Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR"

Transkript

1 1 Jørgen Erichsen Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR Kuno Fladt kalder i sin bog om plane kurver den logaritmiske spiral for die interessanteste aller Spiralen und vielleicht die interessanteste aller ebenen Kurven. Forhåbentlig vil du også blive fascineret af denne kurve, når du åbner programmet LOGSPIR og selv begynder at manipulere med kurven. Vejledningen til programmet finder du i slutningen afdenne artikel (se side 10-11). Navnet den logaritmiske spiral går tilbage til den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli ( ), det ældste medlem af den berømte schweiziske matematiker-slægt; men kurven som sådan er første gang beskrevet af Descartes i en korrespondance med Mersenne (1638). Her hæftede Descartes sig ved, at vinklen mellem radius og tangent er den samme overalt på spiralen (en egenskab jeg nedenfor vil omtale lidt nærmere), og derfor foreslog han navnet den ækviangulære spiral. D Arcy W. Thompson har i sin nedenfor omtalte bog On Growth and Form forsøgt at genoplive dette navn men man må konstatere, at det er Bernouillis forslag, der har sejret. Jacob Bernoulli var dybt fascineret af denne spiral, som han også kaldte spira mirabilis, den forunderlige spiral (spira betyder i øvrigt på latin snoning). Noget af det første, man bemærker, er, at den ikke har nogen begyndelse og heller ikke nogen ende i den ene retning skruer den sig længere og længere ind mod 0 uden dog nogensinde at nå dette symbol på intetheden; i den anden retning vokser den mod, symbolet på uendeligheden. En anden bemærkelsesværdig egenskab er, at den overalt er sig selv lig; zoomer vi ind på en af de mikroskopiske detaljer, eller nedfotograferer vi en spiral, der er så stor, at den rækker fra Jorden til Månen, vil vi ikke se nogen forskel dog forudsat at vi taler om spiraler med samme grundtal. Man kan nogle steder læse, at det var i den sidstnævnte egenskab Jacob Bernoulli så den symbolik, der fik ham til at beslutte, at der på hans gravsten skulle indhugges en logaritmisk spiral, tillige med indskriften Eadem numero mutata resurgo eller i en fri oversættelse: Forvandlet genopstår jeg som den samme (egl. ved de samme tal). Det var imidlertid en anden egenskab, Bernoulli her hentydede til: Den logaritmiske spiral er både sin egen katakaustik (dvs. brændlinje ved refleksion) og sin egen diakaustik (dvs. brændlinje ved refraktion) en opdagelse Bernoulli gjorde i Desværre forstod stenhuggeren sig ikke på matematik, så i Basels domkirke kan man den dag i dag se Jacob Bernoullis gravsten udsmykket med ikke en logaritmisk, men en arkimedisk spiral! I sin dybt fascinerende bog On Growth and Form (1.ed. 1917, seneste genudgivelse 1992) påviser D Archy W. Thompson, at den logaritmiske spiral fungerer som en art matrice for visse former for biologisk vækst, og ved målinger har han fundet frem til hvilke grundtal, der svarer til de forskellige former (normalt er det ikke-heltallige grundtal). Sneglehuse og konkylier er almindeligt kendte eksempler herpå, men spiralen dukker i mere eller mindre skjult form op mange andre steder i såvel plante- som dyreriget. Billedet til venstre herfor er en ammonit, dvs. skallen fra en uddød blæksprutteart, der levede i jura- og kridttiden (det viste eksemplar ejes af forfatteren).

2 2 Det polære koordinatsystem Den logaritmiske spirals særlige egenskaber træder først tydeligt frem, når vi afbilder den i det polære koordinatsystem. Selv om du allerede er fortroligt med det polære koordinatsystem, vil jeg alligevel anbefale, at du læser dette afsnit, hvor jeg ser tingene i et lidt andet perspektiv, end du måske er vant til. For at forstå princippet i det polære koordinatsystem kan man begynde med at tænke på et ur. Et ur er i princippet en målestok, der er delt i to forskellige tidsenheder, nemlig halve døgn og timer (reelt er enheden dog et helt døgn, og logisk set burde urskiven derfor ikke være inddelt i 12, men i 24 timer). Det specielle ved uret er, at målestokken er formet som en cirkel, således at længden af den større enhed, altså halve døgn, er lig med cirklens omkreds. På den måde er det kun forløbet af mindre enheder, altså timerne, der umiddelbart giver sig udslag på målestokken; de primære enheder må vi holde regnskab med ved løbende at opsummere, hvor mange gange timeviseren har gennemført en hel omdrejning. Men hvis vi i stedet indretter urskiven som en spiral, og hvis vi konstruerer viseren, så den til stadighed peger på det aktuelle punkt på spiralen, så vil vi også være i stand til at aflæse hvor mange halve døgn, der er forløbet, siden vi begyndte at måle tiden. Fig.1 viser et sådant ur, der fungerer gennem 8 kredsløb. Hvis vi siger, at disse går fra mandag kl. 0 (midnat) til fredag kl. 0, kan vi hurtigt tælle os frem til, at viseren på uret fortæller, at klokken er 7 onsdag aften. Dette er et eksempel på princippet i det polære koordinatsystem. Hvor i det retvinklede koordinatsystem begge koordinater udtrykkes som afstanden fra det fælles nulpunkt Figur 1 (0,0), udtrykkes i det polære koordinatsystem den ene koordinat som et vinkelmål, mens den anden koordinat fortsat udtrykkes som afstanden fra nulpunktet. Nulpunktet kaldes her polen, og et punkts afstandskoordinat er identisk med radien fra polen til punktet (strengt taget hedder det i denne forbindelse ikke en radius men en radiusvektor). Vinkelkoordinaten måles fra en given radius, kaldet polaraksen ikke nødvendigvis i grader (hvor et helt kredsløb svarer til 360 ), for det er som regel mere hensigtsmæssigt at regne i radianmål (hvor et helt kredsløb er lig med 2π) eller i cykliske mål (hvor enheden defineres som helt kredsløb). På figuren er polaraksen den radius, der peger mod tallet 12. Læg mærke til at tidspunkterne klokken 7 mandag morgen, klokken 7 mandag aften, klokken 7 tirsdag morgen osv. alle er defineret ved samme vinkelmål ± et nærmere bestemt antal hele kredsløb. Lad os til sammenligning udtrykke vinkelmålet i alle tre enheder først i grader, så i radianer og så i cykler (og der kan næppe være tvivl om, hvilken af de tre måleenheder, der giver det simpleste regnearbejde): 1. 7 / ± n 360 (= 210 ± n 360 ) 2. 7 / 12 2π ± n 2π (= 7 / 6 π ± n 2π) 3. 7 / 12 ± n Specielt er det tidspunkt, viseren peger på i figuren, altså klokken er 7 onsdag aften defineret ved vinkelmålet = / 12 2π + 5 2π = 67 / 6 π 3. 7 / = 67 / 12

3 3 Den her beregnede vinkel, hvor det aktuelle punkt passeres mere end én gang, kaldes rotationsvinklen, mens den vinkel, der angiver hvornår punktet første gang passeres, kaldes retningsvinklen. Det er vigtigt at huske disse betegnelser, for vi får brug for dem i det følgende. Regner vi med cykliske mål, har vi: rotationsvinklen = retningsvinklen + antallet af hele kredsløb Matematikeren orienterer imidlertid det polære koordinatsystem på en anden måde end vist i fig.1. For det første måles vinklen ud fra den linje, der i fig.1 peger mod 3; for det andet måles vinklen modsat urviserens bevægelse, altså venstre om. Sådan er de følgende figurer også orienterede. Den arkimediske spiral En spiral, hvor afstanden fra vinding til vinding er konstant, kaldes en arkimedisk spiral den blev nemlig første gang beskrevet af Arkimedes. Det er den spiral, der er vist i figur 1. Vi kender den også som rillen på en grammofonplade eller som en papirrulle. En af fordelene ved at benytte det polære koordinatsystem er, at formlen på cykliske kurver bliver stærkt forenklet i forhold til hvordan den tilsvarende formel ser ud i det retvinklede koordinatsystem. Symboliserer vi afstandskoordinaten ved bogstavet r og vinkelkoordinaten ved bogstavet v, er den arkimediske spiral beskrevet ved denne simple ligning: r = v eller omvendt v = r hvad der udtrykt i ord blot betyder, at afstanden vokser proportionalt med vinklen (og omvendt). Det betyder også, at afstanden mellem spiralens vindinger, også kaldet stigningen, overalt er den samme (normalt plejer man i formlen at tilføje en konstant, der angive hvor stor stigningen er, udtrykt i forhold til de anvendte enheder). Et andet eksempel på den forenkling brugen af det polære koordinatsystem medfører er i øvrigt cirklen. Dens ligning bliver her: r = a, hvor a nu ikke er en variabel, men en konstant, og hvor vinklen altså overhovedet ikke spiller nogen rolle; i ord står her blot, at afstanden fra polen altså det vi normalt vil kalde centrum til et punkt på cirklen overalt er den samme. Den logaritmiske spiral Men der er andre typer af spiraler, hvor afstanden mellem vindingerne er voksende eller aftagende, og her skal det som sagt handle om den logaritmiske spiral, hvor forholdet mellem afstandskoordinaten og vinklen er udtrykt i følgende to ligninger, afhængig af om omregningen mellem de to variable finder sted i den ene eller anden retning: r = a v eller omvendt v = log a r Udtrykt i ord står her, at afstandskoordinaten vokser eksponentielt med vinkelkoordinaten eller omvendt at vinkelkoordinaten vokser logaritmisk med afstandskoordinaten, idet grundtallet eller basis i begge tilfælde er a. Jo større grundtallet er, desto mere åbner spiralen sig for hver vinding eller kredsløb. Når grundtallet er 2, som i den første af spiralerne i figur 2, fordobles afstanden for hvert kredsløb, er grundtallet 3, tredobles afstanden og så fremdeles. Figur 2 viser også spiralerne med grundtallet 5 og 10. I alle fire eksempler begynder spiralen ved r = 1 og slutter ved r = 100. Disse tegninger er genereret i programmet LOGSPIR. Den sorte cirkel i midten af figuren (som i denne stærkt formindskede gengivelse mere ligner en prik) markerer, hvor spiralen begynder, den blå cirkel markere, hvor den ender.

4 4 a = 2 a = 3 a = 5 a = 10 Figur 2 Lad os nu se nærmere på det sidste eksempel, hvor grundtallet er 10. Det illustrerer nemlig forholdet mellem det talsystem, vi normalt bruger, altså 10-tal systemet, og de tilhørende logaritmer. Og hvis du aldrig helt har forstået, hvad logaritmer egentlig drejer sig om, så bliver det her forklaret på en måde, så alle kan være med. Men først må jeg lige indskyde, at talrækken i sig selv ikke udgør et talsystem. Et talsystem er der først tale om, når talrækken forbindes med et periodisk princip. Et sådant princip blev allerede ubevidst indført, da vore fjerne forfædre lagde de 10 fingre til grund for tællen og regnen. Men det var først langt senere man indså, at der var tale om et ordningsprincip, og det var først et stykke op i det 17. århundrede man opdagede, at selve ordningsprincippet kan bruges til at lette udregningerne med nemlig i form af det, vi kender som logaritmeregning. I den næste figur ser vi igen den logaritmiske spiral, der er baseret på grundtallet 10. Denne gang følger vi spiralen fra r = 1 til r = 20. Husk at begyndelsespunktet svarer til klokken 3 på uret, og at vi måler venstre om. Figur 3

5 5 Også denne figur er genereret i programmet LOGSPIR. Hvert tals placering på spiralen er markeret med en rød plet. På spiralen er afstanden mellem to nabotal overalt den samme, men som det ses, bliver vinklen imellem dem gradvis bliver mindre og mindre. Vinkelafstanden fra begyndelsespunktetet er på den ydre blå cirkel udtrykt som en decimalbrøk, hvor tallet 1 svarer til et helt kredsløb. For at udtrykke vinklerne i gradmål skal vi altså blot gange disse decimalbrøker med 360; eksempelvis finder vi gradmålet for tallet 3 som 0, = 171,76. Gradmålet interesserer os imidlertid ikke så meget her. Pointen er nemlig, at de omtalte decimalbrøker (de blå tal) simpelthen er logaritmerne til tallene inde på spiralen (de røde tal)! På figuren kan vi umiddelbart aflæse, at logaritmen til 3 er 0,4771, logaritmen til 4 er 0,6021, logaritmen til 5 er 0,6990 og så fremdeles. Du kan eventuelt kontrollere det på din lommeregner eller i en gammeldags logaritmetabel, hvis du ejer sådan én. Vi så tidligere, at rotationsvinklen = retningsvinklen + antallet af hele kredsløb Det kan vi nu oversætte til logaritmesprog. Her kaldes tallet foran kommaet for karakteristikken (af græsk charakteristikos, der betyder det som er kendetegnende ) og decimaldelen kaldes for mantissen (af græsk mantissa, der betyder tilføjelse ). Mantissen svarer til retningsvinklen, mens karakteristikken angiver antallet af hele kredsløb. I logaritmesprog bliver ovenstående sætning altså til: logaritmen = mantissen + karakteristikken. I eksemplet figur 3 ser vi, at logaritmen til 20 er 1,3010. Vi ser også, at tallet 2 ligger på samme radius, hvilket er ensbetydende med, at 2 har samme mantisse som 20. Men tallet 2 ligger endnu inden for det første kredsløb, og karakteristikken er derfor 0. Logaritmen til 2 er altså 0,3010. Fortsætter vi videre ud ad spiralen, vil vi se, at også 200, 2000, osv. ligger på samme radius, altså har samme mantisse. Men idet vi for hvert af disse tal bevæger os ind i et nyt kredsløb, vokser karakteristikken løbende med 1. Lad os for overblikkets skyld sætte det op i en tabel: logaritmen til 2 er 0,3010 logaritmen til 20 er 1,3010 logaritmen til 200 er 2,3010 logaritmen til 2000 er 3,3010 logaritmen til er 4,3010 En tilsvarende tabel kan vi opstille for ethvert andet tal, og det gælder vel at mærke ikke kun de hele tal. Fra skolen husker vi, at regning med logaritmer bl.a. består i, at man i stedet for at multiplicere to tal adderer deres logaritmer, mens man omvendt subtraherer deres logaritmer i stedet for at dividere dem. Det kan også anskueliggøres på figur 3. Lad os som eksempel se på regnestykket 4 5 = 20. De to tals logaritmer kan vi aflæse på figuren, og vi skal nu blot lægge dem samme: 0, ,6990 = 1,3011. Den resulterende logaritme finder vi netop ud for tallet 20; det svarer til at man i en logaritmetabel finder den såkaldte antilogaritme (afvigelsen på sidste decimal skyldes naturligvis, at vi her kun regner med tilnærmede værdier). På samme måde ser vi, at divisionen 12 / 4 = 3 svarer til subtraktionen 1,0792 0,6021 = 0,4771. Vi husker også, at en potensopløftning bliver til en multiplikation, og som eksempel ser vi, at

6 6 0, = 0,9542, svarende til at 3 2 = 9. Desuden bliver en roduddragning til en division, og her ser vi som eksempel, at 1,2041 / 2 = 0,6021, hvilket svarer til at 16 = 4. * * * Lad os nu se, hvad der sker, når vi bevæger os indad i spiralen, dvs. fra 1 og ned mod 0. Dermed bevæger vi os ind mod spiralens centrum, men ligesom der ikke findes et største tal, findes der heller ikke et mindste tal, dvs. vi vil aldrig nå ind til centrum, lige meget hvor mange spiralkredsløb, vi bevæger os igennem. Den næste figur viser spiralen mellem 1 og 1/10, dvs. de reciprokke tal til tallene fra 1 til 10. Figur 4 Her har jeg med vilje indstillet programmet, så det tilsyneladende genererer de forkerte logaritmer. For det kan jo ikke passe, at logaritmen til ½ er det samme som logaritmen til 5 (sml. fig.3). Men på den næste figur, fig.5 der omfatter spiralen fra ½ til 5, kan vi se, at de to tal ligger på samme radius, og dermed har de også samme mantisse (husk at mantissen er defineret som logaritmen til det af de pågældende tal, der ligger inden for det første positive kredsløb, altså mellem 1 og 10, også kaldtet hovedintervallet). Det er altså mantisserne, der er genereret i fig.4, og vi skal så blot bruge reglen om at lægge 1 til for hvert kredsløb, vi bevæger os udad gennem spiralen, og trække 1 fra. for hvert kredsløb, vi bevæger os indad gennem spiralen. Men når vi i indadgående retning passerer begyndelsepunktet, sker der et fortegnsskifte. Det fremgår af den følgende tabel, hvor vi kan følge udviklingen i begge retninger:

7 7 logaritmen til 5000 er 0, = 3, 6990 logaritmen til 500 er 0, = 2, 6990 logaritmen til 50 er 0, = 1, 6990 logaritmen til 5 er 0,6990 logaritmen til 0,5 er 0, = 0,3010 logaritmen til 0,05 er 0, = 1,3010 logaritmen til 0,005 er 0, = 2,3010 Deraf følger, at logaritmen til et tal, der er mindre end 1, er negativ. Derimod giver det ingen mening at tale om logaritmen til et negativt tal; det fremgår også af figuren, hvor grænsen indadtil jo er bestemt ved tallet 0. Figur 5 Når man skal anskueliggøre den logaritmiske spirals generelle egenskaber, er det ikke særlig hensigtsmæssigt at vælge spiralen med grundtallet 10, fordi den allerede efter 3 kredsløb vokser så meget, at det første kredsløb ikke længere kan skelnes klart. For at give et bedre overblik over tallenes placering gengiver jeg derfor nedenfor nogle udsnit af den logaritmiske spiral med grundtallet 2. De er lavet i et almindeligt tegneprogram unægtelig et ret tidskrævende arbejde i sammenligning med de computergenererede figurer, som tegnes på en brøkdel af et sekund! På den første tegning er tallene indsat for samtlige skæringspunkter mellem spiralen og radierne gennem tallene fra 1 til 16. I forlængelse af radierne er mantisserne anført. Dermed får vi ikke blot de hele tal placeret, men også en række brøker, nemlig de brøker, hvis nævner er en potens af 2. Den centrale del af figuren er desuden vist i forstørrelse for at få alle detaljer med.

8 8 Figur 6 På den næste tegning handler det om skæringspunkterne på den del af spiralen, der ligger mellem 1 og 1/16. Også her er den centrale del forstørret. Bemærk at radierne i fig.7 er spejlvendte i forhold til radierne i fig.6. Figur 7 At grundtallet er 2 betyder, at vi nu har at gøre med 2-talsystemet. Det er det simpleste af alle talsystemr, fordi ethvert tal her kan udtrykkes med blot to forskellige symboler, 0 og 1 Det er som bekendt også 2-talsystemet, der ligger til grund for computerteknologien. I og med at tallenes beliggenhed på spiralen nu er defineret ved nogle helt andre vinkelafstande, er også tallenes logaritmer forskellige fra de logaritmer, vi før regnede med. Men selve regnereglerne gælder stadig.

9 9 Prøv f.eks. at udføre regnestykket 3 5 = 15 ved at addere logaritmerne for 3 og 5, sådan som de kan aflæses i figur 6. Her ser vi, at mantisserne er hhv. 0,5850 og 0,3219. Men dertil skal lægges karakteristikken, som vi finder ved at tælle hvor mange gange vi passerer polaraksen (den linje, hvor vi har tallene 1, 2, 4, 8, 16 osv), før vi kommer til det pågældende tal. Dermed kommer regnestykket til at se sådan ud: 1, ,3219 = 3,9069 Derefter opsøger vi den radius, ud for hvilken der står 0,9069, og endelig følger vi spiralen, indtil vi har passeret polaraksen 3 gange hvorved vi kommer til tallet 15. Den logaritmiske spiral med grundtallet 2 er i øvrigt identisk med tonespiralen, som jeg har beskrevet i en artikel og et program, der senere vil blive lagt ud på nettet. Her fortolkes et kredsløb som en oktav, idet denne jo netop akustisk er defineret ved at frekvenstallet fordobles. Tallene fortolkes nu som frekvenstal, og en virtuel tonegenerator, der indgår i programkoden, gør det muligt at realisere frekvenstallene som lyd. Se vejledningen på de to følgende sider

10 10 Vejledning i brug af computerprogrammet LOGSPIR Figur 8 Når du åbner programmet og har klikket på knappen Tegn figuren, ser du ovenstående billede på skærmen. Spiralen genkender du i billedfeltet til højre, og til venstre indtaster du de forskellige værdier samt vælgerm hvordan figuren skal vises. Men før du overhovedet begynder at indtaste data, vil jeg foreslå, at du kører en lille film, som demonstrere hvordan spiralen ændrer form i takt med at grundtallet hæves eller sænkes. Filmen styres med de tre knapper Start Pause Stop, du finder i rammen Variabelt grundtal (animation). Fremgangsmåden er beskrevet i den tekst, der er indsat i rammen. Mens filmen kører, kan du følge grundtallets ændring i billedfeltet nederst til venstre. Læg mærke til, at grundtallet udmærket kan være en brøk (her altid vist som en decimalbrøk). Læg også mærke til, at når grundtallet nærmer sig 1, begynder figuren at opføre sig kaotisk. Her sker nemlig det, at afstanden mellem spiralens arme bliver meget små, og når grænsetilfældet nås, hvor afstanden er 0, har vi reelt at gøre med en cirkel. Dette grænsetilfælde vil imidlertid bevirke at programmet går ned, og derfor er der i programkoden indsat en betingelse, der forhindrer at grundtallet kan blive 1. Læg specielt mærke til at spiralen med grundtallet 1/n er et spejlbillede af spiralen med grundtallet n. Her følger nogle eksempler, hvor jeg dog af letforståelige grunde har undladt at medtage tallene: (det gøres ved at fjerne afmærkningen i checkboksen Vis data ).

11 ,25 1,1 0,1 0,3333 0,5 0,8 0,9 Figur 9 Programmets øvrige funktioner kræver kun en kort forklaring. Det hele foregår fra rammen med overskriften Tegnefunktion. Her indtaster du 1. grundtallet (hvis det er en decimalbrøk, skal du bruge punktum i stedet for komma!) 2. det tal, hvor spiralen skal begynde 3. det tal, hvor spiralen skal slutte De to sidstnævnte kan i princippet både være hele tal og brøker, men for at gøre brugerfladen så enkel som mulig, har jeg valgt, at man under alle omstændigheder indtaster tallet som en brøk, idet man så sætter nævneren lig med 1, når der reelt er tale om et helt tal. I eksemplet figur 8 er grundtallet 2, spiralen begynder ved 1 og slutter ved 16. Hvis du eksempelvis ønsker at tegne den del af spiralen, der er vist i det forstørrede udsnit i figur 7, skal startværdien være 1 / 16 og slutværdien skal være 1 / 4. Uanset hvilken del af spiralen du vælger, og uanset hvilket grundtal du vælger, får figuren altid den samme størrelse. Man kan således sige, at man zoomer ind eller ud på spiralen, alt efter hvor mange kredsløb man vælger at medtage, og alt efter om man befinder sig i den lave eller den høje del af talrækken. Du kan fravælge at få tegnet radierne, og du kan tilvælge at få tegnet afstandscirklerne (eller du kan vælge både radier og afstandscirkler). Hvordan det fungerer finder du bedst ud af ved at afprøve det. Desuden kan du fravælge at få vist tallene. Her har jeg tilføjet en boks, hvor du specielt kan fjerne tallene nær centrum. Det er fordi disse begynder at flyde sammen, når der er medtaget mange kredsløb. Hvordan det fungerer kan du også bedst finde ud af ved at afprøve det. Med knappen Kopier figur overfører du billedet til computerens udklipsholder, hvorfra du så kan sætte det ind i et WORD-dokument, et tegneprogram eller lignende. Ligesom i mine andre programmer er alle indtastningsbokse blokeret for indtastning af ikke-gyldige tegn (f.eks. bogstaver), som ellers ville bevirke at programmet ville gå ned.

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kom godt i gang. Mellemtrin

Kom godt i gang. Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere