Introduktion til teoretisk statistik og nogle af dens anvendelser

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til teoretisk statistik og nogle af dens anvendelser"

Transkript

1 Bent Willum Hansen Introduktion til teoretisk statistik og nogle af dens anvendelser S2 10 S BEWIstat 5 6

2 EMNEOPDELTE OPGAVESAMLING Beskrivende statistik...2 Sandsynlighedsregning...3 Stokastiske variable...6 Modeller og sandsynlighedsfordelinger...8 Estimation...12 Multinomiske modeller...15 Regressionsanalyse...18 Hypotesetest af µ, σ, p og λ...22 Stikprøveteori...26 Fejltyper og Styrkefunktion...28 Bestemmelse af stikprøvestørrelse...29 OPGAVESÆT MED PROGRESSIV EMNEOPTAGELSE...31 OPGAVESÆT MED BLANDEDE OPGAVER...67

3 Bent Willum Hansen S2 S1 1

4 Beskrivende statistik Beskrivende statistik Opgave A Et teleselskab er interesseret i at sammenligne tilfredsheden hos deres kunder i Århus og København. De har derfor udtaget 2 stikprøver en fra København og en fra Århus. Tilfredsheden er målt på en skala fra 1 til 10 med 1 som meget utilfreds og 10 som meget tilfreds. Resultatet af undersøgelsen fremgår af følgende tabel: Tilfredshedsscore København Århus A.1 Udregn både for København og Århus følgende nøgletal: Gennemsnittet for tilfredshedsscoren Standardafvigelsen for tilfredshedsscoren Medianen for tilfredshedsscoren Kvartilsættet for tilfredshedsscoren Skævhed A.2 Foretag på baggrund af ovenstående nøgletal en sammenligning af de to stikprøver. Opgave B Teleselskabet ønsker at udregne prisindeks for de 3 forskellige modeller af mobiltelefoner A, B og C. Selskabet har indsamlet relevante oplysninger for de 3 modeller, som fremgår af følgende tabel: Model pris afsætning (1.000 stk.) 1. kvartal 2. kvartal 3. kvartal 4. kvartal pris pris pris afsætning (1.000 stk.) afsætning (1.000 stk.) afsætning (1.000 stk.) A B C Beregn Laspeyres, Paasches og Fishers prisindeks for 2. kvartal, 3. kvartal og 4. kvartal, idet 1. kvartal benyttes som basisperiode. 2

5 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Bemærkning! Ved løsning af nogle af opgaverne skal der gøres brug af sætningen: Hvis hændelserne H 1, H 2,..., H q danner et udfaldsrum H 1 H 2... H q = U og deres indbyrdes fællesmængde er tom H i H j = Ø så gælder det, at sandsynligheden for hændelsen A er givet ved P(A) = P(A H 1 ) + P(A H 2 ) P(A H q ) Specielt gælder det for to vilkårlige hændelser A og B, at P(A) = P(A B) + P(A B ) Opgave 1 Med udgangspunkt i teoribogens tabel 1 side 25, besvares følgende spørgsmål. a) Bestem P(H 5 ) og P(H 6 ) b) Bestem P(H 5 H 6 ) c) Bestem P(H 5 H 6 ) d) Vis at P( H 6 ) = P( H6 H 5 ) + P( H6 H 5 ) og forklar resultatet i ord e) Bestem P(H 5 H 6 ) og vis at P(H 5 H 6 ) = P(H 6 ) P(H 5 H 6 ) f) Undersøg om P(H 5 ) og P(H 6 ) er uafhængige. Opgave 2 I et eksperiment kan der forekomme følgende hændelser A, B, C, I og II, hvor det oplyses, at den indbyrdes fællesmængde mellem A, B og C er tom og at den indbyrdes fællesmængde mellem I og II er tom. På denne baggrund defineres et udfaldsrum U = {u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 }, hvor udfaldene er karakteriseret ved: u 1 = A I; u 2 = A II; u 3 = B I; u 4 = B II; u 5 = C I; u 6 = C II Det oplyses at P(u 3 ) = P(u 4 ) = 0,15 P(I) = 0,60 og P(II) = P(A) = 0,4 hændelserne A og I er uafhængige hændelserne A og II er uafhængige Ved løsning af spørgsmålene i opgave 2 på næste side skal det fremgå hvilke fra følgende formelsæt der er bragt i anvendelse:: 1) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2) P( A ) = 1 P(A) P(A B) 3) P(A B) = P(B) 4) A og B er uafhængige P(A B) = P(A) P(B) 5) Lad B 1, B 2,..., B n være disjunkte og B 1 B 2... B n = U så gælder der, at P(A) = P(A B 1 ) P(A B 2 )... P(A B n ) Specielt gælder det, at P(A) = P(A B) + P(A B ) 3

6 Sandsynlighedsregning a) Udfyld en tabel, svarende til nedenstående, med relevante sandsynligheder. A B C I P(I) = II P(II) = P(A) = P(B) = P(C) = Bestem sandsynlighederne b) P(A I) c) P(A B) d) P(A I) e) P(A B) f) P( A ) g) P(II A) h) P(A A ) i) P(C II) + P( C II) Opgave 3 Sandsynlighederne for et eksperiment med 6 udfald er givet ved tabellen: A B C I alt M 0,10 0,40 K 0,20 0,60 I alt 0,30 0,20 1,00 Det oplyses at P(M B) = 0,25 Udfyld resten af tabellen, idet anvendte regneregler skal angives eksplicit. Opgave 4 For hændelserne A og B gælder: P(A) = 0,40, P(B A) = 0,50 Bestem P(A B) Opgave 5 P(A B) = 0,3 og P(A B ) = 0,2 Angiv P(A) og begrund svaret. Opgave 6 P(A B) = 0,2, P( B ) = 0,6 og P(A B ) = 0,5 Bestem P(A). Opgave 7 (den svære) Et sommerhusområde er udlejet til udelukkende danskere og tyskere. 60 % af sommerhusene er udlejet til danskere. Det oplyses endvidere, at 10 % af danskerne har sommerhus ved vandet, mens det for tyskernes vedkommende gælder, at 20 % har sommerhus ved vandet. Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt person med sommerhus ved vandet, er dansker. 4

7 Sandsynlighedsregning Opgave 8 På et loft hænger 20 strømper, hvoraf de 12 er røde. Lyset går ud og der skal nedtages 6 strømper. Bestem sandsynligheden for, at a) netop 4 er røde b) ingen er røde c) mindst én er rød d) højst 5 er røde Opgave 9 Ved en spilleautomat er der tre udfald A, B og C. Sandsynligheden for at A, B eller C indtræffer er henholdsvis 20 %, 30 % og 50 %. Nu spilles der 3 gange. Bestem sandsynligheden for a) A indtræffer ikke b) A indtræffer mindst én gang c) A indtræffer netop én gang d) Udelukkende B og C indtræffer e) Udelukkende A og B indtræffer f) A, B og C indtræffer 5

8 Stokastiske variable Stokastiske variable Opgave 10 En virksomhed ønsker at vurdere den fremtidige samlede afsætning for 2 varer, S 1 og S 2. Antag at afsætningen kan beskrives ved en stokastisk variabel, således at X = afsætning for vare S 1 ; E(X) = stk. og VAR(X) = Y = afsætning for vare S 2 ; E(Y) = stk. og VAR(Y) = a) Bestem den forventede samlede afsætning for de to varer under et. b) Bestem både varians og standardafvigelse for de to varer under et. c) Salgsprisen pr. stk. for de to varer er 5 kr. for vare S 1 og 10 kr. for vare S 2. Bestem den forventede omsætning samt den varians, der knytter sig til omsætningen. Opgave 11 I Sønderjylland er ha-udbyttet i gennemsnit kg. I Vestjylland er ha-udbyttet i gennemsnit 800 kg. Fra Sønderjylland skal der udtages en stikprøve på 10 ha og fra Vestjylland skal der udtages en stikprøve på 20 ha. Vi indfører følgende betegnelser: X i = udbytte i Sønderjylland pr. ha, for arealenhed nr. i ; i = 1, 2,.., 9, 10 Y j = udbytte i Vestjylland pr. ha, for arealenhed nr. j ; j = 1, 2,.., 19, 20 a) Bestem stikprøvens forventede høstudbytte, både for Sønderjylland og for Vestjylland. b) Bestem det forventede gennemsnitlige høstudbytte pr. ha for begge stikprøver under et. c) I Sønderjylland er prisen for et kg høstudbytte 2 kroner og i Vestjylland er den tilsvarende pris 2,5 kr. Hvilken forventet samlet salgsværdi vil de to stikprøven få? d) I Sønderjylland er det opgjort, at variansen pr. ha høstudbytte er , mens variansen i Vestjylland er opgjort til Angiv den usikkerhed (= standardafvigelse), der knytter sig til svaret i spm. c). Opgave 12 Vi betragter et eksperiment, hvor der kastes én gang med en mønt og én gang med en terning. Vi definerer følgende stokastiske variable: X = antal plat Y = antal øjne Bestem forventning og varians for variablen: Z = X + Y 6

9 Stokastiske variable Opgave 13 På destinationen St. Anton har rejsebureauet Downhill indgået en kontrakt med den lokale lægeklinik om at modtage og behandle gæster, der er kommet til skade ved skiløb. I den tid, som Downhill har haft kontrakt med lægeklinikken, har den gennemsnitlige udgift i forbindelse med skiskader, andraget kr. pr. skade. Downhill finansierer disse omkostninger via en forsikringsordning de selv administrerer. Prisen på forsikringen pålægges alle rejser til St. Anton. Erfaringsmæssigt regner Downhill med, at sandsynligheden for at pådrage sig en skade ved skiløb i løbet af en uge, kan sættes til 0,07. Vi betragter nu et rejseselskab på 300 personer og definerer de stokastiske variable: X i = antal skader for person nr. i ; x i {0; 1} Endvidere indfører vi variablen Y med følgende betydning: 300 Y = X i = antal ugentlige skader i forbindelse med skiløb for et rejsehold på 300 deltagere. i= 1 a) Bestem E(Y) og VAR(Y). b) Bestem de forventede forsikringsomkostninger for et rejsehold på 300 personer. c) Bestem standardafvigelsen med hensyn til forsikringsomkostningerne for et rejsehold på 300 personer. Opgave 14 En ejendomsmægler har erfaring for, at villaer har en forventet liggetid på 90 dage med en varians på 900, mens de tilsvarende tal for ejerlejligheders vedkommende er 100 og 400. Ejendomsmægleren har netop fået 20 nye kunder, som har bedt ham formidle salget af i alt 12 villaer og 8 ejerlejligheder. Det skønnes, at en 'liggedag' koster kunden 500 når der er tale om salg af villaer og 450 kr. når der er tale om salg af ejerlejligheder. Bestem de samlede forventede 'liggetidsomkostninger' og den tilhørende standardafvigelse som er forbundet med det forestående salg af de 20 ejendomme. Opgave xx I indeværende periode forventes lønnen for en økonom at være kr. med en standardafvigelse på kr. I den kommende periode forventes lønnen at stige. Den forventede lønstigning og tilhørende standardafvigelse er henholdsvis kr. og kr. Antag at korrelationskoefficienten mellem løn i indeværende periode og lønstigning i den kommende periode er 0,5. a) Bestem den forventede løn i den kommende periode. b) Bestem standardafvigelsen for lønnen i den kommende periode. 7

10 Modeller og sandsynlighedsfordelinger Modeller og sandsynlighedsfordelinger Opgave 15 I nedenstående situationer skal du angive den relevante variabel og hvilken fordeling denne kan antages at følge. a) En tilfældig mandag mellem kl og optælles antal personer, der søger asyl ved grænsen til Tyskland. b) På Danfoss har man i en uge optalt antal arbejdsulykker. c) Med henblik på at vurdere andelen af alvorlige arbejdsulykker, har man blandt 78 registrerede arbejdsulykker fundet 3 der krævede sygefravær i mere end en måned. d) For at vurdere beståelsesprocenten i statistik på MAK-studiet er der udtaget en simpel tilfældig stikprøve på 100 studerende. I alt har 65 af disse bestået. e) Blandt de studerende, der har bestået i statistik på MAK-studiet, har man opgjort det ugentlige forbrug af timer til at studere statistik. f) Ved kvalitetskontrollen på De Danske Spritfabrikker udtages der løbende en stikprøve, hvor alkoholprocenten måles. g) Blandt de formodede hiv-smittede i Danmark udtages der en stikprøve på 75 personer for at vurdere andelen af heteroseksuelle. Det oplyses, at der er hiv-smittede i Danmark. Opgave 16 For hvert af nedenstående eksperimenter er der defineret en stokastisk variabel X. Bestem for hvert af nedenstående eksperimenter følgende: 1) Fordeling af X: hypergeometrisk, binomial, poisson eller normal 2) P(X < 4), P(X > 6), P(4 X 6) og P(X = 5) 3) E(X) og st.afv(x) a) Undersøgelse af kviksølvindhold i bundprøver fra Københavns havn. 25 % af bundprøverne indeholder kviksølv over en kritisk grænseværdi. X = antal bundprøver der overskrider den kritiske grænseværdi ud af i alt 25 bundprøver. b) 40 % af de MAK-studerende kommer direkte fra gymnasiet. Der udtages en stikprøve på 8 MAK-studerende X = antal studerende der er kommet direkte fra gymnasiet. c) Undersøgelse vedrørende antal læsere af Berlingske Tidende. 40 % af avislæsere læser Berlingske Tidende. X = antal læsere af Berlingske Tidende ud af en stikprøve på 10. d) Undersøgelse af cadmiumindhold i mg af drikkevandsprøver i Vestjylland. Det gennemsnitlige indhold pr. drikkevandsprøve er 1 mg og variansen er 1. X = antal mg cadmium pr drikkevandsprøve. e) Undersøgelse af antal flyankomster i Kastrup i tidsrummet I gennemsnit lander der 15 fly i dette tidsrum. X = antal flyankomster i tidsrummet

11 Modeller og sandsynlighedsfordelinger f) Undersøgelse af togforsinkelser i perioden 1/1-31/1. I gennemsnit er der 18 togforsinkelser. X = antal togforsinkelser mellem 1/1-31/1 g) Undersøgelse af togforsinkelser over 20 minutter. Hvert 10. tog er forsinket over 20 minutter. X = antal forsinkelser over 20 min. ud af en stikprøve på 20 forsinkelser. h) Undersøgelse af dagtemperatur kl i januar måned. Middeltemperaturen er 4 grader celsius og variansen er 25. X = dagtemperatur kl i januar måned i) Undersøgelse af antal dage med en dagtemperatur over 5 grader celsius i januar måned. 20 % af dagene har en temperatur over 5 grader celsius i januar. X = antal dage med over 5 grader celsius i januar måned ud af en stikprøve på 15 dage j) Undersøgelse af længere tids soleksponerings kræftfremkaldende virkning. Der er 5 % der udvikler hudkræft ved overdreven soldyrkning. Der udtages en stikprøve på i alt 20 personer, som har været udsat for længere tids soleksponering. X = antal hudkræfttilfælde k) Undersøgelse af længere tids soleksponerings kræftfremkaldende virkning. I gennemsnit er der 12 personer om året i Roskilde der udvikler hudkræft. X = antal personer i Roskilde der udvikler hudkræft i løbet af et år l) Undersøgelse over mængden af ukurante varer som følge af utilstrækkelige lagerfaciliteter. Det har vist sig at 15 % af varerne bliver ukurante som følge af de utilstrækkelige opbevaringsforhold. Et udvalgt parti varer på i alt 18 enheder studeres. X = antal enheder der bliver ukurante m) Studier over alkoholprocenten ved fremstilling af kirsebærvin. En hobbyist fremstiller 25 flasker vin og det viser sig at 10 af flaskerne har en alkoholprocent over 7. Han har ikke mærket flaskerne, så efter en vis tid har han glemt, hvilke flasker der havde den "store" alkoholprocent. X = antal flasker med den "store" alkoholprocent når der fremtages i alt 12 flasker vin til en familiefest n) Lille Børge tror, han er god til at skyde med luftgevær. Ud af 20 skud forventer han at ramme plet 2 gange. Til en havnefest køber Børge 15 skud. X = antal gange Børge rammer plet 9

12 Modeller og sandsynlighedsfordelinger Opgave 17 En virksomhed, der fremstiller jernkæder, mener at have opfundet en bedre produktionsmetode. For at undersøge om den nye metode er bedre end den hidtil brugte, prøvefremstiller man 15 stk. 8 mm kæde, hver med en længde af 5 meter. Man opspænder hvert kædestykke i en prøvebænk, hvor man strækker kæden, ind til den springer. Følgende trækbelastninger, alle målt i kg, blev registreret umiddelbart før kædestykket brød sammen: 2.453, 1.980, 2.758, 3.110, 2.738, 2.917, 2.322, 2.645, 2.566, 2.200, 2.441, 2.778, 2.691, 2.533, Ved den hidtil brugte fremstillingsmetode var brudstyrken normalfordelt med en middelværdi på kg og en standardafvigelse på 100 kg. 1 Undersøg, om brudstyrken efter den nye metode kan antages at følge en normalfordeling 2 Virksomheden sælger sine kæder med garanti for, at kæderne har en brudstyrke på mindst kg. Kommenter denne påstand, både i relation til kæder fremstillet efter den hidtil brugte fremstillingsmetode, og i relation til den nye fremstillingsmetode. 3 Antag at der skal fremstilles en prøveproduktion på 10 kabler efter den gamle metode. Bestem sandsynligheden for at den gennemsnitlige brudstyrke for de 10 kabler er på mindst 2.573,4 kg. 4 Virksomheden fremstiller en prøveproduktion på 50 kabler efter den nye metode. Estimer sandsynligheden for, at mindst 48 kabler har en brudstyrke, der opfylder garantien. 5 a) Hvilken garanti kan virksomheden tilbyde for kabler produceret efter den gamle metode, hvis man ønsker, at garantien skal opfyldes med en sandsynlighed på 98 %? b) Hvilken gennemsnitlig brudstyrke, det vil sige µ, skal kablerne have efter den nye metode, hvis virksomheden ønsker, at garantien på kg skal opfyldes med en sandsynlighed på 98 %? 6 Virksomheden har erfaring for, at den gennemsnitlige afsætning pr. måned er meter, med en varians på Kablernes udsalgspris pr. løbende meter er kr. Bestem virksomhedens forventede omsætning pr. måned, samt den tilhørende standardafvigelse. Opgave 18 Ved rensning af flasker i forbindelse med ølproduktion må man i gennemsnit regne med, at anlægget får driftstop 3 gange i løbet af en uge. a) Bestem sandsynligheden for, at der sker mindst 4 driftstop i løbet af en uge. b) Bestem sandsynligheden for, at der sker mindst 16 driftstop i løbet af en måned (= 4 uger). Opgave 19 Antag, at der er en sandsynlighed på 0,40 for at en tilfældig person, der er ryger, kan stoppe med at ryge. Bestem sandsynligheden for, at der blandt 30 rygere er mellem 12 og 15 personer (begge inklusive), der kan stoppe rygningen. Opgave 20 Ved indtagelse af en cola kan det antages, at det i gennemsnit medfører en vægtforøgelse på 50 gram med en standardafvigelse på 20. Bestem sandsynligheden for, at en person, der har drukket en cola, højst øger sin vægt med 40 gram. 10

13 Modeller og sandsynlighedsfordelinger Opgave 21 Køretiden for en vognmand fra København til Esbjerg er udregnet til i gennemsnit at tage 7 timer. Standardafvigelsen kan erfaringsmæssigt sættes til 1. Der udtages en stikprøve på 35 kørsler. Bestem sandsynligheden for at gennemsnittet af køretiden for de 35 kørsler er mellem 6 og 7 timer. Vink! Overvej hvilken fordeling variablen X følger, når X i ~ N(µ, σ 2 ) (se bogen) Opgave 22 En virksomhed har erfaring for at deres afsætning X i styk følger en normalfordeling N(1050, ) De ønsker at opbygge et bufferlager således at efterspørgslen kan efterkommes i mindst 98 % af tilfældene. Bestem bufferlagerets størrelse. Opgave 23 En stikprøve på 10 biler har vist at deres hastighed var følgende: 56, 54, 48, 49, 50, 57, 44, 52, 52, 47 Kontroller grafisk om hastigheden kan antages at følge en normalfordeling. 11

14 Estimation Estimation Opgave 24 I et forsøg på at estimere den gennemsnitlige ordrestørrelse blandt gæster i en restaurant, er der udtaget en stikprøve på 10 personer. Stikprøveresultatet var følgende ordrestørrelse i kr.: 75, 77, 95, 102, 35, 75, 97, 97, 65, 70. Fra tidligere undersøgelser vides at standardafvigelsen σ er 15. a) Punktestimer den gennemsnitlige ordrestørrelse b) Lav et 95 % konfidensinterval for den gennemsnitlige ordrestørrelse c) Anvend punktestimatet fundet i spm. a) til at bestemme sandsynligheden for at en tilfældig gæst afgiver en ordre på mere end 90 kr. d) 90 % af ordrerne er større end et vist beløb K. Anvend punktestimatet fundet i spm. a) til at udregne størrelsen K. Opgave 25 En undersøgelse blandt 340 mænd og 114 kvinder der læser Romanbladet viste at gennemsnitsalderen blandt mændene var 47 år og blandt kvinderne 44 år. Antag at populationens standardafvigelse for både mænd og kvinder er 8. a) Udregn et 95 % konfidensinterval for gennemsnitsalderen for mænd. b) Udregn et 95 % intervalestimat for gennemsnitsalderen for kvinder. c) Sammenlign de to konfidensintervaller og overvej om man kan antage at der er forskel i gennemsnitsalderen. d) Bestem sandsynligheden for at alderen for en tilfældig kvindelig læser er højere end alderen for en tilfældig mand. Ved beregningen anvendes de relevante punktestimater. Benyt sætningen: Hvis X N(µ 1, σ 1 2 ) og Y N(µ 2, σ 2 2 ) er uafhængige så er (X Y) N(µ 1 µ 2, σ σ 2 2 ) Opgave 26 En stikprøveundersøgelse blandt 250 amerikanske fabriksarbejdere viste en gennemsnitlig årsindkomst på $ og en standardafvigelse på $5.000 a) Bestem et 90 % konfidensinterval for populationsgennemsnittet. b) Bestem et 95 % konfidensinterval for populationsgennemsnittet. c) Bestem et 99 % konfidensinterval for populationsgennemsnittet. d) Forklar hvad der sker efterhånden som konfidensniveauet hæves og hvorfor det nødvendigvis må være sådan. 12

15 Estimation Opgave 27 Op til en turnering har bowlingklubben Keglegodte udført en undersøgelse, der skal blotlægge spillernes form. Blandt de 10 turneringsspillere har man noteret, hvor mange strikes der laves ud af 245 kast. Resultatet var 205. a) Angiv et punktestimat for andelen af strikes blandt de 10 turneringsspillere. b) Angiv et 95 % konfidensinterval for andelen af strikes blandt de 10 turneringsspillere. c) Benyt punktestimatet fra spm. a) og udregn sandsynligheden for at der laves 8 eller flere strikes ud af 10 kast. Opgave 28 I 10 på hinanden følgende dage observerer man antallet af færdselsuheld, der involverer cyklister. Resultatet af undersøgelsen var følgende: 16, 13, 14, 17, 25, 11, 14, 16, 12, 15. a) Bestem et punktestimat for det gennemsnitlige antal færdselsuheld pr. dag. b) Bestem et 90 % konfidensinterval for det gennemsnitlige antal færdselsuheld pr. dag. Opgave 29 En stikprøve undersøgelse blandt 14 sygeplejersker har vist et gennemsnitligt sygefravær på 12 % og en standardafvigelse på 4 %. (Bemærk at der ikke er tale om populationens standardafvigelse, men om stikprøvens standardafvigelse). a) Beskriv populationens elementer. b) Angiv et punktestimat for det gennemsnitlige sygefravær. c) Angiv et punktestimat for populationsvariansen og populationens standardafvigelse med hensyn til sygefravær. d) Angiv et 99 % konfidensinterval for populationsgennemsnittet. e) Angiv et 90 % konfidensinterval for både populationsvarians og populationsstandardafvigelse med hensyn til sygefravær. Opgave 30 Blandt 100 tilfældigt valgte MAK-studerende er det konstateret, at den gennemsnitlige forberedelsestid til samtlige fag pr. uge er 6 timer med en tilhørende varians på 4. Endvidere er det konstateret, at 20 af disse studerende ikke forbereder sig til statistik. a) Angiv et 95 % konfidensinterval for den gennemsnitlige forberedelsestid blandt MAK-studerende. b) Angiv både et punkt- og intervalestimat for den andel af MAK-studerende, der ikke forbereder sig til statistik. Konfidensintervallet skal have niveauet 95 %. c) Angiv et 90 % konfidensinterval for populationsvariansen. d) Antag at σ 2 = 3. Beregn på denne baggrund sandsynligheden for at s 2 3,27. 13

16 Estimation Opgave 31 Anderierne håber naturligvis på, at rigtig mange mennesker vælger and juleaften. For at få en ide om, hvor stor en andel der vælger and, har anderiet udspurgt 780 tilfældige personer. 480 svarede at de ville spise and juleaften. Udarbejd et 95 % intervalestimat for denne andel. Opgave 32 Opgave der kan bruges til evaluering af egen viden og indsats A En planteskole har omlagt deres bede og plantestier, samt ombygget forretningen. I den forbindelse har de lavet en rundspørge blandt tilfældige kunder, hvor kunderne er blevet spurgt om de foretrækker den nye indretning frem for den gamle og om den tid de har brugt i havecentret. Resultatet af undersøgelsen var at der blandt 120 adspurgte var 82 som syntes at indretningen var bedre end den gamle indretning og at de i gennemsnit havde brugt 40 minutter med en standardafvigelse på 20 minutter i havecentret. 1) Angiv et 95 % konfidensinterval for den andel af kunderne som synes at den nye indretning er bedre end den gamle indretning. 2) Angiv et 90 % konfidensinterval for den tid som kunderne i gennemsnit vil bruge i havecentret, samt udregn et 90 % konfidensinterval for den standardafvigelse der er knyttet til kundernes tidsforbrug i havecentret. B En bank har som et forsøg oprettet en konsulenttjeneste i tilknytning til en af deres investeringsforeninger. Med henblik på at bemande denne tjeneste ønsker man at få et skøn over hvor mange opringninger der kommer om mandagen mellem kl og kl Et forsøg over 5 tilfældige mandage har vist følgende resultat: Mandag Mandag Mandag Mandag Mandag d. 2/10 d. 9/10 d. 23/10 d. 30/10 d. 13/ I forbindelse med ovennævnte undersøgelse blev navn og adresse registreret for dem der ringede op. Efter 3 måneder opgjorde man for de 23 personer der havde ringet op, hvor mange penge de havde investeret i foreningen. En sammentælling viste, at de i gennemsnit havde investeret kr. med en standardafvigelse på kr., samt at 10 af investorerne havde investeret kr. eller mere. 1) Bestem både et punktestimat og et 95 % konfidensinterval for det antal personer man kan forvente der vil ringe til konsulenttjenesten en mandag mellem kl og ) Bestem et 90 % konfidensinterval for den andel af dem der henvender sig til konsulenttjenesten, og investerer mindst kr. inden for 3 måneder. Fra tidligere omfattende undersøgelser har man erfaring for at standardafvigelsen med hensyn til investeringens størrelse kan antages at være kr 3) Bestem et 90 % konfidensinterval for den gennemsnitlige investering bankens kunder vil foretage i løbet af en 3 måneders periode 14

17 Multinomiske modeller Multinomiske modeller Opgave 33 I 1999 viste en omfattende undersøgelse, at andelene af tv-seere, der foretrækker henholdsvis TV-DANMARK, TV-2 og DR1, fordelte sig således: Andel der ser mest tv fra DR1 TV2 TV-Danmark 35 % 40 % 25 % I 2000 udførtes en stikprøveundersøgelse, bestående af 340 personer, hvor hver person blev spurgt om, hvilken af de tre stationer de havde som 1. prioritet. Undersøgelsesresultatet fremgår af nedenstående tabel: Antal med 1. prioritet DR1 TV2 TV-Danmark Tyder denne stikprøveundersøgelse på, at seer-andelene er ændret? Opgave 34 En undersøgelse fra 16. maj 2000, angående hvilket transportmiddel der benyttes oftest, viste følgende fordeling: Tog: 15 % Bus: 18 % Bil: 52 % Andet: 15 % Undersøgelsen omfattede 300 personer. I 1998 blev der foretaget en omfattende undersøgelse, der viste, at de tilsvarende andele var Tog: 18 % Bus: 20 % Bil: 45 % Andet: 17 % Kan vi på baggrund af undersøgelsesresultatet fra 2000 konkludere at andelene er ændret? Opgave 35 En undersøgelse fra USA, hvor man spurgte hver enkelt deltager om, hvilken farve han/hun foretrækker viste Farve Antal Brun 20 Gul 15 Rød 30 Orange 22 Grøn 16 Blå 12 Kan det for USA som helhed afvises, at andelene med hensyn til farvevalg er lige store? Opgave 36 En pc-producent vil undersøge, om der er forskel i folks præferencer med hensyn til nogle bestemte skærmtyper A, B, C og D. En undersøgelse omfattende potentielle kunder viste: A: 27 % B: 30 % C: 25 % D: 18 % Tyder stikprøveresultatet på, at præferencerne er forskellige? 15

18 Multinomiske modeller Opgave 37 En importør af biler har undersøgt sammenhængen mellem købt bilmodel og købernes bopæl. Nedenfor gengives de tal importøren har fundet frem til ved en tilfældig udvalgt stikprøve på 500. Sedan Lift back Stationcar I alt Jylland Øerne København I alt Undersøg ved en test på 5 % niveauet om der er sammenhæng mellem bilmodel og bopæl og i givet fald identificer hvilke kategorier der især er sammenhæng imellem. Opgave 38 En ejendomsmægler har for 300 ejerboliger undersøgt sammenhængen mellem salgstid og beliggenhed. Undersøgelsesresultatet i procent af de 300 ejerboliger fremgår af følgende tabel: Salgstid I alt Område 1 Område 2 i mdr % 13 % 23 % 1 12 % 17 % 29 % 2 12 % 17 % 29 % over 2 9 % 10 % 19 % I alt 43 % 57 % 100 % Undersøg ved en test, om der er uafhængighed imellem salgstid og beliggenhed. Opgave 39 En spiller, der spiller Joker, ønsker at undersøge om der er uafhængighed i rækkefølgen af lige og ulige numre. Spilleren har derfor samlet oplysninger om 204 spil. Nedenstående tabel viser hvor ofte lige og ulige cifre optrådte efter hinanden. Første ciffer Andet ciffer Lige Ulige Lige Ulige Undersøg ved en test, om der er uafhængighed i rækkefølgen af lige og ulige cifre. 16

19 Multinomiske modeller Opgave 40 I et messecenter ønsker man at undersøge betydningen af standenes placering. I den forbindelse vil man undersøge det rimelige i at opstille modellen: Model: X = antal personer der i løbet af en periode på 15 minutter besøger standen ~ ps(λ) 3 forskellige steder i messecentret med placering A, B og C har man opsat den samme stand. For hver stand har man løbende registreret antal besøgende for perioder af 15 minutter. Resultatet for stand A er Antal besøgende eller flere Antal perioder I alt 75 Undersøg ved en test rimeligheden i at opstille ovenstående model. 17

20 Regression Regressionsanalyse Opgave 41 Et slagteri vil begynde en produktion af hundefoder. Til prisfastsættelsen af hundefoder ønsker virksomheden at identificere de faktorer, der er bestemmende for totalomkostningerne vedrørende produktion af hundefoder. Slagteriet har målt den anvendte mængde af variable produktionsfaktorer og totalomkostningerne i de første 7 dages produktion. Resultaterne fremgår af følgende tabel: Produktion i kg Tilsat stabilisator i kg Tilsat protein i kg Totale produktionsomkostninger i kr ,5 5,5 5,5 5, ,0 16,5 16,6 17,5 18,0 19,0 21,0 Alle delopgaver 33.2 til 33.6 besvares på baggrund af den opstillede model i 33.1 Opgave 41.1 Foretag en grafisk afbildning af talmaterialet vedrørende sammenhængen mellem produktionen i kg og de totale produktionsomkostninger og opstil på den baggrund en regressionsmodel. Præciser forudsætningerne for modellen. Opgave 41.2 Estimer modellens parametre og giv en økonomisk fortolkning af disse. Opgave 41.3 Beregn determinationskoefficienten og fortolk denne. Opgave 41.4 Afgør ved en test, om der er lineær sammenhæng mellem produktionen i kg og de totale produktionsomkostninger. Opgave 41.5 En dag planlægger slagteriet at producere kg. Bestem et 95 % forudsigelsesinterval for de totale produktionsomkostninger. Opgave 41.6 Beskriv hvordan det er muligt grafisk at kontrollere modellens forudsætninger. Opgave 41.7 Redegør for, om modellen i opgave 41.1 bør udbygges med de øvrige produktionsfaktorer. 18

21 Regression Opgave 42 Et engelsk Travselskab Racing Horse har haft et svingende antal gæster gennem de seneste 10 år. Man mener, at det specielt er faktorerne vejret og entréprisen, der kan forklare antallet af gæster pr. travdag. Med henblik på at undersøge om denne formodning holder stik, har man for de seneste 10 år indsamlet data om det gennemsnitlige antal gæster pr. travdag, antal dage med tørvejr og entrépriser. Undersøgelsesresultatet fremgår af følgende tabel: Gennemsnitligt antal gæster pr. travdag Y Antal tørvejrsdage X1 Entrépris X Opstil en regressionsmodel, der beskriver sammenhængen mellem det gennemsnitlige antal gæster pr. travdag og antal tørvejrsdage. Kontroller om modellens forudsætninger er opfyldt Opstil en hypotese om, at der er lineær sammenhæng mellem det gennemsnitlige antal gæster pr. travdag og antal tørvejrsdage. Gennemfør testen og fortolk resultatet Opstil et 95 % forudsigelsesinterval for det gennemsnitlige antal gæster pr. travdag, hvis antal tørvejrsdage et år er Opstil og estimer en multipel regressionsmodel, der forklarer det gennemsnitlige antal gæster pr. travdag som en lineær funktion af antal tørvejrsdage og entréprisen. Argumenter for om nogle af denne models variable bør udelades. 19

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Økogården. Virksomheds- og situationsbeskrivelse. Problemformuleringer. Økogården

Økogården. Virksomheds- og situationsbeskrivelse. Problemformuleringer. Økogården Økogården Økogården Virksomheds- og situationsbeskrivelse I 2008 besluttede 8 landmænd at lave et kooperativ, der som nicheproduktion skulle producere og forhandle økologiske madvarer direkte til forbrugeren.

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14 Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

ØVELSER // SVAR Statistik, Logistikøkonom Konfidensintervaller for én middelværdi og én andel

ØVELSER // SVAR Statistik, Logistikøkonom Konfidensintervaller for én middelværdi og én andel ! ØVELSER // SVAR Statistik, Logistikøkonom Konfidensintervaller for én middelværdi og én andel Opgave 1 Når populationens varians er kendt En virksomhed har udviklet en proces til at producere mursten,

Læs mere

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression ! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression Eksempel 1 AT OPSTILLE EN SIMPEL LINEÆR REGRESSIONSMODEL - GENNEMGÅS AF JAKOB Et stort lager måler løbende sine

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression ! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression Eksempel 1 AT OPSTILLE EN SIMPEL LINEÆR REGRESSIONSMODEL - GENNEMGÅS AF JAKOB Et stort lager måler løbende sine

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

hvor y antages approksimeret ved normalfordeling med middelværdi y og varians va^r(y): y ± u 1-/2 # cv(y) # y = y(1 ± u 1-/2 # cv(y))

hvor y antages approksimeret ved normalfordeling med middelværdi y og varians va^r(y): y ± u 1-/2 # cv(y) # y = y(1 ± u 1-/2 # cv(y)) 1 Opgave II.1 a) Stikprøvevariansen er vidt forskellig for de fire varetyper, men denne absolutte størrelse er vanskelig at sammenligne på tværs af varetyper, da disse har vidt forskellige niveauer, målt

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Test nr. 6 af centrale elementer 02402

Test nr. 6 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 2

Matematik A. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 2 Matematik A Højere handelseksamen Vejledende opgave Efterår 01 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00. hhx143-mat/b-15122014

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00. hhx143-mat/b-15122014 Matematik B Højere handelseksamen hhx143-mat/b-15122014 Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

2 0.9245. Multiple choice opgaver

2 0.9245. Multiple choice opgaver Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl. 9.00 12.00 IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh123-mat/b-17122012 Mandag den 17. december 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 1

Matematik B. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 1 Matematik B Højere handelseksamen Vejledende opgave 1 Efterår 011 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Statistik opgaver - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik opgaver - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik opgaver - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 17. december 2009 1 Indhold 2 1 Opgave 24 En virksomhed har gennem længere tid anvendt

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter.

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1 Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Grundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Monitorering af danskernes rygevaner. Metodebeskrivelse m.m. Januar 2004

Monitorering af danskernes rygevaner. Metodebeskrivelse m.m. Januar 2004 Monitorering af danskernes rygevaner 2003 Metodebeskrivelse m.m. Januar 2004 Monitorering af danskernes rygevaner 2003 Metodebeskrivelse m.m. Januar 2004 Indhold Side 1.1. Indledning... 1 1.2. Baggrund

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx131-mat/a-705013 Mandag den 7. maj 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel: Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen

Læs mere

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens

Læs mere

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode Fokus på Forsyning I notatet gennemgås datagrundlaget for brancheanalysen af forsyningssektoren sammen med variable, regressionsmodellen og tilhørende tests. Slutteligt sammenfattes analysens resultater

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere