tal, algebra og funktioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "tal, algebra og funktioner"

Transkript

1 JOhN schou kristine JEss hans christian hansen JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner klasse

2

3 Joh n Schou, Kristine Jess, Hans Christian Hansen og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Tal, algebra og funktioner klassetrin Samfundslitteratur

4 Joh n Schou, Kristine Jess, Hans Christian Hansen og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Tal, algebra og funktioner klassetrin 2013, Samfundslitteratur Omslag: Annette Borsbøl, Imperiet Tegninger: Joh n Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark, udgave, 2. oplag 2014 ISBN trykt bog ISBN e-bog Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.

5 INDHOLD Forord 11 DEL I TALSYSTEMER OG REGNEPROCESSER Introduktion 15 1 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 17 Alfabetaland 17 Fordelene ved positionssystemer 19 Positionssystem med vilkårligt grundtal 20 Regnealgoritmer i andre talsystemer 24 Opsamling på kapitel At gange og dividere flercifrede tal 29 Indledende multiplikation og division 31 Multiplikative situationer 33 Multiplikative situationer division 34 Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 37 Multiplikation med encifrede tal 38 Multiplikation med flercifrede tal 42 Forståelse kontra færdighed 44 Opsamling på kapitel Tallenes historiske udvikling 49 Tallenes antropologi 50 Tidlige spor af tal 51 Tal på hieroglyffernes tid 55 Regnebræt og kugleramme 58 Positionssystemet som grundlag for moderne regning 60 Indhold 5

6 Grækernes opdagelse af irrationale tal 64 Grækernes geometriske talforståelse 66 Den langsomme accept af negative tal 68 Opsamling på kapitel Læremidler fra regnebog til cas 75 Historien i korte træk 76 Hvordan lommeregneren ændrede undervisningen 79 Lommeregnerens tre funktioner i undervisningen 81 Computer algebra systemer (CAS) 86 Vurdering af læremidler 89 Opsamling på kapitel De positive rationale tal 95 Én faglig vej gennem brøkregning 98 Indledende brøkregning 100 Videregående regning med brøker 103 Decimaltal og procent 108 Procentnotationen for decimaltal 112 Periodelængder i brøkers omskrivning til decimaltal 113 Decimaltals omdannelse til brøker 114 Opsamling på kapitel Brøkregning i den fagdidaktiske skole, RME 115 Brøker i Realistisk Matematikundervisning 115 Grundsynet på brøker i Realistisk Matematikundervisning 116 Skitse af et toårigt undervisningsforløb med brøker 118 Den faktiske udførelse af to-årsforløbet 123 Konklusioner på RME s brøkprojekt 126 Opsamling på kapitel Negative tal og repræsentationer 133 Repræsentationer i matematikundervisningen 134 Repræsentationer og kognitive forhindringer 137 På jagt efter gode repræsentationer for de hele tal 138 Forklaring af regneregler ud fra udvalgte repræsentationer 138 Talaksen i form af et termometer

7 Forskning i børns repræsentationer 145 Opsamling på kapitel Komplekse tal 149 Om at kunne løse ligninger en historie om talmængderne 151 Komplekse tal på flere måder 157 Opsamling på kapitel Talteori og reelle tal 165 Direkte beviser i delelighedslæren 166 Hvordan finder man primtal? 168 Euklids algoritme 171 Aritmetikkens fundamentalsætning 175 Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 179 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 181 De reelle tal 182 Reelle tal som uendelige decimaltal 185 Der er flest irrationale tal 185 Opsamling på kapitel DEL II ALGEBRA, FUNKTIONER OG MODELLER Introduktion Algebras stofdidaktik 193 Bogstavernes rolle i algebra 196 Problemer med algebraundervisningen 198 Symbolbehandlingskompetence 202 Variabelbegrebets didaktik 206 At udvikle forståelser af lighedstegn 214 Repræsentationer og oversættelser af ligninger 220 Opsamling på kapitel Funktioner og funktionsbegrebet 225 Udvikling af personlig viden om funktioner 225 Begrebsbillede og begrebsdefinition

8 Lidt om funktionsbegrebets historie 232 Proportionaliteter og den lineære funktion 235 Bestemmelse af konstanterne ved de tre grundlæggende funktioner 236 Opsamling på kapitel Ligninger og problemløsning 243 Problemløsning 244 Diskussion af problemløsningsstrategier 245 Den ukendte som pladsholder og som variabel 247 Variablen i formler og funktioner 252 Løsning af ligningssystemer 259 Førstegradsligninger med flere ubekendte 260 To ligninger med to ubekendte 264 Læringspotentiale i et CAS-værktøj 268 Opsamling på kapitel Rentesregning 273 Termin og rentetilskrivning 276 Simpel rentesregning 277 Nominel og effektiv rente 281 Annuiteter opsparing 282 Formel for opsparingsannuitet 284 Annuiteter gæld 288 Formel for gældsannuitet 290 Opsamling på kapitel Vækstfunktioner 299 Eksponentielle funktioner 300 Bestemmelse af forskriften for en eksponentiel funktion 303 Ligninger med eksponentialfunktioner 306 Potensfunktioner 308 Bestemmelse af en potensfunktion ud fra to punkter 311 Logistisk vækst 312 Logistisk vækst som model for antal organismer i lukkede miljøer 314 Opsamling på kapitel

9 15 Modellering i skolen 319 Matematiske modeller og modellering 320 En næsten autentisk modelleringsproces 321 En generel beskrivelse af modelleringsprocessen 329 Model af og model for 331 Formål med modellering i skolen 332 Modellering som generel strategi for matematikundervisning 333 Fremspirende modeller hos RME 334 Relationen mellem matematik og omverden 336 Model-frembringende aktiviteter hos Lesh og hans kolleger 338 Opsamling på kapitel Referencer 343 Bøger til grundskolen 347 Stikordsregister

10

11 FORORD Matematik for lærerstuderende har, siden det vandt lærebogsprisen i 2006, været et udbredt system for linjefagene i matematik på læreruddannelserne i Danmark, og de centrale bøger i systemet er oversat til svensk. Udgangspunktet i 2006 var meget ambitiøst på grund af det nye store timetal i matematik. I anledning af den seneste reform LU13 er omfanget reduceret drastisk, men det høje ambitionsniveau er fastholdt, hvad angår de kvalifikationer, der retter sig mod den lærerstuderendes fremtidige profession. I overensstemmelse med LU13 tilbyder vi til undervisningsfaget matematik klasse følgende bøger i systemet: Tal, algebra og funktioner klasse; Geometri klasse; Stokastik klasse; Delta, Fagdidaktik; My, Elever med særlige behov. Til den studerende, der føler behov for at opdatere sin faglighed inden studiestart, har vi udviklet materialet Alfa, Forstudier. Tal, algebra og funktioner klasse præsenterer fagligt og fagdidaktisk materiale samt tilhørende arbejdsopgaver af et omfang, der på de fleste læreruddannelser vil svare til to moduler efter LU13. Bogens første del omhandler Talsystemer og regneprocesser og den anden del Algebra, funktioner og modellering. Den såkaldte stofdidaktik, der er knyttet til bogens faglige emner, findes i særlige kapitler her i bogen, mens det fagdidaktiske stof, der er fælles for al matematikundervisning, skal søges i bogen Delta. I hvert kapitel er de vigtigste mål angivet i starten, og kapitlet rundes af med en opsamling, der muliggør en evaluering af udbyttet. De matematiske kompetencer står centralt både i LU13 og i det aktuelle faghæfte for grundskolen, derfor fremhæver vi i hvert kapitel, hvilke kompetencer der især kan udvikles gennem arbejdet. Den studerende vil gennem arbejdet med de tre matematikfaglige bøger være kommet godt omkring alle otte matematiske kompetencer. Forord 11

12 Programmel, it Vi inddrager i høj grad it, og vi benytter gratis og frit tilgængelige ressourcer, som også i vid udstrækning er platformsuafhængige. Vores valg er faldet på: GeoGebra (http://www.geogebra.org), wxmaxima (http://andrejv.github.com/wxmaxima), Windows-baserede Microsoft Mathematics (http://www.microsoft.com/ education/ww/products/pages/mathematics.aspx). Desuden inddrager vi regneark, diverse hjemmesider og en række ressourcer, der kun er tilgængelige på nettet. Der findes svarforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside ligesom en liste over de trykfejl, vi bliver opmærksomme på, vil kunne findes på denne hjemmeside under errata. København, maj 2013 Joh n Schou, Kristine Jess, Hans Christian Hansen og Jeppe Skott 12 Forord

13 DEL I TALSYSTEMER OG REGNEPROCESSER

14

15 INTRODUKTION Eleven på mellemtrinet har allerede lært simpel addition og subtraktion, men forude venter næste mål, hvor eleven skal kunne gange og dividere. Det er ikke så let at undervise i for en matematiklærer, så er der ingen vej uden om at genopleve den intellektuelle kamp, barnet skal igennem med fuldt ud at forstå titalssystemet og forsøge sig med sine første beregninger. Det kan godt være, at læseren bliver frustreret i kapitlet Genoplev kampen med at forstå positionssystemet, hvor vi har konstrueret den mærkelige verden Alfabetaland og andre afvigende positionssystemer, men det tjener et pædagogisk formål. I det efterfølgende kapitel At gange og dividere med flercifrede tal præsenterer vi egne observationer og international forskning om børns multiplikation og division med flercifrede tal. Vi præsenterer så tallenes historie fra oldtiden til renæssancen i et særskilt kapitel, fordi man i den historiske udvikling af tallene kan hente stor inspiration til arbejdet med at udvikle børns talbegreber, selv om det ikke altid er sandt, at de tidlige historiske erkendelser modsvarer tidlige stadier i børns udvikling. Historien føres dernæst op til vores tid i kapitlet Læremidler fra regnebog til CAS, der via overvejelser om moderne teknologis rolle som værktøj såvel som læremiddel munder i ud overvejelser om valg af læremidler. Eleverne på mellemtrinet skal lære at regne med brøker og negative tal. Derfor indeholder kapitlerne De positive rationale tal, Brøkregning i den fagdidaktiske skole RME og Negative tal og repræsentationer aktuelt stof for den lærerstuderende. Det drejer sig først og fremmest om at få kendskab til forklaringer på, hvorfor man regner med brøker og negative tal, som man gør. Via et forskningsresultat fra RME får læseren uddybet den centrale rolle, som repræsentationer har i matematikken og i matematikundervisningen. På afsluttende trin arbejdes der videre med brøker og negative tal, men også de irrationale tal kommer på banen, så eleven når frem til den mest omfattende talmængde, der findes i grundskolen, de reelle tal. Vi skriver om dem allerede i kapitlet om tallenes historie, imidlertid er selve det at Introduktion 15

16 bevise, at der findes irrationale tal, fagligt ret krævende og indgår som afrunding af kapitlet om Talteori og matematisk tankegang, hvor vi også ser på primtalsopløsning og forskellige bevisteknikker. De komplekse tal, der indgår som obligatorisk stof i LU13 behandles i et særskilt kapitel i bogen. Det giver god mening for en matematiklærer at kende til disse tal, da man hermed bliver klædt på til at besvare spørgsmål, der rækker ud over de reelle tal. 16 DEL I Talsystemer og regneprocesser

17 1 GENOPLEV KAMPEN MED AT FORSTÅ POSITIONSSYSTEMET I den klassiske regneundervisning indtog de fire regningsarter udført efter nøje beskrevne metoder (algoritmer) på tal opskrevet i et positionssystem med 10 som grundtal en dominerende rolle. Den nyere matematikundervisnings princip om, at eleven skal være medkonstruktør af disse algoritmer, kræver en større faglighed af læreren og et bredere syn på såvel positionssystemer som mulige regnemetoder. Derfor er det hensigten, at læseren efter arbejdet med dette kapitel: Har genoplevet barnets kamp med og frustration over at sætte sig ind i en fremmed talverden. Danner sig personlige refleksioner over såvel positionssystemer som regnemetoder i fremmedartede positionssystemer. Teknisk behersker at regne i et talsystem med fremmed base og kan omskrive et tal fra én base til en anden. Det at kunne skifte mellem forskellige måder at skrive tal op på udgør en lille, men væsentlig del af repræsentationskompetencen. ALFABETALAND Fra talbegrebets historie har vi lært, at det meste omkring tallenes udseende og grundlæggende regnemetoder er kulturbestemt. Det har inspireret os til at konstruere en fantasiverden i øvelse 1, som dog er lidt påvirket af tidlig græsk talnotation og nogle generelle principper, der genfindes i mange kulturer. 1 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 17

18 Vi har kaldt denne fantasiverden for Alfabetaland og inviterer nu læseren til at lære sig at tælle og regne på ny i dette lands noget anderledes kultur. Målet hermed er at give læseren en ret enestående mulighed for at genopleve nogle af de vanskeligheder, som et barn oplever i mødet med tal og talbehandling i skolen. Faktisk bør opgaven starte med en ren mundtlig indgang til tælleremsen i Alfabetaland, hvor læreren har tilrettelagt lege med tælleremsen. En efterligning kan foregå ved at tælle rundt på holdet, således at førstemand siger alfa, den næste beta osv. For at legen skal svare til virkeligheden i børns udvikling, er det vigtigt, at tællelegen i begyndelsen foregår uden adgang til skrift og læsning. Øvelse 1 Hvad nu, hvis vi talte således: alfa, beta, gamma, delta, alfem, alfemalfa, alfembeta, alfemgamma, alfemdelta, betem, betemalfa, betembeta, betemgamma, betemdelta, gammem, osv. (hvad det så helt præcist vil sige) og hvad, hvis vi skrev det således op: α, β, γ, δ, αο, αα, αβ, αγ, αδ, βο, βα, ββ, βγ, βδ, γο, γα, 18 DEL I Talsystemer og regneprocesser

19 kunne du så: tælle til deltem? tælle antallet af mønter i din pung? i hovedet udregne alfemgamma plus alfemgamma? skriftligt udregne αβ + αγ? tælle videre i tælleremsen længere fremme: deltemalfa, deltembeta, deltemgamma, deltemdelta, alfun, alfunalfa, alfunbeta,? skrive videre i samme række: δα, δβ, δγ, δδ, αοo, αoα, αoβ? skrive den lille gangetabel op i Alfabetalandnotation? klare lidt mere komplekse beregninger som δα + αδγ og δβ δγ og nogle, du selv formulerer? Overvej/diskuter 1 Før vi igen forlader Alfabetaland vil det være nærliggende at gøre sig nogle overvejelser over, hvor meget situationen ligner den, barnet møder i skolens matematikundervisning. Og om der er aspekter af den tidlige talbehandling, I via besøget i Alfabetaland er blevet særlig opmærksomme på. FORDELENE VED POSITIONSSYSTEMER Vi kommer i kapitlet om tallenes historie til at se, at man kan konstruere symboler for tal på mange måder. I de ældste systemer blev man nødt til at opfinde nye symboler, efterhånden som man fik brug for større tal. Fx i romertal hvor de første titalspotenser hedder I, X, C, M. Umiddelbart kan det se kortere og mere praktisk ud end vores nutidige notation i titalssystemet 1, 10, 100, 1000, men den fordel sættes i skyggen af, at et tal som 444 skal skrives som CDXLIV eller efter en tidlig udgave af romertal CCCCXXXXIIII. Fordelen ved vores system er også, at det er let at lave symboler for de næste titalspotenser og , mens de gamle romere måtte finde på nye symboler. Dog ser man i deres symboler X for og C for , at også romerne satte pris på det genbrugsprincip, der er i positionssystemer. Den anden fordel ved positionssystemet er måske endnu mere indlysende i skolesammenhæng: de effektive regnealgoritmer, som vores positionssystem lægger op til. 1 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 19

20 Det er sådan, at hvis man først har lært at regne med cifre (forstået som enere) i regninger som = 5, = 9 og = 15, kan disse beregninger lige så godt fortolkes som beregninger med tiere, således at fx = 5 læses som: to tiere og tre tiere giver fem tiere. Så vores tre regnestykker kan i positionssystemets logik umiddelbart overføres til = 50, = 90 og = 150. For den, som har begrebet princippet, kan det også fortolkes som beregninger med hundreder: = 500, = 900 og = Den, der har forstået princippet i vores positionssystem og kan addere enere, kan derfor også klare en beregning som , fordi opgaven fx oversættes til og og , hvilket ifølge det ovenstående giver 5 enere, 9 tiere og 15 hundreder, hvilket giver , der ifølge positionssystemets princip er Når børn udvikler deres egne algoritmer, vil denne store fordel ved positionssystemet ofte være indarbejdet (jf. elevbesvarelse fra 2. klasse i figur 1), eller også vil læreren med tiden gøre eleven opmærksom på fordelen ved det. Figur 1. POSITIONSSYSTEM MED VILKÅRLIGT GRUNDTAL I nogle sammenhænge er det også en fordel ved positionssystemer, at man kan konstruere et positionssystem med et vilkårligt valgt grundtal. I forbindelse med fremkomsten af elektronisk databehandling var det således en fordel, at man kunne vælge et positionssystem med kun to cifre, 0 og 20 DEL I Talsystemer og regneprocesser

21 1. På denne måde kunne man repræsentere tal ved elektriske spændinger i ledninger. Hvis der var spænding på en ledning, skulle det svare til 1, og hvis der ikke var spænding, skulle det svare til 0. Prisen for at benytte et sådant totalssystem (binært talsystem) er, at tierovergangen allerede kommer ved 2, så der skal en ny ledning til for at holde øje med, hvor mange toere man har, en til at holde øje med firere og en til ottere, således at fire ledninger ved siden af hinanden ved passende spændinger kan repræsentere et tal som 1101 i totalssystemet. Dette tal skal fortolkes som , 1 der svarer til 13 i vores foretrukne titalssystem. Eksempel 1 En byte I forbindelse med computerteknologien ville man gerne have tal nok til rådighed til at kunne nummerere alle de tegn, der findes på et tastatur. Så det var ikke nok med fire ledninger ved siden af hinanden. Man måtte op på et lakridsbånd med otte ledninger (figur 2), hvilket kunne repræsentere tal op til 255. Fx kan tallet 173 repræsenteres ved hjælp af spænding i 8 ledninger som: I alt = 173 Figur 2. En byte repræsenteret ved ledninger. I informationsteorien kaldes sådan en sekvens med 8 binære cifre for en byte information. 1 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 21

22 Øvelse 2 Oversæt følgende tal skrevet i totalssystemet til titalssysstemet: a = og b = Prøv at addere a og b i totalssystemet, idet du efterligner metoder fra skolen. Kontroller eventuelt summen ved at oversætte til titalssystemet. Udregn derefter b a i totalssystemet. Definition Hvis man vil skrive et tal i base g, skal man råde over cifre for tallene 0, 1, 2, 3,, g 1. Størrelsen af et tal skrevet i base g, altså med grundtallet g, defineres ved: n n aa... aaa (base g) = a g + a g a g + ag + a. n n n n Eksempel 2 Hvis vi moderniserer Alfabetalands system lidt ved at indføre arabertal, så 1 = α, 2 = β, 3 = γ, 4 = δ og 0 = o, så har man i Alfabetaland indført et positionssystem med grundtallet 5. Hvis man vil omregne mellem base fem og base ti, så kan man blive forvirret, hvis ikke der ved hvert talnavn er angivet, om det faktisk er i den ene eller den anden base. I den situation bruger man romertal til at angive base, fx 1001II = 8X + 1X = 9X og 4132 V kan i base X omskrives til = = 542, dvs = 542. Hvis man omvendt har tal som 432 opskrevet i base X og vil have det udtrykt i base V, så må man først bestemme den største femmerpotens, der kan hentes ud af 432. Da de relevante potenser af 5 i base X er 1, 5 1 = 5, 5 2 = 25, 5 3 = 125, 5 4 = 625, ser vi, at den størst mulige er 5 3 = 125. Den går tre hele gange op i 432, hvorfor cifferet i base V, svarende til denne position (a 3 ), skal være 3. Til rest er nu = = 57. For at finde a 2, måler vi, hvor mange gange vi kan tage 25 ud af 57. Vi finder a 2 = 2. V X 22 DEL I Talsystemer og regneprocesser

23 Til rest er nu = = 7. For at finde a 1, måler vi, hvor mange gange vi kan tage 5 ud af 7. Vi finder a 2 = 1. Og der er 2 enere til rest, hvilket giver a 0 = 2. Resultatet bliver 432 X = 3212 V. Hvis man vil opstille en algoritme ud fra fremgangsmåden, kan beregningen med fordel skrives skematisk op: Rest (i base X) Potens (i base X) Ciffer/kvotient Forbrug Svar: 3212 (i base V) Øvelse 3 Skriv V i base X. Skriv 9823 X i base V. Skriv 6512 VII i base X. Skriv 6512 VII i base II. Øvelse 4 Hvis man vælger baser med grundtal højere end 10, bliver man nødt til at opfinde cifre for 10, 11 og evt. flere følgende tal. I datalogi regner man ofte i et 16 talssystem, hvor cifrene efter 9 hedder: A, B, C, D, E, F, mens 16 X selvfølgelig hedder 10 i 16 talssystemet eller det hexadecimale talsystem, som det også kaldes. 1) Skriv 2EF i det hexadecimale talsystem i base X. 2) Vis i det hexadecimale talsystem, at ABE + BAD > FED. 3) De hexadecimale tal i en computer dukker sjældent frem til brugerfladen, men man kan dog opleve adresser som org/wiki/main%20page. Her ville syntaksen for URL-adresser ikke acceptere et mellemrum mellem Main og Page og skrev derfor i stedet nummerkoden (ASCII) for mellemrum netop i en hexadecimal kode. Hvad er nummerkoden 20 for mellemrum oversat til titalssystemet? 1 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 23

24 REGNEALGORITMER I ANDRE TALSYSTEMER For en lærerstuderende giver arbejdet med regning i andre talsystemer en mulighed for at genopleve den lange læreproces, der fører frem til beherskelse af de fire regningsarter. Processer, der er blevet helt automatiserede i de lærte algoritmer, taber ved regning i andre talsystemer karakteren af at være indlysende. Man bliver nødt til at reflektere meget bevidst over, hvad det er, man gør i disse automatiserede processer, og derved kan man blive bedre til at forstå elevernes problemer og overvejelser. Vi vender tilbage til Alfabetaland for at regne i base V, men i en version, der er lidt tættere på det velkendte, idet vi anvender vores kendte arabertal. Prøv indledningsvis at udfordre dig selv med følgende regneopgaver, idet det er forbudt at oversætte til titalssystemet og lave beregningerne der: 324 V V 324 V 143 V 324 V 143 V V : 324 V Hvis man skal efterligne metoder kendt fra titalssystemet, så er det første, man kommer til at savne, tabellerne. Fx får man i den første addition brug for at lægge enerne sammen Det er klart, at hvis man kender tælleremsen i femtalssystemet, så kan man simpelthen tælle 3 frem fra 4: Figur 3. På denne måde kan man også konstruere den lille tabel for addition og evt. lære den udenad, hvis man vil være hurtig til at regne i dette talsystem, men det er nok mere realistisk, at man vil slå op i tabellen, ligesom i skoletiden. Øvelse 5 Opstil den lille tabel for addition i femtalssystemet ved at udfylde de manglende pladser i tabellen på næste side. 24 DEL I Talsystemer og regneprocesser

25 Nu, hvor vi råder over den lille additionstabel, kan den også bruges til at addere femmere og femogtyvere efter samme princip, som vi så i afsnittet om fordelene ved positionssystemer, så 224 V V ses ved opslag i tabellen at give: 12 V enere, 11 V femmere og 3 femogtyvere, hvilket er det samme som 2 enere, 12 V femmere og 3 femogtyvere, hvilket er det samme som 2 enere, 2 femmere og 4 femogtyvere, hvilket er det samme som 422 V. Øvelse 6 Udregn ved hjælp af tabellen 4324 V V. Undersøg, hvordan additionstabellen også kan anvendes som en subtraktionstabel og benyt den til at udregne 224 V 143 V og 4324 V 1324 V. Øvelse 7 Prøv at beregne 21 V 13 V, 24 V 43 V og 32 V 33 V ved at udnytte den metode, du benytter til at multiplicere tal i titalssystemet. Øvelse 8 I dine udregninger i øvelse 7 kom du sikkert til at savne den lille multiplikationstabel. Opstil den lille multiplikationstabel for femtalssystemet Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 25

26 Øvelse 9 Prøv, om du kan overføre den metode, du bruger til at multiplicere tal i titalssystemet, til femtalssystemet ved fx at beregne 324 V 143 V. Hvis det volder vanskeligheder, kan du blive nødt til som børnene i skolen at tænke mere bevidst på at udfolde regnestykket til (300 V + 20 V + 4) (100 V + 40 V + 3) og på ny genfinde simple regler, der svarer til fx man ganger med 10 ved at sætte et nul bagefter. Øvelse 10 Skriv en forklaring på, hvordan man ganger to tal med hinanden i femtalssystemet. Forklaringen skal henvende sig til børn i klasse i et land, hvor tallene er skrevet i base V. Øvelse 11 Som bekendt er division meget vanskeligere end multiplikation, fordi man i langt højere grad skal gætte på, hvor mange gange divisor går op i tallene i de delberegninger, der forekommer undervejs. Når divisor er encifret, kan man dog bruge gangetabellen som en slags divisionstabel. Prøv fx at udregne 1102 V : 4 ved hjælp af gangetabellen. Resultatet bliver 123 V. Men allerede ved tocifrede tal bliver det noget vanskeligere. Prøv fx 2321 V : 12 V. Resultatet bliver 143 V. Prøv derefter med divisionsopgaven fra indledningen til dette afsnit V : 324 V. Resultatet bliver 143 V. Opstil to divisionsopgaver i base V, opgaver som, du er sikker på, går op. Udveksl opgaverne med medstuderende. Øvelse 12 Det er let at se på et tal som i base X, at både 2 og 5 går op i tallet. Kan man let se på et tal som fx V i base V, om både 2 og 5 = 10 v går op? 26 DEL I Talsystemer og regneprocesser

27 Øvelse 13 Det har skabt revolution i meget regnearbejde i og uden for skolen, at den elektroniske lommeregner blev opfundet. Hvordan i al verden kan man få elektriske strømme til at udføre et regnearbejde? Sandsynliggør, at det ikke er så svært at forestille sig, når man ved, at lommeregnerne benytter totalssystemet: Skriv den lille additionstabel og den lille multiplikationstabel op i base II, og udfør selv nogle beregninger som II II og II II. OPSAMLING PÅ KAPITEL 1 Det væsentligste mål med dette kapitel var at bringe læseren i elevens sted i forhold til kompleksiteten i positionssystemet og regnealgoritmerne. Dertil kommer, at læseren i sit arbejde måske vil få brug for teknisk at kunne begå sig i andre talsystemer og bl.a. kende til betydningen af det binære system i computerteknologien. Beskriv ved hvert punkt fra indledningen til dette kapitel, i hvilket omfang du har nået målet. Dvs. om du: Har genoplevet barnets kamp med og frustration over at sætte sig ind i en fremmed talverden. Har reflekteret over såvel positionssystemer som regnemetoder i fremmedartede positionssystemer. Teknisk behersker at regne i et talsystem med fremmed base og kan omskrive et tal fra én base til en anden. 1 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 27

28

29 2 AT GANGE OG DIVIDERE FLERCIFREDE TAL I det indledende kapitel har læseren oplevet udfordringen i at forstå symbolerne og udføre beregninger i et andet positionssystem end det normale. Udfordringen er stor ved multiplikation og sikkert størst ved division af flercifrede tal. Vi håber, det har givet motivation og parathed til nu at se på spørgsmålet om børns arbejde med tilsvarende udfordringer på mellemtrinet i skolen. Kapitlet drejer sig om elevernes opfattelse af og regning med flercifrede tal. Da vi går ud fra, at addition og subtraktion er på plads, skal det nu dreje sig om multiplikation og division. Det er et felt, hvor der er sket meget i skolen i de sidste årtier. Det var især med faghæftet for matematik i 1995, at der kom en nyskabelse, som viste sig at være en udfordring for landets matematiklærere ikke mindst i de mindre klasser. Eleverne skulle nu ikke længere undervises i at opstille regnemetoder, men som det hed i læseplanen for klasse: Den enkelte elev skal have mulighed for at udvikle egne metoder til antalsbestemmelse ved addition og subtraktion. Hovedregning, lommeregner og skriftlige notater indgår i et samspil i arbejdet med tallene. (s. 12). Og i læseplanen for klasse: I arbejdet med de naturlige tal udvikler eleverne fortsat egne beregningsmetoder. Standardiserede regneopstillinger indføres, hvis det for eleven er en forenkling af arbejdet. (s. 13). Det betyder, at eleven ikke mere skal have forevist en bestemt måde at regne på, en såkaldt algoritme. Det indebærer, at eleven skal være medskaber, selv tænke og forsøge at finde på måder at klare opgaverne på, fx har Emilie med 2 At gange og dividere flercifrede tal 29

30 tegningen nedenfor klaret opgaven ved at tegne en streg for tiere og en prik for enere under regnestykket. Hun tæller først tierne og får det til syv, som hun skriver Dernæst tæller hun enerne, og der er flere end ti, derfor kan hun veksle til en tier, altså er der nu otte, som hun skriver. Der er syv prikker tilbage, altså er resultatet 87. Figur 1. Måden, Emilie klarer additionen på, viser, at hun allerede har nogen forståelse af titalssystemet, og denne forståelse er den grundlæggende forudsætning for elevens arbejde med at udvikle sine egne metoder til at addere flercifrede tal og for multiplikation og division af større tal. Man kan indvende, at Emilie har skabt en besværlig måde at regne på, men det er her, matematiklæreren kommer ind. I takt med at eleven er klar til at gå videre, skal læreren fx gennem diskussioner i klassen om, hvordan man også kan addere, lede eleven videre til mindre omstændelige måder at addere på, og dette gælder i endnu højere grad for multiplikation og division. Til gengæld skal man ikke som før i tiden i hele år træne eleverne til at blive levende regnemaskiner, fordi de slet ikke kan eller skal konkurrere med lommeregnerne, når det kommer til at foretage divisioner som : 587. Vi sigter på, at læseren efter endt læsning af dette kapitel: Kender til en typisk udvikling i børns indledende arbejde med multiplikation og division af flercifrede tal. 30 DEL I Talsystemer og regneprocesser

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Formål for faget Matematik

Formål for faget Matematik Formål for faget Matematik Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematiske kompetencer Trinmål efter 3. klassetrin Trinmål efter 6. klassetrin Trinmål efter 9. klassetrin indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

It i Fælles mål 2009- Matematik

It i Fælles mål 2009- Matematik It i Fælles mål 2009- Matematik Markeringer af hvor it er nævnt. Markeringen er ikke udtømmende og endelig. Flemming Holt, PITT Aalborg Kommune Fælles Mål 2009 - Matematik Faghæfte 12 Formål for faget

Læs mere

7. KLASSE 6. KLASSE 5. KLASSE 4. KLASSE 3. KLASSE 2. KLASSE 1. KLASSE BH. KLASSE

7. KLASSE 6. KLASSE 5. KLASSE 4. KLASSE 3. KLASSE 2. KLASSE 1. KLASSE BH. KLASSE 7. KLASSE 6. KLASSE 5. KLASSE 4. KLASSE 3. KLASSE 2. KLASSE 1. KLASSE BH. KLASSE FORORD At leve i et demokratisk samfund er ensbetydende med, at alle har ret til uddannelse, uanset deres forskellige kultur,

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Årsplan matematik 6.klasse - skoleår 13/14- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 6.klasse - skoleår 13/14- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer BASIS: Klassen består af 22 elever og der er afsat 5 ugentlige timer til faget. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 6, arbejds- og grundbog, tilhørende kopisider + CD-rom, REMA og andre relevante

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Årsplan matematik 5.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 5.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer BASIS: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer + 1 time klassens tid, hvor der skal være tid til det sociale i klassen. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 5, arbejds- og grundbog,

Læs mere

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Årsplan 1. klasse Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Bageriet Loppearabere marked ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

FRISKOLEN I STARREKLINTE. Starreklinte, august 2011 UNDERVISNING. faget MATEMATIK

FRISKOLEN I STARREKLINTE. Starreklinte, august 2011 UNDERVISNING. faget MATEMATIK FRISKOLEN I STARREKLINTE Starreklinte, august 2011 UNDERVISNING i faget MATEMATIK Indholdsfortegnelse: Matematik 1. Generelt for faget matematik..... 3 2. Formål for faget matematik... 4 3. Slutmål.....

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 5. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin

Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin 72497_epsilon_2k.indd 1 17-07-2008 15:20:40 72497_epsilon_2k.indd 2 17-07-2008 15:20:40 Kristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

UNDERVISNINGSPLAN Del- Og slutmål Matematik 1. - 9. klasse

UNDERVISNINGSPLAN Del- Og slutmål Matematik 1. - 9. klasse UNDERVISNINGSPLAN Del- Og slutmål Matematik 1. - 9. klasse 1. klasse Denne undervisning begynder med at tælle, tælle rytmisk fulgt af klappe-, gå-, trampe- og hoppeøvelser. Fra rytmisk tælling er vejen

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

UNDERVISNINGSPLAN FOR MATEMATIK 2014

UNDERVISNINGSPLAN FOR MATEMATIK 2014 UNDERVISNINGSPLAN FOR MATEMATIK 2014 Undervisningen følger trin- og slutmål som beskrevet i Undervisningsministeriets faghæfte: Fællesmål 2009 - Matematik. Centrale kundskabs- og færdighedsområder Arbejde

Læs mere

Denne side er blevet lavet for at imødegå de ministerielle krav til beskrivelse af vores faglige

Denne side er blevet lavet for at imødegå de ministerielle krav til beskrivelse af vores faglige Denne side er blevet lavet for at imødegå de ministerielle krav til beskrivelse af vores faglige aktiviteter igennem skoleforløbet på Gribskov Skole fra hold 1 til hold 4. På Gribskov Skole skal børnene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/12 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Fra antologien Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Artikel fra antologien Kommunikation i matematik v/kirsten Søs Spahn, lærer, exam.pæd., pædagogisk konsulent i matematik, Center for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere