Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR"

Transkript

1 1 Jørgen Erichsen Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR Kuno Fladt kalder i sin bog om plane kurver den logaritmiske spiral for die interessanteste aller Spiralen und vielleicht die interessanteste aller ebenen Kurven. Forhåbentlig vil du også blive fascineret af denne kurve, når du åbner programmet LOGSPIR og selv begynder at manipulere med kurven. Vejledningen til programmet finder du i slutningen afdenne artikel (se side 10-11). Navnet den logaritmiske spiral går tilbage til den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli ( ), det ældste medlem af den berømte schweiziske matematiker-slægt; men kurven som sådan er første gang beskrevet af Descartes i en korrespondance med Mersenne (1638). Her hæftede Descartes sig ved, at vinklen mellem radius og tangent er den samme overalt på spiralen (en egenskab jeg nedenfor vil omtale lidt nærmere), og derfor foreslog han navnet den ækviangulære spiral. D Arcy W. Thompson har i sin nedenfor omtalte bog On Growth and Form forsøgt at genoplive dette navn men man må konstatere, at det er Bernouillis forslag, der har sejret. Jacob Bernoulli var dybt fascineret af denne spiral, som han også kaldte spira mirabilis, den forunderlige spiral (spira betyder i øvrigt på latin snoning). Noget af det første, man bemærker, er, at den ikke har nogen begyndelse og heller ikke nogen ende i den ene retning skruer den sig længere og længere ind mod 0 uden dog nogensinde at nå dette symbol på intetheden; i den anden retning vokser den mod, symbolet på uendeligheden. En anden bemærkelsesværdig egenskab er, at den overalt er sig selv lig; zoomer vi ind på en af de mikroskopiske detaljer, eller nedfotograferer vi en spiral, der er så stor, at den rækker fra Jorden til Månen, vil vi ikke se nogen forskel dog forudsat at vi taler om spiraler med samme grundtal. Man kan nogle steder læse, at det var i den sidstnævnte egenskab Jacob Bernoulli så den symbolik, der fik ham til at beslutte, at der på hans gravsten skulle indhugges en logaritmisk spiral, tillige med indskriften Eadem numero mutata resurgo eller i en fri oversættelse: Forvandlet genopstår jeg som den samme (egl. ved de samme tal). Det var imidlertid en anden egenskab, Bernoulli her hentydede til: Den logaritmiske spiral er både sin egen katakaustik (dvs. brændlinje ved refleksion) og sin egen diakaustik (dvs. brændlinje ved refraktion) en opdagelse Bernoulli gjorde i Desværre forstod stenhuggeren sig ikke på matematik, så i Basels domkirke kan man den dag i dag se Jacob Bernoullis gravsten udsmykket med ikke en logaritmisk, men en arkimedisk spiral! I sin dybt fascinerende bog On Growth and Form (1.ed. 1917, seneste genudgivelse 1992) påviser D Archy W. Thompson, at den logaritmiske spiral fungerer som en art matrice for visse former for biologisk vækst, og ved målinger har han fundet frem til hvilke grundtal, der svarer til de forskellige former (normalt er det ikke-heltallige grundtal). Sneglehuse og konkylier er almindeligt kendte eksempler herpå, men spiralen dukker i mere eller mindre skjult form op mange andre steder i såvel plante- som dyreriget. Billedet til venstre herfor er en ammonit, dvs. skallen fra en uddød blæksprutteart, der levede i jura- og kridttiden (det viste eksemplar ejes af forfatteren).

2 2 Det polære koordinatsystem Den logaritmiske spirals særlige egenskaber træder først tydeligt frem, når vi afbilder den i det polære koordinatsystem. Selv om du allerede er fortroligt med det polære koordinatsystem, vil jeg alligevel anbefale, at du læser dette afsnit, hvor jeg ser tingene i et lidt andet perspektiv, end du måske er vant til. For at forstå princippet i det polære koordinatsystem kan man begynde med at tænke på et ur. Et ur er i princippet en målestok, der er delt i to forskellige tidsenheder, nemlig halve døgn og timer (reelt er enheden dog et helt døgn, og logisk set burde urskiven derfor ikke være inddelt i 12, men i 24 timer). Det specielle ved uret er, at målestokken er formet som en cirkel, således at længden af den større enhed, altså halve døgn, er lig med cirklens omkreds. På den måde er det kun forløbet af mindre enheder, altså timerne, der umiddelbart giver sig udslag på målestokken; de primære enheder må vi holde regnskab med ved løbende at opsummere, hvor mange gange timeviseren har gennemført en hel omdrejning. Men hvis vi i stedet indretter urskiven som en spiral, og hvis vi konstruerer viseren, så den til stadighed peger på det aktuelle punkt på spiralen, så vil vi også være i stand til at aflæse hvor mange halve døgn, der er forløbet, siden vi begyndte at måle tiden. Fig.1 viser et sådant ur, der fungerer gennem 8 kredsløb. Hvis vi siger, at disse går fra mandag kl. 0 (midnat) til fredag kl. 0, kan vi hurtigt tælle os frem til, at viseren på uret fortæller, at klokken er 7 onsdag aften. Dette er et eksempel på princippet i det polære koordinatsystem. Hvor i det retvinklede koordinatsystem begge koordinater udtrykkes som afstanden fra det fælles nulpunkt Figur 1 (0,0), udtrykkes i det polære koordinatsystem den ene koordinat som et vinkelmål, mens den anden koordinat fortsat udtrykkes som afstanden fra nulpunktet. Nulpunktet kaldes her polen, og et punkts afstandskoordinat er identisk med radien fra polen til punktet (strengt taget hedder det i denne forbindelse ikke en radius men en radiusvektor). Vinkelkoordinaten måles fra en given radius, kaldet polaraksen ikke nødvendigvis i grader (hvor et helt kredsløb svarer til 360 ), for det er som regel mere hensigtsmæssigt at regne i radianmål (hvor et helt kredsløb er lig med 2π) eller i cykliske mål (hvor enheden defineres som helt kredsløb). På figuren er polaraksen den radius, der peger mod tallet 12. Læg mærke til at tidspunkterne klokken 7 mandag morgen, klokken 7 mandag aften, klokken 7 tirsdag morgen osv. alle er defineret ved samme vinkelmål ± et nærmere bestemt antal hele kredsløb. Lad os til sammenligning udtrykke vinkelmålet i alle tre enheder først i grader, så i radianer og så i cykler (og der kan næppe være tvivl om, hvilken af de tre måleenheder, der giver det simpleste regnearbejde): 1. 7 / ± n 360 (= 210 ± n 360 ) 2. 7 / 12 2π ± n 2π (= 7 / 6 π ± n 2π) 3. 7 / 12 ± n Specielt er det tidspunkt, viseren peger på i figuren, altså klokken er 7 onsdag aften defineret ved vinkelmålet = / 12 2π + 5 2π = 67 / 6 π 3. 7 / = 67 / 12

3 3 Den her beregnede vinkel, hvor det aktuelle punkt passeres mere end én gang, kaldes rotationsvinklen, mens den vinkel, der angiver hvornår punktet første gang passeres, kaldes retningsvinklen. Det er vigtigt at huske disse betegnelser, for vi får brug for dem i det følgende. Regner vi med cykliske mål, har vi: rotationsvinklen = retningsvinklen + antallet af hele kredsløb Matematikeren orienterer imidlertid det polære koordinatsystem på en anden måde end vist i fig.1. For det første måles vinklen ud fra den linje, der i fig.1 peger mod 3; for det andet måles vinklen modsat urviserens bevægelse, altså venstre om. Sådan er de følgende figurer også orienterede. Den arkimediske spiral En spiral, hvor afstanden fra vinding til vinding er konstant, kaldes en arkimedisk spiral den blev nemlig første gang beskrevet af Arkimedes. Det er den spiral, der er vist i figur 1. Vi kender den også som rillen på en grammofonplade eller som en papirrulle. En af fordelene ved at benytte det polære koordinatsystem er, at formlen på cykliske kurver bliver stærkt forenklet i forhold til hvordan den tilsvarende formel ser ud i det retvinklede koordinatsystem. Symboliserer vi afstandskoordinaten ved bogstavet r og vinkelkoordinaten ved bogstavet v, er den arkimediske spiral beskrevet ved denne simple ligning: r = v eller omvendt v = r hvad der udtrykt i ord blot betyder, at afstanden vokser proportionalt med vinklen (og omvendt). Det betyder også, at afstanden mellem spiralens vindinger, også kaldet stigningen, overalt er den samme (normalt plejer man i formlen at tilføje en konstant, der angive hvor stor stigningen er, udtrykt i forhold til de anvendte enheder). Et andet eksempel på den forenkling brugen af det polære koordinatsystem medfører er i øvrigt cirklen. Dens ligning bliver her: r = a, hvor a nu ikke er en variabel, men en konstant, og hvor vinklen altså overhovedet ikke spiller nogen rolle; i ord står her blot, at afstanden fra polen altså det vi normalt vil kalde centrum til et punkt på cirklen overalt er den samme. Den logaritmiske spiral Men der er andre typer af spiraler, hvor afstanden mellem vindingerne er voksende eller aftagende, og her skal det som sagt handle om den logaritmiske spiral, hvor forholdet mellem afstandskoordinaten og vinklen er udtrykt i følgende to ligninger, afhængig af om omregningen mellem de to variable finder sted i den ene eller anden retning: r = a v eller omvendt v = log a r Udtrykt i ord står her, at afstandskoordinaten vokser eksponentielt med vinkelkoordinaten eller omvendt at vinkelkoordinaten vokser logaritmisk med afstandskoordinaten, idet grundtallet eller basis i begge tilfælde er a. Jo større grundtallet er, desto mere åbner spiralen sig for hver vinding eller kredsløb. Når grundtallet er 2, som i den første af spiralerne i figur 2, fordobles afstanden for hvert kredsløb, er grundtallet 3, tredobles afstanden og så fremdeles. Figur 2 viser også spiralerne med grundtallet 5 og 10. I alle fire eksempler begynder spiralen ved r = 1 og slutter ved r = 100. Disse tegninger er genereret i programmet LOGSPIR. Den sorte cirkel i midten af figuren (som i denne stærkt formindskede gengivelse mere ligner en prik) markerer, hvor spiralen begynder, den blå cirkel markere, hvor den ender.

4 4 a = 2 a = 3 a = 5 a = 10 Figur 2 Lad os nu se nærmere på det sidste eksempel, hvor grundtallet er 10. Det illustrerer nemlig forholdet mellem det talsystem, vi normalt bruger, altså 10-tal systemet, og de tilhørende logaritmer. Og hvis du aldrig helt har forstået, hvad logaritmer egentlig drejer sig om, så bliver det her forklaret på en måde, så alle kan være med. Men først må jeg lige indskyde, at talrækken i sig selv ikke udgør et talsystem. Et talsystem er der først tale om, når talrækken forbindes med et periodisk princip. Et sådant princip blev allerede ubevidst indført, da vore fjerne forfædre lagde de 10 fingre til grund for tællen og regnen. Men det var først langt senere man indså, at der var tale om et ordningsprincip, og det var først et stykke op i det 17. århundrede man opdagede, at selve ordningsprincippet kan bruges til at lette udregningerne med nemlig i form af det, vi kender som logaritmeregning. I den næste figur ser vi igen den logaritmiske spiral, der er baseret på grundtallet 10. Denne gang følger vi spiralen fra r = 1 til r = 20. Husk at begyndelsespunktet svarer til klokken 3 på uret, og at vi måler venstre om. Figur 3

5 5 Også denne figur er genereret i programmet LOGSPIR. Hvert tals placering på spiralen er markeret med en rød plet. På spiralen er afstanden mellem to nabotal overalt den samme, men som det ses, bliver vinklen imellem dem gradvis bliver mindre og mindre. Vinkelafstanden fra begyndelsespunktetet er på den ydre blå cirkel udtrykt som en decimalbrøk, hvor tallet 1 svarer til et helt kredsløb. For at udtrykke vinklerne i gradmål skal vi altså blot gange disse decimalbrøker med 360; eksempelvis finder vi gradmålet for tallet 3 som 0, = 171,76. Gradmålet interesserer os imidlertid ikke så meget her. Pointen er nemlig, at de omtalte decimalbrøker (de blå tal) simpelthen er logaritmerne til tallene inde på spiralen (de røde tal)! På figuren kan vi umiddelbart aflæse, at logaritmen til 3 er 0,4771, logaritmen til 4 er 0,6021, logaritmen til 5 er 0,6990 og så fremdeles. Du kan eventuelt kontrollere det på din lommeregner eller i en gammeldags logaritmetabel, hvis du ejer sådan én. Vi så tidligere, at rotationsvinklen = retningsvinklen + antallet af hele kredsløb Det kan vi nu oversætte til logaritmesprog. Her kaldes tallet foran kommaet for karakteristikken (af græsk charakteristikos, der betyder det som er kendetegnende ) og decimaldelen kaldes for mantissen (af græsk mantissa, der betyder tilføjelse ). Mantissen svarer til retningsvinklen, mens karakteristikken angiver antallet af hele kredsløb. I logaritmesprog bliver ovenstående sætning altså til: logaritmen = mantissen + karakteristikken. I eksemplet figur 3 ser vi, at logaritmen til 20 er 1,3010. Vi ser også, at tallet 2 ligger på samme radius, hvilket er ensbetydende med, at 2 har samme mantisse som 20. Men tallet 2 ligger endnu inden for det første kredsløb, og karakteristikken er derfor 0. Logaritmen til 2 er altså 0,3010. Fortsætter vi videre ud ad spiralen, vil vi se, at også 200, 2000, osv. ligger på samme radius, altså har samme mantisse. Men idet vi for hvert af disse tal bevæger os ind i et nyt kredsløb, vokser karakteristikken løbende med 1. Lad os for overblikkets skyld sætte det op i en tabel: logaritmen til 2 er 0,3010 logaritmen til 20 er 1,3010 logaritmen til 200 er 2,3010 logaritmen til 2000 er 3,3010 logaritmen til er 4,3010 En tilsvarende tabel kan vi opstille for ethvert andet tal, og det gælder vel at mærke ikke kun de hele tal. Fra skolen husker vi, at regning med logaritmer bl.a. består i, at man i stedet for at multiplicere to tal adderer deres logaritmer, mens man omvendt subtraherer deres logaritmer i stedet for at dividere dem. Det kan også anskueliggøres på figur 3. Lad os som eksempel se på regnestykket 4 5 = 20. De to tals logaritmer kan vi aflæse på figuren, og vi skal nu blot lægge dem samme: 0, ,6990 = 1,3011. Den resulterende logaritme finder vi netop ud for tallet 20; det svarer til at man i en logaritmetabel finder den såkaldte antilogaritme (afvigelsen på sidste decimal skyldes naturligvis, at vi her kun regner med tilnærmede værdier). På samme måde ser vi, at divisionen 12 / 4 = 3 svarer til subtraktionen 1,0792 0,6021 = 0,4771. Vi husker også, at en potensopløftning bliver til en multiplikation, og som eksempel ser vi, at

6 6 0, = 0,9542, svarende til at 3 2 = 9. Desuden bliver en roduddragning til en division, og her ser vi som eksempel, at 1,2041 / 2 = 0,6021, hvilket svarer til at 16 = 4. * * * Lad os nu se, hvad der sker, når vi bevæger os indad i spiralen, dvs. fra 1 og ned mod 0. Dermed bevæger vi os ind mod spiralens centrum, men ligesom der ikke findes et største tal, findes der heller ikke et mindste tal, dvs. vi vil aldrig nå ind til centrum, lige meget hvor mange spiralkredsløb, vi bevæger os igennem. Den næste figur viser spiralen mellem 1 og 1/10, dvs. de reciprokke tal til tallene fra 1 til 10. Figur 4 Her har jeg med vilje indstillet programmet, så det tilsyneladende genererer de forkerte logaritmer. For det kan jo ikke passe, at logaritmen til ½ er det samme som logaritmen til 5 (sml. fig.3). Men på den næste figur, fig.5 der omfatter spiralen fra ½ til 5, kan vi se, at de to tal ligger på samme radius, og dermed har de også samme mantisse (husk at mantissen er defineret som logaritmen til det af de pågældende tal, der ligger inden for det første positive kredsløb, altså mellem 1 og 10, også kaldtet hovedintervallet). Det er altså mantisserne, der er genereret i fig.4, og vi skal så blot bruge reglen om at lægge 1 til for hvert kredsløb, vi bevæger os udad gennem spiralen, og trække 1 fra. for hvert kredsløb, vi bevæger os indad gennem spiralen. Men når vi i indadgående retning passerer begyndelsepunktet, sker der et fortegnsskifte. Det fremgår af den følgende tabel, hvor vi kan følge udviklingen i begge retninger:

7 7 logaritmen til 5000 er 0, = 3, 6990 logaritmen til 500 er 0, = 2, 6990 logaritmen til 50 er 0, = 1, 6990 logaritmen til 5 er 0,6990 logaritmen til 0,5 er 0, = 0,3010 logaritmen til 0,05 er 0, = 1,3010 logaritmen til 0,005 er 0, = 2,3010 Deraf følger, at logaritmen til et tal, der er mindre end 1, er negativ. Derimod giver det ingen mening at tale om logaritmen til et negativt tal; det fremgår også af figuren, hvor grænsen indadtil jo er bestemt ved tallet 0. Figur 5 Når man skal anskueliggøre den logaritmiske spirals generelle egenskaber, er det ikke særlig hensigtsmæssigt at vælge spiralen med grundtallet 10, fordi den allerede efter 3 kredsløb vokser så meget, at det første kredsløb ikke længere kan skelnes klart. For at give et bedre overblik over tallenes placering gengiver jeg derfor nedenfor nogle udsnit af den logaritmiske spiral med grundtallet 2. De er lavet i et almindeligt tegneprogram unægtelig et ret tidskrævende arbejde i sammenligning med de computergenererede figurer, som tegnes på en brøkdel af et sekund! På den første tegning er tallene indsat for samtlige skæringspunkter mellem spiralen og radierne gennem tallene fra 1 til 16. I forlængelse af radierne er mantisserne anført. Dermed får vi ikke blot de hele tal placeret, men også en række brøker, nemlig de brøker, hvis nævner er en potens af 2. Den centrale del af figuren er desuden vist i forstørrelse for at få alle detaljer med.

8 8 Figur 6 På den næste tegning handler det om skæringspunkterne på den del af spiralen, der ligger mellem 1 og 1/16. Også her er den centrale del forstørret. Bemærk at radierne i fig.7 er spejlvendte i forhold til radierne i fig.6. Figur 7 At grundtallet er 2 betyder, at vi nu har at gøre med 2-talsystemet. Det er det simpleste af alle talsystemr, fordi ethvert tal her kan udtrykkes med blot to forskellige symboler, 0 og 1 Det er som bekendt også 2-talsystemet, der ligger til grund for computerteknologien. I og med at tallenes beliggenhed på spiralen nu er defineret ved nogle helt andre vinkelafstande, er også tallenes logaritmer forskellige fra de logaritmer, vi før regnede med. Men selve regnereglerne gælder stadig.

9 9 Prøv f.eks. at udføre regnestykket 3 5 = 15 ved at addere logaritmerne for 3 og 5, sådan som de kan aflæses i figur 6. Her ser vi, at mantisserne er hhv. 0,5850 og 0,3219. Men dertil skal lægges karakteristikken, som vi finder ved at tælle hvor mange gange vi passerer polaraksen (den linje, hvor vi har tallene 1, 2, 4, 8, 16 osv), før vi kommer til det pågældende tal. Dermed kommer regnestykket til at se sådan ud: 1, ,3219 = 3,9069 Derefter opsøger vi den radius, ud for hvilken der står 0,9069, og endelig følger vi spiralen, indtil vi har passeret polaraksen 3 gange hvorved vi kommer til tallet 15. Den logaritmiske spiral med grundtallet 2 er i øvrigt identisk med tonespiralen, som jeg har beskrevet i en artikel og et program, der senere vil blive lagt ud på nettet. Her fortolkes et kredsløb som en oktav, idet denne jo netop akustisk er defineret ved at frekvenstallet fordobles. Tallene fortolkes nu som frekvenstal, og en virtuel tonegenerator, der indgår i programkoden, gør det muligt at realisere frekvenstallene som lyd. Se vejledningen på de to følgende sider

10 10 Vejledning i brug af computerprogrammet LOGSPIR Figur 8 Når du åbner programmet og har klikket på knappen Tegn figuren, ser du ovenstående billede på skærmen. Spiralen genkender du i billedfeltet til højre, og til venstre indtaster du de forskellige værdier samt vælgerm hvordan figuren skal vises. Men før du overhovedet begynder at indtaste data, vil jeg foreslå, at du kører en lille film, som demonstrere hvordan spiralen ændrer form i takt med at grundtallet hæves eller sænkes. Filmen styres med de tre knapper Start Pause Stop, du finder i rammen Variabelt grundtal (animation). Fremgangsmåden er beskrevet i den tekst, der er indsat i rammen. Mens filmen kører, kan du følge grundtallets ændring i billedfeltet nederst til venstre. Læg mærke til, at grundtallet udmærket kan være en brøk (her altid vist som en decimalbrøk). Læg også mærke til, at når grundtallet nærmer sig 1, begynder figuren at opføre sig kaotisk. Her sker nemlig det, at afstanden mellem spiralens arme bliver meget små, og når grænsetilfældet nås, hvor afstanden er 0, har vi reelt at gøre med en cirkel. Dette grænsetilfælde vil imidlertid bevirke at programmet går ned, og derfor er der i programkoden indsat en betingelse, der forhindrer at grundtallet kan blive 1. Læg specielt mærke til at spiralen med grundtallet 1/n er et spejlbillede af spiralen med grundtallet n. Her følger nogle eksempler, hvor jeg dog af letforståelige grunde har undladt at medtage tallene: (det gøres ved at fjerne afmærkningen i checkboksen Vis data ).

11 ,25 1,1 0,1 0,3333 0,5 0,8 0,9 Figur 9 Programmets øvrige funktioner kræver kun en kort forklaring. Det hele foregår fra rammen med overskriften Tegnefunktion. Her indtaster du 1. grundtallet (hvis det er en decimalbrøk, skal du bruge punktum i stedet for komma!) 2. det tal, hvor spiralen skal begynde 3. det tal, hvor spiralen skal slutte De to sidstnævnte kan i princippet både være hele tal og brøker, men for at gøre brugerfladen så enkel som mulig, har jeg valgt, at man under alle omstændigheder indtaster tallet som en brøk, idet man så sætter nævneren lig med 1, når der reelt er tale om et helt tal. I eksemplet figur 8 er grundtallet 2, spiralen begynder ved 1 og slutter ved 16. Hvis du eksempelvis ønsker at tegne den del af spiralen, der er vist i det forstørrede udsnit i figur 7, skal startværdien være 1 / 16 og slutværdien skal være 1 / 4. Uanset hvilken del af spiralen du vælger, og uanset hvilket grundtal du vælger, får figuren altid den samme størrelse. Man kan således sige, at man zoomer ind eller ud på spiralen, alt efter hvor mange kredsløb man vælger at medtage, og alt efter om man befinder sig i den lave eller den høje del af talrækken. Du kan fravælge at få tegnet radierne, og du kan tilvælge at få tegnet afstandscirklerne (eller du kan vælge både radier og afstandscirkler). Hvordan det fungerer finder du bedst ud af ved at afprøve det. Desuden kan du fravælge at få vist tallene. Her har jeg tilføjet en boks, hvor du specielt kan fjerne tallene nær centrum. Det er fordi disse begynder at flyde sammen, når der er medtaget mange kredsløb. Hvordan det fungerer kan du også bedst finde ud af ved at afprøve det. Med knappen Kopier figur overfører du billedet til computerens udklipsholder, hvorfra du så kan sætte det ind i et WORD-dokument, et tegneprogram eller lignende. Ligesom i mine andre programmer er alle indtastningsbokse blokeret for indtastning af ikke-gyldige tegn (f.eks. bogstaver), som ellers ville bevirke at programmet ville gå ned.

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Jørgen Erichsen En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Ifølge overleveringen, som dog nok mere er en legende end en historisk kendsgerning, var det Pytagoras, som opdagede,

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin:

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin: MATEMATIK Basismål i matematik på 1. klassetrin: at kunne indgå i samtale om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik at kunne afkode og anvende tal og regnetegn og forbinde dem

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Årsplan 5. Årgang

Årsplan 5. Årgang Årsplan 5. Årgang 2016-2017 Materialer til 5.årgang: - Matematrix grundbog 5.kl - Matematrix arbejdsbog 5.kl - Skrivehæfte - Kopiark - Færdighedsregning 5.kl - Computer Vi skal i løbet af året arbejde

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Årsplan Matematik 4.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 4, som består af en grundbog og en arbejdsbog. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 4 samt opgaver

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Regneregler Grundbogen side 7-19 Arbejdsbogen side 1-6

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Regneregler Grundbogen side 7-19 Arbejdsbogen side 1-6 Årsplan Matematik 5.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 5, som består af en grundbog og en arbejdsbog. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 5 samt opgaver

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

1. Installere Logger Pro

1. Installere Logger Pro Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet penge Periode Mål Eleverne skal: Lære at anvende simpel hovedregning gennem leg og praktiske anvende addition og

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, decimaltal (kommatal)) Bogstaver Computerinstruktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere