Anvendelse af ufuldstændige blokforsøg

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Anvendelse af ufuldstændige blokforsøg"

Transkript

1 Anvendelse af ufuldstændige blokforsøg Kristian Kristensen 1, Jakob Willas 2, Lise Nistrup Jørgensen 3 og Rene Gislum 4 1 Forskergruppe for Biometri, Afd. for Husdyravl og Genetik, DJF 2 Afd. for Sortsafprøvning, DJF 3 Afd. for Plantebeskyttelse, DJF 4 Afd. for Plantebiologi, DJF Sammendrag I forsøg med mange forsøgsled, forsøg på uensartede arealer og forsøg, som af praktiske grunde skal opdeles på mindre enheder, vil det ofte være fordelagtigt at anvende blokke, som ikke indeholder alle forsøgsled. Sådanne ufuldstændige blokke kan konstrueres efter flere forskellige principper. I enfaktorielle forsøg anvendes oftest metoder, som sikrer, at alle par af forsøgsled kan sammenlignes med den samme (og bedst mulige) sikkerhed, mens man i flerfaktorielle forsøg oftest anvender metoder, som sikrer, at de mest interessante effekter (hoved- og/eller vekselvirkninger) kan estimeres bedst muligt. Artiklen viser tre eksempler på anvendelse af ufuldstændige blokforsøg: 1) Sortsforsøg i ærter (enfaktoriel), 2) Frøavlsforsøg med strandsvingel (trefaktoriel) og 3) Forsøg med svampemidler i byg (tofaktorielt split-plot). For hver af disse vises den benyttede plan samt effekten af at benytte planen i stedet et randomiseret blokforsøg med fuldstændige blokke. Nøgleord: Generaliserede lattice forsøg, α-forsøg, effektivitet, Lsd, enfaktoriel, flerfaktoriel, splitplot. Introduktion En del forsøg har mange forsøgsled. Hvis sådanne forsøg skal anlægges med fuldstændige blokke betyder det at blokkene skal indeholde mange parceller, og blokkene dermed bliver store. Da jordens variabilitet (oftest) stiger med blokstørrelsen, betyder dette, at den tilfældige variation vil blive stor, når der er mange forsøgsled, og det kan så blive besværligt at påvise forskelle mellem forsøgsleddene. Der er flere måder, hvorpå man kan forsøge at løse dette problem. I nogle tilfælde kan man gøre blokkene mindre ved at dele det nødvendige antal planter på flere parceller (gentagelser). F.eks. kunne man vælge at have 6 parceller á 10 planter for hver behandling i stedet for 3 parceller á 20 planter. Der er dog en grænse for, hvor langt denne proces kan fortsætte i praksis; dels fordi forsøget vil blive dyrere jo flere gentagelser man deler det nødvendige antal planter på, og dels fordi arealet i de enkelte blokke efterhånden 1

2 ikke reduceres nævneværdigt, da en stor del af denne nu vil blive brugt til værn og gangarealer. Man kan forsøge at begrænse forsøgets størrelse ved at dele det i flere mindre forsøg. Herved begrænses størrelsen af de fuldstændige blokke, og derved opnås en sikrere sammenligning af de forsøgsled, som forekommer i samme forsøg. Samtidig har man dog gjort det umuligt at sammenligne forsøgsled, som ikke forekommer i samme forsøg. Derfor er en sådan opdeling af forsøget i flere mindre forsøg (kaldes af nogen serier) kun acceptabel, hvis forsøgsleddene kan deles på disse mindre forsøg, sådan at alle interessante sammenligninger m.m. kan foretages indenfor forsøget. Ved at medtage enkelte forsøgsled i alle forsøg kan man dog muliggøre sammenligning af forsøgsled i forskellige forsøg, men usikkerheden på sådanne indirekte sammenligninger er væsentlig større end sammenligning af forsøgsled i samme forsøg. Alternativt kan man benytte forsøg med ufuldstændige blokke. Her indeholder blokkene ikke alle forsøgsled og bliver derved mindre. F.eks. kunne et forsøg med 80 forsøgsled med 3 gentagelser lægges ud i 12 ufuldstændige blokke med 20 forsøgsled i hver, eller i 30 ufuldstændige blokke med 8 forsøgsled i hver. Det betyder selvfølgelig, at hver blok kun vil indeholde en del af forsøgsleddene. Hvis forsøgsleddene fordeles tilfældigt på de ufuldstændige blokke, vil man ikke opnå en bedre sikkerhed - tværtimod, forsøget kan i værste tilfælde blive værdiløs. Fordeles forsøgsleddene på de ufuldstændige blokke så de interessante sammenligninger optimeres, kan anvendelsen af ufuldstændige blokke ofte være meget fordelagtigt. Man skelner normalt mellem to grupper af ufuldstændige blokke: 1. I enfaktorielle forsøg anvendes oftest planer, hvor man sikrer sig, at alle par af forsøgsled kan sammenlignes med samme og (og størst mulig) sikkerhed. 2. I flerfaktorielle forsøg anvendes oftest planer, hvor man sikrer sig, at de interessante effekter (hoved eller vekselvirkninger) kan estimeres og testes med en stor sikkerhed, mens de mindre interessante (eller uinteressante) effekter så bliver estimeret med en lav sikkerhed (eller slet ikke kan estimeres). Enfaktorielle forsøg Ufuldstændige blokforsøg har været anvendt i mange år. Metoden går tilbage til Yates (1939), og har gennem årene vist sig at være meget effektiv (se, f.eks. Le Clerg, 1966 eller Patterson and Hunter, 1983). I litteraturen findes mange forskellige typer af ufuldstændige blokforsøg. Her vil kun blive omtalt en type: generaliserede lattice forsøg (også kaldet α-forsøg), som blev udviklet af Patterson and Williams (1976). Disse forsøg er valgt, dels fordi de er resolvable (de ufuldstændige blokke kan samles så de danner hele gentagelser), og dels 2

3 fordi de kan konstrueres for alle mulige antal forsøgsled og gentagelser samt for et meget bredt spektrum af blokstørrelser. Eksempel I sortsafprøvningen med ærter var der i sorter, som skulle sammenlignes. Ved anvendelse af sædvanlige fuldstændige blokforsøg vurderedes det, at blokkene ville blive for store. Derfor blev det valgt at benytte et generaliseret lattice forsøg (α-forsøg). Det blev valgt at benytte en plan med 4 gentagelser og 3 ufuldstændige blokke i hver gentagelse. To af de tre ufuldstændige blokke får 11 parceller, mens den sidste får 12 parceller (figur 1). Planen er her vist så de ufuldstændige blokke ligger i hver sin kolonne, men de kan placeres anderledes i marken, f.eks. i forlængelse af hinanden, så der bliver en kolonne for hver gentagelse. Gentagelse 1 Gentagelse 2 Gentagelse 3 Gentagelse Figur 1. Fordeling af sorter på gentagelser og blokke for ærteforsøget. Hvert tal udgør en parcel og angiver sortsnummeret. Hver kolonne er en blok. Af planen fremgår det at alle par af sorter forekommer sammen i samme blok 0, 1 eller 2 gang (der er ingen par af sorter, som forekommer sammen mere end 2 gange). Der optimale er, at alle par af sorter forekommer sammen lige mange gange (f.eks. 1), men det er i praksis sjældent opnåeligt. Det fremgår endvidere, at de ufuldstændige blokke er samlet i hele gentagelser, eksempelvis indeholder de tre blokke længst til venstre alle sorter præcis 1 gang. Ved placering i marken kan følgende 4 trin anvendes: 1. Vælge et så ensartet areal som muligt. 2. Inddel arealet i 4 lige store områder (4 gentagelser), således at variationen i hver gentagelse er så lille som muligt (= variationen mellem de 4 gentagelser skal være så stor som muligt). 3. Inddel hver af disse 4 gentagelser i 3 ufuldstændige blokke, således at variationen i hver ufuldstændig blok bliver så lille som muligt. 4. Inddel hver ufuldstændig blok i det nødvendige antal parceller, således at variationen mellem parceller bliver så lille som muligt 3

4 Analysen af et sådant ufuldstændigt blokforsøg kan foretages med den samme model (model 1 nedenfor), som for et forsøg med fuldstændige blokke (men for computeren er det lidt mere besværligt). Normalt vil man dog opdele effekten af blokke i 2 komponenter nemlig, den som skyldes de hele gentagelser, og den som skyldes de ufuldstændige blokke inden for gentagelser (model 2). I mange tilfælde er det rimeligt at antage, at effekten af de ufuldstændige blokke er tilfældig (model 3), og i så fald vil det ufuldstændige blokforsøg altid være lige så effektivt som et forsøg med fuldstændige blokke. (1) Yvb = µ + αv + γb + Evb Effekt af blokke antages systematisk (2) Yvrb = µ + αv + βr + γ rb + Evrb Effekt af blokke indenfor gentagelser antages systematisk (3) Yvrb = µ + αv + βr + Crb + Evrb Effekt af blokke indenfor gentagelser antages tilfældig E, E og C 2 antages uafhængige og normal fordelte med konstant varians, σ 2 og σ vb vrb rb E C Ved anvendelse af ufuldstændige blokke forekommer alle forsøgsled, som nævnt, ikke i alle blokke. Dette bevirker, at en sort, som har været i højt ydende blokke vil have et gennemsnit som er for højt, mens en sort, som har været i lavt ydende blokke vil have et gennemsnit, som er for lavt. Derfor kan simple gennemsnit ikke benyttes til at sammenligne sorterne. I stedet må man benytte de sortsestimater som fås ved udtrykket: µ ˆ + αˆ v. Man kan betragte dette udtryk som simple gennemsnit korrigeret for, om den pågældende sort har været placeret i ufuldstændige blokke, hvor udbyttet i gennemsnit har været lavere end gennemsnittet eller højere end gennemsnittet. Effektivitet Sortsforsøget med ærter blev udført på 4 lokaliteter. I tabel 1 er Lsd-værdierne vist for hver af disse forsøg sammen med den Lsd-værdi man ville have fået, hvis man havde anvendt sædvanlige fuldstændige blokke. Lsd-værdierne blev reduceret noget i to af forsøgene, meget i et forsøg og slet ikke i et forsøg. I tre af forsøgene har man haft en fordel af at benytte α- design. I forsøgene på lokalitet 3 og 4 kunne man have opnået den samme Lsd-værdi med sædvanlige fuldstændige blokke ved at øge antal gentagelser med 1, mens man på lokalitet 2 skulle have anvendt 4 ekstra gentagelser (d.v.s. i alt 8) for at reducere Lsd-værdien med 29%. Tabel 1. Lsd-værdier for sammenligning af sorter på hver af de 4 lokaliteter ved anvendelse af to forsøgstyper samt opnået reduktion ved anvendelse af α-forsøg Lokalitet Fuldstændige blokke α-forsøg gens. (min - max) Relativ reduktion, % ( ) ( ) ( ) ( ) 8 4

5 Fordele og ulemper ved ufuldstændige blokke i enfaktorielle forsøg Fordelene er først og fremmest at de gør det muligt at have mange forsøgsled (sorter, pesticider m.m.) i samme forsøg og stadig være i stand til at sammenligne alle forsøgsled med god sikkerhed. Fordelene er især store på marker, hvor det kan være svært at placere tilstrækkelig ensartede fuldstændige blokke. De ufuldstændige blokforsøg kan også benyttes som en slags forsikring mod uventet store variationer i marken, da de altid (med antagelsen om tilfældige blokeffekter) vil være lige så effektive som tilsvarende forsøg med fuldstændige blokke (Yates, 1940). I marken vil de ufuldstændige blokforsøg ikke kunne skelnes fra forsøg med fuldstændig blokke. Ulemperne er, dels en lidt mere besværlig proces ved konstruktion og planlægning, og dels at alle forsøgsled sjældent vil blive sammenlignet med præcis den samme sikkerhed, idet nogle par af forsøgsled vil forekomme sammen oftere end andre par. Dette vil eksempelvis betyde, at man ved publiceringen ofte ikke blot kan anføre een Lsd-værdi, da denne vil afhænge af, hvilket sortspar man vil sammenligne. Forskellene mellem mindste og største Lsd-værdi er dog oftest kun nogle få procent (se tabel 1). Endelig skal nævnes, at ufuldstændige blokforsøg er lidt mere følsomme overfor manglende værdier samt for ombytning af forsøgsled (ved fejlsåning, forkert behandling m.m.). Flerfaktorielle forsøg Forsøg med flere faktorer får hurtigt mange forsøgsled. Eksempelvis vil man i et forsøg med 4 faktorer, som hver har 3 niveauer, få 81 forsøgsled. I princippet kunne her anvendes samme metode som ovenfor, men oftest vil det være mere fordelagtigt at prioritere de enkelte effekter i planen, således at man sikrer en god og sikker estimation af de interessante effekter på bekostning af en mindre sikker estimation af de mindre interessante (eller uinteressante) effekter. En effekt kan være mindre interessant, f.eks. fordi den ikke er vigtig for at besvare det spørgsmål der skal belyses, eller fordi den kun er væsentlig, hvis den giver et meget stort udslag. Også denne type af forsøg har været benyttet i mange år og går helt tilbage til Yates (1935). For forsøg, hvor alle faktorer har 2 p niveauer eller 3 p niveauer er konstruktionen af sådanne planer rimelig simpel (se f.eks. Cochran & Cox, 1957). I andre tilfælde må man enten finde planen i litteraturen eller konstruere den ved en eller anden ad. hoc. metode. Eksempel I et forsøg med strandsvingel til frøavl ville man undersøge effekterne af følgende tre faktorer samt deres tovejs vekselvirkninger: 2 dækafgrøder, 4 niveauer af N-tildeling om efteråret og 4 niveauer af N-tildeling om foråret. Forsøget blev udlagt med 4 gentagelser. Hvis forsøget skulle udlægges som et almindeligt randomiseret blokforsøg ville der blive 32 parceller i hver 5

6 blok. Med den variation man sædvanligvis har i den type forsøg blev det anset for nødvendigt at reducere antallet ved at anvende ufuldstændige blokforsøg efter følgende principper: De hele gentagelser skulle underinddeles i 2 blokke á 16 parceller. Vekselvirkningen mellem de 3 faktorer var mindre interessant og kunne kobles til blokke. De 32 behandlinger blev i dette forsøg delt på 2 blokke ved - fra tre-vejs vekselvirkningen - at udvælge 4 ortogonale kontraster med hver 1 frihedsgrad, og derefter koble disse til blokke i hver sin gentagelse. De effekter, der er knyttet til disse 4 kontraster (een i hver gentagelse) bliver således bestemt dårligere end de øvrige, da de nu kun kan estimeres i de 3 gentagelser, hvor de hver især ikke er koblet (figur 2). Ved gennemgang af figuren finder man, at alle kombinationer af 1 og 2 faktorer forekommer lige mange gange i hver blok. Eksempelvis forekommer hver af de 4 niveauer af N-tildeling om foråret præcis 4 gange i hver blok. Derimod findes kombinationen "dækafgrøde 1, N- tildeling 1 om efteråret og N-tildeling 1 om foråret" 1 gang i blokken længst til venstre mens kombinationen "dækafgrøde 1, N-tildeling 1 om foråret og N-tildeling 2 om efteråret" ikke forekommer i denne blok. Gentagelse 1 Gentagelse 2 Gentagelse 3 Gentagelse Figur 2. Markplan for forsøget med strandsvingel til frøavl. Hvert 3-cifret tal udgør en parcel og cifrene angiver den aktuelle behandling i rækkefølgen dækafgrøde, niveau af N- tildeling om efteråret og niveau af N-tildeling om foråret. Hver kolonne er en blok. Ved placering i marken bruges de samme principper som ovenfor. Randomiseringen er udført i 3 trin. Først er placeringen af de 4 gentagelser randomiseret, derefter er placeringen af de 2 blokke randomiseret i hver gentagelse, og til sidst er rækkefølgen af de 16 behandlinger i hver blok randomiseret. 6

7 Analysen af forsøget foretages også her med en model, som næsten er identisk med den, der anvendes for et forsøg med fuldstændige blokke. Effektivitet I forsøget blev der udført telemålinger. Planen forbedrede kun sikkerheden på de ukoblede effekter med ca. 3% for denne variabel (tabel 2). For de ukoblede effekter er effektiviteten, som forventet, uafhængig af om blokeffekterne antages systematiske eller tilfældige. Når blokeffekterne antages systematiske er nogle af sammenligningerne i tre-vejs tabellen, som forventet, mindre sikre ved anvendelse af ufuldstændige blokke end ved anvendelse af fuldstændige blokke. For de koblede parvise sammenligninger i tre-vejs tabellen er effektiviteten bedre når blokeffekterne kan antages at være tilfældige. I eksemplet er der imidlertid kun 3 frihedsgrader til bestemmelse af varianskomponenten for ufuldstændige blokke, hvorfor det kan være betænkeligt at anvende antagelsen om tilfældige blokeffekter ved estimation af de koblede effekter. Tabel 2. Lsd-værdier for sammenligning af 3 effekter på telemåling ved anvendelse fuldstændige blokke, ufuldstændige blokke med systematiske blokeffekter og ufuldstændige blokke med tilfældige blokeffekter. Effekt Fuldstændige blokke Systematiske blokeffekter Tilfældige blokeffekter Dækafgrøde N-niveau efterår Dækafgrøde N-niveau efterår vejs vekselvirknings tabel par par par Split-plot Split-plot forsøget er et særtilfælde af ovenstående metode. Eksempelvis et forsøg, hvor man skal sammenligne effekten af 6 svampebehandlinger på 4 bygsorter i 3 gentagelser. Her har man 3 effekter at prioritere imellem: 1) svampebekæmpelse 2) sorter og 3) vekselvirkning mellem disse. Hvis formålet med forsøget er at vurdere de 6 svampebehandlinger, vil det ikke være så interessant at sammenligne hovedeffekten af sorter, og det kan vælges at koble denne til blokke. Her er benyttet et forsøg med 4 blokke á 6 parceller i hver gentagelse (figur 3). Kan blokke indenfor gentagelser antages at være tilfældig, hvad vi oftest gør, kan effekten af sorter estimeres og testes, men med en større usikkerhed, dels fordi der kun vil være 6 frihedsgrader til bestemmelse af variationen mellem blokke indenfor gentagelser, og dels fordi denne variation sikkert vil være ret stor. 7

8 Gentagelse 1 Gentagelse 2 Gentagelse 3 4f 3f 2f 1f 2a 1c 3b 4a 3e 4e 1b 2e 4e 3e 2e 1e 2d 1f 3f 4b 3b 4b 1e 2a 4d 3d 2d 1d 2c 1q 3a 4f 3f 4c 1c 2f 4c 3c 2c 1c 2f 1d 3d 4e 3c 4d 1d 2b 4b 3b 2b 1b 2e 1e 3c 4c 3d 4a 1a 2d 4a 3a 2a 1d 2b 1b 3e 4d 3a 4f 1f 2c Figur 3. Fordeling af sorter og behandlinger på gentagelser og blokke for bygforsøget. Tallet angiver sortsnummeret, mens bogstavet angiver behandlingen. Hver kolonne er en blok. Effektivitet Planens effektivitet er vurderet ved at sammenligne Lsd-værdierne med dem man ville have fået, hvis man havde anlagt forsøget som et sædvanligt randomiseret blokforsøg (tabel 3). Som det ses af tabellen, halveres Lsd-værdien for sammenligning af svampebehandlinger, hvis det er tilstrækkeligt at betragte hovedvirkningen (d.v.s. ingen vekselvirkning). Er det nødvendigt at sammenligne behandlingseffekterne ved hver enkelt sort, halveres Lsd-værdien næsten. Derimod bliver det ved anvendelse af split-plot planen meget mere usikkert at sammenligne de gennemsnitlige sortseffekter, idet Lsd-værdien for denne sammenligning stiger med næsten 70%. Tabel 3. Lsd-værdier for sammenligning af behandlinger og sorter ved anvendelse af et randomiseret blokforsøg og det benyttede split-plot forsøg. Randomiseret Effekt blokforsøg Split-plot forsøg Svampebehandling Sorter Vekselvirkning (samme sort) (forskellige sorter) Fordele og ulemper ved anvendelse af ufuldstændige blokke i flerfaktorielle forsøg Også her er den største fordel, at man kan medtage mange forsøgsled (kombinationer af flere faktorer) og stadig kunne anvende passende små blokke, og dermed undgå at variationen mellem parceller (i store blokke) bliver for stor. Ulemperne er, at man må prioritere og dermed acceptere at visse effekter enten ikke kan estimeres eller kun kan estimeres med en stor usikkerhed. Desuden skal nævnes, at denne type ufuldstændige blokforsøg er mere følsom overfor antagelsen om at blokeffekterne er additive. 8

9 Ikke additive blokeffekter for en effekt (f.eks. hovedeffekten A) kan i visse tilfælde give falske udslag for en anden effekt (måske vekselvirkningen B C). Konklusion De tre eksempler viser, at der i nogle tilfælde - men ikke alle - kan opnås betydelig sikrere estimater ved at anvende ufuldstændige blokforsøg, når der er mange forsøgsled. Hvis blokeffekterne kan antages tilfældig vil forsøg med de viste typer af ufuldstændige blokke aldrig være dårligere end tilsvarende forsøg med fuldstændige blokke. I flerfaktorielle forsøg med systematiske blokeffekter vil de ukoblede effekter aldrig være dårligere. Da der oftest kun er lidt ekstra arbejde i forbindelse med planlægningen, konstruktionen og analysen af sådanne forsøg anbefales det at overveje om man skal bruge forsøg med ufuldstændige blokke, hvis man har mange forsøgsled eller af anden grund vil få store fuldstændige blokke. Referencer Cochran; W.G., and Cox, G.M., Experimental Designs. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. New York. 611 pp. Le Clerg, E.L., Significance of Experimental Design in Plant Breeding. Plant Breeding Patterson, H.D., and Williams, E.R, A new class of resolvable incomplete block designs, Biometrika 63, Patterson H.D. and Hunter E.A., The efficiency of incomplete block designs in National List and Recommended List cereal variety trials. Jour. Agric. Sci. Camb. 101, Yates, F., Complex experiments. Jour. Roy. Stat. Soc. Suppl. 2, Yates, F., The recovery of inter-block information in variety trials arranged in threedimensional lattices. Annals of Eugen. 9, Yates, F., The recovery of inter-block information in balanced incomplete block designs. Annals of Eugenies. 10,

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Program. Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse. Eksempel: fuldstændigt randomiseret forsøg. Forsøgstyper

Program. Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse. Eksempel: fuldstændigt randomiseret forsøg. Forsøgstyper Program Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Forsøgstyper og forsøgsplanlægning Analyse af data fra fuldstændigt randomiseret blokforsøg: tosidet

Læs mere

Program. Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning. Repetition: ensidet variansanalyse. Eksempel: data fra Collinge et al

Program. Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning. Repetition: ensidet variansanalyse. Eksempel: data fra Collinge et al Program Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Ensidet ANOVA: repetition og Collinge eksempel. Additiv tosidet ANOVA (blokforsøg) Tosidet ANOVA

Læs mere

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen.

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 SDEA...

Læs mere

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption

Læs mere

Intro Design of Experiments

Intro Design of Experiments Intro Design of Experiments OH no: 1 Faktorer, niveauer, behandlinger og gentagelser Styrbare faktorer Faktorer Styrbare (controllable) faktorer Støjfaktorer (nuisance factors) Kvalitative Kvantitative

Læs mere

Demo af PROC GLIMMIX: Analyse af gentagne observationer

Demo af PROC GLIMMIX: Analyse af gentagne observationer Demo af PROC GLIMMIX: Analyse af gentagne observationer Kristina Birch, seniorkonsulent, PS Banking Agenda Uafhængige vs. afhængige observationer Analyse af uafhængige vs. afhængige observationer Lille

Læs mere

Modul 12: Regression og korrelation

Modul 12: Regression og korrelation Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................

Læs mere

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst 17. december 2013 Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst Dette notat redegør for den økonometriske analyse af indkomstforskelle mellem personer med forskellige lange videregående uddannelser

Læs mere

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

FAUPE Forbedring af Afgrødernes Udbytte og Produktionsmæssige Egenskaber

FAUPE Forbedring af Afgrødernes Udbytte og Produktionsmæssige Egenskaber K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T ET D E T N A T U R - O G B I O V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T FAUPE Forbedring af Afgrødernes Udbytte og Produktionsmæssige Egenskaber Markforsøg generelt

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Plot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): σ 2 : within blocks variance. σb 2 : between blocks variance

Plot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): σ 2 : within blocks variance. σb 2 : between blocks variance Plot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): Program: res 4 2 0 2 B1 B2 B3 B4 B5 1. vi starter med at gennemgå opgave 3 side 513. 2. nyt: to-sidet variansanalyse 1 2 3 4 5 block σ 2 : within blocks variance σb 2

Læs mere

Slutrapport over GEP forsøg 820/06 823/06. BEKÆMPELSE AF AGERPADDEROK - additiver til forbedring af MCPA s effekt

Slutrapport over GEP forsøg 820/06 823/06. BEKÆMPELSE AF AGERPADDEROK - additiver til forbedring af MCPA s effekt Slutrapport over GEP forsøg 820/06 823/06 BEKÆMPELSE AF AGERPADDEROK - additiver til forbedring af MCPA s effekt Peter Hartvig December 2007 Rapport til Banedanmark samt Produktionsafgiftsfonden for Juletræer

Læs mere

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Ekstremregn i Danmark

Ekstremregn i Danmark Ekstremregn i Danmark Supplement til statistisk bearbejdning af nedbørsdata fra Spildevandskomiteens regnmålersystem 1979-96 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet

Læs mere

Betydningen af konjunktur og regelændringer for udviklingen i sygedagpengemodtagere

Betydningen af konjunktur og regelændringer for udviklingen i sygedagpengemodtagere DET ØKONOMISKE RÅD S E K R E T A R I A T E T d. 20. maj 2005 SG Betydningen af konjunktur og regelændringer for udviklingen i sygedagpengemodtagere Baggrundsnotat vedr. Dansk Økonomi, forår 2005, kapitel

Læs mere

Repræsentative undersøgelser før og nu. Peter Linde, Interviewservice pli@dst.dk

Repræsentative undersøgelser før og nu. Peter Linde, Interviewservice pli@dst.dk Repræsentative undersøgelser før og nu Peter Linde, Interviewservice pli@dst.dk >> >> Dagsorden Hvad er en repræsentativ undersøgelse? Bortfald og forskerbeskyttelse Vægtning for bortfald Effekt af vægtning

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Græsrodsforskning. -mekanisk tidselbekæmpelse i rækkesået vårbyg med radrensning og klipning af tidseltoppe. Stenalt Land- og Skovbrug,

Græsrodsforskning. -mekanisk tidselbekæmpelse i rækkesået vårbyg med radrensning og klipning af tidseltoppe. Stenalt Land- og Skovbrug, Græsrodsforskning -mekanisk tidselbekæmpelse i rækkesået vårbyg med radrensning og klipning af tidseltoppe. Stenalt Land- og Skovbrug, i samarbejde med Kronjysk Landboforening og Direktoratet for FødevareErhverv

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Nr 12 Alternativ koncept til nedfældning af svinegylle i vinterhvede

Nr 12 Alternativ koncept til nedfældning af svinegylle i vinterhvede Nr 12 Alternativ koncept til nedfældning af svinegylle i vinterhvede 0 250 meter Djursland Landboforening Planter og Natur Føllevej 5, Følle, 8410 Rønde Tlf. 87912000 Fax. 87912001 Forsøg 2009 Dato: 08.10.2008

Læs mere

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening M iljøpr ojekt nr. 449 1999 Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening Lektor, cand.scient., lic.tech. Helle Holst IMM, Institut for Matematisk Modellering DTU, Danmarks

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

Effekt af sortplet-arbejdet i Århus Amt

Effekt af sortplet-arbejdet i Århus Amt Effekt af sortplet-arbejdet i Århus Amt Sektionsleder, civilingeniør Henning Jensen Vejplanafdelingen, Århus Amt E-mail: hej@ag.aaa.dk Ph.d.-studerende, civilingeniør Michael Sørensen Trafikforskningsgruppen,

Læs mere

Krystalkuglen. Gæt et afkast

Krystalkuglen. Gæt et afkast Nr. 2 - Marts 2010 Krystalkuglen Nr. 3 - Maj 2010 Gæt et afkast Hvis du vil vide, hvordan din pension investeres, når du vælger en ordning i et pengeinstitut eller pensionsselskab, som står for forvaltningen

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Hvad skal vi lave? Model med hovedvirkninger Model med vekselvirkning F-test for ingen vekselvirkning. 1 Kovariansanalyse. 2 Sammenligning af modeller

Hvad skal vi lave? Model med hovedvirkninger Model med vekselvirkning F-test for ingen vekselvirkning. 1 Kovariansanalyse. 2 Sammenligning af modeller Hvad skal vi lave? 1 Kovariansanalyse Model med hovedvirkninger Model med vekselvirkning F-test for ingen vekselvirkning 2 Sammenligning af modeller 3 Mere generelle modeller PSE (I17) ASTA - 14. lektion

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Hvad betyder jordtypen og dyrkningshistorien for kvælstofbehovet?

Hvad betyder jordtypen og dyrkningshistorien for kvælstofbehovet? Hvad betyder jordtypen og dyrkningshistorien for kvælstofbehovet? Landskonsulent Leif Knudsen, konsulent Niels Petersen og konsulent Hans S. Østergaard, Landskontoret for Planteavl, Landbrugets Rådgivningscenter

Læs mere

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse  Skoleåret Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik. Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge 1, tirsdag d. 5. februar 2002

Epidemiologi og Biostatistik. Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge 1, tirsdag d. 5. februar 2002 Epidemiologi og Biostatistik Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge 1, tirsdag d. 5. februar 2002 1 Statestik Det hedder det ikke! Statistik 2 Streptomycin til behandling af lunge-tuberkulose?

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Module 3: Statistiske modeller

Module 3: Statistiske modeller Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regions- og sygehusplan

Læsevejledning til resultater på regions- og sygehusplan Læsevejledning til resultater på regions- og sygehusplan Indhold 1. Overblik...2 2. Sammenligninger...2 3. Hvad viser figuren?...3 4. Hvad viser tabellerne?...6 6. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...9

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Introduktion

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Introduktion Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Introduktion 1 Formelt Lærere: Esben Budtz-Jørgensen Jørgen Holm Petersen Øvelseslærere: Berivan+Kathrine, Amalie+Annabell Databehandling: SPSS

Læs mere

Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 2010

Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 2010 Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 1 Indhold Indhold Introduktion Information om undersøgelsen og resultatforklaring 3 Tilfredshed og Loyalitet Vurderinger og sammenligninger 5 Hvordan skaber du større

Læs mere

LUP læsevejledning til regionsrapporter

LUP læsevejledning til regionsrapporter Indhold Overblik... 2 Sammenligninger... 2 Hvad viser figuren?... 3 Hvad viser tabellerne?... 5 Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for LUP Fødende: Analysemetoderne,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

Design og sortsvalg i specialforsøg BAR-OF WP2. Ukrudtskonkurrence.

Design og sortsvalg i specialforsøg BAR-OF WP2. Ukrudtskonkurrence. Design og sortsvalg i specialforsøg BAR-OF WP2. Ukrudtskonkurrence. & Ilse A. Rasmussen Afdeling for Plantebeskyttelse,, DK-4200 Slagelse 28. januar 2003, revideret 19. februar 2003 revideret 13. marts

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Test nr. 6 af centrale elementer 02402

Test nr. 6 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Test nr. 5 af centrale elementer 02402

Test nr. 5 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Det sorte danmarkskort:

Det sorte danmarkskort: Rockwool Fondens Forskningsenhed Arbejdspapir 37 Det sorte danmarkskort: Geografisk variation i danskernes sorte deltagelsesfrekvens Peer Ebbesen Skov, Kristian Hedeager Bentsen og Camilla Hvidtfeldt København

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Skriftlig eksamen i samfundsfag

Skriftlig eksamen i samfundsfag OpenSamf Skriftlig eksamen i samfundsfag Indholdsfortegnelse 1. Introduktion 2. Præcise nedslag 3. Beregninger 3.1. Hvad kan absolutte tal være? 3.2. Procentvis ændring (vækst) 3.2.1 Tolkning af egne beregninger

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Ukrudtsbekæmpelse. Lidt, effektivt og alternativt. Landskonsulent Hans Kristensen. Afsnit B, C og D

Ukrudtsbekæmpelse. Lidt, effektivt og alternativt. Landskonsulent Hans Kristensen. Afsnit B, C og D Ukrudtsbekæmpelse Lidt, effektivt og alternativt Landskonsulent Hans Kristensen Afsnit B, C og D Lidt 1999 bød på! Lavere afgrødepriser! Højere pesticidafgift! Lavere nettomerudbytter Lidt! Færre behandlinger!

Læs mere

Epidemiologisk design I. Eksperimentelle undersøgelser. Epidemiologisk design II. Randomiserede undersøgelser. Randomisering I.

Epidemiologisk design I. Eksperimentelle undersøgelser. Epidemiologisk design II. Randomiserede undersøgelser. Randomisering I. Eksperimentelle undersøgelser Epidemiologisk design I Observerende undersøgelser beskrivende: Undersøgelsesenheden er populationer regional variation migrationsundersøgelser korrelationsundersøgelser tidsrækker

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 2. del Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 2. del Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 2. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er hypotesetestning? I sundhedsvidenskab:! Hypotesetestning = Test af nulhypotesen Hypotese-testning anvendes til at vurdere,

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

Bilag 8. Principper for implementering af ændringer af kontoplan vedr. opgørelse af udgifterne til administration

Bilag 8. Principper for implementering af ændringer af kontoplan vedr. opgørelse af udgifterne til administration Bilag 8 Emne: Til: Kopi: til: Ændring af kontoplan 1. fællesmøde mellem Økonomiudvalget og Magistraten Byrådets medlemmer Den 3. september 2012 Aarhus Kommune Borgmesterens Afdeling Principper for implementering

Læs mere

FORDELING AF ARV. 28. juni 2004/PS. Af Peter Spliid

FORDELING AF ARV. 28. juni 2004/PS. Af Peter Spliid 28. juni 2004/PS Af Peter Spliid FORDELING AF ARV Arv kan udgøre et ikke ubetydeligt bidrag til forbrugsmulighederne. Det er formentlig ikke tilfældigt, hvem der arver meget, og hvem der arver lidt. For

Læs mere

Befolkningsprognose 2015

Befolkningsprognose 2015 Befolkningsprognose Indledning Befolkningsprognosen bruges bl.a. som grundlag for beregning af tildelingsmodellerne på børneområdet og på ældreområdet, og resulterer i demografireguleringerne i forbindelse

Læs mere

BILAG 2 METODE OG FORSK- NINGSDESIGN

BILAG 2 METODE OG FORSK- NINGSDESIGN Til Undervisningsministeriet Dokumenttype Bilag Dato Marts 2014 BILAG 2 METODE OG FORSK- NINGSDESIGN BILAG 2 METODE OG FORSKNINGSDESIGN INDHOLD 1. Design- og metodebilag 1 1.1 Forskningsdesign 1 1.2 Analysemetoder

Læs mere

N-optimum og P-følsomhed for nye resistente kartoffelsorter. Rapport 2016

N-optimum og P-følsomhed for nye resistente kartoffelsorter. Rapport 2016 N-optimum og P-følsomhed for nye resistente kartoffelsorter Rapport 2016 Skrevet af: Henrik Pedersen og Claus Nielsen AKV Langholt AmbA Gravsholtvej 92 9310 Vodskov Indhold Resumé... 3 Baggrund... 4-6

Læs mere

Økonometri 1. Oversigt. Mere om dataproblemer Gentagne tværsnit og panel data I

Økonometri 1. Oversigt. Mere om dataproblemer Gentagne tværsnit og panel data I Oversigt Økonometri 1 Mere om dataproblemer Gentagne tværsnit og panel data I Info om prøveeksamen Mere om proxyvariabler og målefejl fra sidste gang. Selektion og dataproblemer Intro til nyt emne: Observationer

Læs mere

IN03-003 Udførelse og opgørelse af forsøg med logaritmesprøjte. af Jens Erik Jensen, Landscentret Planteavl, e-mail jnj@landscentret.

IN03-003 Udførelse og opgørelse af forsøg med logaritmesprøjte. af Jens Erik Jensen, Landscentret Planteavl, e-mail jnj@landscentret. IN03-003 dførelse og opgørelse af forsøg med logaritmesprøjte af Jens Erik Jensen, Landscentret Planteavl, e-mail jnj@landscentret.dk Dokument sidst revideret 25. marts 2004. Hvorfor logaritmesprøjte?

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Naturlig ventilation med varmegenvinding

Naturlig ventilation med varmegenvinding Naturlig ventilation med varmegenvinding af Line Louise Overgaard og Ebbe Nørgaard, Teknologisk Institut, Energi Teknologisk Institut har udviklet en varmeveksler med lavt tryktab på luftsiden til naturlig

Læs mere

Markante sæsonudsving på boligmarkedet

Markante sæsonudsving på boligmarkedet N O T A T Markante sæsonudsving på boligmarkedet 9. marts 0 Denne analyse estimerer effekten af de sæsonudsving, der præger prisudviklingen på boligmarkedet. Disse priseffekter kan være hensigtsmæssige

Læs mere

eksaminand nr Opgavesættet består af 3 sædvanlige (essay) opgaver samt et antal opgaver af multiple choice typen.

eksaminand nr Opgavesættet består af 3 sædvanlige (essay) opgaver samt et antal opgaver af multiple choice typen. Københavns Universitet Det Farmaceutiske Fakultet Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve: Den 12. januar 2009 Kursus navn og nr: Statistisk Forsøgsplanlægning, A-343 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

En intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen

En intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur

Læs mere

Indeks for HD BLUP - AM

Indeks for HD BLUP - AM Indeks for HD Per Madsen Seniorforsker Aarhus Universitet Det Jordbrugsvidenskabelige Fakultet Institut for Genetikk og Bioteknologi Forskningscenteret Foulum, Danmark Hofteledsdysplasi (HD) er en lidelse,

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Kørsel i kommunens egne køretøjer - Kultur, Miljø & Erhverv. - Social & Sundhed - Staben & Jobcenter. Kørselsgodtgørelse. Elektricitet (bygninger)

Kørsel i kommunens egne køretøjer - Kultur, Miljø & Erhverv. - Social & Sundhed - Staben & Jobcenter. Kørselsgodtgørelse. Elektricitet (bygninger) CO 2 -beregning 2014 Kortlægning af Aabenraa Kommunes CO 2 -udlednin g som virksomhed Juni 2015 1 2 Indhold Indledning... 4 Resultater 2014... 5 Den samlede CO 2 -udledning 2014... 5 El og varme i bygninger...

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt

Læs mere

Inklusions rapport i Rebild Kommune Elever fra 4. til 10. klasse Rapport status Læsevejledning Indholdsfortegnelse Analyse Din Klasse del 1

Inklusions rapport i Rebild Kommune Elever fra 4. til 10. klasse Rapport status Læsevejledning Indholdsfortegnelse Analyse Din Klasse del 1 Inklusions rapport i Rebild Kommune Elever fra 4. til 10. klasse Nærværende rapport giver et overblik over, hvorledes eleverne fra 4. til 10. klasse i Rebild Kommune trives i forhold til deres individuelle

Læs mere

Undersøgelse af udbredelsen af udeskole i 2014

Undersøgelse af udbredelsen af udeskole i 2014 Undersøgelse af udbredelsen af udeskole i 2014 Niels Ejbye-Ernst, VIAUC & Peter Bentsen, Steno Diabetes Center (2015) Udarbejdet i forbindelse med projekt Udvikling af udeskole Artiklen præsenterer kort

Læs mere

Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Generaliserede lineære modeller Log-lineære modeller

Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Generaliserede lineære modeller Log-lineære modeller Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Binær respons og kategorisk eller kontinuerte forklarende variable. Generaliserede lineære modeller Normalfordelt respons og kategoriske forklarende

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

I vækstsæsonen 2012 er dræningens betydning for vækst og udbytte af vårbyg blevet belyst i en undersøgelse.

I vækstsæsonen 2012 er dræningens betydning for vækst og udbytte af vårbyg blevet belyst i en undersøgelse. Bilag 8.12 Afvandingens betydning for høstudbyttet I vækstsæsonen 2012 er dræningens betydning for vækst og udbytte af vårbyg blevet belyst i en undersøgelse. Undersøgelsen blev foretaget i en mark på

Læs mere

NOTAT. Demografiregulering med ny model

NOTAT. Demografiregulering med ny model NOTAT Demografiregulering med ny model Sagsnr.: 14/27110 Dokumentnr.: 5341/15 Da den nuværende befolkningsprognose for Vordingborg Kommune peger på væsentlige demografiske ændringer i alle aldersgrupper,

Læs mere

Sammendrag. Beskrivelse

Sammendrag. Beskrivelse Ved naturlig ventilation har man et anlæg, som ikke forbruger el til driften og dermed heller ikke går i stå ved strømsvigt. INSTITUTION: FAGLIGT ANSVAR: VIDENCENTER FOR SVINEPRODUKTION POUL PEDERSEN

Læs mere