Grundlæggende regneteknik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grundlæggende regneteknik"

Transkript

1 Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014

2 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker Faktorisering i primtal Primtalsfaktorisering i brøkregning En lille reprimande Gode eksempler Opgaver Regning med potenser Potensregnereglerne Gode eksempler Opgaver Kvadratsætninger Kvadratkomplementering Gode eksempler Opgaver Ligninger Hvad er en ligning? Løsningsteknik Det simple tilfælde Det lidt sværere tilfælde Trivielle ligninger Ligninger uden løsning Gode eksempler Opgaver Andengradsligninger Grundform Nulreglen Løsningsformlen Skjulte andengradsligninger og substitution i

3 5.5 Gode eksempler Opgaver Kvadratiske ligningssystemer Hvad er et kvadratisk ligningssystem? Substitutionsmetoden Antallet af løsninger Gode eksempler Opgaver A Talmængder 71 Gamle opgavesæt 74 TalentCamp Rønne TalentWeek TalentCamp Greve Øvelsessæt Øvelsessæt Facitlister 94 Regning med brøker Regning med potenser Ligninger Andengradsligninger Kvadratiske ligningssystemer Kvadratsætninger TalentCamp Rønne TalentWeek TalentCamp Greve Øvelsessæt Øvelsessæt ii

4 Forord Bogen er skrevet af Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis og er en sammenfatning af vores noter til Matematik Intro, som er det indledende kursus på TalentCampDKs sciencelinje. Bogen er skrevet for at efterkomme et ønske fra vores elever om at kunne repetere de emner, der er bliver introduceret i Matematik Intro. Teksten er således henvendt til elever tilknyttet TalentCampDKs sciencelinje men kan også læses som en grundlæggende indføring i brøkregning, potensregning, kvadratsætninger og ligningsløsning. Det primære formål med hæftet er at udvikle læserens regnetekniske færdigheder, og gøre læseren i stand til at løse opgaver. Vi har forsøgt at gøre indholdet så tilgængeligt og anvendeligt som muligt ved at bygge teksten op omkring eksempler, der illustrerer konkret løsningsteknik. Bogen er ikke ment som en stringent indføring i regning, og hvor det er muligt, begrænser vi os til intuitive argumenter. Selvom bogen ikke er en fuld indføring, vil læseren formentlig finde, at teksten adskiller sig markant fra andre indføringer i samme emner henvendt til grundskolen ældste elever. Det skyldes, at en af TalentCampDKs målsætninger er at gøre vores elever i stand til at læse tekster af mere akademisk karakter. Derfor har vi valgt at strukturere teksten på samme måde som undervisningsmaterialer på universitetet. Vi vil gerne rette en særlig tak til Signe Baggesen, der har gennemlæst og kritiseret et mangelfuldt første udkast til hæftet. Med hendes rettelser og forslag til ændringer, er vi kommet et stort skridt nærmere en læseværdig tekst. Vi skylder også vores undervisningsassistenter Elisabeth Friis, Anders Christensen og Nicolai Carstensen en tak for at regne alle opgaverne igennem og påpege pinligt mange småfejl. Desuden har Nicolai forfattet opgaverne til øvelsessæt 2, som findes i bogens opgavesamling. Anders Friis iii

5 Indledning Bogen er inddelt i seks kapitler, som svarer til de seks emner, der udgør kurset Matematik Intro på TalentCampDKs TalentCamps. De første tre kapitler gennemgår grundlæggende regneteknik, mens kapitel fire til seks omhandler ligningsløsning. Kapitlerne bygger ikke ovenpå hinanden i direkte forstand, men de senere kapitler trækker på de grundlæggende koncepter i de første kapitler. Hvert kapitel afsluttes med 30 opgaver. De første opgaver er relativt lette at regne, hvis man har forstået teksten, mens de sidste opgaver er svære og nogle af dem kræver, at man selv kan få ideer udover det, der er præsenteret i teksten. Efter kapitlerne findes et (meget) kort appendiks om mængder og talmængder. Dette er henvendt til læsere, der ikke er bekendt med termerne de naturlige tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal. Talmængderne bruges i flæng i hovedteksten, så det er en god ide at starte med at læse appendikset, hvis man ikke er bekendt med disse. Bogen indeholder også en opgavesamling bestående af opgavesæt, der tidligere er blevet stillet på TalentCamps samt to øvelsessæt af samme sværhedsgrad. Opgaverne i disse sæt flugter med opgaverne til de enkelte kapitler, således at sværhedsgraden i de første opgaver svarer til de første opgaver, der er stillet i forbindelse med kapitlerne og det samme gælder de sværeste opgaver. Bogen indeholder i alt 330 opgaver. Bagest i bogen findes en komplet facitliste. Der fremgår dog ikke løsningsmetoder af facitlisten. Vi anbefaler, at man løser så mange opgaver som muligt, når man arbejder sig igennem teksten. Teksten er skrevet med henblik på at lære læseren grundlæggende regneteknik, og den eneste måde at blive god til at regne på er at løse opgaver. Det er desuden en god ide at bruge tid på at forstå eksemplerne i teksten. Alle de grundlæggende ideer er illustreret i eksemplerne, og hvis man går i stå i en opgave, er det en god ide at lede efter et eksempel, der ligner opgaven og forsøge at kopiere løsningsmetoden. iv

6 Kapitel 1 Regning med brøker I dette kapitel vil vi arbejde med brøker på en anvendt, færdighedsorienteret måde - altså i højere grad beskæftige os med hvordan man regner med brøker frem for hvorfor brøkregning fungerer, som den gør. Der vil således ikke indgå deciderede beviser for de fremlagte påstande og regneregler, men lidt teoretiske overvejelser slipper vi naturligvis (heldigvis) ikke for! Sætning 1.1 (Addition af brøker) Vi starter med at genopfriske regnereglen for addition af brøker. Lad a, b, c, d R med b, d 0 (læs: Lad a, b, c, d være vilkårlige (reelle) tal med b og d forskellige fra 0). Vi har da følgende regneregel a b + c d a d b d + b c b d a d + b c (1.1) b d Vi bemærker, at første lighedstegn fås ved at give brøkerne en fælles nævner; vi forlænger den første brøk med d, den anden med b. Derefter lægger vi de to brøker sammen ved at addere tællerne, mens vi bevarer samme nævner. Ovenstående (1.1) er et teoretisk resultat, som giver os en metode til at finde fælles nævner, som ALTID virker. I mange tilfælde vil det dog være lettere blot at forlænge den ene brøk, så de to brøker har fælles nævner, som vi skal se nu. Eksempel 1.2 Lad os undersøge følgende udtryk Vi får nu direkte af regneregel (1.1), at ( ) Vi har ganske vist løst problemet, men i den sidste udregning markeret med ( ) har vi udført en forkortning, som næsten er en lommeregner værdig. I dette eksempel er komplikationerne ved hovedløst at bruge (1.1) direkte ikke uoverkommelige, men bliver tallene meget større er 1

7 man næsten nødsaget til at inddrage en lommeregner i forbindelse med forkortning af brøker. Som nævnt kan nogle opgaver løses lettere, hvis man blot forlænger en af brøkerne. Dette er tilfældet, når nævneren i den ene brøk går op i nævneren i den anden brøk. I vores tilfælde har vi 4 16 (læs: 4 går op i 16), så i stedet kan vi udføre følgende beregning hvor vi altså ikke løber ind i tilsvarende forkortningsproblemer. Vi har natuligvis at subtraktion af brøker forløber på helt tilsvarende vis, men lad os for en god ordens skyld tage et eksempel. Eksempel 1.3 Lad os undersøge følgende udtryk Vi bemærker som det første, at 6 22 (læs: 6 deler ikke 22). Vi kan altså ikke bruge samme trick, som i Eksempel 1.2. I stedet får vi hvor mange af udregninger ved første øjekast synes at være mørk magi (læs: uoverskuelige at klare i hovedet). Og det er det også - de er i hvert fald lavet med et computerprogram. Vi skal senere beskrive en teknik, der gør opgaver som denne mere medgørlige uden brug af elektroniske hjælpemidler. Vi vil nu begive os videre til en behandling af produkt og division af brøker. Sætning 1.4 (Multiplikation af brøker) Lad igen a, b, c, d R med b, d 0. Da har vi følgende regneregel a b c d a c b d (1.2) Med ord har vi altså, at produktet af to brøker er bestemt ved produktet af tællerne over produktet af nævnerne. Regning med produkter er altså som udgangspunkt simplere end addition, dog kan der opstå problemer med store tal (vi kan i hvert fald nok alle blive enige om, at der findes sjovere ting end at gange 3-cifrede tal). Vi skal senere skitsere en teknik til at undgå netop dette, men først tager vi lige et lidt mere medgørligt eksempel. Eksempel 1.5 Lad os undersøge følgende udtryk

8 Med reference til (1.2) får vi altså følgende I Eksempel 1.5 kunne vi drage glæde af vores fortrolighed med den lille tabel, men selv den store tabel kommer hurtigt til kort, når tallene bliver meget større. Lad os nu slutteligt indføre division af brøker. Sætning 1.6 (Division af brøker) Lad stadig a, b, c, d R, men denne gang lad b, c, d 0. Vi har da følgende regel a b c d a b d c (1.3) I ord har vi altså at en brøk divideret med en anden brøk svarer til at gange den første brøk med den reciprokke (læs: omvendte) af dividenten - i stedet for at dividere med c ganger vi d altså med d. Vi kan altså omskrive ethvert problem, der involverer division af brøker, til et c problem med produkt af brøker. Eksempel 1.7 Lad os undersøge følgende udtryk Med henvisning til (1.3) og (1.2) får vi da (1.3) (1.2) Når vi ser på division af brøker omskriver man således problemet til et produkt af to brøker, som vi allerede har formuleret teorien for. 1.1 Faktorisering i primtal Du har nu læst en overskrift, hvor du formodentlig kun kender 1 af ordene. Men frygt ej; 3 begrebet faktorisering dækker over en teknik, hvor man tager et udtryk og omskriver det til et produkt (Husk: størrelserne, der indgår i et produkt kaldes faktorer). Vi har eksempelvis og er faktoriseringer af 30 og 46. Vi vil indføre en mere matematisk stringent definition af primtal, nemlig 3

9 Definition 1.8 Et naturligt tal p kaldes et primtal, hvis p 2 og p kun har de trivielle divisorer 1 og p (læs: kun 1 og p går op i p). Vi kan ret hurtigt overbevise os om, at de mindste primtal er følgende 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Det er en god idé at overbevise dig om, at de ovenstående tal faktisk er de 10 første primtal, og prøv selv at finde 2 mere. Vi kan hurtigt overbevise os om, at 4, 18 og 21 ikke er primtal, da 4 2 2, og , men bemærk at de alle kan skrives som produkter af primtal. Dette resultat kan faktisk generaliseres til alle naturlige tal og kaldes Aritmetikkens Fundamentaltheorem. Sætning 1.9 Alle naturlige tal n N større end 1 kan skrives som et produkt af et eller flere primtal på netop én (vi ser bort fra faktorernes rækkefølge) måde. Vi har altså hvor p i er primtal. n p 1 p 2... p k Før vi ser på eksempler er det værd at understrege, at primtalsfaktoriseringen er unik! Uanset hvilken teknik vi bruger til at finde frem til primtalsfaktoriseringen, vil vi altid få den samme. Vi skal i det følgende udvikle teknikker til at bestemme de primtal, som indgår i et givet tal n s primtalsfaktorisering. For et givet n vil vi undersøge om hvert enkelt primtal p går op i n, og i så fald faktorisere p ud, så vi får n p n 1, hvor n 1 N. Eksempel 1.10 Lad n 24. Vi finder primtalsfaktoriseringen af 24. Da 24 er et lige tal går 2 op i 24, hvorfor vi altså har n 2 12 Igen har vi, at 12 er et lige tal, så 2 går op i 12, og vi får altså Endnu en gang har vi, at 6 er lige, hvorfor n n Da både 2 og 3 er primtal har vi nu primtalsfaktoriseret n 24. Det var ret overskueligt, men desværre er det ikke lige så let at undersøge om de øvrige primtal deler et givet n. Vi skal dog beskrive teknikker til på relativt simpel vis at undersøge om 3 og 5 deler et givet tal n. Vi introducerer først begrebet tværsum. 4

10 Definition 1.11 Lad n være et naturligt tal, så n a 1 a 2... a k, hvor a i angiver det i te ciffer i n. Vi definerer da tværsummen af n noteret n ved n a 1 + a a k Notationen i definitionen af tværsum kan måske være en smule forvirrende. Når vi skriver n a 1 a 2... a k er n et naturligt tal med k cifre, nemlig a 1,a 2,..., a k (der er altså ikke et underforstået gange mellem a i erne). Vi har eksempelvis for n , at n Begrebet tværsum synes måske ikke videre anvendeligt i forhold til primtalsfaktorisering, men som vi skal se i thm 9 er tværsum ekstremt anvendeligt i undersøgelsen af om 3 deler et givet tal n. Sætning 1.12 Lad n være et givet naturligt tal. Da går 3 op i n hvis og kun hvis 3 går op i n. Formelt har vi 3 n 3 n Styrken i thm 9 ligger i, at det er overordentligt meget nemmere at undersøge, om 3 deler n i forhold til om 3 deler n. Eksempelvis kan vi nu slutte, at , eftersom vi let ser at Eksempel 1.13 Lad n Vi finder primtalsfaktoriseringen af Vi bemærker først, at 1458 er lige, så n Vi er nu i en situation, hvor 2 ikke længere går op, da 729 er ulige. Lad os derfor undersøge, om Vi får og da 3 18 har vi nu af thm 9 at Hvor mange gange 3 går op i 729 må vi finde ved at se på divisionsstykket 729/3, men nu ved vi i det mindste at beregningerne ikke er forgæves. Vi får , så 3 n Tilsvarende får vi og eftersom 3 9 giver thm 9 at Vi får , så n Da vi fra den lille tabel ved, at kan vi nu færdiggøre primtalsfaktoriseringen, så n Vi så i ovenstående, hvor kraftfuldt thm 9 var i forbindelse med primtalsfaktorisering. Vi skal nu formulere et tilsvarende resultat for faktorisering med 5. 5

11 Sætning 1.14 Lad n være et givet naturligt tal, så n a 1 a 2... a k, hvor a i angiver det i te ciffer i n. Vi har da 5 n hvis og kun hvis a k 0 eller a k 5. Mere formelt 5 n a k 0 a k 5 thm 11 kender du måske allerede, men hvis ikke er det intuitivt meget appellerende - 5 går op i et naturligt tal n hvis og kun hvis det sidste ciffer i n er 0 eller 5. Vi har således for n at , da det sidste ciffer i er 0. Slutteligt skal vi se et eksempel, hvor vi bruger alle ovenstående resultater Eksempel 1.15 Lad n Vi finder primtalsfaktoriseringen af Vi bemærker først, at er lige, så n Da 675 er ulige vil 2 ikke gå op igen. Vi bemærker nu i stedet, at siden det sidste ciffer i 675 er 5 følger det af 1.14, at og vi får n Igen har vi, at 135 ender på 5, så og vi får n Da 27 ender på hverken 5 eller 0, så har vi Vi undersøger nu om 3 går op. Vi får , og da 3 9 har vi ifølge 1.12, at Vi genkender da også hurtigt , hvorfor n Hermed er n 1350 primtalsfaktoriseret. 1.2 Primtalsfaktorisering i brøkregning Men hvad skal vi så bruge alt den primtalsfaktorisering til? Lad os gå tilbage og se... Eksempel 1.16 (Fortsættelse af 1.2) I Eksempel 1.2 så vi, at Vi vil nu bruge primtalsfaktorisering til at forkorte denne brøk. Vi får umiddelbart mens

12 Dette giver os altså Hermed har vi altså vist forkortningen fra Eksempel 1.2. Eksempel 1.17 (Fortsættelse af 1.3) I Eksempel 1.3 fik vi følgende Lad os nu udnytte vores viden om primtalsfaktorisering til at forkorte denne brøk. Vi får umiddelbart mens Vi kan nu skrive ( ) hvor udregningen i ( ) er lavet i Eksemepl 1.3. De to eksempler herover var måske ikke så uoverskuelige endda. Vi kunne med lidt god vilje nok godt have klaret dem uden primtalsfaktoriseringen. Men det kan blive meget værre... Eksempel 1.18 Lad os se på udtrykket Vi får nu følgende primtalsfaktoriseringer hvilket giver anledning til følgende beregninger

13 Okay, så lidt tung regning slap vi altså ikke helt for. Men lad os lige se, hvor galt det ville have været UDEN faktoriseringen hvor... dækker over en voldsomt ubehagelig forkortning, som ingen dødelige hverken kan eller bør begive sig ud i. Så vi kan vist godt blive enige om at primtalsfaktorisering kan være ret smart! 1.3 En lille reprimande... Du kender nok Kristendommens 7 dødssynder; vi skal her snakke om den 8. dødssynd. Når vi forkorter brøker er det kun faktorer, der kan fjernes - altså størrelser der indgår i et produkt. Udtryk som a 2 + b a 2 + b kan altså ikke umiddelbart forkortes og sættes lig 2. Derimod har vi a 2 b 2 4 a 2 b Du ender sikkert ikke i Helvede, selv om du skulle komme til at lave en ulovlig forkortning, men vid at det gør ondt i hjertet på enhver matematiker, der ser fejl af denne type. 8

14 1.4 Gode eksempler Vi skal i det følgende se på nogle lidt mere interessante eksempler. De vil være taget fra TalentCamp Bornholms test. Eksempel 1.19 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at ovenstående er et tilfælde af simpel addition af to brøker, så vi får hvor vi udnytter at fælles nævner kan opnås ved blot at forlænge brøken 2 med 2. Alternativt, 3 dog mere omstændigt, kan opgaven løses ved direkte brug af Sætning Metoden anvist først er klart at foretrække i dette tilfælde og vil i det følgende altid blive brugt, hvis muligt. Eksempel 1.20 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at vi først får brug fra multiplikation af brøker (Sætning 1.4) og derefter subtraktion af brøker (Sætning 1.1). Vi får

15 Eksempel 1.21 Lad os undersøge udtrykket ( ) 4 Umiddelbart synes det mest naturligt at lægge de to brøker i parentesen sammen først, dog vil vi først anvende reglen for multiplikation af brøker (Sætning 1.4) og derefter addition af brøker (Sætning 1.1). ( ) Eksempel 1.22 Lad os undersøge udtrykket ( ) 9 Lidt af en mundfuld, I know... Men lad os først reducere de enkelte brøker i udtrykket og derefter bruge relevante regneregler til at bestemme udtrykke endegyldigt ( ) ( ) Af denne opgave ser vi, at man med fordel kan reducere brøkerne og anvende reglerne én af gangen og derved opnå en relativt overskuelig udregning. 2 10

16 Eksempel 1.23 Lad os undersøge udtrykket Fremgangsmetoden til denne opgave er fuldstændig ækvivalent til den i Eksempel 1.18 viste. Vi får altså hvor den sidste brøk er uforkortelig Opgaver Opgave 1.1 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 1 i TalentCamps test. a) b) c) d) e) f) Opgave 1.2 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 2 i TalentCamps test. a)

17 b) c) d) e) f) Opgave 1.3 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 3 i TalentCamps test. a) 1 ( ) 2 b) 2 ( ) 2 c) 2 ( ) 3 d) 5 ( ) 6 ( e) ) 4 f) 7 ( ) 2 Opgave 1.4 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 4 i TalentCamps test. a) b) ( )

18 c) d) e) f) ( ) ( ) 14 Opgave 1.5 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 5 i TalentCamps test. a) ( ) b) c) c b a c a b+1 1 a 1 d) e) f)

19 Kapitel 2 Regning med potenser I dette kapitel vil vi arbejde med potensregneregler på en hovedsageligt anvendt, færdighedsorienteret måde - altså i højere grad beskæftige os med hvordan man regner med potenser frem for hvorfor potensregning fungerer, som det gør. For at bevare intuitionen omkring, hvorfor regnereglerne ser ud, som de gør, vil vi dog skitsere teoretiske overvejelser for alle regnereglerne. 2.1 Potensregnereglerne Definition 2.1 Vi minder først om definitionen af potenser. For n N definerer vi a n n gange { }} { a a a, a 0 1, a n 1 a a a } {{ } n gange (2.1) og vi benævner a grundtallet, mens n kaldes eksponenten. Vi bemærker altså for n N, at a n (læs: a i n te eller a opløftet i n) betyder a ganget med sig selv n gange. Tilsvarende har vi at for n N betyder a n, at vi dividerer med a i alt n gange. Vi har slutteligt per konvention at a 0 1. Sætning 2.2 Lad os først se på produktet af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige 1 eksponenter n, m N. Vi har m gange n gange a n a m { }} { { }} { a a a a a a a n+m (2.2) Når vi tager produktet af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter, får vi således det samme grundtal a opløftet i summen af de to eksponenter, n + m. Bemærk det intuitive indhold af ovenstående resultat; vi har først a ganget med sig 1 I noten bruges termen forskellig i betydningen ikke nødvendigvis ens 14

20 selv n gange, så ganger vi det med a ganget med sig selv m gange, altså må vi i alt have a ganget med sig selv n + m gange. Vi har kun udført argumentationen, hvor n og m er positive heltal, men faktisk gælder (2.2) for alle n, m R. Eksempel 2.3 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, men forskellige eksponenter, så Sætning 2.2 giver os altså Uden hovedløst at bruge (1.2) kunne vi også have overvejet betydningen af notationen. Vores definition (1.1) giver os således gange { }} { gange {}}{ Selv om vi altid bare kan bruge reglen fra (2.2), er det en rigtig god idé at skrive det intuitive indhold af resultatet bag øret! Inden vi går videre til næste regneregel vil vi se på endnu et eksempel. Eksempel 2.4 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at de tre potensudtryk har samme grundtal, men forskellige potenser, så (1.2) giver os altså ( 3) Vær opmærksom på, hvordan vi håndterede den negative eksponent. Vi kunne igen have udnyttet vores definition af potenser fra (1.1) og fået Vi kan vist hurtigt blive enige om, at ovenstående udregning er ret uoverskuelig, så igen vil vi foretrække at bruge regel (1.2), men det er vigtigt at bevare intuitionen omkring reglen, så vi bedre kan huske den! Sætning 2.5 Lad os gå videre til division af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter m, n N. Vi har a n a m n gange { }} { a a a a a a } {{ } m gange 15 a n m (2.3)

21 Når vi ser på brøken af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter, får vi således det samme grundtal a opløftet i differencen mellem de to eksponenter, n m. Bemærk igen det intuitive indhold; hvis n > m er der flest a er i tælleren og vi kan forkorte ud indtil der ikke er flere i nævner, men da har vi jo netop fjernet m af a erne, altså er der n m tilbage. Tilsvarende (dog modsat) kan vi argumentere intuitivt når n < m. Igen har vi kun udført argumentationen for n, m N, men resultatet gælder for alle n, m R. Eksempel 2.6 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, så Sætning 2.5 giver os altså Som i tidligere eksempler kunne vi lige så godt have brugt definitionen af potenser direkte og fået Lad os se på endnu et eksempel. Eksempel 2.7 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, så Sætning 2.5 giver os altså ( 3) Vær opmærksom på, hvordan vi håndterede den negative eksponent. Vi kunne igen udnytte vores definition af potenser fra 2.1 og fået ( 3) Igen er det klart at denne måde er væsentligt mere omstændig, men brug alligevel tiden på at forstå udregningen herover. Sætning 2.8 Vi skal nu se på en regneregel, der beskriver tilfældet med forskellige grundtal a, b R +, som er opløftet i samme eksponent n N. Vi har n gange n gange n gange a n b n { }} { { }} { { }} { a a a b b b (a b) (a b) (a b) (a b) n (2.4) 16

22 Når vi ser på produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n, får vi således at grundtallene kan samles i (a b) som da opløftes i n. Forskellen på de to potensudtryk udtrykkes bedst som rækkefølgen, der ganges i; a n b n har først a ganget med sig selv n gange, derefter b med sig selv n gange, mens (a b) n har skiftevis a og b ganget n gange. Den eneste forskel er således rækkefølgen I multiplicerer i. Vi har kun ført argumentation for n N, men resultatet gælder for alle n R. Eksempel 2.9 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme eksponent, hvorfor Sætning 2.8 giver os (4 7) Vi kunne tilsvarende have argumenteret ud fra definitionen af potenser fra 2.1, og fået ( ) ( ) (4 7) (4 7) (4 7) (4 7) Vi vil fremover foretrække blot at henvise til 2.8, men overbevis dig selv om korrektheden af hvert enkelt skridt i udregningen herover. Sætning 2.10 Vi vil nu se nærmere på division af to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n N. Vi har a n b n n gange { }} { a a... a b b... b } {{ } n gange n gange { }} { a b a b a ( a ) n b (2.5) b Når vi ser på brøken mellem to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n N, får vi således at grundtallene kan samles a, som da opløftes i n. Forskellen b på de to potensudtryk beskrives bedst som rækkefølgen, der ganges og divideres i; an har b n først a ganget med sig selv n gange, derefter divideret med b i alt n gange, mens ( ) a n b har brøken a ganget med sig selv n gange. Vi har kun ført argumentationen for n N, men b resultatet gælder for alle n R. Eksempel 2.11 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har forskellige grundtal, men samme eksponent, så Sætning 2.10 giver os ( )

23 Vi husker fra Definition 2.1, at vi kunne have opnået samme resultat på anden vis, nemlig Igen er vores regneregel et væsentligt mere elegant værktøj, og vi vil fremover ved lignende udtryk blot henvise til (2.5). Det er dog vigtigt, at du forstår hvert enkelt skridt i ovenstående udregning. Sætning 2.12 Vi vil slutteligt se nærmere på potenser af potensudtryk (potens-ception, om man vil). 2 Lad altså a R + og lad n, m N. Vi har da (a n ) m m gange { }} { a n a n a n m gange { }} { a } a {{ a} a } a {{ a} a } a {{ a} n gange n gange n gange n m gange { }} { a a a a n m (2.6) Når vi ser på en m-potens af et potensudtryk med grundtal a R + og eksponenten n N får vi således samme grundtal a opløftet i produktet af eksponenterne, n m. Vi kan tænke på skrivemåden (a n ) m som om a erne er grupperet i m klynger af størrelse n, mens i udtrykket a n m har vi n m enkeltstående a er. Vi har kun ført argumentation for n, m N, men resultatet gælder for alle n, m R. Det intuitive indhold af Sætning 2.12 vil blive klart gennem følgende eksempler. Eksempel 2.13 Lad os undersøge udtrykket ( a 2 ) 3 Vi bemærker, at vi har en potens af et potensudtryk, så det følger af (1.6) at ( a 2 ) 3 a 2 3 a 6 I stedet kunne vi have arbejdet udelukkende ud fra definitionen af potenser og fået ( a 2 ) 3 a2 a 2 a 2 (a a) (a a) (a a) a 6 Før du læser videre bør du gøre dig klart, hvordan ovenstående udregning eksemplificerer argumentationen ført i (1.6). Dette skal bidrage til at give en intuitiv forståelse af reglen. 2 Hvis du ikke forstår joken henvises du til filmen Inception. 18

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik niveau

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen:

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen: Matematik Årgang: Lærer: 9. årgang Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for : Formålet med er, at udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere