Da bogen "Grænser for vækst" (Meadows m.fl.) udkom i 1972, rystede den store dele af

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Da bogen "Grænser for vækst" (Meadows m.fl.) udkom i 1972, rystede den store dele af"

Transkript

1 Optimering - et grundlag for bæredygtig it f avid Pisinger, adjungeret professor, IKU a bogen "Grænser for vækst" (Meadows m.fl.) udkom i 97, rystede den store dele af samfundet. Verden havde ellers set lidt af hvert: Vietnamkrigen, Watergateskandalen og den kolde krig. Mange mente, at nu kunne det ikke blive værre. Men alligevel fik bogens dommedagsprofeti mange rynkede øjenbryn frem. ogen forudsagde, at hvis befolkningseksplosionen fortsatte som hidtil, ville jordens ressourcer snart være opbrugt. er ville ske en voldsom økonomisk afmatning, og livskvaliteten ville falde i starten af 000-tallet. Resultaterne var baseret på en global computermodel, "World3", udviklet på MIT, der gennem komplekse ligningssystemer gjorde det muligt at simulere klodens tilstand mange år frem i tiden. Kort efter udgivelsen kom oliekrisen som en slags bekræftelse af dommedagsprofetierne. ogen var revolutionerende i flere henseender:. et var den første populære anvendelse af it-baseret simulation af sammenhænge mellem livets forudsætninger. Modellen beskrev gensidige afhængigheder og afspejlede derfor i højere grad den virkelige verden.. er blev tegnet et dystert billede af fremtiden. Hvis befolkningseksplosionen fortsatte, og vi blev ved med at ødsle med jordens ressourcer, ville vi snart se katastrofale følger. 3. ogen stillede spørgsmålstegn ved den bibelske opfattelse af, at mennesket hersker over jorden. Mennesket er ligesom alle andre levende væsner underlagt nogle spilleregler på kloden. Her, knap 40 år efter udgivelsen, er "Grænser for vækst" mere aktuel end nogensinde. Vi kæmper stadig med en eksplosivt voksende befolkning, men hvor bogen oprindelig var bekymret for, at mængden af fossilt brændstof var begrænset, frygter vi nu i højere grad konsekvenserne af O - udslip, drivhusgasser og forurening. It som vagthund og frelsende engel På samme måde som it blev brugt til at forudsige grænserne for den globale vækst, kan it også være vejen til at løse problemerne. Eller i hvert fald en del af løsningen. Med en voksende befolkning og færre råstoffer må vi blive bedre til at udnytte vores ressourcer, hvis vi vil opretholde vores nuværende levestandard. 0 TLOGIK INTITUT

2 Figur : ogen "Grænser for vækst" satte med sine computerbaserede simulationer fokus på bæredygtighed. om det ses på figuren til højre, vil industri- og fødevareproduktionen aftage drastisk omkring 00, og forureningen vokse frem til 040, hvor befolkningstallet daler voldsomt. tate of the World Resources Industrial output Population Food Pollution er bliver i disse år brugt mange penge på at investere i ny teknologi, som kan mindske energiforbrug og begrænse O -udslip, men omstillingsprocessen er langsom og dyr, og visse teknologiske løsninger fører blot nye problemer med sig. Tænk blot på a-kraft-værker, enorme vindmølleparker i naturen osv. et kan derfor virke besnærende i stedet at blive bedre til at udnytte de eksisterende ressourcer ved brug af it-baseret optimering. et startede ellers på en mindre flatterende måde. Første gang man begyndte at bruge kvantitative metoder til beslutningstagning, var under anden verdenskrig, hvor faget operationsanalyse så dagens lys. Operationsanalyse bruger regnekraft til at støtte beslutninger og opererer derfor i grænseområdet mellem matematik og datalogi. Under anden verdenskrig var målet at få ødelagt flest mulige af fjendens fly og skibe, og mere end.000 medarbejdere blev brugt til at planlægge krigens forløb i England. Efter krigens afslutning så man mulighederne i at bruge de samme teknikker inden for planlægning af fx produktion, logistik og infrastruktur. Især fremkomsten af lineær programmering i 947 satte skub i tingene, og det viste sig hurtigt, at der næsten ikke var grænser for, hvad metoderne kunne bruges til. Fokus har dog næsten altid været på at maksimere fortjenesten (i en eller anden form) af sine handlinger. I dag står vi nu ved en vigtig korsvej, hvor interessen mere og mere drejer sig om at finde bæredygtige løsninger. Ud fra et datalogisk synspunkt er optimeringsproblemer interessante at beskæftige sig med. er findes ikke nogen universel løsningsmetode, som kan løse alle optimeringsproblemer, og teorien om NP-fuldstændighed (se faktaboks) giver os god grund til at tro, at vi aldrig vil blive i stand til at løse disse rutinemæssigt. Faktisk er der udlovet en million dollar i præmie til den, der kan løse et af disse problemer effektivt. KØENHVN UNIVERITET

3 Lette og svære optimeringsproblemer Forestil dig, at du som rektor på et gymnasium skal dele 0 studerende i tre klasser. lle studerende har skrevet en liste over personer, de ikke vil i klasse med, og vi søger en opdeling, som respekterer alle disse ønsker. Problemet er et eksempel på, hvad forskere kalder et NP problem, idet det er nemt at kontrollere, om en foreslået opdeling af de studerende overholder alle ønsker. Men at finde en opdeling, som overholder alle ønsker, er en uoverkommelig opgave. Hvis man bare prøver sig frem med alle mulige opdelinger, er der mere end 3 0 kombinationsmuligheder, et tal, der overstiger alle atomer i universet! å hverken vi eller fremtidige civilisationer vil kunne bygge en supercomputer, som vil kunne prøve alle kombinationsmuligheder. Men måske findes der en snedig algoritme, som kan løse problemet uden at prøve alle kombinationsmuligheder. Vi har bare endnu ikke udviklet matematiske metoder til at gøre dette. Et af datalogiens store spørgsmål er, om der findes spørgsmål, hvor det er nemt at kontrollere, om en løsning er korrekt, men som kræver ufattelig lang tid at løse ved direkte beregning. Problemet ovenfor ligner et sådant problem, men hidtil har ingen været i stand til at vise, at man rent faktisk skal bruge ufattelig lang tid på at løse det. tephen ook og Leonid Levin formulerede dette spørgsmål i 97 som P (det er nemt at løse problemet) versus NP (det er nemt at kontrollere en løsning) -problemstillingen. Hvis det en dag bliver vist, at P = NP, vil det få omfattende konsekvenser for vores tilværelse og tænkemåde. Man vil fx kunne få en computer til at bevise alle uløste påstande inden for matematik og fysik. et er nemlig nemt at kontrollere, om et bevis er korrekt, så problemet "find et matematisk bevis" tilhører klassen NP. Hvis P = NP, vil det også være nemt at "finde et matematisk bevis". Hvis man kunne få en computer til at bevise uløste matematiske problemer, ville man kunne tale om ægte kunstig intelligens, og teknisk forskning ville rykke et kvantespring fremad. landt NP-problemerne er der nogle særlig svære problemer, som vi kalder NP-fuldstændige problemer. isse problemer er sværere end alle NP-problemer, i den forstand at man kan transformere alle NPproblemer til et NP-fuldstændigt problem. Nedenstående tabel viser nogle lette (P-problemer) og svære problemer (NP-fuldstændige problemer) Korteste vej Givet et vejnet, find den korteste vej fra a til b Let Længste vej Givet et vejnet, find den længste kredsfri vej fra a til b vært Todeling Handelsrejsendes problem Givet et antal heltal, del disse i to mængder, så summen af tallene er ens i hver mængde Givet et vejnet, find den korteste tur rundt, som besøger alle byer vært vært Primtal Givet et heltal, afgør, om tallet er et primtal Let eling i to klasser Givet et antal studerende, hvor hver studerende har angivet, hvem han/hun ikke vil i klasse med. el de studerende i to klasser så ønskerne overholdes Let eling i tre klasser Givet et antal studerende, hvor hver studerende har angivet, hvem han/hun ikke vil i klasse med. el de studerende i tre klasser, så ønskerne overholdes vært TLOGIK INTITUT

4 Hvert enkelt optimeringsproblem er derfor en videnskabelig udfordring, som kræver et samspil af mange discipliner. Fra matematik over algoritmik til design af supercomputere. Mange optimeringsproblemer er særdeles beregningstunge at løse, så grid og cloud computing er velkomne værktøjer til at fordele beregningerne på mange computere. Men selv hvis vi havde alle jordens computere til rådighed, ville der være visse optimeringsproblemer, som stadig ikke ville kunne blive løst (se figur ). I stedet er vi nødt til at udvikle nye matematiske løsningsmetoder for at kunne hamle op med de sværeste optimeringsproblemer, og selv her må vi undertiden erkende, at vi ikke kan løse et problem (endnu). n n n n n n! stort Figur : Mange optimeringsproblemer tager eksponentielt lang tid at løse, fx n, hvor n er antallet af variable, der skal bestemmes. Problemerne behøver ikke at blive ret store, førend vi må opgive at løse dem. Tabellen viser, hvor hurtigt n vokser i forhold til andre funktioner. Til sammenligning er der gået ca. 3,73 milliarder år siden ig ang, hvilket er omkring sekunder. Hvis en computer havde kørt uafbrudt siden ig ang og udført en milliard regneoperationer i sekundet, ville den nu have udført 7 regneoperationer. å et problem med n = 0 variable, hvor det tager n regneoperationer at løse det, ville være kommet gennem mindre end promille af beregningerne. Produktion og bæredygtighed som ligeværdige mål et nytter ikke noget, at man alene søger efter de mest bæredygtige løsninger, for her vil de matematiske modeller typisk svare, at det miljømæssigt bedste er ikke at producere eller transportere noget som helst. elvom dette er en smuk løsning, er det de færreste ledere, som ville blive genvalgt med et sådant valgprogram. et er derfor vigtigt, at vi ser produktion, fortjeneste og bæredygtighed som ligeværdige mål. Når fortjenesten presses til det yderste, ser man ofte, at ressourceforbrug og forurening vokser dramatisk. Men blot en lille formindskelse af fortjenesten på - procent kan ofte give en voldsom formindskelse af ressourceforbruget. ette hænger sammen med, at der ofte kun er én løsning, som maksimerer fortjenesten, mens der findes rigtig mange løsninger, som er bare nogle få procent dårligere. landt disse mange løsninger er det derfor relativt nemt at finde en løsning, som også er bæredygtig. Når man går fra at maksimere fortjenesten til at afveje profit mod bæredygtighed, er der ikke en entydig optimal løsning. erimod findes der en vifte af løsninger som illustreret på figur 3. Man kan ikke uden videre bruge en computer til at vælge en af disse løsninger, idet de alle er lige gode på hver sin måde. Man må derfor i stedet lade en beslutningstager afveje de forskellige kriterier mod hinanden. I sidste instans er det en politisk-strategisk afvejning, hvor grænsen mellem produktion og bæredygtighed skal ligge, men vi kan bruge computeren til at finde de bedste valgmuligheder og synliggøre konsekvenserne af hvert valg. KØENHVN UNIVERITET 3

5 En øget miljøbevågenhed kan også have mange implicitte fordele. For at spare energi vil man ofte vælge at sejle/køre lidt langsommere end den maksimale hastighed. ådanne løsninger fører til mere robuste planer, idet det er nemmere at indhente forsinkelser. I sidste instans fører det til større kundetilfredshed og at varer leveres til tiden. I de følgende afsnit gennemgås nogle projekter, hvor IKU har bidraget til forskningsprojekter, der munder ud i større bæredygtighed. 700 Miljøbelastning Fortjeneste et kan give 4- procent besparelse på transportudgifterne at fylde containerne bedre Figur 3: Miljøbelastning som funktion af fortjenesten. Kunsten at pakke sofaer i containere I 004 påbegyndte forskere på IKU et samarbejde mellem ari Universitet og en førende italiensk sofaproducent (Natuzzi p) omkring udvikling af it-baserede metoder til pakning af sofaer i containere (Egeblad m.fl.). er bliver årligt transporteret flere hundrede tusind containere med møbler rundt omkring i verden, så en reduktion af transportomkostningerne på blot 4- procent ville betyde en stor gevinst for miljøet og for virksomheden. Hvad der virker som en intuitivt let opgave, viste sig hurtigt at være en overordentlig svær problemstilling, idet sofaer som bekendt ikke er rektangulære. a opgaven blev påbegyndt, fandtes der kun nogle få algoritmer til pakning af ikke-rektangulære emner, og disse kunne kun håndtere problemer med -0 emner. En container med møbler indeholder ofte mere end 0- emner, så der var behov for at udvikle helt nye løsningsmetoder. Undervejs i denne proces blev Minkowskis berømte arbejde fra 900-tallets begyndelse taget op. Minkowski opstillede en matematisk formel for, hvordan et legeme kan bevæge sig omkring et andet legeme ude at støde ind i det, og denne viden kan bruges til at beregne, hvor to sofaer kan placeres i forhold til hinanden. 4 TLOGIK INTITUT

6 Figur 4: Pakning af sofaer i containere. Med programmet til højre kan man finde en optimal pakning. ermed er det blevet muligt at reducere transport omkostningerne med 4-%. en svævende sofa på figuren til højre markerer at der ikke var plads til denne enhed i containeren. lligevel er antallet af mulige måder at pakke 0 sofaer på astronomisk, så man er nødt til at begrænse søgningen til nogle fornuftige kombinationer. ette kan fx være, at to ens sofaer bliver parret sammen med den indvendige foring mod hinanden, således at de beskytter hinanden under transport. En anden kombination kan være at anbringe en let stol oven på en tung sovesofa. For at kunne pakke sofaer er det nødvendigt at opstille en generel repræsentation af, hvordan en sådan sofa ser ud, ud fra nogle givne mål. Værktøjet kan anvendes baglæns, således at man faktisk ved at indtaste nogle mål kan designe sin egen sofa, og er et eksempel på, hvordan en god matematisk forståelse kan åbne op for helt nye anvendelsesområder. et udviklede program bliver nu brugt på alle produktionssteder, og det kan give 4- procent besparelse på transportudgifterne ved at fylde containerne bedre. amtidig undgår man transportskader, idet lasten ikke forrykker sig så let, når containeren er fyldt helt op. Fra et forskningsmæssigt synspunkt har det ført til den første 3-dimensionelle pakningsalgoritme, som kan løse praktiske problemer fra det virkelige liv, hvor emnerne ikke er begrænset til at være rektangulære. ette har revolutioneret produktionsprocessen, idet man nu kan simulere pakning af en container alle steder i virksomheden. åledes kan man på forhånd teste, om nogle bestilte varer kan være i en enkelt container. Hvis programmet kan pakke alle sofaerne, så der stadig er plads i containeren, vil forhandleren typisk bestille endnu flere varer for at få fyldt containeren. Når transportudgifterne er betalt, kan man lige så godt udnytte pladsen. ette fører til et øget salg og i sidste instans også til lavere produktionsomkostninger. KØENHVN UNIVERITET

7 Energieffektiv transportplanlægning EU har sat sig som mål at reducere O -udledningen med 0 procent inden for det næste årti. Transportsektoren er ansvarlig for en stor del af denne udledning grundet sin afhængighed af fossilt brændstof. Transportsektorens natur gør det svært at finde alternative energikilder, hvorfor den vigtigste metode p.t. kan være at udnytte energien bedre gennem forbedret logistik. ENERPLN-projektet (Energieffektiv Transportplanlægning) har til formål at udvikle intelligente it-baserede værktøjer til planlægning af containerbaseret transport. Især skal der udvikles beslutningsstøtte til at planlægge rutenet, så en bedre balance mellem skibenes kapacitet og lastbehov opnås. Endvidere udvikles algoritmer til at laste skibe hurtigere og bedre, således at tiden i en havn minimeres. ermed kan skibet sejle langsommere på de mellemliggende strækninger og reducere energiforbruget. Endelig er det målet at udvikle planlægningsværktøjer i stil med "Rejseplanen" for containertransport, der viser både pris, rejsetid og miljøbelastning. På den måde kan man vælge den billigste og mest miljøvenlige transportform (se faktaboks). Projektets mål er at reducere energiforbruget i liner shipping med 3- procent ved at designe mere effektive rutenet og ved at forbedre den logistiske håndtering af containerne. For en stor liner shipping-virksomhed svarer en besvarelse på 3- procent til O -udledningen fra en større dansk provinsby. Forskningen er et samarbejde mellem TU/IKU, IT-Universitetet og Maersk Line. Ved at have verdens største containershipping-virksomhed med i projektet sikres der adgang til nyeste data om containertransport, samt at de udviklede metoder hurtigt kan omsættes til praksis og dermed spare O -udledning. 6 TLOGIK INTITUT

8 K Ø E N H V N U N I V E R I T E T 7

9 Figur : Ved at beregne bedre rutenet for containerskibe er det målet at spare 3- % af energiforbruget. For en stor shippingvirksomhed svarer dette til energiforbruget i en større dansk provinsby. Hvordan finder man den mest miljørigtige transportvej? ntag, at vi vil sende en container fra ingapore () til openhagen () på den mest miljørigtige måde. er er givet en sejlplan for alle containerskibe, hvor knuderne (cirklerne) angiver havne, og kanterne (stregerne) angiver sejlruter. For hver sejlrute er det oplyst, hvor stort et energiforbruget er pr. container. Vi vil kalde dette tal kantens længde eller afstand På ovenstående figur er afstanden fra til, mens afstanden fra til er 3 (idet skibet sejler en anden vej). Hvis vi vil finde den mest miljørigtige vej fra byen til byen, kan vi enten gå (længde ), (længde ), (længde ), (længde 9), (længde 4) eller (længde ). For at løse problemet vil vi på hver knude skrive et tal a, som angiver den for tiden bedst kendte afstand fra til knuden. Til at begynde med er afstanden uendelig for alle knuder, idet vi ikke kender nogen vej til dem endnu. Undervejs i løsningsprocessen vil vi formindske værdierne af a, efterhånden som vi finder genveje. På nedenstående figur er den korteste kendte afstand fra til sat til a = 6, mens a = 9 for knuden. Nu betragter vi kanten. a afstanden til plus længden af kanten er 6 +, har vi fundet en genvej til, således at vi kan rette den korteste kendte afstand fra til til værdien a =. 6 9 TLOGIK INTITUT

10 Hvis vi finder genveje på en systematisk måde, kan vi beregne afstanden fra til alle andre knuder med ijkstras algoritme.. Lad a være uendelig for alle knuder, og farv alle knuder hvide.. Lad a være 0 for startbyen. 3. Gentag skridt 4 til 6, så længe der er hvide knuder. 4. Vælg den hvide knude, som har lavest værdi af a, kald den x.. For alle kanter x y, undersøg, om der er en genvej fra x til y. 6. Farv knuden x sort. Eksempel: På nedenstående figur (a) er værdien af a sat til for alle knuder undtagen, der har afstanden 0. en hvide knude, som har lavest værdi af a, er knuden. Vi undersøger nu, om der er en genvej via kanten (her bliver afstanden 0 + ) og kanten (her bliver afstanden 0 + ). a de tidligere værdier af a var uendelig for og, er begge kanter en genvej, så vi kan opdatere værdien af a på begge knuder. Knude farves sort. På næste figur (b) er det, som er den hvide knude, der har lavest værdi af a. Vi undersøger genveje via kanterne (afstand + 3), (afstand + 9) og (afstand + ). lle er genveje, så værdierne af a opdateres. Knude farves sort. I figur (c) finder vi, at er den hvide knude med lavest værdi af a. er er kun én kant,, hvor vi skal kontrollere for genveje. Her finder vi afstanden 7 + =, men denne er ikke en genvej, så vi beholder værdien af a = 4 i knude. Knude farves sort. åledes fortsættes indtil sidste figur (f), hvor alle knuder er sorte, og for hver knude angiver a længden af den korteste vej fra til knuden. (a) (c) (b) (d) 7 7 (e) (f) 7 7 KØENHVN UNIVERITET 9

11 edre logistik kan være vejen til klimamål en nuværende debat om klimaændringer er for en stor dels vedkommende fokuseret på teknologiske løsninger som elektriske biler, vindkraft osv. Men sådanne løsninger er dyre og tidskrævende at implementere. It-baserede logistik- og planlægningsværktøjer med fokus på miljøet kan være et bedre alternativ, da de ikke kræver dyre investeringer. e er hurtige at implementere, og de underliggende teknikker er modne. elvom bæredygtig it ikke i sig selv løser alle miljøproblemer, er det et vigtigt supplement til de mere teknologiske løsninger, for at vi kan nå vores klimamål i tide. Hvis vi kigger 40 år frem i tiden, vil man med bedre optimeringsmetoder kunne undgå meget spild af ressourcer i produktion og samfund: En stor del af verdens lastbiler kører lige nu tomme eller halvtomme rundt. er produceres en masse varer, som aldrig bliver solgt eller brugt. Vi bruger alt for mange materialer til at bygge broer og huse, fordi vi ikke kan beregne den samlede bærestyrke. Hjemmehjælpere bruger en stor del af deres dag på at køre rundt mellem klienterne. er er en mængde problemer at tage fat på, og i takt med at løsningsteknikkerne bliver bedre, vil man hele tiden finde nye anvendelsesområder. Man kunne forestille sig, at optimering om 40 år blev en integreret del af internettet, således at man kunne se på ressourceforbrug som en samlet helhed. ermed ville man undgå meget spildproduktion, fordi man straks kunne reagere på ændrede behov. Omvendt åbner det op for nogle etiske overvejelser, idet vi måske ikke vil dele viden om vores forbrugsvaner med andre. Læs mere onella H. Meadows, ennis L. Meadows, Jørgen Randers, William W. ehrens III. The Limits to growth, Universe ooks (97). avid Pisinger ENERPLN - Green Logistic olutions. ERIM news, 79 (009). lay Math Institute, Milliennum Prize Problems'' (000). Jens Egeblad, laudio Garavelli, tefano Lisi, avid Pisinger Heuristic for container loading of furnitures European Journal of Operational Research 00, -9, (009). tefan Ropke, avid Pisinger " general heuristic for vehicle routing problems" omputers & Operations Research, 34, (007) 90 TLOGIK INTITUT

12 VI PIINGER avid Pisinger har været professor i algoritmik og optimering på atalogisk Institut ved Københavns Universitet siden 993 og har siden 009 været professor i operationsanalyse på TU Management. avid blev bachelor i matematik i 9 og kandidat i datalogi i 990. Han fik ph.d.-graden i datalogi i 99 og modtog samme år anmarks Naturvidenskabelige kademis ph.d.-pris for sin afhandling. Gennem årene har han været medlem af programrådet for flere ledende konferencer inden for operationsanalyse (bl.a. IFOR 0, EURO 000 og EURO 0) samt bidraget til at arrangere IMP 003, et internationalt symposium om matematisk programmering i anmark. Han har ledet flere større forskningsprojekter, bl.a. i samarbejde med ari Universitet om bedre udnyttelse af containere og med Maersk Line om energibesparende transportveje. avid underviser bl.a. i algoritmik og operationsanalyse og har fungeret som vejleder i adskillige specialer og ph.d.-projekter. landt udvalgte publikationer kan nævnes bogen Knapsack Problems fra 004 og artiklerne Heuristics for ontainer Loading of Furniture (0) samt General Heuristic for Vehicle Routing Problems (007). KØENHVN UNIVERITET 9

13 en digitale revolution fortællinger fra datalogiens verden ogen er udgivet af atalogisk Institut, Københavns Universitet (IKU) i anledning af instituttets 40 års jubilæum med bidrag fra forskere tilknyttet instituttet. Redaktion: Tariq ndersen, phd-studerende, Jørgen ansler, professor, Hasse lausen, lektor, Inge Hviid Jensen, kommunikationsmedarbejder og Martin Zachariasen, institutleder. Forsidemotiv: Foto af skulptur af lan Turing, basegreen lokaliseret på flickr.om/photos/basegreen Oplag: 00 eks. Grafisk design og produktion: Westring + Welling / IN: atalogisk Institut 0. itater er tilladt under creative commons. TLOGIK INTITUT

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Den digitale verden er i dag en del af de fleste menneskers dagligdag. Når mennesker bruger

Den digitale verden er i dag en del af de fleste menneskers dagligdag. Når mennesker bruger Menneskers omgang med den digitale teknik Af redaktionen Den digitale verden er i dag en del af de fleste menneskers dagligdag. Når mennesker bruger deres mobiltelefon, ser tv, søger oplysninger på Wikipedia,

Læs mere

Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund.

Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den digitale verden et barn af oplysningstiden Af redaktionen Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den elektroniske computer er blevet

Læs mere

Den digitale revolution

Den digitale revolution datalogisk institut københavns universitet Den digitale revolution fortællinger fra datalogiens verden DIKU 1970 2010 Den digitale revolution fortællinger fra datalogiens verden Datalogisk Institut, Københavns

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Lokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler

Lokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler Lokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler Louise Tranberg DTU, Lyngby Logistisk optimering Hvordan optimeres den fysiske struktur og logistik i transportfirmaer? Hvor mange terminaler skal

Læs mere

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK 98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.

Læs mere

Logistik og optimering

Logistik og optimering Logistik og optimering JENS LYSGAARD Professor Institut for Økonomi Aarhus Universitet Forskningscentret CORAL v. Institut for Økonomi Logistik og optimering CORAL: Cluster for Operations Research And

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

Strategi 2014-2018. Denne strategi er vedtaget af CONCITOs bestyrelse i september 2013.

Strategi 2014-2018. Denne strategi er vedtaget af CONCITOs bestyrelse i september 2013. Strategi 2014-2018 Denne strategi er vedtaget af CONCITOs bestyrelse i september 2013. Mission CONCITOs formål er at bidrage til (1) nedbringelse af drivhusgasudledninger og (2) reduktion af de skadelige

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

VI HAR ARBEJDET MED NYTÆNKNING SIDEN 1867

VI HAR ARBEJDET MED NYTÆNKNING SIDEN 1867 VI HAR ARBEJDET MED NYTÆNKNING SIDEN 1867 VI UDVIKLER, TÆNKER NYT OG SIKRER EN BÆREDYGTIG FREMTID Vi er aktivt med til at løse den klimamæssige udfordring I alle dele af EWII arbejder vi strategisk og

Læs mere

Grøn strøm fra havn til skib Sluk for forureningen fra skibe i havn med landestrøm - fremtidens energieffektive og miljøvenlige forsyning

Grøn strøm fra havn til skib Sluk for forureningen fra skibe i havn med landestrøm - fremtidens energieffektive og miljøvenlige forsyning Grøn strøm fra havn til skib Sluk for forureningen fra skibe i havn med landestrøm - fremtidens energieffektive og miljøvenlige forsyning Vær klar til at leve op til de kommende miljøkrav med landestrøm

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen maj 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Stig Kyster-Hansen Administrerende direktør. Railion Scandinavia A/S

Stig Kyster-Hansen Administrerende direktør. Railion Scandinavia A/S Stig Kyster-Hansen Administrerende direktør Railion Scandinavia A/S 1 Status og perspektiv Finanskrise godsmængderne under pres Krisen er også mulighedernes vindue Ledig kapacitet Projekter der ikke tidligere

Læs mere

Unges syn på klimaforandringer

Unges syn på klimaforandringer Juli 2009 Unges syn på klimaforandringer Der er kommet stadig større fokus på klimaforandringer og global opvarmning i takt med, at der kan konstateres klimaforandringer i form af for eksempel højere temperaturer,

Læs mere

PostNord. Reduktion af kundernes miljøbelastning. - Om bæredygtig logistik og finansiering Søren Boas 20152901

PostNord. Reduktion af kundernes miljøbelastning. - Om bæredygtig logistik og finansiering Søren Boas 20152901 PostNord Reduktion af kundernes miljøbelastning - Om bæredygtig logistik og finansiering Søren Boas 20152901 Vision og værdier Vores mission Med PostNord når man den rette person i rette tid sikkert og

Læs mere

Skibsteknisk Selskab Skibsfart og klimaforandringer De aktuelle forhandlinger i IMO

Skibsteknisk Selskab Skibsfart og klimaforandringer De aktuelle forhandlinger i IMO Skibsteknisk Selskab Skibsfart og klimaforandringer De aktuelle forhandlinger i IMO Arne Mikkelsen Danmarks Rederiforening De aktuelle forhandlinger i IMO Miljøstyrelsen har netop nævnt Mandatet fra Kyoto

Læs mere

Science i børnehøjde

Science i børnehøjde Indledning Esbjerg kommunes indsatsområde, Science, som startede i 2013, var en ny måde, for os pædagoger i Børnhus Syd, at tænke på. Det var en stor udfordring for os at tilpasse et forløb for 3-4 årige,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

1. Er Jorden blevet varmere?

1. Er Jorden blevet varmere? 1. Er Jorden blevet varmere? Af Peter Bondo Christensen og Lone Als Egebo Ja, kloden bliver varmere. Stille og roligt får vi det varmere og varmere. Specielt er det gået stærkt gennem de sidste 50-100

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version Aarhus Kommune Miljørigtige køretøjer i Aarhus Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune COWI A/S Jens Chr Skous Vej 9 8000 Aarhus C Telefon 56 40 00 00 wwwcowidk Notat - kort version Indholdsfortegnelse

Læs mere

Dokumentation af bæredygtighed på Frilands bedrifter

Dokumentation af bæredygtighed på Frilands bedrifter Dokumentation af bæredygtighed på Frilands bedrifter Anke Stubsgaard 6. oktober 2014 Kompetenceudvikling til Økologisk Bæredygtighed 66% reduktion af klimaaftryk Aug 2014: Aug 2014: Fyens Stiftstidene

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.

Læs mere

Pædagogisk vejledning til. Materialesæt. Sphero. http://via.mitcfu.dk/99872760

Pædagogisk vejledning til. Materialesæt. Sphero. http://via.mitcfu.dk/99872760 Pædagogisk vejledning til Materialesæt Sphero http://via.mitcfu.dk/99872760 Pædagogisk vejledning til materialesættet Sphero Materialesættet kan lånes hos VIA Center for Undervisningsmidler og evt. hos

Læs mere

Tirsdag 12. december David Pisinger

Tirsdag 12. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme

Læs mere

Kompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi

Kompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi Kompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi Profil kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab (cand.polyt.) En civilingeniør fra DTU har en forskningsbaseret

Læs mere

Vidensmedarbejdere i innovative processer

Vidensmedarbejdere i innovative processer Vidensmedarbejdere i innovative processer Vidensmedarbejdere i innovative processer af direktør og partner Jakob Rasmussen, jr@hovedkontoret.dk, HOVEDkontoret ApS 1. Indledning Fra hårdt til blødt samfund

Læs mere

MIRIAM - Models for rolling resistance In Road Infrastructure Asset Management Systems

MIRIAM - Models for rolling resistance In Road Infrastructure Asset Management Systems MIRIAM - Models for rolling resistance In Road Infrastructure Asset Management Systems Introduktionen af nye vejbelægninger i et vejnet, som kan reducere bilisternes brændstofforbrug med 3 4 %, vil have

Læs mere

Spørgeskema om langdistance transport

Spørgeskema om langdistance transport Spørgeskema om langdistance transport Velkommen til STOA projektets spørgeskemaundersøgelse vedrørende holdninger til langdistance transport og dets bidrag til global opvarmning. I dette spørgeskema vil

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere

Datalogistudiet. Rolf Fagerberg. Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet. Studiestart, 1. september 2014

Datalogistudiet. Rolf Fagerberg. Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet. Studiestart, 1. september 2014 Datalogistudiet Rolf Fagerberg Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Studiestart, 1. september 2014 Datalogistudiet Studiestart, 1. september, 2014 1 / 15 Hvad arbejder du med bagefter?

Læs mere

FENG SHUI - Forebygge eller helbrede?

FENG SHUI - Forebygge eller helbrede? Af Feng Shui Master Torben Hecksher http://www.fengshuimaster.dk FENG SHUI - Forebygge eller helbrede? De færreste boliger og kontorer er fra starten opført efter feng shui principperne, og derfor bliver

Læs mere

Yderligere information om Roskilde Universitet finder du på www.ruc.dk. Vi glæder os til at se dig! Introduktion til Roskilde Universitet:

Yderligere information om Roskilde Universitet finder du på www.ruc.dk. Vi glæder os til at se dig! Introduktion til Roskilde Universitet: Besøgsdag på Roskilde Universitet d 2. oktober 2012 1 I denne folder finder du en kort introduktion til universitet, samt program for dagen. Du skal være opmærksom på, at du via dit gymnasium, skal tilmelde

Læs mere

Mad nok til alle, 7.-9.kl.

Mad nok til alle, 7.-9.kl. Mad nok til alle, 7.-9.kl. Færdigheds- og vidensmål Læringsmål Tegn på læring kan være Stof og stofkredsløb Eleverne kan gengive udviklingen i Jordens 1. Eleven gengiver udviklingen i Jordens Eleven kan

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

8 danske succeshistorier 2002-2003

8 danske succeshistorier 2002-2003 8 danske T E K N I S K - V I D E N S K A B E L I G F O R S K N I N G succeshistorier 2002-2003 Statens Teknisk-Videnskabelige Forskningsråd Små rør med N A N O T E K N O L O G I stor betydning Siliciumteknologien,

Læs mere

5 friske fra. Et katalog til miljøministeren med forslag til fremme af bæredygtige indkøb

5 friske fra. Et katalog til miljøministeren med forslag til fremme af bæredygtige indkøb 5 friske fra Et katalog til miljøministeren med forslag til fremme af bæredygtige indkøb 5 friske fra Forum For Bæredygtige Indkøb Forum for Bæredygtige Indkøb præsenterer her fem forslag til, hvordan

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Supply Chain Netværk Design

Supply Chain Netværk Design Supply Chain Netværk Design Indsigt og forretningsværdi Den Danske Supply Chain Konference København den 8. juni 2016 Formålet med i dag Give en generel forståelse af hvad supply chain netværk design er

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad

Læs mere

powerperfector Optimer el-forbruget og spar på driftsbudgetterne

powerperfector Optimer el-forbruget og spar på driftsbudgetterne powerperfector Optimer el-forbruget og spar på driftsbudgetterne Beboer Sænk spændingen og sænk el-regningen Stigende el-priser er i stadig højere grad med til at lægge pres på både offentlige og private

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

ERHVERVENES BRUG AF KAPITAL OG ARBEJDSKRAFT

ERHVERVENES BRUG AF KAPITAL OG ARBEJDSKRAFT i:\maj-2001\oek-b-05-01.doc Af Lise Nielsen 14.maj 2001 ERHVERVENES BRUG AF KAPITAL OG ARBEJDSKRAFT Erhvervenes produktivitet afhænger af, hvordan de bruger kapital og arbejdskraft i produktionen. Danmarks

Læs mere

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau Roskilde Tekniske Gymnasium Eksamensprojekt Programmering C niveau Andreas Sode 09-05-2014 Indhold Eksamensprojekt Programmering C niveau... 2 Forord... 2 Indledning... 2 Problemformulering... 2 Krav til

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

DER ER ENGE I MILJØ. Introduktion til miljøarbejde hos vognmænd

DER ER ENGE I MILJØ. Introduktion til miljøarbejde hos vognmænd DER ER ENGE I MILJØ Introduktion til miljøarbejde hos vognmænd Der er penge i miljø De fleste virksomheder vil kunne opnå økonomiske besparelser ved at være mere bevidste om ressourceforbruget. I transportvirksomheder

Læs mere

Danmark som døgnsamfund Nye distributionsformer, grøn omstilling og øget ressourceeffektivitet

Danmark som døgnsamfund Nye distributionsformer, grøn omstilling og øget ressourceeffektivitet Danmark som døgnsamfund Nye distributionsformer, grøn omstilling og øget ressourceeffektivitet Dansk Industri og Transportministeriet, 15. januar 2013 Incentive Holte Stationsvej 14, 1. DK-2840 Holte Incentive.dk

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Denne viden om de fremtidige driftsforhold bør genetableres

Denne viden om de fremtidige driftsforhold bør genetableres Markedssimulatoren Dengang de nuværende succeshistorier vedrørende Kraftvarme Vindkraft Tilsatsfyring med biomasse Kraftværker med verdens højeste virkningsgrader Kraftværker med verdens bedste regulerings

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Hvem er Teknologirådet?

Hvem er Teknologirådet? Hvem er Teknologirådet? Teknologirådet er en uafhængig institution, som blev oprettet ved lov af Folketinget i 1995 som en afløser for Teknologinævnet, oprettet i 1986. Rådet modtager årligt et tilskud

Læs mere

VI SKAL STYRKE BØRN OG UNGES KOMPETENCE TIL AT HANDLE

VI SKAL STYRKE BØRN OG UNGES KOMPETENCE TIL AT HANDLE [TEMA] VI SKAL STYRKE BØRN OG UNGES KOMPETENCE TIL AT HANDLE 14 Tekst: Søren Breiting, lektor, Forskningsprogram for Miljø- og Sundhedspædagogik, DPU, Aarhus Universitet skal huske på, at I er dem, som

Læs mere

Indlæg, Preben Maegaard. Den fulde version af talen fra M/S Anton, Nynavn, 8. december 2007

Indlæg, Preben Maegaard. Den fulde version af talen fra M/S Anton, Nynavn, 8. december 2007 Indlæg, Preben Maegaard. Den fulde version af talen fra M/S Anton, Nynavn, 8. december 2007 Omstillingen til vedvarende energi er vor generations største, kollektive, globale udfordring. Og der er ingen

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Einsteins store idé. Pædagogisk vejledning http://filmogtv.mitcfu.dk. Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse

Einsteins store idé. Pædagogisk vejledning http://filmogtv.mitcfu.dk. Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse Viasat History, 2010, 119 minutter. Denne dramatiserede fortælling om udviklingen i naturvidenskabelig erkendelse, der førte frem til Einsteins berømte

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Bæredygtighed og Facilities Management

Bæredygtighed og Facilities Management Bæredygtighed og Facilities Management Bæredygtighed er tophistorier i mange medier, og mange virksomheder og kommuner bruger mange penge på at blive bæredygtige Men hvad er bæredygtighed er når det omhandler

Læs mere

Studieophold hos TØI

Studieophold hos TØI Studieophold hos TØI Michael Sørensen Civilingeniør, ph.d.-studerende Trafikforskningsgruppen ved Aalborg Universitet Fagmøde i Afdeling for Sikkerhed og Miljø Transportøkonomisk institutt Tirsdag den

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

DB Schenker Rail Scandinavia

DB Schenker Rail Scandinavia DB Schenker Rail Scandinavia Miljørigtig godstransport og effektivitet på tværs af grænser Sverige Danmark - Tyskland 1 Om DB Schenker Rail Scandinavia er ejet i fællesskab af Deutsche Bahn (D) og Green

Læs mere

Personprofil og styrker

Personprofil og styrker Personprofil og styrker Et redskab til at forstå dine styrker gennem din personprofil Indhold Dette værktøj er udviklet med henblik på at skabe sammenhæng mellem de 24 karakterstyrker udviklet af The VIA

Læs mere

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,

Læs mere

WONDERFUL COPENHAGENS MILJØPOLITIK

WONDERFUL COPENHAGENS MILJØPOLITIK WONDERFUL COPENHAGENS MILJØPOLITIK INDLEDNING Turisme skaber arbejdspladser og vækst i hovedstadsregionen og er med til at gøre vores hovedstad og hele Greater Copehagen mere levende og mangfoldig. De

Læs mere

Energiforbrug og klimaforandringer. Lærervejledning

Energiforbrug og klimaforandringer. Lærervejledning Energiforbrug og klimaforandringer Lærervejledning Generelle oplysninger Forløbets varighed: Fra kl. 9.00 til kl.12.00. Målgruppe: Forløbet er for 3. klasse til 6. klasse. Pris: Besøget er gratis for folkeskoler

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Er Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015

Er Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015 Er Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015 Marts 2015 Opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Indledning I 2009 udarbejdede IDA en plan over, hvordan Danmark i 2050 kan have reduceret

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

imo-learn MOVED BY LEARNING

imo-learn MOVED BY LEARNING imo-learn MOVED BY LEARNING Lær inkorporeret læring at kende, lær imo-learn at kende imo-learn MOVED BY LEARNING imo-learn omdefinerer den måde, vi lærer på, og sikrer en revolutionerende ny læringsoplevelse.

Læs mere

GENVEJEN TIL FRISKE BLOMSTER

GENVEJEN TIL FRISKE BLOMSTER Det ser romantisk og afslappet ud, men for at bruden kan få en frisk buket blomster, skal et enormt logistisk puslespil først løses. På blomsternes vej fra gartneri til kunde medvirker transportforskere,

Læs mere

BESTUFS WORKSHOP. Resultater og løsninger til forbedring af citylogistik i mindre og mellemstore byer. Michael Stie Laugesen Projekt Konsulent ved NTU

BESTUFS WORKSHOP. Resultater og løsninger til forbedring af citylogistik i mindre og mellemstore byer. Michael Stie Laugesen Projekt Konsulent ved NTU BESTUFS WORKSHOP Resultater og løsninger til forbedring af citylogistik i mindre og mellemstore byer Michael Stie Laugesen Projekt Konsulent ved NTU BESTUFS workshop i Aalborg 22. januar 2008 1 Formålet

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier

Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier Slutrapport for projekt: Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier Niels Skat Tiedje DTU Mekanik 29. august 2014 Indhold Indhold... 2 Introduktion og mål... 3 Del 1: anvendelse

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Stigning i boligejernes afdrag for fjerde år i træk

Stigning i boligejernes afdrag for fjerde år i træk 30-04-2014 NR. 4 MAJ 2014 Stigning i boligejernes afdrag for fjerde år i træk I 2013 blev der afdraget det højeste niveau af obligationsrestgælden siden 2006. Samlet set steg boligejernes afdrag for fjerde

Læs mere

CENTER FOR COMPUTERBASERET MATEMATIK- UNDERVISNING

CENTER FOR COMPUTERBASERET MATEMATIK- UNDERVISNING CMU, INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG, KU INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG, KU CENTER FOR COMPUTERBASERET MATEMATIK- UNDERVISNING CMU, INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG, KU CASma7k eller CASseret? Mød MATH på KU 2015

Læs mere

Grønsted kommune. Frederik & Mathias Friis 15-05-2015

Grønsted kommune. Frederik & Mathias Friis 15-05-2015 2015 Grønsted kommune Frederik & Mathias Friis 15-05-2015 Indhold Indledning... 2 Metode... 2 Kommunikation... 3 Hvem er målgruppen?... 3 Hvad er mediet?... 3 Hvilken effekt skal produktet have hos afsenderen?...

Læs mere

Klima, kold krig og iskerner

Klima, kold krig og iskerner Klima, kold krig og iskerner Klima, kold krig og iskerner a f M a i k e n L o l c k A a r h u s U n i v e r s i t e t s f o r l a g Klima, kold krig og iskerner Forfatteren og Aarhus Universitetsforlag

Læs mere

Er Danmark på rette vej? - en opfølgning på IDAs Klimaplan 2050. Status 2013

Er Danmark på rette vej? - en opfølgning på IDAs Klimaplan 2050. Status 2013 Er Danmark på rette vej? - en opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2013 November 2013 Opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 I 2009 udarbejdede IDA en plan over, hvordan Danmark i 2050 kan have reduceret

Læs mere

Job- og personprofil for Institutleder ved Institut for Matematiske Fag

Job- og personprofil for Institutleder ved Institut for Matematiske Fag Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet Københavns Universitet Job- og personprofil for Institutleder ved Institut for Matematiske Fag Baggrund Institut for Matematiske Fag (MATH), et af Københavns Universitets

Læs mere

Budgettet Drivhusgasbudgettet og 2 graders målet NOAHs Forlag

Budgettet Drivhusgasbudgettet og 2 graders målet NOAHs Forlag Budgettet Drivhusgasbudgettet og 2 graders målet I 10.000 år der været et ret stabilt klima på Jorden. Drivhuseffekten har været afgørende for det stabile klima, og den afgøres af mængden af kuldioxid

Læs mere

Stafetoverrækkelse. Den afsluttende konference om Det fremtidige danske energisystem

Stafetoverrækkelse. Den afsluttende konference om Det fremtidige danske energisystem Stafetoverrækkelse Den afsluttende konference om Det fremtidige danske energisystem Klimastafet Der er en øget opmærksomhed på klimaet og miljøet. Når vi taler om klimaændringer og udfordringer for at

Læs mere

CO 2 -tiltag her og nu

CO 2 -tiltag her og nu For en bæredygtig transport CO 2 -tiltag her og nu Citylogistik og grøn transport v/dorte Kubel, civilingeniør Agenda Hvad er grøn transport? Grøn Transportvision DK CO2 og luftforurening i byer Virkemidler

Læs mere

ENERGI RENOVERING UD OVER ALLE GRÆNSER

ENERGI RENOVERING UD OVER ALLE GRÆNSER ENERGI RENOVERING UD OVER ALLE GRÆNSER Overblik og helhedsløsninger for private boligejere Dette projekt har modtaget støtte fra EUs Horizon 2020 forsknings og innovations program No 649865 Forfatterne

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Philip Fisker og Emil Malthe Bæhr Christensen

Philip Fisker og Emil Malthe Bæhr Christensen Projektopgave - Mad Delemne - Madspild Vi har valgt delemnet madspild. Ifølge os er madspild et område, der ikke er belyst nok, selvom det er meget aktuelt i disse dage, hvor man snakker om klimaændringer

Læs mere

Klimajob nu! Sæt gang i arbejdet for et bæredygtigt Danmark!

Klimajob nu! Sæt gang i arbejdet for et bæredygtigt Danmark! Klimajob nu! Sæt gang i arbejdet for et bæredygtigt Danmark! Klimajob har vi råd til at lade være? Omkring 170.000 mennesker går nu reelt arbejdsløse her i landet, heriblandt mange, som er sendt ud i meningsløs»aktivering«.

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere