Grundlæggende regneteknik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grundlæggende regneteknik"

Transkript

1 Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014

2 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker Faktorisering i primtal Primtalsfaktorisering i brøkregning En lille reprimande Gode eksempler Opgaver Regning med potenser Potensregnereglerne Gode eksempler Opgaver Kvadratsætninger Kvadratkomplementering Gode eksempler Opgaver Ligninger Hvad er en ligning? Løsningsteknik Det simple tilfælde Det lidt sværere tilfælde Trivielle ligninger Ligninger uden løsning Gode eksempler Opgaver Andengradsligninger Grundform Nulreglen Løsningsformlen Skjulte andengradsligninger og substitution i

3 5.5 Gode eksempler Opgaver Kvadratiske ligningssystemer Hvad er et kvadratisk ligningssystem? Substitutionsmetoden Antallet af løsninger Gode eksempler Opgaver A Talmængder 71 Gamle opgavesæt 74 TalentCamp Rønne TalentWeek TalentCamp Greve Øvelsessæt Øvelsessæt Facitlister 94 Regning med brøker Regning med potenser Ligninger Andengradsligninger Kvadratiske ligningssystemer Kvadratsætninger TalentCamp Rønne TalentWeek TalentCamp Greve Øvelsessæt Øvelsessæt ii

4 Forord Bogen er skrevet af Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis og er en sammenfatning af vores noter til Matematik Intro, som er det indledende kursus på TalentCampDKs sciencelinje. Bogen er skrevet for at efterkomme et ønske fra vores elever om at kunne repetere de emner, der er bliver introduceret i Matematik Intro. Teksten er således henvendt til elever tilknyttet TalentCampDKs sciencelinje men kan også læses som en grundlæggende indføring i brøkregning, potensregning, kvadratsætninger og ligningsløsning. Det primære formål med hæftet er at udvikle læserens regnetekniske færdigheder, og gøre læseren i stand til at løse opgaver. Vi har forsøgt at gøre indholdet så tilgængeligt og anvendeligt som muligt ved at bygge teksten op omkring eksempler, der illustrerer konkret løsningsteknik. Bogen er ikke ment som en stringent indføring i regning, og hvor det er muligt, begrænser vi os til intuitive argumenter. Selvom bogen ikke er en fuld indføring, vil læseren formentlig finde, at teksten adskiller sig markant fra andre indføringer i samme emner henvendt til grundskolen ældste elever. Det skyldes, at en af TalentCampDKs målsætninger er at gøre vores elever i stand til at læse tekster af mere akademisk karakter. Derfor har vi valgt at strukturere teksten på samme måde som undervisningsmaterialer på universitetet. Vi vil gerne rette en særlig tak til Signe Baggesen, der har gennemlæst og kritiseret et mangelfuldt første udkast til hæftet. Med hendes rettelser og forslag til ændringer, er vi kommet et stort skridt nærmere en læseværdig tekst. Vi skylder også vores undervisningsassistenter Elisabeth Friis, Anders Christensen og Nicolai Carstensen en tak for at regne alle opgaverne igennem og påpege pinligt mange småfejl. Desuden har Nicolai forfattet opgaverne til øvelsessæt 2, som findes i bogens opgavesamling. Anders Friis iii

5 Indledning Bogen er inddelt i seks kapitler, som svarer til de seks emner, der udgør kurset Matematik Intro på TalentCampDKs TalentCamps. De første tre kapitler gennemgår grundlæggende regneteknik, mens kapitel fire til seks omhandler ligningsløsning. Kapitlerne bygger ikke ovenpå hinanden i direkte forstand, men de senere kapitler trækker på de grundlæggende koncepter i de første kapitler. Hvert kapitel afsluttes med 30 opgaver. De første opgaver er relativt lette at regne, hvis man har forstået teksten, mens de sidste opgaver er svære og nogle af dem kræver, at man selv kan få ideer udover det, der er præsenteret i teksten. Efter kapitlerne findes et (meget) kort appendiks om mængder og talmængder. Dette er henvendt til læsere, der ikke er bekendt med termerne de naturlige tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal. Talmængderne bruges i flæng i hovedteksten, så det er en god ide at starte med at læse appendikset, hvis man ikke er bekendt med disse. Bogen indeholder også en opgavesamling bestående af opgavesæt, der tidligere er blevet stillet på TalentCamps samt to øvelsessæt af samme sværhedsgrad. Opgaverne i disse sæt flugter med opgaverne til de enkelte kapitler, således at sværhedsgraden i de første opgaver svarer til de første opgaver, der er stillet i forbindelse med kapitlerne og det samme gælder de sværeste opgaver. Bogen indeholder i alt 330 opgaver. Bagest i bogen findes en komplet facitliste. Der fremgår dog ikke løsningsmetoder af facitlisten. Vi anbefaler, at man løser så mange opgaver som muligt, når man arbejder sig igennem teksten. Teksten er skrevet med henblik på at lære læseren grundlæggende regneteknik, og den eneste måde at blive god til at regne på er at løse opgaver. Det er desuden en god ide at bruge tid på at forstå eksemplerne i teksten. Alle de grundlæggende ideer er illustreret i eksemplerne, og hvis man går i stå i en opgave, er det en god ide at lede efter et eksempel, der ligner opgaven og forsøge at kopiere løsningsmetoden. iv

6 Kapitel 1 Regning med brøker I dette kapitel vil vi arbejde med brøker på en anvendt, færdighedsorienteret måde - altså i højere grad beskæftige os med hvordan man regner med brøker frem for hvorfor brøkregning fungerer, som den gør. Der vil således ikke indgå deciderede beviser for de fremlagte påstande og regneregler, men lidt teoretiske overvejelser slipper vi naturligvis (heldigvis) ikke for! Sætning 1.1 (Addition af brøker) Vi starter med at genopfriske regnereglen for addition af brøker. Lad a, b, c, d R med b, d 0 (læs: Lad a, b, c, d være vilkårlige (reelle) tal med b og d forskellige fra 0). Vi har da følgende regneregel a b + c d a d b d + b c b d a d + b c (1.1) b d Vi bemærker, at første lighedstegn fås ved at give brøkerne en fælles nævner; vi forlænger den første brøk med d, den anden med b. Derefter lægger vi de to brøker sammen ved at addere tællerne, mens vi bevarer samme nævner. Ovenstående (1.1) er et teoretisk resultat, som giver os en metode til at finde fælles nævner, som ALTID virker. I mange tilfælde vil det dog være lettere blot at forlænge den ene brøk, så de to brøker har fælles nævner, som vi skal se nu. Eksempel 1.2 Lad os undersøge følgende udtryk Vi får nu direkte af regneregel (1.1), at ( ) Vi har ganske vist løst problemet, men i den sidste udregning markeret med ( ) har vi udført en forkortning, som næsten er en lommeregner værdig. I dette eksempel er komplikationerne ved hovedløst at bruge (1.1) direkte ikke uoverkommelige, men bliver tallene meget større er 1

7 man næsten nødsaget til at inddrage en lommeregner i forbindelse med forkortning af brøker. Som nævnt kan nogle opgaver løses lettere, hvis man blot forlænger en af brøkerne. Dette er tilfældet, når nævneren i den ene brøk går op i nævneren i den anden brøk. I vores tilfælde har vi 4 16 (læs: 4 går op i 16), så i stedet kan vi udføre følgende beregning hvor vi altså ikke løber ind i tilsvarende forkortningsproblemer. Vi har natuligvis at subtraktion af brøker forløber på helt tilsvarende vis, men lad os for en god ordens skyld tage et eksempel. Eksempel 1.3 Lad os undersøge følgende udtryk Vi bemærker som det første, at 6 22 (læs: 6 deler ikke 22). Vi kan altså ikke bruge samme trick, som i Eksempel 1.2. I stedet får vi hvor mange af udregninger ved første øjekast synes at være mørk magi (læs: uoverskuelige at klare i hovedet). Og det er det også - de er i hvert fald lavet med et computerprogram. Vi skal senere beskrive en teknik, der gør opgaver som denne mere medgørlige uden brug af elektroniske hjælpemidler. Vi vil nu begive os videre til en behandling af produkt og division af brøker. Sætning 1.4 (Multiplikation af brøker) Lad igen a, b, c, d R med b, d 0. Da har vi følgende regneregel a b c d a c b d (1.2) Med ord har vi altså, at produktet af to brøker er bestemt ved produktet af tællerne over produktet af nævnerne. Regning med produkter er altså som udgangspunkt simplere end addition, dog kan der opstå problemer med store tal (vi kan i hvert fald nok alle blive enige om, at der findes sjovere ting end at gange 3-cifrede tal). Vi skal senere skitsere en teknik til at undgå netop dette, men først tager vi lige et lidt mere medgørligt eksempel. Eksempel 1.5 Lad os undersøge følgende udtryk

8 Med reference til (1.2) får vi altså følgende I Eksempel 1.5 kunne vi drage glæde af vores fortrolighed med den lille tabel, men selv den store tabel kommer hurtigt til kort, når tallene bliver meget større. Lad os nu slutteligt indføre division af brøker. Sætning 1.6 (Division af brøker) Lad stadig a, b, c, d R, men denne gang lad b, c, d 0. Vi har da følgende regel a b c d a b d c (1.3) I ord har vi altså at en brøk divideret med en anden brøk svarer til at gange den første brøk med den reciprokke (læs: omvendte) af dividenten - i stedet for at dividere med c ganger vi d altså med d. Vi kan altså omskrive ethvert problem, der involverer division af brøker, til et c problem med produkt af brøker. Eksempel 1.7 Lad os undersøge følgende udtryk Med henvisning til (1.3) og (1.2) får vi da (1.3) (1.2) Når vi ser på division af brøker omskriver man således problemet til et produkt af to brøker, som vi allerede har formuleret teorien for. 1.1 Faktorisering i primtal Du har nu læst en overskrift, hvor du formodentlig kun kender 1 af ordene. Men frygt ej; 3 begrebet faktorisering dækker over en teknik, hvor man tager et udtryk og omskriver det til et produkt (Husk: størrelserne, der indgår i et produkt kaldes faktorer). Vi har eksempelvis og er faktoriseringer af 30 og 46. Vi vil indføre en mere matematisk stringent definition af primtal, nemlig 3

9 Definition 1.8 Et naturligt tal p kaldes et primtal, hvis p 2 og p kun har de trivielle divisorer 1 og p (læs: kun 1 og p går op i p). Vi kan ret hurtigt overbevise os om, at de mindste primtal er følgende 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Det er en god idé at overbevise dig om, at de ovenstående tal faktisk er de 10 første primtal, og prøv selv at finde 2 mere. Vi kan hurtigt overbevise os om, at 4, 18 og 21 ikke er primtal, da 4 2 2, og , men bemærk at de alle kan skrives som produkter af primtal. Dette resultat kan faktisk generaliseres til alle naturlige tal og kaldes Aritmetikkens Fundamentaltheorem. Sætning 1.9 Alle naturlige tal n N større end 1 kan skrives som et produkt af et eller flere primtal på netop én (vi ser bort fra faktorernes rækkefølge) måde. Vi har altså hvor p i er primtal. n p 1 p 2... p k Før vi ser på eksempler er det værd at understrege, at primtalsfaktoriseringen er unik! Uanset hvilken teknik vi bruger til at finde frem til primtalsfaktoriseringen, vil vi altid få den samme. Vi skal i det følgende udvikle teknikker til at bestemme de primtal, som indgår i et givet tal n s primtalsfaktorisering. For et givet n vil vi undersøge om hvert enkelt primtal p går op i n, og i så fald faktorisere p ud, så vi får n p n 1, hvor n 1 N. Eksempel 1.10 Lad n 24. Vi finder primtalsfaktoriseringen af 24. Da 24 er et lige tal går 2 op i 24, hvorfor vi altså har n 2 12 Igen har vi, at 12 er et lige tal, så 2 går op i 12, og vi får altså Endnu en gang har vi, at 6 er lige, hvorfor n n Da både 2 og 3 er primtal har vi nu primtalsfaktoriseret n 24. Det var ret overskueligt, men desværre er det ikke lige så let at undersøge om de øvrige primtal deler et givet n. Vi skal dog beskrive teknikker til på relativt simpel vis at undersøge om 3 og 5 deler et givet tal n. Vi introducerer først begrebet tværsum. 4

10 Definition 1.11 Lad n være et naturligt tal, så n a 1 a 2... a k, hvor a i angiver det i te ciffer i n. Vi definerer da tværsummen af n noteret n ved n a 1 + a a k Notationen i definitionen af tværsum kan måske være en smule forvirrende. Når vi skriver n a 1 a 2... a k er n et naturligt tal med k cifre, nemlig a 1,a 2,..., a k (der er altså ikke et underforstået gange mellem a i erne). Vi har eksempelvis for n , at n Begrebet tværsum synes måske ikke videre anvendeligt i forhold til primtalsfaktorisering, men som vi skal se i thm 9 er tværsum ekstremt anvendeligt i undersøgelsen af om 3 deler et givet tal n. Sætning 1.12 Lad n være et givet naturligt tal. Da går 3 op i n hvis og kun hvis 3 går op i n. Formelt har vi 3 n 3 n Styrken i thm 9 ligger i, at det er overordentligt meget nemmere at undersøge, om 3 deler n i forhold til om 3 deler n. Eksempelvis kan vi nu slutte, at , eftersom vi let ser at Eksempel 1.13 Lad n Vi finder primtalsfaktoriseringen af Vi bemærker først, at 1458 er lige, så n Vi er nu i en situation, hvor 2 ikke længere går op, da 729 er ulige. Lad os derfor undersøge, om Vi får og da 3 18 har vi nu af thm 9 at Hvor mange gange 3 går op i 729 må vi finde ved at se på divisionsstykket 729/3, men nu ved vi i det mindste at beregningerne ikke er forgæves. Vi får , så 3 n Tilsvarende får vi og eftersom 3 9 giver thm 9 at Vi får , så n Da vi fra den lille tabel ved, at kan vi nu færdiggøre primtalsfaktoriseringen, så n Vi så i ovenstående, hvor kraftfuldt thm 9 var i forbindelse med primtalsfaktorisering. Vi skal nu formulere et tilsvarende resultat for faktorisering med 5. 5

11 Sætning 1.14 Lad n være et givet naturligt tal, så n a 1 a 2... a k, hvor a i angiver det i te ciffer i n. Vi har da 5 n hvis og kun hvis a k 0 eller a k 5. Mere formelt 5 n a k 0 a k 5 thm 11 kender du måske allerede, men hvis ikke er det intuitivt meget appellerende - 5 går op i et naturligt tal n hvis og kun hvis det sidste ciffer i n er 0 eller 5. Vi har således for n at , da det sidste ciffer i er 0. Slutteligt skal vi se et eksempel, hvor vi bruger alle ovenstående resultater Eksempel 1.15 Lad n Vi finder primtalsfaktoriseringen af Vi bemærker først, at er lige, så n Da 675 er ulige vil 2 ikke gå op igen. Vi bemærker nu i stedet, at siden det sidste ciffer i 675 er 5 følger det af 1.14, at og vi får n Igen har vi, at 135 ender på 5, så og vi får n Da 27 ender på hverken 5 eller 0, så har vi Vi undersøger nu om 3 går op. Vi får , og da 3 9 har vi ifølge 1.12, at Vi genkender da også hurtigt , hvorfor n Hermed er n 1350 primtalsfaktoriseret. 1.2 Primtalsfaktorisering i brøkregning Men hvad skal vi så bruge alt den primtalsfaktorisering til? Lad os gå tilbage og se... Eksempel 1.16 (Fortsættelse af 1.2) I Eksempel 1.2 så vi, at Vi vil nu bruge primtalsfaktorisering til at forkorte denne brøk. Vi får umiddelbart mens

12 Dette giver os altså Hermed har vi altså vist forkortningen fra Eksempel 1.2. Eksempel 1.17 (Fortsættelse af 1.3) I Eksempel 1.3 fik vi følgende Lad os nu udnytte vores viden om primtalsfaktorisering til at forkorte denne brøk. Vi får umiddelbart mens Vi kan nu skrive ( ) hvor udregningen i ( ) er lavet i Eksemepl 1.3. De to eksempler herover var måske ikke så uoverskuelige endda. Vi kunne med lidt god vilje nok godt have klaret dem uden primtalsfaktoriseringen. Men det kan blive meget værre... Eksempel 1.18 Lad os se på udtrykket Vi får nu følgende primtalsfaktoriseringer hvilket giver anledning til følgende beregninger

13 Okay, så lidt tung regning slap vi altså ikke helt for. Men lad os lige se, hvor galt det ville have været UDEN faktoriseringen hvor... dækker over en voldsomt ubehagelig forkortning, som ingen dødelige hverken kan eller bør begive sig ud i. Så vi kan vist godt blive enige om at primtalsfaktorisering kan være ret smart! 1.3 En lille reprimande... Du kender nok Kristendommens 7 dødssynder; vi skal her snakke om den 8. dødssynd. Når vi forkorter brøker er det kun faktorer, der kan fjernes - altså størrelser der indgår i et produkt. Udtryk som a 2 + b a 2 + b kan altså ikke umiddelbart forkortes og sættes lig 2. Derimod har vi a 2 b 2 4 a 2 b Du ender sikkert ikke i Helvede, selv om du skulle komme til at lave en ulovlig forkortning, men vid at det gør ondt i hjertet på enhver matematiker, der ser fejl af denne type. 8

14 1.4 Gode eksempler Vi skal i det følgende se på nogle lidt mere interessante eksempler. De vil være taget fra TalentCamp Bornholms test. Eksempel 1.19 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at ovenstående er et tilfælde af simpel addition af to brøker, så vi får hvor vi udnytter at fælles nævner kan opnås ved blot at forlænge brøken 2 med 2. Alternativt, 3 dog mere omstændigt, kan opgaven løses ved direkte brug af Sætning Metoden anvist først er klart at foretrække i dette tilfælde og vil i det følgende altid blive brugt, hvis muligt. Eksempel 1.20 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at vi først får brug fra multiplikation af brøker (Sætning 1.4) og derefter subtraktion af brøker (Sætning 1.1). Vi får

15 Eksempel 1.21 Lad os undersøge udtrykket ( ) 4 Umiddelbart synes det mest naturligt at lægge de to brøker i parentesen sammen først, dog vil vi først anvende reglen for multiplikation af brøker (Sætning 1.4) og derefter addition af brøker (Sætning 1.1). ( ) Eksempel 1.22 Lad os undersøge udtrykket ( ) 9 Lidt af en mundfuld, I know... Men lad os først reducere de enkelte brøker i udtrykket og derefter bruge relevante regneregler til at bestemme udtrykke endegyldigt ( ) ( ) Af denne opgave ser vi, at man med fordel kan reducere brøkerne og anvende reglerne én af gangen og derved opnå en relativt overskuelig udregning. 2 10

16 Eksempel 1.23 Lad os undersøge udtrykket Fremgangsmetoden til denne opgave er fuldstændig ækvivalent til den i Eksempel 1.18 viste. Vi får altså hvor den sidste brøk er uforkortelig Opgaver Opgave 1.1 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 1 i TalentCamps test. a) b) c) d) e) f) Opgave 1.2 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 2 i TalentCamps test. a)

17 b) c) d) e) f) Opgave 1.3 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 3 i TalentCamps test. a) 1 ( ) 2 b) 2 ( ) 2 c) 2 ( ) 3 d) 5 ( ) 6 ( e) ) 4 f) 7 ( ) 2 Opgave 1.4 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 4 i TalentCamps test. a) b) ( )

18 c) d) e) f) ( ) ( ) 14 Opgave 1.5 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 5 i TalentCamps test. a) ( ) b) c) c b a c a b+1 1 a 1 d) e) f)

19 Kapitel 2 Regning med potenser I dette kapitel vil vi arbejde med potensregneregler på en hovedsageligt anvendt, færdighedsorienteret måde - altså i højere grad beskæftige os med hvordan man regner med potenser frem for hvorfor potensregning fungerer, som det gør. For at bevare intuitionen omkring, hvorfor regnereglerne ser ud, som de gør, vil vi dog skitsere teoretiske overvejelser for alle regnereglerne. 2.1 Potensregnereglerne Definition 2.1 Vi minder først om definitionen af potenser. For n N definerer vi a n n gange { }} { a a a, a 0 1, a n 1 a a a } {{ } n gange (2.1) og vi benævner a grundtallet, mens n kaldes eksponenten. Vi bemærker altså for n N, at a n (læs: a i n te eller a opløftet i n) betyder a ganget med sig selv n gange. Tilsvarende har vi at for n N betyder a n, at vi dividerer med a i alt n gange. Vi har slutteligt per konvention at a 0 1. Sætning 2.2 Lad os først se på produktet af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige 1 eksponenter n, m N. Vi har m gange n gange a n a m { }} { { }} { a a a a a a a n+m (2.2) Når vi tager produktet af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter, får vi således det samme grundtal a opløftet i summen af de to eksponenter, n + m. Bemærk det intuitive indhold af ovenstående resultat; vi har først a ganget med sig 1 I noten bruges termen forskellig i betydningen ikke nødvendigvis ens 14

20 selv n gange, så ganger vi det med a ganget med sig selv m gange, altså må vi i alt have a ganget med sig selv n + m gange. Vi har kun udført argumentationen, hvor n og m er positive heltal, men faktisk gælder (2.2) for alle n, m R. Eksempel 2.3 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, men forskellige eksponenter, så Sætning 2.2 giver os altså Uden hovedløst at bruge (1.2) kunne vi også have overvejet betydningen af notationen. Vores definition (1.1) giver os således gange { }} { gange {}}{ Selv om vi altid bare kan bruge reglen fra (2.2), er det en rigtig god idé at skrive det intuitive indhold af resultatet bag øret! Inden vi går videre til næste regneregel vil vi se på endnu et eksempel. Eksempel 2.4 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at de tre potensudtryk har samme grundtal, men forskellige potenser, så (1.2) giver os altså ( 3) Vær opmærksom på, hvordan vi håndterede den negative eksponent. Vi kunne igen have udnyttet vores definition af potenser fra (1.1) og fået Vi kan vist hurtigt blive enige om, at ovenstående udregning er ret uoverskuelig, så igen vil vi foretrække at bruge regel (1.2), men det er vigtigt at bevare intuitionen omkring reglen, så vi bedre kan huske den! Sætning 2.5 Lad os gå videre til division af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter m, n N. Vi har a n a m n gange { }} { a a a a a a } {{ } m gange 15 a n m (2.3)

21 Når vi ser på brøken af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter, får vi således det samme grundtal a opløftet i differencen mellem de to eksponenter, n m. Bemærk igen det intuitive indhold; hvis n > m er der flest a er i tælleren og vi kan forkorte ud indtil der ikke er flere i nævner, men da har vi jo netop fjernet m af a erne, altså er der n m tilbage. Tilsvarende (dog modsat) kan vi argumentere intuitivt når n < m. Igen har vi kun udført argumentationen for n, m N, men resultatet gælder for alle n, m R. Eksempel 2.6 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, så Sætning 2.5 giver os altså Som i tidligere eksempler kunne vi lige så godt have brugt definitionen af potenser direkte og fået Lad os se på endnu et eksempel. Eksempel 2.7 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, så Sætning 2.5 giver os altså ( 3) Vær opmærksom på, hvordan vi håndterede den negative eksponent. Vi kunne igen udnytte vores definition af potenser fra 2.1 og fået ( 3) Igen er det klart at denne måde er væsentligt mere omstændig, men brug alligevel tiden på at forstå udregningen herover. Sætning 2.8 Vi skal nu se på en regneregel, der beskriver tilfældet med forskellige grundtal a, b R +, som er opløftet i samme eksponent n N. Vi har n gange n gange n gange a n b n { }} { { }} { { }} { a a a b b b (a b) (a b) (a b) (a b) n (2.4) 16

22 Når vi ser på produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n, får vi således at grundtallene kan samles i (a b) som da opløftes i n. Forskellen på de to potensudtryk udtrykkes bedst som rækkefølgen, der ganges i; a n b n har først a ganget med sig selv n gange, derefter b med sig selv n gange, mens (a b) n har skiftevis a og b ganget n gange. Den eneste forskel er således rækkefølgen I multiplicerer i. Vi har kun ført argumentation for n N, men resultatet gælder for alle n R. Eksempel 2.9 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme eksponent, hvorfor Sætning 2.8 giver os (4 7) Vi kunne tilsvarende have argumenteret ud fra definitionen af potenser fra 2.1, og fået ( ) ( ) (4 7) (4 7) (4 7) (4 7) Vi vil fremover foretrække blot at henvise til 2.8, men overbevis dig selv om korrektheden af hvert enkelt skridt i udregningen herover. Sætning 2.10 Vi vil nu se nærmere på division af to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n N. Vi har a n b n n gange { }} { a a... a b b... b } {{ } n gange n gange { }} { a b a b a ( a ) n b (2.5) b Når vi ser på brøken mellem to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n N, får vi således at grundtallene kan samles a, som da opløftes i n. Forskellen b på de to potensudtryk beskrives bedst som rækkefølgen, der ganges og divideres i; an har b n først a ganget med sig selv n gange, derefter divideret med b i alt n gange, mens ( ) a n b har brøken a ganget med sig selv n gange. Vi har kun ført argumentationen for n N, men b resultatet gælder for alle n R. Eksempel 2.11 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har forskellige grundtal, men samme eksponent, så Sætning 2.10 giver os ( )

23 Vi husker fra Definition 2.1, at vi kunne have opnået samme resultat på anden vis, nemlig Igen er vores regneregel et væsentligt mere elegant værktøj, og vi vil fremover ved lignende udtryk blot henvise til (2.5). Det er dog vigtigt, at du forstår hvert enkelt skridt i ovenstående udregning. Sætning 2.12 Vi vil slutteligt se nærmere på potenser af potensudtryk (potens-ception, om man vil). 2 Lad altså a R + og lad n, m N. Vi har da (a n ) m m gange { }} { a n a n a n m gange { }} { a } a {{ a} a } a {{ a} a } a {{ a} n gange n gange n gange n m gange { }} { a a a a n m (2.6) Når vi ser på en m-potens af et potensudtryk med grundtal a R + og eksponenten n N får vi således samme grundtal a opløftet i produktet af eksponenterne, n m. Vi kan tænke på skrivemåden (a n ) m som om a erne er grupperet i m klynger af størrelse n, mens i udtrykket a n m har vi n m enkeltstående a er. Vi har kun ført argumentation for n, m N, men resultatet gælder for alle n, m R. Det intuitive indhold af Sætning 2.12 vil blive klart gennem følgende eksempler. Eksempel 2.13 Lad os undersøge udtrykket ( a 2 ) 3 Vi bemærker, at vi har en potens af et potensudtryk, så det følger af (1.6) at ( a 2 ) 3 a 2 3 a 6 I stedet kunne vi have arbejdet udelukkende ud fra definitionen af potenser og fået ( a 2 ) 3 a2 a 2 a 2 (a a) (a a) (a a) a 6 Før du læser videre bør du gøre dig klart, hvordan ovenstående udregning eksemplificerer argumentationen ført i (1.6). Dette skal bidrage til at give en intuitiv forståelse af reglen. 2 Hvis du ikke forstår joken henvises du til filmen Inception. 18

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

5 Ligninger og uligheder

5 Ligninger og uligheder 5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere