2. Å RG A N G NR. 3 / 2003

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2. Å RG A N G NR. 3 / 2003"

Transkript

1 2. Å RG A N G NR. 3 / 2003 OPTIMALE KONSTRUKTIONER - når naturen former Mange natur- og menneskeskabte konstruktioner har optimale egenskaber, eller er resultat af forsøg på at opnå optimale egenskaber: rosens blade er arrangeret, så bladene får mest muligt lys; sæbebobler har minimal overflade; flybjælker skal være så lette som muligt. Et optimeringsproblem er tit så kompliceret, at det er umuligt at regne sig frem til en løsning, men når man først har set eller indset løsningen, er det ofte muligt at gennemskue dens matematiske egenskaber.

2 EN PLADS I SOLEN - BRUGER NATUREN MATEMATIK? Hvorfor danner solsikkens frø et mønster med 34 kurver med uret og 2 kurver mod uret? Når man ser på en solsikkes blomsterstand, fanges øjet af nogle spiraler, der både drejer venstre og højre om. Hvorfor vokser frøene langs disse spiraler? Hvorfor er antallet af spiraler i forskellige solsikker netop 3, 2, 34 eller 55? Hvor kommer disse tal fra? Hvad der følger her, er blot antydningen af en forklaring. Den levende natur er ikke en matematisk opgave med et entydigt facit. Vi skal blot skitsere en matematisk model af væksten i en solsikkes blomsterstand. Inden for denne model kan vi komme nærmere på nogle svar på ovenstående spørgsmål. En primitiv vækstmodel En meget grov model af væksten i en solsikkes blomsterstand er følgende. Vi forestiller os, at frøene dannes ét ad gangen ud fra et centrum øverst i stilken og, når de første er dannet, flytter langsomt væk fra centrum langs en ret linje. Mellem retningerne for to på hinanden følgende frø er der en bestemt vinkel, som vi vil kalde drejningsvinklen. Se figur. Talværdien af drejningsvinklen er, som vi skal se, helt bestemmende for det mønster, frøene danner. Lad os her måle drejningsvinklen som brøkdele af en hel cirkel, så svarer fx 90 til = /4. Bemærk, at vi kun behøver at betragte mellem 0 og /2, da vi vil få samme mønster for som for -. Hvis drejningsvinklen fx er /7, vil der fremkomme 7 stråler ud fra centrum. Se figur 2. Det ligner noget, der kunne blive til en rund blomsterstand. Der er dog det problem, at de 7 stråler kommer længere og længere fra hinanden, jo større blomsterstanden bliver, så der opstår områder, hvor der er langt mellem frøene. Og helt inde i centrum er der det problem, at når et frø er dannet, skal det næste frø dannes umiddelbart ved siden af. Drejningsvinkel og spiraler En måde at undgå dette sidste problem ville være at have en drejningsvinkel som et rationalt tal af formen p/q, hvor p og q er naturlige tal. Så får vi q stråler, men hver gang et frø er afsat, springer vi p stråler frem, før det næste afsættes. Ved at vælge p ca. halvt så stor som q, vil vi anbringe det næste frø så langt rundt om blomsterstanden som muligt. Men se nu det mærkelige, der sker, hvis vi vælger drejningsvinklen til et tal som fx /23, se figur 3. Der dannes 23 stråler, men nær centrum ser øjet slet ikke disse stråler, men derimod to spiraler! Det skyldes, at afstanden mellem frøene langs disse to spiraler er mindre end afstanden mellem frøene i de enkelte stråler. Og når frøene ligger tættere langs en kurve (her en spiral), end de gør langs stråler, fornemmer øjet kurven snarere end det større mønster. At vi nær centrum ser netop to spiraler skyldes, at drejningsvinklen /23 er tæt på at være /2. Solsikken har udviklet en drejningsvinkel på α = ( 3 5) / 2 som kaldes den gyldne vinkel, og som med tre decimalers nøjagtighed er lig med 0,382, hvilket svarer til 37,5. I en vis afstand fra centrum vil man kunne se 3 spiraler, fordi 5/3 er en god rational approximation med lille nævner til 0,382, hvilket betyder, at 3 på hinanden følgende frø i alt vil have beskrevet en drejning tæt på 5 omgange. Et nyt frø vil således blive afsat tæt på det frø, der blev afsat 3 frø tidligere. Men hvorfor har solsikken udviklet en drejningsvinkel på 0,382? Vi har set, at rationale drejningsvinkler med lille nævner vil give dårlige pakninger af blomsterstanden. Før eller siden vil strålerne skilles ad, med dårlig udnyttelse af pladsen til følge. Foto: Erik Frausing 2

3 Model af rose, hvor bladene er arrangeret på samme måde som solsikkens kerner. Hvert nyt blad er drejet 37,5 i forhold til det foregående. Model af en rose, hvor bladene er arrangeret p a samme m ade som solsikkens kerner: Hvert nyt blad er drejet 37.5 grader i forhold til det foreg aende. Simple brøker Vi kalder en brøk simplere end en anden, hvis nævneren er mindre. Ved valg af optimal drejningsvinkel skal man altså søge at undgå de simpleste brøker mest muligt. Man kan bruge dette princip til at konstruere en følge af brøker mellem 0 og /2, der nærmer sig den optimale drejningsvinkel. Vi starter med den simpleste brøk 0/, og vælger derefter den simpleste, der ligger længst muligt væk, nemlig /2. Den simpleste brøk mellem 0 og /2 er /3, og den simpleste brøk mellem /2 og /3 er 2/5. Således fortsættes og man får Den gyldne vinkel og evolution Hvis vi ser frøpakning som en evolutionsmæssig faktor, må vi forestille os, at de planter, der (mere eller mindre tilfældigt) er bedre til at pakke deres frø, i gennemsnit vil få flere afkom; og på denne måde forsvinder de mutationer, der pakker med uhensigtsmæssige vinkler, og de mutationer, der pakker tæt på den gyldne vinkel, vil få mange efterkommere. Da denne proces er foregået over millioner af år, ser vi i dag kun de pakningsperfekte solsikker. At nye skud, frø, blade på stængler etc. vokser frem efter en drejning med den gyldne vinkel, og at der derved kommer Fibonacci tal frem som antal af spiraler, man tilnærmelsesvis kan se, er et fænomen, der også kan observeres i så vidt forskellige vækster som blomkål og grankogler Hver ny brøk er den simpleste mellem de to foregående, og man kan vise, at den fås ved at addere henholdsvis tæller og nævner for de to foregående. 2 Vi bemærker, at tællere og nævnere er følger af de såkaldte Fibonacci tal, hvor hvert tal er summen af de to foregående. Hvis rækken af brøker fortsættes, går brøkerne mod ( 3 5) / 2. Pakningen ser nu ud som på figur

4 OPTIMERING - c o m p u t e r e n f i n d e r v e j a b c d e Elementerne i topologioptimering Materialetætheden i den enkelte pixel er i blåtoneskala. (a) udgangspunktet: en bjælke med jævnt fordelt materiale. (b) en analyse af bjælkens stivhed. (c) et gradvist forbedret design. (d) en analyse, der viser, at stivheden er forbedret. (e) slutresultatet: det optimale design. Konventionelt design af gulvbjælke i fly. Den topologioptimerede bjælke på foregående figur er 40 % stivere for samme vægt. Man kan ikke ved blot at ændre formen og placeringen af de seks runde huller i det konventionelle design opnå resultatet på figuren ovenfor, hvor der er 7 huller: de to bjælker er topologisk forskellige. Det er velkendt, hvordan man ved hjælp af computerens tegneprogammer kan ændre en konstruktions udseende. Man kan imidlertid også bruge computeren til at lave forsøg med en konstruktions evne til at klare belastninger uden at bygge den først. Modelafprøvning Computeren regner på en matematisk model af konstruktion og påvirkninger, og kan for eksempel vise deformationer af en møllevinge i kraftig vind. Når man har opbygget en sådan computermodel, kan man lave tusindvis af forsøg på computeren, og måske kan man finde en møllevinge, der er bedre end alle andre; computeren bliver ikke træt af alt det regnearbejde, højst varm. Computeren giver altså ingeniøren og den industrielle designer muligheden for at afprøve langt flere ideer end det ville være muligt, hvis man skulle fremstille og afprøve de forskellige muligheder i virkeligheden. Det er ofte en fordel at styre disse computerforøg således, at man er sikker på at nå til et bedre resultat end det, man har, når man starter. Vanskeligheden er, at man typisk vil ændre på mange ting på én gang, samtidigt med at en række krav skal tilfredsstilles. Det svarer lidt til skiløb uden kort i vanskeligt terræn, hvor man gerne vil ned i bunden af en dal. Her kan man for eksempel forestille sig, at højden svarer til vægten af en møllevinge; at finde bunden af dalen svarer til, at man minimerer vægten. En god teknik til at komme ned ad bjerget er at observere bjergets form tæt på, hvor man står, og så køre ned dér, hvor det er stejlest. Efter et stykke vej ser bjerget anderledes ud, og man vælger en ny retning ned ad bjerget. Sådan fortsættes til man når ned, hvis man ikke ender i en lokal dal, en gryde i sneen. For at ovenstående kan føres ud i livet, skal der sættes tal på alle de forskellige delelementer, som udgør det konstruktionsproblem, man vil løse. Det gælder blandt andet om at beslutte sig for en beskrivelse af konstruktionens geometri, som for eksempel kan være angivelse af længden, bredden og højden af en bjælke. Optimering af bjælke For at formulere et optimeringsproblem, som computeren kan arbejde med, skal man også bestemme sig for, hvordan man afgør, hvor god konstruktionen er. Skal en bjælke eksempelvis benyttes til at understøtte gulvet i et fly, er man interesseret i at finde den bjælke, som er lettest mulig, under forudsætning af, at bjælken kan holde til de belastninger, der måtte forekomme. Vægten af bjælken er nem at regne ud, men det at finde ud af, hvor stærk bjælken er, kræver en mere omfattende beregning. Her bruger man computermodeller baseret på differentialligninger, der blandt andet afspejler hvilke belastninger og understøtninger, man tager hensyn til. 4

5 t i l d e n b e d s t e k o n s t r u k t i o n Da sådanne beregninger typisk kan være ret tidskrævende, betyder det, at man ikke har en komplet oversigt over bjerget ved optimeringsprocessens start. I stedet ved man kun hvor højt oppe man er, og man kan, ved at bruge differentialregning (i generaliseret form), få en opfattelse af, hvordan tingene ser ud tæt på, hvor man er: tangenthældninger angiver hvor stejlt, der er i forskellige retninger - dette stemmer overens med det man har brug for i den skiløbsstrategi, der er omtalt ovenfor. At løbe ned ad bjerget, hvor det er stejlest, svarer til at computeren fortæller os hvilke designparametre, der er mest kritiske for konstruktionens effektivitet. En sådan følsomhedsanalyse giver kun god information for mindre designændringer, og derfor må proceduren gentages. Dette foretages, indtil man ikke kan forbedre konstruktionen ved at ændre på de givne designparametre - man er nået ned i en dal. Konstruktionens topologi Et meget væsentligt aspekt af udformningen af en konstruktion er den grundlæggende sammensætning af de kurver og flader, der beskriver konstruktionens rumlige afgrænsning. Eksempelvis at afgøre om en bærebjælke til et møllehus bedst gøres lettere ved at lave 4 udskæringer, eller om den måske snarere skal have 6 udskæringer. Man kalder dette at finde konstruktionens topologi, dens landskab. En måde at beskrive en konstruktion på, der tillader ændring af topologien, er at betragte den som et gråtonebillede beskrevet ved en tæthed af materiale. I princippet er hvert enkelt punkt i rummet en potentiel del af konstruktionen, og optimeringen skal finde de punkter, som er med til at udgøre den optimale konstruktion. Der er tale om en fundamental anden repræsentation af geometri, end hvis man beskriver form ved randkurver. Men samtidig med, at man opnår en større frihed i beskrivelsen af et design, skal man også kunne håndtere langt større mængder data. Eksempelvis er en cirkel som kurve beskrevet ved et centrum og en radius, i alt 3 reelle tal. I et gråtonebillede kræves i princippet oplysninger om alle pixel-værdier, fx 028x768 tal. Topologioptimering Den teknik, der er udviklet til at klare disse problemer, kaldes topologioptimering og ses nu i brug i en lang række danske og udenlandske industrivirksomheder, typisk i den indledende fase af konstruktionsarbejdet, hvor valget af en god udgangstopologi er afgørende for kvaliteten af det endelige produkt. Dette er en interessant udvikling, idet man typisk tidligere har benyttet computerværktøjer til analyse og optimering i de sene faser af en designproces, til forfining og afpudsning af et produkt. I forbindelse med topologioptimering kan man også se på design af materialet i konstruktionen. Her har det vist sig muligt at designe materialer med helt overraskende egenskaber. Således kan man for eksempel lave materialer, der bliver tykkere når man trækker i dem, i modsætning til hvad der sker, når man trækker i en elastik. På figuren ses en enkelt enhedscelle i et sådant materiale, og en samling af enhedsceller. Der er lavet testbjælker, hvor enhedscellerne er så små, at de ikke ses med det blotte øje. Topologioptimering kan bruges til at designe mikrorobotter. På figuren ses tre udvalgte trin i optimeringsprocessen af en gribeklo. Det endelige design minder om konstruktioner i naturen, fx hver af taskekrabbens gribekløer. Mikrorobotter er så små, at de fx kan anvendes til at fjerne blodpropper i menneskets blodårer. 5

6 BOBLER - optimeret af fysikkens love Bobler for sjov og bobler for alvor Sæbebobler er legende lette og runde som kugler - det ved vi alle. Men hvorfor er de det, og hvorfor blæser man aldrig sæbebobler, der har form som overfladen af en røgring, men ofte dobbeltbobler, det vil sige to bobler, der har forenet sig til een boble med to kamre og 3 sideflader, der støder sammen langs en cirkel. Multibobler er en anden betegnelse for skum. Skum findes alle vegne - ikke blot i opvaskebaljen. Tænk blot på flødeboller eller på cola-, ølog champagneskum, barberskum, brandslukningsskum, emballeringsskum eller på noget helt nyt og spændende: metalskum, der i sig selv har mange andre tekniske anvendelser. Det er derfor vigtigt at kunne beskrive, forstå og forklare boblernes og multiboblernes strukturelle, fysiske og kemiske egenskaber. Boblende geometri En sæbeboble er rund og kugleformet af mindst to geometrisk meget interessante grunde. For det første garanterer overfladespændingen i sæbehinden, at med det givne volumen inde i boblen, er arealet af overfladen så lille som muligt. Overfladespændingen trykker også luften lidt sammen inde i boblen, så der altid er en trykforskel p mellem ydre og indre. Sæbebobler viser derfor løsningen på det såkaldte isoperimetriske problem i rummet: Find den mindste flade som omslutter et givet volumen. Med andre ord, hvis vi puster til en perfekt sæbeboble, så den deformeres lidt væk fra den kuglerunde form, så vil overfladen blive større, og sæbehinden risikerer derfor at briste. For det andet kan den ovenfor omtalte trykforskel p mellem boblens indre og ydre udtrykkes helt lokalt - altså punktvis - ved hjælp af geometrien af et lille stykke af sæbehinden i en omegn af punktet. Enhver flade har en krumning i ethvert punkt. Den kan findes ved at måle bøjningerne (krumningerne) af hver af de to snitkurver, der fremkommer ved at snitte fladen med to planer som vist i figuren midt på næste side. Planerne skal blot være vinkelrette på hinanden og desuden skal de begge stå vinkelret på selve fladen i det punkt x, der undersøges. Middelværdien af de to bøjninger af snitkurverne kaldes middelkrumningen af fladen i x, og benævnes med H(x). Der gælder nu for sæbehinder, at p = H(x). Det betyder, at trykforskellen kan beregnes og forstås geometrisk! Desuden er trykforskellen jo konstant, så middelkrumningen af fladen er derfor også konstant! Med andre ord: Fladens krumning sørger for lokalt at udspænde membranen i balance således, at trykforskellen kan opretholdes. Sæbeboblerne illustrerer dermed også et helt andet geometrisk, matematisk resultat: Hvis en lukket flade i rummet har konstant middelkrumning, så er fladen en kugleflade. Her må vi selvfølgelig kræve, at fladen er lukket og ikke skærer igennem sig selv; ellers kunne man jo komme i tvivl om, hvad der er indre og ydre. Dobbeltbobler Dobbeltbobler er, som navnet siger, en konstellation af sæbehinder, der tilsammen omslutter og adskiller to givne volumener. Det isoperimetriske dobbeltbobleproblem er nu: Find den dobbeltboble, der omslutter to givne volumener, og som har mindst total overfladeareal. Først i år 2000 blev det bevist, at løsningerne til det isoperimetriske dobbeltbobleproblem ser ud som i figuren til højre på næste side - de kaldes standard dobbelt-bobler. Det bemærkes, at trykket vil være størst i det mindste af de to kamre, og at kuglekalotten, der adskiller kamrene, derfor vil bue ind i det store kammer. Hvis de to givne volumener er lige store, er det en flad cirkelskive, der adskiller kamrene. Mens en almindelig boble bare skal gøre sig rund for at minimere overfladen, skal dobbeltboblen desuden finde ud af at gøre vinklerne mellem de tre flader lige store i ethvert skæringspunkt. Men så længe en af vinklerne er mindre end de andre, vil skæringspunktet blive trukket ind i denne vinkel af de tilhørende overfladespændinger. 6

7 Ligevægtsbetingelsen er velkendt fra fysik: Hvis en partikel er påvirket af tre lige store kræfter, så er der balance præcis, når de tre kraftvektorer ligger i samme plan og har samme vinkel mellem sig. Reglen om, at fladerne mødes i vinkler på 20, blev indset og formuleret i 873 af den belgiske fysiker J. A. F. Plateau (80-883) og kaldes hans første regel. Anden regel handler om situationer, hvor fire kanter mødes, som for eksempel i tripelbobler. Vinklen mellem to sådanne kanter vil være cos - (-/3), altså cirka 09. I titlen til sin berømte afhandling om sæbeboblerne har han en lille antagelse:... aux seules Forces Moléculaires, hvilket henviser til, at sæbeboblerne og skummet antages at være vægtløse. Det ville garanteret have fornøjet ham at være med i Den Internationale Rumstation, hvor denne antagelse jo er opfyldt, og hvor man netop i år har gentaget og udvidet mange af Plateu s eksperimenter og observationer med almindeligt vand i stedet for sæbevand. Hvis en kurve har en ligning af formen y = f(x) i et koordinatsystem, hvor x-aksen er parallel med kurvens tangent i punktet P, kan krumningen i P beregnes som f (x 0 ) hvor x 0 er førstekoordinaten til P. Den dobbelt afledede i x 0 udtrykker jo, hvor meget tangenthældningerne ændrer sig omkring x 0. Den numeriske værdi af krumningen er lig med /r, hvor r er radius af den cirkel, der følger kurven bedst muligt omkring P. Tværsnittet af en dobbeltboble består af tre cirkelbuer. Hvis radius for de tre cirkler kaldes henholdsvis r, s og R gælder: = + r s R Denne sammenhæng følger af, at middelkrumningen er lig med forskellen i tryk på hver side af sæbehinderne. De tre tangenter i hvert af skæringspunkterne danner tre vinkler på hver 20. 7

8 Spilteori Optimeringsproblemer forekommer naturligvis i virksomhedsøkonomi: det kan dreje sig om praktiske problemer med at maksimere en enkelt virksomheds udbytte i en given situation; men man kan også se på strategier for en række konkurrerende virksomheder. I strategien kan indgå, hvor meget man sender på markedet og til hvilken pris, og den enkelte virksomheds udbytte afhænger af de andre virksomheders handlinger. De matematiske modeller for sådanne situationer kaldes spil, og de kan bruges i mange andre end økonomiske sammenhænge. Den amerikanske matematiker John Nash beviste i 949, da han kun var 2 år, at det for en omfattende type af spil er muligt for hver spiller at vælge en strategi, der maksimerer spillerens forventede gevinst givet de andre spilleres valgte strategier. Et sådant sæt af optimale løsninger kaldes en Nash-ligevægt. John Nash fandt som den første et eksistensbevis for sådan en ligevægt. Generelle konstruktive beregningsmetoder til at finde en Nash-ligevægt i konkrete givne situationer er først udviklet senere. John Nash liv er skildret i bogen og filmen A beautiful mind (Et smukt sind). Allerede da han var i slutningen af tyverne, udviklede han en paranoid skizofreni. Han levede som i en verden med indbildte personer og overnaturlige væsner. For eksempel mistænkte han kolleger for at stjæle ideer fra sine papirkurve. Flere gange måtte han tvangsindlægges i de følgende ti år, og selvom han langsomt fik det bedre, var han ude af stand til at arbejde seriøst med matematik i omkring 30 år. Det var derfor næsten mirakuløst, at han omkring 990 kunne genoptage sit arbejde. John Nash modtog Nobelprisen i økonomi i 994. Udgivet af Fysikforlaget med støtte fra Undervisningsministeriets tips/lottomidler og af Birch & Krogboe Fonden Redaktion: Niels Elbrønd Hansen Layout: Mette Qvistorff Produktionsgruppe: Martin Bendsøe, Aksel Bertelsen (fagredaktør), Poul Hjorth og Steen Markvorsen Tryk: Budolfi Tryk, Aalborg Oplag: ISSN:

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

bobler af naturvidenskab

bobler af naturvidenskab bobler af naturvidenskab 1 bobler af naturvidenskab Indhold s introduktion TIL LÆREREN Dette er en vejledning til Bobler af naturvidenskab, der er en formidlingsaktivitet om sæbebobler. Den er målrettet

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? For at svare på spørgsmålet om, hvad vind er, så skal vi vide noget om luft. I alle stoffer er molekylerne i stadig bevægelse. I faste stoffer ligger de tæt og bevæger

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt af Brian Kristensen http://akrylkunst.dk side 1 af 6 Denne quick guide viser i korte steps hvordan man tegner de rigtige proportioner i et ansigt. For at have et fundament når du tegner et ansigt er det

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014 Uge Emne Trinmål for faget Læringsmål for emnet 33 Opstart 34 - Relationer 35 36-38 39-40 41 42 43-48 Tallene 1-10 Geometriske figurer Aktiv Rundt i Danmark Tale om sprog Lægge mærke til naturfaglige fra

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN.

LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN. LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN. Belægningen anvendes i dag mest til parkeringspladser, torve, overkørsler, korte vejstrækninger i bykerner og private anlæg m.v. Brolægning af chaussésten laves med retvinklede,

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Monteringsanvisning. Santex E-line. Skydepartier. Udv. karmbredde/-højde = mål på rammeudskæring Tolerance bredde: Tolerance højde:

Monteringsanvisning. Santex E-line. Skydepartier. Udv. karmbredde/-højde = mål på rammeudskæring Tolerance bredde: Tolerance højde: Monteringsanvisning Santex E-line Skydepartier Udv. karmbredde/-højde = mål på rammeudskæring Tolerance bredde: +5 5 mm Tolerance højde: +7 7 mm Tjek altid at du har modtaget det rigtige antal komponenter,

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Sproginddragelse i matematikundervisningen Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Mål og fokusområder der skal indgå i planlægning og gennemførelse

Læs mere