, Greve Gymnasium 2008 Undersøgelsens hovedresultater, sammenskrevet af skolens kvalitetsstyregruppe. I april/maj 2008 gennemførte skolen for femte gang en spørgeskemaundersøgelse

Læs mere

Undersøgelse af undervisningsmiljøet på Flemming Efterskole 2013

Undersøgelse af undervisningsmiljøet på Flemming Efterskole 2013 Undersøgelse af undervisningsmiljøet på Flemming Efterskole 2013 1.0 INDLEDNING 2 2.0 DET SOCIALE UNDERVISNINGSMILJØ 2 2.1 MOBNING 2 2.2 LÆRER/ELEV-FORHOLDET 4 2.3 ELEVERNES SOCIALE VELBEFINDENDE PÅ SKOLEN

Læs mere

Prøver evaluering undervisning

Prøver evaluering undervisning Prøver evaluering undervisning Fysik/kemi Maj juni 2011 Ved fagkonsulent Anette Gjervig Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Ministeriet for Børn og Undervisning 1 Indhold Indledning... 3 De formelle krav til

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10

Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10 Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-36 Geometri 1 Indlæring af geometriske navne Figurer har bestemte egenskaber Lære at måle vinkler med vinkelmåler

Læs mere

Evaluering af "GeoGebra og lektionsstudier" Hedensted Kommune.

Evaluering af GeoGebra og lektionsstudier Hedensted Kommune. Evaluering af "GeoGebra og lektionsstudier" Hedensted Kommune. Projektet "GeoGebra og lektionsstudier" er planlagt og gennemført i samarbejde mellem Hedensted Kommune, Dansk GeoGebra Institut og NAVIMAT.

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

ESSAY GENEREL BESKRIVELSE - MODEL

ESSAY GENEREL BESKRIVELSE - MODEL ESSAY GENEREL BESKRIVELSE MODEL PROCES - MODEL ESSAY KOMMUNIKATIONSMODEL PENTAGON OM TÆNKE- OG SKRIVEPROCESSEN GENERELT OVERVEJELSER - REFLEKSION MODEL TJEKLISTE EKSEMPLER GENEREL BESKRIVELSE - MODEL Essay-genrens

Læs mere

Læreres Læring. Aktionsforskning i praksis

Læreres Læring. Aktionsforskning i praksis Læreres Læring Aktionsforskning i praksis 1 Læreres Læring - aktionsforskning i praksis Martin Bayer Mette Buchardt Jette Bøndergaard Per Fibæk Laursen Lise Tingleff Nielsen Helle Plauborg 1. version,

Læs mere

Medfølende brevskrivning Noter til terapeuten

Medfølende brevskrivning Noter til terapeuten Medfølende brevskrivning Noter til terapeuten Idéen bag medfølende brevskrivning er at hjælpe depressive mennesker med at engagere sig i deres problemer på en empatisk og omsorgsfuld måde. Vi ønsker at

Læs mere

Slutrapport fra. projekt Læs dansk på bibliotekerne

Slutrapport fra. projekt Læs dansk på bibliotekerne Slutrapport fra projekt Læs dansk på bibliotekerne Indhold Projektresumé... 3 Projektets formål... 3 Mål og succeskriterier... 3 Målgruppen... 5 Læringsforløbene... 5 Netværk... 6 Organisering... 7 Aktiviteter

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Studieretningsprojektet. * Rammer og procedurer * Lærernes hæfte * Skoleåret 2012-2013

Studieretningsprojektet. * Rammer og procedurer * Lærernes hæfte * Skoleåret 2012-2013 Studieretningsprojektet 3g * Rammer og procedurer * Lærernes hæfte * Skoleåret 2012-2013 For yderligere information kan du aktivere denne QR med din smartphone eller ipad.: 2 3 Administration og logistik

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Analyse af PISA data fra 2006.

Analyse af PISA data fra 2006. Analyse af PISA data fra 2006. Svend Kreiner Indledning PISA undersøgelsernes gennemføres for OECD og de har det primære formål er at undersøge, herunder rangordne, en voksende række af lande med hensyn

Læs mere

- om at lytte med hjertet frem for med hjernen i din kommunikation med andre

- om at lytte med hjertet frem for med hjernen i din kommunikation med andre Empatisk lytning - om at lytte med hjertet frem for med hjernen i din kommunikation med andre Af Ianneia Meldgaard, cand. mag. Kursus- og foredragsholder og coach. www.qcom.dk Ikke Voldelig Kommunikation.

Læs mere

DB Evaluering oktober 2011

DB Evaluering oktober 2011 DB Evaluering oktober 2011 Matematik Vi har indarbejdet en hel del CL metoder i år: gruppearbejde, "milepæle" og adfærdsmæssige strategier. Eleverne er motiverede for at arbejde som et team. Hele DB forstår

Læs mere

1) Status på din kompetenceudvikling i forhold til uddannelsens krav, forventninger, muligheder, rammer m.m.

1) Status på din kompetenceudvikling i forhold til uddannelsens krav, forventninger, muligheder, rammer m.m. Januar 2008/lkr SUS 8 Forberedelsesskema til 8. semester NB: Skemaet skal i udfyldt stand sendes til din SUS-dialogpartner (Annie, Nana, Mogens, Magne, Ulla ellerlone) senest 2 hverdage før aftalt samtaletidspunkt!

Læs mere

Klasse Situation Observation 3. klasse Før spillet. Der bliver spurgt ind til hvad børnene

Klasse Situation Observation 3. klasse Før spillet. Der bliver spurgt ind til hvad børnene Bilag 1 - Feltobservationer I dette bilag findes Feltobservationer, noteret under folkeskoleelevernes spilforløb. Disse feltobservationer er fremstillet i en skematisk opstilling, hvis første kolonne tydeliggør

Læs mere

Tilsynserklæring for Ådalens Privatskole 2015

Tilsynserklæring for Ådalens Privatskole 2015 1. Indledning Denne tilsynserklæring er udarbejdet af tilsynsførende Lisbet Lentz, der er certificeret til at føre tilsyn med frie grundskoler. Vurderingerne i erklæringen bygger på data, som jeg har indsamlet

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Indhold Formalia, opsætning og indhold... Faser i opgaveskrivningen... Første fase: Idéfasen... Anden fase: Indsamlingsfasen... Tredje fase: Læse- og bearbejdningsfasen...

Læs mere

Evaluering af sygedagpengemodtageres oplevelse af ansøgningsprocessen

Evaluering af sygedagpengemodtageres oplevelse af ansøgningsprocessen 30. juni 2011 Evaluering af sygedagpengemodtageres oplevelse af ansøgningsprocessen 1. Indledning I perioden fra 7. juni til 21. juni 2011 fik de personer der har modtaget sygedagpenge hos Silkeborg Kommune

Læs mere

Kompetenceafklaring. (www-adresse på vej) 109

Kompetenceafklaring. (www-adresse på vej) 109 Kompetenceafklaring Der er næppe tvivl om, at det både er nemmest og mest interessant at tjene penge, hvis man benytter sine stærkeste kompetencer. Det skulle man tro, alle gjorde, men det ser ikke ud

Læs mere

Indledende bemærkninger

Indledende bemærkninger Indledende bemærkninger I indeværende år, 1993, er det 100 år siden, Bornholms Højskole på sit nuværende sted ved Ekkodalen begyndte sin virksomhed. Der havde været forberedelser hele foråret 1893, den

Læs mere

Portfolio og formativ evaluering i matematikundervisningen

Portfolio og formativ evaluering i matematikundervisningen Projekttitel: Portfolio og formativ evaluering i matematikundervisningen Ansøgning om ressourcer til kompetenceudvikling inden for formativ evaluering i matematik undervisningen. Dette er en ansøgning

Læs mere

Højskolepædagogik set fra en gymnasielærers synsvinkel

Højskolepædagogik set fra en gymnasielærers synsvinkel Højskolepædagogik set fra en gymnasielærers synsvinkel Kommentarer af gymnasielærer, Kasper Lezuik Hansen til det Udviklingspapir, der er udarbejdet som resultat af Højskolepædagogisk udviklingsprojekt

Læs mere

Den effektive sælger - MBK A/S

Den effektive sælger - MBK A/S Vil du have træning, så du bliver endnu bedre til at sælge til nye kunder? Vil du være bedre til at sælge mere til dine nuværende kunder? Vil du være bedre til at få tilfredse kunder og skabe gensalg?

Læs mere

1 - Problemformulering

1 - Problemformulering 1 - Problemformulering I skal undersøge, hvordan fart påvirker risikoen for at blive involveret i en trafikulykke. I skal arbejde med hvilke veje, der opstår flest ulykker på, og hvor de mest alvorlige

Læs mere

Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du

Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du får en bedre, mere støttende relation til dig selv. Faktisk vil jeg vise dig hvordan du bliver venner med dig selv, og især med den indre kritiske

Læs mere

Uddybende oplysninger om læseindsatsen i indskolingen på Viby Skole

Uddybende oplysninger om læseindsatsen i indskolingen på Viby Skole Uddybende oplysninger om læseindsatsen i indskolingen på Viby Skole Læseboost i børnehaveklassen! Formålet med at give vores elever et læseboost, når de begynder i børnehaveklassen er, at udviklingen i

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520 Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion

Læs mere

Quick ringeguide til jobkonsulenter. Til dig, der hurtigt vil i gang med at booke møder hos virksomheder

Quick ringeguide til jobkonsulenter. Til dig, der hurtigt vil i gang med at booke møder hos virksomheder Quick ringeguide til jobkonsulenter Til dig, der hurtigt vil i gang med at booke møder hos virksomheder Generelle råd til samtalen Vær godt forberedt Halvér dit taletempo Tal tydeligt med entusiasme og

Læs mere

Håndbog for pædagogstuderende

Håndbog for pædagogstuderende Erik Jappe Håndbog for pædagogstuderende 9. udgave Frydenlund Håndbog for pædagogstuderende Erik Jappe Håndbog for pædagogstuderende 9. udgave Frydenlund Håndbog for pædagogstuderende 9. udgave, 1. oplag,

Læs mere

LÆRERVEJLEDNING. Fattigdom og ulighed

LÆRERVEJLEDNING. Fattigdom og ulighed LÆRERVEJLEDNING Fattigdom og ulighed KERNESTOF FAG 1: Samfundsfag På a-niveau lærer eleverne at: Anvende viden om samfundsvidenskabelig metode til kritisk at vurdere undersøgelser og til at gennemføre

Læs mere

Klart på vej - til en bedre læsning

Klart på vej - til en bedre læsning FORLAG Lærerguide til LÆSEKORT Klart på vej - til en bedre læsning Af Rie Borre INTRODUKTION Denne vejledning er udarbejdet til dig, der gerne vil gøre din undervisning mere konkret og håndgribelig for

Læs mere

Spil om LEDELSE. Rigtig god fornøjelse!

Spil om LEDELSE. Rigtig god fornøjelse! Alle virksomheder har medarbejdere, som ledes af ledere. Derfor spørger både ledere og medarbejdere sig selv, hvad effektiv ledelse egentlig er og hvad det består af. Undersøgelser har samtidig vist, at

Læs mere

Projekt KLAR. Guidelines. Transfer af viden, holdninger og færdigheder. Kompetent Læring Af Regionen

Projekt KLAR. Guidelines. Transfer af viden, holdninger og færdigheder. Kompetent Læring Af Regionen Projekt KLAR Kompetent Læring Af Regionen Guidelines Transfer af viden, holdninger og færdigheder transfer af viden, holdninger og færdigheder opfølgning transfer ny læringskultur guideline til konsulenten

Læs mere

16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it

16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it 16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it Tanker bag opgaverne Det er min erfaring, at elever umiddelbart vælger at bruge det implicitte funktionsbegreb,

Læs mere

erfaringer og anbefalinger fra SKUD, udviklingsarbejdet 2009-2010

erfaringer og anbefalinger fra SKUD, udviklingsarbejdet 2009-2010 PROJEKTOPGAVE I IDRÆT erfaringer og anbefalinger fra SKUD, udviklingsarbejdet 2009-2010 af Pia Paustian, University College Syddanmark og Det nationale videncenter KOSMOS Sådan laver du projektopgave i

Læs mere

TIPS TIL SAMARBEJDET OM SAMTALEGUIDEN

TIPS TIL SAMARBEJDET OM SAMTALEGUIDEN Samtaleguiden 36 Samtaleguiden er lavet primært til unge, der ryger hash. Som vejleder, mentor m.fl. kan du bruge Samtaleguiden som et fælles udgangspunkt i samtalen med den unge. Du kan dog også blot

Læs mere

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

AT på Aalborg Katedralskole 2013-14

AT på Aalborg Katedralskole 2013-14 AT på Aalborg Katedralskole 2013-14 Alle AT forløb har deltagelse af to til tre fag, som for nogle forløbs vedkommende kan være fra samme hovedområde (AT 3, 5 og 7). I så tilfælde skal det sikres, at eleverne

Læs mere

Det gælder dansk landbrugs fremtid

Det gælder dansk landbrugs fremtid Kære medlem af Bæredygtigt Landbrug 2. november 2012 Uge 44 Det gælder dansk landbrugs fremtid Kvælstofnormerne og begrænsningerne i kvælstofanvendelsen har hængt som en mørk sky over landbruget i snart

Læs mere

VÆRD AT VIDE FORBYGGENDE SELVMONITORERING

VÆRD AT VIDE FORBYGGENDE SELVMONITORERING VÆRD AT VIDE FORBYGGENDE SELVMONITORERING Faglige input produceret af og for partnerne i Lev Vel, delprojekt Forebyggende Ældre, sundhed og Forfatter: Af Julie Bønnelycke, videnskabelig assistent, Center

Læs mere

Modellering med Lego education kran (9686)

Modellering med Lego education kran (9686) Modellering med Lego education kran (9686) - Et undervisningsforløb i Lego education med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Kranen - et modelleringsprojekt

Læs mere

Vejledning Case-eksamen i matematik

Vejledning Case-eksamen i matematik Vejledning Case-eksamen i matematik Caseopgavesæt og projektrapport... 2 Eksamensforløbet... 2 Hvad der skal sendes til censor inden eksamensforløbet... 4 Eksempel på caseopgavesæt... 5 Opgave 1 - Undersøgelse

Læs mere

Natur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik

Natur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik Natur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik Dette er en beskrivelse af et samspil mellem fagene Natur/Teknologi og matematik i to 6. klasser på Tingkærskolen

Læs mere

DANSK FLYGTNINGEHJÆLP

DANSK FLYGTNINGEHJÆLP DANSK FLYGTNINGEHJÆLP KURSISTUNDERSØGELSE 2015 RESULTATER OG ANBEFALINGER KURSISTUNDERSØGELSE 2015 INDHOLD - Svarprocent - Hvem har svaret? - Resultater for udvalgte nøgleindikatorer; overordnet tilfredshed,

Læs mere

B A R N E T S K U F F E R T

B A R N E T S K U F F E R T BARNETS kuffert BARNETS KUFFERT Kom godt i gang Før I går i gang med at arbejde med dokumentationsmetoderne, er det vigtigt, at I læser folderen Kom godt i gang med værktøjskassen. I folderen gives en

Læs mere

Gæste-dagplejen D a g p lejen Odder Ko Brugerundersøgelse 2006

Gæste-dagplejen D a g p lejen Odder Ko Brugerundersøgelse 2006 Gæste-dagplejen Dagplejen Odder Kommune Brugerundersøgelse 2006 Undersøgelsen af gæstedagplejeordningen er sat i gang på initiativ af bestyrelsen Odder Kommunale Dagpleje og er udarbejdet i samarbejde

Læs mere

INTRODUKTION TIL LØSNINGSFOKUSERET SAMTALE

INTRODUKTION TIL LØSNINGSFOKUSERET SAMTALE INTRODUKTION TIL LØSNINGSFOKUSERET SAMTALE 1. INGREDIENSERNE I ET VELLYKKET SAMARBEJDE - virksomme faktorer i behandlingen 2. PARTNERSKAB MED KLIENTEN - løsningsfokuserede samtaleprincipper 3. KONTRAKTEN

Læs mere

Evaluering Kursus: Pleje af patient med IV adgang, infusionsterapi og IV medicinering

Evaluering Kursus: Pleje af patient med IV adgang, infusionsterapi og IV medicinering Evaluering Kursus: Pleje af patient med IV adgang, infusionsterapi og IV medicinering Regionshospitalet Viborg Viborg HR-afdelingen Uddannelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 1. Indledning...3

Læs mere

Kan eleverne lære optimering ved projektarbejde i matematisk modellering?

Kan eleverne lære optimering ved projektarbejde i matematisk modellering? Projektrapport, Margrethe Kamstrup og Hanne Stenholt Sørensen 1 Kan eleverne lære optimering ved projektarbejde i matematisk modellering? Formål Formålet med projektet var, at eleverne selv skulle opdage

Læs mere

Innovationsledelse i hverdagen

Innovationsledelse i hverdagen Innovationsledelse i hverdagen Af Erik Staunstrup, Nyt Perspektiv, medlem af IFLI Artiklen rejser spørgsmålet hvorvidt innovationsledelse kan læres og hvis det kan, hvordan det så kan implementeres i hverdagen?

Læs mere

DEN BLIVENDE PRÆGNING, DER UDGØR EN VÆRDIFULD DEL AF ENS ÅNDELIGE ERFARINGER. Jan Erhardt Jensen

DEN BLIVENDE PRÆGNING, DER UDGØR EN VÆRDIFULD DEL AF ENS ÅNDELIGE ERFARINGER. Jan Erhardt Jensen 1 DEN BLIVENDE PRÆGNING, DER UDGØR EN VÆRDIFULD DEL AF ENS ÅNDELIGE ERFARINGER af Jan Erhardt Jensen Når man taler om de personlige erfaringer, som det enkelte menneske er sig bevidst, må man være klar

Læs mere

Forbemærkning: Mvh Torsten Dam-Jensen

Forbemærkning: Mvh Torsten Dam-Jensen Forbemærkning: Min udlægning til teksten til 5. søndag efter Trinitatis bringes i to udgaver. Den første udgave er den oprindelige. Den anden udgave Mark II er den, som faktisk blev holdt. Af forskellige

Læs mere

Lejrskolen. en autentisk lejrskole gav en kick-start. Af Birthe Mogensen, lærer, og Birgitte Pontoppidan, lektor

Lejrskolen. en autentisk lejrskole gav en kick-start. Af Birthe Mogensen, lærer, og Birgitte Pontoppidan, lektor Lejrskolen en autentisk lejrskole gav en kick-start Af Birthe Mogensen, lærer, og Birgitte Pontoppidan, lektor 14 Lejrskolen er et eksempel på et forsøgsskoleinitiativ, der blev udviklet i et gensidigt

Læs mere

Guldbog Kemi C Copyright 2016 af Mira Backes og Christian Bøgelund.

Guldbog Kemi C Copyright 2016 af Mira Backes og Christian Bøgelund. Guldbog Kemi C Copyright 2016 af Mira Backes og Christian Bøgelund. Alle rettigheder forbeholdes. Mekanisk, fotografisk eller elektronisk gengivelse af denne bog eller dele heraf er uden forfatternes skriftlige

Læs mere

Christianshavns Gymnasium. Evaluering af grundforløbet i skoleåret 2014-2015

Christianshavns Gymnasium. Evaluering af grundforløbet i skoleåret 2014-2015 Christianshavns Gymnasium Evaluering af grundforløbet i skoleåret 2014-2015 Hensigt Hensigten med evalueringen er at få et helhedsbillede af 1.g-elevernes opfattelse af og tilfredshed med grundforløbet

Læs mere

Vurderingskriterier i forbindelse med valg af læremidler til distributionssamlingerne på Centre for undervisningsmidler

Vurderingskriterier i forbindelse med valg af læremidler til distributionssamlingerne på Centre for undervisningsmidler Vurderingskriterier i forbindelse med valg af læremidler til distributionssamlingerne på Centre for undervisningsmidler AF: ELSEBETH SØRENSEN, UNIVERSITY COLLEGE SJÆLLAND, CENTER FOR UNDERVISNINGSMIDLER

Læs mere

ELEVPLANER INFORMATION OG INSPIRATION

ELEVPLANER INFORMATION OG INSPIRATION ELEVPLANER INFORMATION OG INSPIRATION Århus Kommune Børn og Unge ELEVPLANENS FORMÅL OG INDHOLD Skoleåret 2006/2007 er et læreår for arbejdet med elevplaner, hvor skolen skal arbejde med at finde en model

Læs mere

Har undervisning og studieaktiviteter i de enkelte LG-moduler støttet dig i at opnå et udbytte svarende til kompetencemålene?

Har undervisning og studieaktiviteter i de enkelte LG-moduler støttet dig i at opnå et udbytte svarende til kompetencemålene? 1 Læreruddannelsen UCL. Undervisningsevaluering. Fagevaluering LG, hovedområde: almen dannelse: KLM Fagevaluering 2014 114 studerende har besvaret spørgeskemaet. Alle fra årgang 2013. Uddannelsessted:

Læs mere