2. Å RG A N G NR. 3 / 2003

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2. Å RG A N G NR. 3 / 2003"

Transkript

1 2. Å RG A N G NR. 3 / 2003 OPTIMALE KONSTRUKTIONER - når naturen former Mange natur- og menneskeskabte konstruktioner har optimale egenskaber, eller er resultat af forsøg på at opnå optimale egenskaber: rosens blade er arrangeret, så bladene får mest muligt lys; sæbebobler har minimal overflade; flybjælker skal være så lette som muligt. Et optimeringsproblem er tit så kompliceret, at det er umuligt at regne sig frem til en løsning, men når man først har set eller indset løsningen, er det ofte muligt at gennemskue dens matematiske egenskaber.

2 EN PLADS I SOLEN - BRUGER NATUREN MATEMATIK? Hvorfor danner solsikkens frø et mønster med 34 kurver med uret og 2 kurver mod uret? Når man ser på en solsikkes blomsterstand, fanges øjet af nogle spiraler, der både drejer venstre og højre om. Hvorfor vokser frøene langs disse spiraler? Hvorfor er antallet af spiraler i forskellige solsikker netop 3, 2, 34 eller 55? Hvor kommer disse tal fra? Hvad der følger her, er blot antydningen af en forklaring. Den levende natur er ikke en matematisk opgave med et entydigt facit. Vi skal blot skitsere en matematisk model af væksten i en solsikkes blomsterstand. Inden for denne model kan vi komme nærmere på nogle svar på ovenstående spørgsmål. En primitiv vækstmodel En meget grov model af væksten i en solsikkes blomsterstand er følgende. Vi forestiller os, at frøene dannes ét ad gangen ud fra et centrum øverst i stilken og, når de første er dannet, flytter langsomt væk fra centrum langs en ret linje. Mellem retningerne for to på hinanden følgende frø er der en bestemt vinkel, som vi vil kalde drejningsvinklen. Se figur. Talværdien af drejningsvinklen er, som vi skal se, helt bestemmende for det mønster, frøene danner. Lad os her måle drejningsvinklen som brøkdele af en hel cirkel, så svarer fx 90 til = /4. Bemærk, at vi kun behøver at betragte mellem 0 og /2, da vi vil få samme mønster for som for -. Hvis drejningsvinklen fx er /7, vil der fremkomme 7 stråler ud fra centrum. Se figur 2. Det ligner noget, der kunne blive til en rund blomsterstand. Der er dog det problem, at de 7 stråler kommer længere og længere fra hinanden, jo større blomsterstanden bliver, så der opstår områder, hvor der er langt mellem frøene. Og helt inde i centrum er der det problem, at når et frø er dannet, skal det næste frø dannes umiddelbart ved siden af. Drejningsvinkel og spiraler En måde at undgå dette sidste problem ville være at have en drejningsvinkel som et rationalt tal af formen p/q, hvor p og q er naturlige tal. Så får vi q stråler, men hver gang et frø er afsat, springer vi p stråler frem, før det næste afsættes. Ved at vælge p ca. halvt så stor som q, vil vi anbringe det næste frø så langt rundt om blomsterstanden som muligt. Men se nu det mærkelige, der sker, hvis vi vælger drejningsvinklen til et tal som fx /23, se figur 3. Der dannes 23 stråler, men nær centrum ser øjet slet ikke disse stråler, men derimod to spiraler! Det skyldes, at afstanden mellem frøene langs disse to spiraler er mindre end afstanden mellem frøene i de enkelte stråler. Og når frøene ligger tættere langs en kurve (her en spiral), end de gør langs stråler, fornemmer øjet kurven snarere end det større mønster. At vi nær centrum ser netop to spiraler skyldes, at drejningsvinklen /23 er tæt på at være /2. Solsikken har udviklet en drejningsvinkel på α = ( 3 5) / 2 som kaldes den gyldne vinkel, og som med tre decimalers nøjagtighed er lig med 0,382, hvilket svarer til 37,5. I en vis afstand fra centrum vil man kunne se 3 spiraler, fordi 5/3 er en god rational approximation med lille nævner til 0,382, hvilket betyder, at 3 på hinanden følgende frø i alt vil have beskrevet en drejning tæt på 5 omgange. Et nyt frø vil således blive afsat tæt på det frø, der blev afsat 3 frø tidligere. Men hvorfor har solsikken udviklet en drejningsvinkel på 0,382? Vi har set, at rationale drejningsvinkler med lille nævner vil give dårlige pakninger af blomsterstanden. Før eller siden vil strålerne skilles ad, med dårlig udnyttelse af pladsen til følge. Foto: Erik Frausing 2

3 Model af rose, hvor bladene er arrangeret på samme måde som solsikkens kerner. Hvert nyt blad er drejet 37,5 i forhold til det foregående. Model af en rose, hvor bladene er arrangeret p a samme m ade som solsikkens kerner: Hvert nyt blad er drejet 37.5 grader i forhold til det foreg aende. Simple brøker Vi kalder en brøk simplere end en anden, hvis nævneren er mindre. Ved valg af optimal drejningsvinkel skal man altså søge at undgå de simpleste brøker mest muligt. Man kan bruge dette princip til at konstruere en følge af brøker mellem 0 og /2, der nærmer sig den optimale drejningsvinkel. Vi starter med den simpleste brøk 0/, og vælger derefter den simpleste, der ligger længst muligt væk, nemlig /2. Den simpleste brøk mellem 0 og /2 er /3, og den simpleste brøk mellem /2 og /3 er 2/5. Således fortsættes og man får Den gyldne vinkel og evolution Hvis vi ser frøpakning som en evolutionsmæssig faktor, må vi forestille os, at de planter, der (mere eller mindre tilfældigt) er bedre til at pakke deres frø, i gennemsnit vil få flere afkom; og på denne måde forsvinder de mutationer, der pakker med uhensigtsmæssige vinkler, og de mutationer, der pakker tæt på den gyldne vinkel, vil få mange efterkommere. Da denne proces er foregået over millioner af år, ser vi i dag kun de pakningsperfekte solsikker. At nye skud, frø, blade på stængler etc. vokser frem efter en drejning med den gyldne vinkel, og at der derved kommer Fibonacci tal frem som antal af spiraler, man tilnærmelsesvis kan se, er et fænomen, der også kan observeres i så vidt forskellige vækster som blomkål og grankogler Hver ny brøk er den simpleste mellem de to foregående, og man kan vise, at den fås ved at addere henholdsvis tæller og nævner for de to foregående. 2 Vi bemærker, at tællere og nævnere er følger af de såkaldte Fibonacci tal, hvor hvert tal er summen af de to foregående. Hvis rækken af brøker fortsættes, går brøkerne mod ( 3 5) / 2. Pakningen ser nu ud som på figur

4 OPTIMERING - c o m p u t e r e n f i n d e r v e j a b c d e Elementerne i topologioptimering Materialetætheden i den enkelte pixel er i blåtoneskala. (a) udgangspunktet: en bjælke med jævnt fordelt materiale. (b) en analyse af bjælkens stivhed. (c) et gradvist forbedret design. (d) en analyse, der viser, at stivheden er forbedret. (e) slutresultatet: det optimale design. Konventionelt design af gulvbjælke i fly. Den topologioptimerede bjælke på foregående figur er 40 % stivere for samme vægt. Man kan ikke ved blot at ændre formen og placeringen af de seks runde huller i det konventionelle design opnå resultatet på figuren ovenfor, hvor der er 7 huller: de to bjælker er topologisk forskellige. Det er velkendt, hvordan man ved hjælp af computerens tegneprogammer kan ændre en konstruktions udseende. Man kan imidlertid også bruge computeren til at lave forsøg med en konstruktions evne til at klare belastninger uden at bygge den først. Modelafprøvning Computeren regner på en matematisk model af konstruktion og påvirkninger, og kan for eksempel vise deformationer af en møllevinge i kraftig vind. Når man har opbygget en sådan computermodel, kan man lave tusindvis af forsøg på computeren, og måske kan man finde en møllevinge, der er bedre end alle andre; computeren bliver ikke træt af alt det regnearbejde, højst varm. Computeren giver altså ingeniøren og den industrielle designer muligheden for at afprøve langt flere ideer end det ville være muligt, hvis man skulle fremstille og afprøve de forskellige muligheder i virkeligheden. Det er ofte en fordel at styre disse computerforøg således, at man er sikker på at nå til et bedre resultat end det, man har, når man starter. Vanskeligheden er, at man typisk vil ændre på mange ting på én gang, samtidigt med at en række krav skal tilfredsstilles. Det svarer lidt til skiløb uden kort i vanskeligt terræn, hvor man gerne vil ned i bunden af en dal. Her kan man for eksempel forestille sig, at højden svarer til vægten af en møllevinge; at finde bunden af dalen svarer til, at man minimerer vægten. En god teknik til at komme ned ad bjerget er at observere bjergets form tæt på, hvor man står, og så køre ned dér, hvor det er stejlest. Efter et stykke vej ser bjerget anderledes ud, og man vælger en ny retning ned ad bjerget. Sådan fortsættes til man når ned, hvis man ikke ender i en lokal dal, en gryde i sneen. For at ovenstående kan føres ud i livet, skal der sættes tal på alle de forskellige delelementer, som udgør det konstruktionsproblem, man vil løse. Det gælder blandt andet om at beslutte sig for en beskrivelse af konstruktionens geometri, som for eksempel kan være angivelse af længden, bredden og højden af en bjælke. Optimering af bjælke For at formulere et optimeringsproblem, som computeren kan arbejde med, skal man også bestemme sig for, hvordan man afgør, hvor god konstruktionen er. Skal en bjælke eksempelvis benyttes til at understøtte gulvet i et fly, er man interesseret i at finde den bjælke, som er lettest mulig, under forudsætning af, at bjælken kan holde til de belastninger, der måtte forekomme. Vægten af bjælken er nem at regne ud, men det at finde ud af, hvor stærk bjælken er, kræver en mere omfattende beregning. Her bruger man computermodeller baseret på differentialligninger, der blandt andet afspejler hvilke belastninger og understøtninger, man tager hensyn til. 4

5 t i l d e n b e d s t e k o n s t r u k t i o n Da sådanne beregninger typisk kan være ret tidskrævende, betyder det, at man ikke har en komplet oversigt over bjerget ved optimeringsprocessens start. I stedet ved man kun hvor højt oppe man er, og man kan, ved at bruge differentialregning (i generaliseret form), få en opfattelse af, hvordan tingene ser ud tæt på, hvor man er: tangenthældninger angiver hvor stejlt, der er i forskellige retninger - dette stemmer overens med det man har brug for i den skiløbsstrategi, der er omtalt ovenfor. At løbe ned ad bjerget, hvor det er stejlest, svarer til at computeren fortæller os hvilke designparametre, der er mest kritiske for konstruktionens effektivitet. En sådan følsomhedsanalyse giver kun god information for mindre designændringer, og derfor må proceduren gentages. Dette foretages, indtil man ikke kan forbedre konstruktionen ved at ændre på de givne designparametre - man er nået ned i en dal. Konstruktionens topologi Et meget væsentligt aspekt af udformningen af en konstruktion er den grundlæggende sammensætning af de kurver og flader, der beskriver konstruktionens rumlige afgrænsning. Eksempelvis at afgøre om en bærebjælke til et møllehus bedst gøres lettere ved at lave 4 udskæringer, eller om den måske snarere skal have 6 udskæringer. Man kalder dette at finde konstruktionens topologi, dens landskab. En måde at beskrive en konstruktion på, der tillader ændring af topologien, er at betragte den som et gråtonebillede beskrevet ved en tæthed af materiale. I princippet er hvert enkelt punkt i rummet en potentiel del af konstruktionen, og optimeringen skal finde de punkter, som er med til at udgøre den optimale konstruktion. Der er tale om en fundamental anden repræsentation af geometri, end hvis man beskriver form ved randkurver. Men samtidig med, at man opnår en større frihed i beskrivelsen af et design, skal man også kunne håndtere langt større mængder data. Eksempelvis er en cirkel som kurve beskrevet ved et centrum og en radius, i alt 3 reelle tal. I et gråtonebillede kræves i princippet oplysninger om alle pixel-værdier, fx 028x768 tal. Topologioptimering Den teknik, der er udviklet til at klare disse problemer, kaldes topologioptimering og ses nu i brug i en lang række danske og udenlandske industrivirksomheder, typisk i den indledende fase af konstruktionsarbejdet, hvor valget af en god udgangstopologi er afgørende for kvaliteten af det endelige produkt. Dette er en interessant udvikling, idet man typisk tidligere har benyttet computerværktøjer til analyse og optimering i de sene faser af en designproces, til forfining og afpudsning af et produkt. I forbindelse med topologioptimering kan man også se på design af materialet i konstruktionen. Her har det vist sig muligt at designe materialer med helt overraskende egenskaber. Således kan man for eksempel lave materialer, der bliver tykkere når man trækker i dem, i modsætning til hvad der sker, når man trækker i en elastik. På figuren ses en enkelt enhedscelle i et sådant materiale, og en samling af enhedsceller. Der er lavet testbjælker, hvor enhedscellerne er så små, at de ikke ses med det blotte øje. Topologioptimering kan bruges til at designe mikrorobotter. På figuren ses tre udvalgte trin i optimeringsprocessen af en gribeklo. Det endelige design minder om konstruktioner i naturen, fx hver af taskekrabbens gribekløer. Mikrorobotter er så små, at de fx kan anvendes til at fjerne blodpropper i menneskets blodårer. 5

6 BOBLER - optimeret af fysikkens love Bobler for sjov og bobler for alvor Sæbebobler er legende lette og runde som kugler - det ved vi alle. Men hvorfor er de det, og hvorfor blæser man aldrig sæbebobler, der har form som overfladen af en røgring, men ofte dobbeltbobler, det vil sige to bobler, der har forenet sig til een boble med to kamre og 3 sideflader, der støder sammen langs en cirkel. Multibobler er en anden betegnelse for skum. Skum findes alle vegne - ikke blot i opvaskebaljen. Tænk blot på flødeboller eller på cola-, ølog champagneskum, barberskum, brandslukningsskum, emballeringsskum eller på noget helt nyt og spændende: metalskum, der i sig selv har mange andre tekniske anvendelser. Det er derfor vigtigt at kunne beskrive, forstå og forklare boblernes og multiboblernes strukturelle, fysiske og kemiske egenskaber. Boblende geometri En sæbeboble er rund og kugleformet af mindst to geometrisk meget interessante grunde. For det første garanterer overfladespændingen i sæbehinden, at med det givne volumen inde i boblen, er arealet af overfladen så lille som muligt. Overfladespændingen trykker også luften lidt sammen inde i boblen, så der altid er en trykforskel p mellem ydre og indre. Sæbebobler viser derfor løsningen på det såkaldte isoperimetriske problem i rummet: Find den mindste flade som omslutter et givet volumen. Med andre ord, hvis vi puster til en perfekt sæbeboble, så den deformeres lidt væk fra den kuglerunde form, så vil overfladen blive større, og sæbehinden risikerer derfor at briste. For det andet kan den ovenfor omtalte trykforskel p mellem boblens indre og ydre udtrykkes helt lokalt - altså punktvis - ved hjælp af geometrien af et lille stykke af sæbehinden i en omegn af punktet. Enhver flade har en krumning i ethvert punkt. Den kan findes ved at måle bøjningerne (krumningerne) af hver af de to snitkurver, der fremkommer ved at snitte fladen med to planer som vist i figuren midt på næste side. Planerne skal blot være vinkelrette på hinanden og desuden skal de begge stå vinkelret på selve fladen i det punkt x, der undersøges. Middelværdien af de to bøjninger af snitkurverne kaldes middelkrumningen af fladen i x, og benævnes med H(x). Der gælder nu for sæbehinder, at p = H(x). Det betyder, at trykforskellen kan beregnes og forstås geometrisk! Desuden er trykforskellen jo konstant, så middelkrumningen af fladen er derfor også konstant! Med andre ord: Fladens krumning sørger for lokalt at udspænde membranen i balance således, at trykforskellen kan opretholdes. Sæbeboblerne illustrerer dermed også et helt andet geometrisk, matematisk resultat: Hvis en lukket flade i rummet har konstant middelkrumning, så er fladen en kugleflade. Her må vi selvfølgelig kræve, at fladen er lukket og ikke skærer igennem sig selv; ellers kunne man jo komme i tvivl om, hvad der er indre og ydre. Dobbeltbobler Dobbeltbobler er, som navnet siger, en konstellation af sæbehinder, der tilsammen omslutter og adskiller to givne volumener. Det isoperimetriske dobbeltbobleproblem er nu: Find den dobbeltboble, der omslutter to givne volumener, og som har mindst total overfladeareal. Først i år 2000 blev det bevist, at løsningerne til det isoperimetriske dobbeltbobleproblem ser ud som i figuren til højre på næste side - de kaldes standard dobbelt-bobler. Det bemærkes, at trykket vil være størst i det mindste af de to kamre, og at kuglekalotten, der adskiller kamrene, derfor vil bue ind i det store kammer. Hvis de to givne volumener er lige store, er det en flad cirkelskive, der adskiller kamrene. Mens en almindelig boble bare skal gøre sig rund for at minimere overfladen, skal dobbeltboblen desuden finde ud af at gøre vinklerne mellem de tre flader lige store i ethvert skæringspunkt. Men så længe en af vinklerne er mindre end de andre, vil skæringspunktet blive trukket ind i denne vinkel af de tilhørende overfladespændinger. 6

7 Ligevægtsbetingelsen er velkendt fra fysik: Hvis en partikel er påvirket af tre lige store kræfter, så er der balance præcis, når de tre kraftvektorer ligger i samme plan og har samme vinkel mellem sig. Reglen om, at fladerne mødes i vinkler på 20, blev indset og formuleret i 873 af den belgiske fysiker J. A. F. Plateau (80-883) og kaldes hans første regel. Anden regel handler om situationer, hvor fire kanter mødes, som for eksempel i tripelbobler. Vinklen mellem to sådanne kanter vil være cos - (-/3), altså cirka 09. I titlen til sin berømte afhandling om sæbeboblerne har han en lille antagelse:... aux seules Forces Moléculaires, hvilket henviser til, at sæbeboblerne og skummet antages at være vægtløse. Det ville garanteret have fornøjet ham at være med i Den Internationale Rumstation, hvor denne antagelse jo er opfyldt, og hvor man netop i år har gentaget og udvidet mange af Plateu s eksperimenter og observationer med almindeligt vand i stedet for sæbevand. Hvis en kurve har en ligning af formen y = f(x) i et koordinatsystem, hvor x-aksen er parallel med kurvens tangent i punktet P, kan krumningen i P beregnes som f (x 0 ) hvor x 0 er førstekoordinaten til P. Den dobbelt afledede i x 0 udtrykker jo, hvor meget tangenthældningerne ændrer sig omkring x 0. Den numeriske værdi af krumningen er lig med /r, hvor r er radius af den cirkel, der følger kurven bedst muligt omkring P. Tværsnittet af en dobbeltboble består af tre cirkelbuer. Hvis radius for de tre cirkler kaldes henholdsvis r, s og R gælder: = + r s R Denne sammenhæng følger af, at middelkrumningen er lig med forskellen i tryk på hver side af sæbehinderne. De tre tangenter i hvert af skæringspunkterne danner tre vinkler på hver 20. 7

8 Spilteori Optimeringsproblemer forekommer naturligvis i virksomhedsøkonomi: det kan dreje sig om praktiske problemer med at maksimere en enkelt virksomheds udbytte i en given situation; men man kan også se på strategier for en række konkurrerende virksomheder. I strategien kan indgå, hvor meget man sender på markedet og til hvilken pris, og den enkelte virksomheds udbytte afhænger af de andre virksomheders handlinger. De matematiske modeller for sådanne situationer kaldes spil, og de kan bruges i mange andre end økonomiske sammenhænge. Den amerikanske matematiker John Nash beviste i 949, da han kun var 2 år, at det for en omfattende type af spil er muligt for hver spiller at vælge en strategi, der maksimerer spillerens forventede gevinst givet de andre spilleres valgte strategier. Et sådant sæt af optimale løsninger kaldes en Nash-ligevægt. John Nash fandt som den første et eksistensbevis for sådan en ligevægt. Generelle konstruktive beregningsmetoder til at finde en Nash-ligevægt i konkrete givne situationer er først udviklet senere. John Nash liv er skildret i bogen og filmen A beautiful mind (Et smukt sind). Allerede da han var i slutningen af tyverne, udviklede han en paranoid skizofreni. Han levede som i en verden med indbildte personer og overnaturlige væsner. For eksempel mistænkte han kolleger for at stjæle ideer fra sine papirkurve. Flere gange måtte han tvangsindlægges i de følgende ti år, og selvom han langsomt fik det bedre, var han ude af stand til at arbejde seriøst med matematik i omkring 30 år. Det var derfor næsten mirakuløst, at han omkring 990 kunne genoptage sit arbejde. John Nash modtog Nobelprisen i økonomi i 994. Udgivet af Fysikforlaget med støtte fra Undervisningsministeriets tips/lottomidler og af Birch & Krogboe Fonden Redaktion: Niels Elbrønd Hansen Layout: Mette Qvistorff Produktionsgruppe: Martin Bendsøe, Aksel Bertelsen (fagredaktør), Poul Hjorth og Steen Markvorsen Tryk: Budolfi Tryk, Aalborg Oplag: ISSN:

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Noter om Bærende konstruktioner Membraner Finn Bach, december 2009 Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Statisk virkemåde En membran er et fladedannende konstruktionselement, der i lighed

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

HTX. Matematik A. Onsdag den 11. maj Kl GL111 - MAA - HTX

HTX. Matematik A. Onsdag den 11. maj Kl GL111 - MAA - HTX HTX Matematik A Onsdag den 11. maj 2011 Kl. 09.00-14.00 GL111 - MAA - HTX 1 2 Side 1 af 7 sider Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Matematisk æstetik. Jonas Lindstrøm Jensen, ph.d-studerende. 28. oktober 2009

Matematisk æstetik. Jonas Lindstrøm Jensen, ph.d-studerende. 28. oktober 2009 28. oktober 2009 er et tal, nemlig φ = 1 + 5 2 1.6803398874989... Vi taler som regel om, at forholdet mellem to tal a og b er det gyldne snit, altså at a b = φ. Fx er 62 = 1.631578947 φ. 38 Fibonaccitallene

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2010 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere