Snyd af Anders Bodelsen 1967

Transkript

1 SRP-Matematik i litteraturen Snyd af Anders Bodelsen 1967

2 Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning... 3 Anders Bodelsens forfatterskab Analyse af Snyd... 5 Referat Indhold Matematikken i Snyd Andengradsligninger og komplekse tal Løsning af andengradsligning i novellen Snyd Tal Introduktion til de komplekse tal Konstruktion af de komplekse tal Udvidelse af de reelle tal Løsning af andengradsligning - hvor d er mindre end Perspektivering matematikken som virkemiddel Konklusion Litteraturliste

3 Abstract In this SRP-assignment, I have chosen to study mathematics in the literature. In connection to this topic, I have chosen to work with the short story "Snyd" by the Danish author Anders Bodelsen. The short story contains mathematics in the form of a quadratic equation. The quadratic equation is continuous throughout the story, and is of great importance to the course of action in the short story. I will start out by telling a little about the author of the short story. Then I will make an analysis of the short story Snyd, where I will focus on the mathematics importance of the short story. In connection to the short story, I will solve the quadratic equation appearing in the short story, which leads to the complex numbers. I will prove that the complex numbers are an extension of the real numbers, and that it is possible to solve all quadratic equations regardless discriminant sign. I will also solve a quadratic equation by using the complex numbers. Finally, I will study the effect of mathematics as a tool in the literature. To study this, I talk a little bit about the novel Ægte brøker by Jesper Wung Sung. Ægte brøker is about two boys who commit a school shooting because they are tired of the society they live in. The title Ægte brøker has a great importance in the story. I finish off with explaining how mathematics is a great tool to explain many things in the literature. 2

4 Indledning I al den tid mennesket har eksisteret som et selvstændigt og tænkende individ, har matematikken spillet en stor rolle inden for naturvidenskaben. Ligeledes har litteraturen spillet en stor rolle inden for det mere kreative perspektiv af tilværelsen. Litterære værker såsom digte, noveller og romaner, har oftest altid et budskab, nogle gange er det tydeligt, andre gange ligger det skjult bag handlinger og tegn. Det er ikke kun litteraturen der opererer med tegn. Det gør matematikken også, dog på en lidt anden måde. Matematik kan bruges til at tolke og løse en lang række af problemstillinger. Tag bare noget så simpelt som brøken. I starten kunne man ikke løse en ligning, hvis ikke den gav et helt tal. Så fandt man ud af, at man kunne skrive alle tal som en brøk, og dermed kunne man regne med decimaltal. Matematikken udvikler sig hele tiden, men det gør sproget og litteraturen også. Umiddelbart virker litteratur og matematik til at være hinandens modsætninger. Men på mange områder har de faktisk meget til fælles. De er begge et produkt af menneskets stræben efter viden, menneskets nysgerrighed, og menneskets søgen efter svar på en række spirituelle og konkrete spørgsmål om hvorfor tingene er som de er. Emnet for denne opgave er matematik i litteraturen, hvor fokus er på novellen Snyd af Anders Bodelsen fra novellesamlingen Rama Sama fra Grunden til, at jeg har valgt at fokusere på matematik i litteraturen, er fordi at jeg ønsker at undersøge effekten af matematik som virkemiddel. Jeg vil starte ud med, at redegøre for Anders Bodelsens virke som forfatter, herunder genrer, tematik og stilretninger i hans forfatterskab. Derudover vil jeg foretage en analyse og fortolkning af novellen snyd, med særligt henblik på matematikkens, i dette tilfælde andengradsligningens, betydning på hovedkarakterens handlinger og sindstilstand. Bodelsen anvender andengradsligningen som et gennemgående element i sin novelle. Andengradsligningen der optræder i Snyd har en diskriminant der er større end 0, hvilket betyder at den har to løsninger inden for mængden af reelle tal. Ligeledes gælder der, at hvis en andengradsligning har en diskriminant der er mindre end 0, så findes der ingen løsninger inden for mængden af reelle tal. Dog findes der en løsning inden for mængden af komplekse tal, da fortegnet af diskriminanten ikke spiller nogen rolle for løsningen af ligningen. Jeg vil derfor, redegøre for hvordan man løser en andengradsligning uanset diskriminantens fortegn. Sidst vil jeg med henblik på, matematikken som virkemiddel i litteraturen, perspektivere til Jesper Wung Sungs roman Ægte brøker der også anvender matematik som virkemiddel og vurdere effekten heraf. 3

5 Anders Bodelsen forfatter skab Anders Bodelsen er en af de mest læste forfattere i Danmark. Bodelsen er født den 11 februar 1937 på Frederiksberg. 1 Bodelsen debuterede i 1959 med romanen De lyse nætters tid, efter nogle års jura-, økonomi-, og litteraturstudier. Ved siden af sit virke som skønlitterærforfatter, arbejdede Bodelsen som freelancejournalist for flere dagblade. Anders Bodelsens noveller, romaner og skuespil, tager alle udgangspunkt i hverdagsmennesker i ekstreme situationer. Med sine meget realistiske fortællinger og skildringer af en række mennesker i svære situationer, formår Bodelsen at fange og inddrage læseren i et genkendeligt univers. 2 Bodelsen tager samtidens problemer op og sætter dem på spidsen, hvilket slægter sig på den journalistik Bodelsen har dyrket parallelt med sit skønlitterære forfatterskab. Denne journalistiske indsigt og stil er gennemgående i Bodelsens hovedværker. Bodelsen var det man kaldte nyrealist. Nyrealismen blomstrede i 1960 erne og var et svar på modernismen, der dominerede i Danmark i slutningen af 1950 erne til starten af 1960 erne. Efter anden verdenskrig skete der en markant stigning i den danske velfærd. Den danske befolkning fik flere penge mellem hænderne og forbruget steg generelt over hele Danmark. Materielle værdier fik pludselig mere betydning end tidligere, og materielle genstande blev en form for statussymboler. De moderne forfattere tog afstand fra disse materielle værdier, da de mente, at de skabte en fremmedgørelse blandt de danske borgere. At borgerne er blevet fremmedgjort dækker over, at de er blevet fremmed over for sig selv og deres tilværelse pga. det stigende forbrug og den nye teknologi. Forfatterne mente desuden at den øgede velfærd og det øgede forbrug, tog fokus væk fra de indre værdier og udskiftede dem med de ydre og materielle værdier. De moderne forfattere var kritiske over for det daværende samfunds værdier. De mente, at den materielle tilværelse var absurd og beskriver bl.a. tomheden der gemmer sig bag den blankpolerede overflade. Denne tomhed blev ofte udtrykt gennem symboler, hvilket hænger sammen med den absurde livsopfattelse, der forekommer meningsløs og svær at beskrive realistisk. Den moderne litteratur er derfor ofte absurd og giver til tider ikke nogen mening, da den skal afspejle de moderne forfatteres kritiske syn på velfærdssamfundets nye forbrugsvaner og tilværelse. 3 Dette leder os videre til den nyrealistiske litteratur, der som sagt opstod som et modsvar til modernismen, der kunne synes utilgængelig for den almene borger, da den til tider ikke gav nogen mening. Det nye ved nyrealismen var, at den beskrev middelklassens og Forfatterweb Anders Bodelsen 3 isme.aspx 4

6 overklassens liv i velfærdssamfundet realistisk, så alle kunne følge med og forstå meningen med litteraturen. Denne realistiske beskrivelse af hverdagen fungerede som en protest mod modernismens formidling af hverdagen ved brug af metaforer og symboler. Nyrealismen appellerede derfor til et bredere publikum end modernismen. Anders Bodelsen blev en fremtrædende nyrealistisk forfatter, og blev en af forgangsmændene i forsøget på at beskrive hverdagen realistisk og simpel. Bodelsen fremhæver bl.a. at den danske litteratur bør være genkendelig altså noget de danske borgere kan genkende og forholde sig til. 4 I 1965 udgiver Bodelsen sin første novellesamling Drivhuset. Blot to år efter i 1967 udkommer novellesamlingen Rama Sama. De to novellesamlinger markerer Bodelsens gennembrud som nyrealist, da novellesamlingerne hovedsageligt omhandler en række unge menneskers problemer, med ambitioner, kærlighed og identitetsdannelse i et konkurrencepræget samfund. 5 Analyse af Snyd Referat Novellen Snyd er skrevet af forfatteren Anders Bodelsen. Novellen tilhører novellesamlingen Rama Sama, der blev udgivet i Novellesamlingen indeholder i alt 9 noveller, der alle beskæftiger sig med almindelige dagligdagssituationer. Novellerne skildrer en række unge menneskers identitetsdannelse og handlinger i pressede situationer. Bodelsen tager i novellen Snyd læseren med tilbage til folkeskolen, eller rettere sagt, med tilbage til matematik eksamen. Vi følger en femten-, sekstenårig dreng, der er til den gamle mellemskoleeksamen i matematik uden hjælpemidler i Drengen vil gerne være Danmarks største skakspiller, og det forudsætter ifølge ham, at han skal bestå matematik eksamen, så han kan komme ind på det matematiske gymnasium. Drengen har dog et svagt punkt, han er nemlig dårlig til at huske tal og matematiske formler. Derfor har han skrevet formlen for løsningen af en andengradsligning på en lille seddel (da han er sikker på at andengradsligningen optræder i eksamenssættet) og stukket sedlen ned i lommen. Drengen har hele tiden i baghovedet, at han skal løse andengradsligningen, hvis han vil være skakspiller. Han er sikker på, at hvis ikke han løser andengradsligningen, vil hans fremtid forme sig helt anderledes end hvad han 4 i_60erne.htm 5 bodelsen 6 Side 12, linje

7 hidtil har tænkt. Den skriftlige matematik eksamen uden hjælpemidler består af tre opgaver. Den første er en geometri opgave, den løser drengen nemt. Anden opgave er en handelsopgave, den er noget sværere at løse. Efter en times tid giver drengen op og går videre til den tredje og sidste opgave, der er en aritmetikopgave altså en andengradsligning. Drengen læser opgaven igennem og når frem til konklusionen, at han kun kan løse andengradsligningen, hvis han kigger på den lille sammenfoldede seddel, som han har i lommen. Drengen prøver først at regne opgaven selv, da dette ikke lykkes, ved han at han bliver nødt til at snyde og kigge på sedlen med formlen. Drengen rækker derfor hånden i vejret og siger, at han skal på toilettet. En af vagterne eskortere drengen ud på toilettet og står og venter lige uden for døren, mens drengen stille og forsigtigt tager sedlen op af lommen, og prøver at memorere den. Da drengen igen sidder foran ligningen, har han fuldstændig glemt formlen, og ligningen giver stadig ingen mening. Drengen føler sig fortabt, da han ikke kan løse andengradsligningen uden den specifikke formel, som han alligevel glemmer nogle sekunder efter han har set den. En halv time efter det tidligere toiletbesøg, rækker drengen på ny hånden op og bliver eskorteret ud til toilettet. Igen tager han sedlen op af lommen og læser formlen, men denne gang skriver han også formlen på sit lommetørklæde. Da drengen returnere til sin plads i gymnastiksalen, har han glemt formlen igen. Han kigger på sit lommetørklæde hvor formlen står og går i gang med at løse andengradsligningen. Drengen får løst andengradsligningen, men kan ikke lade være med at tænke på at han har snydt. Drengen er allerede inden eksamenen velvidende omkring, at matematikeksamenen kommer til at determinere hans fremtid, dog bliver udfaldet af eksamenen meget anderledes end hvad han havde regnet med. Pludselig handler det ikke bare om at komme ind på det matematiske gymnasium, men noget meget større, der kommer til at ændre drengens liv fuldstændig. Indhold Snyd er som tidligere nævnt en novelle skrevet af Anders Bodelsen i Der findes tre forskellige slags noveller; traditionelle noveller, noveletter og trivialnoveller. 7 Novellen Snyd er en traditionel novelle, da den behandler et aktuelt emne/situation, som de fleste mennesker kan relatere sig til. Den traditionelle novelle optræder ofte i novellesamlinger, hvilket Snyd også gør, da den er en del af novellesamlingen Rama Sama Derudover har novellen et enstrenget handlingsforløb, det betyder at den kun har en hovedhandling og hovedkonflikt, hvilket også er meget typisk for novellegenren. Andre karakteristika for novellegenren er blandt andet, at der er få medvirkende perso- 7 Analyse af noveller Aksel Alminde, Køge Handelsskole 6

8 ner og at den strækker sig over kort tid. Sidst men ikke mindst er noveller meget realistiske, det vil sige at de giver et billede af virkeligheden, selvom novellen er fiktion ligesom alt andet skønlitteratur. Snyd starter i in medias res, det vil sige, at læseren bliver kastet direkte ind i handlingen. Denne indledning er typisk for novellen, og skaber spænding fra start af. Sproget i novellen knytter sig op af det nyrealistiske fundament, nemlig at det skal være forståeligt for alle. Da novellen især henvender sig til middelklassen, skal sproget ikke være for kompliceret, og skal helst bestå af simple sætninger. Det meget simple sprog og den hverdagsagtige tone gør det nemmere for læseren, at sætte sig ind i hovedpersonens tanker. Bodelsen gør ikke rigtig brug af metaforer og andre til tider uforståelige symboler, men anvender derimod matematik som et virkemiddel og symbol. Alle mennesker kender til matematik, måske kender alle ikke til teorien bag andengradsligninger (Bodelsen anvender andengradsligningen), men det er ikke vigtigt, da den blot skal gøre det nemmere for læseren at identificere sig med den situation drengen i novellen befinder sig i. Som Anders Bodelsen selv nævner; Måske er det ligefrem en fordel for historien, om disse aritmetriske indslag virker mere uforståelige end de er (Side 14, linje 5-7). Altså kan det være en fordel, hvis man ikke kender til matematikken, da matematikken blot skal minde læseren om hvor nervepirrende og uoverskuelig en eksamen kan være. Snyd strækker sig over en skriftlig matematik eksamen på tre timer. 8 Novellen er 13 sider lang, og strækker sig som sagt kun over 3 timer, altså er fortælletempoet meget langsomt. Det langsomme fortælletempo medvirker, at vi får beskrevet situationen drengen befinder sig i meget detaljeret. Vi hører både hvad drengen føler og tænker og hvordan han reagere og handler. Fortælleren i novellen er en implicit 9 personbundet tredjepersonsfortæller, det ses allerede i første linje: Foran sig havde han: Et æble (side 12, linje 1). Fortælleren skjuler sig bag hovedpersonen/drengen og fortæller begivenhederne ud fra drengens synsvinkel. Den personbundne tredjepersonsfortæller er bundet til en person, det vil sige at vi kun får fortalt historien ud fra drengens synsvinkel. Vi kommer derfor ikke ind i hovedet på de andre personer, der optræder i novellen, men skal selv tolke deres tanker ud fra deres handlinger og eventuelle replikker. Fortælleren i novellen er en ikke-diegetisk fortæller, det betyder at fortælleren ikke optræder eller har en rolle i fortællingen. Selv om det er en tredjepersonsfortæller, indeholder novellen også elementer fra den altvidende fortæller. Her skal især nævnes fortællerkommentarerne, der desuden er direkte fortællerkommentarer, da det fremgår relativt åbenlyst, når det er fortælleren der taler: (Han skulle få ret i denne højtidelige og desperate betragt- 8 Side 12, linje 9. 9 Implicit fortæller: Skjult fortæller, Den skjulte fortæller optræder/viser sig ikke i teksten. 7

9 ning, som ikke var spor for højtidelig eller desperat: hvad han gjorde fik faktisk betydning for hele resten af hans liv) (side 15, linje 20-23). Fortællerkommentaren knytter sig til den alvidende fortæller, der både kan bryde i fortællingen for, at komme med refleksioner over personer eller begivenheder, kommentarer til handlingen eller forudsigelser af fremtiden. I det nævnte eksempel på en fortællerkommentar reflekterer fortælleren over hvad begivenheden (matematik eksamen) egentlig kommer til at betyde for hovedpersonens liv. Ud over fortællerkommentarerne er fortælleren også i stand til at se gå ind i hovedpersonens hoved og kender hovedpersonens fremtid. Novellen er skrevet i førdatid, det betyder at fortælleren fortæller om en begivenhed, der er sket i fortiden Det ses tydeligt i sætningen: I 1952 var han endnu meget langt fra at indrømme over for sig selv eller nogen anden, at han manglede en bestemt selvfølgelighed i sit forhold til tal (side 13, linje 27-30), hvor vi får et klart billede af, at han har overblik over hovedpersonens fremtidige liv. Selvom man kunne fristes til at tro, at fortælleren i novellen er en alvidende fortæller, mener jeg stadig at det er en personbundet tredjepersonsfortæller, da fortælleren kun kan gå ind i hovedet på hovedpersonen. Den alvidende fortæller kan gå ind i alle personers hoveder, hvilket ikke er tilfældet i Snyd. Det er primært på dette område, at jeg mener at forskellen ligger, og gør det muligt at konstatere at det er en tredjepersonsfortæller. Som tidligere nævnt optræder der oftest meget få personer i en novelle. Dette er også tilfældet i novellen Snyd, hvor vi kun møder én nævneværdig og betydningsfuld person; nemlig drengen også omtalt som hovedpersonen. De andre elever til eksamenen, samt lærerne bliver kun omtalt meget kort og fungerer derfor som en slags anonyme bipersoner. Selvom novellen kun bygger på en person, nemlig drengen, får vi ikke ret meget af vide om ham. Vi kender hverken til drengens baggrund, familie og udseende, vi får kun at vide at han er år: De sad, et par og halvtreds fjerde mellem ere, femten-seksten-årige, (side 14, linje 25-26). Vi får til gengæld en masse af vide omkring drengens personlighed, både gennem hans handlinger og hans tanker. Drengen er dårlig til at huske tal og formler, han har derfor allerede inden eksamen skrevet formlen for en andengradsligning ned på en lille seddel og stukket den i lommen. Drengen har ambitioner, der ifølge ham, kræver at han kan løse to ud af de tre eksamens opgaver. Hans store drøm er nemlig at blive Danmarks største skakspiller, hvilket kræver at han kommer ind på det matematiske gymnasium og består matematikeksamen. Drengen vender det moralske spørgsmål omkring hvorvidt han skal snyde mange gange før han rent faktisk snyder. Han er meget i tvivl, da han på den ene side ikke kan se nogen fremtid for sig, hvis ikke han kommer ind på det matematiske gymnasium, og på den anden side har det dårligt med at snyde. Drengen lader til, at være meget usikker. Her kommer matematikken ind i 8

10 billedet, da han bruger den til at skabe en form for identitet. Han ved, at han skal bruge matematik, hvis han vil opnå sin drøm, og opfører sig derfor lidt neurotisk, da det er meget vigtigt for ham at bestå matematikeksamen. Man kan derfor sige, at Snyd i bund og grund handler om usikkerhed og identitetsproblemer. Drengen er meget usikker omkring sig selv som person, derfor tyr han til snyd og snyder sig ind på det matematiske gymnasium. Alt ændrer sig efter at han har snydt. Han ser pludselig en anden verden for sig, hvor alle snyder alle og det var ham der startede. Pludselig er snyd blevet en del af ham, en del af hans identitet. Matematikken i Snyd Anders Bodelsen anvender som sagt matematik i sin novelle Snyd. Han anvender matematikken som et virkemiddel, og kobler det sammen med novellens hovedpersons sindstilstand og tanker. Bodelsen tager udgangspunkt i en andengradsligning, der optræder til hovedpersonens matematik eksamen. Andengradsligningen er altafgørende for hovedpersonens fremtid. Hovedpersonen kan ikke løse ligningen uden snyd. Han forsøger dog først, at løse ligningen selv gennem en række udregninger. Han starter med, at skrive andengradsligningen ned: a 4 x 2ax Derefter prøver han at gange parenteserne ud: a x 4x 2ax Han isolerer nu x erne og flytter ettallet over på højre side af lighedstegnet og får resultatet: a x 4x 2ax 1 Ovenstående resultat symboliserer hovedpersonens sindstilstand på det pågældende tidspunkt i novellen. Hovedpersonen er fortabt. Først går ligningen i nul, hvilket symbolisere tomheden i hovedpersonens hoved. Derefter bliver den negativ (-1), hvilket er fuldstændigt meningsløst, og stemmer overens med hovedpersonens følelse af at være fortabt. Da hovedpersonen forsøger at snyde første gang kan han ikke huske formlen, da han vender tilbage til sin plads efter han har været på toilettet og læst formlen. Da han forsøger at skrive formlen ned, kan han kun huske x a. Dette symboliserer situationen hovedpersonen befinder sig i. Ligningen har to løsninger, ligeledes har hovedpersonen to muligheder: at snyde og bestå prøven, eller at prøve selv og dumpe. Selvom han har forsøgt at snyde en gang, ved han godt at han bliver nødt til at skrive formlen ned et sted. Man kan sige, at han ikke regner det første forsøg som snyd, da han godt er klar over at han ikke kan huske formlen efter 2 sekunder. 9

11 Selvom hovedpersonen har svært ved at huske tal, tænker han meget matematisk. Hovedpersonen argumentere både for og imod, hvorvidt han skal snyde. Hovedpersonen sætter en række argumenter op som et matematisk bevis, og fortæller hvad det ene kommer til at betyde i forhold til det andet: Følgelig måtte han løse mindst to af de tre opgaver på papiret. Følgelig måtte han læse ligningen på seddelen i lommen (side 13, linje 33-35). At Anders Bodelsen har valgt, at bruge en andengradsligning som virkemiddel fremfor andet matematik er ikke tilfældigt. Andengradsligningen er yderst velvalgt. Andengradsligningen Bodelsen arbejder med har to løsninger, hvilket som sagt hænger sammen med hovedpersonens to muligheder til eksamen, at snyde eller ikke at snyde. Ligeledes kan andengradsligningen kun løses ved brug af en bestemt løsningsformel, der kræver at man kan huske den og kan benytte sig af den. Det kan være kompliceret at løse en andengradsligning. Det ved hoverpersonen godt, derfor har han skrevet formlen ned på en seddel og puttet den i lommen. Det viser sig også, at det er mere indviklet at snyde end han havde regnet med. For det første spiller moralen et puds for hovedpersonen, og for det andet må han ikke blive opdaget og bortvist. Hovedpersonen finder en måde at snyde på uden at blive opdaget, og kan dermed løse andengradsligningen og komme ind på det matematiske gymnasium. Ligeledes anvender Bodelsen matematikken til at sætte læseren ind i hovedpersonens situation. Kender man ikke til andengradsligninger vil man ikke have nogen ide om hvordan man skal løse den, hvilket forvirrer læseren og sætter læseren ind i hovedpersonens sted. Andengradsligninger og komplekse tal Løsning af andengradsligningen i novellen Snyd Andengradsligningen i novellen er allerede blevet løst trinvist i novellen. I novellen er diskriminanten d sat direkte ind i formlen for x, mens vi derimod plejer at finde diskriminanten først, for derefter at finde x. Andengradsligningen der optræder i novellen ser ud som følger: a 4 x 2ax For at løse en andengradsligning skal man altid finde diskriminanten d først. Diskriminanten er givet ved følgende formel: d b 4ac - Her er a det første led i ligningen, dvs. a (a 4). b er det andet led, b 2a. Og c er det tredje led i ligningen, c 1. 10

12 Diskriminanten d fortæller noget om hvor mange løsninger andengradsligninger har. Er diskriminanten minder end 0, dvs. negativ (𝑑 < 0), så har andengradsligningen ingen løsninger (dog siger teorien omkring komplekse tal noget andet. Det vender jeg tilbage til senere i opgaven). Er diskriminanten lig med 0 (𝑑 0), så har ligningen en løsning. Til sidst gælder der, at hvis diskriminanten større end 0 (𝑑 > 0), har ligningen to løsninger. 10 Jeg starter ud med at finde diskriminanten d: 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 4 𝑎 4 1 4𝑎 4𝑎 Vi kan se, at diskriminanten er lig med 16, og dermed større end 0, hvilket betyder at andengradsligningen har to løsninger. Når man har fundet diskriminanten, kan man nu finde ligningens to løsninger. Når vi skal finde de to løsninger, bruger vi formlen for x: 𝑥 𝑏 𝑑 ( 2𝑎) 16 2𝑎 4 2𝑎 2 (𝑎 4) 2𝑎 8 Vi kan se at udtrykket for x kan reduceres, jeg dividerer derfor tæller og nævner igennem med 2: 2𝑎 4 𝑎 2 2 𝑥 2𝑎 8 𝑎 4 2 Altså har andengradsligningen to løsninger: 𝑥 𝑎 2 𝑎+2 𝑥 𝑎 4 𝑎 4 Ifølge novellen skulle andengradsligningen gerne have løsningerne: 𝑥 1 1 𝑥 𝑎+2 𝑎 2 Omskriver man de løsninger for x, som jeg har udregnet, får vi de samme løsninger som er angivet i novellen. Jeg starter med at omskrive udtrykket i nævneren: 𝑎 4 𝑎 2 (𝑎 + 2) Ganger man parenteserne ud ser man, at 𝑎 2 (𝑎 + 2) er lig med 𝑎 4: 𝑎 2 𝑎 + 2 𝑎 + 2𝑎 2𝑎 4 𝑎 4 Jeg indsætter nu det omskrevne udtryk i de to løsninger for x: 𝑥 𝑎 2 𝑎 2 1 𝑎+2 𝑎+2 1 𝑥 𝑎 4 𝑎 2 (𝑎 + 2) 𝑎 + 2 𝑎 4 𝑎 2 (𝑎 + 2) 𝑎 2 Altså stemmer løsningerne for andengradsligningen overens med de angivne løsninger i novellen c/ligninger/andengradsligningen 11

13 Jeg har hidtil ikke nævnt noget omkring a, der fungerer som en konstant. a kunne i princippet være hvilket som helst tal, da andengradsligningen altid vil give de samme løsninger. For at bevise dette, sætter jeg 5 ind på a s plads: 5 4 𝑥 2 5𝑥 𝑥 10𝑥 Udregning af d: 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 Udregning af x: 𝑥 𝑏 𝑑 ( 10) 𝑎 Altså har ligningen løsningerne: 𝑥 𝑥 Sætter vi 5 ind på a s plads i udtrykket for 𝑥, får vi 𝑥 𝑥 : 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎 Altså har jeg bevist at a kunne være hvilket som helst tal, og blot indgår i ligningen for at gøre den mere generel. Tal Vi skal først kigge lidt på tallenes udvikling gennem tiden: De naturlige tal: De naturlige tal betegnes med bogstavet N: 𝑁 1,2,3,4,5 De naturlige tal kaldes også for tælletallene. Denne betegnelse er opstået fordi, at de naturlige tal dækker over de tal man bruger når man tæller. De naturlige tal er det man kalder stabile over for addition og multiplikation. Det betyder at når man adderer eller multiplicerer to naturlige tal, vil summen og produktet altid være et naturligt tal. Dog er det ikke altid, at dette gælder. Nogle additive og multiplikative problemstillinger, er ikke mulige at løse inden for de naturlige tal. Tager vi for eksempel problemstillingen Lægger jeg 4 kroner i min sparegris, har jeg 2 kr. Hvor mange penge har jeg?. Denne problemstilling er ikke mulig at løse inden for mængden af naturlige tal, da der ikke er noget naturligt tal x, der opfylder ligningen: 4 + 𝑥 2. De hele tal: De hele tal betegnes med bogstavet Z: 𝑍. 2, 1, 0, 1, 2. 12

14 De hele tal dækker, som navnet siger, over mængden af alle hele tal; positive og negative. De hele tal er ligesom de naturlige tal, stabile over for addition og multiplikation. Der gælder, at man kan løse alle additive problemstillinger inden for mængden af de hele tal. Dog er det ikke alle multiplikative problemstillinger man kan løse inden for denne mængde. For eksempel har problemstillingen: 10 personer deler 4 æbler. Hvor meget får de hver, ikke nogen løsning, da der ikke er noget helt tal x, der opfylder ligningen: 10 x 4. Man udvider de naturlige tal til de hele tal, da ligningen a + x b, hvor a og b er naturlige tal, ikke altid er muligt at løse inden for de naturlige tal. De rationale tal: De rationale tal betegnes med bogstavet Q: Q a Z b Z a 0 De rationale tal omfatter alle brøker, såfremt at de har en heltallig tæller og nævner. Der gælder, at alle hele tal kan opfattes som en brøk med nævneren 1. Det er muligt, at løse alle additive og multiplikative problemstillinger inden for mængden af de rationale tal, hvis ligningen opfylder at a 0. Stort set alle praktiske regneopgaver kan løses inden for mængden af rationale tal. Man udvider de hele tal til de rationale tal, da ligningen a x b, a 0, hvor a og b er hele tal, ikke altid er mulig at løse inden for de hele tal. De reelle tal: De reelle tal betegnes med bogstavet R. De reelle tal dækker over alle de rationale tal, samt alle de irrationale. De reelle tal omfatter altså alle tænkelige tal. Det er muligt, at udtrykke længden af alle rette linjer og andre geometriske størrelser inden for mængden af de reelle tal. Derudover kan man løse alle ligninger af typen: x a, hvor n N og a R. Altså gør de reelle tal det muligt, at uddrage n te roden af alle positive tal. Det er derimod ikke muligt at uddrage kvadratroden af negative tal, og da x 2 altid vil være større end eller lig med 0, har ligningen x ikke har nogen løsning. Dermed vil x + 1 ligeledes altid være større end eller lig med 1 og kan altså ikke være lig med 0. Dog er det stadig ikke muligt, at løse alle ligninger inden for mængden af de reelle tal. Tager vi fx andengradsligninger, skal man først beregne diskriminanten. Hvis det viser sig, at andengradsligningens diskriminant er negativ, har ligningen ingen løsning. Man udvider de rationale tal til de reelle tal, for at kunne løse enhver andengradsligning af formen: x a, a 0, hvor a er rational og større eller lig med nul. Komplekse tal: De komplekse tal betegnes med bogstavet C. 13

15 Efter man havde skiftet bekendtskab med de reelle tal, var det oplagt at forsøge at udvide talbegrebet, således at ligningen x var mulig at løse. Da man begyndte at tale om det komplekse talbegreb, var der mange forskellige meninger omkring hvorvidt det var muligt at uddrage kvadratroden af -1. På trods af denne disse forskellige meninger og denne skepsis, har det senere hen vist sig, at man med fordel kan udvide talbegrebet. De komplekse tal repræsenterer altså en udvidelse af de reelle tal. Ifølge det komplekse tal plan har alle polynomier af mindst første grad et nulpunkt. Dermed har ligningen x en løsning inden for mængden af de komplekse tal, og det giver derfor god mening at tale om 1. Jeg vender tilbage til de komplekse tal senere i opgaven, hvor jeg bl.a. løser en andengradsligning med en negativ diskriminant. 11 Introduktion til de komplekse tal Da jeg løste andengradsligningen, der optræder i novellen Snyd, fulgte jeg den almindelige løsningsformel for andengradsligninger. Det var muligt, at regne andengradsligningen ud på den givne måde, da ligningens diskriminant var større end 0. Da diskriminanten som sagt var større end 0, havde ligningen en løsning inden for mængden af reelle tal. Andengradsligninger har ikke nogen løsning inden for mængden af reelle tal, hvis diskriminanten er mindre end 0. Andengradsligningen x + 1 0, har ikke nogen løsning inden for mængden af de reelle tal, da der ikke eksistere et tal, der ganget med sig selv giver -1. Hvis vi prøver, at løse andengradsligningen x + 1 0, på den sædvanelige metode, får vi følgende: x b b 4ac 2a ( 1) Som sagt er 1 ikke et reelt tal, derfor godtager vi normalt ikke løsningen 1. Men forestiller vi os, at 1 er et reelt tal, og godtager det som en løsning, må der gælde at 1 1, da 1 ganget med sig selv giver -1. I de tilfælde, hvor en andengradslignings diskriminant er mindre end 0, og dermed ikke har nogen løsning kan man bruge de komplekse tal. 1 er et komplekst tal, dermed er det muligt at løse alle andengradsligninger, også selvom diskriminanten er mindre end 0. Konstruktion af de komplekse tal 11 E. Jørgen. Komplekse tal, side

16 Som tidligere nævnt, er de komplekse tal en udvidelse af de reelle tal. Denne udvidelse var nødvendig, hvis det skulle være muligt at løse alle andengradsligninger. Hvis vi vil udvide talområdet, er det nødvendigt at medtage et nyt element, nemlig 1, som ikke anses som en reel løsning, da der som sagt ikke er noget reelt tal der ganget med sig selv giver -1. Før vi begynder, at regne med de komplekse tal, skal vi først have styr på de reelle tal. Vi starter ud med at kigge på regnereglerne inden for addition og multiplikation: R.1: Hvis 𝑎, 𝑏 𝑅, gælder der også, at 𝑎 + 𝑏 𝑅 𝑜𝑔 𝑎𝑏 𝑅 R.2: 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑎 R.6: 𝑎𝑏 𝑏𝑎 R.3: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 R.7: 𝑎 𝑏𝑐 𝑎𝑏 𝑐 R.4: Der findes et nulelement 0: 0 + 𝑎 𝑎 + 0 𝑎 R.8: Der findes et ételement 1: 𝑎 1 1 𝑎 𝑎 R.5: Alle tal a har et modsat element a så 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 0 R.9: Alle 𝑎 0 har et reciprokt element 𝑎, så 𝑎 𝑎 1 R.10: 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 Jeg vil starte ud med at definere hvad et tallegeme er. Et tallegeme eller blot et legeme er en talmængde, der er organiseret ved to regneregler således, at de sædvanlige regneregler fra de reelle tal gælder. Altså har vi at (𝑅, +, ) er et legeme. For at de komplekse tal, kan betragtes som et legeme, skal de ifølge definition overholde regnereglerne vist i tabellen. Når vi beskæftiger os med komplekse tal, er det nødvendigt at medtage et element vi betegner med 1. Jeg vil starte ud med at se på tal af typen: 𝑎 + 𝑎 1. Når vi adderer eller multiplicerer sådanne tal får vi følgende: Addition: (𝑎 + 𝑎 1) + (𝑏 + 𝑏 1) Jeg hæver først parenteserne 𝑎 + 𝑏 +𝑎 1 + 𝑏 1 15

17 Derefter samler jeg a1+b1 og a2+b2 i to parenteser og får følgende: (𝑎 + 𝑏 ) + (𝑎 + 𝑏 ) 1 Multiplikation: (𝑎 + 𝑎 1) (𝑏 + 𝑏 1) Jeg hæver først parenteserne, ved at gange ind i begge parenteser: 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 1 + 𝑎 𝑏 1 + 𝑎 𝑏 1 1 Jeg samler a1+b2 og a2+b1 i to parenteser og får følgende: 𝑎 𝑏 + (𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 ) 1 + (𝑎 𝑏 ) 1 Jeg ganger nu udtrykket igennem, og får følgende: 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 + (𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 ) 1 Disse udregninger leder os frem til definitionen af komplekse tal: Definition: Ved de komplekse tal forstås mængden af reelle talpar organiseret ved additon og multiplikation efter reglerne: 𝑎, 𝑎 + (𝑏, 𝑏 ) (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏 ) 𝑎, 𝑎 (𝑏, 𝑏 ) (𝑎 𝑏 𝑎 𝑏, 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 ) Jeg vil nu eftervise denne definition af de komplekse tal. For at bevise, at mængden af komplekse tal er et legeme, som definitionen siger, vil jeg bevise at denne addition og multiplikation frembringer et legeme. Jeg vil ikke bevise alle regnereglerne, da de fleste af dem af relative simple og minder om hinanden. Jeg vil starte ud med, at bevise den kommunikative lov for addition R.2. Beviset for R.2 er meget simpelt. Beviset for den kommunikative lov for multiplikation (R.6), samt beviserne for den associative lov for addition og multiplikation (R.3 + R.7), er ligesom R.2 relativt simple, derfor beviser jeg kun R.2. Derudover vil jeg bevise R.9, da det er det mest komplicerede bevis. R.2: Den kommunikative lov siger, at 𝑎, 𝑎 + (𝑏, 𝑏 ) (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏 ). Bytter vi om på rækkefølgen af a og b, får vi samme resultat: 𝑏, 𝑏 + (𝑎, 𝑎 ) 𝑏 + 𝑎, 𝑏 + 𝑎. R.9: Vi skal finde det reciprokke talsæt. Det betyder, at vi skal finde et talsæt (x1, x2), der multipliceret med (a1, a2) giver etelementet (1,0). Altså skal vi bestemme talsættet (x1, x2). Vi stiller først ligningen op: 16

18 𝑎, 𝑎 𝑥, 𝑥 (1,0) Vi vender nu tilbage til definitionen, hvor vi skal bruge reglen for multiplikation. Ud fra denne regel, kan vi skrive udtrykket sådan: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 1,0 Vi har nu to ligninger: Ligning 1: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 1 Ligning 2: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 0 Vi multiplicerer den første ligning med a1 og den anden med a2 og får følgende: Ligning 1: 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 Ligning 2: 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 0 Vi trækker nu den øverste ligning fra den nederste: (𝑎 + 𝑎 )𝑥 𝑎 Vi isolerer nu x2: 𝑥 𝑎 𝑎 +𝑎 Her skal vi bemærke, at nævneren ikke er 0, da vi forudsatte at (𝑎, 𝑎 ) (0,0). Efter at vi har bestemt x2, kan vi nu bestemme x1 ved, at indsætte udtrykket for x2 i ligningen 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 1, og isolere x1: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 𝑥 1 𝑥 𝑎 +𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 Dermed har vi bestemt det reciprokke talpar: 12 𝑥, 𝑥 (, ) Udvidelse af de reelle tal De komplekse tal er som tidligere nævnt en udvidelse af de reelle tal, og indeholder derfor de reelle tal. Der er dog en forskel på de komplekse tal og de reelle tal, i og med at de komplekse tal består af et talpar, mens de reelle tal blot er et tal. For at bevise, at de komplekse tal indeholder de reelle tal, vil jeg betragte den delmængde R* af de komplekse tal, hvis andenkomponent er 0: 𝑅 𝑎, 0 𝑎 𝑅 12 Frandsen. J. komplekse tal og fraktaler, side

19 Lægger man denne mængde af komplekse tal, hvis andenkomponent er 0, sammen eller ganger dem med hinanden, vil man få komplekse tal af samme slags: a, 0 + b, 0 a + b, a + b, 0 a, 0 b, 0 a b 0 0, a b ab, 0 Det samme gælder for modsatte tal og reciprokke tal til tal af typen (a,0) de er af samme slags. Vi identificerer delmængden R * af de komplekse tal, hvis andenkomponent er 0, med de reelle tal, dvs. at vi identificerer (a,0) med a. Hermed må de komplekse tal være en udvidelse af de reelle tal. De komplekse tal der ikke er reelle, dvs. dem der ikke ligger i R * kaldes for imaginære tal. Komplekse tal består af en imaginærdel og en realdel, dvs. et reellt tal og et imaginært tal. 13 Jeg har nu defineret og bevist, at de komplekse tal er en udvidelse af de reelle tal. Komplekse tal er et stort emne, derfor har jeg valgt kun, at definere de komplekse tal, og bevise at de er en udvidelse af de reelle tal. 14 Løsning af andengradsligning - hvor d er mindre end 0 Som tidligere nævnt i opgaven har andengradsligningen i novellen to løsninger, da diskriminanten d er større end 0. Det vil sige, at vi allerede har arbejdet med andengradsligningen på formen ax + bx + c 0, hvor a, b, c R. Jeg har allerede løst andengradsligningen i novellen, hvis diskriminant som sagt var større end 0: d b 4ac 0. Vi vil nu kigge på den komplekse andengradsligning, hvor koefficienterne er komplekse tal. Vi får dermed følgende definition: Definition: Den komplekse andengradsligning har formen az + bz + c 0 hvor a 0 Definitionen siger altså, at diskriminantens værdi er underordnet. Dermed må den komplekse andengradsligning altid have to løsninger: Carstensen. J. Komplekse tal, side

20 En kompleks andengradsligning: 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 0 ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑎 0 Har altid to løsninger: 𝑧 𝑏 𝑑, ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 Jeg vil nu bevise, at formlen for løsningen af en kompleks andengradsligning, hvor diskriminantens fortegn er underordnet: Vi har den generelle andengradsligning: 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 0 Først ganger jeg med 4a på begge sider af lighedstegnet, da 𝑎 0 har jeg lov til at gange med 4a. 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 + 4𝑎𝑐 4𝑎 0 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 4𝑎𝑐 Nu lægger jeg diskriminanten 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 til på begge sider af lighedstegnet og reducerer: 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 + 𝑏 4𝑎𝑐 𝑏 4𝑎𝑐 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 + 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 Venstresiden af den sidste ligning kan skrives som: 2𝑎𝑧 + 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 Da 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐, kan vi erstatte 𝑏 4𝑎𝑐 med d: 2𝑎𝑧 + 𝑏 𝑑 Normalt deler man løsningen af ligningen i tre forskellige tilfælde afhængig af fortegnet for d, men da fortegnet af d er underordnet, isolerer jeg nu z i udtrykket ovenfor, og får følgende: 2𝑎𝑧 + 𝑏 ± 𝑑 2𝑎𝑧 𝑏 ± 𝑑 𝑧 𝑏 ± 𝑑 2𝑎 Hermed har vi bevist at diskriminantens værdi er underordnet i de komplekse tal. Jeg vil nu løse den komplekse andengradsligning 𝑧 + 𝑧 Denne komplekse andengradsligning er meget simpel, og derfor god til at illustrere hvordan man løser komplekse andengradsligninger. Jeg finder først diskriminanten, ved hjælp af formlen: 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 𝑑