hvor x er den mængde råolie (antal tønder), der transporteres pr. dag og v er antal HK.

Transkript

1 Opgavesamling 1 Opgavesamling Opgaver til Kapitel Råolie transporteres fra oliekilden til lagertanke eller udskibningssteder i rørledninger. Output af en rørledning er den mængde olie, ledningen kan transportere pr. dag. De to vigtigste inputs er ledningens diameter og den pumpekraft (målt i HK), olien føres frem med. Et olieselskab har anslået, at produktionsfunktionen for en rørledning med 10 tommers diameter er givet som x = 286v 0.37 hvor x er den mængde råolie (antal tønder), der transporteres pr. dag og v er antal HK. Spørgsmål 1: Find HK's marginalprodukt. Spørgsmål 2: Er marginalproduktet aftagende? Spørgsmål 3: Find gennemsnitsproduktet. Spørgsmål 4: Havde rørledningens diameter nogen betydning for svaret på de foregående spørgsmål? 2.2. På et universitet er det blevet vedtaget, at en studerende skal sørge for, at tavlen er tørret af, inden timen begynder (uanset om tavlen i øvrigt skal benyttes). En 2. semesters HA-studerende, Herman Himmerland, begynder en hjemmefabrikation af grå kitler, idet han mener, at mange studerende vil efterspørge en sådan kittel. De færdigproducerede kitler skal pakkes i kasser af størrelsen 1x1x1 meter. Herman overvejer imidlertid, om det kunne betale sig at pakke kitlerne i kasser af størrelsen 2x2x2 meter. Spørgsmål 1: Er det en god idé? Spørgsmål 2: Er det også en god idé at pakke kitlerne i kasser af størrelsen 10x10x10 meter?

2 2 Opgavesamling 2.3. En virksomhed fremstiller enkeltdele til brug ved fremstillingen af flyvemaskiner. Idet x er output (i antal mio. enkeltdele), K er størrelsen af det faste anlæg, og L er antal arbejdere, er produktionsfunktionen givet ved x = 0.8L 0.3 K 0.8 Spørgsmål 1: Hvad kaldes denne produktionsfunktion? Spørgsmål 2: Hvad kan man sige om skalaafkastet? 2.4. En undersøgelse viste, at produktionsfunktionen i en virksomhed kunne beskrives ved x = A L 0.70 K 0.41 hvor x er output, L er arbejdskraft og K er kapitalapparatet. A er en positiv konstant. Spørgsmål 1: Hvad sker der, hvis L forøges med 1 pct. (idet K holdes konstant)? Spørgsmål 2: Hvad kan man sige om skalaafkastet med denne produktionsfunktion? 2.5. Trykkeriet DANAPRINT fremstiller bl.a. brevpapir. Produktionsfunktionen i denne produktion er givet som x = 0,9P + 0,6L hvor x er antal kg brevpapir produceret pr. år, L er antal arbejdstimer anvendt pr. år og P er antal kg råpapir anvendt pr. år. Spørgsmål 1: Synes denne produktionsfunktion at inkludere alle relevante inputs? Spørgsmål 2: Er produktionsfunktionen "rimelig", hvis man ønsker at anvende den for alle værdier af L? Spørgsmål 3: Har produktionsfunktionen aftagende marginaludbytte? 2.6. En virksomhed anvender en Cobb-Douglas funktion som produktionsfunktion, d.v.s. x = AL K ß, hvor x er output pr. tidsenhed. L og K er arbejdstimer, henholdsvis

3 Opgavesamling 3 maskintid, anvendt pr. tidsenhed. En statistisk analyse viser, at = 0,8 og = 0,3. Virksomhedens ejer hævder, at man arbejder under stigende skalaafkast. Spørgsmål 1: Har ejeren ret? Spørgsmål 2: Ville hun have ret, hvis ß var 0,2? 2.7. Ifølge en opgørelse fra Landbohøjskolen er relationen mellem fodermængde og mælkeproduktion for en ko som følger: Fodermængde (kg) Mælkeproduktion (kg) Spørgsmål 1: Beregn, for hver fodermængde, gennemsnitsproduktet, og tegn et diagram. Spørgsmål 2: Beregn de tre differensprodukter. Spørgsmål 3: Hvad kan man sige om marginalproduktiviteten? 2.8. En virksomhed anvender to inputs i mængderne v 1 og v 2. Produktionsfunktionen er givet ved x = 16(v 1 ) 2 (v 2 ) 2 - (v 1 ) 3 (v 2 ) 3. Spørgsmål 1: Bestem marginalprodukt samt gennemsnitsprodukt. Spørgsmål 2: Bestem isokvanten svarende til produktion af mængden x o. Spørgsmål 3: Besvar spørgsmål 1 og 2 når produktionsfunktionen er givet ved x = 16v 1 v 2 - (v 1 ) 3 (v 2 ) Virksomheden S-Form A/S producerer en vare ved anvendelse af én variabel produktionsfaktor. I nedenstående tabel er anført data for sammenhængen mellem input og den producerede mængde af færdigvaren.

4 4 Opgavesamling Input Produktion Indtegn totalprodukt, gennemsnitsprodukt og marginalprodukt i 2 diagrammer. Opgaver til Kapitel I en virksomhed anvendes faglærte arbejdere (S) og ufaglærte arbejdere (U). Timelønnen for faglærte er 100 kr., for ikke-faglærte er den 50 kr. Virksomheden kan til disse lønninger ansætte så mange arbejdere den har lyst til. Sammenhængen mellem output, x, S og U er som følger: x = 300S + 200U - 0,2S 2-0,3U 2 Spørgsmål 1: Værkføreren, der hedder Bent, anbefaler at man anvender 400 timer faglært arbejdskraft og 100 timer ufaglært, i en given periode. Vurdér dette forslag. Spørgsmål 2: Hvis man anvender i alt kr. i lønomkostning i perioden, hvor mange arbejdstimer af hver slags skal der da benyttes? Spørgsmål 3: Antag, at lønomkostningen ikke behøver at være kr. Hvis prisen pr. output-enhed, p, er konstant lig med 100 kr., hvor mange timer ufaglært arbejdskraft skal der da anvendes? Spørgsmål 4: Havde værkførerens navn nogen betydning for besvarelsen af denne opgave? Havde det betydning, at prisen p var konstant? 3.2. En virksomhed fremstiller elektriske brødristere og har en produktionsfunktion, der er givet ved x = 5LK

5 Opgavesamling 5 hvor x er output (antal brødristere) pr. minut, mens L og K er arbejdskraftforbrug, henholdsvis maskinforbrug pr. minut. Lønnen til L er 1 kr. pr. arbejdskraftenhed og omkostningen til K er 2 kr. pr. maskinforbrugsenhed. Spørgsmål 1: Hvilken inputkombination er optimal, når der skal fremstilles 20 brødristere pr. minut? Hvad bliver svaret, hvis der skal fremstilles 200 brødristere pr. minut? Spørgsmål 2: Antag, at lønnen stiger til 2 kr. Hvilken virkning vil dette have på output pr. enhed af L? Spørgsmål 3: Hvad kan man sige om skalaafkastet i ovennævnte produktionsfunktion? Spørgsmål 4: Er der nogen garanti for, at brødet ikke brænder på? 3.3. En virksomheds produktionsfunktion er givet som x = 100L 0.5 K 0.25 hvor L er arbejdstimer og K er maskintimer pr. periode. Lad r være prisen pr. enhed af K og w prisen pr. enhed af L. Spørgsmål 1: Find den optimale faktorkombination. Kan man være sikker på, at denne kombination faktisk minimerer omkostningerne? Spørgsmål 2: Bestem (minimal)omkostningsfunktionen C(x), hvor x er en given, men arbitrær mængde output pr. periode. Spørgsmål 3: Bestem marginalomkostningen C'(x). Hvordan varierer denne omkostning med x? 3.4. Antag, at produktionen af output x er givet ved en generaliseret Cobb-Douglas produktionsfunktion x = 1.6 v v v hvor v 1 er arbejdstimer, v 2 maskintimer og v 3 er samlet råvareforbrug i kg. Lønomkostningen er kr. pr. 37 timer, omkostninger til maskiner er pr. 37 timer og råvarer koster 500 kr. pr. kg.

6 6 Opgavesamling Spørgsmål 1: Hvad kan man sige med hensyn til skalaafkast for denne produktionsfunktion? Spørgsmål 2: Hvad er de nødvendige betingelser for en optimal inputkombination, når man ønsker at fremstille en given mængde output? Spørgsmål 3: Hvilken betydning vil det have, hvis timelønnen stiger? Spørgsmål 4: Hvilken betydning vil det have, hvis råvareprisen stiger? 3.5. En virksomhed producerer et output ved hjælp af to inputs. Sammenhængen mellem output og input kan udtrykkes ved y = x 1 x 2 hvor y er output og x 1 og x 2 er inputs. Prisen på output er p pr. enhed, mens prisen på de to inputs er w 1 pr. enhed for det første, w 2 pr. enhed for det andet. Produktionen er forurenende: ved brug af en enhed af det første input udledes q 1 enheder bly, og ved brug af det andet input udledes q 2 enheder bly. Virksomheden er blevet påbudt at udlede maksimalt n enheder bly. Virksomheden søger at maksimere dækningsbidraget. Spørgsmål 1: Opstil en model til bestemmelse af den optimale produktion. Spørgsmål 2: Antag, at forureningsbibetingelsen gælder med lighedstegn. Hvad er den optimale produktionsplan (inputs og output), udtrykt some en funktion af problemets parametre. Spørgsmål 3: Hvad er den optimale produktion og det optimale dækningsbidrag, hvis p = 5, w 1 = 1, w 2 = 6, q 1 = 1, q 2 = 2 og n = 180? 3.6. I en virksomhed har man observeret følgende. Marginalproduktiviteten for medarbejdere er 400 færdigvareenheder pr. time og timelønnen er 200 kr. Marginalproduktiviteten for maskintimer er kr færdigvareenheder pr. time og omkostningen pr. maskintime er 300 kr. Spørgsmål 1: Hvorfor er omkostningerne ikke minimale? Spørgsmål 2: Hvad kan der gøres for at opnå minimale omkostninger?

7 Opgavesamling Lad x betegne mængden af output af en færdigvare, som produceres ved brug af m inputs, i mængderne v 1,...,v m. Lad c betegne totalomkostningen og q j omkostningen pr. enhed af input j = 1,2,..., m. Lad en streg over en variabel betegne en given værdi af variablen. Lad x = f(v 1,...,v m ) være produktionsfunktionen. Vis at optimeringsproblemet max {x} u.h.t. c * = q 1 v q m v m har samme løsning som problemet min {c} u.h.t. x * = f(v 1,..,v m ) Ved produktionen af en vare er der mulighed for kontinuert substitution mellem anvendelsen af arbejdstimer v 1 og maskintimer v 2 efter formlen x = 100 v 1 v 2 Spørgsmål 1: Bestem minimalomkostniningskombinationen ved produktion af 200 stk., hhv. 800 stk. af varen, hvis en maskintime koster 200 kr. og en arbejdstime 100 kr. Spørgsmål 2: Hvor store bliver de samlede variable omkostninger ved produktionen af 200, henholdsvis 400 stk., når der ud over arbejdskraft og maskinydelser bruges råvarer for 3 kr. pr. produceret enhed? Spørgsmål 3: Hvor stor er differensomkostningen ved at udvide produktionen fra 200 til 800 enheder? 3.9. Indehaveren af Oskars Bilvask mener, at relationen mellem antal biler vasket pr. time (x) og antal ansatte (L) er givet ved x = - 0,8 + 4,5L - 0,3L 2. Oskar får 50 kr. for hver bil, der vaskes og betaler en timeløn til de ansatte, som fortrinsvis er cand.oecon.-studerende, på 45 kr. Spørgsmål 1: Hvis Oskar ønsker at maximere sin gevinst, hvor mange ansatte skal han da have? Spørgsmål 2: Hvor meget kommer Oskar til at tjene pr. time?

8 8 Opgavesamling Spørgsmål 3: Er der grund til at tro, at produktionsfunktionen er gyldig for alle værdier af L? En virksomhed har en ugentlig efterspørgsel på enheder af et bestemt produkt, som den selv fremstiller. Til fremstillingen råder virksomheden over 5 produktionsanlæg, som på grund af forskellig teknologi, alder m.v. har forskellige variable produktionsomkostninger. Idet x j angiver antal producerede enheder på anlæg j (j = 1,2,...,5), har omkostningsfunktionen for anlæg j følgende udseende: c j (x j ) = (x j ) 2 / c j. Forskellene i de variable produktionsomkostninger fremkommer ved, at konstanterne c j er forskellige. For de 5 anlæg er c 1 = 100, c 2 = 200, c 3 = 50, c 4 = 300 og c 5 = 350. Spørgsmål 1: Hvis der ugentligt skal produceres enheder, og produktionen ønskes gennemført, så at de samlede variable omkostninger er minimale, hvorledes bør produktionen da fordeles på de 5 anlæg? Hvad bliver de samlede variable omkostninger ved denne fordeling? Spørgsmål 2: Antag at anlæg 4 i en bestemt uge er ude af drift. Hvorledes bliver da den optimale produktionsplan, og hvor store bliver de samlede variable omkostninger? En biavler kan sælge så meget honning, han kan producere til prisen 25,60 kr. pr. kg. Han anslår, at de variable omkostninger forløber som følger: V(x) = 9,6x - 0,8x 2 + 0,04x 3 hvor x er produktion af honning (i kg) pr. uge. Spørgsmål 1: Bestem det x, der maximerer biavlerens gevinst pr. uge. Hvad bliver den maximale gevinst? Spørgsmål 2: Antag, at biavleren må regne med faste omkostninger på kr. 400 pr. uge. Skal han ophøre med produktionen? En virksomhed producerer en enkelt vare. De variable omkostninger er givet ved V(x) = x 2 kr. pr. måned, hvor x er output pr. måned. Færdigvarerne kan sælges

9 Opgavesamling 9 for en fast pris på 72 kr. pr. enhed, og der må afholdes en omkostning på 2 kr. pr. solgt enhed til pakning og forsendelse. Spørgsmål 1: Hvor mange enheder skal der fremstilles pr. måned, hvis der er ubegrænset kapacitet, ingen faste omkostninger og man ønsker at maximere gevinsten? Hvad bliver den maksimale gevinst? Spørgsmål 2: Hvis virksomheden har kapacitet til at fremstille 40 enheder pr. måned, hvor mange skal der da fremstilles? Hvis kapaciteten er 25 enheder pr. måned, hvor mange skal der så fremstilles? Spørgsmål 3: Antag, at kapaciteten er 40 enheder pr. måned, og at virksomheden har en fast omkostning på kr. pr. måned. Hvor mange enheder skal der fremstilles pr. måned? En virksomhed anvender i sin produktion et bestemt halvfabrikat. Man kan vælge at fremstille det selv eller købe det hos en underleverandør. I sidstnævnte tilfælde er prisen 100 kr. pr. stk. Hvis man vælger selv at producere, skal der anskaffes et antal maskiner til at klare produktionen. Hver maskine har specifikationerne Faste omkostninger: Kapacitet Variabel enhedsomkostning: kr. pr. år stk. pr. år 50 kr. pr. stk. og konstant Bestem virksomhedens optimale beslutning vedr. antal maskiner som en funktion af det ønskede produktionsomfang, over produktionsintervallet 0 til stk pr. år En virksomhed fremstiller en daglig forbrugsvare inden for levnedsmiddelområdet. Varen kan betragtes som homogen, og antallet af konkurrenter er stort. Varen sælges til en markedspris på 7,00 kr. Lad x betegne den producerede mængde i stk. pr. år. Virksomhedens stykomkostninger er lig med 5,00 kr. i intervallet 0 x Stykomkostningerne er (0,0001x - 5,00) kr. i intervallet x Virksomhedens kapacitetsgrænse er stk pr. år. Spørgsmål 1. Bestem virksomhedens optimale producerede mængde og det dertil svarende dækningsbidrag.

10 10 Opgavesamling Virksomheden overvejer at ændre den homogene vare, således at den bliver en mærkevare. Dette vil medføre et øget salg og der kræves derfor en udvidelse af produktionskapaciteten til stk. pr. år. Til udvidelsen af produktionskapaciteten kræves en engangsudbetaling på kr. ved projektets start. Udover forrentning og afskrivning (over 10 år) af dette beløb, medfører udvidelsen af kapaciteten en forøgelse af forskellige faste omkostninger. Dette beløber sig til kr. pr. år. Mærkevareprojektet kræver også en introduktions-reklamekampagne, som medfører en engangsudbetaling på kr., der skal afholdes ved projektets start. Dertil kommer et årligt reklamebeløb på kr. pr. år i hvert af de følgende 10 år. Antag, at reklameinvesteringen (på kr.) skal forrentes og afskrives over samme periode som investeringen i kapacitetsudvidelsen. Virksomhedens kalkulationsrentefod er 12% p.a. Der regnes ikke med skat. Spørgsmål 2. Kan det betale sig for virksomheden at gøre produktet til en mærkevare? En mindre virksomhed indenfor skovbrugsindustrien, Knast & Bjelke Aps, anvender primært to produktionsfaktorer (inputs): maskineri (save, transportmidler, etc.) og arbejdskraft. I øjeblikket har man et bestemt mængde maskineri (v 2 ) og har undersøgt sammenhængen mellem input af arbejdskraft (v 1 ) og output af træ, x. Tabel 1 angiver denne sammenhæng. Input v 1 Output v

11 Opgavesamling 11 Spørgsmål 1: Tegn produktionsfunktionen i et diagram. Beregn gennemsnits- og differensprodukterne (GP, henholdsvis DP) og indtegn disse i et diagram. Spørgsmål 2: Angiv tre intervaller for input v 1, hvori (i) GP er voksende og DP > GP, (ii) GP er aftagende og DP < GP samt (iii) DP er negativ. Hvad gælder der i det punkt, hvor GP har sit maximum? Antag nu, at mængden af maskineri v 2 kan ændres samtidig med arbejdskraften v 1. Der kan imidlertid ikke substitueres langs kontinuerte isokvanter, men langs isokvanter, der består af et antal punkter. Man ønsker et output på x 0 = 29. Om denne isokvant ved man kun, at den indeholder punkterne (v 1, v 2 ) = (3, 750) og (v 1, v 2 ) = 4, 500). [Tallene 750, henholdsvis 500 er mængder af maskineri, udtrykt i en fælles enhed. Tallet 750 er den nuværende mængde maskineri]. Omkostningen pr. maskinenhed er opgjort til 0,20 kr. Spørgsmål 3: Opstil ligningen for en isokostlinie og find dernæst en optimal inputkombination. Hvad bliver den minimale omkostning? Opgaver til Kapitel Direktørerne på to russiske atomkraftanlæg, nr. 1 og nr. 2 har ikke modtaget løn i 7 måneder. De har derfor besluttet at tage sagen i egne hænder og vil sælge plutonium på det sorte marked. De to anlæg er konkurrenter på dette marked. Antag, at de alene på markedet. Det er næsten omkostningsfrit at producere plutonium og sammenhængen mellem udbuddet U 1 (kilo) fra anlæg 1 og U 2 (kilo) fra anlæg 2 og markedsprisen p (mio. rubler pr. kilo) kan udtrykkes ved: p (U 1 U 2 ) 1forU 2 49,5. Spørgsmål 1: Opstil en model til bestemmelse af den optimale produktion af plutonium på anlæg 1, givet produktionen på anlæg 2. Spørgsmål 2: Hvad er den optimale produktion af plutonium på anlæg 1, givet produktionen på anlæg 2? Vis den fundne sammenhæng mellem U 2 og U 1 grafisk. Spørgsmål 3: Hvad er Cournot-løsningen med hensyn til produktion, pris og gevinst for de to duopolister? Mafiaen tilbyder anlæg 1at få anlæg 2 til at indstille produktionen af plutonium.

12 12 Opgavesamling Spørgsmål 4: Hvor meget vil anlæg 1 højst være villig til at betale herfor? 4.2. Betragt et duopol over enkelt periode og sæt x 1 = virksomhed 1's producerede mængde i perioden x 2 = virksomhed 2's producerede mængde i perioden. Efterspørgslen på markedet er givet ved p = a - x hvor p er markedsprisen i kr., x = x 1 + x 2 og a er et positivt tal. Hver virksomhed har en konstant stykomkostning, lig med c kr. pr. enhed. Antag, at c < a og at hver virksomhed ønsker at maximere sin gevinst i perioden. Spørgsmål 1: Antag, at virksomhederne træffer beslutninger om deres produktion samtidigt og uafhængigt af hinanden. Hvad bliver Cournot-Nash ligevægten? Hvor meget tjener hver virksomhed i ligevægten? Hvad bliver markedsprisen? Spørgsmål 2: Hvad er den største mængde, virksomhed 1 nogensinde vil producere? Hvornår vil den producere denne mængde? Spørgsmål 3: Antag nu, at virksomhed 1 træffer beslutning først. Når dette er sket, observerer virksomhed 2 denne beslutning og træffer dernæst sin egen beslutning. Hvad bliver de to virksomheders optimale beslutninger? Har virksomhed 1 nogen fordel ved at træffe beslutning først? Hvad bliver nr. 2 's gevinst i forhold til situationen i spørgsmål 1? Spørgsmål 4: Antag nu, at virksomhederne samarbejder og de bestemmer derfor x 1 og x 2 så at summen af de to virksomheders gevinster maximeres. Hvor meget skal de tilsammen producere? Spørgsmål 5: Antag, at virksomhederne enes om at producere hver halvdelen af den i spørgsmål 4 bestemte mængde. Er der grund til at forvente, at en sådan aftale kan opretholdes, hvis en bindende aftale ikke kan indgås? 4.3. To virksomheder, A og B, producerer begge en homogen vare. Markedets efterspørgselsfunktion er givet ved p = (Q 1 + Q 2 )

13 Opgavesamling 13 hvor p er markedsprisen og Q 1, henholdsvis Q 2 er de respektive udbudte mængder pr. måned. Virksomhederne har omkostningsfunktioner givet ved henholdsvis TO A = Q 1 TO B = Q 2. Hvis begge virksomheder handler á la Cournot, hvad bliver da - i ligevægten - de udbudte mængder samt markedsprisen? 4.4. På et marked er der i øjeblikket kun én virksomhed, A, som har konstante variable enhedsomkostninger i produktionen, lig med 1 kr. Der er en fast omkostning pr. periode på 2,25 kr. (Disse tal er ikke realistiske, men er lette at regne med). Den anvendte produktionsteknologi er tilgængelig for andre virksomheder, der måtte ønske at etablere sig på markedet. Disse virksomheder vil - hvis de etablerer sig - få samme produktions- og omkostningsforhold som A. Den udbudte vare er homogen og markedets efterspørgsel, x stk. pr. periode, er givet ved funktionen p = 9 - x, (1) hvor p er markedsprisen i kr. pr. stk. Spørgsmål 1: Hvilken mængde er det optimalt for en virksomhed A at udbyde, hvis A ser fuldstændig bort fra eksistensen af potentielle konkurrenter? Hvad bliver virksomhedens maksimale (netto-) gevinst. Antag nu, at en konkurrent (B) overvejer at gå ind på A s marked. B vil etablere sig, hvis han kan få en positiv gevinst. Spørgsmål 2: Hvis B tager for givet, at A - efter B er gået ind på markedet - vil fortsætte med den i spørgsmål 1 bestemte produktionspolitik, hvilken mængde skal B da udbyde, hvis han etablerer sig? Hvad bliver markedsprisen nu? Hvor stor bliver B's gevinst, og kan det overhovedet betale sig for B at etablere sig? Hvor stor bliver A's gevinst? VINK: sæt x A = A's udbud, x B = B's udbud og p = 9 - x A - x B i formel (1). Spørgsmål 3: Sammenlign - kort - resultaterne i spm. 1 og 2.

14 14 Opgavesamling Det viser sig, at virksomhed A producerer og udbyder mængden 5 stk. pr. periode når A er alene på markedet. Spørgsmål 4: Hvis B tager for givet, at A - efter B er gået ind på markedet - vil fortsætte med at udbyde mængden 5 stk. pr. periode, hvilken mængde skal B udbyde, hvis han etablerer sig? Kan det nu betale sig for B at etablere sig? Hvad har A - i hvert fald tilsyneladende - opnået ved at udbyde mængden 5 stk. pr. periode? Antag nu, måske mere realistisk, at B ikke længere tager for givet, at A's udbud vil være det samme før som efter, at B etablerer sig. B skal beslutte sig for eller imod etablering. Spørgsmål 5: Antag, at B faktisk etablerer sig. Hvad bliver da de to virksomheders respektive udbud? Hvad bliver markedsprisen? Hvad bliver de to virksomheders respektive gevinster? Spørgsmål 6: Kan det betale sig for B at etablere sig? 4.5. En speciel elektronisk komponent produceres kun af to virksomheder i hele verden. Kald disse virksomheder for S, henholdsvis T. De to virksomheders produkter er perfekte substitutter. Efterspørgslen er givet ved følgende funktion: p = x S - x T hvor x S og x T er virksomhed S og T s respektive solgte mængder (styk pr. dag) og p er markedsprisen. De to virksomheders samlede produktions- og salgsomkostninger er givet ved følgende funktioner: TO(x S ) = x S (x S ) 2 TO(x T ) = x T (x T ) 2 Spørgsmål 1: Antag, at de to virksomheder træffer deres produktionsbeslutninger uafhængigt af hinanden. Virksomhed S kender ikke virksomhed T s beslutning, når S skal træffe sin beslutning, og omvendt. (a) Hvor mange komponenter skal de to virksomheder hver især producere pr. dag? VINK. Det gør ikke noget, hvis antal komponenter ikke bliver et helt tal. (b) Hvad bliver markedsprisen?

15 Opgavesamling 15 (c) Hvad bliver de to virksomheders gevinster? Hver virksomhed erkender, at det ville være fordelagtigt (i den forstand, at begge ville få en større fortjeneste) hvis man koordinerede produktionsbeslutningerne. Spørgsmål 2: Hvis virksomhederne er enige om at bestemme de to mængder x S og x T således, at den samlede gevinst bliver størst mulig, hvor meget skal de så hver især producere? Hvad bliver markedsprisen? Hvad bliver den maksimale, samlede gevinst (pr. dag)? Antag, at de to virksomheder aftaler, at de producerede mængder skal bestemmes som i spørgsmål 2. Spørgsmål 3: Hvor meget bliver da marginalomkostningen for virksomhed S, henholdsvis T? Spørgsmål 4: Giv et begrundet forslag til, hvordan virksomhederne kan dele den maksimale, samlede gevinst (som bestemt i spørgsmål 2) På et marked har virksomheden XYZ en konkurrent, nemlig virksomheden ABC. De to virksomheder fremstiller døre af næsten samme udseende og kvalitet; ingen af de to virksomheder har gjort noget særligt for at differentiere deres respektive produkter. I en kommende periode regner virksomhederne med, at markedets efterspørgsel efter døre er bestemt som p = Q X - Q A, hvor p er markedsprisen og Q X og Q A er XYZ s henholdsvis ABC s udbud af døre. I de to virksomheder er de variable produktionsomkostninger opgjort som funktioner af den producerede (og udbudte) mængde af døre: 2 2 V(Q X ) = 55 Q X + (Q X ), V(Q A ) = 20 Q A +2 (Q X ) (1) Spørgsmål 1: Antag, at XYZ kender ABC s omkostningsfunktion, og vice versa. De to virksomheder, bestemmer deres udbud, Q X henholdsvis Q A, samtidigt og uafhængigt af hinanden. Hvad kunne man forvente, at de udbudte mængder blev? Hvad med markedsprisen? Hvor stor ville hver enkelt virksomheds gevinst blive? 4.7. På et marked er der to virksomheder, der producerer produkterne X, henholdsvis Y, i mængderne x, henholdsvis y. De to produkter opfattes af forbrugerne som værende identiske. Markedsprisen p afhænger af den samlede udbudte mængde x + y på den måde, at

16 16 Opgavesamling p = [x + y] for x + y < 130. Begge virksomheder producerer med konstante stykomkostninger, som for dem begge er lig med 10 kr. Virksomhederne skal planlægge deres produktion (udbud) for en bestemt periode. Ved løsningen af dette problem kender X ikke Y s udbud, og omvendt. Antag, at begge virksomheder kan variere deres produktion kontinuerligt Spørgsmål 1: Find en Nash ligevægt. Hvad bliver markedsprisen og hvad bliver de to virksomheders respektive gevinster? Spørgsmål 2: Hvad ville der ske med de udbudte mængder (i ligevægt), hvis stykomkostningen var 40 kr. for begge virksomheder? Hvilken betydning ville det have for forbrugerne? Spørgsmål 3: Antag, at de to virksomheder har stykomkostninger på c 1, henholdsvis c 2 kr., således at c 1 < c 2. Hvilken betydning ville dette have for de udbudte mængder (i ligevægt)? Opgaver til Kapitel Et handelsfirma agter pr. 1. maj i år at påbegynde forhandling af en ny vare. Man regner med der kan sælges stk. pr. dag ( stk. pr. år). Varen indkøbes til en pris af 0,10 kr. pr. stk., hvortil kommer et ekspeditions- og forsendelsesgebyr på 200 kr. pr. ordre. Firmaet råder over et ellers ubenyttet lagerlokale, der kan rumme maksimalt stk. af varen; et eventuelt behov for yderligere lagerplads kan kun imødekommes ved, at man lejer et ekstra lokale, der koster kr. i årlig leje. Løbende lageromkostninger (renter, forsikringer etc.) anslås til 0,004 kr. pr. stk. pr. dag. Beregn den optimale indkøbs- og lagerpolitik for perioden frem til 31. marts næste år, når firmaet for at gardere sig mod leveringsudygtighed ønsker at holde et sikkerhedslager svarende til en uges forventet afsætning En fabrik har et (praktisk taget) konstant forbrug på stk. pr. dag af en bestemt type maskinbolte. Leverandøren af boltene tager 10 øre pr. stk. Ved ordrer på over stk. gives dog rabat, idet stykprisen nedsættes til 7,3 øre. Man afhenter selv boltene hos leverandøren. Omkostningerne herved er 200 kr. pr. ordre uafhængigt af dennes størrelse. Betaling sker kontant ved afhentningen. På

17 Opgavesamling 17 fabrikken indgår de afhentede bolte på råvarelageret. De væsentlige lageromkostninger hidrører fra, at fabrikkens ledelse kræver en forrentning på 20% p.a. af den kapital, der er bundet i lagrene (her målt ved indkøbsomkostningen). Spørgsmål 1: Hvad er den optimale ordrestørrelse? Spørgsmål 2: Hvor mange penge er der i gennemsnit bundet i råvarelagerets beholdning af bolte, når den optimale ordrestørrelse benyttes? 5.3. En virksomhed forsyner 5 grossister med en speciel type skruer. De fem grossisters efterspørgsel er jævnt fordelt over året og udgør på årsbasis (antal stk.): Af konkurrencehensyn ønsker virksomheden at levere skruerne i en pakkestørrelse, som minimerer grossisternes omkostninger. For hver pakke af størrelse x betaler grossisterne prisen K + cx, og lageromkostningen pr. år pr. skrue er 0.02c. Spørgsmål 1: Opskriv de samlede årlige indkøbs- og lageromkostninger for leverancer til alle 5 grossister under ét som funktion af pakkestørrelsen. I det følgende sætter vi K = 10, c = 1. Spørgsmål 2: Bestem den pakkestørrelse, som minimerer de i spørgsmål 1 fundne omkostninger. Spørgsmål 3: En konkurrerende virksomhed har samme priser, K og c, men tilbyder pakkestørrelser efter grossisternes individuelle ønske. Hvor meget skal virksomheden reducere sin faste pakkepris K til for at være billigere end konkurrenten? Pakkestørrelsen justeres i overensstemmelse med ændringen i K Et entreprenørfirma vil på en byggeplads opføre en silo, hvori der skal opbevares cement. Cement køres til byggepladsen i tankbiler (med samme kapacitet), fyldes i siloen og anvendes derefter i en jævn strøm i byggeperioden. Hver lastbiltransport medfører omkostninger (excl. prisen for cementen) på kr. Udgifterne til siloen vil på årsbasis være gennemsnitligt kr. pr. ton cement, der opbevares i siloen. Man regner med at anvende 5 tons cement om dagen i et år med 360 dage.

18 18 Opgavesamling Hvor stor skal tankbilens og siloens kapacitet være for at minimere omkostningerne, og hvor ofte skal der foregå en opfyldning af siloen? 5.5. En virksomhed forbruger 25 enheder fra sit råvarelager pr. dag. De faste omkostninger pr. ordre andrager 400 kr., og det koster 0,50 kr. at lagre en enhed i en dag. For en periode af 360 dage ønskes bestemt følgende størrelser: a. Den optimale ordrestørrelse. b. Størrelsen af det gennemsnitlige lager. c. Tidsintervallet mellem to på hinanden følgende ordreafgivelser. d. De samlede ordreomkostninger i perioden på 360 dage. e. De samlede lageromkostninger i perioden på 360 dage. f. Tegn desuden et diagram, der viser ordreomkostninger, lageromkostninger og totale omkostninger forbundet med oplagringen som funktion af ordrestørrelsen Ved fabrikationen af elektromotorer skal en fabrik hver dag bruge 82 aksler ved samlebåndet. Forsinkelser kan ikke tolereres. Maskinværkstedet kan producere 500 aksler pr. dag. Fremstillingsomkostningerne er: 400 kr. ved omstilling af maskinerne til produktion af aksler og 105 kr. pr. aksel. Lageromkostningerne er 2.25 kr./uge pr. aksel. Antag: 5 dage/uge Spørgsmål 1: Bestem den seriestørrelse, som giver minimale fremstillings- og lageromkostninger. Spørgsmål 2: Bestem den minimale fremstillings- og lageromkostning pr. dag En virksomhed sælger fra sit lager reservedele til TV apparater m.v. For en bestemt komponent, XYZ 38B, anslås efterspørgslen at være stk. pr år. Man kalkulerer med en lageromkostning på 10 kr. pr. stk. pr. år og en fast ordreomkostning på 25 kr. pr. afgivet ordre. Indkøbsprisen pr. stk. er kr. 4,75. Ordreomkostning og indkøbspris gælder for leverandør A Beregn den optimale ordrestørrelse samt den dertil svarende omkostning, når man ønsker at minimere de samlede omkostninger til indkøb og lagerhold 5.8. En virksomhed har hidtil beregnet sin optimale lagerstørrelse for et bestemt produkt, der produceres i serier, under den forudsætning at fremstillingstiden

19 Opgavesamling 19 praktisk taget er nul. Nu viser det sig, at fremstillingstiden ikke er uvæsentlig. Hvordan påvirkes den optimale seriestørrelse, hvis produktionsprocessen er således, at der ikke kan afsættes varer, før hele serien er færdigproduceret? Hvad bliver svaret, hvis der løbende kan afsættes enheder fra den del af serien, som er færdigproduceret Cykelfabrikken Peder E. Dahl A/S fremstiller 100 cykler (med to hjul) om ugen. På et år arbejdes der i alt 50 uger á 5 dage. Dæk til cyklerne købes hos en leverandør til en pris af 50 kr. pr. dæk. Det koster 800 kr. at placere en ordre hos leverandøren, uanset ordrens størrelse. Hvis dækkene ligger på lager hos cykelfabrikken, medfører det en lageromkostning på 9 kr. pr. dæk pr. år. Levering af dæk garanteres af leverandøren at ske 3 dage efter, at en ordre er afgivet. Cykelfabrikken ønsker at minimere sine samlede omkostninger, men vil ikke have produktionen forsinket af en eventuel mangel på dæk. Efter en henvendelse fra produktionschef Axel Kranck er du blevet ansat som konsulent for cykelfabrikken. Man ønsker at få følgende spørgsmål besvaret: Spørgsmål 1: Hvor mange dæk skal cykelfabrikken købe hver gang, den afgiver en ordre? Spørgsmål 2: Hvor mange ordrer skal man afgive årligt? Spørgsmål 3: Hvor mange dæk vil der i gennemsnit ligge på lageret? Spørgsmål 4: Hvad er tidsafstanden mellem 2 på hinanden følgende ordrer? Spørgsmål 5: Hvad bliver den minimale, samlede omkostning? Cykelfabrikken overvejer at fremstille dækkene selv i stedet for at købe dem fra leverandøren. Man skønner, at produktionsomkostningen pr. dæk vi være 45 kr., og at der vil være kapacitet til at fremstille 100 dæk pr. dag. Der påløber en omkostning på kr. hver gang produktionen af dæk sættes i gang. Lageromkostningen anslås at blive 8,10 kr. pr. dæk pr. år. Man vil gerne have følgende spørgsmål besvaret: Spørgsmål 6: Hvad bliver den optimale seriestørrelse i dækproduktionen? Spørgsmål 7: Hvor lang tid vil det tage at producere en serie?

20 20 Opgavesamling Spørgsmål 8: Kan det overhovedet betale sig at fremstille dækkene selv, fremfor at købe dem hos leverandøren? Udover rent omkostningsmæssige hensyn ønskes også anført andre hensyn, der kunne tale for/imod at producere selv En virksomhed ønsker at fremstille en vare i serieproduktion. For at klare afsætningen, der antages at blive lige stor hver dag, skal der fremstilles stk. pr. år (1 år = 300 arbejdsdage). Hver gang en ny serie skal indledes, påløber der produktionsforberedelsesomkostninger på kr. I de perioder, hvor der produceres, planlægges fuld kapacitetsudnyttelse, der giver mulighed for en produktion på 30 stk. pr. dag. For at sikre sig mod uventede udsving i afsætningen ønskes opretholdt et sikkerhedslager på ½% af den årlige afsætning. Omkostningerne til produktion af et styk af varen anslås til kr. Omkostningerne ved at holde et styk på lager i en måned à 25 arbejdsdage består af: Lagerleje på 100 kr., rente og andre omkostninger på 1% af varens værdi, afskrivninger på grund af svind fra lageret på ½% af varens værdi samt løn og andre omkostninger på tilsammen 250 kr. Spørgsmål 1: Hvor stor en del af årets arbejdsdage foregår der produktion? Spørgsmål 2: Hvor lang er den optimale produktionsperiode i hver serie? Spørgsmål 3: Hvor store er de samlede årlige lageromkostninger, incl. omkostningerne til sikkerhedslager? En virksomhed planlægger at fremstille en vare i serieproduktion på et anlæg, der har en daglig kapacitet på 20 tons. Produktionsforberedelsesomkostningerne forventes at blive kr. pr. serie og i lageromkostninger regnes med 3 kr. pr. ton pr. dag. For et år på 300 arbejdsdage planlægges en afsætning på tons. Beregn den optimale produktionsperiode og størrelsen af det maksimale lager En produktionsvirksomhed inden for plasticindustrien producerer bl.a. en komponent, der afsættes til en enkelt stor aftager. Virksomheden har haft en aftale med kunden om en fast årlig leverance på stk., leveret jævnt fordelt over året (1 år = 360 dage). Denne aftale forudser virksomheden vil fortsætte fremover. Produktionen foregår som serieproduktion, hvor produktionsudstyret enten kører med en given driftshastighed, bestemt af udstyrets kapacitet, eller ligger helt stille.