Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard"

Transkript

1 Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Fra renæssancen udvikler den europæiske musik sig fra at være udpræget melodisk i sin karakter til at benytte harmoniske virkemidler. Flerstemmighed og treklange med tertser træder ind og afløser middelalderens kvinter og kvarter. Dette går hånd i hånd med indførelse af nye stemninger for keyboardinstrumenter. Middeltonestemning afløser pytagoræisk stemning, og herved tilgodeses en forskønnelse af durtreklange. Antallet af tonearter og akkorder er dog begrænset til det halve af det, vi råder over i dag. Senere i barokken går man over til klassiske, veltempererede stemninger, som tillader brug af alle tonearter. Indbyrdes er disse klassiske tempereringer ret beslægtede. Til gengæld adskiller de sig væsentligt fra den moderne, ligesvævende temperering. Anvendelsen af de klassiske tempereringer strækker sig helt frem til omkring år 1900, hvor den moderne, ligesvævende stemning bliver standard. En forståelse af de klassiske tempereringers fælles karaktertræk kan give ny forståelse af den klassiske musiks virkemidler og følelsesmæssige tilknytning til tonearter. Det er en misforståelse at tro, at man i forbindelse med tilblivelsen af J. S. Bachs Das Wohltemperierte Klavier (WTK) fra 1722 (bind 2 fra 1742) havde indført den moderne, ligesvævende stemning for keyboard. Det er også en udbredt opfattelse, at de stemninger, man anvendte dengang, var ufuldkomne forsøg på at nå frem til at mestre den moderne, ligesvævende stemning. Tværtimod fastholdt man helt op til slutningen af det nittende århundrede klassiske tempereringer ([1], Introduction), som gjorde alle tonearterne anvendelige, men forskellige. Man møder også den opfattelse, at Bach med WTK1+2 ville vise, at alle 24 tonearter var lige gode, men tværtimod udstiller værket tonearternes forskelligheder som musikalsk materiale. Kun få kender i dag lyden af de oprindelige tempereringer, men i digitalklaverets tidsalder kan vi igen blot ved at trykke på en knap komme til at lytte os ind i tonearterne, som de fremstod op gennem det 18. og det 19. århundrede. Fx fremstod tonearter med få fortegn særligt harmoniske, mens tonearter med mange fortegn var særligt melodiske. Hver toneart fik sin helt egen karakter, og komponisters valg af toneart var lige så bevidste som en billedkunstners valg mellem granit, marmor eller bronze. Hvis man ikke har hørt fx Bach, Mozart eller Beethoven fremført med de stemninger, de er skabt i, svarer det til kun at have set fotos af Michelangelos Maria. Eller tro, hun var støbt i hvid akryl i stedet for hugget ud af marmor. I den længere version [2] vises, hvordan Bach netop arbejder med tonearternes forskellighed og hvordan fx Mozart og Beethoven skifter mellem tonearter og bevidst fremkalder farvekontraster, der blegner i vores moderne, ligesvævende stemning ([3], side 73). Musiklivet er i vor tid mere historisk orienteret end nogensinde. Næppe tidligere har musikere specialiseret sig i at spille ældre musik i det omfang, vi kender i dag. Det er uomgængeligt, at man ved fremførelse, fortolkning og oplevelse af ældre musik må forholde sig til tidskløften mellem musikkens tilblivelse og nutiden. Den historiske kikkert kan forvrænge, forstærke, overse eller fremhæve på godt og ondt. Op gennem det tyvende århundrede er den klassiske musik blevet fortolket med tykke, senromantiske briller. Siden har Early Music bevægelsen tilbageerobret musikken med sin overbevisende slanke lyd, adrætte tempobehandling og artikulation. Her har ny fremførelsespraksis sammen med klassisk temperering tilmed givet farverne tilbage til den grånende, klassiske musik. Terminologi Jeg benytter navnet B for tonen H og Bb i stedet for B. Lysere tone betyder højere frekvens, mørkere tone betyder lavere frekvens. Med mindre andet nævnes, bruges ordet terts i betydningen durterts eller stor terts, altså fire halvtonetrin (i modsætning til molterts eller lille terts, som er tre halvtonetrin). Klassisk musik betegner den europæiske musik fra perioden (fra midt i barokken til senromantik og impressionisme). Keyboard anvendes som fællesbetegnelse for alle tasteinstrumenter som clavecin, clavichord, virginal, spinet, cembalo, hammerklaver, harmonium, orgel, klaver, flygel, og digitalklaver. (Ikke mindst som en hyldest til det moderne digitalklaver, der med få klik kan skifte mellem de 7-8 vigtigste historiske stemninger og dermed giver let adgang til at lytte og sammenligne). Frekvensforhold, stamtone For to toner er det alene frekvensforholdet x = f 2 /f 1 som er bestemmende for hvilket interval, vi oplever mellem tonerne. To andre toner med samme frekvensforhold opfattes altså som samme interval. At vores tonesansning fungerer sådan, er i sig selv en kilde til undren, se senere artikel i KVANT eller [2]. Samtidig er det forklaringen på, at man kan høre en melodi i først 1 Artiklen findes i en mere omfattende udgave på EMU [2]. Forfatteren har holdt en række foredrag om emnet, blandt andet på DTU, RUC og UNF med demonstrationer af klassiske stemninger på digitalklaver. Med en række eksempler fra Bach, Mozart og Beethoven diskuteres komponisternes pointer med valg af toneart. Anden del (II. Høresansens fysik og tonal musikalitet) kommer i et senere nummer af KVANT. 8 Den gode stemning I

2 én toneart og derefter i en anden toneart og alligevel opfatte det som samme melodi! Når en tones frekvens fordobles, sanser vi tonen som oktaven over. Den nye tone opleves så beslægtet med den første, at vi ligefrem giver den samme navn (det dybe C, det høje C etc.). Det er i sig selv et tankevækkende forhold, der tages op senere [2]. To frekvenser f 1 og f 2 kaldes ækvivalente (eller oktavækvivalente), dersom f 2 = 2 n f 1 for et passende helt tal n. Vi giver toner samme navn netop hvis deres frekvenser er ækvivalente i denne forstand, fx kalder vi alle toner med frekvenserne 55 Hz, 220 Hz, 440 Hz og 1760 Hz for A. Enhver af disse toner siges at være en repræsentant for stamtonen A, idet vi ved en stamtone forstår en klasse af ækvivalente toner. Den moderne stemning Vores tonesystem er i dag indrettet sådan, at en oktav er inddelt i 12 lige store trin, kaldet halvtonetrin. Man møder tit spørgsmålet om, hvorfor man har valgt at inddele en oktav i netop 12 trin. Man kunne jo vælge at inddele oktaven i q trin, så hvert trin får en frekvensfaktor 2 1/q. For at opnå en god tilnærmelse til 3/2 (en kvint) med p af sådanne trin, skal 2 p/q være tæt på 3/2. Med andre ord skal p/q være tæt på log(3/2)/ log(2). Nu er p/q = 7/12 et godt bud; den relative afvigelse er ca. 2, Man kan prøve med et større tal i nævneren for at se, om man kan komme tættere på med et passende valg af tæller. Det viser sig, at ingen brøker giver bedre tilnærmelse, før man kommer op på q = 41. (Se [2] for nærmere diskussion). Først når vi kommer til tallet 24/41, får vi en bedre tilnærmelse til log(3/2)/ log(2). Den relative afvigelse er nu nede på ca. 6, Det betyder, at man skal inddele oktaven i 41 trin, og derefter bruge 24 trin som kvinten for at få en bedre tilnærmelse end før. Nu er kædebrøksalgoritmen en særdeles effektiv metode til at beregne den optimale rationale talfølge af kædebrøkskonvergenter ([4] s. 20 eller [5], kapitlet Continued fractions ). Jeg anfører et par af talfølgens elementer (for nærmere forklaring, se [2]) 1 2, 3 5, 7 12, 24 41, 31 53, ,... log(3/2) log 2 (1) Heldigvis giver vores valg af 12 trin, at alle toneintervallerne ligger tæt på de klassisk rene intervaller, hvorimod anvendelse af 41 trin kan give os en lidt renere kvint i 24 trin, men til gengæld også et fuldstændig uoverskueligt klaviatur med en lang række meget fremmede intervaller. (En yderligere forbedring fås først, når man vælger at inddele oktaven i 53 trin. Næste skridt er 306 trin ikke nogen attraktiv vej at gå!) Oktaven over en tone har frekvensfaktoren 2. Hvis man lader g betegne frekvensfaktoren for ethvert halvtonetrin, får vi ligningen g 12 = 2, som har løsningen g = 2 1/12. Dette irrationale tal er ikke konstruerbart i euklidisk geometrisk forstand. Beslægtet hermed er det klassiske uløselige problem om terningens fordobling; tallet g 4 = 2 1/3 er netop frekvensfaktoren for en terts. Det har i musikhistorien givet spekulationer over, hvordan man for en lut eller en guitar i praksis skulle anvise en tilnærmet geometrisk konstruktion af gribebrættets inddeling i bånd ([6] s ). Det klassiske problem om umuligheden af at konstruere sidelængden for en terning med det dobbelte rumfang af en given terning er beskrevet i [7] og [8]. Toneafstand i cent Man har indført et logaritmisk afstandsmål for toner, sådan at et halvtoneinterval måler 100 cent i den moderne stemning. En moderne terts er 400 cent, en moderne kvint er 700 cent og en oktav er 1200 cent. Afstanden i cent mellem to toner med frekvenser f 1 og f 2 er givet ved formlen I (1, 2) = 1200cent log 2 (x) = 1200cent log x log 2 (2) hvor x = f 2 /f 1 er frekvensforholdet. Når det drejer sig om stamtoner, kan man regne modulo 1200 cent. Således svarer to kvinter til = cent, altså en heltone. Kvintskridt, pytagoræisk komma og syntonisk komma Den rene kvint over en udgangstone har en frekvensfaktor 3/2. Hvis vi holder os til blot at tale om stamtoner, kan vi lige så godt sige frekvensfaktor 3. Aritmetikkens fundamentalsætning fortæller, at ethvert rationalt tal på entydig måde kan opløses i primfaktorer. Derfor kan en potens af 3 ikke også være en potens af 2, og derfor vil vi aldrig kunne komme tilbage til samme stamtone efter en række rene kvintskridt. Med 12 rene kvintskridt kommer vi imidlertid tæt på, idet 3 12 er tæt på Hvis man starter med det dybeste A på klaveret som udgangstone, vil man efter 12 rene kvintskridt nå til en tone med frekvensfaktor (3/2) 12 = 129, 7; dette overskrider 7 rene oktaver 2 7 = 128 med faktoren (3/2) 12 /2 7 svarende til 23,5 cent, det såkaldte pytagoræiske komma. Den rene terts over en udgangstone har frekvensfaktoren 5/4, eller slet og ret 5, hvis vi blot taler om stamtoner. Nu giver fire rene kvintskridt en frekvensfaktor 3 4 = 81, hvorimod den rene terts har frekvensfaktoren = 80. Det betyder, at toneintervallet fra den rene terts til den pytagoræiske terts har frekvensforholdet 81/80. Dette interval kaldes det syntoniske komma. Det svarer til 21,5 cent og ligger tæt på det pytagoræiske komma. Den ekstremt lyse durterts i den pytagoræiske skala er hovedårsagen til, at den pytagoræiske skala ikke egner sig til flerstemmig musik, medmindre man holder sig fra tertser. Middeltonekvinten I renæssancen kommer det polyfone gennembrud med flerstemmighed og harmoniske virkemidler. Man får derfor smag for den rene terts 5/4, som er væsentligt lavere end den pytagoræiske terts 81/64 ([3] s ). Man indfører en ny stemning, hvor kvinten formindskes KVANT, december

3 sådan, at fire på hinanden følgende kvinter nu skal give en ren terts. Det fører til ligningen x 4 = 5, hvor løsningen x = 5 1/4 1, 495 er frekvensfaktoren for denne nye kvint. Indførelsen af denne irrationale frekvensfaktor er første skridt på vej ned fra antikkens guddommelige idealer (de rationale brøker) for med irrationale tal at tilgodese menneskets sanseverden. Se boks 1. Boks 1. Middeltonekvint 5 1/4 1, 495 : I (C, G) = 1200 cent log 2 (5 1/4 ) 697 cent Moderne kvint 2 7/12 1, 498 : I (C, G) = 1200 cent log 2 (2 7/12 ) = 700 cent Pytagoræisk, ren kvint 3/2: I (C, G) = 1200 cent log 2 (3/2) 702 cent Afvigelserne mellem kvinterne holder sig beskedent inden for 5 cent. Selv et musikalsk trænet øre affinder sig fint med den lave middeltonekvint i bytte for den rene terts i en durtreklang. Kvinterne afviger i sig selv ikke så meget, men til gengæld bliver der store afvigelser for tertserne, idet en terts jo er fire på hinanden følgende kvinter. Se boks 2. Fra Frederiksborg Slotskirke sælges CD er med musik spillet på Compeniusorglet fra 1610, som er stemt i middeltonestemning (oprindeligt et verdsligt kammerorgel til dansemusik). Boks 2. Middeltone ren terts 5/4 = 1, 25: I (C, E) = 1200 cent log 2 (5/4) 386 cent Moderne terts 2 4/12 = 3 2 1, 260 : I (C, E) = 1200 cent log 2 (2 4/12 ) = 400 cent Pytagoræisk terts 81/64 1, 266 : I (C, E) = 1200 cent log 2 (81/64) 408 cent Mellem tertserne ser man altså langt større afvigelser, nemlig 21,5 cent (det syntoniske komma). Bemærk, hvor lav den rene terts er i forhold til den moderne terts! Det er almindelig kendt, at musikere med baggrund i andre musiktraditioner tager afstand fra vores tonale system. Fx arbejder indiske musikere i langt højere grad med mikrotonalitet og rene intervaller. Tilvænning fra barnsben er nok den bedste vej til at acceptere den vestlige verdens moderne terts. Den kromatiske cirkel Vi kan få bedre overblik ved at placere tonerne i den kromatiske skala C, C#, D, Eb, E,... osv. på enhedscirklen, idet vi starter med C i (1,0) og går mod uret (figur 1 til højre). Vi lader en hel omgang svare til 1200 cent, og derfor svarer en halvtone på 100 cent til 30 grader. I den moderne stemning danner tonerne en regulær 12-kant. En tone med frekvensfaktor x (i forhold til C) vil altså afbildes i et punkt med retningsvinklen θ(x) = 360 log 2 (x) (figur 1 til højre). Bemærk, at 2x afbildes i samme retningspunkt som x idet θ(2x) = θ(x) To toner afbildes i samme punkt, netop hvis de repræsenterer den samme stamtone. Nu ser vi på, hvordan en uendelig bane af toner a n (n heltallig som før) placerer sig på cirklen. Vinklen mellem et punkt og det næste er 360 log 2 (a). Hvis der forekommer gentagelser, altså hvis a n og a m (m ligeledes et helt tal) afbildes i samme punkt, så må a n = a m 2 k for et passende helt tal k. Det giver os a = 2 k/(n m) og dermed ser vi, at log 2 (a) = k/(n m) er et rationalt tal. Hvis omvendt log 2 (a) = p/q er et rationalt tal, altså a = 2 p/q, vil banen netop bestå af q forskellige punkter, der danner en regulær q-kant på cirklen (idet vi antager brøken p/q uforkortelig). Anderledes er det, hvis log 2 (a) er irrational. I så fald vil alle banens punkter være forskellige. Disse uendelig mange punkter vil fordele sig tæt i den kromatiske cirkel, i den forstand at ethvert nok så lille buestykke vil indeholde uendelig mange af banens punkter. Et vigtigt irrationalt eksempel er sekvensen af pytagoræiske kvinter. Tallet log 2 (3/2) er irrationalt; hvis man nemlig antog log 2 (3/2) = p/q, ville man få 3/2 = 2 p/q, eller 3 q = 2 p+q i modstrid med aritmetikkens fundamentalsætning. Derfor ligger de pytagoræiske kvinter tæt, og vi kommer aldrig tilbage til samme stamtone. Et andet vigtigt eksempel er sekvensen af middeltonekvinter, som også vil ligge tæt, idet også log 2 (5 1/4 ) er et irrationalt tal (hvilket ses på tilsvarende måde). Symmetrier uden betydning Læseren opfordres til at fortsætte med at gennemtænke tilfældene a = 2 p/12 for forskellige værdier af p (eller se [2]). Der fremkommer en række symmetriobjekter herunder heltoneskalaen, den formindskede firklang og den forstørrede treklang samt tritonusklangen, en række klange, der vel at mærke ikke har nogen central rolle i den klassiske musik. Og det er netop min pointe: Det er højst usædvanligt, at iøjnefaldende matematiske strukturer ikke indtager nogen fremtrædende rolle. I den klassiske musik er det derimod de asymmetriske strukturer, som dur- og moltreklangene samt diatoniske skalaer 2, der har de centrale roller. Klaviaturet er endda selv asymmetrisk opdelt i hvide og sorte tangenter. Dette forhold antyder, at vores tonesystem og den klassiske musik er fremmede for hinanden. Vi vil da også se, at de fremmede symmetrier forsvinder, når vi vender blikket mod de klassiske stemninger. Anderledes er det naturligvis med senere musikstilarter, genrer som fx impressionisme (tænk fx på heltoneskalaer hos Debussy), tolvtonemusik og jazz, som er stærkt knyttet til den moderne stemning. Udviklingen af den moderne stemning finder sted samtidig med sådanne gennembrud samt den senromantiske frigørelse fra bundethed til enkelte tonearter ([1], Introduction). 2 En diatonisk skala i C-dur er alle de hvide tangenter fra C op til C en oktav højere. Den består af hel- og halvtonetrin: Den gode stemning I

4 Kvintcirklen Kvintcirklen fremkommer på tilsvarende måde ved at placere tonerne i kvintrækkefølgen C, G, D, A, E,... osv., idet vi nu lader en vinkel på 1/12 omgang repræsentere 700 cent (i stedet for 100 cent). En hel omgang svarer nu til 8400 cent. I den moderne stemning danner tonerne igen en regulær 12-kant. Rækkefølgen er blot anderledes. Figur 1. Til venstre: I den moderne stemning er alle kvinter på 700 Cent. Til højre: Alle halvtonespring i den moderne stemning er på 100 Cent. Syv-reglen. Tænk på en elastik, der er viklet én gang omkring et paprør. Der er afsat 12 mærker med samme afstand på elastikken, så de danner en regulær 12-kant. Nu strækkes elastikken, så den kan vikles 7 gange rundt om paprøret. De tolv mærker danner igen en regulær 12-kant; rækkefølgen er blot ændret. Hvis vi i stedet vikler elastikken 49 gange rundt om paprøret, vil mærkerne atter ligge i den oprindelige rækkefølge! Anvender vi dette på vore tonecirkler, kan vi formulere syvreglen: Transformationen gå syv skridt frem afbilder den kromatiske cirkel på kvintcirklen og omvendt: Hvis man går 7 skridt frem i den kromatiske cirkel, kommer man i alt en kvint op, fx (C, C#, D, Eb, E, F, F#, G). Det virker også den anden vej: Hvis man går 7 skridt frem i kvintcirklen, vil man ende en halv tone højere, fx (D, A, E, B, F#, C#, G#, Eb). Matematisk set vil den komplekse funktion f (z) = z 7 multiplicere argumentet for det komplekse tal z med 7. Vi kan lade vores moderne 12 toner svare til de 12 komplekse enhedsrødder i z 12 = 1. Anvender vi nu f to gange efter hinanden på sådan en enhedsrod, får vi f ( f (z)) = z 49 = (z 12 ) 4 z = z, dvs. enhedsrødderne er invariante under f 2. Det bunder i at 7 2 1(mod12). Fire-reglen. Hvis man går fire trin frem kommer man en terts op, og bemærk, at det er uanset om man bruger den kromatiske cirkel eller kvintcirklen. Det hænger sammen med, at for en enhedsrod til z 12 = 1, vil (z 7 ) 4 = z 4. Figur 2. Til venstre: I den pytagoræiske stemning vil de 11 rene kvinter på 702 cent kun levne plads til en ulvekvint på 678 cent. Til højre: I middeltonestemningen vil de 11 kvinter på 697 cent skulle suppleres med en ulvekvint på 738 cent. Den pytagoræiske stemning Den pytagoræiske skala er konstrueret ud fra kvinter, der har en frekvensfaktor på 3/2 gange en udgangstone. Der er 11 rene kvinter på 702 cent, se de røde felter fra Eb til G# på figur 2 (tv). Den resterende kvint på 678 cent er uacceptabelt lav og kaldes derfor ulvekvinten, se det gule felt på figur 2 (tv). I C-dur bliver alle heltoneintervallerne på 204 cent, idet man skal gå to kvinter frem på figur 2 (tv): = (mod 1200). Heltoneintervallerne CD, DE, FG, GA og AB er altså alle lidt større end vi bruger i dag. De to halvtoneintervaller EF og BC er til gengæld lidt mindre, end i dag, nemlig kun 90 cent. Udregningen fremgår af at trække de 5 heltonetrin fra 1200 cent og dele med 2. Trinstørrelserne i den skala, vi nu får, fremgår af figur 3. Den egner sig vældig godt til melodier, fordi det bliver ganske tydeligt, hvornår der er tale om heltonespring og halvtonespring. Den lille overdrivelse fremmer forståelsen, og melodier fremtræder flottere og mere profilerede. Det lille ledetoneinterval BC gør melodier meget lyse. Jeg vil derfor kalde en sådan skala melodisk. Til gengæld er den uharmonisk pga. den alt for store terts på 408 cent. Alle skalaer og intervalstørrelser i den pytagoræiske stemning findes i [2], appendiks. Der er kun 6 anvendelige tonearter. Figur 3. Den pytagoræiske Cdur skala. Bemærk den lyse terts. Figur 4. Cdur skalaen i middeltonestemningen. Bemærk den rene terts. Figur 5. Den diatoniske Cdur skala i den moderne stemning til sammenligning. Middeltonestemningen Denne har elleve lave kvinter samt én ulvekvint G#Eb som er uacceptabelt stor, se figur 2 (th). Det giver den samme begrænsning, nemlig at man kun kan anvende seks tonearter. I disse tonearter vil treklange klinge særdeles smukt pga. en ren terts. Jeg vil kalde sådanne tonearter harmoniske. Til gengæld vil heltoneintervallerne være noget lavere end vi er vant til (193 cent), se figur 4, mens halvtoneintervallerne er voldsomt store (117 cent). Når man fx går syv kvinter frem fra E til F, kommer man til at inddrage den store ulvekvint. Det giver melodier et slattent udtryk (som fremført af en upræcis sanger eller violinist) og tonearterne kan med rette kaldes umelodiske. Klassisk temperering Da det er principielt umuligt at få alle toneintervaller helt rene, ender vi med spørgsmålet om at fordele urenhed på én eller anden måde. I den moderne, ligesvævende stemning fordeles snavset jævnt ud over det hele i et tyndt lag. Der er absolut ingen forskel KVANT, december

5 på tonearterne; de lyder fuldstændig ens på nær selve tonelejet, ingen er specielt rene eller urene. Det svarer lidt til at have et hus, som ikke kan rengøres, men hvor snavset kan flyttes rundt. Man kan sige, at den såkaldt rene stemning, den pytagoræiske stemning og middeltonestemning er tre forskellige måder at flytte snavset, så der er rent nogle steder og uudholdeligt andre steder. I de klassiske tempereringer går man en fjerde vej, idet man gør en dyd ud af snavset: Det er en oplagt idé at kombinere de rene kvinter, som er for store, med middeltonekvinter, som er for små. En stemning er tempereret, når alle tonearter kan anvendes. På Bachs tid forsøgte man sig med at temperere på denne måde. Lad os beregne resultatet af 12 skridt med de forskellige kvinter: 12 moderne kvinter (2 7/12 ) 12 = 2 7 = 128, hvilket er præcis 7 rene oktaver 129,7, hvilket over- 12 rene kvinter (3/2) 12 skrider 7 oktaver 12 middeltonekvinter (5 1/4 ) 12 = 5 3 = 125, hvilket er utilstrækkeligt til 7 oktaver. Lad os i stedet prøve at kombinere 4 middeltonekvinter med 1 moderne kvint og derpå 7 rene kvinter: Det giver overraskende nok (5 1/4 ) 4 (3/2) 7 2 7/12 127, , 000, hvilket inden for al ønskelig nøjagtighed netop er 7 rene oktaver! Den stemning, som benytter sig af disse kvintskridt, kaldes Kirnberger III tempereringen efter Johann Kirnberger (elev af J. S. Bach), se figur 6. Dette er blot én af en lang række meget nært beslægtede forslag til at opnå en temperering ved kombination af store og små kvinter. Beslægtede tempereringer bærer navne som Andreas Werckmeister, Thomas Young, Francesco Vallotti, Niedhardt m. fl. Princippet med at kombinere rene kvinter med lave kvinter har holdt sig helt frem til perioden , hvor den moderne, ligesvævende temperering slog igennem og blev standard ([1], Introduction). Dette går hånd i hånd med musikkens udvikling væk fra at være toneartsfikseret. I senromantikken bliver musikken mere og mere modulerende grænsende til det nærmest feberagtigt fabulerende. I modsætning til de klassiske tempereringer kan den moderne stemning byde på ensartede heltoneskalaer som egner sig til impressionistisk musik, ligesom tolvtonemusikken fremstår bedst med tolv fuldstændig ligeberettigede toner. Figur 6. En klassisk temperering er sammensat af nogle rene kvinter og nogle lave kvinter, som tilsammen udfylder kvintcirklen og gør alle tonearter brugbare. Konflikten mellem harmoni og melodi Det er væsentligt at hæfte sig ved denne fundamentale konflikt mellem harmoni og melodi, en konflikt hvor man altid må vælge side. Antag fx, at man i C-dur skal synge B (læs H!) efterfulgt af C og at B samtidig optræder som terts i dominantakkorden, hvor G er grundtone. Hvis B skal harmonere med G, skal det synges mørkt for at få en ren terts GB. Hvis B derimod skal fungere melodisk som ledetone til grundtonen C, så skal B synges lyst. Her må man vælge i konflikten mellem at tænke vandret og lodret. Lad os se, hvad det gør for musikkens tonemateriale at anvende en klassisk temperering som fx. Kirnberger III (se figur 7). Vi får nogle tonearter, som er udpræget harmoniske C- dur, G-dur og F-dur, altså dem med højst ét fortegn. Vi får andre tonearter, som er udpræget melodiske E- dur, B-dur, F#-dur og C#-dur, altså dem med mere end fire fortegn. Vi får nogle mellemtonearter som D-dur, Bb-dur, A-dur og Eb-dur, altså dem med 2-3 fortegn. Eksempelvis er D-dur karakteriseret ved, at 1. trin i skalaen er meget lille, mens 2. trin er meget stort, hvilket tydeligt udstilles i Bachs præludium i D-dur fra WTK1. Figur 7. Excel regneark med alle 12 durskalaer i en klassisk stemning med 7 rene kvinter og 5 mindre kvinter (fx Kirnberger III). En søjle viser den diatoniske durskala startende nedefra med grundtonen. Tallene viser springene i heltone- og halvtoneintervaller. De grønne er de udpræget harmoniske, de røde er de udpræget melodiske. Tallet under hver søjle viser tertsens størrelse. Husk, at der går 7 kvinter til et halvtonetrin Beregning af klassisk temperering og musikeksempler Beregninger af toneafstand i en klassisk temperering foregår i et regneark, hvor der er valgt størrelser af de 12 kvinter, som til sammen skal give 8400 cent. De diatoniske durskalaer beregnes ved at lægge to 12 Den gode stemning I

6 kvinter sammen for heltonespring og syv kvinter for halvtonespring. I Excel kan man med fordel benytte funktionen =REST(tal;divisor) til at beregne disse summer modulo Det giver en oversigt som vist i figur 7. Bemærk at mellemtonearterne D, A, Eb og Bb minder meget om de moderne. Men fx har Eb og Bb meget store afstande mellem de to øverste toner (ledetoneintervallet). For D-dur er afstanden fra første til anden tone mindre end fra anden til tredje tone - modsat den rene stemning, hvor det er lige omvendt. I Bachs D-dur præludium WTK1 bliver lytteren hele tiden konfronteret med denne forskel; DEF# kommer igen og igen. Den klassiske musik får de oprindelige farver tilbage, hvis den fremføres med klassisk temperering frem for den moderne. En lang række eksempler i [2] viser, at valget af toneart ikke er tilfældigt, men en del af den støbeform hvori musikken fremstår. Eksemplerne viser hvordan komponister behændigt udnytter tonearternes stærke sider og tager hensyn til deres svage sider. Litteratur Litteraturen er ofte modstridende. Ældre udgaver af The Grove Concise Dictionary of Music fremstiller klassiske tempereringer som fejlslagne forsøg på at tilnærme den moderne, ligesvævende temperering. Et væld af bøger har ar fra denne opfattelse, herunder Den store danske encyklopædi. Til et gymnasiebibliotek/ studiecenter kan jeg anbefale at anskaffe [3], [4], [9], [10], [11]. [11] Gareth Loy: Musimathics - The mathematical Foundations of Music, Vol. 1+2, MIT Press [12] Cd er: Der er et væld af indspilninger med klassisk temperering. Jeg kan anbefale Cd er med Lars Ulrik Mortensen, cembalist og dirigent for det danske ensemble Concerto Copenhagen. Bachs Das Wohltemperierte Klavier I+II med Zuzana Ruzickova er indspillet på cembalo stemt i Niedhardt temperering fra [13] Glimrende side af Kyle Gann, kgann/histune.html [14] Godt diasshow, scott.thile/research/unequal/index.htm [15] Om bl.a. Owen Jorgensens TUNING, Gode søgeord på nettet: Historical tuning, mean tone intonation, just intonation, equal temperament, Kirnberger III, Werckmeister, Francesco Vallotti, Thomas Young, Niedhardt temperament. Jens Ulrik Lefman er lektor i matematik og fysik på Birkerød Gymnasium og ekstern lærer i fysik på DTU. Litteratur [1] Owen Jorgensen: Tuning. Containing the perfection of eighteenth-century temperament, the lost art of nineteenth-century temperament, and the science of e- qual temperament, complete with instructions for aural and electronic tuning. East Lansing: Michigan State University Press, [2] Jens Ulrik Lefmann: Den gode stemning, høresansens fysik og tonal musikalitet, inspiration/forloeb/boelger/dengodestemning.html [3] Ross W. Duffin: How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care), W. W. Norton & Company [4] Asmus Schmidt: Kædebrøker, Gyldendal [5] Hardy & Wright: The Theory of Numbers, Oxford [6] J. Murray Barbour: Tuning and Temperament a historical survey, Dover Publication, Inc [7] Jesper Lützen: Cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens fordobling, Systime [8] Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra, paradigmatiske/not/n314.doc [9] David J. Benson: Music - A Mathematical Offering, Cambridge University Press [10] Hans Buhl: Sfærernes Harmoni, Steno Museets Venner KVANT, december

Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet

Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet EMU/ Den gode stemning / Jens Ulrik Lefmann/Side af 38 Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Vores forståelse af

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion Chromatic staff Af Peter Hass Introduktion Der har været musik, længe inden der var nodesystemer. Inden man indførte nodelinier, forsøgte man at notere musik ved hjælp af neumer som blot var upræcise angivelser

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Hvad er musik. 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse

Hvad er musik. 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse Hvad er musik 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse Hvad er musik egentlig? (Hvad mener du?) Musik? Det skal bare lyde godt Hvad er musik? Følelser Rytme Klang Melodi Stilart - Genre Harmoni Overtoner

Læs mere

1. Forstærkning af melodien

1. Forstærkning af melodien http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,

Læs mere

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk Guitar og noder Melodispil og nodelære 1. position John Rasmussen Guitarzonen.dk Guitar og noder er udgivet som e-bog 2011 på guitarzonen.dk Forord Denne bog gennemgår systematisk tonernes beliggenhed

Læs mere

Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002

Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002 Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002 Når skalaen ligger fast har man materialet til melodisk og harmonisk stof i skalaens toneart Vi spiller Lille Peter Edderkop i C dur og kan derfor betjene

Læs mere

Gradsprøver. -program. European Piano Teachers Association

Gradsprøver. -program. European Piano Teachers Association Gradsprøver -program European Piano Teachers Association EPTA Danmark Carit Etlarsvej 4, 2840 Holte Tel: 45 42 29 63 Mobil: 28 39 01 07 Fax: 38 33 52 58 e-mail: info@epta.dk www.epta.dk BG Bank: 1551-0016796603

Læs mere

Tenorens højeste højeste tone: tone: eller eller Altens dybeste tone:

Tenorens højeste højeste tone: tone: eller eller Altens dybeste tone: Poprock-arrangement s. (TH 12) Poprock-arrangement s. 1 (TH 11) GENERELT GENERELLE PRINCIPPER FOR KORSATS Besætning: Besætning: Lav Lav koret koret 3-stemmigt 3-stemmigt for for sopran, sopran, alt alt

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Musik. Trin og slutmål for musik

Musik. Trin og slutmål for musik Musik Musikundervisningens opgave er at bidrage til elevernes alsidige udvikling. Frem for alt skal skolen igennem det musikalske arbejde hjælpe barnet til en harmonisk udvikling af vilje, tanke og følelsesliv.

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Akkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden.

Akkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden. Akkord Oversigt Oversigt Næste C -dur Cm C7 C6 Cm7 C ø Cm7b5 C9 Cm7b9 C11 C13 Cdim C+ Akkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden. Du kan

Læs mere

Optagelsesprøve til Musikvidenskab

Optagelsesprøve til Musikvidenskab Optagelsesprøve til Musikvidenskab NB: Ansøgningsfrist 15. marts (For ansøgere til bachelortilvalg er fristen 15. april) Afdeling for Musikvidenskab Institut for Æstetik og Kommunikation Aarhus Universitet

Læs mere

Akkordsamling. til guitar. René B. Christensen

Akkordsamling. til guitar. René B. Christensen Akkordsamling til guitar René B. Christensen Akkordsamling til guitar c René B. Christensen, 0 Du er velkommen til at dele dette dokument - helt eller delvist - med andre, sålænge du henviser til det originale

Læs mere

Den gode stemning II. Ørets fysik og tonal musikalitet

Den gode stemning II. Ørets fysik og tonal musikalitet Den gode stemning II. Ørets fysik og tonal musikalitet Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU I fortsættelse af Den gode stemning I fra KVANT, december 2009, gennemgås træk af ørets fysik og

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Vi har følgende grundtyper af flydestemmer:

I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Vi har følgende grundtyper af flydestemmer: Rockvokal Gert Uttenthal Jensen Frederiksborg Gymnasium & HF 2005 Flydestemme og akkorder 1. 3-stemmig flydestemme for lige stemmer I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Det

Læs mere

Keyboard og DIM. 1. lektion side 1

Keyboard og DIM. 1. lektion side 1 1. lektion side 1 I musiklokalet bruger vi de almindelige "musik" ord: noder, toner, melodi, frase, tema, interval, akkord, rundgang, intro = indledning = forspil, A og B-stk, vers og omkvæd, bro, C-stk,

Læs mere

Dim-akkorder og sange på swingrundgang.

Dim-akkorder og sange på swingrundgang. Dim-akkorder og sange på swingrundgang. Indledning om dim-akkorder....3 Vores tonerække kort fortalt...3 Dim-akkordens bestanddele...4 Hvorfor en dim-akkord kan gå for 4...5 Et par ekstra kommentarer...6

Læs mere

Musik, matematik og forholdsregler

Musik, matematik og forholdsregler MATEMATIK Baggrund lærer Hvis du skærer rør (tæppe-/nedløbs- eller et andet rør) i tre forskellige længder, f.eks. 1 meter, 66,6 cm og 1/2 m, vil du få tre forskellige toner: en grundtone (1m) oktaven

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Italesættelse. Baggrund lærer. Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller

Italesættelse. Baggrund lærer. Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller Baggrund lærer MUSIK Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller Toner er musikkens byggesten. Toner er frekvenser og de måles i hertz. Intervaller er afstanden mellem to toner.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

UNDERVISNINGSPLAN FOR MUSIK 2015

UNDERVISNINGSPLAN FOR MUSIK 2015 UNDERVISNINGSPLAN FOR MUSIK 2015 Undervisningen i faget Musik bygger på Forenklede Fælles Mål. Signalement og formål med musik Som overordnet mål i faget musik, er intentionen at eleverne skal inspireres

Læs mere

hvilket svarer til dette c, hvis man havde noteret i en tenor-nøgle

hvilket svarer til dette c, hvis man havde noteret i en tenor-nøgle Treklangsmedstemmer s. 1 (TH 14) GENERELT Besætning: Lav koret 3-stemmigt for sopran, alt og tenor i tæt beliggenhed angiv besætningen ud for stemmerne. Korarrangementet er tænkt ud fra at der også tilføjes

Læs mere

Harmonilære. Kompendium. efter. Leif Thybo. 6. udgave

Harmonilære. Kompendium. efter. Leif Thybo. 6. udgave Kompendium efter Leif Thybo 6. udgave 1998 2 Harmonilære Indhold Intervallæren............................................................... 3 Komplementære intervaller.................................................

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Hvis jeg var en dreng: Sammenspilsmateriale for 3-5 klasse

Hvis jeg var en dreng: Sammenspilsmateriale for 3-5 klasse Om dette materiale Velkommen til Hvis jeg var en dreng: Sammenspilsmateriale for 3-5 klasse som udover dette hæfte og CD, består af et manuskript med tilhørende ekstra materiale. Materialet er lavet med

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Koral. I 1700-tallet smeltede den enstemmige og flerstemmige menighedssang sammen til det vi i dag stadig forbinder med en koral:

Koral. I 1700-tallet smeltede den enstemmige og flerstemmige menighedssang sammen til det vi i dag stadig forbinder med en koral: Koral Koral (ty. Choral, fra middelalderlatin choralis, som tilhører koret) betegner dels den gregorianske sang, dels melodien til en lutheransk kirkesang, som de fleste forbinder ordet med. 1700-tallet

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Læreplan for faget solosang på Odsherred Musikskole KROP OG INSTRUMENT. Kropsforståelse

Læreplan for faget solosang på Odsherred Musikskole KROP OG INSTRUMENT. Kropsforståelse Læreplan for faget solosang på Odsherred Musikskole Elevens navn: KROP OG INSTRUMENT Kropsforståelse At trække vejret dybt og styre mavemusklerne Trække vejret helt dybt og styre udåndingen Trække vejret

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Rytmer. Skalaer i dur og mol

Rytmer. Skalaer i dur og mol Rytmer Treklange og D7 akkorder Nodelæsning Intervaller Skalaer i dur og mol Taktering 1 Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele af den er ikke tilladt ifølge gældende dansk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Systematisk oversigt. 1. del. Det lineære grundlag

Systematisk oversigt. 1. del. Det lineære grundlag Systematisk oversigt 1. del. Det lineære grundlag Tonematerialet... 6 1. Tonesystemet... 6 1.1 Stamtonerne... 6 1.2 Orientering af dybe og høje toner... 6 1.3 Stamtonebetegnelser i de forskellige oktaver...

Læs mere

Hvorfor kan vi ikke bare bruge rene kvinter og stortertser?

Hvorfor kan vi ikke bare bruge rene kvinter og stortertser? Hvorfor an vi ie bare bruge rene vinter og stortertser? Problemet med alle de stemninger der tager udgangspunt i rene tertser eller rene vinter de vil løbe ind i problemer omring en-harmonise toner - dvs

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

En f- dag om matematik i toner og instrumenter

En f- dag om matematik i toner og instrumenter En f- dag om matematik i toner og instrumenter Læringsmål med relation til naturfagene og matematik Eleverne har viden om absolut- og relativ vækst, og kan bruge denne viden til at undersøge og producerer

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Jørgen Erichsen En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Ifølge overleveringen, som dog nok mere er en legende end en historisk kendsgerning, var det Pytagoras, som opdagede,

Læs mere

Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel.

Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel. Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel. Meningen med dette foredrag er at tage dig med på en

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Evaluering af den skriftlige prøve i musik ved studentereksamen maj 2008

Evaluering af den skriftlige prøve i musik ved studentereksamen maj 2008 Evaluering af den skriftlige prøve i musik ved studentereksamen maj 2008 Oktober 2008 / Fagkonsulent Claus Levinsen Evalueringen indeholder et kort afsnit om censorernes kommentarer til årets opgavesæt

Læs mere

Din brugermanual BEHRINGER BT108 BASSPACK http://da.yourpdfguides.com/dref/2299760

Din brugermanual BEHRINGER BT108 BASSPACK http://da.yourpdfguides.com/dref/2299760 Du kan læse anbefalingerne i brugervejledningen, den tekniske guide eller i installationsguiden. Du finder svarene til alle dine spørgsmål i BEHRINGER BT108 BASSPACK i brugermanualen (information, specifikationer,

Læs mere

Kasper Nefer Olsen. 24 Préludes. For: Klaver. trofe MMXV

Kasper Nefer Olsen. 24 Préludes. For: Klaver. trofe MMXV Kasper Nefer Olsen Préludes For: Klaver trofe MMXV Préludes Kasper Nefer Olsen Forlagsredaktion: Michael Erbs.strofe.dk erbsmusik@mail.dk trofe 011 B trofe MMXV Introduktion til Préludes (000/006) Ordet

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Mål og fagplan for musik og sang

Mål og fagplan for musik og sang Mål og fagplan for musik og sang Kompetencemål efter 9. klasse: Kunne udtrykke sig musikalsk i fælleskab med andre Kunne deltage opmærksomt i sang og sammenspil. Kunne udtrykke sig skabende i musikalske

Læs mere

Lær at spille efter becifring

Lær at spille efter becifring 1 Lær at spille efter becifring Becifringsklaver med - brudte akkorder - Jan Kuby 2 Lærerorientering Anvendelse Overalt hvor unge og voksne undervises i becifringsklaver. Fra den frivillige musikundervisning

Læs mere

SÅDAN KAN MAN OGSÅ SPILLE AUTUMN LEAVES...

SÅDAN KAN MAN OGSÅ SPILLE AUTUMN LEAVES... 28 omlyd December 2009 SÅDAN KAN MAN OGSÅ SPILLE AUTUMN LEAVES... AUTUMN LEAVES ER BLEVET SPILLET I UENDELIGT MANGE UDGAVER. I DENNE ARTIKEL ANALYSERES KEITH JARRETTS UDGAVE, SOM DEN BLEV SPILLET UNDER

Læs mere

MUSIKKENS GRUNDBEGREBER

MUSIKKENS GRUNDBEGREBER MUSIKKENS GRUNDBEGREBER Arbejdshæfte til hørelære og almen musikteori af INGE BJARKE LÆRERHÆFTE Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele af den er ikke tilladt ifølge gældende

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Faglig læsning i matematik

Faglig læsning i matematik Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

MGK-undervisningsplan for faget violin

MGK-undervisningsplan for faget violin MGK-undervisningsplan for faget violin Målet med undervisningen: Det overordnede mål med undervisningen på MGK er, at den studerende opnår et niveau svarende til optagelsesprøven på et dansk musikkonservatorium.

Læs mere

Harmonisering Side 1. Sammenhæng mellem toner og akkorder. Akkordtoner, gennemgangstoner/vippetoner og forudhold

Harmonisering Side 1. Sammenhæng mellem toner og akkorder. Akkordtoner, gennemgangstoner/vippetoner og forudhold Side 1 At harmonisere en melodi vil sige at tilføje akkorder. Vi skal her se nærmere på harmonisering i en klassisk funktionsharmonisk vise-stil. Der er mange detaljer der adskiller harmonisering i forskellige

Læs mere

Mads Pagsberg composer & conductor

Mads Pagsberg composer & conductor M Mads Pagsberg composer & conductor copyright Mads J. Pagsberg If you wish to copy this score please contact Mads J. Pagsberg, Svinget 5 st. tv. 2300 Cph. S, Denmark Phone: + 45 28448807 / + 45 32571175

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

OPGAVETYPE 3. Skriftlig musikteori. Ole Barnholdt 2006

OPGAVETYPE 3. Skriftlig musikteori. Ole Barnholdt 2006 OPGAVETYPE 3 Skriftlig musikteori Færdigheder Denne progression er tænkt som en slags studieplan for den enkelte elev i disciplinen. Man kan således lade de målrettede elever arbejde-der-ud-ad. Samtidigt

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

BASPAKKENS INDHOLD Førsteklases el-bas Polstret taske Førsteklasses tilslutningskabel (ca. 3 m) Justerbar guitarrem 3 plektre Begynderbog til el-bas 2 INDHOLDSFORTEGNELSE EL-BASSENS DELE... 4 INTRODUKTION...

Læs mere

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden Kapitel 1 Musik, matematik og astronomi i oldtiden Pythagoras store opdagelse Erkendelsen af en sammenhæng mellem musik og matematik går langt tilbage i tiden. Ifølge en legende blev forbindelsen opdaget

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Kort indføringi funktionsharmonisk sats

Kort indføringi funktionsharmonisk sats 1 Kort indføringi funktionsharmonisk sats vend Hvidtfelt Nielsen 1999-2006 Akkordrepertoiret fra barok til romantik er sådan set det samme. Man kan sige, at klassikkens komponister skar ned i antallet

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting:

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Tidlig matematik, Workshop 10. februar 2016 Aktiviteter Hvad er matematik? Gæt hvor mange og hvad Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Hvad er i beholderen?

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Et kompositions og arrangements oplæg

Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Et kompositions og arrangements oplæg Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Ole Skou feb.2011 side 1 Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Et kompositions og arrangements oplæg Oplægget er en demonstration af en metode til

Læs mere

Nodelæsning. Guitarister

Nodelæsning. Guitarister Nodelæsning for Guitarister Jesper og Morten Nordal Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele af den er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. 2012 MUFO ISMN-nr:

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Funktionsharmonik. Opgave 2.3: Analyser akkordforbindelserne: Opgave 2.2: Udfyld skemaerne i G- dur og D- dur

Funktionsharmonik. Opgave 2.3: Analyser akkordforbindelserne: Opgave 2.2: Udfyld skemaerne i G- dur og D- dur Funktionsharmonik I durtonearterne har vi: rin 1 2 3 4 5 6 7 Funktion Sp Dp S D p - Harmo- C Dm Em F G Am Hdim nier i C- dur Opgave 2.3: Analyser akkordforbindelserne: 1) "Let it be": G D Em C G D C G

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

ØRERNE I MASKINEN INSPIRATIONSMATERIALE 6-8 ÅRIGE. Zangenbergs Teater. Af Louise Holm

ØRERNE I MASKINEN INSPIRATIONSMATERIALE 6-8 ÅRIGE. Zangenbergs Teater. Af Louise Holm ØRERNE I MASKINEN INSPIRATIONSMATERIALE 6-8 ÅRIGE Zangenbergs Teater Af Louise Holm ØRERNE I MASKINEN Inspirationsmateriale for 6-8 årige Inspirationsmaterialet indeholder forskellige aktiviteter og øvelser,

Læs mere

Analyse af klassisk musik

Analyse af klassisk musik Analyse af klassisk musik af Jakob Jensen Indhold Genre og instrumenter...1 Melodi, tema...1 Satsopbygning...2 Form...3 Klang...4 Tonalitet og harmonik...4 Perspektivering...4 Analyse af klassisk musik

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse  Skoleåret Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere