Snyd af Anders Bodelsen 1967

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Snyd af Anders Bodelsen 1967"

Transkript

1 SRP-Matematik i litteraturen Snyd af Anders Bodelsen 1967

2 Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning... 3 Anders Bodelsens forfatterskab Analyse af Snyd... 5 Referat Indhold Matematikken i Snyd Andengradsligninger og komplekse tal Løsning af andengradsligning i novellen Snyd Tal Introduktion til de komplekse tal Konstruktion af de komplekse tal Udvidelse af de reelle tal Løsning af andengradsligning - hvor d er mindre end Perspektivering matematikken som virkemiddel Konklusion Litteraturliste

3 Abstract In this SRP-assignment, I have chosen to study mathematics in the literature. In connection to this topic, I have chosen to work with the short story "Snyd" by the Danish author Anders Bodelsen. The short story contains mathematics in the form of a quadratic equation. The quadratic equation is continuous throughout the story, and is of great importance to the course of action in the short story. I will start out by telling a little about the author of the short story. Then I will make an analysis of the short story Snyd, where I will focus on the mathematics importance of the short story. In connection to the short story, I will solve the quadratic equation appearing in the short story, which leads to the complex numbers. I will prove that the complex numbers are an extension of the real numbers, and that it is possible to solve all quadratic equations regardless discriminant sign. I will also solve a quadratic equation by using the complex numbers. Finally, I will study the effect of mathematics as a tool in the literature. To study this, I talk a little bit about the novel Ægte brøker by Jesper Wung Sung. Ægte brøker is about two boys who commit a school shooting because they are tired of the society they live in. The title Ægte brøker has a great importance in the story. I finish off with explaining how mathematics is a great tool to explain many things in the literature. 2

4 Indledning I al den tid mennesket har eksisteret som et selvstændigt og tænkende individ, har matematikken spillet en stor rolle inden for naturvidenskaben. Ligeledes har litteraturen spillet en stor rolle inden for det mere kreative perspektiv af tilværelsen. Litterære værker såsom digte, noveller og romaner, har oftest altid et budskab, nogle gange er det tydeligt, andre gange ligger det skjult bag handlinger og tegn. Det er ikke kun litteraturen der opererer med tegn. Det gør matematikken også, dog på en lidt anden måde. Matematik kan bruges til at tolke og løse en lang række af problemstillinger. Tag bare noget så simpelt som brøken. I starten kunne man ikke løse en ligning, hvis ikke den gav et helt tal. Så fandt man ud af, at man kunne skrive alle tal som en brøk, og dermed kunne man regne med decimaltal. Matematikken udvikler sig hele tiden, men det gør sproget og litteraturen også. Umiddelbart virker litteratur og matematik til at være hinandens modsætninger. Men på mange områder har de faktisk meget til fælles. De er begge et produkt af menneskets stræben efter viden, menneskets nysgerrighed, og menneskets søgen efter svar på en række spirituelle og konkrete spørgsmål om hvorfor tingene er som de er. Emnet for denne opgave er matematik i litteraturen, hvor fokus er på novellen Snyd af Anders Bodelsen fra novellesamlingen Rama Sama fra Grunden til, at jeg har valgt at fokusere på matematik i litteraturen, er fordi at jeg ønsker at undersøge effekten af matematik som virkemiddel. Jeg vil starte ud med, at redegøre for Anders Bodelsens virke som forfatter, herunder genrer, tematik og stilretninger i hans forfatterskab. Derudover vil jeg foretage en analyse og fortolkning af novellen snyd, med særligt henblik på matematikkens, i dette tilfælde andengradsligningens, betydning på hovedkarakterens handlinger og sindstilstand. Bodelsen anvender andengradsligningen som et gennemgående element i sin novelle. Andengradsligningen der optræder i Snyd har en diskriminant der er større end 0, hvilket betyder at den har to løsninger inden for mængden af reelle tal. Ligeledes gælder der, at hvis en andengradsligning har en diskriminant der er mindre end 0, så findes der ingen løsninger inden for mængden af reelle tal. Dog findes der en løsning inden for mængden af komplekse tal, da fortegnet af diskriminanten ikke spiller nogen rolle for løsningen af ligningen. Jeg vil derfor, redegøre for hvordan man løser en andengradsligning uanset diskriminantens fortegn. Sidst vil jeg med henblik på, matematikken som virkemiddel i litteraturen, perspektivere til Jesper Wung Sungs roman Ægte brøker der også anvender matematik som virkemiddel og vurdere effekten heraf. 3

5 Anders Bodelsen forfatter skab Anders Bodelsen er en af de mest læste forfattere i Danmark. Bodelsen er født den 11 februar 1937 på Frederiksberg. 1 Bodelsen debuterede i 1959 med romanen De lyse nætters tid, efter nogle års jura-, økonomi-, og litteraturstudier. Ved siden af sit virke som skønlitterærforfatter, arbejdede Bodelsen som freelancejournalist for flere dagblade. Anders Bodelsens noveller, romaner og skuespil, tager alle udgangspunkt i hverdagsmennesker i ekstreme situationer. Med sine meget realistiske fortællinger og skildringer af en række mennesker i svære situationer, formår Bodelsen at fange og inddrage læseren i et genkendeligt univers. 2 Bodelsen tager samtidens problemer op og sætter dem på spidsen, hvilket slægter sig på den journalistik Bodelsen har dyrket parallelt med sit skønlitterære forfatterskab. Denne journalistiske indsigt og stil er gennemgående i Bodelsens hovedværker. Bodelsen var det man kaldte nyrealist. Nyrealismen blomstrede i 1960 erne og var et svar på modernismen, der dominerede i Danmark i slutningen af 1950 erne til starten af 1960 erne. Efter anden verdenskrig skete der en markant stigning i den danske velfærd. Den danske befolkning fik flere penge mellem hænderne og forbruget steg generelt over hele Danmark. Materielle værdier fik pludselig mere betydning end tidligere, og materielle genstande blev en form for statussymboler. De moderne forfattere tog afstand fra disse materielle værdier, da de mente, at de skabte en fremmedgørelse blandt de danske borgere. At borgerne er blevet fremmedgjort dækker over, at de er blevet fremmed over for sig selv og deres tilværelse pga. det stigende forbrug og den nye teknologi. Forfatterne mente desuden at den øgede velfærd og det øgede forbrug, tog fokus væk fra de indre værdier og udskiftede dem med de ydre og materielle værdier. De moderne forfattere var kritiske over for det daværende samfunds værdier. De mente, at den materielle tilværelse var absurd og beskriver bl.a. tomheden der gemmer sig bag den blankpolerede overflade. Denne tomhed blev ofte udtrykt gennem symboler, hvilket hænger sammen med den absurde livsopfattelse, der forekommer meningsløs og svær at beskrive realistisk. Den moderne litteratur er derfor ofte absurd og giver til tider ikke nogen mening, da den skal afspejle de moderne forfatteres kritiske syn på velfærdssamfundets nye forbrugsvaner og tilværelse. 3 Dette leder os videre til den nyrealistiske litteratur, der som sagt opstod som et modsvar til modernismen, der kunne synes utilgængelig for den almene borger, da den til tider ikke gav nogen mening. Det nye ved nyrealismen var, at den beskrev middelklassens og 1 2 Forfatterweb Anders Bodelsen 3 isme.aspx 4

6 overklassens liv i velfærdssamfundet realistisk, så alle kunne følge med og forstå meningen med litteraturen. Denne realistiske beskrivelse af hverdagen fungerede som en protest mod modernismens formidling af hverdagen ved brug af metaforer og symboler. Nyrealismen appellerede derfor til et bredere publikum end modernismen. Anders Bodelsen blev en fremtrædende nyrealistisk forfatter, og blev en af forgangsmændene i forsøget på at beskrive hverdagen realistisk og simpel. Bodelsen fremhæver bl.a. at den danske litteratur bør være genkendelig altså noget de danske borgere kan genkende og forholde sig til. 4 I 1965 udgiver Bodelsen sin første novellesamling Drivhuset. Blot to år efter i 1967 udkommer novellesamlingen Rama Sama. De to novellesamlinger markerer Bodelsens gennembrud som nyrealist, da novellesamlingerne hovedsageligt omhandler en række unge menneskers problemer, med ambitioner, kærlighed og identitetsdannelse i et konkurrencepræget samfund. 5 Analyse af Snyd Referat Novellen Snyd er skrevet af forfatteren Anders Bodelsen. Novellen tilhører novellesamlingen Rama Sama, der blev udgivet i Novellesamlingen indeholder i alt 9 noveller, der alle beskæftiger sig med almindelige dagligdagssituationer. Novellerne skildrer en række unge menneskers identitetsdannelse og handlinger i pressede situationer. Bodelsen tager i novellen Snyd læseren med tilbage til folkeskolen, eller rettere sagt, med tilbage til matematik eksamen. Vi følger en femten-, sekstenårig dreng, der er til den gamle mellemskoleeksamen i matematik uden hjælpemidler i Drengen vil gerne være Danmarks største skakspiller, og det forudsætter ifølge ham, at han skal bestå matematik eksamen, så han kan komme ind på det matematiske gymnasium. Drengen har dog et svagt punkt, han er nemlig dårlig til at huske tal og matematiske formler. Derfor har han skrevet formlen for løsningen af en andengradsligning på en lille seddel (da han er sikker på at andengradsligningen optræder i eksamenssættet) og stukket sedlen ned i lommen. Drengen har hele tiden i baghovedet, at han skal løse andengradsligningen, hvis han vil være skakspiller. Han er sikker på, at hvis ikke han løser andengradsligningen, vil hans fremtid forme sig helt anderledes end hvad han 4 i_60erne.htm 5 bodelsen 6 Side 12, linje

7 hidtil har tænkt. Den skriftlige matematik eksamen uden hjælpemidler består af tre opgaver. Den første er en geometri opgave, den løser drengen nemt. Anden opgave er en handelsopgave, den er noget sværere at løse. Efter en times tid giver drengen op og går videre til den tredje og sidste opgave, der er en aritmetikopgave altså en andengradsligning. Drengen læser opgaven igennem og når frem til konklusionen, at han kun kan løse andengradsligningen, hvis han kigger på den lille sammenfoldede seddel, som han har i lommen. Drengen prøver først at regne opgaven selv, da dette ikke lykkes, ved han at han bliver nødt til at snyde og kigge på sedlen med formlen. Drengen rækker derfor hånden i vejret og siger, at han skal på toilettet. En af vagterne eskortere drengen ud på toilettet og står og venter lige uden for døren, mens drengen stille og forsigtigt tager sedlen op af lommen, og prøver at memorere den. Da drengen igen sidder foran ligningen, har han fuldstændig glemt formlen, og ligningen giver stadig ingen mening. Drengen føler sig fortabt, da han ikke kan løse andengradsligningen uden den specifikke formel, som han alligevel glemmer nogle sekunder efter han har set den. En halv time efter det tidligere toiletbesøg, rækker drengen på ny hånden op og bliver eskorteret ud til toilettet. Igen tager han sedlen op af lommen og læser formlen, men denne gang skriver han også formlen på sit lommetørklæde. Da drengen returnere til sin plads i gymnastiksalen, har han glemt formlen igen. Han kigger på sit lommetørklæde hvor formlen står og går i gang med at løse andengradsligningen. Drengen får løst andengradsligningen, men kan ikke lade være med at tænke på at han har snydt. Drengen er allerede inden eksamenen velvidende omkring, at matematikeksamenen kommer til at determinere hans fremtid, dog bliver udfaldet af eksamenen meget anderledes end hvad han havde regnet med. Pludselig handler det ikke bare om at komme ind på det matematiske gymnasium, men noget meget større, der kommer til at ændre drengens liv fuldstændig. Indhold Snyd er som tidligere nævnt en novelle skrevet af Anders Bodelsen i Der findes tre forskellige slags noveller; traditionelle noveller, noveletter og trivialnoveller. 7 Novellen Snyd er en traditionel novelle, da den behandler et aktuelt emne/situation, som de fleste mennesker kan relatere sig til. Den traditionelle novelle optræder ofte i novellesamlinger, hvilket Snyd også gør, da den er en del af novellesamlingen Rama Sama Derudover har novellen et enstrenget handlingsforløb, det betyder at den kun har en hovedhandling og hovedkonflikt, hvilket også er meget typisk for novellegenren. Andre karakteristika for novellegenren er blandt andet, at der er få medvirkende perso- 7 Analyse af noveller Aksel Alminde, Køge Handelsskole 6

8 ner og at den strækker sig over kort tid. Sidst men ikke mindst er noveller meget realistiske, det vil sige at de giver et billede af virkeligheden, selvom novellen er fiktion ligesom alt andet skønlitteratur. Snyd starter i in medias res, det vil sige, at læseren bliver kastet direkte ind i handlingen. Denne indledning er typisk for novellen, og skaber spænding fra start af. Sproget i novellen knytter sig op af det nyrealistiske fundament, nemlig at det skal være forståeligt for alle. Da novellen især henvender sig til middelklassen, skal sproget ikke være for kompliceret, og skal helst bestå af simple sætninger. Det meget simple sprog og den hverdagsagtige tone gør det nemmere for læseren, at sætte sig ind i hovedpersonens tanker. Bodelsen gør ikke rigtig brug af metaforer og andre til tider uforståelige symboler, men anvender derimod matematik som et virkemiddel og symbol. Alle mennesker kender til matematik, måske kender alle ikke til teorien bag andengradsligninger (Bodelsen anvender andengradsligningen), men det er ikke vigtigt, da den blot skal gøre det nemmere for læseren at identificere sig med den situation drengen i novellen befinder sig i. Som Anders Bodelsen selv nævner; Måske er det ligefrem en fordel for historien, om disse aritmetriske indslag virker mere uforståelige end de er (Side 14, linje 5-7). Altså kan det være en fordel, hvis man ikke kender til matematikken, da matematikken blot skal minde læseren om hvor nervepirrende og uoverskuelig en eksamen kan være. Snyd strækker sig over en skriftlig matematik eksamen på tre timer. 8 Novellen er 13 sider lang, og strækker sig som sagt kun over 3 timer, altså er fortælletempoet meget langsomt. Det langsomme fortælletempo medvirker, at vi får beskrevet situationen drengen befinder sig i meget detaljeret. Vi hører både hvad drengen føler og tænker og hvordan han reagere og handler. Fortælleren i novellen er en implicit 9 personbundet tredjepersonsfortæller, det ses allerede i første linje: Foran sig havde han: Et æble (side 12, linje 1). Fortælleren skjuler sig bag hovedpersonen/drengen og fortæller begivenhederne ud fra drengens synsvinkel. Den personbundne tredjepersonsfortæller er bundet til en person, det vil sige at vi kun får fortalt historien ud fra drengens synsvinkel. Vi kommer derfor ikke ind i hovedet på de andre personer, der optræder i novellen, men skal selv tolke deres tanker ud fra deres handlinger og eventuelle replikker. Fortælleren i novellen er en ikke-diegetisk fortæller, det betyder at fortælleren ikke optræder eller har en rolle i fortællingen. Selv om det er en tredjepersonsfortæller, indeholder novellen også elementer fra den altvidende fortæller. Her skal især nævnes fortællerkommentarerne, der desuden er direkte fortællerkommentarer, da det fremgår relativt åbenlyst, når det er fortælleren der taler: (Han skulle få ret i denne højtidelige og desperate betragt- 8 Side 12, linje 9. 9 Implicit fortæller: Skjult fortæller, Den skjulte fortæller optræder/viser sig ikke i teksten. 7

9 ning, som ikke var spor for højtidelig eller desperat: hvad han gjorde fik faktisk betydning for hele resten af hans liv) (side 15, linje 20-23). Fortællerkommentaren knytter sig til den alvidende fortæller, der både kan bryde i fortællingen for, at komme med refleksioner over personer eller begivenheder, kommentarer til handlingen eller forudsigelser af fremtiden. I det nævnte eksempel på en fortællerkommentar reflekterer fortælleren over hvad begivenheden (matematik eksamen) egentlig kommer til at betyde for hovedpersonens liv. Ud over fortællerkommentarerne er fortælleren også i stand til at se gå ind i hovedpersonens hoved og kender hovedpersonens fremtid. Novellen er skrevet i førdatid, det betyder at fortælleren fortæller om en begivenhed, der er sket i fortiden Det ses tydeligt i sætningen: I 1952 var han endnu meget langt fra at indrømme over for sig selv eller nogen anden, at han manglede en bestemt selvfølgelighed i sit forhold til tal (side 13, linje 27-30), hvor vi får et klart billede af, at han har overblik over hovedpersonens fremtidige liv. Selvom man kunne fristes til at tro, at fortælleren i novellen er en alvidende fortæller, mener jeg stadig at det er en personbundet tredjepersonsfortæller, da fortælleren kun kan gå ind i hovedet på hovedpersonen. Den alvidende fortæller kan gå ind i alle personers hoveder, hvilket ikke er tilfældet i Snyd. Det er primært på dette område, at jeg mener at forskellen ligger, og gør det muligt at konstatere at det er en tredjepersonsfortæller. Som tidligere nævnt optræder der oftest meget få personer i en novelle. Dette er også tilfældet i novellen Snyd, hvor vi kun møder én nævneværdig og betydningsfuld person; nemlig drengen også omtalt som hovedpersonen. De andre elever til eksamenen, samt lærerne bliver kun omtalt meget kort og fungerer derfor som en slags anonyme bipersoner. Selvom novellen kun bygger på en person, nemlig drengen, får vi ikke ret meget af vide om ham. Vi kender hverken til drengens baggrund, familie og udseende, vi får kun at vide at han er år: De sad, et par og halvtreds fjerde mellem ere, femten-seksten-årige, (side 14, linje 25-26). Vi får til gengæld en masse af vide omkring drengens personlighed, både gennem hans handlinger og hans tanker. Drengen er dårlig til at huske tal og formler, han har derfor allerede inden eksamen skrevet formlen for en andengradsligning ned på en lille seddel og stukket den i lommen. Drengen har ambitioner, der ifølge ham, kræver at han kan løse to ud af de tre eksamens opgaver. Hans store drøm er nemlig at blive Danmarks største skakspiller, hvilket kræver at han kommer ind på det matematiske gymnasium og består matematikeksamen. Drengen vender det moralske spørgsmål omkring hvorvidt han skal snyde mange gange før han rent faktisk snyder. Han er meget i tvivl, da han på den ene side ikke kan se nogen fremtid for sig, hvis ikke han kommer ind på det matematiske gymnasium, og på den anden side har det dårligt med at snyde. Drengen lader til, at være meget usikker. Her kommer matematikken ind i 8

10 billedet, da han bruger den til at skabe en form for identitet. Han ved, at han skal bruge matematik, hvis han vil opnå sin drøm, og opfører sig derfor lidt neurotisk, da det er meget vigtigt for ham at bestå matematikeksamen. Man kan derfor sige, at Snyd i bund og grund handler om usikkerhed og identitetsproblemer. Drengen er meget usikker omkring sig selv som person, derfor tyr han til snyd og snyder sig ind på det matematiske gymnasium. Alt ændrer sig efter at han har snydt. Han ser pludselig en anden verden for sig, hvor alle snyder alle og det var ham der startede. Pludselig er snyd blevet en del af ham, en del af hans identitet. Matematikken i Snyd Anders Bodelsen anvender som sagt matematik i sin novelle Snyd. Han anvender matematikken som et virkemiddel, og kobler det sammen med novellens hovedpersons sindstilstand og tanker. Bodelsen tager udgangspunkt i en andengradsligning, der optræder til hovedpersonens matematik eksamen. Andengradsligningen er altafgørende for hovedpersonens fremtid. Hovedpersonen kan ikke løse ligningen uden snyd. Han forsøger dog først, at løse ligningen selv gennem en række udregninger. Han starter med, at skrive andengradsligningen ned: a 4 x 2ax Derefter prøver han at gange parenteserne ud: a x 4x 2ax Han isolerer nu x erne og flytter ettallet over på højre side af lighedstegnet og får resultatet: a x 4x 2ax 1 Ovenstående resultat symboliserer hovedpersonens sindstilstand på det pågældende tidspunkt i novellen. Hovedpersonen er fortabt. Først går ligningen i nul, hvilket symbolisere tomheden i hovedpersonens hoved. Derefter bliver den negativ (-1), hvilket er fuldstændigt meningsløst, og stemmer overens med hovedpersonens følelse af at være fortabt. Da hovedpersonen forsøger at snyde første gang kan han ikke huske formlen, da han vender tilbage til sin plads efter han har været på toilettet og læst formlen. Da han forsøger at skrive formlen ned, kan han kun huske x a. Dette symboliserer situationen hovedpersonen befinder sig i. Ligningen har to løsninger, ligeledes har hovedpersonen to muligheder: at snyde og bestå prøven, eller at prøve selv og dumpe. Selvom han har forsøgt at snyde en gang, ved han godt at han bliver nødt til at skrive formlen ned et sted. Man kan sige, at han ikke regner det første forsøg som snyd, da han godt er klar over at han ikke kan huske formlen efter 2 sekunder. 9

11 Selvom hovedpersonen har svært ved at huske tal, tænker han meget matematisk. Hovedpersonen argumentere både for og imod, hvorvidt han skal snyde. Hovedpersonen sætter en række argumenter op som et matematisk bevis, og fortæller hvad det ene kommer til at betyde i forhold til det andet: Følgelig måtte han løse mindst to af de tre opgaver på papiret. Følgelig måtte han læse ligningen på seddelen i lommen (side 13, linje 33-35). At Anders Bodelsen har valgt, at bruge en andengradsligning som virkemiddel fremfor andet matematik er ikke tilfældigt. Andengradsligningen er yderst velvalgt. Andengradsligningen Bodelsen arbejder med har to løsninger, hvilket som sagt hænger sammen med hovedpersonens to muligheder til eksamen, at snyde eller ikke at snyde. Ligeledes kan andengradsligningen kun løses ved brug af en bestemt løsningsformel, der kræver at man kan huske den og kan benytte sig af den. Det kan være kompliceret at løse en andengradsligning. Det ved hoverpersonen godt, derfor har han skrevet formlen ned på en seddel og puttet den i lommen. Det viser sig også, at det er mere indviklet at snyde end han havde regnet med. For det første spiller moralen et puds for hovedpersonen, og for det andet må han ikke blive opdaget og bortvist. Hovedpersonen finder en måde at snyde på uden at blive opdaget, og kan dermed løse andengradsligningen og komme ind på det matematiske gymnasium. Ligeledes anvender Bodelsen matematikken til at sætte læseren ind i hovedpersonens situation. Kender man ikke til andengradsligninger vil man ikke have nogen ide om hvordan man skal løse den, hvilket forvirrer læseren og sætter læseren ind i hovedpersonens sted. Andengradsligninger og komplekse tal Løsning af andengradsligningen i novellen Snyd Andengradsligningen i novellen er allerede blevet løst trinvist i novellen. I novellen er diskriminanten d sat direkte ind i formlen for x, mens vi derimod plejer at finde diskriminanten først, for derefter at finde x. Andengradsligningen der optræder i novellen ser ud som følger: a 4 x 2ax For at løse en andengradsligning skal man altid finde diskriminanten d først. Diskriminanten er givet ved følgende formel: d b 4ac - Her er a det første led i ligningen, dvs. a (a 4). b er det andet led, b 2a. Og c er det tredje led i ligningen, c 1. 10

12 Diskriminanten d fortæller noget om hvor mange løsninger andengradsligninger har. Er diskriminanten minder end 0, dvs. negativ (𝑑 < 0), så har andengradsligningen ingen løsninger (dog siger teorien omkring komplekse tal noget andet. Det vender jeg tilbage til senere i opgaven). Er diskriminanten lig med 0 (𝑑 0), så har ligningen en løsning. Til sidst gælder der, at hvis diskriminanten større end 0 (𝑑 > 0), har ligningen to løsninger. 10 Jeg starter ud med at finde diskriminanten d: 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 4 𝑎 4 1 4𝑎 4𝑎 Vi kan se, at diskriminanten er lig med 16, og dermed større end 0, hvilket betyder at andengradsligningen har to løsninger. Når man har fundet diskriminanten, kan man nu finde ligningens to løsninger. Når vi skal finde de to løsninger, bruger vi formlen for x: 𝑥 𝑏 𝑑 ( 2𝑎) 16 2𝑎 4 2𝑎 2 (𝑎 4) 2𝑎 8 Vi kan se at udtrykket for x kan reduceres, jeg dividerer derfor tæller og nævner igennem med 2: 2𝑎 4 𝑎 2 2 𝑥 2𝑎 8 𝑎 4 2 Altså har andengradsligningen to løsninger: 𝑥 𝑎 2 𝑎+2 𝑥 𝑎 4 𝑎 4 Ifølge novellen skulle andengradsligningen gerne have løsningerne: 𝑥 1 1 𝑥 𝑎+2 𝑎 2 Omskriver man de løsninger for x, som jeg har udregnet, får vi de samme løsninger som er angivet i novellen. Jeg starter med at omskrive udtrykket i nævneren: 𝑎 4 𝑎 2 (𝑎 + 2) Ganger man parenteserne ud ser man, at 𝑎 2 (𝑎 + 2) er lig med 𝑎 4: 𝑎 2 𝑎 + 2 𝑎 + 2𝑎 2𝑎 4 𝑎 4 Jeg indsætter nu det omskrevne udtryk i de to løsninger for x: 𝑥 𝑎 2 𝑎 2 1 𝑎+2 𝑎+2 1 𝑥 𝑎 4 𝑎 2 (𝑎 + 2) 𝑎 + 2 𝑎 4 𝑎 2 (𝑎 + 2) 𝑎 2 Altså stemmer løsningerne for andengradsligningen overens med de angivne løsninger i novellen. 10 c/ligninger/andengradsligningen 11

13 Jeg har hidtil ikke nævnt noget omkring a, der fungerer som en konstant. a kunne i princippet være hvilket som helst tal, da andengradsligningen altid vil give de samme løsninger. For at bevise dette, sætter jeg 5 ind på a s plads: 5 4 𝑥 2 5𝑥 𝑥 10𝑥 Udregning af d: 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 Udregning af x: 𝑥 𝑏 𝑑 ( 10) 𝑎 Altså har ligningen løsningerne: 𝑥 𝑥 Sætter vi 5 ind på a s plads i udtrykket for 𝑥, får vi 𝑥 𝑥 : 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎 Altså har jeg bevist at a kunne være hvilket som helst tal, og blot indgår i ligningen for at gøre den mere generel. Tal Vi skal først kigge lidt på tallenes udvikling gennem tiden: De naturlige tal: De naturlige tal betegnes med bogstavet N: 𝑁 1,2,3,4,5 De naturlige tal kaldes også for tælletallene. Denne betegnelse er opstået fordi, at de naturlige tal dækker over de tal man bruger når man tæller. De naturlige tal er det man kalder stabile over for addition og multiplikation. Det betyder at når man adderer eller multiplicerer to naturlige tal, vil summen og produktet altid være et naturligt tal. Dog er det ikke altid, at dette gælder. Nogle additive og multiplikative problemstillinger, er ikke mulige at løse inden for de naturlige tal. Tager vi for eksempel problemstillingen Lægger jeg 4 kroner i min sparegris, har jeg 2 kr. Hvor mange penge har jeg?. Denne problemstilling er ikke mulig at løse inden for mængden af naturlige tal, da der ikke er noget naturligt tal x, der opfylder ligningen: 4 + 𝑥 2. De hele tal: De hele tal betegnes med bogstavet Z: 𝑍. 2, 1, 0, 1, 2. 12

14 De hele tal dækker, som navnet siger, over mængden af alle hele tal; positive og negative. De hele tal er ligesom de naturlige tal, stabile over for addition og multiplikation. Der gælder, at man kan løse alle additive problemstillinger inden for mængden af de hele tal. Dog er det ikke alle multiplikative problemstillinger man kan løse inden for denne mængde. For eksempel har problemstillingen: 10 personer deler 4 æbler. Hvor meget får de hver, ikke nogen løsning, da der ikke er noget helt tal x, der opfylder ligningen: 10 x 4. Man udvider de naturlige tal til de hele tal, da ligningen a + x b, hvor a og b er naturlige tal, ikke altid er muligt at løse inden for de naturlige tal. De rationale tal: De rationale tal betegnes med bogstavet Q: Q a Z b Z a 0 De rationale tal omfatter alle brøker, såfremt at de har en heltallig tæller og nævner. Der gælder, at alle hele tal kan opfattes som en brøk med nævneren 1. Det er muligt, at løse alle additive og multiplikative problemstillinger inden for mængden af de rationale tal, hvis ligningen opfylder at a 0. Stort set alle praktiske regneopgaver kan løses inden for mængden af rationale tal. Man udvider de hele tal til de rationale tal, da ligningen a x b, a 0, hvor a og b er hele tal, ikke altid er mulig at løse inden for de hele tal. De reelle tal: De reelle tal betegnes med bogstavet R. De reelle tal dækker over alle de rationale tal, samt alle de irrationale. De reelle tal omfatter altså alle tænkelige tal. Det er muligt, at udtrykke længden af alle rette linjer og andre geometriske størrelser inden for mængden af de reelle tal. Derudover kan man løse alle ligninger af typen: x a, hvor n N og a R. Altså gør de reelle tal det muligt, at uddrage n te roden af alle positive tal. Det er derimod ikke muligt at uddrage kvadratroden af negative tal, og da x 2 altid vil være større end eller lig med 0, har ligningen x ikke har nogen løsning. Dermed vil x + 1 ligeledes altid være større end eller lig med 1 og kan altså ikke være lig med 0. Dog er det stadig ikke muligt, at løse alle ligninger inden for mængden af de reelle tal. Tager vi fx andengradsligninger, skal man først beregne diskriminanten. Hvis det viser sig, at andengradsligningens diskriminant er negativ, har ligningen ingen løsning. Man udvider de rationale tal til de reelle tal, for at kunne løse enhver andengradsligning af formen: x a, a 0, hvor a er rational og større eller lig med nul. Komplekse tal: De komplekse tal betegnes med bogstavet C. 13

15 Efter man havde skiftet bekendtskab med de reelle tal, var det oplagt at forsøge at udvide talbegrebet, således at ligningen x var mulig at løse. Da man begyndte at tale om det komplekse talbegreb, var der mange forskellige meninger omkring hvorvidt det var muligt at uddrage kvadratroden af -1. På trods af denne disse forskellige meninger og denne skepsis, har det senere hen vist sig, at man med fordel kan udvide talbegrebet. De komplekse tal repræsenterer altså en udvidelse af de reelle tal. Ifølge det komplekse tal plan har alle polynomier af mindst første grad et nulpunkt. Dermed har ligningen x en løsning inden for mængden af de komplekse tal, og det giver derfor god mening at tale om 1. Jeg vender tilbage til de komplekse tal senere i opgaven, hvor jeg bl.a. løser en andengradsligning med en negativ diskriminant. 11 Introduktion til de komplekse tal Da jeg løste andengradsligningen, der optræder i novellen Snyd, fulgte jeg den almindelige løsningsformel for andengradsligninger. Det var muligt, at regne andengradsligningen ud på den givne måde, da ligningens diskriminant var større end 0. Da diskriminanten som sagt var større end 0, havde ligningen en løsning inden for mængden af reelle tal. Andengradsligninger har ikke nogen løsning inden for mængden af reelle tal, hvis diskriminanten er mindre end 0. Andengradsligningen x + 1 0, har ikke nogen løsning inden for mængden af de reelle tal, da der ikke eksistere et tal, der ganget med sig selv giver -1. Hvis vi prøver, at løse andengradsligningen x + 1 0, på den sædvanelige metode, får vi følgende: x b b 4ac 2a ( 1) Som sagt er 1 ikke et reelt tal, derfor godtager vi normalt ikke løsningen 1. Men forestiller vi os, at 1 er et reelt tal, og godtager det som en løsning, må der gælde at 1 1, da 1 ganget med sig selv giver -1. I de tilfælde, hvor en andengradslignings diskriminant er mindre end 0, og dermed ikke har nogen løsning kan man bruge de komplekse tal. 1 er et komplekst tal, dermed er det muligt at løse alle andengradsligninger, også selvom diskriminanten er mindre end 0. Konstruktion af de komplekse tal 11 E. Jørgen. Komplekse tal, side

16 Som tidligere nævnt, er de komplekse tal en udvidelse af de reelle tal. Denne udvidelse var nødvendig, hvis det skulle være muligt at løse alle andengradsligninger. Hvis vi vil udvide talområdet, er det nødvendigt at medtage et nyt element, nemlig 1, som ikke anses som en reel løsning, da der som sagt ikke er noget reelt tal der ganget med sig selv giver -1. Før vi begynder, at regne med de komplekse tal, skal vi først have styr på de reelle tal. Vi starter ud med at kigge på regnereglerne inden for addition og multiplikation: R.1: Hvis 𝑎, 𝑏 𝑅, gælder der også, at 𝑎 + 𝑏 𝑅 𝑜𝑔 𝑎𝑏 𝑅 R.2: 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑎 R.6: 𝑎𝑏 𝑏𝑎 R.3: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 R.7: 𝑎 𝑏𝑐 𝑎𝑏 𝑐 R.4: Der findes et nulelement 0: 0 + 𝑎 𝑎 + 0 𝑎 R.8: Der findes et ételement 1: 𝑎 1 1 𝑎 𝑎 R.5: Alle tal a har et modsat element a så 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 0 R.9: Alle 𝑎 0 har et reciprokt element 𝑎, så 𝑎 𝑎 1 R.10: 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 Jeg vil starte ud med at definere hvad et tallegeme er. Et tallegeme eller blot et legeme er en talmængde, der er organiseret ved to regneregler således, at de sædvanlige regneregler fra de reelle tal gælder. Altså har vi at (𝑅, +, ) er et legeme. For at de komplekse tal, kan betragtes som et legeme, skal de ifølge definition overholde regnereglerne vist i tabellen. Når vi beskæftiger os med komplekse tal, er det nødvendigt at medtage et element vi betegner med 1. Jeg vil starte ud med at se på tal af typen: 𝑎 + 𝑎 1. Når vi adderer eller multiplicerer sådanne tal får vi følgende: Addition: (𝑎 + 𝑎 1) + (𝑏 + 𝑏 1) Jeg hæver først parenteserne 𝑎 + 𝑏 +𝑎 1 + 𝑏 1 15

17 Derefter samler jeg a1+b1 og a2+b2 i to parenteser og får følgende: (𝑎 + 𝑏 ) + (𝑎 + 𝑏 ) 1 Multiplikation: (𝑎 + 𝑎 1) (𝑏 + 𝑏 1) Jeg hæver først parenteserne, ved at gange ind i begge parenteser: 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 1 + 𝑎 𝑏 1 + 𝑎 𝑏 1 1 Jeg samler a1+b2 og a2+b1 i to parenteser og får følgende: 𝑎 𝑏 + (𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 ) 1 + (𝑎 𝑏 ) 1 Jeg ganger nu udtrykket igennem, og får følgende: 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 + (𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 ) 1 Disse udregninger leder os frem til definitionen af komplekse tal: Definition: Ved de komplekse tal forstås mængden af reelle talpar organiseret ved additon og multiplikation efter reglerne: 𝑎, 𝑎 + (𝑏, 𝑏 ) (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏 ) 𝑎, 𝑎 (𝑏, 𝑏 ) (𝑎 𝑏 𝑎 𝑏, 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 ) Jeg vil nu eftervise denne definition af de komplekse tal. For at bevise, at mængden af komplekse tal er et legeme, som definitionen siger, vil jeg bevise at denne addition og multiplikation frembringer et legeme. Jeg vil ikke bevise alle regnereglerne, da de fleste af dem af relative simple og minder om hinanden. Jeg vil starte ud med, at bevise den kommunikative lov for addition R.2. Beviset for R.2 er meget simpelt. Beviset for den kommunikative lov for multiplikation (R.6), samt beviserne for den associative lov for addition og multiplikation (R.3 + R.7), er ligesom R.2 relativt simple, derfor beviser jeg kun R.2. Derudover vil jeg bevise R.9, da det er det mest komplicerede bevis. R.2: Den kommunikative lov siger, at 𝑎, 𝑎 + (𝑏, 𝑏 ) (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏 ). Bytter vi om på rækkefølgen af a og b, får vi samme resultat: 𝑏, 𝑏 + (𝑎, 𝑎 ) 𝑏 + 𝑎, 𝑏 + 𝑎. R.9: Vi skal finde det reciprokke talsæt. Det betyder, at vi skal finde et talsæt (x1, x2), der multipliceret med (a1, a2) giver etelementet (1,0). Altså skal vi bestemme talsættet (x1, x2). Vi stiller først ligningen op: 16

18 𝑎, 𝑎 𝑥, 𝑥 (1,0) Vi vender nu tilbage til definitionen, hvor vi skal bruge reglen for multiplikation. Ud fra denne regel, kan vi skrive udtrykket sådan: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 1,0 Vi har nu to ligninger: Ligning 1: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 1 Ligning 2: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 0 Vi multiplicerer den første ligning med a1 og den anden med a2 og får følgende: Ligning 1: 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 Ligning 2: 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 0 Vi trækker nu den øverste ligning fra den nederste: (𝑎 + 𝑎 )𝑥 𝑎 Vi isolerer nu x2: 𝑥 𝑎 𝑎 +𝑎 Her skal vi bemærke, at nævneren ikke er 0, da vi forudsatte at (𝑎, 𝑎 ) (0,0). Efter at vi har bestemt x2, kan vi nu bestemme x1 ved, at indsætte udtrykket for x2 i ligningen 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 1, og isolere x1: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 𝑥 1 𝑥 𝑎 +𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 Dermed har vi bestemt det reciprokke talpar: 12 𝑥, 𝑥 (, ) Udvidelse af de reelle tal De komplekse tal er som tidligere nævnt en udvidelse af de reelle tal, og indeholder derfor de reelle tal. Der er dog en forskel på de komplekse tal og de reelle tal, i og med at de komplekse tal består af et talpar, mens de reelle tal blot er et tal. For at bevise, at de komplekse tal indeholder de reelle tal, vil jeg betragte den delmængde R* af de komplekse tal, hvis andenkomponent er 0: 𝑅 𝑎, 0 𝑎 𝑅 12 Frandsen. J. komplekse tal og fraktaler, side

19 Lægger man denne mængde af komplekse tal, hvis andenkomponent er 0, sammen eller ganger dem med hinanden, vil man få komplekse tal af samme slags: a, 0 + b, 0 a + b, a + b, 0 a, 0 b, 0 a b 0 0, a b ab, 0 Det samme gælder for modsatte tal og reciprokke tal til tal af typen (a,0) de er af samme slags. Vi identificerer delmængden R * af de komplekse tal, hvis andenkomponent er 0, med de reelle tal, dvs. at vi identificerer (a,0) med a. Hermed må de komplekse tal være en udvidelse af de reelle tal. De komplekse tal der ikke er reelle, dvs. dem der ikke ligger i R * kaldes for imaginære tal. Komplekse tal består af en imaginærdel og en realdel, dvs. et reellt tal og et imaginært tal. 13 Jeg har nu defineret og bevist, at de komplekse tal er en udvidelse af de reelle tal. Komplekse tal er et stort emne, derfor har jeg valgt kun, at definere de komplekse tal, og bevise at de er en udvidelse af de reelle tal. 14 Løsning af andengradsligning - hvor d er mindre end 0 Som tidligere nævnt i opgaven har andengradsligningen i novellen to løsninger, da diskriminanten d er større end 0. Det vil sige, at vi allerede har arbejdet med andengradsligningen på formen ax + bx + c 0, hvor a, b, c R. Jeg har allerede løst andengradsligningen i novellen, hvis diskriminant som sagt var større end 0: d b 4ac 0. Vi vil nu kigge på den komplekse andengradsligning, hvor koefficienterne er komplekse tal. Vi får dermed følgende definition: Definition: Den komplekse andengradsligning har formen az + bz + c 0 hvor a 0 Definitionen siger altså, at diskriminantens værdi er underordnet. Dermed må den komplekse andengradsligning altid have to løsninger: Carstensen. J. Komplekse tal, side

20 En kompleks andengradsligning: 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 0 ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑎 0 Har altid to løsninger: 𝑧 𝑏 𝑑, ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 Jeg vil nu bevise, at formlen for løsningen af en kompleks andengradsligning, hvor diskriminantens fortegn er underordnet: Vi har den generelle andengradsligning: 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑐 0 Først ganger jeg med 4a på begge sider af lighedstegnet, da 𝑎 0 har jeg lov til at gange med 4a. 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 + 4𝑎𝑐 4𝑎 0 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 4𝑎𝑐 Nu lægger jeg diskriminanten 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 til på begge sider af lighedstegnet og reducerer: 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 + 𝑏 4𝑎𝑐 𝑏 4𝑎𝑐 4𝑎 𝑧 + 4𝑎𝑏𝑧 + 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 Venstresiden af den sidste ligning kan skrives som: 2𝑎𝑧 + 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 Da 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐, kan vi erstatte 𝑏 4𝑎𝑐 med d: 2𝑎𝑧 + 𝑏 𝑑 Normalt deler man løsningen af ligningen i tre forskellige tilfælde afhængig af fortegnet for d, men da fortegnet af d er underordnet, isolerer jeg nu z i udtrykket ovenfor, og får følgende: 2𝑎𝑧 + 𝑏 ± 𝑑 2𝑎𝑧 𝑏 ± 𝑑 𝑧 𝑏 ± 𝑑 2𝑎 Hermed har vi bevist at diskriminantens værdi er underordnet i de komplekse tal. Jeg vil nu løse den komplekse andengradsligning 𝑧 + 𝑧 Denne komplekse andengradsligning er meget simpel, og derfor god til at illustrere hvordan man løser komplekse andengradsligninger. Jeg finder først diskriminanten, ved hjælp af formlen: 𝑑 𝑏 4𝑎𝑐 𝑑

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Skriftligt dansk. Taksonomiske niveauer og begreber. Redegørelse

Skriftligt dansk. Taksonomiske niveauer og begreber. Redegørelse Skriftligt dansk Taksonomiske niveauer og begreber Redegørelse En redegørelse er en fokuseret og forklarende gengivelse af noget, fx synspunkter i en tekst, fakta om en litteraturhistorisk periode eller

Læs mere

DRENGEN BAGLÆNS. der. gik. Et touch værd! Undervisnings-e-bog

DRENGEN BAGLÆNS. der. gik. Et touch værd! Undervisnings-e-bog DRENGEN der gik BAGLÆNS Undervisnings-e-bog Et touch værd! En UNDERVISNINGS-E-BOG tilpasset børneromanen "Drengen der gik baglæns" med fokus på læse- og fortællestrategier, samt indeholdende differentierede

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Evaluering af skriftlig eksamen, maj 2012 Dansk A hhx

Evaluering af skriftlig eksamen, maj 2012 Dansk A hhx Evaluering af skriftlig eksamen, maj 2012 Dansk A hhx Det var tredje gang, at skriftlig eksamen i dansk på hhx var i udtræk. Som bekendt skal eleverne til eksamen i dansk enten skriftligt eller mundtligt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2015, skoleåret 14/15 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

ANALYSEMODEL TIL ROMAN OG NOVELLE

ANALYSEMODEL TIL ROMAN OG NOVELLE ANALYSEMODEL TIL ROMAN OG NOVELLE HUSK!!!! BRUG DIN TEKST HENVIS TIL DEN SKRIV VIGTIGE TING I MARGEN UNDERSTREG NOGET DU SYNES ER VIGTIGT!!! Præsentationspunkter o Tekstens titel og forfatter o Tekstens

Læs mere

Abstraktion i dansk Kort fremlæggelse af hvordan begrebet abstraktion er centralt for faget dansk

Abstraktion i dansk Kort fremlæggelse af hvordan begrebet abstraktion er centralt for faget dansk Abstraktion i dansk Kort fremlæggelse af hvordan begrebet abstraktion er centralt for faget dansk Klik på lydikonet i nederste højre hjørne for at få lyden til siden frem. Vælg Afspil på boksen der evt.

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Undervisning om Alkoholproblemer i familien

Undervisning om Alkoholproblemer i familien Undervisning om Alkoholproblemer i familien Målgruppe: 7.-10.klasse i grundskoler Samlet omfang: 2 lektioner Desuden mulighed for, at en gruppe elever vælger emnet som fordybelsesområde. Rammer: Emnet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk og aksiomatisk introduktion -

Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk og aksiomatisk introduktion - Til minde om min gode ven, kollega og forlægger Preben Frederiksen. Bogen må ikke ændres eller anvendes kommercielt. Venlig hilsen, Jørgen Ebert, marts 00 Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk og aksiomatisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere