Grundlæggende matematik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grundlæggende matematik"

Transkript

1 Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt forstå) mere kompleks matematik. Version 2.0

2 Indhold Tallenes udvikling... 3 De naturlige tal... 3 De hele tal... 3 De rationale tal... 4 De reelle tal... 4 De komplekse tal... 5 Negative tal... 5 Grundlæggende regneregler... 6 Regnearternes hierarki... 6 Parenteser... 6 Hæve parenteser... 7 Gange ind i parenteser... 7 Flytte udenfor parentes (faktorisere)... 8 Potenser og rødder... 8 Potens... 8 Rødder... 9 Gange og dividere Lægge til og trække fra Vigtige regneregler Brøkregneregler Sætning: Sætte på fælles brøkstreg Sætning: Gange en brøk med et tal Sætning: Gange to brøker Sætning: Dividere en flerledet størrelse med et tal Sætning: Dividere en brøk med et tal Sætning: Dividere med en brøk Potensregneregler Sætning: Potensregneregler (potenser) Regneregler for rødder Sætning: Regneregel for rødder Kvadratsætninger Sætning: Kvadratsætning Sætning: Kvadratsætning Ligningsløsning

3 Formelmæssig løsning Grundregel: Løsning af ligninger Uligheder Grundregel: Løsning af uligheder Grafisk løsning

4 Tallenes udvikling Tallene er alle tings væsen, sagde Pythagoras. Han mente, at vejen til sjælens frigørelse lå i et studium af de talmæssige forhold, som gør naturen til et harmonisk kosmos. Selv om vi nu til dags - cirka 2500 år senere - nok ikke ville udtrykke os helt på denne måde, må vi indrømme, at tallene spiller en væsentlig rolle for vores forståelse af verden. Vi har opnået så stor fortrolighed med dem, at vi er tilbøjelige til at betragte dem som evige og naturgivne. Men den opfattelse er forkert. Ideen om tallene er skabt af mennesker, som gennem årtusinder har forbedret regnekunsten. Den mest betydningsfulde drivkraft har været skiftende kulturers forsøg på at forklare naturens forskelligartede fænomener som for eksempel årstidernes rytme og månens bevægelser. Men også rent praktiske gøremål har inspireret. Oldtidsbonden har haft brug for at holde styr på antallet af husdyr, og søfareren behøvede en vis form for navigation. Alle disse aktiviteter involverede beregninger, som blev mere og mere avancerede i takt med naturvidenskabernes udvikling. Når kravene til tallenes anvendelighed steg, måtte man udvide og forbedre forældede talsystemer. De reelle tal bør derfor betragtes som en kulturel frembringelse, der har været undervejs, siden de første civilisationer opstod. Historien slutter ikke med de reelle tal. For kun et par hundrede år siden lykkedes det at udvide dem, så vi i dag har en endnu mere anvendelig talstruktur til rådighed - de komplekse tal. Følgende oversigt fremhæver i stærkt forenklet form nogle af hovedpunkterne i tallenes regnemæssige udvikling frem mod de komplekse tal. De naturlige tal Den mest primitive af de sædvanlige talmængder er mængden af naturlige tal: N = {1, 2, 3,...}. De kaldes også tælletallene, fordi det er dem, man bruger, når man tæller. Men der er problemstillinger, som ikke kan løses inden for mængden af de naturlige tal. Et så simpelt problem som»hvis jeg lægger 5 kroner til min formue, har jeg 3 kroner. Hvor stor er min formue?«har ingen løsning. Med andre ord: der findes ikke noget naturligt tal x, som tilfredsstiller ligningen 5 + x = 3. Heller ikke ligningen 5 + x = 5 har nogen løsning. De hele tal For at kunne løse alle ligninger af formen a + x = b er det nødvendigt at udvide talmængden til også at omfatte nul og de negative hele tal. Dermed har vi mængden af alle de hele tal: Z = {..., - 3, - 2, -1, 0,1, 2, 3,...}. De hele tal er - ligesom de naturlige - stabile over for addition og multiplikation, og man kan løse alle additive ligninger inden for denne mængde. Først i 1600-tallet begyndte negative tal at blive regnet for egentlig tal, og helt frem til starten af 1800-tallet blev det blandt europæiske akademikere diskuteret, hvorvidt negative tal og nul skulle tillades i matematikken. Men der er stadig problemstillinger, som ikke kan løses. Eksempelvis har problemet»fem personer har delt tre kager. Hvor meget fik de hver?«ingen løsning. Det er det samme som at sige, at ligningen 5 x = 3 ikke tilfredsstilles af noget helt tal. 3

5 De rationale tal Man kan kun løse alle ligninger af typen med, såfremt man udvider talmængden til også at omfatte alle brøker med heltallig tæller og nævner. Denne mængde kaldes de rationale tal: { } De rationale tal indeholder de hele tal, thi et vilkårligt helt tal kan opfattes som en brøk med nævneren 1. Næsten alle praktiske regneopgaver kan løses uden at forlade de rationale tal. Lommeregnere og computere klarer sig endda med en ganske lille del af de rationale tal, nemlig dem, der kan skrives som endelige decimalbrøker med et bestemt maksimalt antal betydende cifre. Men der er stadig huller i talrækken. To eksempler er. Disse kan ikke skrives som en brøk. De reelle tal Den næste udvidelse var dramatisk. Man opdagede, at forholdet mellem længderne af to linjestykker ikke altid kan angives ved hjælp af et rationalt tal. Sådanne linjestykker kaldes inkommensurable, og deres forhold siges at være irrationalt. Allerede 300 år f. Kr. kendtes et bevis for, at forholdet mellem diagonalen og en af siderne i et kvadrat er irrationalt (hvad er dette forhold?). Opdagelsen af de inkommensurable størrelser øvede en gennemgribende indflydelse på erkendelsesfilosofien. Man havde hidtil været overbevist om, at alle naturens fænomener kunne udtrykkes ved hjælp af simple rationale tal, og at verden i hele sit væsen var rational. I oldtidens Grækenland havde medlemmerne af den navnkundige Pythagoræiske Skole viet hele deres liv til studiet af den guddommelige natur set i lyset af de rationale tal. Tallenes utilstrækkelighed kom som et chok for disse mennesker. Overleveringen siger, at guderne lod pythagoræeren Hippasos omkomme ved et frygteligt skibsforlis, fordi han med sin opdagelse af de inkommensurable størrelser kom dem for nær. Nogle hemmeligheder er forbeholdt guderne. Opdagelsen var den direkte årsag til en total omlægning af den kurs, den græske matematik hidtil havde fulgt. Man måtte indrømme, at geometrien åbenbart var mere fuldkommen end tallene, thi geometrien kunne jo fremvise længder, som ikke kunne udtrykkes ved noget tal. Som konsekvens heraf helligede man sig geometrien. Det førte i øvrigt til et yderst frugtbart arbejde, som resulterede i den klassiske geometri, der har holdt sig næsten uændret frem til vor tid. De reelle tal, R, indeholder foruden de rationale tal også de irrationale. Dermed har man fået lukket de sidste huller på talaksen. Til ethvert punkt på talaksen svarer et reelt tal, og til ethvert reelt tal svarer et punkt på talaksen. Det teoretiske grundlag for de reelle tal har været et virkeligt stort problem, som først er blevet løst på tilfredsstillende måde i nyere tid. Der er dog stadig problemstillinger som ikke kan løses. Problemstillingen er: Vi kan ikke tage kvadratroden af negative tal, da der ikke eksisterer nogle tal, som ganget med sig selv giver et negativt resultat. 4

6 De komplekse tal Det ville lette mange beregninger, hvis det var tilladt at uddrage kvadratroden af -1. På trods af al skepsis og alle indvendinger har det dog vist sig både muligt og yderst anvendeligt at udvide talbegrebet. De komplekse tal, C, repræsenterer en udvidelse af de reelle tal, hvori ethvert polynomium af mindst første grad har et nulpunkt. Derfor har specielt ligningen x 2 +1 = 0 en løsning, og derfor har det god mening at tale om. De komplekse tal betegnes C og i kaldes den imaginære enhed. Nogle gange bruges betegnelsen imaginære tal for de komplekse tal. Komplekse tal (betegnes C) forener et reelt og et imaginært tal i en slags "par". Man kan beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen og maginærdelen, sat sammen til en enhed. (2 + 3i) er et eksempel på et kompleksttal. Negative tal Negative tal, er tal mindre end 0. Vi så de blev indført med de hele tal. Matematisk tjener indførelsen af negative tal til, at subtraktion altid er mulig, fx 2 5 = 3, samtidig med at gængse regneregler bevares. Negative tal blev brugt i indisk matematik omkring 600. I Europa dukkede de op i 1500-t. som absurde eller fiktive tal, og først ca kunne bogstavkoefficienter stå for negative tal. Hvis vi ganger eller dividere vil der med sikkerhed gælde følgende for tal forskellige fra På grund af ovenstående er det meget vigtigt at holde styr på de negative tal. Det kan lettest gøres ved at sætte en parentes omkring negative tal, som skal ganges på et eller flere tal. Eksempelvis: Find selv på flere. ( ) ( ) ( ) ( ) Lav øvelse 3.1 side 14 5

7 Grundlæggende regneregler Grundlæggende regneregler er fundamentet for al matematik. De mest endte er nok at lægge sammen, at trække fra, at gange og dividere. Tilføjer man potenser og rødder, samt brugen af parenteser, så har vi de helt basale regneoperationer. Når vi kombinerer de forskellige regneoperationer i samme udregning kaldes det for aritmetik. Et aritmetisk udtryk kunne være. Når vi skal udregne et sådan udtryk får vi brug for regnearternes hierarki, som gennemgås om lidt. Inden da skal vi lige have indført begrebet led. Et led er enten et tal, en parentes, et produkt eller en brøk kun adskilt af + eller -. I det aritmetiske eksempel ovenfor er der tale om 3 led. Angiv antal led i hver delopgave i øvelse 2.1 side 13 Regnearternes hierarki Det er utrolig vigtigt at have fuldstændig styr på regnearternes hierarki og selvfølgelig brugen af dette. Vi opstiller nu vores grundlæggende regneoperationer i stærkeste rækkefølge. (video) 1. Parenteser 2. Potenser og rødder 3. Gange og dividere 4. Lægge til og trække fra Et lille eksempel kunne være hvilket betyder eller blot Følger vi ikke reglementet kunne vi få et forkert svar som Lav øvelse 2.1 side 13, opgave 1 side57 og læs side i Vejen til matematik AB1 og lav side 15 I punkt 2-4 siges det at regneoperationerne er hinandens modsatrettede regneoperationer. Altså det modsatte af at gange er at dividere osv Du kan teste dine evner her Parenteser Parenteser er med til at holde styr på vores enheder. De fortæller hvad, der ultimativt hører sammen. Et eksempel kunne være: En bonde siger til den anden jeg har 3 gange så mange dyr som du har. Den anden bonde har 2 geder, 3 køer og 5 høns. Hvor mange dyr har den første bonde? Kan skrives således ( ). Kunne også opfattes som ( ) Vi vil nu kigge lidt på regning med parenteser. 6

8 Hæve parenteser Man kan sige at parenteser optræder som et tal, som skal behandles efter regnearternes hierarki. Vi kan altså både have positive og negative parenteser, og vi kan gange parenteser sammen og. Sætning: Minus parentes Man kan hæve en minusparentes ved at skifte fortegn på alle led i parentesen. Eksempel: ( ) Kan også opfattes som ( ) ( ) ( ) Sætning: Plus parentes Man kan hæve en plusparentes uden videre. Eksempel: ( ) Kan også opfattes som ( ) Lav: øvelse 6.3 side 22 Gange ind i parenteser Vi så lige i eksemplet med bønderne at antallet af dyr kunne skrives som ( ) Men vi kan også finde antallet ved at kigge på hver dyreart for sig Vi gangede blot ind i parentesen. Sætning: Gange en parentes med et tal Man ganger et tal på en parentes ved at gange tallet ind på hvert led Derfor kan vi skrive ( ) ( ) Det er altså lige meget om vi først regner parentesen ud eller ganger tallet ind i parentesen 7

9 Sætning: Gange to parenteser Man kan ganger to parenteser ved at gange hvert led i den første med hvert led i den sidste. ( )( ) Eksempelvis: ( )( ) Lav: øvelse 6.6 side 23, bevis sætningen om at gange to parenteser, opgave 3 side 57 og opgave 6 side 57 Flytte udenfor parentes (faktorisere) Reglen om at gange ind i en parentes kan selvfølgelig også bruges den anden vej så ( ). Dette bruges ofte til at forkorte et aritmetisk udtryk. Eksempelvis ( ) I skrivende praksis springes den midterste udregning oftest over. Har du brug for at øve lidt mere, så er der her en hjemmeside til dette. Lav øvelse 7.1 side 26, lav 5 opgaver til din sidemand (husk du skal selv kunne kontrollere facit ) Potenser og rødder Kun slået af parenteser har vi potenser og rødder. Potens En potens består af en rod en eksponent (eksponenten er den opløftede). Eks. 2 4, her er 2 roden og 4 eksponenten. Eksemplet kan også skrives som Generelt vil der gælde, at hvis vi tager n-antal xér og multiplicere dem får vi Prøv at omskrive og og, opgave 4 side 57, opgave 7 a,b side 57 Vi skal senere kigge nærmere på konkrete potensregneregler. 8

10 Eksponentielnotation Et konkret sted hvor potenser bruges til at gøre tal lettere at kigge på er i forbindelse med eksponentielnotation. Hvis vi eksempelvis kigger på lidt info om jorden så er dens masse (sådan i runde tal). For at skrive dette lidt kortere så kan det skrives som For at omskrive et tal til eksponentielnotation, skal man først finde det første tal i rækken som ikke er nul, herefter sætte et komma, og så tælle enten antal tal indtil kommaet. Hvis tallet er større end 0 så er eksponenten positiv, hvis tallet er mindre end 0, så er eksponenten negativ. Et andet eksempel kunne være enheden nanometer som er givet som eksponentielnotation skrevet som. I Find sammen med en makker på 4 tal (bestemmer selv størrelsen) og omskriv disse til eksponentiel notation. Rødder En rod består af en rodeksponent og en radikand. Radikanden er tallet inde under rodtegnet. Eks., her er 3 rodeksponenten og 8 er radikanden. I har sikkert lært at, læses som kvadratroden af 4, men man kan også sige den anden rod af 4. Faktisk står der et skjult 2-tal. giver 4. betyder det tal som ganget med sig selv 3 gange giver 8.. Dette betyder, det tal, som ganget med sig selv 2 gange, Man kan ikke tage kvadratet af et negativt tal, da der ikke eksisterer nogle tal, som ganget med sig selv giver et negativt tal. Man har én gang for alle bestemt at kvadratrødder er positive. Så eks. ( )( ) selv om Har man en lige rodeksponent, så kan radikanden ikke være negativ jf. ovenstående. Har man en negativ rodeksponent, så kan radikanden godt være negativ jf. ovenstående. Denne viden om rødder kan eks. bruges til at løse følgende Lav øvelse 4.10 side 21, opgave 11 side 58 og opgave 12 side 58 9

11 Alle rødder kan skrives som potenser, hvilket vi ser nærmere på under potensregneregler. Eksempelvis kan vi skrive Gange og dividere Ikke et område vi gør noget større ud af, da det her anses som en grundlæggende færdighed alle kan. Det skal dog nævnes at to tal som bliver ganget sammen kaldes for faktorer og resultatet for et produkt. Disse betegnelser bruges ofte og er derfor nødvendige at kunne. I forbindelse med division vil vi oftest opstille det på en brøk med tæller (top) og nævner (nederst). Det anses som grundlæggende viden at man kan forkorte eller forlænge en brøk ved at gange/dividere et tal med BÅDE tæller og nævner. VIGTIGT: Man må ikke dividere med 0. Vigtige brøkregneregler vil blive nævn under vigtige regneregler senere. Lægge til og trække fra GAAAAAABBBBBBBBBBB Skal vi skrive noget interessant så kaldes det ikke at plusse men at lægge sammen. Dette hedder addition. Det kaldes heller ikke at minusse men at trække fra og dette hedder substitution. Opgave: Gå sammen 2 og 2. Den ene leger nu underviser og den anden elev. Underviser fortæller nu kort og præcist omkring regnearternes hierarki, så eleven forstår det. Herefter byttes roller. I hver runde skal der produceres 1 spørgsmål til ovenstående inkl. svar. 10

12 Vigtige regneregler Nu vil vi opliste nogle af de vigtigste regneregler som bare SKAL kunne huskes udenad. Næsten halvdelen af det arbejdet I skal lave senere med beviser benytter disse regler. Det er fundamentet i vores Matematik -hus. Brøkregneregler Undtagen nogle få, så kan alle tal opskrives som brøker. Det er derfor en stor fordel at have helt styr på de næste brøkregneregler. I folkeskolen har mange været vant til at benytte blandede tal, dvs. omskrive eksempelvis til. Det viser sig dog i mange henseender at være problematisk, så mit råd er Hold jer til brøker og glem alt om blandede tal, og blot forkort brøken mest mulig.. Sætning: Sætte på fælles brøkstreg Man adderer eller subtraherer brøker med fælles nævner ved at adderer eller subtraherer tællerne og beholde nævneren Eksempel Lav øvelse 8.16 side 32 Sætning: Gange en brøk med et tal Man ganger en brøk med et tal ved at gange tallet op i tælleren og beholde nævneren Eksempel Lav øvelse 8.2 side 29, opgave 13 a,c side 58 Sætning: Gange to brøker Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner Eksempelvis Lav øvelse 8.12 side 30, opgave 13 d,e,f side 58 11

13 Sætning: Dividere en flerledet størrelse med et tal Man dividerer en flerledet størrelse med et tal ved at dividere hvert led i tælleren med tallet Eksempelvis Lav øvelse 8.6 side 26 Sætning: Dividere en brøk med et tal Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet i nævneren og beholde tælleren Eksempelvis Lav øvelse 8.4 side 28, opgave 13 b side 58 Sætning: Dividere med en brøk Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte Eksempelvis Lav øvelse 8.14 side 31 Nu kan du så bare gå i gang med at øve dine færdigheder inden for brøkregning. 12

14 Potensregneregler Her følger en samling af udvidet potensbegreber, som er nyttige som redskab til at gøre eksempelvis et aritmetisk udtryk pænere og mere overskueligt. Sætning: Potensregneregler (potenser) ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. Bevis: Laves på klassen. Hermed bevist Eksempler ( ) ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. Lav opgave 5 side 57 og opgave 7 side 57. Så skal de trænes færdigheder i potensregning. 13

15 Regneregler for rødder Vi har tidligere hørt at rødder kan omskrives og derefter kan vi benytte ovenstående potensregneregler på disse. Men Vi kan også omskrive rødder på anden vis. Sætning: Regneregel for rødder Bevis: I de næste beviser benyttes flere at sætningerne for potensregneregler. 1. ( ) Hermed bevist 2. ( ) Hermed bevist 3. Til at vise punkt 3 laver vi to omskrivninger. 1. ( ) 2. ( ) I nummer 1 gælder at a>0 og i 2 gælder at. Derfor har man bestemt at Hermed bevist Sætningens punkt 1 og 2 gælder for alle rødder uanset rodeksponent. Punkt 3 gælder for alle rødder med lige rodeksponent og ved ulige rodeksponent fås blot a. Eksempler: ( ) Lav side 39 uden brug af hjælpemidler. Lav de opgaver du mangler af 1-18 side 57 og 58 14

16 Kvadratsætninger Kan man gange to parenteser med hinanden, så er kvadratsætningerne egentlig overflødige, men de giver nu en god regel, som gør det hele lidt nemmere. Har du prøvet det før, kan du se en video her. I stedet for at have 3 sætninger, så vælger jeg her kun at have 2, da de kan det samme. Sætning: Kvadratsætning 1 Kvadratet på en toleddet størrelse er givet ved kvadrat på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt. ( ) Eller så den er nemmere at bruge uanset fortegn Bevis: ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ved at benytte sætningen om at gange et tal på en parentes, og huske på at en parentes kan opfattes som et tal, så kan vi gøre følgende: ( ) ( )( ) ( ) ( ) Hermed bevist. Eksempel: ( ) Eller et lidt svære stykke ( ) ( ) ( ) ( )( ) Lav opgave 19 side 58 Sætning: Kvadratsætning 2 To tals sum ganget med to tals differens givet kvadratet på første led minus kvadratet på andet led ( )( ) Bevis: Laves af eleverne selv. Hermed bevist. Eksempelvis ( )( ) ( ) ( ) Lav opgave 20 side 58, øvelse 6.12 side 25 og øvelse 6.13 side 25 Lav de opgaver du mangler af side 58 og 59 Så kan vi træne færdigheder omkring kvadrering at toleddet størrelser. 15

17 Ligningsløsning Når to udtryk sættes lig med hinanden har man en ligning. En matematisk ligning er dermed et udtryk, som fastslår at to udtryk (ofte kaldet hhv. venstre og højre side af ligningen) er lige store, skrevet op på formen: (Det ene udtryk) = (det andet udtryk). Almindeligvis indgår én eller flere ubekendte talstørrelser, repræsenteret ved et eller flere bogstaver (ofte x). Formelmæssig løsning Grundregel: Løsning af ligninger Man må foretage hvilken som helst regneoperation på ligningen, så længe man gør det samme på begge sider af lighedstegnet. DOG må man ikke gange eller dividere med 0. Eksempel: Dette er en MEGET udførlig version. Lav opgave 23 side 59, opgave 24 side 59 og opgave 25 side 59 Så er det tid til at træne færdigheder indenfor almindelig ligningsløsning. Uligheder En ulighed er et matematisk begreb for et udtryk, der fastslår at ét regneudtryk er større end eller evt. lig med, et andet regneudtryk. Ligesom med ligninger indgår der en eller evt. flere ubekendte størrelser (et tal repræsenteret ved f.eks. bogstavet x) i ét eller begge regneudtryk. De regneregler der gælder for ligninger kan også bruges til at løse uligheder, men hvor ligninger typisk tilfredsstilles af ét eller nogle få bestemte tal, er løsningsmængden for en ulighed oftest et interval, eller evt. en foreningsmængde af flere intervaller af værdier der tilfredsstiller den oprindelige ulighed. < som læses "er mindre end" som læses "er mindre end eller lig med" > som læses "er større end" som læses "er større end eller lig med" 16

18 Grundregel: Løsning af uligheder Man må foretage hvilken som helst regneoperation på ligningen, så længe man gør det samme på begge sider af lighedstegnet. DOG må man ikke gange eller dividere med 0. Men hvis der ganges eller divideres med et negativt tal, så vendes ulighedstegnet Et tip: Saml den ubekendte på den side af ulighedstegnet hvor den vil være positiv, så slipper man for at huske på reglen om at vende uligheden, og blot løse det som en almindelig ligning. Eksempel: Her med er løsningen altså intervallet ] [. Hvis vi bruger tippet. Fås det samme resultat, men vi slipper for problemet med at vende uligheden. Smart. HVIS vi har TI Nspire til hjælp kan det løses ved ( ) Lav opgave 26 side 59, opgave 27 side 59 og opgave 28 side 59 Lad os øve os lidt i at løse uligheder. Hvis vi samler ligheder og uligheder og blot skal isolere x, så kan vi træne dem her. Grafisk løsning Ligningerne kan også betragtes grafisk, da hver side af lighedstegnet kan opfattes som en funktion (nærmere om dette senere). Alle funktioner kan tegnes ind i et koordinatsystem, og dermed kan løsningen findes visuelt (eller med computeren) Eksemplet med kunne højre og venstresiden repræsenteres som rette linjer. Disse linjer vil skærer hinanden (da der eksisterer en løsning). 17

19 y 4x+1 2x+5 y 12 4x+1 2x (2., 9.) 8 6 (2., 9.) x x Ligning 1: 2x+5=4x+1 Ligning 2: 2x+5>4x+1 Lav opgave 23 som grafisk løsning I TI Nspire: (video) Indsæt en graf. Graftype skal være funktioner. Indskriv nu de ønskede funktioner. Vælg undersøg grafer og derefter skæringspunkt. Nu vælges det område som indeholder skæringspunktet. 18

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere