MATEMATIK OG UENDELIGHED

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK OG UENDELIGHED"

Transkript

1 MATEMATIK OG UENDELIGHED Grænser for kognition: At begrebsliggøre det ubegribelige Uendelighed!? Kløverø Parallelle linjers skæring!? Hilberts hotel Magisk trappe Hund efter hare Øliv Øvliv! Eventyr Achilleus og skildpadden Materiale udarbejdet til tværfagligt forløb for.x 200 Deltagende fag: Dansk, Religion og Matematik Udarbejdet af: Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler

2 Indholdsfortegnelse Formål med materiale... Propositiones ad acuendos juvenes (Problems to Sharpen the Young)... 2 Bemærkning til bestemmelse af de lineære sammenhænge... 8 Det første møde med uendelighed... 0 Horus øje... Achilleus og skildpadden... 5 Generel behandling af Achilleus og skildpadden... 2 To paradoksale øvelser med uendelighed Den forvirrede flue Drengen, pigen og hunden Thomsons lampe projektemne: Hilberts hotel projektemne: Magiske trapper projektemne: Eventyret om Gog og Magog projektemne: ISOLAND projektemne: Kløverøen projektemne: Uendeligt fjerne punkter projektemne: Gensyn med Zeno! projektemne: Boldene og vasen projektemne: Kæder uden grænser projektemne: Bogen af sand Formål med materiale I matematik anvender vi i dette forløb forskellige repræsentationsformer til kognitivt at begribe det ubegribelige uendelighed. I materialet skal eleverne gennem de forskellige repræsentationsformer opleve at forstå dybden i en række paradokser knyttet til uendelighed. Samtidigt er det målet at udvikle elevernes repræsentationskompetence, således at eleverne rustes til at løse ukendte problemstillinger. Eleverne skal altså forstå hvorfor vi i matematik udvikler deres repræsentationskompetencer. Dermed vil de aktivt kunne anvende forskellige repræsentationer til at begribe og løse nye og ukendte problemstillinger. I forløbet vil der især være fokus på repræsentationerne: tabeller (numerisk repræsentation), grafer (geometrisk repræsentation) og formler (symbolsk repræsentation) som kognitive hjælpeværktøjer :

3 Propositiones ad acuendos juvenes (Problems to Sharpen the Young) Et skrift fra middelalderen skrevet på latin har titlen Propositiones ad acuendos juve- nes. Titlen oversættes til engelsk som Problems to Sharpen the Young som vi til dansk ville kunne oversætte til Opgaver for at skærpe den unges intellekt. Manu- skriptet er en af de tidligste kendte samlinger af rekreative matematiske opgaver. Det ældste kendte eksemplar af manuskriptet stammer fra slutningen af 800-tallet. Teksten er tilskrevet Alcuin af York (død 804). Alcuin af York var en lærd, gejstlig, dig- ter og lærer fra York og er bl.a. ansvarlig for at indføre de små bogstaver. Han anses desuden for at være blandt de vigtigste arkitekter i den karolingiske renæssance. Nogle udgaver af teksten indeholder 53 opgaver, mens andre indeholder 56 opgaver. Opgaverne er opstillet mere eller mindre tilfældigt (uden hensyn til fx sværheds- grad/taksonomi) og inkluderer alle en løsning på de opstillede problemer. Vi vil herunder behandle é n af opgaverne fra manuskriptet nemlig opgave nummer 26 som er vist herunder: XXVI. PROPOSITIO DE CVRSV CANIS AC FVGA LEPORIS. Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promouit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui uelit, quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehen- sus est, fecerunt [Bed., confecerint]. Raban Maur (til venstre), med støtte fra Alcuin (i midten), dedikerer sit arbejde til Otgar ærkebiskoppen af Mainz (til højre) Solutio Longitudo huius uidelicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt LXXV. Canis uero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV nouies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consequendo canis cucurrit, quoadus- que eumcomprehendit dente tenaci. At uero, quia lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies. Tot uero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est. Prøv at afkode den latinske tekst. Har du et bud på en oversættelse af nogle af ordene? Hvis du kender til romertallene, vil du kunne aflæse størrelserne nævnet i teksten. Dine noter: 2

4 Teksten er oversat til engelsk af John Hadley and David Singmaster 2 : There is a field 50 feet long. At one end is a dog, and at the other a hare. The dog chases when the hare runs. The dog travels 9 feet in a jump, while the hare travels 7 feet. How many feet will be traveled by the pursuing dog and the fleeing hare before the hare is seized? Opgaven går altså ud på at finde ud af, hvornår hunden indhenter haren, idet de til at begynde med står i hver deres ende af en mark, der er 50 fod lang. Det oplyses, at haren løber med 7 fod pr. spring og hunden med 9 fod pr. spring. Det er underforstået at haren løber væk fra hunden, i samme øjeblik den opdager hunden (hvilket giver mening) og at hunden straks sætter efter haren. Men det er tilsyneladende også underforstået, at hunden og haren springer med den samme frekvens, dvs. at deres spring tager lige lang tid! Vi skal altså forestille os at hunden og haren for hvert spring sætter af på samme tid og lander samtidigt. Da hunden når længere for hvert spring må hunden på et eller andet tidspunkt indhente haren, der har fået et forspring på 50 fod. Bemærk at det for os er naturligt at anvende tidsbegrebet for at finde det øjeblik (tidspunkt) hvor hunden indhenter haren. Men i middelalderen fandtes der ingen ure, hvorfor opgaven er stillet under de omtalte forudsætninger, hvor man behændigt undgår at komme ind på tiden. Som tidligere nævnt var der med opgaven også givet en løsning. Inden vi se på oversættelsen af løsningen, kan vi forsøge selv at give vores bud, idet vi først løser opgaven ved hjælp af tabeller som repræsentationsform. Vi åbner et Lister og Regneark i TI-Nspire og navngiver tre søjler henholdsvis spring, hund og hare. Den første liste spring er udtryk for hvor mange spring hunden og haren har lavet. Vi ønsker at undersøge de 00 første spring, idet vi inkluderer det 0 te spring med hvor haren og hunden netop har opdaget hinanden. For at lave en liste, der går fra 0 til 00 bruger vi kommandoen seq(n, n, 0, 00), der giver os den ønskede liste. Kommandoen skrives i formellinjen under titlen for søjlen spring: 2 3

5 Ved det 0 te spring har hunden ikke tilbagelagt nogen distance hvorimod haren har et forspring på 50 fod. Efter det. spring hvor hunden og haren har opdaget hinanden og har sat i fuld firspring, har hunden tilbagelagt en distance på 9 fod mod harens 57 fod (inklusiv forspringet). Disse oplysninger skriver vi ind i tabellen: Som nævnt ovenfor vil hunden og hare for hvert spring tilbagelægge hhv. 9 fod og 7 fod mere. Derfor markerer vi de fire celler i regnearket, højre-klikker og vælger Udfyld nedad. Med piletasterne styrer vi til bunden af listen ved spring nr. 00: Vi ser at hunden ved spring nr. 00, for længst er nået forbi haren: Går vi op i tabellen finder vi det spring, hvor hunden indhenter haren. Nemlig ved spring nr. 75, hvor hunden har tilbagelagt 675 fod og haren = 525 fod: 4

6 Vi har nu med en tabel som repræsentationsform løst opgaven. Vi kan udvide vores undersøgelse ved at understøtte vores løsning med grafer som repræsentationsform. Vi splitter vinduet i to og tilføjer en Data og Statistik applikation. På x-aksen tilføjer vi spring som uafhængig variabel og på y-aksen tilføjer vi både harens og hundens tilbagelagte distance som afhængige variable idet vi højre-klikker og vælger Tilføj Y-variabel: Vælger vi et tilfredsstillende zoom kan vi se at hunden indhenter haren ved spring nr. 75, efter at have tilbagelagt 675 fod. Vi indser at distancerne haren og hunden tilbagelægger begge kan beskrives ved lineære sammenhænge. Vi kunne finde disse lineære sammenhænge ved at udnytte lineær regression, men det venter vi lidt med. Først vil vi forsøge os med en symbolsk repræsentationsform, idet vi vil prøve at løse opgaven ved ligningsløsning. Lad x som uafhængig variabel være udtryk for antallet af spring og y som afhængig variabel være udtryk for den tilbagelagte distance målt i fod. Udgangspunktet for hunden svarer til en begyndelsesværdi på 0 fod og grafen for sammenhængen går gennem (0, 0). Der er tale om en konstant vækst idet hunden springer 9 fod for hvert spring. Altså er der tale om ligefrem proportional vækst og sammenhængen kan beskrives ved ligningen y 9 x eller distancehund 9 spring. I harens tilfælde er der også tale om en konstant vækst, idet haren springer 7 fod for hvert spring. Eftersom haren har et forspring på 50 fod er dens begyndelsesværdi givet som 50 fod (grafen for den lineære sammenhæng skærer y-aksen ved y 50). 5

7 Altså kan sammenhængen for haren beskrives ved ligningen y 7 x 50 eller distancehare 7 spring+50. Opgaven går som tidligere nævnt ud på at bestemme det spring, hvor hunden indhenter haren, hvilket svarer til at bestemme den x-værdi (spring), hvor haren og hunden har tilbagelagt den samme distance (y-værdi), idet harens distance inkluderer forspringet. Da distancehare distancehund kan vi opstille følgende ligning: 9 spring 7 spring+50 eller 9 x 7 x 50 Ved at trække 7 x fra på begge sider får vi at 2 x 50 og ved at dividere med 2 på begge sider indser vi at hunden indhenter haren efter x 75 spring. For at bestemme distancen, hvor hunden indhenter haren indsættes x 75 i en af de to ligninger y 7 x 50 og y 9 x. Ikke overraskende får vi distancen y fod. Med TI-Nspire kan vi løse denne opgave i et-hug ved hjælp af en solve-kommando. I en Grafregner applikation løser vi ligningssystemet distancehare 7 spring+50, distancehund 9 spring og distancehare distancehund. Ligningssystemet løses med hensyn til spring: Ovenfor viste TI-Nspire CAS løsning svarer til at løse to ligninger ( y 7 x 50 og y 9 x ) med to ubekendte (x og y), hvilket vi vil vende tilbage til ved en senere lejlighed: Men dette svarer grafisk til at bestemme skæringspunktet for to rette linjer. Vi kan derfor også løse problemet ved brug af en grafisk repræsentationsform. I TI-Nspire CAS opretter vi denne gang en Grafer og Geometri applikation under samme opgave som ovenfor. Højre-klik på indtastningslinjen for grafrummet og vælg Punktplot. Vælg spring og hare som hhv. x og y lister. Højre-klik i grafrummet og vælg Zoom Data: 6

8 Gør tilsvarende for at få afbildet punktplottet for hundens spring over marken: Højre-klik igen på indtastningslinjen og vælg Funktion. Tegn graferne for de lineære sammenhænge y 7 x 50 og y 9 x som herunder tegnes som graferne for hhv. f(x) og f2(x). Ved hjælp af menupunktet Skæringspunkt(er) bestemmes den nu velkendte løsning: Vi vender tilbage til vores middelaldertekst for at se på vedlagte løsning 3 : Solution: The length of the field is 50 feet. Take half of 50, which is 75. The dog goes 9 feet in a jump. 75 times 9 is 675; this is the number of feet the pursuing dog runs before he seizes the hare in his grasping teeth. Because in a jump the hare goes 7 feet, multiply 75 by 7, obtaining 525. This is the number of feet the fleeing hare travels before it is caught. Altså skal forspringet haren har i forhold til hunden på de 50 halveres for at bestemme det antal spring hunden og haren udfører inden hunden kan sætte sine tænder i haren. Kan du forklare hvorfor dette giver løsningen? Dine noter: 3 7

9 Bemærkning til bestemmelse af de lineære sammenhænge Vi kan også benytte lineær regression til at bestemme den lineære sammenhæng, der beskriver den distance hunden og haren tilbagelægger som funktion af antallet af spring. De to distancer afhænger altså begge af antal spring som den uafhængig variabel. Udgangspunktet er vores graf med vores punkter: I Data og Statistik applikationen tegnes graferne for de lineære sammenhænge, der bedst beskriver tabellens data ved at vælge menupunktet Vis lineær (mx+b) i menuen Regressioner under Analyser. Højreklik på hver af de to grafer og vælg Vis residuelle kvadrater: Vi ser da, at vi får sammenhængene foræret. Sammenhængene er ikke overraskende helt perfekte, da sum af kvadrater er 0. Tilføjer vi Residualplot, ser vi at residualerne alle er 0. Her er det tydeliggjort ved at tegne de to grafer hver for sig: 8

10 I en Grafregner applikation gentager vi nu vores analyser af de lineære regressioner for at undersøge dem nærmere: Vi ser at forklaringsgraden for vores lineære regressioner begge er 00%. Dette understøttes af at residualerne alle er 0. Sammenhængene er dermed bestemt ved hjælp af lineær regression og givet som hhv. y 7 x 50 og y 9 x. 9

11 Det første møde med uendelighed 4 Dette bliver dit første møde med uendelighed, idet vi undersøger et at de tidligst dokumenterede møder med uendelighed. Papyrus er fremstillet af planten Cyperus papyrus og er et af verdens ældste skrivematerialer. Papyrus blev udviklet i Egypten ca år før vor tidsregning, og blev en af datidens største eksportartikler for Egypten, kun overgået af tekstileksporten, og fik en kolossal indflydelse på Egyptens udvikling. Papyrus blev fremstillet under statsmonopol, og fremstillingsmetoden forblev en velbevaret hemmelighed. Så hemmelig, at opskriften på papyrus end ikke blev nedskrevet, men videregivet mundtligt fra generation til generation af producenterne. Planten blev betragtet som hellig. Dens blomst symboliserede solen, mens den trekantede stilk symboliserede det egyptiske tegn for uendelighed. Planten indgik i ritualerne ved tilbedelsen af de egyptiske guder. Guden Ra, vises ofte med blomsten fra Cyperus papyrus. Papyrus Cester Beatty Men det var som skrivemateriale, planten fik den største betydning. Dels som en enorm indtægtskilde via en stor eksport, og dels fordi den gav egypterne en helt ny og mere håndterlig måde at opbevare sine informationer og sin viden på. På papyrus samlede og opbevarede man viden om religion, filosofi, litteratur, videnskab, kunst, medicin, historie og matematik. Indtil det lykkedes forskerne at tyde de babylonske lertavler, var overleveringer fra Egypten den rigeste kilde til vores viden om matematik i oldtiden. Den papyrus, som har givet os mest kendskab til matematikken i det gamle Egypten er den såkaldte Rhind-papyrus. Typisk bliver denne papyrus tidsfæstet til ca. 650 f. Kr. Egypterne havde blandt andet en interessant metode til multiplikation og division, og denne metode baserer sig faktisk på de samme principper, som bruges i moderne computere. Denne metode bygger på en udvikling af hele tal i totalssystemet. Rhind-papyrussen giver os også information om egypternes brug af stambrøker. En stambrøk er en brøk, som har tallet som tæller (over brøkstregen). Papyrus Rhind I lighed med vort moderne talsystem havde også egypterne et veludviklet titalsystem (grunden til, at ti blev valgt som grundtal, var at man også dengang talte på fingrene). Mens vort talsystem er et positionssystem, hvor cifrenes placering har betydning, var egypternes talsystem et såkaldt additivt talsystem, der havde symboler for, 0, 00, 000, 0 000, og Når de skulle skrive et tal, skrev de symbolerne ved siden af hinanden og adderede dem på samme måde, som man kender fra det romerske talsystem. 4 Det indledende afsnit er klippet fra Wikipedia: 0

12 En anden kilde til viden om de gamle egypteres matematik er den såkaldte Moskvapapyrus; af denne fremgår det, at egypternes kundskaber i matematik gik meget længere, end Rhind-papyrussen antyder. Papyrussen indeholder 25 matematiske problemer, som blandt andet viser, at egypterne må have kendt til formlen for en pyramides rumfang. Et af problemerne viser yderligere, at de også må have kendskab til formlen for rumfanget af en pyramidestub. Horus øje Horus' øje er et gammelt egyptisk symbol - ofte i form af en amulet - for helbred, sundhed og kontinuitet. Symbolet knytter sig til en gammel myte om to de stridende guder, Horus og Seth, der bl.a. er fortalt i Papyrus Cester Beatty (ca. 50 f.kr.). Baggrunden for historien er mordet på Osiris. Den retfærdige gud er blevet myrdet af sin bror, Seth, og må nu i al evighed opholde sig i underverdenen. I mellemtiden må de øvrige guder forsøge at få det hele til at fungere på jorden. Der skal findes en ny arvtager til Osiris trone, men hvem skal man vælge? Horus er Osiris søn, men Seth er hans bror, og som han selv siger, ældre og mere erfaren. Af teksten i den nævnte Papyrus fremgår det, at guderne har diskuteret sagen i 80 år uden at nå en afgørelse. 5 I den ægyptiske mytologi blev Horus øje såret, vredet ud eller spist af den frygtindgydende gud Seth. Senere blev det, ifølge den magiske trylleformular nr. 7 i den ægyptiske dødebog, ført tilbage og helet af den ibis-hovede gud Thoth. Thoth, som skabte matematikken, gjorde det med sine fingre. Man har diskuteret om denne vending refererer til at 'tælle med fingrene', og om myten på en eller anden made kan sættes i forbindelse med Horus brøkerne (halveringsbrøkerne భ మ, భ ర, భ, భ భల, భ og భ. Disse brøker udgør i moderne terminologi, en eksponentiel aftagende talfølge med seks led, hvor det første led netop er den konstante యమ లర faktor. Udjat betyder det, som er helbredt, og blev det det almindelige symbol på alt, der heler og skaber kontinuitet. Øjet er dermed et godt tegn; som amulet beskytter det mod "det onde øje" og mod uheld og giver desuden kraft og frugtbarhed. I det Nye Rige dekoreredes ligkister med øjet ("magiske øjne"). Hekatten var den almindelige rumfangsenhed når man skulle måle korn eller mel. Det svarede til ca. 4.8 liter eller lidt mere end en britisk gallon. Ved mindre mængder blev hekatten successivt halveret til stambrøkerne /2, /4, /8, /6, /32 og /64. Disse kendes som brøkerne fra Horus-øjet, fordi de blev skrevet med tegn, der mindede om de enkelte dele af øjet på guden Horus med falkehovedet, også kendt som wedjat-øjet. 5 %B8je&cd=2&hl=da&ct=clnk

13 Flere hieroglyffer indgår i tegningen af øjet og øjet består af seks dele, der hver repræsenterer en brøkdel. Opgave nr. 79 i Rhind Papyrussen gør det klart, at ægypterne godt kunne udregne summen af brøkerne, som er 63/64. De kunnene også have fundet ud af at den manglende del op til helheden netop er /64. Hvis Horus - Seth - Thoth historien også har en matematisk betydning, kunne det alt- så netop være, at det ødelagte Horus-øje blev helet på magisk vis ved at tilføje den manglende brøkdel /64. I en Grafregner applikation i TI-Nspire udregner vi summen af flere og flere af stam- brøkerne der indgår i Horus øje: Grafisk får vi følgende tallinje til at illustrere ovenstående summer: Hvis vi har et stykke med størrelsen og halverer det, vil der være halvdelen tilbage (what a surprise!), dvs. Her er resten netop den indrammede brøkdel. Halverer vi nu resten vil der være 4 bage: Halverer vi igen resten vil der denne gang være tilbage: 8 Og for Horus øje får vi: Hver af stambrøkerne i Horus øje bestod som sagt af brøker dannet af toer potenser:,,,, og til-

14 Havde Horus øje bestået af endnu flere dele med flere brøker ville det derfor være oplagt at gætte på at de næste brøker ville være:,,, Efterhånden som vi lægger flere og flere af disse stambrøker til Horus øje vil vi danne en sum der er tættere og tættere på værdien. Man kunne endda vove den påstand at man kunne komme vilkårlig tæt på værdien. Føler du dig ikke overbevist kan du helt Jørgen Clevinsk med papir og saks følge nedenstående øvelse: ) Fold et stykke papir på midten og del papiret i to lige store dele. Skriv ½ på den ene af dine to stykker papir og læg det til side. 2) Fold herefter det resterende halve stykke papir på midten (det du ikke har skrevet på) og del dette papir i to dele. Du har nu halveret en halvdel af det oprindelige hele stykke papir hvorfor du på det ene af dine to nye stykker kan skrive: ) Læg den fjerdel til side du har skrevet på sammen med den første halvdel. Den anden ¼ halveres og du kan på den ene af de to stykker papir skrive: ) Fortsæt indtil så længe du kan skrive brøkdelene på den ene af de to halvdele af brøkdelene. Vi kunne nu klistre vores afklippede dele sammen. Det sammentapede ark danner summen af brøkdele af det oprindelige hele stykke papir og efterhånden som vi klistrer mindre og mindre halvdele af brøkdele sammen vil det sammentapede ark efterhånden ligne det oprindelige ark mere og mere. Det sammentapede ark vil dog aldrig blive lige så stort som det oprindelige ark: Ovenstående proces er potentiel uendelig. Vi kan kun gennemføre processen et endelig antal gange. Vi skal ikke halvere stykkerne ret mange gange inden det bliver svært og decideret umuligt at halvere mikroskopiske små stykker. Det er dog ikke svært for os at forestille at processen fortsætter. Vi siger osv. og når det gælder tal tilføjer vi tre prikker for at indikere at mønsteret fortsætter: 2, 4, 8, 6 osv. eller 2, 4, 8, 6, 3

15 Vi skulle nu gerne have indset at summen af brøkerne ½, ¼, /8, /6, efterhånden tilnærmer sig, altså at der må gælde at: n Der gælder faktisk den følgende simple bemærkelsesværdige formel: 2 3 n n b b b a b a b a... b a... b a n 0 a En nødvendig (men desværre ikke tilstrækkelig) betingelse for formlens gyldighed er at leddene der lægges sammen bliver mindre og mindre: a (summens behandles yderligere i det senere afsnit: Generel behandling af Achilleus og skildpadden ). Det giver os det ønskede resultat da b 2 og a : n n n n TI-Nspire kan rent faktisk udregne disse uendelige summer. Vi finder sumtegnet under Matematikskabeloner og uendelighedstegnet under symboler: Forestil dig at du befinder dig på en vejstrækning mellem punkt A og B. Afstanden mellem A og B er en kilometer. Hvordan vil du forklare ovenstående uendelige sum? Dine noter: 4

16 Achilleus og skildpadden Zenos paradokser er en række problemer, der menes at have været udtænkt af Zeno fra Elea til støtte for Parmenides doktrin om at bevægelse ikke er andet end en illusion. Det formodes at Zenos projekt var at skabe disse paradokser, fordi andre filosoffer havde rejst indvendinger mod Parmenides opfattelse. Zenos argumenter er muligvis de første eksempler på en bevismetode kaldet reductio ad absurdum også kendt som bevis ved modsigelse (modstridsbevis). Flere af Zenos ni overleverede paradokser er i princippet ækvivalente, og de fleste af dem blev betragtet, også i oldtiden, som meget lette at tilbagevise. Tre af de nok kendteste paradokser er: Achilleus og skildpadden, Den gentagne halvering (Dikotomi argumentet) og pilen i sin flugt. Zenos paradokser skabte dog store problemer for antikke og middelalderlige filosoffer, der ikke var tilfredse med de foreslåede løsninger. Mere moderne matematiske metoder, som udnytter differentialregning har generelt tilfredsstillet matematikere og ingeniører. Dog har udviklingen inden for fysik sat spørgsmålstegn ved tanken om tid, rum og hastighed nogensinde kan bestemmes nøjagtigt. Der er dog stadigvæk mange filosoffer, der afholder sig fra at sige at paradokserne er helt løst. Det påpeges dog at forsøgene på at løse paradokserne har resulteret i mange intellektuelle erkendelser. Varianter af paradokserne (f.eks. Thomson's lampe som vi ser på senere i materialet) fortsætter med at så tvivl om argumenterne hvis der i det hele taget er noget galt med dem! Vi vil nu med respekt behandle det nok mest berømte af Zenos paradokser om Achilleus og skildpadden. Zeno ønsker at bevise at den fodrappe Achilleus umuligt kan indhente den langsomme skildpadde, hvis blot skildpadden får et lille forspring til at begynde med. Den fodrappe Achilleus giver skildpadden et forspring i tiltro til hans egen fantastiske evner: Ingen løber hurtigere end den fodrappe Achilleus. Men det skulle han aldrig have gjort. For hvis Achilleus skal indhente skildpadden må han først tilbagelægge skildpaddens forspring. I mellemtiden er Skildpadden løbet et lille stykke og har derfor et nyt om end mindre forspring. Nu må Achilleus derfor først tilbagelægge det nye mindre forspring. Men i mellemtiden er Skildpadden løbet endnu et lille stykke og har derfor skabt sig et nyt om end endnu mindre forspring. Nu må Achilleus først tilbagelægge det nye endnu mindre forspring osv. osv. Achilleus får derfor aldrig indhentet skildpadden, da han hele tiden skal indhente det nye forspring Skildpadden i mellemtiden har etableret. 5

17 Læg mærke til den kognitive fælde: Så længe vi er inde i forestillingen om, at Achilleus lige skal have indhentet det sidste forspring skildpadden har opnået, er vi fanget i uendelighedens fælde: Der er altid et nyt forspring på vej og vi slipper derfor aldrig ud af fælden. Faktisk mangler vi hele tiden et uendeligt antal forspring, som den djævelsk langsommelige skildpadde møjsommeligt formår at stable på benene. Det er ligesom når vi tæller:, 2, 3,. Der er hele tiden et nyt tal og et nyt tal og et nyt tal, dvs. så længe vi tæller, kan vi aldrig blive færdige ikke bare er der altid et næste tal, men der er uendeligt mange tal tilbage, som vi endnu ikke har fået talt. Vi bliver derfor aldrig færdige med at tælle og på samme måde bliver Achilleus aldrig færdig med at indhente skildpaddens møjsommeligt etablerede forspring. Lad os prøve at undersøge væddeløbet matematisk, idet vi lader skildpadden få et forspring på 0 meter og vi siger at Achilleus løber 0 gange så stærkt som skildpadden. Vi kan nu nemt regne på væddeløbet. Lad os desuden tænke os, at super skildpadden løber meter i sekundet og at Achilleus dermed løber 0 meter i sekundet. Kaldes tiden de har løbet for x og distancen de har tilbagelagt for y får vi: Skildpadden: Achilleus: y forspring tilbagelagt distance 0 x y tilbagelagt distance 0 x Altså kan vi løse ligningen 0 x 0 x for at bestemme det tidspunkt, hvor de har tilbagelagt den samme distance (inklusiv forspring): 0 x 0 x 0 9 x 0 x 9 Det viser at Achilleus overhaler skildpadden efter 0/9 = +/9 sekund, og at det sker efter at have løbet 00/9 = +/9 meter (mens skildpadden kun har løbet +/9 meter). Pyha det var godt, at vi fik styr på det hvor svært kan det være!? Vi kan nemt illustrere ovenstående eksempel grafisk i et koordinatsystem, idet vi tegner grafen for distancen som Achilleus og Skildpadden (inklusive forspring) tilbagelægger: 6

18 Skæringspunktet for de to grafer giver os det tidspunkt og den distance, hvor Achilleus indhenter Skildpadden, idet vi vælger at få resultatet vist med 6 decimaler. Dette er hvad almindelig sund fornuft siger os (koblet med lidt matematisk indsigt). Men hvad så med Zenos indvending? Zeno deler væddeløbet op i et uendeligt antal etaper. I første etape skal Achilleus først nå hen til skildpaddens startposition. I mellemtiden er skildpadden nået lidt længere. Grafisk skal vi altså trække en vandret linje fra skildpaddens startposition hen til grafen for Achilleus. Dernæst skal vi trække en lodret linje fra skæringspunktet op til Skildpaddens graf svarende til Skildpaddens nye forspring. Den vandrette og lodrette linje tegnes vha. af menupunktet Vinkelret eller Parallel: For at illustrere næste etape Zoomer vi ind på det relevante område ved at højreklikke, vælge Zoom - Felt og markere de to hjørner der afgrænser feltet: 7

19 I næste etape skal Achilleus så indhente det nye forspring. Dvs. vi skal igen trække en vandret linje efterfulgt af en lodret linje svarende til Skildpaddens nye forspring: Tredje og fjerde etape konstrueres på tilsvarende måde: Det er klart, at vi nu kan fortsætte denne potentielt uendelige proces! Men lad os zoome ud og se vores samlede konstruktion: 8

20 Skæringspunktet mellem de to grafer, fremstår dermed som grænsen for de uendeligt mange trappetrin, svarende til de uendeligt mange etaper løbet er blevet delt op i. Vi kan også nemt regne os gennem de enkelte etaper. I den første etape skal Achilleus tilbagelægge 0 meter. Det tager Achilleus sekund. Imellem tiden når Skildpadden 0 gange så kort, dvs. meter. I den anden etape skal Achilleus kun tilbagelægge meter. Det tager Achilleus /0 sekund. I mellemtiden når Skildpadden 0 gange så kort, dvs. denne gang /0 meter. Og sådan fortsætter det, idet hvert nyt forspring er en tiendedel af det forrige og tager ti gange så kort tid at gennemløbe. Alt i alt skal Achilleus derfor gennemløbe strækningen: Vi kan også udtrykke det i decimaler således: Achilleus indhenter altså skildpadden efter at have løbet 00/9 =. meter. Den tid Achilleus bruger på at indhente Skildpadden er tilsvarende: eller i decimaler: Achilleus indhenter altså skildpadden efter at have løbet i 0/9 =. sekunder. Lad os for et øjeblik holde fast i Zenos paradoks hvor det jo ikke var muligt for Achilleus at indhente Skildpadden da han skal gennemløbe uendeligt mange etaper. Hvordan var det egentlig det lykkes for os at løse opgaven og slippe fri af den kognitive fælde? Her benytter vi os af den grundlæggende metafor for uendelighed: Når der foreligger en gentagen proces, kan vi forestille os den afsluttet på 'den yderste dag', dvs. i ét hug forestille os at alle de uendeligt mange gentagne delprocesser er overstået og vi kan begynde på en frisk. I den ovenstående undersøgelse har vi f.eks. en trappe med stadig mindre trin, der snævrer sig ind mod skæringspunktet. Så når vi forestiller os at vi har besteget alle de uendeligt mange trappetrin, så er vi netop ankommet til skæringspunktet. Som vi så tidligere gælder der den simple formel som vi kan udnytte: b b b a b a 2 b a 3... b a n... b a n a n 0 Ovenstående formel anvendte vi ret faktisk to gange til indirekte at bestemme hhv. tidspunktet hvor Achilleus indhentede Skildpadden med b og a /0 : 2 3 n n 0 0 9

MATEMATIK OG UENDELIGHED

MATEMATIK OG UENDELIGHED MATEMATIK OG UENDELIGHED Grænser for kognition: At begrebsliggøre det ubegribelige Uendelighed!? Kløverø Parallelle linjers skæring!? Hilberts hotel Magisk trappe Hund efter hare Øliv Øvliv! Eventyr Achilleus

Læs mere

Kropsliggørelse af uendelighed og lineære funktioner

Kropsliggørelse af uendelighed og lineære funktioner Kropsliggørelse af uendelighed og lineære funktioner Herunder er beskrevet tre øvelser der knytter sig til materialet om Matematik og Uendelighed. Formålet med øvelserne har været at kropsliggøre abstrakte

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Øvelser til Eksamensopgaver i matematik

Øvelser til Eksamensopgaver i matematik Øvelser til Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse TI-Nspire CAS version 2.0...2 Generelle TIPS & TRICKS (T&T)...3 Eksempel

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

5 Ligninger og uligheder

5 Ligninger og uligheder 5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere