Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bjørn Grøn. Analysens grundlag"

Transkript

1 Bjør Grø Aalyses grudlag

2 Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til afsit De reelle tal ( del) 6 5 Kotiuerte fuktioer ( del) Opgaver til afsit De reelle tal ( del) 9 7 Kotiuerte fuktioer ( del) 3 8 Appediks : 33 Fast grud uder græseværdi- og kotiuitetsbegrebet33 Avedelse af defiitioe til præcise beviser for græseværdier36 9 Appediks : Uiform kotiuitet: 39 Værktøjet, der giver itegralregige fast grud uder føddere 39

3 Aalyses grudlag Side 3 af 4 Kotiuerte og differetiable fuktioer I gymasiets matematikudervisig idføres differetialkvotieter ormalt over to omgage Først gives e grafisk defiitio: Fuktioe f siges at være differetiabel i et, hvis grafe har e taget i puktet (, f( )) Og er dette tilfældet, så kaldes tagetes stigigstal for differetialkvotiete i, og tallet beteges f '( ) For fuktioer, vi keder, volder dee defiitio ikke større problemer, me det står i starte ikke klart, hvorda vi afgør om grafe har e taget Deræst idføres de aalytiske defiitio Det sker ormalt via e aalyse af problemet, hvor vi betragter sekater, der vadrer mod e taget Hvis f er differetiabel, må der gælde, at sekateres stigigstal ærmer sig tagetes stigigstal Sekateres stigigstal bereges af differeskvotietere:, så der skal altså gælde, at disse brøker ærmer sig tallet f '( f ( ) f ( ) ), år ærmer sig Nu ved vi, hvad der må gælde, hvis f er differetiabel Vi har brug for e defiitio, der giver os et etydigt svar på, om f er differetiabel, samt giver os mulighed for e helt præcis beregig af differetialkvotieter Defiitioe idføres i forlægelse af vor aalyse: DEFINITION f siges at være differetiabel i, hvis der gælder: f ( ) f ( ) har e græseværdi, år Er dette tilfældet, kaldes græseværdie for differetialkvotiete, og vi skriver: f ( ) f ( ) f ' ( ) år Dee defiitio volder ormalt betydeligt større vaskeligheder ed de grafiske Det gælder først og fremmest begrebet græseværdi Der appelleres her stærkt til vores ituitive opfattelse af, hvad det vil sige at» ærmer sig «kommer aldrig helt id til, me afstade id til bliver dog midre ed e hvilke som helst størrelse Det er ikke så ligetil at begribe såda e proces, der åbebart tækes fortsat i det uedelige, så forskelle bliver uedeligt lille me dog ikke Defiitioe siger, at f er differetiabel i, år dee proces: bevirker, at brøkere f ( ) f ( ) rykker stadigt tættere på et bestemt tal Og»stadigt tættere«betyder, at vi ka komme så tæt på, det øskes, blot 'ere vælges tæt ok ved I dee græseovergag vil både brøkes tæller og æver ærme sig De æste vaskelighed vedrører etop vurderige af brøke Vi ka ikke sprige ud til græse, for så står der i ævere I græseovergage står der oget uedelig småt, både i tæller og i æver E såda brøk ka ikke umiddelbart vurderes Dertil kræves først e række, af og til regetekiske, omskriviger ØVELSE Brøke vil ærme sig, år Fid tilsvarede brøker, der for vil ærme sig, ½ og Sådae tekiske omskriviger husker vi fra bevisere for, hvad differetialkvotietere af, og er Eller fra bevisere for regereglere for differetiatio

4 Aalyses grudlag Side 4 af 4 Overgage fra de overvejede grafiske vurderig af differetialkvotiete til de aalytiske defiitio med græseværdibetragtiger tager i matematikudervisige et par timer I matematikhistorie tog det 5- år, før de største matematikere åede til buds i dette og fik skabt et solidt grudlag for de matematiske aalyse Det er derfor ikke overraskede, at vi idefor differetialog itegralregig hele tide må vede tilbage og repetere: Hvad var det u, vi forstod ved differetialkvotiete, helt præcist Arbejdet med at træge til buds tog i matematikhistorie sigte mod at få bevist ogle af de fudametale sætiger om kotiuerte og differetiable fuktioer Det var sætiger, der forekom ituitivt idlysede, som feks (formuleret med vore dages otatio): MONOTONISÆTNINGEN Hvis f er differetiabel i et iterval I, så gælder: f '( ) > for alle I f er voksede i I f '( ) < for alle I f er aftagede i I 3 f '( ) = for alle I f er kostat i I Ud fra e grafisk betragtig er det klart, at hvis f '() er i et helt iterval, dvs hvis grafe har vadret taget i alle pukter, så må grafe selv være e vadret lije, og fuktioe må være kostat Idlysede! Me beviset herfor voldte store vaskeligheder Efterhåde stod det klart for de store matematikere, at et bevis for mootoisætige må bygge på to grudlæggede sætiger om kotiuerte fuktioer, sætiger vi her kalder: HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER Hvis e fuktio f er kotiuert i [ ab ; ], og f har modsat forteg i de to edepukter, så fides et tal c ] a; b[, så f ( c ) = B( b, f ( b) ) (, ( )) Aaf a a c b HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER Hvis e fuktio f er kotiuert på det lukkede og begræsede iterval [ ab ; ], så er værdimægde også et lukket og begræset iterval: Vm( f ) = [ α; β ] Specielt har f et maksimum og et miimum i itervallet

5 Aalyses grudlag Side 5 af 4 β a α b Ved e grafisk betragtig forekommer disse sætiger idlysede Og dog Mes vi»teger«et argumet for hovedsætig og lader e sammehægede graf fra et pukt A til et pukt B krydse -akse, så opstår der måske e eridrig om de problemer, der fik de gamle grækere til at forlade aritmetikke og gå over til geometrie: Hvorfra ved vi, at der er et tal på -akse, der hvor vi krydser de? Kue det ikke tækes, der var et hul, hvor vi lige katede os igeem? Det vil vi aturligvis afvise: -akse er sammehægede, ude huller Me hvad er det så for ogle tal, der ligger på -akse? Ved at zoome id på et bestemt sted, bliver vi opmærksomme på, at der er adre tal ed de ratioale De irratioale tal fylder tallije ud Me hvad er så et irratioalt tal? Det er»uedelige ikke-periodiske decimalbrøker«ige støder vi på uedelighede Og det er dybest set ufatteligt: Her er tale om π, ikke med, eller milliard decimaler; for det er stadigvæk ikke π Der skal være uedeligt mage decimaler med, før det er π Bestræbelse på at få hold på kotiuitetssætigere førte således matematikere ed til det helt fudametale spørgsmål: Har vi i det hele taget styr på, hvad de reelle tal er? Først i slutige af 9-tallet år matematikere frem til e så præcis beskrivelse af de reelle tal, at fudametet for de matematiske aalyse er i orde I 3 og 4 afsit vil vi skridt for skridt arbejde os igeem bevisere for de omtalte sætiger og å frem til e dybere forståelse for de reelle tals egeskaber Me først e lille historisk udflugt Differetial- og itegralregiges udviklig Matematikke udviklede sig eksplosivt, efter at Newto og Leibiz i slutige af 6-tallet havde åbet portee til differetial- og itegralregige Det var et kæmpekotiet, der her var opdaget det største idefor hele matematikkes verde Og i begejstrig stormede matematikere geem det æste århudrede id over det, mes de udviklede stadigt ye tekikker Hidtil var æste al matematik bygget op over geometriske betragtiger: Matematikke var så at sige vokset frem af de klassiske græske geometri Idefor geometries verde følte ma sig på sikker grud, med dees aksiomer og strege krav til at være præcis i sie argumeter I aritmetikke talbehadlige var ma på mere usikker grud I 6-tallet var ma stadig ikke fortrolig med egative tal! Når e adegradsligig havde e positiv og e egativ løsig kaldte ma de sidste for e falsk eller e umulig løsig, og ma så ormalt bort fra sådae Degag repræseterede et tal altid oget virkeligt lægder, vægt, arealer, rumfag osv Derfor var det aturligt at opløfte i tredje, svarede til rumfag, me suspekt at opløfte i fjerde, for hvad skulle det repræsetere? Irratioale tal optrådte, idet ma ude betækeligheder skrev kvadratrode eller de tredje rod af et tal Allerede i 5-tallet, hvor ma fadt formle for at løse e tredjegradsligig, var ma imidlertid begydt at fudere over, om ma kue tillægge kvadratrode af egative tal oge meig Det kue ma æppe, me ligesom med falske rødder opskrev ma dem alligevel Sådae tal blev kaldt idbildte tal og repræseterede de første skridt id i de komplekse tals verde Og dette sker som sagt, mes ma stadig er usikker på, hvad et egativt tal er I 4 afsit veder vi tilbage til dette

6 Aalyses grudlag Side 6 af 4 Geometriske betragtiger kom også til at præge differetial- og itegralregige de første 5 år Differetialkvotieter blev defieret som hældigskoefficieter for tageter E taget er som bekedt graf for det approksimerede førstegradspolyomium, og ma fadt tidligt ud af, at dette kue geeraliseres til approksimerede adegrads-, tredjegrads-,, tegradspolyomium Jo større grad, desto bedre tilærmelse Hvorfor så ikke fortsætte i det uedelige? Det så ud til, at e fuktio kue skrives som e uedelig sum af poteser e slags uedeligtgradspolyomium Efterhåde lykkedes det at udtrykke flere og flere af de kedte fuktioer på dee måde, feks: cos( ) = + + 4! 6! 8! si ( ) = + + 3! 5! 7! 9! 3 4 e = ! 4! Ligesom e taget ligger i et bestemt pukt, således er de approksimerede polyomier også bestemt ud fra et bestemt pukt Det samme gælder de uedelige rækker, hvor oveståede rækkeudvikliger af cos(), si() og e er foretaget i = Da det lykkedes at fide sådae uedelige summer for flere og flere fuktioer, år ogle af de største matematikere i 7-tallet, som Euler og Lagrage, frem til de (fejlagtige) opfattelse, at dette gælder for alle fuktioer Me er dette tilfældet, ka ma derved også helt slippe af med det mystiske græseværdibegreb, ræsoerer Lagrage, og ha beslutter faktisk at defiere differetialkvotiete som koefficiete til førstegradsleddet i de uedelige række hørede til fuktioe I oveståede eksempler er således ifølge Lagrage: cos'() =, si'() =, ep'() = De uedelige rækker kostrueres ormalt ud fra de første, ade, tredje osv afledede af fuktioe, så det ser måske ud til, at Lagrage gik i rig Me det er ikke tilfældet For hvis de uedelige række fides, så ka vi jo lave defiitioe som Lagrage gør Deræst kommer gaske vist spørgsmålet, om vi i praksis ka fide disse koefficieter, me det er et tekisk problem Euler er ikke helt så radikal Ha søger stadig at få hold på et græseværdibegreb og idfører e slags uedeligt små størrelser, som ha beteger med, og som ha rask væk reger med; feks lader ha idgå i brøker og forkorter det væk, hvor ha ka Og Euler år frem til så mage korrekte resultater, at det i sig selv var et argumet for has metode Omskrivig af fuktioer til uedelige summer af poteser havde e række idlysede fordele Matematikere havde emlig tidligt opdaget, at det er let at differetiere hvad som helst ka vi klare me det er svært at itegrere Poteser ka vi let fide stamfuktioer til, me komplicerede sammesatte udtryk må vi ofte give op over for Hvis u alt er summer af poteser, så ka vi vel bare fide stamfuktioe led for led, og på de måde itegrere vilkårlige fuktioer? Se feks på rækkere for si() og cos(): Vi fider e stamfuktio til cos() led for led: cos ( ) d = + + d = k, 4! 6! 8! 3! 5! 7! 9! og det er etop si() + k Metode slog igeem og var i årtier de domierede idefor differetial- og itegralregige De avedtes også med succes til løsig af differetialligiger Metodes geemslagskraft skyldtes aturligvis først og fremmest, at de var effektiv Me det talte også til des fordel, at ma udgik alle de mærkelige og løse ideer om græseovergage Eulers uller feks

7 Aalyses grudlag Side 7 af 4 Title på Lagrages værk var meget sigede:»teorie om aalytiske fuktioer, ideholdede differetialregiges pricipper, reset for betragtiger om uedeligt små eller forsvidede størrelser, og for betragtiger om græseværdier og fluioer, og idskræket til algebraisk aalyse af edelige størrelser«i begydelse af 8-tallet opstår der imidlertid tvivl om gyldighede af dee matematiske metode Ma opdager på de ee side fuktioer, der ikke er specielt idviklede, me som ikke ka skrives som uedelige summer af poteser Og på de ade side begyder ma at betragte uedelige summer af adre størrelser ed poteser, specielt uedelige summer af trigoometriske fuktioer Og her fider ma besyderlige resultater: Summe: cos( u) cos( 3u) + cos( 5u) cos( 7 u) + giver e fuktio med følgede graf: π/4-3π/ -π -π/ π/ π 3π/ -π/4 De kaldes Fouriers firkatbølge, opkaldet efter de matematiker, Joseph Fourier, der som de første udersøgte disse summer systematisk Ha fadt tilsvarede ud af, at de uedelige sum: si( u) si( u) + si( u) si ( u) + giver de såkaldte»savtakfuktio«med følgede graf: 3 4 π/4-3π/ -π -π/ π/ π 3π/ -π/4 E sum af to kotiuerte fuktioer giver aturligvis e kotiuert fuktio Tager vi flere og flere led med i summe gør det ige forskel: Det er stadig e pæ kotiuert fuktio Og det uaset hvor mage millioer og milliarder led vi tog med Det forekommer også idlysede, at år vi adderer grafer, der er sammehægede, må vi som resultat få oget der ige er sammehægede Me hvad ser vi så her: Tager vi alle led med dvs uedeligt mage så får vi e diskotiuert fuktio Der kommer et sprig på grafe! Dette var meget mærkelige resultater, og det tvag matematikere til at revidere mage af deres hidtidige opfattelser Fourier publicerede sie udersøgelser i 8 Året før havde e af 8- tallets største matematikere Augusti Cauchy udgivet et af sie hovedværker om de matematiske aalyse et værk, der geidfører græseværdibetragtiger, og som er det første»modere«værk om differetial- og itegralregige Me heri»beviser«cauchy, at e uedelig sum af kotiuerte fuktioer er kotiuert! Det bliver dog ikke Fourier selv, der påpeger fejle hos Cauchy Fourier var først og fremmest iteresseret i matematikkes avedelser, og has epokegørede værk med de mærkelig summer er slet ikke e matematikbog, me e fysikbog omhadlede varmeteori Det er derimod de orske Fluioer var Newtos første tilgag til uedeligt små størrelser

8 Aalyses grudlag Side 8 af 4 matematiker Niels Herik Abel, der få år seere gør opmærksom på fejle hos Cauchy og etop med»savtakfuktioe«som et modeksempel Så selv de største matematikere ka miste overblikket og begå fejl Cauchys store fortjeeste var geidførelse af græseværdibetragtiger Has græseværdibegreb er stort set det, vi aveder i dag: Hvis e række af tal,,, ærmer sig et fast tal, på e såda måde, at forskelle til sidst er så lille, som ma har øsket det, så kaldes for græseværdie af de adre Såda skrev Cauchy i 8 Ved hjælp af sit ye græseværdibegreb defierede Cauchy kotiuitet og differetiabilitet Cauchy er fra matematikkes hovedlad Frakrig og derfor de, ma lagde mærke til Has bøger blev avedt over hele Europa Me få år før defierede e tjekkisk matematiker, Bolzao, faktisk græseværdier og kotiuitet på samme modere måde som Cauchy Bolzaos målsætig var at bevise de første hovedsætig om kotiuerte fuktioer, og ha åede lægere ed adre på has tid, me dog ikke til vejs ede Ha stødte pade mod de mur, der hedder de reelle tals opbygig Has værk fik ikke de betydig, det havde fortjet i Tysklad og Frakrig blev Bolzao først kedt, efter ha var død Det blev tyskere Karl Weierstrass, der i 86 ere fuldførte Cauchys værk og edelig fik skabt det modere og præcise græseværdibegreb De måde, hvorpå e matematiker i dag opskriver defiitioe på kotiuitet, år ha skal være helt præcis, er ord til adet taget fra Weierstrass 3 Weierstrass arbejde lagde også grude til, at e af has elever, Georg Cator, samme med Richard Dedekid i 88 ere edelig fik hold på de reelle tals opbygig Disse to tyske matematikere fordybede sig ikke midst i de matematiske og filosofiske problemer omkrig de reelle tal og uedelighedsbegrebet De opdagede emlig, at uedelighed ikke bare er uedelighed: Allerede Galilei havde faktisk gjort opmærksom på det paradoks, at der i kraft af sammeparrige:, 4, 3 9, 4 6,,, tilsyeladede er lige mage aturlige tal og kvadrattal selv om mægde af kvadrattal åbelyst er e beskede delmægde af de aturlige tal Der er også i e vis forstad lige mage hele tal og ratioale tal, idet samtlige brøker ka stilles op på række og tælles Dette er lidt vaskeligere ed Galileis sammeparrig, me prøv selv, om du ka løse opgave for de positive, ratioale tal, ved at følge dee opskrift: Gruppér først alle brøkere i halve, tredjedele, fjerdedele osv, og stil tallee i hver af disse grupper op i rækkefølge, feks således: 3 4,,,, Placer alle disse (uedeligt mage) rækker uder hiade Og fid u e sedig måde at tælle diagoalt, så du får alle med Lykkes det, er alle brøkere stillet op på række, og derved parret samme med de aturlige tal Me de irratioale tal ka ikke stilles op i række: Der er lagt flere irratioale ed ratioale tal Der er altså forskellige grader af uedelighed Det var e af Cators store opdagelser De modere matematiske aalyse tager sit udgagspukt i det arbejde, som disse matematikere lavede for godt år side 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer De sætiger, vi har vist, og metoder, vi har udviklet idefor differetial- og itegralregige og teorie for løsig af differetialligiger, bygger på mootoisætige og på hovedsætigere om kotiuerte fuktioer Og disse bygger ige på de reelle tals egeskaber Vores første etape vil være at få bevist mootoisætige Udervejs vises adre vigtige sætiger fra differetialregige Som forudsætig har vi således i dette afsit: Abel er i matematikhistorie bla kedt som de, der beviste, at der ikke ka fides e formel for løsig af femtegradsligiger (og heller ikke af oge højere grad), som vi keder det fra adegradsligiger, og som der også fides for tredje- og fjerdegradsligiger 3 Weierstrass tekik er geemgået i appediks

9 Aalyses grudlag Side 9 af 4 HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER Hvis e fuktio f er kotiuert på det lukkede og begræsede iterval [ ab ; ], så er værdimægde også et lukket og begræset iterval: Vm( f ) = [ α; β ] Specielt har f et maksimum og et miimum i itervallet Først geopfrisker vi fra differetialregige: SÆTNING OM LOKALE EKSTREMA Hvis f er differetiabel i et iterval, og f har et lokalt ekstremum i et idre pukt c, så er f '(c) = a c b Bevis: Lad os sige, at c er et maksimumspukt (beviset går efter samme melodi for et miimumspukt) At f har lokalt maksimum i c betyder, at der fides et iterval om c, således at f i dette iterval har størsteværdi i c, se tegige ( ) ( ) f f c f er differetiabel i c, dvs f '( c) år c c Vælg u e række -værdier til vestre for c, så,, 3, c f f c Se på forteget for sekathældigere (differeskvotietere) c Da ligger til vestre for c, er c< Da f(c) er størst, er f ( ) f ( c) f ( ) f ( c) ( ) ( ) Dvs for alle disse værdier er c Vælg deræst e række tal til højre for c, så: z, z, z3, c f ( z ) f ( c) Se på forteget for sekathældigere, og argumeter for, at: z c f ( z ) f ( c) For alle disse værdier er z c Betragt du tallije, og afsæt herpå alle disse sekathældiger: : ( ) ( ) f z f c z c ( ) ( ) f z f c z c ( ) ( ) f f c c ( ) ( ) f f c c Når c, og år z c Det kommer fra defiitioe på differetialkvotiet, vil brøkere ærme sig ét bestemt tal, emlig '( ) f c

10 Aalyses grudlag Side af 4 Me så ka f '( ) ( ) ( ) f f c c ikke være egativ, for så ville brøkere c f ' c ikke være positiv ikke kue komme vilkårlig tæt på f '( c ) Tilsvarede ka ( ) Koklusio: f '( c ) må være lig med Næste skridt frem mod mootoisætige udgøres af to berømte sætiger fra differetialregiges historie, Rolles sætig og Middelværdisætige Middelværdisætige er et stærkt redskab i teoretisk matematik, hvorimod de mere sjældet fider avedelse til løsig af praktiske beregigsopgaver Det skyldes, at sætige har e ade karakter ed vi er vat til: Det er e såkaldt eksistessætig, der udtaler sig om, at der fides et tal, hvorom oget bestemt gælder; me sætige siger ikke hvilket tal, eller oget som helst om, hvorda vi fider dette tal Rolles sætig, som vi først viser, er et specialtilfælde af Middelværdisætige; me vi viser de først, fordi de ka avedes til at give et grafisk set letforståeligt bevis for middelværdisætige ROLLES SÆTNING 4 Hvis f er differetiabel i itervallet [ ab ; ], og f ( a) = f ( b) =, så fides et c ] a; b[ f '( c ) = De grafiske situatio ka være følgede:, hvor c a c b eller a c b Bevis: Vi skeler mellem to tilfælde: f er kostat lig med Så er f '() = for alle, og sætige er idlysede sad f er ikke kostat Da f specielt er kotiuert, siger hovedsætig om kotiuerte fuktioer, at Vm( f ) er et lukket iterval: Vm( f ) = [ α; β ] α og β er heholdsvis miimum og maksimum, og midst ét af dem er forskelligt fra ; feks β Maksimum atages i et tal c ] a; b[ : f ( c) = β Teg situatioe! Sætige om lokale ekstrema siger da, at f '(c) = Me det var etop påstade i Rolles sætig, som hermed er vist Ved hjælp af Rolles sætig vises u: 4 Sætige optræder første gag i e bog, som de fraske matematiker Michel Rolle udgav i 69 Rolle beviste ikke sætige, me formulerer de som et hjælpemiddel til at løse visse ligiger Ha er ikke kedt for adet i matematikhistorie

11 Aalyses grudlag Side af 4 MIDDELVÆRDISÆTNINGEN Hvis f er differetiabel i [ ab ; ], så fides et tal c ] a; b[, så f '( c) De grafiske situatio ka være følgede: l = ( ) f ( a) f b b a B A a c c b f ( b) f ( a) Bemærk at er hældige på lije l Det er altså i e vis forstad de geemsitlige stigig, år vi går fra A til B Deraf avet Middelværdisætige b a Bevis: Lad l() være de lieære fuktio, hvis graf er l Så er l( a) = f ( a) og l( b) = f ( b), og edvidere l' ( ) Vi daer u e y fuktio g: g( ) = f ( ) l( ) = ( ) f ( a) f b b a for alle g() opfylder betigelsere i Rolles sætig: De er differetiabel, og g( a) = f ( a) l( a) =, samt g( b) f ( b) l( b) Vi aveder Rolles sætig på g: Der fides et c ] a; b[, så: = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g' c = f ' c l' c = f ' c = l' c f ' c = ( ) f ( a) f b b a Overvej hvorfra vi fik de sidste idetitet! Dee sidste idetitet var etop påstade i Middelværdisætige, som hermed er vist Bemærk at kostruktioe af g ret grafisk svarer til at vi drejer systemet med f og l ed, så A og B kommer til at ligge på -akse Her avedes Rolles sætig der er e vadret taget og vi drejer så tilbage ige, og får e tagethældig svarede til stigigstallet for l ØVELSE a) Aved Middelværdisætige til at bevise Itegralregiges middelværdisætig: Hvis f er kotiuert i [ ab ; ], så fides et tal c, så:

12 Aalyses grudlag Side af 4 b ( ) = ( ) eller skrevet på e ade måde: f ( ) d = f ( c ) ( b a ) f c f d b a a (Hjælp: Lad F() være e stamfuktio til f() Opskriv middelværdisætige for F() i itervallet ab ;, og udyt defiitioe på det bestemte itegral) [ ] b) Lav e tegig, hvor f() > og giv e grafisk begrudelse for Itegralregiges middelværdisætig Vi har u apparatet klar til at bevise: MONOTONISÆTNINGEN Hvis f er differetiabel i et iterval I, så gælder: f '( ) > for alle I f er voksede i I f '( ) < for alle I f er aftagede i I 3 f '( ) = for alle I f er kostat i I Bevis for : Vælg og, så b a < Vi skal vise, at f er voksede, dvs vise, at f ( ) f ( ) > : f ( ) f ( ) Betragt u f på itervallet [ ; ], og aved Middelværdisætige her: Der fides et c mellem og, så: f '( c) = ( ) ( ) f f Omskriv til: f ( ) f ( ) = f '( c) ( ) Se u på forteget for højre side: f ' c > ifølge atagelse i ( ) ( ) >, idet tallee er valgt såda Derfor er hele højre side positiv; me det betyder: f f ( ) ( ) >, eller med adre ord: f ( ) er større ed ( ) Koklusio: < f ( ) < f ( ), eller: f er voksede f ØVELSE Geemfør selv bevisere med de ædriger, der skal laves i pukt og 3

13 Aalyses grudlag Side 3 af 4 Opgaver til afsit 3 Du er kørt i bil fra e by A til e by B 5 km borte Ture tog i alt timer Argumemtér for, at uaset hvorda du kørte, så var farte midst é gag uder ture præcis 75 km/t To fly på rute Købehav New York starter samtidig fra hver si lufthav Ture for begge fly tog 7 timer Vis, at de på et tidspukt uder flyveture fløj med øjagtig samme fart (bortset fra start- og sluthastighede på km/t) 3 3 Illustrer middelværdisætige for f ( ) = + + i itervallet [ ;] a) Vis at påstade i sætige er følgede: ; : Der fides et tal c i itervallet [ ], så f '( c ) = 3 b) Bestem det eller de tal c, hvor f '( c ) = 3, og demostrer derved, at sætige er sad i dette tilfælde 4 Illustrer middelværdisætige for f ( ) = i itervallet [ ; ] a) Vis at påstade i sætige er følgede: ab : Der fides et tal c i itervallet [ ab ; ], så f '( c) = b a b) Vis at dette svarer til ligige: f '( c) = a+ b c) Bestem det tal c, der opfylder dee ligig, og vis at dette ligger i [ ab ; ] d) Illustrer resultatet grafisk b a a) Vis at såfremt f er differetiabel og har 4 forskellige ulpukter i [ ab ; ], så har f '( ) midst 3 forskellige ulpukter i samme iterval b) Geeraliser påstade i a) til situatioe, hvor f har forskellige ulpukter i [ ; ] ab a) Vis at såfremt f er to gage differetiabel i [ ab ; ], og f har tre forskellige ulpukter, da har f ''( ) midst ét ulpukt i samme iterval b) Formuler selv, hvad der tilsvarede gælder om de tre gage afledede f (3), hvis f er tre gage differetiabel i [ ab ; ], og f har 4 ulpukter i dette iterval c) Aved oveståede tekik til at argumetere for, at et 'tegradspolyomium højst har forskellige rødder a) Vis at såfremt f og g er differetiable i [ ab ; ], f ( a) g( a), og f '( ) g' ( ) a < < b, så gælder, at f ( ) g( ) for alle [ ab ; ] (Hjælp: Lav et idirekte bevis, dvs atag der fides et, hvor f ( ) g( ) så Middelværdisætige) b) Vis tilsvarede: Hvis der yderligere gælder: f '( ) < g' ( ) for alle [ ab ; ] f ( ) < g( ) for alle [ ab ; ] for >, og udyt, så er også

14 Aalyses grudlag Side 4 af 4 8 Aved resultatere i opgave 7 til at vise følgede uligheder: si( ) ta ( ) π < <, for < < 9 Atag f er to gage differetiabel i itervallet [ ab ; ], og at f ''( ) > for alle her a) Vis at f '( ) er voksede b) Lad p( ) være det approksimerede førstegradspolyomium i a Vis at p' ( ) < f '( ) for alle ] ab ; ] c) Udyt resultatet i opgave 7 til at vise: I itervallet ] ab ; ] ligger grafe for f helt over tagete til grafe i puktet ( a, f ( a )) (Hjælp: Lav e tegig, der illustrerer situatioe) E fuktio med egeskabe f ''( ) > eller f ''( ) < kaldes for koveks i det pågældede iterval Vi skeler mellem de to typer ved at tale om, at grafe for e fuktio f '' > er opad hul, og grafe for e fuktio med egeskabe med egeskabe ( ) f ''( ) < kaldes edad hul Formuler og vis e tilsvarede sætig som i opgave 9c gældede for fuktioer, hvis grafer er edad hule, dvs fuktioer, der er to gage differetiable, og hvor der gælder, at f ''( ) < for ab ; alle ] ] Udyt opgave 9 og til at vise følgede: Hvis f er to gage differetiabel, og der gælder f ''( a ) = samt ( ) f ''( ) < år < a (dvs fortegslije for f ''( ) tagete i ( a, f ( a )), år vi befider os til vestre for a (år a befider os til højre for a (år > a ) E såda taget kaldes derfor e skrå vedetaget 4 3 Vis at f ( ) = + har e skrå og e vadret vedetaget f '' > år > a, og er: +), så vil grafe for f ligge uder < ), og over tagete, år vi 3 Atag at f er to gage differetiabel og at f ''( ) > i ] ab ; [ Lad l være sekate fra ( a, f ( a )) til ( b, f ( b )) Vis at grafe for f ligger helt uder l i hele ] ab ; [ (Hjælp: Lav et idirekte bevis: Atag der fides et hvor ( ) Middelværdisætige på heholdsvis [ a ; ] og [ ; ] om f '( )) f ligger på eller over l Aved b og få e modstrid med, hvad du ved 4 Aved resultatet i opgave 3 til at vise følgede: Hvis f er to gage differetiable, og f ''( ) > i ] ; [ + f ( ) + f ( ) ab, så er ( ) f (Dette er første udgave af Jeses ulighed e af de få berømte sætiger i matematikhistorie opkaldt efter e dask matematiker) 5 Vis De geeraliserede middelværdisætig: I ab ; Hvis f og g er differetiable i itervallet = [ ], og ( ) g' i I, så fides et tal c i I, så:

15 Aalyses grudlag Side 5 af 4 f ( b) f ( a) f '( c) = g( b) g( a) g' ( c) (Hjælp: Argumeter først ved hjælp af middelværdisætige for, at g( b) g( a) Betragt deræst fuktioe h( ) = ( f ( b) f ( a) ) g( ) ( g( b) g( a) ) f ( ), og vis hb ( ) ha ( ) Aved så edelig middelværdisætige på h( ) ) = 6 Vis ved hjælp af resultatet i opgave 5, De geeraliserede middelværdisætig, følgede vigtige sætig til vurderig af græseværdier (sætige kaldes l Hôpital s regel, opkaldt efter e rig frask adelsmad, der købte sætige af e kap så rig, me meget dygtig matematiker): Hvis f og g begge har græseværdie for a, hvis g( ) og g' ( ), år a, og hvis f '( ) L g', år a, så gælder også, at f ( ) L g, år a ( ) ( ) Sætige gælder også, hvis vi idskræker os til at se på græseværdier fra højre eller vestre (Hjælp: Hvis f og g ikke er kotiuerte i a, så lav e kotiuert udvidelse af dem, dvs defiér fuktioer F() og G(), der er lig med heholdsvis f og g år a, og som begge er i a Vælg deræst et a, og vis ud fra De geeraliserede middelværdisætig, at der fides et c mellem a og, så: ( ) ( ) ( ) ( ) f f ' c = g g' c Foretag u græseovergage 7 Aved opgave 6 til at fide følgede: a) græseværdie af si() t t a og kokludér ud fra oveståede ligig), for t b) græseværdie af , for t c) græseværdie af l ( ), for d) græseværdie af si () t t π, for t π e) græseværdie af si, for ( ) (For e: sæt på fælles brøkstreg, og udyt regle to gage)

16 Aalyses grudlag Side 6 af 4 8 De cetrale sætig om stamfuktioer siger: Hvis f er kotiuert med stamfuktioe F, så ka ehver ade stamfuktio til f skrives på forme: F() + k, hvor k er e kostat Fid beviset for dee sætig, og gør rede for, hvor præcis det er, vi aveder mootoisætige 9 E opgave ideholder følgede delspørgsmål: Bestem mootoiforhold for f ( ) = 6 Gør rede for, hvor præcis det er, vi aveder mootoisætige, og hvor vi aveder de første hovedsætig om kotiuerte fuktioer Aved mootoisætige til at bevise følgede formler: l r ( ) = l ( ) l( ) = r l ( ) (Bemærk: Du må ikke avede regereglere for logaritmefuktioere; det er jo dem, vi er i færd med at vise Du må derimod avede, at l' ( ) =, og at l ( ) = ) g = l + l ) (Hjælp: Betragt fuktioe ( ) ( ) ( ) Aved mootoisætige til at vise: e > +, for (Hjælp: Opdel i to tilfælde: < og Alterativt bevis: Udyt resultatet i opgave 7) >, og betragt fuktioe f ( ) e ( ) = + a) Aved mootoisætige og resultatet i opgave til at vise: e > + +, år > b) Aved mootoisætige og resultatet ovefor til at vise: 3 e > + + +, år > 3! c) Geeraliser resultatet ovefor og vis: 3 4 e , år > 3! 4! 4 De reelle tal ( del) Tallees historie er æste lige så gammel som det modere meeskes Vi ka spore vore direkte forfædre 3 år tilbage Da Cro Mago meeskee blev i Europa, mes ise rykkede ed over kotietet, bosatte de sig i store huler i det uværede Frakrig, Spaie Tjekkiet og adre steder I e hule i Tjekkiet har ma fudet e ulvekogle, hvori der tydeligt er ridset e række streger i budter på 5 af gage, ca 3 i alt Disse meesker har haft et talsystem, der er mere avaceret ed»e, to, mage«det har åbebart været et 5-tals- eller et -talsystem (eller evt et - talsystem), og de har måske haft talord op til 3 eller lægere Det sidste ka vi u ikke kokludere ud fra tællemærkere ma ka sagtes tælle i budter på 5 ude at have egetlige talord Disse første tal, som vi bruger til at tælle med, kalder matematikere for»de aturlige tal«de beteges : =,,3,4, { } Tallet er ikke med Det er svært at fide e»aturlig«repræsetat for I skriftsproget optræder det først som et fravær, oget der ikke var der, e tom plads Først flere hudrede år ekr dukker i

17 Aalyses grudlag Side 7 af 4 Idie et symbol for ul op Og det tog lag tid, før det blev accepteret på lige fod med adre hele tal romertallee, der blev brugt til beregiger helt op i 6-7 tallet, ideholder som bekedt ikke et ul Heller ikke de egative tal ka fides i ature Det er meigsløst at sige, at ma så 7 æder Negative tal fremkommer ved, at meeskee har lavet ogle beregiger og således opstod de da også samme med bogholderiet omkrig -tallet i Norditalie Først som»røde tal«, dvs tal skrevet med e ade farve; efter ogle hudrede år vider miusteget efterhåde frem 5 Matematisk defieres og de egative tal ud fra kravet om at ligige a + = b skal have løsiger for ethvert aturligt tal a og b De hele tal beteges med : =, 3,,,,,,3, { } Brøkere har derimod e lægere historie, og er da også lette at få øje på i ature Hos de gamle ægyptere var brøkregig e af de vigtigste disciplier at lære for embedsmædee Og det var bestemt ikke let de havde ikke vores talsystem, og kedte således heller ikke vores simple divisiosmetode til at omskrive brøker til decimaltal Matematisk idføres brøkere (de ratioale tal) ud fra kravet om, at ligige a = b skal have e løsig for alle hele tal a og b, hvor a De ratioale tal beteges Der var mage vaskeligheder at overvide, før ma kue tage æste store skridt og idføre de reelle tal Før ma ka give e præcis defiitio, må der gå e periode, hvor ma arbejder med disse tal, væer sig til dem, og får e foremmelse for de særlige egeskaber, der karakteriserer de reelle tal Me hvorda væe sig til oget, ma ikke ka skrive? De irratioale tal er jo kort fortalt de uedelige ikke-periodiske decimalbrøker Vi er så vat til at bruge decimalbrøker, at vi har svært ved at forestille os et samfud, hvor ma ok har tal, og reger med brøker, me ikke keder decimalbrøker Det er imidlertid ikke så læge side, de blev idført vi ka faktisk sætte årstal på: I 585 skriver de holladske matematiker Simo Stevi de bog, der itroducerer decimalbrøkere i Europa, og viser, hvor ekelt det er at rege med disse Det var e lille tyd bog, med udertitle:»udervisig i, hvorledes alle beregiger, ma møder i forretigslivet ka udføres ved hjælp af hele tal, helt ude brug af brøker«stevi avedte edu ikke kommaet det er e ret y opfidelse me agav i stedet ved små mærker, hvilke plads»efter kommaet«et ciffer stod på:,34 skrev ha som 3 () 4 () I løbet af få år var boge blevet oversat til frask, egelsk og adre europæiske sprog, og kedt i det meste af Europa Før skulle ma ærmest have e uiversitetsuddaelse for at kue gage og dividere Stevi lærte almidelige meesker at rege, efter ogelude samme metode, som vi i dag bruger, år vi udreger gage- og divisiosstykker i håde Med decimalbrøkere tager Stevi selv allerede det æste skridt: Der er ige objektive græser for, hvor øjagtigt vi ka måle, veje osv Der ka altid føjes et yt ciffer på Da koordiatsystemet blev idført midt i 6-tallet lå det ligefor at idetificere tal med pukter på lije, bestemt ud fra afstade til begydelsespuktet Decimalbrøkere var det første stykke værktøj, matematikere måtte have for at kue begribe, hvad et irratioalt tal er Me det er ikke ok, for selv om ma kue tæke på e uedelig ikkeperiodisk decimalbrøk, så ka ma jo ikke skrive e såda Det problem blev løst æste samtidig med, at Stevi idførte decimalbrøkere De fraske matematiker Viète får de ekle take, at år vi ikke ka skrive e uedelig decimalbrøk, som eller π, så ka vi i stedet give tallet et av, a, b eller etop som vi skriver i dag: 5 Descartes, der idfører koordiatsystemet midt i 6-tallet, er stadig usikker på de egative tals status Hvor vi placerer koordiatsystemets cetrum (kaldet Origo), dvs puktet med koordiatere (,) midt på papiret, der placerede Descartes det i ederste vestre hjøre Og selv i vore dage fides usikkerhede geem folkeskoleudervisige lærer mage elever stadig at placere cetrum som Descartes gjorde

18 Aalyses grudlag Side 8 af 4 og π Og derefter lade tallet idgå i beregiger med sit av! Viète er de første, der begyder at idføre de modere otatio, hvor vi beteger tal med bogstaver Viète foreslog at betege ukedte størrelser med vokaler, kedte størrelser med kosoater Et halvt århudrede seere ædrer Descartes dette til vort uværede system: Bogstaver først i alfabetet beteger fastlagte størrelser (kostater), og bogstaver sidst i alfabetet beteger»ukedte«størrelser (variable) Med Viètes og Stevis ye ideer havde matematikere værktøjet, me ma kom til at vete læge på de præcise defiitio af, hvad et irratioalt tal er Dette vil vi i det følgede ærme os geem e række øvelser, hvor vi i starte tillader os at rege med uedelige decimalbrøker, ude at se oget problem i det EKSEMPEL Omskrevet til decimalbrøk får vi følgede:,5 4 = =,333 =,3, hvor strege over 3 betyder, at 3 getages»i det uedelige«3 I det sidste tilfælde siger vi også, at tallet er periodisk med periode Tilsvarede: =,888 =,8 Tallet er periodisk med periode ØVELSE Omskriv tilsvarede: = 7 5 = 5 7 = Udreges de sidste på lommereger, får vi:, Hvorfra ved vi, at der er e periode, som fortsætter? ØVELSE Omskriv: 4 7 = Lommeregere ka ikke hjælpe dig her Du må i gag med papir og blyat Overvej øje følgede: Hvorår ka vi være sikre på, at vi»starter forfra«, dvs at vi har fudet periode? Argumeter herefter selv for følgede:

19 Aalyses grudlag Side 9 af 4 SÆTNING Ehver brøk p q, hvor pq,, ka skrives som e edelig eller e uedelig og periodisk decimalbrøk EKSEMPEL Edelige decimalbrøker omskrives let til brøker Eksempelvis er: 37,37 = I virkelighede har vi lavet følgede regestykke: 37 =, 37 = 37 = Samme takegag ka vi avede til omskrivig af uedelige, periodiske decimalbrøker: = 573,7373 = 5, = 568 Dvs = ØVELSE 3 Omskriv efter samme idé tallee: a) =,3434 b) = 8, c) = 5,3 Argumeter u for følgede: SÆTNING Ehver edelig eller uedelig og periodisk decimalbrøk ka omskrives til e almidelig brøk, med hele tal i tæller og æver Da vi u har set, at de ratioale tal (brøkere) præcis er de edelige eller uedelige og periodiske decimalbrøker, så har vi samtidig aalyseret os frem til e karakteristik af de øvrige, irratioale tal: Dette må være tal, der skrives som uedelige, ikke-periodiske decimalbrøker Tæker vi lidt dybere over dette, rejser der sig e række spørgsmål Fides der overhovedet irratioale tal? Hvis der gør, fides der så metoder til at afgøre om et tal er irratioalt? Hvad skal vi forstå ved e uedelig decimalbrøk? Og specielt: Er et tal som π irratioalt? ØVELSE 4 (Der fides irratioale tal!) Selv om vi edu ikke har forklaret, hvad e uedelig decimalbrøk er, vil vi fortsat appellere til ituitioe og rege videre Et irratioalt tal er e uedelig decimalbrøk:, aaaa, 3 4

20 Aalyses grudlag Side af 4 hvor der ikke fides oge periode efter hvilke a ere getages Ka vi da agive et system, efter hvilket det er idlysede, hvorledes a ere fortsætter, og samtidig klart at, der ikke kommer oge periode? Det ka vi sagtes, for systematik behøver jo ikke være getagelse: Det mest systematiske er vel æste de aturlige tal:,,3,4, De fortsætter og fortsætter me skriv så dee række ude komma imellem:, Det må være et irratioalt tal Prøv u selv at fide adre irratioale tal, kostrueret efter samme idé om et system, der ikke rummer getagelser ØVELSE 5 Vis at er irratioal (Hjælp: Lav et idirekte bevis, hvor vi atager er ratioal og får e modstrid Dvs vi atager p =, hvor p og q er hele tal Lad os samtidig sige, p er forkortet så meget som muligt, så p og q q p q ige fælles faktorer har Opløft u i ade og betragt ligige: = Omskriv ligige og q prøv at vise, at går op i både p og q det vil jo være e modstrid med, at brøke var uforkortelig) ØVELSE 6 Bevis efter samme idé, at 3 er irratioal Der fides ikke e geerel og fælles metode til at afgøre, om et tal er irratioalt Det må afgøres i hvert ekelt tilfælde Derfor har vi de barokke situatio, at der i virkelighede fides uedeligt mage flere irratioale tal ed ratioale, me vi»keder«relativt få irratioale tal Tallet π vides i dag at være irratioalt Beviset herfor er meget vaskeligt Tilsvarede ved vi, at tallet e er irratioalt (hvilket i øvrigt ikke er slet så svært at vise) Me vi ved feks ikke, om tallet e π er irratioalt På lommeregere er alt ratioalt Feks er π = 3, Dette er aturligvis ikke π Me dette ratioale tal, der er e tilærmelse til π, ka give os e idé om, hvorledes vi ka»fage«, eller»udpege«det irratioale tal π ved hjælp af lutter ratioale tal π ligger i hvert af itervallere: I = I = I3 = I4 = I5 = [ 3;4] [ 3,;3, ] [ 3,4;3,5] [ 3,4;3,4] [ 3,45;3,46] Dee kæde af itervaller ka tilsyeladede fortsættes i det uedelige: I I I3 I4 I5 I6 I, og itervalbredde ærmer sig, år går mod uedelig Da π ligger i alle, må π»ligge på bude«af hele kæde Et sådat system kaldes e itervalruse

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010 Helede miljø e udfordrig for patietsikkkerhed? Workshop Patietsikkerhed og syge bør fredag de 15. oktober 2010 Elisabeth Brøgger Jese mag.art. kultursociolog elisabeth.broegger.jese@regioh.dk. Pricipper

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen Professioel IT-forudersøgelse og MUST-metode Jesper Simose simose@ruc.dk www.ruc.dk/~simose Datalogi, hus 42.1 Roskilde Uiversitetsceter Uiversitetsvej 1 4000 Roskilde Telefo: 4674 2000 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Vejledning til brug ved ansøgning om patent

Vejledning til brug ved ansøgning om patent Vejledig til brug ved asøgig om patet Idhold: Hvad ka pateteres hvorår og hvorda? 1 Såda søger De patet i Damark 3 Et praktisk eksempel 5 Hvorda behadles asøgige? 12 Patetbeskyttelse i flere lade 14 Biblioteks-liste

Læs mere

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System Itelliget Drivesystems, Worldwide Services DK Alumiiumsgear og -motorer Fås med Sealed Surface Coversio System NORD Itelliget Drivesystems, Worldwide Services Fordele ved alumiiumsgear Korrosiosbestadigt

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013...det brugervelige gulv Smart på mage......forskellige måder Lami art Black & Hype Der fides æppe oget gulv, der sætter brugere mere i fokus ed lamiatgulve fra Tarkett.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere