Da bogen "Grænser for vækst" (Meadows m.fl.) udkom i 1972, rystede den store dele af
|
|
- Jonas Villadsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Optimering - et grundlag for bæredygtig it f avid Pisinger, adjungeret professor, IKU a bogen "Grænser for vækst" (Meadows m.fl.) udkom i 97, rystede den store dele af samfundet. Verden havde ellers set lidt af hvert: Vietnamkrigen, Watergateskandalen og den kolde krig. Mange mente, at nu kunne det ikke blive værre. Men alligevel fik bogens dommedagsprofeti mange rynkede øjenbryn frem. ogen forudsagde, at hvis befolkningseksplosionen fortsatte som hidtil, ville jordens ressourcer snart være opbrugt. er ville ske en voldsom økonomisk afmatning, og livskvaliteten ville falde i starten af 000-tallet. Resultaterne var baseret på en global computermodel, "World3", udviklet på MIT, der gennem komplekse ligningssystemer gjorde det muligt at simulere klodens tilstand mange år frem i tiden. Kort efter udgivelsen kom oliekrisen som en slags bekræftelse af dommedagsprofetierne. ogen var revolutionerende i flere henseender:. et var den første populære anvendelse af it-baseret simulation af sammenhænge mellem livets forudsætninger. Modellen beskrev gensidige afhængigheder og afspejlede derfor i højere grad den virkelige verden.. er blev tegnet et dystert billede af fremtiden. Hvis befolkningseksplosionen fortsatte, og vi blev ved med at ødsle med jordens ressourcer, ville vi snart se katastrofale følger. 3. ogen stillede spørgsmålstegn ved den bibelske opfattelse af, at mennesket hersker over jorden. Mennesket er ligesom alle andre levende væsner underlagt nogle spilleregler på kloden. Her, knap 40 år efter udgivelsen, er "Grænser for vækst" mere aktuel end nogensinde. Vi kæmper stadig med en eksplosivt voksende befolkning, men hvor bogen oprindelig var bekymret for, at mængden af fossilt brændstof var begrænset, frygter vi nu i højere grad konsekvenserne af O - udslip, drivhusgasser og forurening. It som vagthund og frelsende engel På samme måde som it blev brugt til at forudsige grænserne for den globale vækst, kan it også være vejen til at løse problemerne. Eller i hvert fald en del af løsningen. Med en voksende befolkning og færre råstoffer må vi blive bedre til at udnytte vores ressourcer, hvis vi vil opretholde vores nuværende levestandard. 0 TLOGIK INTITUT
2 Figur : ogen "Grænser for vækst" satte med sine computerbaserede simulationer fokus på bæredygtighed. om det ses på figuren til højre, vil industri- og fødevareproduktionen aftage drastisk omkring 00, og forureningen vokse frem til 040, hvor befolkningstallet daler voldsomt. tate of the World Resources Industrial output Population Food Pollution er bliver i disse år brugt mange penge på at investere i ny teknologi, som kan mindske energiforbrug og begrænse O -udslip, men omstillingsprocessen er langsom og dyr, og visse teknologiske løsninger fører blot nye problemer med sig. Tænk blot på a-kraft-værker, enorme vindmølleparker i naturen osv. et kan derfor virke besnærende i stedet at blive bedre til at udnytte de eksisterende ressourcer ved brug af it-baseret optimering. et startede ellers på en mindre flatterende måde. Første gang man begyndte at bruge kvantitative metoder til beslutningstagning, var under anden verdenskrig, hvor faget operationsanalyse så dagens lys. Operationsanalyse bruger regnekraft til at støtte beslutninger og opererer derfor i grænseområdet mellem matematik og datalogi. Under anden verdenskrig var målet at få ødelagt flest mulige af fjendens fly og skibe, og mere end.000 medarbejdere blev brugt til at planlægge krigens forløb i England. Efter krigens afslutning så man mulighederne i at bruge de samme teknikker inden for planlægning af fx produktion, logistik og infrastruktur. Især fremkomsten af lineær programmering i 947 satte skub i tingene, og det viste sig hurtigt, at der næsten ikke var grænser for, hvad metoderne kunne bruges til. Fokus har dog næsten altid været på at maksimere fortjenesten (i en eller anden form) af sine handlinger. I dag står vi nu ved en vigtig korsvej, hvor interessen mere og mere drejer sig om at finde bæredygtige løsninger. Ud fra et datalogisk synspunkt er optimeringsproblemer interessante at beskæftige sig med. er findes ikke nogen universel løsningsmetode, som kan løse alle optimeringsproblemer, og teorien om NP-fuldstændighed (se faktaboks) giver os god grund til at tro, at vi aldrig vil blive i stand til at løse disse rutinemæssigt. Faktisk er der udlovet en million dollar i præmie til den, der kan løse et af disse problemer effektivt. KØENHVN UNIVERITET
3 Lette og svære optimeringsproblemer Forestil dig, at du som rektor på et gymnasium skal dele 0 studerende i tre klasser. lle studerende har skrevet en liste over personer, de ikke vil i klasse med, og vi søger en opdeling, som respekterer alle disse ønsker. Problemet er et eksempel på, hvad forskere kalder et NP problem, idet det er nemt at kontrollere, om en foreslået opdeling af de studerende overholder alle ønsker. Men at finde en opdeling, som overholder alle ønsker, er en uoverkommelig opgave. Hvis man bare prøver sig frem med alle mulige opdelinger, er der mere end 3 0 kombinationsmuligheder, et tal, der overstiger alle atomer i universet! å hverken vi eller fremtidige civilisationer vil kunne bygge en supercomputer, som vil kunne prøve alle kombinationsmuligheder. Men måske findes der en snedig algoritme, som kan løse problemet uden at prøve alle kombinationsmuligheder. Vi har bare endnu ikke udviklet matematiske metoder til at gøre dette. Et af datalogiens store spørgsmål er, om der findes spørgsmål, hvor det er nemt at kontrollere, om en løsning er korrekt, men som kræver ufattelig lang tid at løse ved direkte beregning. Problemet ovenfor ligner et sådant problem, men hidtil har ingen været i stand til at vise, at man rent faktisk skal bruge ufattelig lang tid på at løse det. tephen ook og Leonid Levin formulerede dette spørgsmål i 97 som P (det er nemt at løse problemet) versus NP (det er nemt at kontrollere en løsning) -problemstillingen. Hvis det en dag bliver vist, at P = NP, vil det få omfattende konsekvenser for vores tilværelse og tænkemåde. Man vil fx kunne få en computer til at bevise alle uløste påstande inden for matematik og fysik. et er nemlig nemt at kontrollere, om et bevis er korrekt, så problemet "find et matematisk bevis" tilhører klassen NP. Hvis P = NP, vil det også være nemt at "finde et matematisk bevis". Hvis man kunne få en computer til at bevise uløste matematiske problemer, ville man kunne tale om ægte kunstig intelligens, og teknisk forskning ville rykke et kvantespring fremad. landt NP-problemerne er der nogle særlig svære problemer, som vi kalder NP-fuldstændige problemer. isse problemer er sværere end alle NP-problemer, i den forstand at man kan transformere alle NPproblemer til et NP-fuldstændigt problem. Nedenstående tabel viser nogle lette (P-problemer) og svære problemer (NP-fuldstændige problemer) Korteste vej Givet et vejnet, find den korteste vej fra a til b Let Længste vej Givet et vejnet, find den længste kredsfri vej fra a til b vært Todeling Handelsrejsendes problem Givet et antal heltal, del disse i to mængder, så summen af tallene er ens i hver mængde Givet et vejnet, find den korteste tur rundt, som besøger alle byer vært vært Primtal Givet et heltal, afgør, om tallet er et primtal Let eling i to klasser Givet et antal studerende, hvor hver studerende har angivet, hvem han/hun ikke vil i klasse med. el de studerende i to klasser så ønskerne overholdes Let eling i tre klasser Givet et antal studerende, hvor hver studerende har angivet, hvem han/hun ikke vil i klasse med. el de studerende i tre klasser, så ønskerne overholdes vært TLOGIK INTITUT
4 Hvert enkelt optimeringsproblem er derfor en videnskabelig udfordring, som kræver et samspil af mange discipliner. Fra matematik over algoritmik til design af supercomputere. Mange optimeringsproblemer er særdeles beregningstunge at løse, så grid og cloud computing er velkomne værktøjer til at fordele beregningerne på mange computere. Men selv hvis vi havde alle jordens computere til rådighed, ville der være visse optimeringsproblemer, som stadig ikke ville kunne blive løst (se figur ). I stedet er vi nødt til at udvikle nye matematiske løsningsmetoder for at kunne hamle op med de sværeste optimeringsproblemer, og selv her må vi undertiden erkende, at vi ikke kan løse et problem (endnu). n n n n n n! stort Figur : Mange optimeringsproblemer tager eksponentielt lang tid at løse, fx n, hvor n er antallet af variable, der skal bestemmes. Problemerne behøver ikke at blive ret store, førend vi må opgive at løse dem. Tabellen viser, hvor hurtigt n vokser i forhold til andre funktioner. Til sammenligning er der gået ca. 3,73 milliarder år siden ig ang, hvilket er omkring sekunder. Hvis en computer havde kørt uafbrudt siden ig ang og udført en milliard regneoperationer i sekundet, ville den nu have udført 7 regneoperationer. å et problem med n = 0 variable, hvor det tager n regneoperationer at løse det, ville være kommet gennem mindre end promille af beregningerne. Produktion og bæredygtighed som ligeværdige mål et nytter ikke noget, at man alene søger efter de mest bæredygtige løsninger, for her vil de matematiske modeller typisk svare, at det miljømæssigt bedste er ikke at producere eller transportere noget som helst. elvom dette er en smuk løsning, er det de færreste ledere, som ville blive genvalgt med et sådant valgprogram. et er derfor vigtigt, at vi ser produktion, fortjeneste og bæredygtighed som ligeværdige mål. Når fortjenesten presses til det yderste, ser man ofte, at ressourceforbrug og forurening vokser dramatisk. Men blot en lille formindskelse af fortjenesten på - procent kan ofte give en voldsom formindskelse af ressourceforbruget. ette hænger sammen med, at der ofte kun er én løsning, som maksimerer fortjenesten, mens der findes rigtig mange løsninger, som er bare nogle få procent dårligere. landt disse mange løsninger er det derfor relativt nemt at finde en løsning, som også er bæredygtig. Når man går fra at maksimere fortjenesten til at afveje profit mod bæredygtighed, er der ikke en entydig optimal løsning. erimod findes der en vifte af løsninger som illustreret på figur 3. Man kan ikke uden videre bruge en computer til at vælge en af disse løsninger, idet de alle er lige gode på hver sin måde. Man må derfor i stedet lade en beslutningstager afveje de forskellige kriterier mod hinanden. I sidste instans er det en politisk-strategisk afvejning, hvor grænsen mellem produktion og bæredygtighed skal ligge, men vi kan bruge computeren til at finde de bedste valgmuligheder og synliggøre konsekvenserne af hvert valg. KØENHVN UNIVERITET 3
5 En øget miljøbevågenhed kan også have mange implicitte fordele. For at spare energi vil man ofte vælge at sejle/køre lidt langsommere end den maksimale hastighed. ådanne løsninger fører til mere robuste planer, idet det er nemmere at indhente forsinkelser. I sidste instans fører det til større kundetilfredshed og at varer leveres til tiden. I de følgende afsnit gennemgås nogle projekter, hvor IKU har bidraget til forskningsprojekter, der munder ud i større bæredygtighed. 700 Miljøbelastning Fortjeneste et kan give 4- procent besparelse på transportudgifterne at fylde containerne bedre Figur 3: Miljøbelastning som funktion af fortjenesten. Kunsten at pakke sofaer i containere I 004 påbegyndte forskere på IKU et samarbejde mellem ari Universitet og en førende italiensk sofaproducent (Natuzzi p) omkring udvikling af it-baserede metoder til pakning af sofaer i containere (Egeblad m.fl.). er bliver årligt transporteret flere hundrede tusind containere med møbler rundt omkring i verden, så en reduktion af transportomkostningerne på blot 4- procent ville betyde en stor gevinst for miljøet og for virksomheden. Hvad der virker som en intuitivt let opgave, viste sig hurtigt at være en overordentlig svær problemstilling, idet sofaer som bekendt ikke er rektangulære. a opgaven blev påbegyndt, fandtes der kun nogle få algoritmer til pakning af ikke-rektangulære emner, og disse kunne kun håndtere problemer med -0 emner. En container med møbler indeholder ofte mere end 0- emner, så der var behov for at udvikle helt nye løsningsmetoder. Undervejs i denne proces blev Minkowskis berømte arbejde fra 900-tallets begyndelse taget op. Minkowski opstillede en matematisk formel for, hvordan et legeme kan bevæge sig omkring et andet legeme ude at støde ind i det, og denne viden kan bruges til at beregne, hvor to sofaer kan placeres i forhold til hinanden. 4 TLOGIK INTITUT
6 Figur 4: Pakning af sofaer i containere. Med programmet til højre kan man finde en optimal pakning. ermed er det blevet muligt at reducere transport omkostningerne med 4-%. en svævende sofa på figuren til højre markerer at der ikke var plads til denne enhed i containeren. lligevel er antallet af mulige måder at pakke 0 sofaer på astronomisk, så man er nødt til at begrænse søgningen til nogle fornuftige kombinationer. ette kan fx være, at to ens sofaer bliver parret sammen med den indvendige foring mod hinanden, således at de beskytter hinanden under transport. En anden kombination kan være at anbringe en let stol oven på en tung sovesofa. For at kunne pakke sofaer er det nødvendigt at opstille en generel repræsentation af, hvordan en sådan sofa ser ud, ud fra nogle givne mål. Værktøjet kan anvendes baglæns, således at man faktisk ved at indtaste nogle mål kan designe sin egen sofa, og er et eksempel på, hvordan en god matematisk forståelse kan åbne op for helt nye anvendelsesområder. et udviklede program bliver nu brugt på alle produktionssteder, og det kan give 4- procent besparelse på transportudgifterne ved at fylde containerne bedre. amtidig undgår man transportskader, idet lasten ikke forrykker sig så let, når containeren er fyldt helt op. Fra et forskningsmæssigt synspunkt har det ført til den første 3-dimensionelle pakningsalgoritme, som kan løse praktiske problemer fra det virkelige liv, hvor emnerne ikke er begrænset til at være rektangulære. ette har revolutioneret produktionsprocessen, idet man nu kan simulere pakning af en container alle steder i virksomheden. åledes kan man på forhånd teste, om nogle bestilte varer kan være i en enkelt container. Hvis programmet kan pakke alle sofaerne, så der stadig er plads i containeren, vil forhandleren typisk bestille endnu flere varer for at få fyldt containeren. Når transportudgifterne er betalt, kan man lige så godt udnytte pladsen. ette fører til et øget salg og i sidste instans også til lavere produktionsomkostninger. KØENHVN UNIVERITET
7 Energieffektiv transportplanlægning EU har sat sig som mål at reducere O -udledningen med 0 procent inden for det næste årti. Transportsektoren er ansvarlig for en stor del af denne udledning grundet sin afhængighed af fossilt brændstof. Transportsektorens natur gør det svært at finde alternative energikilder, hvorfor den vigtigste metode p.t. kan være at udnytte energien bedre gennem forbedret logistik. ENERPLN-projektet (Energieffektiv Transportplanlægning) har til formål at udvikle intelligente it-baserede værktøjer til planlægning af containerbaseret transport. Især skal der udvikles beslutningsstøtte til at planlægge rutenet, så en bedre balance mellem skibenes kapacitet og lastbehov opnås. Endvidere udvikles algoritmer til at laste skibe hurtigere og bedre, således at tiden i en havn minimeres. ermed kan skibet sejle langsommere på de mellemliggende strækninger og reducere energiforbruget. Endelig er det målet at udvikle planlægningsværktøjer i stil med "Rejseplanen" for containertransport, der viser både pris, rejsetid og miljøbelastning. På den måde kan man vælge den billigste og mest miljøvenlige transportform (se faktaboks). Projektets mål er at reducere energiforbruget i liner shipping med 3- procent ved at designe mere effektive rutenet og ved at forbedre den logistiske håndtering af containerne. For en stor liner shipping-virksomhed svarer en besvarelse på 3- procent til O -udledningen fra en større dansk provinsby. Forskningen er et samarbejde mellem TU/IKU, IT-Universitetet og Maersk Line. Ved at have verdens største containershipping-virksomhed med i projektet sikres der adgang til nyeste data om containertransport, samt at de udviklede metoder hurtigt kan omsættes til praksis og dermed spare O -udledning. 6 TLOGIK INTITUT
8 K Ø E N H V N U N I V E R I T E T 7
9 Figur : Ved at beregne bedre rutenet for containerskibe er det målet at spare 3- % af energiforbruget. For en stor shippingvirksomhed svarer dette til energiforbruget i en større dansk provinsby. Hvordan finder man den mest miljørigtige transportvej? ntag, at vi vil sende en container fra ingapore () til openhagen () på den mest miljørigtige måde. er er givet en sejlplan for alle containerskibe, hvor knuderne (cirklerne) angiver havne, og kanterne (stregerne) angiver sejlruter. For hver sejlrute er det oplyst, hvor stort et energiforbruget er pr. container. Vi vil kalde dette tal kantens længde eller afstand På ovenstående figur er afstanden fra til, mens afstanden fra til er 3 (idet skibet sejler en anden vej). Hvis vi vil finde den mest miljørigtige vej fra byen til byen, kan vi enten gå (længde ), (længde ), (længde ), (længde 9), (længde 4) eller (længde ). For at løse problemet vil vi på hver knude skrive et tal a, som angiver den for tiden bedst kendte afstand fra til knuden. Til at begynde med er afstanden uendelig for alle knuder, idet vi ikke kender nogen vej til dem endnu. Undervejs i løsningsprocessen vil vi formindske værdierne af a, efterhånden som vi finder genveje. På nedenstående figur er den korteste kendte afstand fra til sat til a = 6, mens a = 9 for knuden. Nu betragter vi kanten. a afstanden til plus længden af kanten er 6 +, har vi fundet en genvej til, således at vi kan rette den korteste kendte afstand fra til til værdien a =. 6 9 TLOGIK INTITUT
10 Hvis vi finder genveje på en systematisk måde, kan vi beregne afstanden fra til alle andre knuder med ijkstras algoritme.. Lad a være uendelig for alle knuder, og farv alle knuder hvide.. Lad a være 0 for startbyen. 3. Gentag skridt 4 til 6, så længe der er hvide knuder. 4. Vælg den hvide knude, som har lavest værdi af a, kald den x.. For alle kanter x y, undersøg, om der er en genvej fra x til y. 6. Farv knuden x sort. Eksempel: På nedenstående figur (a) er værdien af a sat til for alle knuder undtagen, der har afstanden 0. en hvide knude, som har lavest værdi af a, er knuden. Vi undersøger nu, om der er en genvej via kanten (her bliver afstanden 0 + ) og kanten (her bliver afstanden 0 + ). a de tidligere værdier af a var uendelig for og, er begge kanter en genvej, så vi kan opdatere værdien af a på begge knuder. Knude farves sort. På næste figur (b) er det, som er den hvide knude, der har lavest værdi af a. Vi undersøger genveje via kanterne (afstand + 3), (afstand + 9) og (afstand + ). lle er genveje, så værdierne af a opdateres. Knude farves sort. I figur (c) finder vi, at er den hvide knude med lavest værdi af a. er er kun én kant,, hvor vi skal kontrollere for genveje. Her finder vi afstanden 7 + =, men denne er ikke en genvej, så vi beholder værdien af a = 4 i knude. Knude farves sort. åledes fortsættes indtil sidste figur (f), hvor alle knuder er sorte, og for hver knude angiver a længden af den korteste vej fra til knuden. (a) (c) (b) (d) 7 7 (e) (f) 7 7 KØENHVN UNIVERITET 9
11 edre logistik kan være vejen til klimamål en nuværende debat om klimaændringer er for en stor dels vedkommende fokuseret på teknologiske løsninger som elektriske biler, vindkraft osv. Men sådanne løsninger er dyre og tidskrævende at implementere. It-baserede logistik- og planlægningsværktøjer med fokus på miljøet kan være et bedre alternativ, da de ikke kræver dyre investeringer. e er hurtige at implementere, og de underliggende teknikker er modne. elvom bæredygtig it ikke i sig selv løser alle miljøproblemer, er det et vigtigt supplement til de mere teknologiske løsninger, for at vi kan nå vores klimamål i tide. Hvis vi kigger 40 år frem i tiden, vil man med bedre optimeringsmetoder kunne undgå meget spild af ressourcer i produktion og samfund: En stor del af verdens lastbiler kører lige nu tomme eller halvtomme rundt. er produceres en masse varer, som aldrig bliver solgt eller brugt. Vi bruger alt for mange materialer til at bygge broer og huse, fordi vi ikke kan beregne den samlede bærestyrke. Hjemmehjælpere bruger en stor del af deres dag på at køre rundt mellem klienterne. er er en mængde problemer at tage fat på, og i takt med at løsningsteknikkerne bliver bedre, vil man hele tiden finde nye anvendelsesområder. Man kunne forestille sig, at optimering om 40 år blev en integreret del af internettet, således at man kunne se på ressourceforbrug som en samlet helhed. ermed ville man undgå meget spildproduktion, fordi man straks kunne reagere på ændrede behov. Omvendt åbner det op for nogle etiske overvejelser, idet vi måske ikke vil dele viden om vores forbrugsvaner med andre. Læs mere onella H. Meadows, ennis L. Meadows, Jørgen Randers, William W. ehrens III. The Limits to growth, Universe ooks (97). avid Pisinger ENERPLN - Green Logistic olutions. ERIM news, 79 (009). lay Math Institute, Milliennum Prize Problems'' (000). Jens Egeblad, laudio Garavelli, tefano Lisi, avid Pisinger Heuristic for container loading of furnitures European Journal of Operational Research 00, -9, (009). tefan Ropke, avid Pisinger " general heuristic for vehicle routing problems" omputers & Operations Research, 34, (007) 90 TLOGIK INTITUT
12 VI PIINGER avid Pisinger har været professor i algoritmik og optimering på atalogisk Institut ved Københavns Universitet siden 993 og har siden 009 været professor i operationsanalyse på TU Management. avid blev bachelor i matematik i 9 og kandidat i datalogi i 990. Han fik ph.d.-graden i datalogi i 99 og modtog samme år anmarks Naturvidenskabelige kademis ph.d.-pris for sin afhandling. Gennem årene har han været medlem af programrådet for flere ledende konferencer inden for operationsanalyse (bl.a. IFOR 0, EURO 000 og EURO 0) samt bidraget til at arrangere IMP 003, et internationalt symposium om matematisk programmering i anmark. Han har ledet flere større forskningsprojekter, bl.a. i samarbejde med ari Universitet om bedre udnyttelse af containere og med Maersk Line om energibesparende transportveje. avid underviser bl.a. i algoritmik og operationsanalyse og har fungeret som vejleder i adskillige specialer og ph.d.-projekter. landt udvalgte publikationer kan nævnes bogen Knapsack Problems fra 004 og artiklerne Heuristics for ontainer Loading of Furniture (0) samt General Heuristic for Vehicle Routing Problems (007). KØENHVN UNIVERITET 9
13 en digitale revolution fortællinger fra datalogiens verden ogen er udgivet af atalogisk Institut, Københavns Universitet (IKU) i anledning af instituttets 40 års jubilæum med bidrag fra forskere tilknyttet instituttet. Redaktion: Tariq ndersen, phd-studerende, Jørgen ansler, professor, Hasse lausen, lektor, Inge Hviid Jensen, kommunikationsmedarbejder og Martin Zachariasen, institutleder. Forsidemotiv: Foto af skulptur af lan Turing, basegreen lokaliseret på flickr.om/photos/basegreen Oplag: 00 eks. Grafisk design og produktion: Westring + Welling / IN: atalogisk Institut 0. itater er tilladt under creative commons. TLOGIK INTITUT
Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.
Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.
Læs mereDen digitale verden er i dag en del af de fleste menneskers dagligdag. Når mennesker bruger
Menneskers omgang med den digitale teknik Af redaktionen Den digitale verden er i dag en del af de fleste menneskers dagligdag. Når mennesker bruger deres mobiltelefon, ser tv, søger oplysninger på Wikipedia,
Læs mereGennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund.
Den digitale verden et barn af oplysningstiden Af redaktionen Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den elektroniske computer er blevet
Læs mereDen digitale revolution
datalogisk institut københavns universitet Den digitale revolution fortællinger fra datalogiens verden DIKU 1970 2010 Den digitale revolution fortællinger fra datalogiens verden Datalogisk Institut, Københavns
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereBroer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Læs mereRUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK
98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.
Læs mereLokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler
Lokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler Louise Tranberg DTU, Lyngby Logistisk optimering Hvordan optimeres den fysiske struktur og logistik i transportfirmaer? Hvor mange terminaler skal
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereLogistik og optimering
Logistik og optimering JENS LYSGAARD Professor Institut for Økonomi Aarhus Universitet Forskningscentret CORAL v. Institut for Økonomi Logistik og optimering CORAL: Cluster for Operations Research And
Læs mereStudieretningsprojekter i machine learning
i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mereP2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Læs merePædagogisk vejledning til. Materialesæt. Sphero. http://via.mitcfu.dk/99872760
Pædagogisk vejledning til Materialesæt Sphero http://via.mitcfu.dk/99872760 Pædagogisk vejledning til materialesættet Sphero Materialesættet kan lånes hos VIA Center for Undervisningsmidler og evt. hos
Læs mereProgrammering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?
Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.
Læs mereUnges syn på klimaforandringer
Juli 2009 Unges syn på klimaforandringer Der er kommet stadig større fokus på klimaforandringer og global opvarmning i takt med, at der kan konstateres klimaforandringer i form af for eksempel højere temperaturer,
Læs mereStrategi 2014-2018. Denne strategi er vedtaget af CONCITOs bestyrelse i september 2013.
Strategi 2014-2018 Denne strategi er vedtaget af CONCITOs bestyrelse i september 2013. Mission CONCITOs formål er at bidrage til (1) nedbringelse af drivhusgasudledninger og (2) reduktion af de skadelige
Læs mereEnergidag - House of Energy. Kim Christensen, Group CEO
Energidag - House of Energy Kim Christensen, Group CEO Integrerede Energisystemer kræver samarbejde mellem aktører Med det formål at: Reducere det samlede relative energiforbrug Sikre en hurtig og effektiv
Læs mere5 friske fra. Et katalog til miljøministeren med forslag til fremme af bæredygtige indkøb
5 friske fra Et katalog til miljøministeren med forslag til fremme af bæredygtige indkøb 5 friske fra Forum For Bæredygtige Indkøb Forum for Bæredygtige Indkøb præsenterer her fem forslag til, hvordan
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereOpgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:
Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen maj 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der
Læs mereSymmetrisk Traveling Salesman Problemet
Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereBæredygtighed og Facilities Management
Bæredygtighed og Facilities Management Bæredygtighed er tophistorier i mange medier, og mange virksomheder og kommuner bruger mange penge på at blive bæredygtige Men hvad er bæredygtighed er når det omhandler
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde
Læs mere1. Er Jorden blevet varmere?
1. Er Jorden blevet varmere? Af Peter Bondo Christensen og Lone Als Egebo Ja, kloden bliver varmere. Stille og roligt får vi det varmere og varmere. Specielt er det gået stærkt gennem de sidste 50-100
Læs mereMIRIAM - Models for rolling resistance In Road Infrastructure Asset Management Systems
MIRIAM - Models for rolling resistance In Road Infrastructure Asset Management Systems Introduktionen af nye vejbelægninger i et vejnet, som kan reducere bilisternes brændstofforbrug med 3 4 %, vil have
Læs mereDokumentation af bæredygtighed på Frilands bedrifter
Dokumentation af bæredygtighed på Frilands bedrifter Anke Stubsgaard 6. oktober 2014 Kompetenceudvikling til Økologisk Bæredygtighed 66% reduktion af klimaaftryk Aug 2014: Aug 2014: Fyens Stiftstidene
Læs mereVI HAR ARBEJDET MED NYTÆNKNING SIDEN 1867
VI HAR ARBEJDET MED NYTÆNKNING SIDEN 1867 VI UDVIKLER, TÆNKER NYT OG SIKRER EN BÆREDYGTIG FREMTID Vi er aktivt med til at løse den klimamæssige udfordring I alle dele af EWII arbejder vi strategisk og
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mere8 danske succeshistorier 2002-2003
8 danske T E K N I S K - V I D E N S K A B E L I G F O R S K N I N G succeshistorier 2002-2003 Statens Teknisk-Videnskabelige Forskningsråd Små rør med N A N O T E K N O L O G I stor betydning Siliciumteknologien,
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereMiljødirektører: Der skal rettes op på ammoniakskandalen
Miljødirektører: Der skal rettes op på ammoniakskandalen Debat29. maj 2019 kl. 3:00 0 kommentarer Print Der er brug for at sætte ind overfor landbruget, som står for 94% af landets ammoniakforurening,
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
Læs mereOptimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet
Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske
Læs mereDatalogistudiet. Rolf Fagerberg. Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet. Studiestart, 1. september 2014
Datalogistudiet Rolf Fagerberg Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Studiestart, 1. september 2014 Datalogistudiet Studiestart, 1. september, 2014 1 / 15 Hvad arbejder du med bagefter?
Læs mereStig Kyster-Hansen Administrerende direktør. Railion Scandinavia A/S
Stig Kyster-Hansen Administrerende direktør Railion Scandinavia A/S 1 Status og perspektiv Finanskrise godsmængderne under pres Krisen er også mulighedernes vindue Ledig kapacitet Projekter der ikke tidligere
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel
I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer
Læs mereBliv CO 2 -venlig og spar op til 18 kroner om dagen
12. august 2009 Bliv CO 2 -venlig og spar op til 18 kroner om dagen Den gennemsnitlige husstand i Danmark bruger omkring 26.000 kroner om året på energi. Alene opvarmning af hjemmet koster i omegnen af
Læs mereERHVERVENES BRUG AF KAPITAL OG ARBEJDSKRAFT
i:\maj-2001\oek-b-05-01.doc Af Lise Nielsen 14.maj 2001 ERHVERVENES BRUG AF KAPITAL OG ARBEJDSKRAFT Erhvervenes produktivitet afhænger af, hvordan de bruger kapital og arbejdskraft i produktionen. Danmarks
Læs mereMatematik, der afgør spil
Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,
Læs mereTirsdag 12. december David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme
Læs mereEr Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015
Er Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015 Marts 2015 Opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Indledning I 2009 udarbejdede IDA en plan over, hvordan Danmark i 2050 kan have reduceret
Læs mereForbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier
Slutrapport for projekt: Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier Niels Skat Tiedje DTU Mekanik 29. august 2014 Indhold Indhold... 2 Introduktion og mål... 3 Del 1: anvendelse
Læs mereIndholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version
Aarhus Kommune Miljørigtige køretøjer i Aarhus Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune COWI A/S Jens Chr Skous Vej 9 8000 Aarhus C Telefon 56 40 00 00 wwwcowidk Notat - kort version Indholdsfortegnelse
Læs mereForsker: Jeg er stærkt inspireret af ledende sygeplejersker
Forsker: Jeg er stærkt inspireret af ledende sygeplejersker Som leder af Kronprins Frederiks Center for Offentlig Ledelse er Lotte Bøgh Andersens fornemste opgave at koble akademisk viden om ledelse til
Læs mereEn statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen
Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik
Læs mereGrøn strøm fra havn til skib Sluk for forureningen fra skibe i havn med landestrøm - fremtidens energieffektive og miljøvenlige forsyning
Grøn strøm fra havn til skib Sluk for forureningen fra skibe i havn med landestrøm - fremtidens energieffektive og miljøvenlige forsyning Vær klar til at leve op til de kommende miljøkrav med landestrøm
Læs mereKlima, kold krig og iskerner
Klima, kold krig og iskerner Klima, kold krig og iskerner a f M a i k e n L o l c k A a r h u s U n i v e r s i t e t s f o r l a g Klima, kold krig og iskerner Forfatteren og Aarhus Universitetsforlag
Læs mereNOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet
NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,
Læs mereSupply Chain Netværk Design
Supply Chain Netværk Design Indsigt og forretningsværdi Den Danske Supply Chain Konference København den 8. juni 2016 Formålet med i dag Give en generel forståelse af hvad supply chain netværk design er
Læs mereKompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi
Kompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi Profil kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab (cand.polyt.) En civilingeniør fra DTU har en forskningsbaseret
Læs mereScience i børnehøjde
Indledning Esbjerg kommunes indsatsområde, Science, som startede i 2013, var en ny måde, for os pædagoger i Børnhus Syd, at tænke på. Det var en stor udfordring for os at tilpasse et forløb for 3-4 årige,
Læs mereSIMPLE OPGAVER GØR MATEMATIK SVÆRERE
SIMPLE OPGAVER GØR MATEMATIK SVÆRERE Gennem tre årtier er sproget i de engelske eksamensopgaver i matematik ændret, så sætningerne nu er kortere, der er færre fagudtryk, og der bliver brugt færre matematiske
Læs mereimo-learn MOVED BY LEARNING
imo-learn MOVED BY LEARNING Lær inkorporeret læring at kende, lær imo-learn at kende imo-learn MOVED BY LEARNING imo-learn omdefinerer den måde, vi lærer på, og sikrer en revolutionerende ny læringsoplevelse.
Læs mereTre års efterslæb: Så meget forurener elbiler
Tre års efterslæb: Så meget forurener elbiler Produktionen af batterier til elbiler forurener så meget, at det tager adskillige år at indhente en tilsvarende dieselbil i CO 2 -regnskabet Kan du klare dig
Læs mereSpørgeskema om langdistance transport
Spørgeskema om langdistance transport Velkommen til STOA projektets spørgeskemaundersøgelse vedrørende holdninger til langdistance transport og dets bidrag til global opvarmning. I dette spørgeskema vil
Læs merePostNord. Reduktion af kundernes miljøbelastning. - Om bæredygtig logistik og finansiering Søren Boas 20152901
PostNord Reduktion af kundernes miljøbelastning - Om bæredygtig logistik og finansiering Søren Boas 20152901 Vision og værdier Vores mission Med PostNord når man den rette person i rette tid sikkert og
Læs mereStærke virksomheder i et stærkt samfund
Stærke virksomheder i et stærkt samfund D É T A R B E J D E R D I FO R D É T A R BEJ D ER D I FO R Stærke virksomheder i et stærkt samfund Danmark skal være verdens bedste land at leve i og verdens bedste
Læs mereDenne viden om de fremtidige driftsforhold bør genetableres
Markedssimulatoren Dengang de nuværende succeshistorier vedrørende Kraftvarme Vindkraft Tilsatsfyring med biomasse Kraftværker med verdens højeste virkningsgrader Kraftværker med verdens bedste regulerings
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs mereDanmark som døgnsamfund Nye distributionsformer, grøn omstilling og øget ressourceeffektivitet
Danmark som døgnsamfund Nye distributionsformer, grøn omstilling og øget ressourceeffektivitet Dansk Industri og Transportministeriet, 15. januar 2013 Incentive Holte Stationsvej 14, 1. DK-2840 Holte Incentive.dk
Læs mereProjekt Lineær programmering i to variable
Projekt 5.5 - Lineær programmering i to variable. Den grundlæggende ide i lineær programmering Håndtering af optimeringsproblemer er et af de store anvendelsesområder inden for differentialregningen. Det
Læs mereBrug matematiske modeller til at optimere din drift
Brug matematiske modeller til at optimere din drift Matematiske modeller kan være en stor hjælp i beslutningstagen-og planlægningsaktiviteter på både et operationelt, taktisk og strategisk niveau. Matematiske
Læs mereSkibsteknisk Selskab Skibsfart og klimaforandringer De aktuelle forhandlinger i IMO
Skibsteknisk Selskab Skibsfart og klimaforandringer De aktuelle forhandlinger i IMO Arne Mikkelsen Danmarks Rederiforening De aktuelle forhandlinger i IMO Miljøstyrelsen har netop nævnt Mandatet fra Kyoto
Læs mereHvem er Teknologirådet?
Hvem er Teknologirådet? Teknologirådet er en uafhængig institution, som blev oprettet ved lov af Folketinget i 1995 som en afløser for Teknologinævnet, oprettet i 1986. Rådet modtager årligt et tilskud
Læs mereRegnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner
Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram
Læs mereCresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori
Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori
Læs mereEnergi på lager. CASE Catalysis for Sustainable Energy. Følg forskernes jagt på ren energi og fremtidens brændstoffer. Elisabeth Wulffeld Anne Hansen
Energi på lager Følg forskernes jagt på ren energi og fremtidens brændstoffer Elisabeth Wulffeld Anne Hansen CASE Catalysis for Sustainable Energy 1 Energi på lager DTU 1. udgave, 1. oplag, 2011 Oplag:
Læs mereAkademikere beskæftiget i den private sektor
Uddannelses- og Forskningsudvalget 2016-17 UFU Alm.del Bilag 86 t TIL FOLKETINGETS UDVALG FOR FORSKNING OG UDDANNELSE 20. april 2017 MZ Akademikere beskæftiget i den private sektor Indledning Der er udsigt
Læs mereEr Danmark på rette vej en opfølgning på IDAs klimaplan
Er Danmark på rette vej en opfølgning på IDAs klimaplan November 2011 Opfølgning på IDAs klimaplan I 2009 udarbejdede IDA en plan over, hvordan Danmark i 2050 kan have reduceret sin udledning af drivhusgasser
Læs mereWONDERFUL COPENHAGENS MILJØPOLITIK
WONDERFUL COPENHAGENS MILJØPOLITIK INDLEDNING Turisme skaber arbejdspladser og vækst i hovedstadsregionen og er med til at gøre vores hovedstad og hele Greater Copehagen mere levende og mangfoldig. De
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig
Læs mere4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereStigning i boligejernes afdrag for fjerde år i træk
30-04-2014 NR. 4 MAJ 2014 Stigning i boligejernes afdrag for fjerde år i træk I 2013 blev der afdraget det højeste niveau af obligationsrestgælden siden 2006. Samlet set steg boligejernes afdrag for fjerde
Læs mereENERGI RENOVERING UD OVER ALLE GRÆNSER
ENERGI RENOVERING UD OVER ALLE GRÆNSER Overblik og helhedsløsninger for private boligejere Dette projekt har modtaget støtte fra EUs Horizon 2020 forsknings og innovations program No 649865 Forfatterne
Læs mereProjekt 3.5 Når en population kollapser
Projekt 3.5 Når en population kollapser Logistisk vækst beskrives af en langstrakt S-formet graf, der blødt bevæger sig op mod en øvre grænse, som vi kalder for bæreevnen. Virkeligheden er ofte betydeligt
Læs mereVidensmedarbejdere i innovative processer
Vidensmedarbejdere i innovative processer Vidensmedarbejdere i innovative processer af direktør og partner Jakob Rasmussen, jr@hovedkontoret.dk, HOVEDkontoret ApS 1. Indledning Fra hårdt til blødt samfund
Læs mereMad nok til alle, 7.-9.kl.
Mad nok til alle, 7.-9.kl. Færdigheds- og vidensmål Læringsmål Tegn på læring kan være Stof og stofkredsløb Eleverne kan gengive udviklingen i Jordens 1. Eleven gengiver udviklingen i Jordens Eleven kan
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Onsdag den 11. august 2004, kl.
Læs mereDet Energipolitiske Udvalg 2009-10 EPU alm. del Bilag 122 Offentligt HVIDBOG. Energipolitik på. -Det hele hænger sammen
Det Energipolitiske Udvalg 2009-10 EPU alm. del Bilag 122 Offentligt HVIDBOG Energipolitik på fjernvarmeområdet -Det hele hænger sammen -Det hele hænger sammen Dansk Fjernvarmes Hvidbog 2010 UDGIVER:
Læs mereLæringsprogram. Christian Hjortshøj, Bjarke Sørensen og Asger Hansen Vejleder: Karl G Bjarnason Fag: Programmering Klasse 3.4
Læringsprogram Christian Hjortshøj, Bjarke Sørensen og Asger Hansen Vejleder: Karl G Bjarnason Fag: Programmering Klasse 3.4 R o s k i l d e T e k n i s k e G y m n a s i u m Indholdsfortegnelse FORMÅL...
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereIndsats i Borgmesterpagten
Indsats i Borgmesterpagten Transporten i Roskilde Transporten Kort notat om udledning af drivhusgasser fra transporten i Roskilde RUC, Oktober 2017 Side 1 Transporten Kort notat om udledning af drivhusgasser
Læs mereGrønsted kommune. Frederik & Mathias Friis 15-05-2015
2015 Grønsted kommune Frederik & Mathias Friis 15-05-2015 Indhold Indledning... 2 Metode... 2 Kommunikation... 3 Hvem er målgruppen?... 3 Hvad er mediet?... 3 Hvilken effekt skal produktet have hos afsenderen?...
Læs mereCO 2 re-spekt, re-duce, re-use, re-think
CO 2 re-spekt, re-duce, re-use, re-think Læsehæfte til 7. 9. kl. 1 Indledning Al forandring har et udgangspunkt. Forandringen er ønsket om en bæredygtig livsstil. Udgangspunktet er respekt. Respekten for
Læs mereP vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012
P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den. august 200, kl. 9.00.00 Opgave (25%) Lad A = A[] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste
Læs mereVisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra
Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens
Læs mereEinsteins store idé. Pædagogisk vejledning http://filmogtv.mitcfu.dk. Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse
Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse Viasat History, 2010, 119 minutter. Denne dramatiserede fortælling om udviklingen i naturvidenskabelig erkendelse, der førte frem til Einsteins berømte
Læs mereYderligere information om Roskilde Universitet finder du på www.ruc.dk. Vi glæder os til at se dig! Introduktion til Roskilde Universitet:
Besøgsdag på Roskilde Universitet d 2. oktober 2012 1 I denne folder finder du en kort introduktion til universitet, samt program for dagen. Du skal være opmærksom på, at du via dit gymnasium, skal tilmelde
Læs mereAnstændige jobs og økonomisk vækst. Brug ressourcerne effektivt i forbrug og produktion. Skab fuld beskæftigelse
Verdensmål 8 Vi skal fremme vedvarende, inklusiv og bæredygtig, fuld og produktiv beskæftigelse samt anstændigt arbejde til alle. DELMÅL 8.6 Hjælp flere unge i arbejde, uddannelse og træning. DELMÅL 8.7
Læs mere