Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks f.eks. 3 + b 1 + a Notation: a 2 b 2 + an.

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an."

Johan Holmberg
8 år siden
Visninger:

1 Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks b 1 7 b 0 + a 1 b 1 + a f.eks b2 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b3 f.eks. 3 + Notation: b 0 + a 1 b 1 + eller K a 2 b 2 + an b n ( - a1 a 2 a n b 0 b 1 b 2 b n )

dk> Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3 + 1 b 1 7 b 0 + a 1 b 1 + a f.

2 Generelle eksempler b 0 = b 0 1 = A 0 B 0 b 0 + a 1 b 1 = b 0b 1 + a 1 b 1 = A 1 B 1 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b2 = b 0 + a 1b 2 b 1 b 2 + a 2 = b 0b 1 b 2 + b 0 a 2 + a 1 b 2 b 1 b 2 + a 2 = A 2 B 2 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b3 = regne-regne = b 0b 1 b 2 b 3 + b 0 b 1 a 3 + b 0 a 2 b 3 + a 1 b 2 b 3 + a 1 a 3 b 1 b 2 b 3 + b 1 a 3 + a 2 b 3 = A 3 B 3

b 2 + a 2 = A 2 B 2 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b3 = regne-regne = b 0b 1 b 2 b 3 + b

3 Tællere og nævnere, Fibonacci tallene dukker op ( ) - a1 a K 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 b 0 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 = = + a 1b 2 a 4 b 5 a 7 b 8 + ( sum af 55 led) + a 2 a 4 b 5 b 6 a 8 + (sum af 34 led) = A 8 B 8 A erne er kanoniske, a erne partielle tællere B erne er kanoniske, b erne partielle nævnere. Antallet af led (i A er og i B er) bestemmes ved at se på tilfældet, hvor alle a er og også alle b er er 1: led i A n = F n+2 led i B n = F n+1 HUSK: Fibonacci-tallene F 0, F 1, er tallene 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. Senere skal vi se på, hvordan de enkelte led bestemmes... men først det vigtige spørgsmål: Hvorfor kædebrøker?

Antallet af led (i A er og i B er) bestemmes ved at se på tilfældet, hvor alle a er og også alle b er er 1: led i A n = F n+2 led i B n = F n+1 HUSK:

4 Euklid s algoritme start: stor, lille beregning: stor=lille kvotient+rest stopkriterium: hvis rest = 0: STOP, sfd er fundet! nye værdier: ny stor=gl. lille, ny lille=rest rekursivt trin: tilbage til beregning ( ) stor lille Så er stor lille = kvotient + = kvotient + rest lille altså: 1 ny ( stor lille Eksempel 2361 = ) 1113 = = = så: sfd(2361,1113) = 3 og = K ( ) fremstilling af brøk i en regulær kædebrøk!

lille, ny lille=rest rekursivt trin: tilbage til beregning ( ) stor lille Så er stor lille = kvotient + = kvotient + rest

5 Approksimation Historisk har kædebrøker udspring i ønsket om at finde enkle og præcise måder at udtrykke vigtige størrelser på, typisk i relation til geometrien eller astronomien. Således har Euklids algoritme relation til størrelseslæren, hvor (geometriske) størrelser sammenlignes. Ofte dukker kvadratrødder eller π op. Berømt er Arkimedes ( f.kr.) undersøgelser vedrørende cirkelmåling. Til approksimationer for π benyttede han bl.a. vurderingerne < 3 < , der direkte fås af kædebrøksteorien. Nævnes kan også kineseren Tsu (ca. år 500), som fandt approksimationen ( ) ( ) π K = K = Ved en nærliggende udvidelse af Euklids algoritme ses: Ethvert tal kan udvikles i en regulær kædebrøk. Men, hvis tallet er irrationalt (ikke en brøk), får man en uendelig kædebrøk, hvor konvergenterne A n B n så bliver bedre og bedre approksimationer af tallet.

) undersøgelser vedrørende cirkelmåling. Til approksimationer for π benyttede han bl.a. vurderingerne 153 265 < 3 < 1351 780, der direkte fås af kædebrøksteorien. Nævnes kan også kineseren Tsu (ca.

6 Approksimation: mere om π... π = K ( ) Sært: 100mill led kendes, men ikke mønstret! Men: ( ) π = K Regulære kædebrøk giver de første konvergenter: , OBS: alternerer! (klart, at sådan må det være!)

7 ... og noget om ln2 Siden ca kendes kædebrøksudvikling af trigonometriske og logaritmiske funktioner. Skyldes især Lambert. Se f.eks. hans smukke formel: ln2 (areal af figuren: 1 x 2,0 y 1 x ) ( ) = K Approksimanter (ln2 = ): standard metode: ln2 = der har approksimanter: håbløst! led kræves for at få samme nøjagtighed!

hans smukke formel: ln2 (areal af figuren: 1 x 2,0 y 1 x ) ( ) - 1 1 1 4 4 9 9 = K 0 1 2 3 4 5 6 7 Approksimanter (ln2

8 Mødre, døtre og frie kvinder! Problem: Formler for A n erne og B n erne! Eller blot metode til at bestemme dem. Husk eksemplet: A 8 = + a 1 a 4 a 7 b 2 b 5 b 8 +, (sum af 55 led), B 8 = + a 2 a 4 a 8 b 5 b 6 +, (sum af 34 led).... hænger sammen med familier af mødre, døtre og frie kvinder, se blot her:

Husk eksemplet: A 8 = + a 1 a 4 a 7 b 2 b 5 b 8 +, (sum af 55 led), B 8 = + a 2 a 4

9 Populationer Vi vil bestemme A n. Se på populationen af alle familier, der kun består af kvinder efter følgende regler: - hver familie består af præcis n + 1 kvinder, een for hver aldersklasse 0,1,, n - hvert familiemedlem er enten en mor, en datter eller en fri kvinde - det yngste familiemedlem er ikke mor - hver mor har een datter, som netop er een aldersklasse yngre end moderen - frie kvinder er kvinder, der hverken er mødre eller døtre

præcis n + 1 kvinder, een for hver aldersklasse 0,1,, n - hvert familiemedlem er enten en mor, en datter eller

10 Bestemmelse af A 5 og videre muligheder... fremgår af figuren (næste side)! B 5 bestemmes tilsvarende, men svarende til familier over aldersklasserne 1,2,3,4,5 (snarere end 0,1,2,3,4,5). Mere om udnyttelse af familiestrukturen: Kig især efter determinantformlen!. Resultaterne er splinternye og netop præsenteret på kongressen ICM2006 i Madrid. Vedrørende omhyggelige beviser: Faktisk let at indse, at A n erne og B n erne kan bestemmes via familierne som beskrevet. Måske kan man nøjes med at bevise, at antallet af familier over {0,1,, n} er Fibonaccitallet F n+2 (hjælp hertil: Del familierne op i de familier, hvor den ældste er en mor og så de andre familier...). Får I blod på tanden er en mulighed at kontakte Aarhus Universitet, der netop har lagt et forslag til besøg med foredrag og øvelser om kædebrøker på nettet, se

Vedrørende omhyggelige beviser: Faktisk let at indse, at A n erne og B n erne kan bestemmes via familierne som beskrevet.

11 kaedebroeker.html. Videre oplysninger/inspiration fås mange andre steder på nettet, bl.a. fra min egen hjemmeside topsoe

Relaterede dokumenter

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n